切比雪夫低通滤波器讲解

课程设计

课程名称：数字信号处理

题目编号： 0202

题目名称：切比雪夫Ⅱ型IIR低通滤波器

专业名称：电子信息工程

班级：电子1204班

学号： 20124470411

学生姓名：刘春阳

任课教师：黄国玉

2015年09月30日

课程设计任务书

目录

1. 数字滤波器的设计任务及要求（编号202） (2)

2. 数字滤波器的设计及仿真 (3)

2.1数字滤波器（编号202）的设计 (3)

2.2数字滤波器（编号202）的性能分析 (6)

3. 数字滤波器的实现结构对其性能影响的分析 (7)

3.1数字滤波器的实现结构一（直接型）及其幅频响应 (8)

3.2数字滤波器的实现结构二（级联型）及其幅频响应 (10)

3.3 数字滤波器的实现结构对其性能影响的小结 (10)

4. 数字滤波器的参数字长对其性能影响的分析 (11)

4.1数字滤波器的实现结构一（直接型）参数字长及幅频响应特性变化 (12)

4.2数字滤波器的实现结构二（级联型）参数字长及幅频响应特性变化 (14)

4.3 数字滤波器的参数字长对其性能影响的小结 (16)

5. 结论及体会 (16)

5.1 滤波器设计、分析结论 (16)

5.2 我的体会 (16)

5.3 展望 (17)

1.数字滤波器的设计任务及要求（0202）

每位同学抽签得到一个四位数，由该四位数索引下表一确定待设计数字滤波器的类型及其设计方法， 然后用指定的设计方法完成滤波器设计。

要求：

（1）滤波器设计指标：通带截止频

pc ln ()32

d rad i πω=

, 过渡带宽度

10

tz

()

160

log d

rad i πω?≤

，滚降roll 60dB α=;

其中， id —抽签得到那个四位数（题目编号) （2）滤波器的初始设计通过手工计算完成；

（3）在计算机辅助计算基础上分析滤波器结构对其性能指标的影响（至少选择两种 以上合适的滤波器结构进行分析）；

（4）在计算机辅助计算基础上分析滤波器参数的字长对其性能指标的影响； （5） 以上各项要有理论分析和推导、原程序以及表示计算结果的图表； （6）课程设计结束时提交设计说明书。

2.数字滤波器的设计及仿真

2.1 数字滤波器（编号202）的设计

随着信息和数字时代的到来，数字信号处理已成为当今一门极其重要的学科和技术领域。在现代通信系统中，由于信号中经常混有各种复杂的成分，因此很多信号的处理都是基于滤波器而进行的。所以数字滤波器在数字信号处理中起着举足轻重的作用。而数字滤波器的设计都要以模拟滤波器为基础的，这是因为模拟滤波器的设计方法都已发展的相当成熟，且有典型的模拟滤波器供我们选择。如巴特沃斯滤波器、切比雪夫滤波器等。本次课程设计将手工计算一个切比雪夫II 型的IIR 的低通模拟滤波器的系统函数，并在MATLAB 的FDATool 设计工具分析其性能指标。

该滤波器的设计流程图如图 2.1

图2.1滤波器设计流程图

1.手工计算参数 通带截止频率：pc ln ()0.165932

d rad rad i ππω==

过渡带宽度：10

tz ()0.0144160

log d

rad rad i ππω?≤=

阻带截止频率：

0. 1803st

rad

πω

=

202

d

i

=

roll

60dB

α

=

为计算简便，设：

通带最大衰减：2p dB α= 阻带最大衰减:62s dB α= 数字低通指标化为模拟低通指标：

2

tan 0.2667/2

pc pc s rad s T ωΩ==

2

tan 0.2910/2

st st s rad s T ωΩ=

= s

T

取2s

2.Cheb 法设计模拟低通滤波器： 1）求低通滤波器阶数N

计算数字滤波器的技术参数

将数字参数参数模拟低通滤波器

设计模拟低通滤波器阶数N 和截止频率

模拟低通滤波器参数转换成数字滤波器

20c st pc

N ar ch ≥=??Ω??

2）求零点

()21*/cos

,1,2,3,

,2st k z i k N N

π-=Ω=

0 + 1.0031i 0 - 1.0031i 0 + 1.0284i 0 - 1.0284i 0 + 1.0824i 0 - 1.0824i 0 + 1.1728i 0 - 1.1728i 0 + 1.3151i 0 - 1.3151i 0 + 1.5398i 0 - 1.5398i 0 + 1.9139i 0 - 1.9139i 0 + 2.6131i 0 - 2.6131i 0 + 4.2837i 0 - 4.2837i 0 +12.7455i 0 -12.7455i

3）求极点

0.0010

σ==

()

sinh1/

0.4471

ar

N

σ

μ==

()()

1,3,,211,3,,21

**

2222

1

sin e cos e

N N

i i

N N

p

real image

ππ

ππμμ

--

????

++

? ?

? ?

????=

????

? ?*+*

? ?

???? -0.0273 - 0.9300i

-0.0847 - 0.9467i

-0.1514 - 0.9810i

-0.2362 - 1.0344i

-0.3527 - 1.1081i

-0.5238 - 1.2003i

-0.7885 - 1.2964i

-1.2057 - 1.3400i

-1.8096 - 1.1657i

-2.3909 - 0.5049i

-2.3909 + 0.5049i

-1.8096 + 1.1657i

-1.2057 + 1.3400i

-0.7885 + 1.2964i

-0.5238 + 1.2003i

-0.3527 + 1.1081i

-0.2362 + 1.0344i

-0.1514 + 0.9810i

-0.0847 + 0.9467i

-0.0273 + 0.9300i

4）求增益

()

()

!

0.8913

!

p

k real

z

??

-

==

?

?

-

??

5）求模拟低通滤波器分子系数

()()AnaB k real V z =*（()V z 是z 的特征多项式） 1.0e+03*

0.0000 0.0000 0.0001 0.0000 0.0038 0.0000 0.0416 -0.0000 0.2303 -0.0000 0.7328 -0.0000 1.4196 -0.0000

1.7021 -0.0000 1.2332 -0.0000 0.4947 0.0000 0.0843

6）求模拟低通滤波器分母系数

()()AnaA real V p =（()V p 是p 的特征多项式） 1.0e+04 *

0.0001 0.0014 0.0098 0.0454 0.1572 0.4312 0.9731 1.8513 3.0185 4.2658 5.2644 5.6961 5.4127 4.5081 3.2793 2.0616 1.1087 0.4946 0.1791 0.0468 0.0084

7）综上，模拟低通滤波器的传递函数：

()201816142

20191817161514 84.3p 494.7p 1233.2p 1702.1p +

84468+1791 494611087+20616+32793 (1)

LP p H P p p p p p p p +++???+=++++ 采用用双线性变换法求得数字低通滤波器的传递函数 分子系数为

0.0153 0.1092 0.4608 1.4137 3.4549 7.0374 12.2784 18.6677 25.0087 29.7289 31.4796 29.7289 25.0087 18.6677 12.2784 7.0374 3.4549 1.4137 0.4608 0.1092 0.0153 分母系数为

1.0000

2.1779 6.4969 10.9433 18.4504 24.3685 29.7427 31.3188 29.8701 25.3264 19.345 1

3.1767 8.0216

4.3268 2.0492 0.8398 0.2916 0.0830 0.0183 0.0028 0.0002

传递函数为

()()

12311231

0.0153+0.10920.4608 1.41371 2.1779 6.496910.9433z LP

LP

P z z z z z H P z z z H -------=

++++==

+++

+

3.程序实现

clc;

clear all

Ts=2;Fs=1/Ts;

Ap=2;As=62;

Wp=log(202)/32*pi;%通带截频

Ws=Wp+log10(202)/160*pi; %阻带截频

wp=2/Ts*tan(Wp/2)；

ws=2/Ts*tan(Ws/2)；

%用MTALAB算法设计切比雪夫II型低通模拟滤波器

[N,Wn]=cheb2ord(ws,wp,Ap,As,'s'); %估计滤波器的阶数N

wn1=Wn/pi;

[BT,AT]=cheby2(N,As,Wn,'s');%计算低通滤波器系统函数多项式系数[Z,P,K]=cheby2(N,Ap,Wn,'s');

[H,W]=zp2tf(Z,P,K);

%用双线性变换法将模拟滤波器sH转换成数字滤波器)

[num,den]=bilinear(BT,AT,Fs)%复变量映射s-z

disp('分子系数:');disp(num);

disp('分母系数:');disp(den);

%计算增益响应

w=linspace(0,pi,2048);

%w = 0:pi/255:pi;

h = freqz(num,den,w);

g =20*log10(abs(h)/max(abs(h))); %绘制增益响应

figure;

plot(w/pi,g);grid on;%绘制切比雪夫低通滤波器幅频特性

axis([0 1 -100 1]);

xlabel('\omega/\pi');

ylabel('增益/dB');

title('切比雪夫2型低通滤波器幅频响应曲线');

程序运行结果如图所示

图2.1程序结果图

3.数字滤波器的实现结构对其性能影响的分析

在理想状态下，对于同一个传递函数几乎对应着无数种等效结构，然而这些结构却并不一定都能实现。在无限参数字长的情况下，所有能实现传递函数的结构之间，其表现完全相同。

然而，在实际中，由于参数字长有限的限制，各实现结构的表现并不相同。下面我们就将对比直接型（包括直接I、II型）和级联型两种结构在本例中对性能指标的影响。

在MATLAB中可以利用FDATool工具箱构建不同类型的数字滤波器。第一种是直接型结构，第二种是级联结构建立数字滤波器。

直接型的实现结构流图如图3.1所示：

图3.1 直接型的结构流图

选择filter structure选项框中的 Direct-Form I选项，点击窗口下方的Import Filter按钮，构建直接型结构的切比雪夫Ⅱ型低通滤波器，结果如图3.2所示。

图3.2 直接I型切比雪夫滤波器

级联型实现结构如下：

图3.3 级联型的结构流图

选择Edit下拉菜单中点击 Convert to Second-order Sections选项，将构建好的Direct-Form 结构的切比雪夫II型IIR低通滤波器转换为级联滤波器，结果如图3.2所示。

图3.4 级联型切比雪夫滤波器

3.3 数字滤波器的实现结构对其性能影响的小结

表一直接型性能分析

分析：由表1可以看出，p ω减少0.0007rad π，s

ω

减少了0.0002rad π。通带

的幅频响应曲线更加陡峭，造成性能指标的误差很大，不能忽略。

表二级联型性能分析

(rad/sample π

分析：由表2可以看出，p ω下降了0.0013rad π， s

ω

下降了0.0012rad π。与

上面相比误差减小，级联结构造成性能指标误差较小。可能是阶数比较大的原因，他们之间的差别还不大。

我们知道，直接型对系数的敏感性较高，从而使得系统的频率响应对参数的变化也特别敏感，也就是对参数的有限字长运算过于灵敏，容易出现不稳定或产

生较大误差。而级联型的函数值的连接顺序具有较大的自由度，并且级联型滤波器每个二阶节系数单独控制一对零、极点，有利于控制频率响应；此外级联结构中后面的网络输出不会再流到前面，运算误差的积累相对直接型就小。

4. 数字滤波器的参数字长对其性能影响的分析

在实际的数字滤波器的设计中，由于计算机或DSP芯片等的字长和存储空间有限，所以也只能对设计参数取有限的字长进行设计。然而，如果字长太短，则设计的滤波器误差就会太大，造成滤波效果不佳。下面就将以上述性能指标为依据，初始设计的切比雪夫I型数字IIR低通滤波器为例，研究不同参数字长对性能指标的影响。并为合适参数字长探索规律。

将计算获得的低通数字滤波器的系数输入图所示的filter coefficients 工具中，并点击Import Filter按钮，生成数字滤波器。运用FDATOOL工具左下侧上数第三个的Set quantization parameters按钮，在filter arithmetic 下拉菜单下选择Fixed Point选项，进入如图4.1所示的界面。

图4.1 字长修改界面

4.1数字滤波器的实现结构一（直接型）参数字长及幅频响应特性变化

将coefficient word length的值改为10，点击下方的Apply按钮，此时设计的滤波器幅频响应曲线和性能指标如图4.2所示：

图中的虚线为供参考的理想字长下生成的滤波器的幅频响应曲线，图中实线为参数字长取为10位时的滤波器幅频响应曲线。从图中可以看出：字长为10位时，滤波器的各项性能指标离设计指标偏差很大，滤波器失真明显，滤波效果很差，远远不能满足设计指标的要求。

图4.2字长为10的滤波器（级直型）的幅频响应曲线对比将coefficient word length的值改为20，点击下方的Apply按钮，此时设计的滤波器幅频响应曲线和性能指标如图所示：

图4.3 字长为20的滤波器（直接型）的幅频响应曲线对比

字长为20时，效果还是很差，远不能满足要求。

将coefficient word length的值改为30，点击下方的Apply按钮，此时设计的滤波器幅频响应曲线和性能指标如图所示：

图4.4 字长为30的滤波器（直接型）的幅频响应曲线对比

字长为30时，效果好很多，但是还是不能满足要求。

将coefficient word length的值改为40，点击下方的Apply按钮，此时设计的滤波器幅频响应曲线和性能指标如图所示：

图4.5字长为40的滤波器（直接型）的幅频响应曲线对比

字长为40效果很好，滤波器幅频响应达到了期望。

4.2数字滤波器的实现结构二（级联型）参数字长及幅频特性变化

将coefficient word length的值改为5，点击下方的Apply按钮，此时设计的滤波器幅频响应曲线和性能指标如图所示：

图4.6字长为5的滤波器（级联型）的幅频响应曲线对比

图中的虚线为供参考的理想字长下生成的滤波器的幅频响应曲线，图中实线为参数字长取为5位时的滤波器幅频响应曲线。从图中可以看出：字长为5位时，滤波器的各项性能指标离设计指标偏差不是很大，滤波器在通带有衰减失真，滤波效果较差，不能满足设计指标的要求。

将coefficient word length的值改为10，点击下方的Apply按钮，此时设计的滤波器幅频响应曲线和性能指标如图所示：

图4.7字长为10的滤波器（级联型）的幅频响应曲线对比

字长为10的时候，滤波器已经满足要求，级联型字长为 10时，效果比直接型的滤波器的字长为30时的效果还要好。

4.3 数字滤波器的参数字长对其性能影响的小结

总结以上步骤发现：参数字长越长，设计出的滤波器就越符合设计指标要求，误差越小，稳定性越好。且当直接型的滤波器参数字长达到30位及以上时，设计的滤波器便可达到设计性能指标，级联型的滤波器参数字长达到10位及以上时，设计的滤波器便可达到设计性能指标。

5. 结论及体会

5.1 滤波器设计、分析结论

通过设计切比雪夫II型的IIR带阻滤波器，用直接型和级联型两种方法实现了滤波器的设计目的。通过两个滤波器的传递函数，可以看出两个都可以实现滤波效果，直接型比级联型的阶数低，滤波通带效果衰减没有后者好，而根据滤波延迟的原理来看，级联型又会造成更多的延迟和数据损失，所以两者各有利弊。另外通过不同字长的滤波器的幅频响应曲线得知，数字长越长，设计出的滤波器就越符合设计指标要求，误差越小，稳定性越好。

5.2 我的体会

开始做这个题目的时候，我一点想法都没有，查阅了很多资料，看了很多书籍，网上的博客也浏览了很多。通过了解基础概念，我懂得了模拟滤波器转换到数字滤波器的原理，知道了直接型和级联型的区别，知道了IIR滤波器有很多设计思路。通过学习matlab的基础操作和代码书写，以及老师以前在matlab课上所讲的内容，我很快就上手了，画出了低通图的那一刻，我兴奋极了，我按照步骤一步步实施，体会到了一种努力过的成就感，我觉得自己更自信了，从对matlab运用生疏到流畅使用matlab，我觉得这个努力没有白费，使用matlab 的过程中也遇到了很多困难，从对参数的不熟悉不理解，到修改界面上各种数据，浏览各项参数，我已经得心应手，其实做事就是这样，只要努力，就会有收获，就能比别人学到更多东西。

5.3 展望

我很期待未来能有更多实验课程，一边是锻炼了我们的动手能力，另外在实践中，我们也可以得到很多知识，通过自主查阅资料，我现在更加期待未来的学习。感谢老师辛勤的教导，我会在未来拥有更多的热情投入到学习中去。