24空间直角坐标系与空间两点的距离公式

2.4. 空间直角坐标系与空间两点的距离公式课程学习目标［课程目标］目标重点：空间直角坐标系和点在空间直角坐标系中的坐标及空间两点距离公式. 目标难点：确定点在空间直角坐标系中的坐标，以及空间距离公式的推导.［学法关键］1．在平面直角坐标系中，过一点作一条轴的平行线交另一条轴于一点，交点在这个轴上的坐标，就是已知点相应的一个坐标，类似地，在空间直角坐标系中，过一点作两条轴确定的平面的平行平面交另一条轴于一点，交点在这条轴上的坐标就是已知点的一个相应的坐标.2．通过类比平面内两点间的距离公式来理解空间两点的距离公式研习点1．空间直角坐标系为了确定空间点的位置，我们在空间中取一点O作为原点，过O点作三条两两垂直的数轴，通常用x、y、z表示. 轴的方向通常这样选择：从z轴的正方向看，x 轴的半轴沿逆时针方向转90°能与y轴的半轴重合. 这时，我们在空间建立了一个直角坐标系O－xyz，O叫做坐标原点.如何理解空间直角坐标系？1．三条坐标轴两两垂直是建立空间直角坐标系的基础；2．在空间直角坐标系中三条轴两两垂直，轴的方向通常这样选择：从z轴的正方向看，x轴的半轴沿逆时针方向转90°能与y轴的半轴重合；3．如果让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，那么称这个坐标系为右手直角坐标系，一般情况下，建立的坐标系都是右手直角坐标系；4．在平面上画空间直角坐标系O－xyz时，一般情况下使∠xOy=135°，∠yOz=90°.研习点2．空间点的坐标1．点P的x坐标：过点P作一个平面平行于平面yOz，这样构造的平面同样垂直于x轴，这个平面与x轴的交点记为P x，它在x轴上的坐标为x，这个数x就叫做点P的x坐标；2．点P的y坐标：过点P作一个平面平行于平面xOz，这样构造的平面同样垂直于y轴，这个平面与y轴的交点记为P y，它在y轴上的坐标为y，这个数y就叫做点P的y坐标；3．点P的z坐标：过点P作一个平面平行于平面xOy，这样构造的平面同样垂直于z轴，这个平面与z轴的交点记为P z，它在z轴上的坐标为z，这个数z就叫做点P的z坐标；这样，我们对空间的一个点，定义了一组三个有序数作为它的坐标，记做P(x，y，z)，其中x，y，z也可称为点P的坐标分量.已知数组(x，y，z)，如何作出该点？对于任意三个实数的有序数组(x，y，z)：（1）在坐标轴上分别作出点P x，P y，P z，使它们在x轴、y轴、z轴上的坐标分别是x、y、z；（2）再分别通过这些点作平面平行于平面yOz、xOz、xOy，这三个平面的交点就是所求的点.研习点3．空间点的坐标1．在空间直角坐标系中，每两条轴分别确定的平面xOy、yOz、xOz叫做坐标平面；2．坐标平面上点的坐标的特征：xOy平面（通过x轴和y轴的平面）是坐标形如（x，y，0）的点构成的点集，其中x、y为任意实数yOz平面（通过y轴和z轴的平面）是坐标形如（0，y，z）的点构成的点集，其中y、z为任意实数；xOz平面（通过x轴和z轴的平面）是坐标形如（x，0，z）的点构成的点集，其中x、z为任意实数；3．坐标轴上点的特征：x轴是坐标形如（x，0，0）的点构成的点集，其中x为任意实数；y轴是坐标形如（0，y，0）的点构成的点集，其中y为任意实数；z轴是坐标形如（0，0，z）的点构成的点集，其中z为任意实数。

研习点4．卦限在空间直角坐标系中，三个坐标平面把空间分成八部分，每一部分称为一个卦限；在坐标平面xOy上方的四个象限对应的卦限称为第I、第II、第III、第IV卦限；在下面的卦限称为第V、第VI、第VII、第VIII卦限；在每个卦限内，点的坐标的各分量的符号是不变的，例如在第I卦限，三个坐标分量x、y、z都为正数；在第II卦限，x为负数，y、z均为正数；八个卦限中点的坐标符号分别为：I：（+ ，+ ，+ ）；II：（－，+ ，+ ）；III：（－，－，+ ）；IV：（+ ，－，+ ）；V：（+ ，+ ，－）；VI：（－，+ ，－）；VII：（－，－，－）；VIII：（+ ，－，－）；研习点5．空间两点间的距离公式空间两点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2) 的距离公式是(,)d A B=，特别地，点A(x，y，z)到原点的距离公式为(,)d O A=题型1．确定空间任一点的坐标例1．正方体的棱长为2，求各顶点的坐标.解：由图可知，正方体的各个顶点的坐标如下A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，A1(0，0，2)，B1(2，0，2)，C1(2，2，2)，D1(0，2，2)，题型2．空间中点的对称问题例2．在空间直角坐标系中，写出点P(x，y，z)的对称点的坐标%（1）关于x轴的对称点是P1；（2）关于y轴的对称点是P2；（3）关于z轴的对称点是P3；（4）关于原点的对称点是P4；（5）关于xOy坐标平面的对称点是P5；；（6）关于yOz坐标平面的对称点是P6；（7）关于xOz坐标平面的对称点是P7.解：（1）P1(x，－y，－z)；（2）P2(－x，y，－z)；（3）P3(－x，－y，z)；（4）P4(－x，－y，－z)；（5）P5(x，y，－z)；（6）P6(－x，y，z)；（7）P7(x，－y，z)；此题要类比平面直角坐标系弄清楚对称关系，而不是死记硬背，要掌握对称点的坐标的变化规律，来帮助记忆题型3．求两点间的距离例3．（1）点P到原点的距离是（A（B）1 （C（D（2）134123(,,),(,,)3456310A B-两点间的距离是.【研析】（1）点P到原点的距离是||1OP==，选B.（2）由两点间的距离公式得||AB==.【教考动向·演练】1．有下列叙述：①在空间直角坐标系中，在Ox轴上的点的坐标一定是（0，b，0）；②在空间直角坐标系中，在yOz平面上点的坐标一定可以写成（0，b，c）；③在空间直角坐标系中，在Oz轴上的点的坐标可记为（0，0，c）；④在空间直角坐标系中，在xOz 平面上点的坐标可写为（a ，0，c ）.其中正确的叙述的个数是（ C ）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）42．点A (－3，1，5)，点B (4，3，1)的中点坐标是（ B ）（A ）7(,1,2)2 （B ）1(,2,3)2 （C ）(－12，3，5) （D ）14(,,2)333．点B 是点A (1，2，3)在坐标平面yOz 内的射影，则|OB |等于（ B ）（A （B （C ） （D4．到定点(1，0，0)的距离小于或等于1的点的集合是（ A ）（A ）{(x ，y ，z )| (x －1)2+y 2+z 2≤1} （B ）{(x ，y ，z )| (x －1)2+y 2+z 2=1}（C ）{(x ，y ，z )| x 2+y 2+z 2≤2} （D ）{(x ，y ，z )| x 2+y 2+z 2≤1}5．Rt △ABC 中，∠BAC =90°，A (2，1，1)，B (1，1，2)，C (x ，0，1)，则x = 2 .6．若点P (x ，y ，z )到A (1，0，1)，B (2，1，0)两点的距离相等，则x 、y 、z 满足的关系式是 . (2x +2y －2z －3=0)7．证明：以A (4，3，1)，B (7，1，2)，C (5，2，3)为顶点的△ABC 是等腰三角形例4． 已知长方体ABCD －A 1B 1C 1D 2的边长为AB =14，AD =6，AA 1=10，（1）以这个长方体的顶点A 为坐标原点，以射线AB 、AD 、AA 1分别为Ox 、Oy 、Oz 轴的正半轴，建立空间直角坐标系，求长方体各顶点的坐标；（2）以C 点为原点，以射线BC 、CD 、CC 1的方向分别为Ox 、Oy 、Oz 轴的正方向，建立空间直角坐标系，求长方体各顶点的坐标；【探究】根据题目要求画出图形，建立空间直角坐标系后写出各顶点的坐标。

解：（1）如图1，A (0，0，0)，B (14，0，0)，C (14，6，0)，D (0，6，0)，A 1(0，0，10)，B 1(14，0，10)，C 1(14，6，10)，D 1(0，6，10)，（2）如图2，A (－6，14，0)，B (－6，0，0)，C (0，0，0)，D (0，14，0)，A 1(－6，14，10)，B 1(－6，0，10)，C 1(0，0，10)，D 1(0，14，10)，例5．在坐标平面xOy 上求一点P ，使点P 到A (3，1，5)与B (3，5，2)的距离相等’解：设P (x ，y ，0)，∵ |PA |=|PB |，∴ (x －3)2+(y －1)2+25=(x －3)2+(y －5)2+4 ，整理得，－2y +26=－10y +29，∴ 8y =3，即y =83, ∴点P 的坐标为(x ，83，0).例6．如图，在空间直角坐标系中，BC =4，原点O 是BC的中点，点A 的坐标是(23，21，0)，点D 在平面yOz 上，且∠BDC =90°，∠DCB =30°.（1）求AD 的长度；（2）求∠DAC 的余弦值的大小’解：（1）由题意得B (0，－2，0)，C (0，2，0)，设D (0，y ，z )，∵ 在Rt △BDC 中，∠DCB =30°，∴ BD =2，CD =23， ∴ (y +2)2+z 2=4，(y －2)2+z 2=12，∴ y =－1，z =3，∴ D (0，－1，3)，|AD =（2） 在△ACD 中，由（1）知AD =6，又AC =CD =23，∴ cos ∠DAC4=-，即∠DAC 的余弦值等于4-。

【教考动向·演练】9．点P (x ，y ，z )2=，则点P 在（ C ）（A ）以点(1，1，－1)为球心以2为半径的球面上（B ）以点(1，1，－1)为中心以2为棱长的正方体内（C ）以点(1，1，－1)为球心以2为半径的球面上（D ）无法确定10．空间内三点满足d (A ，B )=d (A ，C )=d (B ，C )，则（ A ）（A ）三点A 、B 、C 构成等边三角形（B ）三点A 、B 、C 不能是正方体的三个顶点（C ）三点A 、B 、C 在空间内构不成任何平面图形（D ）以上结论都不对11．已知点P 在z 轴上满足d (P ，O )=1（O 是坐标原点），则点P 到点A (1，1，1)的距离是 。

2或612．正方体不在同一平面上的两个顶点的坐标分别为A (－1，2，－1)，B (3，－2，3)，则正方体的棱长为 。

4。