切比雪夫滤波器设计

i1a
16
图6.2.8 三阶切比雪夫滤波器的极点分布
a
17
a
18
5） Chebyshev低通滤波器的设计步骤:
1）确定技术指标： p P s S
归一化：
p
p p
1
s
s p
2)根据技术指标求出滤波器阶数N及 ：
N
ch1(k11 )
ch
1 s
其中：k11
100.1s 1 100.1p 1
N越大阻带衰减越快
阶数N影响过渡带的 带宽，同时也影响通 带内波动的疏密，因 为N等于通带内最大值 与最小值的总个数
N=0,4,5切比雪夫多项式曲线
a
8
2） Chebyshev低通滤波器幅度平方函数特点：
Ha( j)
1
1
2CN2
p
0
– N为奇数 Ha(j0) 1
– N为偶数 Ha(j0)1/ 12
ch[N ch1 (s )]
1
可以解出
1 1
A2 (s )
ch1[ 1
1 1]
N
A2 (s )
ch1 (s )
s
p
1 N
ch1[ 1
A2
1 (a s
)
1 ]
12
3dB截止频率Ωc的确定
令
A 2 ( c )
1 2
按照(6.2.19)式，有
2C
2 N
(
c
)
1, c
c p
通常取λc>1，因此
a
2
提出的背景
巴特沃斯滤波器的频率特性曲线，无论在 通带和阻带都是频率的单调函数。因此．当通 带边界处满足指标要求时，通带内肯定会有余 量。因此，更有效的设计方法应该是将精确度 均匀地分布在整个通带内，或者均匀分布在整 个阻带内，或者同时分布在两者之内。这样， 就可用阶数较低的系统满足要求。这可通过选 择具有等波纹特性的逼近函数来达到。
书上该公 式有错
CN
(c )
1
ch[N ch 1(c )]
上式中仅取正号，得到3dB截止频率计算公式：
c pch[N 1ch1(1)]
a
13
4）Chebyshev低通滤波器幅度平方函数的极点分布
以上Ωp,ε和N确定后，可以求出滤波器的极点，
并确定Ha(p)，p=s/Ωp。
有用的结果:设Ha(s)的极点为si=σi+jΩi，可以证明： iippcshhcsoins((2222iiN N 11)),i 1,2,3,,N
(6.2.29)
b
1 (
1 N
1
N)
2
(6.2.30)
1 1 1
2
(6.2.31)
因此切比雪夫滤波器的极点就是一组分布在长
半轴为bΩp ，短半轴为aΩp的椭圆上的点。
aLeabharlann Baidu
15
设N=3，平方幅度函数的极点分布如图6.2.8所示(极点用X表 示)。为稳定，用左半平面的极点构成Ha(p)，即
Ha ( p)
p 1, s
fs fp
4
a
21
(2) 求阶数N和ε：
N
ch 1 (k11 ) ch 1 (s )
k11
1 0 0.1as 1 6553
1
N
c( p pi )
i1
(6.2.32)
式中c是待定系数。根据幅度平方函数(6.2.19) 式可导出：c=ε·2 N-1，代入(6.2.32)式，得到归一 化的传输函数为
Ha(p)
1
N
2N1 (p pi)
i1
去归一化后的传输函数为
(6.2.33a)
Ha(s)
Np
N
2N1 (s pip)
p H a (j ) 1 /1 2
p 通带内：在1和 1/ 12 间等波纹起伏
p 通带外：迅速单调下降趋向0
a
9
切比雪夫Ⅰ型与巴特沃斯低通的幅度函数平方曲线
a
10
3）Chebyshev低通滤波器的三个参量：
p ：通带截止频率，给定
：表征通带内波纹大小
10lg A2()max
Ha(s)H（ a p）=Hasp
a
20
例6.2.2设计低通切比雪夫滤波器，要 求通带截止频率fp=3kHz，通带最大衰减 αp=0.1dB，阻带截止频率fs=12kHz，阻带 最小衰减αs=60dB。
解
(1) 滤波器的技术指标：
p 0.1dB , p 2 f p
p 60dB, s 2 fs
A2()min
A2()max 1
A2()min
1
12
10 lg(1 2 )
2 100.1 1 由通带衰减决定
a
11
滤波器阶数N 的确定
设阻带的起始点频率(阻带截止频率)用Ωs表
示，在Ωs处的A2(Ωs)为 ：
A2(s)
1
12CN2
令λs=Ωs/Ωp，由λs>1，有
( s P
)
CN
(s )
第十七讲
3.切比雪夫滤波器的设计方法
4.模拟滤波器的频率变换-----模拟 高通、带通、带阻滤波器的设计
a
1
3.Chebyshev低通滤波器的设计方法
Chebyshev低通滤波器的幅度平方函数 Chebyshev低通滤波器幅度平方函数特点 Chebyshev低通滤波器的三个参量 Chebyshev低通滤波器幅度平方函数的极点分布 Chebyshev低通滤波器的设计步骤
当N=0时，C0(x)=1； 当N=1时，C1(x)=x； 当N=2时，C2(x)=2x 2 -1； 当N=3时，C3(x)=4x 3 -3x。 由此可归纳出高阶切比雪夫多项式的递
推公式为
C N+1 (x)=2xCN(x)-C N-1 (x)
前两项给出后才
能迭代下一个
a
6
x
c
a
7
N的影响：
1 sh 1 ( 1 ) N
2 i
2 i
1
2 p
s
h
2
2 p
c
h
2
a
14
上式是一个椭圆方程，因为ch(x)大于sh(x)，
长 半 轴 为 Ωpchξ( 在 虚 轴 上 ) ， 短 半 轴 为 Ωpshξ(在实轴上)。令bΩp和aΩp分别表示长 半轴和短半轴，可推导出：
a
1 (
1 N
1
N)
2
2100.1 1 p
a
19
3）求出归一化系统函数：
其中极点由下式求出：
pi
sh sin[(2k 1) ]
2N
jch cos[(2k 1) ]
2N
Ha ( p)
1
N
2N1 ( p pi )
i1
Ha (s) Ha ( p) ps / p
或者由N和
，直接查表得
p
Ha( p)
4）去归一化
a
3
1）Chebyshev低通滤波器的幅度平方函数
A2()Ha(j)2 12C1N 2( p)
a
4
ChebyshevΙ型滤波器的幅度平方函数（续）
a
5
Chebyshev多项式的特性
c o s (N c o s 1x ) x 1等 波 纹 幅 度 特 性 C N (x ) c h (N c h 1 x ) x 1 单 调 增 加