辗转相除法与更相减损术同步练习
1.3.2 辗转相除法与更相减损术
思考2: 对于8251与6105这两个数，由于 思考 对于 与 这两个数 其公有的质因数较大，利用上述方法求 最大公约数就比较困难.注意到 最大公约数就比较困难 注意到 8251=6105×1+2146，那么 × ，那么8251与6105 与 这两个数的公约数和6105与2146的公约 这两个数的公约数和 与 的公约 数有什么关系？
98-63=35， 98-63=35， 63-35=28， 63-35=28， 35-28=7， 35-28=7， 28-7=21， 28-7=21， 21-7=14， 21-7=14， 14-7=7. 14-
“更相减损术 在中国古代数学专著《九 更相减损术”在中国古代数学专著 更相减损术 在中国古代数学专著《 章算术》中记述为： 章算术》中记述为： 可半者半之，不可半者，副置分母、 可半者半之，不可半者，副置分母、 子之数，以少减多，更相减损， 子之数，以少减多，更相减损，求其等 以等数约之. 也，以等数约之
98-63=35， 98-63=35， 63-35=28， 63-35=28， 35-28=7， 35-28=7， 28-7=21， 28-7=21， 21-7=14， 21-7=14，
知识探究（ 知识探究（二）:更相减损术
思考1:设两个正整数 思考 设两个正整数m>n，若m-n=k， 设两个正整数 ， ， 的最大公约数和n与 的最大公约 则m与n的最大公约数和 与k的最大公约 与 的最大公约数和 数相等.反复利用这个原理 数相等 反复利用这个原理，可求得98与 与 63的最大公约数为多少？ 的最大公约数为多少
三个数的最大公约数. 例2 求325，130，270三个数的最大公约数 ， ， 三个数的最大公约数
因为325=130×2+65，130=65×2，所 × 因为 ， × ， 的最大公约数是65. 以325与130的最大公约数是 与 的最大公约数是 因为270=65×4+10，65=10×6+5， × 因为 ， × ， 10=5×2，所以 与270最大公约数是 最大公约数是5. × ，所以65与 最大公约数是
1、3、1案例1辗转相除法与更相减损术学案(已修改)
1、3、1案例1辗转相除法与更相减损术讲义编写者：数学教师孟凡洲一、【学习目标】1、用辗转相除法求最大公约数.2、用更相减损术求最大公约数.【教学效果】：教学目标的给出有利于学生从整体上把握课堂.二、【自学内容和要求及自学过程】1、阅读教材34—35页内容，回答问题（辗转相除法）<1>怎样用短除法求最大公约数？<2>怎样用穷举法（也叫枚举法）求最大公约数？<3>什么叫做辗转相除法求最大公约数？结论：<1>求两个正整数的最大公约数的步骤：先用两个数公有的质因数连续去除，一直除到所得的商是两个互质数为止，然后把所有的质数连乘起来.<2>穷举法求两个正整数最大公约数的步骤：从两个数中较小数开始，由大到小列举，直到找到公约数立即停止列举，得到的公约数便是最大公约数.<3>辗转相除法求最大公约数，其算法步骤可以描述如下：第一步，给定两个正整数m，n.第二步，求余数r：计算m除以n，将所得余数存放到变量r中.第三步，更新被除数和余数：m=n，n=r.第四步，判断余数r是否为0.若余数为0，则输出结果，否则转向第二步继续循环执行.如此循环直到得到结果为止.这种算法是由欧几里得在公元前300年左右首先提出的，因此又叫做欧几里得算法.练习一：①用短除法求18和31的最大公约数.②用辗转相除法求8251与6105的最大公约数.③画出辗转相除法的程序框图，并写出程序.综合：请画出辗转相除法的程序和框图.【教学效果】：理解辗转相除法.2、阅读教材36—37页内容，回答问题（更相减损术）<4>怎样用更相减损术求最大公约数？结论：<4>《九章算术》是中国古代的数学专著，其中的更相减损术也可以用来求两个数的最大公约数，即“可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也.以等数约之.”其算法如下：第一步，任意更定两个正整数，判断它们是否都是偶数.若是，用2约减，若不是，则执行第二步.第二步，以较大的数减去较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数.继续这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数（等数）或这个数与约减的数的乘积就是最大公约数.练习二：用更相减损术求98与63的最大公约数.【教学效果】：理解更相减损术.思考：辗转相除法与更相减损术的区别与联系是什么？1o都是求最大公约数的方法，计算上辗转相除法以除法为主，更相减损术以减法为主，计算次数上辗转相除法计算次数相对较少，特别当两个数字大小区别较大时计算次数的区别较明显.2o从结果体现形式来看，辗转相除法体现结果是以相除余数为0则得到，而更相减损术则以减数与差相等而得到.三、【作业】1、必做题：分别用辗转相除法和更相减损术求261，319的最大公约数；2、选做题：理解教材例题，并把例题总结到笔记本上.四、【小结】本节课主要学习了更相减损术和辗转相除法.五、【教学反思】当我们的学生对知识流露出不会时，做老师的要更多的去找自己的原因，而不是学生的原因.六、【课后小练】1、用辗转相除法求下列各组数的最大公约数（1）225；135 （2）98；196 （3）72；168 （4）153；1192、思考：用求质因数的方法可否求上述4组数的最大公约数？可否利用求质因数的算法设计出程序框图及程序？若能，在电脑上测试自己的程序；若不能说明无法实现的理由.3、思考：利用辗转相除法是否可以求两数的最大公倍数？试设计程序框图并转换成程序在BASIC中实现.。
1.3《算法案例--辗转相除法与更相减损术》
结论： 8251和6105的公约数就是6105和2146的公约数，求8251和6105的最大公约数，只要求出6105和2146的公约数就可以了。
第二步 对6105和2146重复第一步的做法 6105=2146×2+1813 同理6105和2146的最大公约数也是2146和1813的最大公约数。
1813=333×5+148
333=148×2+37 148=37×4+0 显然37是148和37的最大公约数， 也就是8251和6105的最大公约 数
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一、辗转相除法（欧几里得算法） 算理：所谓辗转相除法，就是对于给定的两 个数，用较大的数除以较小的数。若余数不 为零，则将余数和较小的数构成新的一对数， 继续上面的除法，直到大数被小数整除，则 这时较小的数就是原来两个数的最大公约数。
解：由于63不是偶数，把98和63以大数减小数， 并辗转相减 98－63＝35 63－35＝28 35－28＝7 28－7＝21 21－7＝21 14－7＝7 所以，98和63的最大公约数等于7
练习： 课本p48 1（1）用更相减损术计算
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用更相减损术求294和84的最大公约数时， 需做减法的次数是( )
INPUT “a,b=“;a,b WHILE a<>b r=a-b IF b>r THEN a=b b=r ELSE a=r END IF WEND PRINT b END
开始
输入a,b
b=r
a=b 是 r<b? 否 a≠b? 否 是 r=a-b a=r
输出b
结束
1.3.1 辗转相除法和更相减损术
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开始 输入m，n INPUT m，n n>0
n=r m=n
求m除以n的余数r 是 n>0？ 否 输出m 结束
WHILE
r=m MOD n m=n n=r WEND PRINT END m
高效课堂
二、更相减损术 《九章算术》是中国古代的数学专著，其中的 “更相减损术”也可以用来求两个数的最大公约数， 即“可半者半之，不可半者，副置分母、子之数， 以少减多，更相减损，求其等也.以等数约之.” 意思是： 第一步：任意给定两个正整数，判断它们是否 都是偶数. 若是，用2约简；若不是，执行第二步. 第二步：以较大的数减去较小的数，接着把差 与较小的数比较，并以大数减小数.继续这个操作， 直到所得的数相等为止，则这个等数或这个数与约 简的数的乘积就是所求的最大公约数.
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例1：用更相减损术求98与63的最大公约数. 因为63不是偶数，所以
98-63=35， 63-35=28， 35-28=7，
28-7=21，
21-7=14， 14-7=7.
所以最大公约数是7.
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例2 分别用辗转相除法和更相减损术求168与93 的最大公约数.
辗转相除法： 168=93×1+75， 93=75×1+18， 75=18×4+3， 18=3×6.
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开始 输入m，n m≠n？ 是 k=m-n n>k？ 是 m=n n=k 否
m=k
否
输出m 结束 讨论:该程 序框图对应的程 序如何表述？
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开始 输入m，n m≠n？ 是 k=m-n n>k？ 是 m=n n=k 否
m=k 否
输出m 结束
INPUT m，n WHILE m≠n k=m-n IF n>k THEN m=n n=k ELSE m=k END IF WEND
辗转相除法和更相减损术
2、步骤： （以求 、步骤： 以求8251和6105的最大公约数的过程为例） 的最大公约数的过程为例） 和 的最大公约数的过程为例
用两数中较大的数除以较小的数， 第一步 用两数中较大的数除以较小的数，求得商和余数 8251=6105×1+2146 × 结论： 的公约数也是8251 和6105 的公约数， 的公约数， 结论： 6105 和2146的公约数也是 的公约数也是 反过来， 的公约数也是6105 和2146的公约 反过来， 8251 和6105 的公约数也是 的公约 数； 所以，求8251和6105的最大公约数，只要求出 的最大公约数， 所以， 和 的最大公约数 只要求出6105和 和 2146的公约数就可以了。 的公约数就可以了。 的公约数就可以了 第二步 对6105和2146重复第一步的做法 和 重复第一步的做法 6105=2146×2+1813 × 同理6105和2146的最大公约数也是 的最大公约数也是2146和1813的最大 同理 和 的最大公约数也是 和 的最大 公约数。 公约数。
(1)、算法步骤： (1)、算法步骤： 第一步：输入两个正整数 第一步：输入两个正整数m,n(m>n). 第二步：计算 除以 所得的余数r. 除以n所得的余数 第二步：计算m除以 所得的余数 第三步： 第三步：m=n,=r. 第四步：若r＝0,则m,n的最大公约数等于 ； 第四步： ＝ 则 的最大公约数等于m； 的最大公约数等于 否则转到第二步. 否则转到第二步 第五步：输出最大公约数 第五步：输出最大公约数m.
二、更相减损术
1、背景介绍：
（1）、《九章算术》中的更相减损术： 可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多， 可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多， 更相减损，求其等也，以等数约之。 更相减损，求其等也，以等数约之。 （2）、翻译为现代语言如下： 第一步：任意给定两个正整数；判断他们是否都是偶数。 第一步：任意给定两个正整数；判断他们是否都是偶数。 若是，则用2约简 若不是则执行第二步。 约简； 若是，则用 约简；若不是则执行第二步。 第二步：以较大的数减较小的数，接着把所得的差与较小 第二步：以较大的数减较小的数， 的数比较，并以大数减小数。继续这个操作， 的数比较，并以大数减小数。继续这个操作，直到所得的 减数和差相等为止，则这个等数就是所求的最大公约数。 减数和差相等为止，则这个等数就是所求的最大公约数。
有关辗转相除法和更相减损术的问题模板.ppt
练习:用更相减损术求两个正整数m，n的最大公 约数，可以用什么逻辑结构来构造算法？其算法步骤 如何设计？
第一步，给定两个正整数m，n(m>n).
第二步，计算m-n所得的差k.
第三步，比较n与k的大小，其中大者用m表示， 小者用n表示.
第四步，若m=n，则m，n的最大公约数等于m； 否则，返回第二步.
有关辗转相除法和更相减损术的问题
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1
探究一,辗转相除法
思考1:在小学中我们是如何求出两个正整数的最大公约数的 呢?
算法案例之求最大公约数
例、求18与24的最大公约数：
解：2 1 8 2 4 用公有质因数2除， 3 9 1 2 用公有质因数3除， 3 4 3和4互质不除了。
得：18和24最大公约数是：2×3＝6
讨论:该算法的程序框图如何表示？
最新.课件
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开始 输入m，n
m=k 否
m≠n？ 否 是
k=m-n
n>k？ 是
m=n
n=k
最新.课件
输出m
结束
讨论:该程 序框图对应的程 序如何表述？
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开始
INPUT m，n
输入m，n
m=k 否
m≠n？ 是
k=m-n
n>k？ 是
m=n
否
输出m 结束
WHILE m≠n k=m-n
WEND PRINT m END
结束
Hale Waihona Puke 最新.课件9练习：用辗转相除法求下列两数的最大公约数： （1）（225，135） 45 （2）（98，196） 98 （3）（72，168） 24 （4）（153，119） 17
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必修3-1-8 辗转相除法与更相减损术
18 30 2 9 15 3 3 5 辗转相除法与更相减损术编号:必修3-1-8 内容: P 34～37学习目标：理解辗转相除法和更相减损术,能够利用辗转相除法和更相减损术求两个数的最大公约数,通过辗转相除法和更相减损术案例,进一步体会算法思想.学习重点：辗转相除法(欧几里德算法),更相减损术.导学过程:一.动手实践: 例1 例1.求18和30的最大公约数.解法一:(分解质因数)18=2×9=2×3×3, 30=5×6=5×2×3, ∴18和30的最大公约数为 gcd(18,30)=2×3=6.解法二:(短除法:先用两个数公有的质因数连续去除,一直除到所得的商是互质数为止,然后把所有的除数连乘起来即为最大公约数.)∴18和30的最大公约数为 gcd(18,30)=2×3=6.二.自主学习: P 34-35三.深入理解: P 34-35 辗转相除法1.带余除法: 被除数=除数×商＋余数 即m =n ×q ＋r ,(0≤r ＜n )结论:如果n 和r 的最大公约数为x ,那么x 一定也是m 的约数.故n ,r 的最大公约数也是m ,n 的最大公约数.例如: 48=6×7＋6, 42与6的最大公约数6也是48的约数,48=42＋6, 即 gcd(48,42)=gcd(42,6)=6.2.辗转相除法:被除数和除数的最大公约数也是除数和余数的最大公约数.即gcd(m ,n )=gcd(n ,r )四.模仿学习:例2.用辗转相除法求下列两个数的最大公约数:(1)225与135;解: 225=135×1＋90, 135=90×1＋45, 90=45×2＋0,∴ gcd(225,135)=gcd(135,90)=gcd(90,45)=45注意:用较大的整数除以较小的整数,直到余数为0.(2)72与168;解: 168=72×2＋24, 72=24×3＋0,∴ gcd(72,168)=gcd(72,24)=24(3)119与153.解: 153=119×1＋34, 119=34×3＋17,34=17×2＋0,∴ gcd(119,153)=gcd(119,34)=gcd(34,17)=17上述求两个正整数的最大公约数的方法称为辗转相除法或欧几里得算法.五.合作学习: P 35思考 (不讲,可以自学)思考:你能把辗转相除法求两个正整数m ,n 的最大公约数编成一个计算机程序吗? 算法:(见ppt) 程序框图: (见ppt) 程序: (见ppt)六.合作学习: P36思考 (不讲,可以自学)思考:你能用当型循环结构构造算法,求两个正整数m,n的最大公约数?试写出算法步骤、程序框图和程序.程序框图: (见ppt) 程序: (见ppt)。
小升初奥数辗转相除法
辗转相除法与更相减损术辗转相除法：又叫欧几里得算法，是一种求两个正整数的最大公因数的古老有效的算法。
更相减损法：我国古代数学专著《九章算术》中介绍的一种求两个正整数的最大公约数算法。
名称辗转相除法更相减损术区别①以除法为主②两个整数差值较大时运算次数较少③相除余数为零时得结果①以减法为主②两个整数的差值较大时，运算次数较多③相减，两数相等时得结果④相减前要做是否都是偶数的判断。
联系①都是求最大公因数的方法②都是递归的思想③都要用循环结构来实现一.辗转相除法例1 。
求两个正数8251和6105的最大公因数。
（分析：辗转相除→余数为零→得到结果）解：8251＝6105×1＋2146显然8251与6105的最大公因数也必是2146的因数，同样6105与2146的公因数也必是8251的因数，所以8251与6105的最大公因数也是6105与2146的最大公因数。
6105＝2146×2＋18132146＝1813×1＋3331813＝333×5＋148333＝148×2＋37148＝37×4＋0则37为8251与6105的最大公因数。
以上我们求最大公因数的方法就是辗转相除法。
也叫欧几里德算法，它是由欧几里德在公元前300年左右首先提出的。
1．为什么用这个算法能得到两个数的最大公因数？利用辗转相除法求最大公因数的步骤如下：第一步：用较大的数m除以较小的数n得到一个商q0和一个余数r0；第二步：若r0＝0，则n为m，n的最大公因数；若r0≠0，则用除数n除以余数r0得到一个商q1和一个余数r1；第三步：若r1＝0，则r1为m，n的最大公因数；若r1≠0，则用除数r0除以余数r1得到一个商q2和一个余数r2；……依次计算直至r n＝0，此时所得到的r n－1即为所求的最大公因数。
我国早期也有解决求最大公因数问题的算法，就是更相减损术。
更相减损术求最大公因数的步骤如下：可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数因之。
1.3算法案例第一课时 辗转相除法与更相减损术
1．3 算法案例第一课时辗转相除法与更相减损术学习目标弄清算法原理，掌握算法程序，经历算法设计过程，体会算法设计的关键环节，领悟算法思想．重点：算法案例的原理、算法设计及算法思想的体会．难点：理解算法案例的内容及具体算法设计的关键步骤．一、课前自主预习1．用两数中的数减去的数，再用构成新的一对数，再用减，以同样的操作一直做下去，直到所得的两数相等为止，这个数就是这两个数的最大公约数．这个方法称作“更相减损术”，用它编写的算法称作“等值算法”．2．古希腊求两个正整数的最大公约数的方法是：用除以所得的和构成新的一对数，继续做上面的除法，直到大数被小数除尽，这个较小的数就是最大公约数．据此编写的算法，也称作“欧几里得算法”．3．对于正整数m与n(m>n)，总能找到整数q和r(0≤r<n)使得m＝nq＋r成立，这个除法称为带余除法．通常记r＝m MOD n.二、思路方法技巧[例1] 用辗转相除法和更相减损术两种方法求80和36的最大公约数．跟踪练习1(1)用辗转相除法求288与123的最大公约数．(2)用更相减损术求57与93的最大公约数．(3)求567与405的最小公倍数．[例2] 求324,243和135的最大公约数．随堂应用练习1．在对16和12求最大公约数时，整个操作如下：(16,12)―→(4,12)―→(4,8)―→(4,4)，由此可以看出12和16的最大公约数是________．2．1443与999的最大公约数是________．3．运算速度快是计算机一个很重要的特点，而算法好坏的一个重要标志是________．4．2004与4509的最大公约数为________．5．写出从键盘任意输入两个正整数a，b，输出这两个数的最小公倍数的算法，画出程序框图，写出算法语句．。
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辗转相除法与更相减损术练习题
1．下列有关辗转相除法的说法正确的是( )
A．它和更相减损术一样是求多项式值的一种方法
B．基本步骤是用较大的数m除以较小的数n得到除式m＝nq＋r，直至r
D．以上说法均不正确
2．在m＝nq＋r(0≤r
C．一定不是 D．不能确定
3．如图所示的程序表示的算法是( )
INPUT m，n
DO
r＝m MOD n
m＝n
n＝r
LOOP UNTIL r＝0
PRINT m
END
A．交换m、n的值 B．辗转相除法
C．更相减损术 D．秦九韶算法
4．用辗转相除法求294和84的最大公约数时，需要做除法的次数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
5．运行下面的程序，当输入n＝840和m＝1764时，输出结果是( )
INPUT m，n
DO
r＝m MOD n
m＝n
n＝r
LOOP UNTIL r＝0
PRINT m
END
A．84 B．12 C．168 D．252
6．用更相减损术，求105与30的最大公约数时，需要做减法的次数是( )
A．2 B．3 C．4 D．5
7．930与868的最大公约数是________．
8．阅读程序：
INPUT “m，n＝”；m，n
IF n>m THEN
t＝m
m＝n
n＝t
END IF
DO
r＝m MOD n
m＝n
n＝r
LOOP UNTIL r＝0
PRINT m
END
若INPUT语句中输入m，n的数据分别是72,168，则程序运行的结果为
9．(1)用辗转相除法求840与1764的最大公约数．
(2)用更相减损术求459与357的最大公约数．
10．有甲、乙、丙三种溶液分别重147 g,343 g,133 g，现要将它们分别全部装入小瓶中，
每个小瓶装入液体的质量相同，则每瓶最多装多少溶液？
辗转相除法与更相减损术练习题答案
1．下列有关辗转相除法的说法正确的是( )
A．它和更相减损术一样是求多项式值的一种方法
B．基本步骤是用较大的数m除以较小的数n得到除式m＝nq＋r，直至r
D．以上说法均不正确
[答案] C
2．在m＝nq＋r(0≤r
C．一定不是 D．不能确定
[答案] A
[解析] k是n，r的公约数，则n＝kk1，r＝kk2，m＝nq＋r＝kk1q＋kk2＝(k1q＋k2)k，所
以k是(k1q＋k2)k与kk1的公约数，即k一定是m，n的公约数．
3．如图所示的程序表示的算法是( )
INPUT m，n
DO
r＝m MOD n
m＝n
n＝r
LOOP UNTIL r＝0
PRINT m
END
A．交换m、n的值 B．辗转相除法
C．更相减损术 D．秦九韶算法
[答案] B
4．用辗转相除法求294和84的最大公约数时，需要做除法的次数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
[答案] B
[解析] ∵294＝84×3＋42,84＝42×2，∴选B.
5．运行下面的程序，当输入n＝840和m＝1764时，输出结果是( )
INPUT m，n
DO
r＝m MOD n
m＝n
n＝r
LOOP UNTIL r＝0
PRINT m
END
A．84 B．12 C．168 D．252
[答案] A
[解析] ∵1764＝840×2＋84,840＝84×10，
∴1764与840的最大公约数为84.
6．用更相减损术，求105与30的最大公约数时，需要做减法的次数是( )
A．2 B．3 C．4 D．5
[答案] C
[解析] 105－30＝75,75－30＝45,45－30＝15,30－15＝15.
7．930与868的最大公约数是________．
[答案] 62
[解析] ∵930＝868×1＋62
868＝62×14
∴930与868的最大公约数为62.
8．阅读程序：
INPUT “m，n＝”；m，n
IF n>m THEN
t＝m
m＝n
n＝t
END IF
DO
r＝m MOD n
m＝n
n＝r
LOOP UNTIL r＝0
PRINT m
END
若INPUT语句中输入m，n的数据分别是72,168，则程序运行的结果为________．
[答案] 24
[解析] 该程序是用辗转相除法求两个数的最大公约数的算法程序，输入72,168，即求
它们的最大公约数，可求出它们的最大公约数为24.
9．(1)用辗转相除法求840与1764的最大公约数．
(2)用更相减损术求459与357的最大公约数．
[解析] (1)1746＝840×2＋84
840＝84×10＋0
所以840与1764的最大公约数为84.
(2)459－357＝102
357－102＝255
255－102＝153
153－102＝51
102－51＝51
所以459与357的最大公约数为51.
10．有甲、乙、丙三种溶液分别重147 g,343 g,133 g，现要将它们分别全部装入小瓶中，
每个小瓶装入液体的质量相同，则每瓶最多装多少溶液？
[解析] 每个小瓶的溶液的质量应是三种溶液质量147,343,133的公约数，最大质量即
是其最大公约数．
先求147与343的最大公约数：
343－147＝196，
196－147＝49，
147－49＝98.
98－49＝49.
所以147与343的最大公约数是49.
再求49与133的最大公约数：
133－49＝84，
84－39＝35，
49－35＝14，
35－14＝21，
21－14＝7，
14－7＝7，所以49与133的最大公约数为7，
所以147,343,133的最大公约数为7.
即每瓶最多装7 g溶液．