第2讲 数轴
2021-2022学年人教版小升初数学讲义第2讲《数轴和相反数》
第二讲 数轴和相反数知识 1.掌握数轴的三要素和画法；2.掌握相反数的定义.方法 1.掌握数轴上的点之间的距离的求法；2.掌握数轴上两点中点的求法；3.掌握相反数的运用.1.数轴的三要素是指____________，____________，____________.2.只有____________不同的两个数，我们称它们互为相反数。
3.正数的相反数是____________，负数的相反数是____________，零的相反数是____________.4.互为相反数的两个数分别在原点的____________，并且到原点的____________相等.【注意】：相反数等于它本身的数是_________.下列说法正确的是（ ）A ．有原点、正方向的直线是数轴B ．数轴上两个不同的点可以表示同一个有理数01课堂目标02知识梳理03例题精析数轴的认识题型一 例1C．有些有理数不能在数轴上表示出来D．任何一个有理数都可以用数轴上的点表示数轴上原点及原点右边的点表示的数是（）A．正数B．负数C．非负数D．非正数数轴上原点及原点左边的点表示的数是（）A．正数B．负数C．非负数D．非正数数轴上A，B两点对应的有理数分别是23和313，则A，B之间的整数有（）A．4个B．5个C．6个D．7个有有有a有b有有有有有有有有有有有有有a有b有有有有a_____b有有理数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（）A．a＞-3 B．a＞b C．ab＞0 D．-a＞c在数轴上表示-3的点与表示2的点之间的距离是（）A．-5B．5C．0D．-1例2变式1例3例4变式2数轴的应用题型二例1【方法总结】数轴上计算两点之间的距离的方法是____________________________.数轴上表示5和-1的点之间的距离是.数轴上点M到原点的距离是5，则点M表示的数是（）A．5B．-5C．5或-5D．不能确定数轴上与+2的点距离3个单位长度的点有个，它们分别是.数轴上与原点距离是5的点有个，表示的数是.在数轴上与表示数4的点距离2个单位长度的点表示的数是（）A．-2B．2C．6D．2或6在数轴上，到表示-5的点的距离等于5个单位的点所表示的数是（）A．10B．-10C．0或-10D．-10或10数轴上点A和点B表示的数分别是-1和3，点P到A、B两点的距离之和为6，则点P表示的数是（）A．-3B．-3或5C．-2D．-2或4数轴上点M与点N表示的数分别是5和-2，点P到点M、N两点的距离之和为10，则点P所在的点表示的数是.数轴上点A表示的数是a，点B表示的数是b，则A、B两点的距离是，A、B两点的变式1例2例3变式2变式3变式4例4变式5例5中点是．若a=2，b=-4，那么A、B两点的中点是.数轴上有A、B、C三点，A、B两点所表示的数如图所示，若BC=2，则C点表示的数是，AC的中点所表示的数是.如下图所示，A、B两点的距离是，A、B的中点所表示的数是.一只蚂蚁沿数轴从点A向右爬5个单位长度到达点B，点B表示的数是-2，则点A所表示的数是（）A．5B．3C．-3D．-7如图，在数轴上，点A表示的数是-2，将点A沿数轴正方向向右移动4个单位长度得到点P，则点P表示的数是（）A．4B．3C．2D．-2在数轴上，点A表示-2，从A点出发，沿数轴向右移动3个单位长度到达B点，则点B表示的【方法总结】数轴上计算两点中点的方法是____________________________.例6变式6数轴上的动点问题题型三例1【方法总结】右+左-.例2变式1数是 . 数轴上一动点A 向左移动3个单位长度到达点B ，再向右移动6个单位长度到达点C ，若C 表示的数为3，则点A 表示的数为（ ）A ．6B ．0C ．-6D ．-2下列说法正确的是（ ）A ．符号相反的两个数互为相反数B ．一个数的相反数一定是正数C ．一个数的相反数一定比这个数本身小D ．一个数的相反数的相反数等于原数+5的相反数是_______；_______的相反数是-2.3；531-与_______互为相反数. 如果一个数与-2021互为相反数，那么这个数是 .下列各数中，3的相反数的倒数是（ ）A ．3B ．-3C ．31D ．31-若a 、b 互为相反数，则a +b -2的值为 .有理数a 向左移动4个单位得到a 的相反数，则a 的值是 .变式2 相反数的定义题型四 例1 例2 变式1 变式2 相反数的应用题型五 例1 例2若a，b互为相反数，则a（a+b）的值为.如图所示，已知A，B，C，D四个点在一条没有标明原点的数轴上．（1）若点A和点C表示的数互为相反数，则原点为_______；（2）若点B和点D表示的数互为相反数，则原点为_______；（3）若点A和点D表示的数互为相反数，则在数轴上表示出原点O的位置．如图，图中数轴的单位长度为1．请回答下列问题：（1）如果点A、B表示的数是互为相反数，那么点C表示的数是多少？（2）如果点D、B表示的数是互为相反数，那么点C、D表示的数是多少？第二讲数轴和相反数作业1.下列说法中错误的是（）变式1例3变式2作业一数轴的认识及应用A．规定了原点、正方向和长度的直线叫数轴B．数轴上的原点表示数零C．在数轴上表示的数，右边的数总比左边的数大D．所有的有理数都可以用数轴上的点表示2.如图，数轴上被墨水遮盖的数可能是（）A．-3.2B．-3C．-2D．-0.53.如图，数轴上蚂蚁所在点表示的数可能为（）A．3B．0C．-1D．-24.如图，在数轴上，注明了四段的范围，若某段上有两个整数，则这段是（）A．段①B．段②C．段③D．段④5.数轴上表示-6和4的点分别是A和B，则线段AB的长度是（）A．-2B．2C．-10D．106.如图所示，A，B两点在数轴上，点A对应的数为2．若线段AB的长为3，则点B对应的数为（）A．-1B．-2C．-3D．-47.在数轴上距离原点6个单位长度的点所表示的数是（）A ．6B ．-6C ．6或-6D ．3或-38.在数轴上与表示-3的点的距离等于5的点所表示的数是__________.9.在数轴上，到表示-5的点的距离等于5个单位的点所表示的数是__________.10.数轴上有A 、B 、C 三点，A 、B 两点所表示的数分别为0和6，若BC=4，则AC 的中点所表示的数是_______. 11.已知A ，B 是数轴上两点，点A 在原点左侧且距原点20个单位，点B 在原点右侧且距原点100个单位．（1）点A 表示的数是：_______；点B 表示的数是：_______．（2）A ，B 两点间的距离是_______个单位，线段AB 中点表示的数是_______．1..若一个点在数轴上从原点处向左移动3个单位长度，再向右移动5个单位长度，此时终点所表示的数是________.2.数轴上点A 表示的数是-3，将点A 在数轴上平移7个单位长度得到点B ，则平移后点B 表示的数是________.3.点A 在数轴上距离原点3个单位长度，将A 向右移动4个单位长度，再向左移动7个单位长度，此时点A 表示的数是________.1.下面说法正确的是（ ）A ．0没有相反数B ．符号相反的数互为相反数C ．一个数和它的相反数可能相等D ．正数与负数互为相反数 2.20211的相反数为（ ） A ．2021 B ．2021- C ．20211 D ．20211- 3.)6(--的相反数是（ ）作业二 数轴的动点问题 作业三 相反数的定义A．61-B．61C．6-D．64.下列各组数中，互为相反数的是（）A．-5与-（+5）B．-8与-（-8）C．+（-8）与-（+8）D．8与-（-8）5.相反数等于它本身的数是______.1.若a、b互为相反数，则_________.2.若a、b互为相反数，则2（a+b）-3的值为（）A．-1B．-3C．1D．23.有理数a，b在数轴上的位置如图所示．（1）在数轴上分别用A、B两点表示-a，-b．（2）若数b与-b表示的点相距20个单位长度，则b与-b表示的数分别是什么？（3）在（2）的条件下，若数a表示的点与数b的相反数表示的点相距5个单位长度，则a与-a表示的数是多少？作业四相反数的应用。
数学《数轴》教学设计
（教学设计）四、解决问题，拓展创新五、梳理归纳，小结作业可能产生诸多问题，比如，数轴一定是水平放置的吗?原点一定在最中间吗?单位长度究竞是什么样的长度?数轴可以画为射线吗?例1如图：（1）指出数轴上点A、B、C各表示什么数？（2）请在上图中找出表示25，-4，-25的点1.下图中所画的数轴，正确的是（）2、画出数轴并标出表示下列各数的点.-312，4，2．5，0，1，7，-5．3．如图所示，在数轴上有A、B、C三个点，请回答:（1）将A点向右移动3个单位长度，C点向左移动5个单位长度，它们各自表示新的什么数？（2）移动A、B、C中的两个点，使得三个点表示的数相同，有几种移动方法？然后学生进行交流，总结出数轴的规范画法。
6分钟时间，学生独立完成第三题，略有难度，教师可以进行适当提示。
例1在设置顺序上先“形”后“数”，后“数”到“形”，先整数后分数，体现出由易到难，由特殊到一般，符合学生的认知规律，进一步突出重点，同时对学生改进学习方法，发展个性特长，提高探究能力都有很大的促进作用。
此组练习的目的是巩固数轴的概念。
会说出数轴上的已知点表示的数，能够将已知数在数轴上表示出来，这是本节课要求学生掌握的最基本的技能，也是以后继续学习坐标系的基础。
让学生通过练习数与形之间的对应关系，感受数学直观与抽象之间的联系。
-121-2A-121C21543B-121D。
北师大版七上数学2.2《数轴》知识点精讲
知识点总结数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴(画数轴时，要注意上述规定的三要素缺一不可)。
解题时要真正掌握数形结合的思想，理解实数与数轴的点是一一对应的，并能灵活运用。
①画一条水平直线，在直线上取一点表示0(原点)，选取某一长度作为单位长度，规定直线上向右的方向为正方向，就得到数轴("三要素")②任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示。
③如果两个数只有符号不同，那么我们称其中一个数为另外一个数的相反数，也称这两个数互为相反数。
作用：A.直观地比较实数的大小;B.明确体现绝对值意义;C.建立点与实数的一一对应关系。
数轴：规定了原点.正方向和单位长度的直线.注意：⑴原点.正方向.单位长度称为数轴的三要素，三者缺一不可.⑵单位长度和长度单位是两个不同的概念，前者指所取度量单位的长度，后者指所取度量单位的名称，即单位长度是一条人为规定的代表“1’的线段，这条线段可长可短，按实际情况来规定，同一数轴上的单位长度一旦确定，则不能再改变.⑶数轴的画法及常见错误分析①画一条水平的直线;②在这条直线上适当位置取一实心点作为原点：③一般确定向右的方向为正方向，用箭头表示;④选取适当的长度作单位长度，用细短线画出，并对应标注各数，同时要注意同一数轴的单位长度要一致.2.数轴画法的常见错误举例：3.有理数与数轴的关系：1.一切有理数都可以用数轴上的点表示出来.2.在数轴上，右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大.3.正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数.注意：数轴上的点不都代表有理数，如π.4.利用数轴比较有理数的大小：数轴上右边的数总大于左边的数.因此，正数总大于零，负数总小于零，正数大于负数。
做一做(1)规定了______、______和______的______叫数轴。
(2)所有的有理数都能用数轴上的______来表示。
(3)数轴上，表示-3的点到原点的距离是______个单位长，与原点距离为3个单位长的点表示的数是______。
沪科版七年级数学上第一章《有理数》第2节《数轴、相反数和绝对值》例题与讲解
1.2数轴、相反数和绝对值1．数轴(1)数轴的概念规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴．如图所示．(2)数轴的概念包涵的意思①数轴是一条直线，可以向两端无限延伸；②数轴有三要素：原点、正方向、单位长度，三者缺一不可；③原点位置的选定，单位长度大小的确定都是根据实际而定的．一般取向右的方向为正方向．(3)数轴的画法：要正确迅速地画出数轴，可按以下步骤进行：①“画”就是先画一条水平的直线；②“取”就是在直线上选取一点表示原点(原点表示的数是0)；③“选”就是选择向右的方向为正方向(用箭头表示)，那么相反的方向，即从原点向左为负方向，然后选取适当的长度作为单位长度，用细短线在直线上画出；④“标”就是从原点向右，依次标出1,2，3，…；从原点向左，依次标出－1，－2，－3，….画数轴的步骤可简单归纳为“一画、二取、三选、四标”．解技巧确定数轴的单位长度画数轴时根据实际问题的需要可选取不同的距离作为单位长度，同一数轴上的单位长度必须一致．【例1】观察下列图形，数轴画得正确的是______．解析：判断一条直线是否为一数轴，关键看这条直线是否具有原点、正方向和单位长度这三要素．A没有原点，B没有正方向，C的单位长度不一致，E中负方向上所标注的数字顺序错误，只有D满足条件．答案：D辨误区画数轴常见的错误画数轴常出现的错误：(1)没有方向；(2)没有原点；(3)单位长度不一致；(4)标出的数值排列错误．2．有理数与数轴上的点之间的关系(1)数对应点：任何一个有理数，都可以用数轴上的一个点来表示．(2)在数轴上，正数和负数分别位于原点的两侧，所有正数对应的点都在数轴上原点的右侧，所有负数对应的点都在数轴上原点的左侧，与正数对称．(3)找出数轴上的点对应的有理数的步骤是：①确定点与原点的位置关系(左负右正)；②确定点与原点的距离．辨误区有理数与数轴上的点的对应关系所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但不能说数轴上所有的点都表示有理数，因为数轴上除了表示所有的有理数的点之外，还有表示所有的无理数的点(以后会学习)．【例2－1】指出数轴上A，B，C，D，E，F各点分别表示什么数？分析：先确定已知点的位置是在原点的左边还是右边，再确定点对应的数值，特别是B ，E 两点，要看准它们所表示的数在哪两个数之间．解：A 表示4；B 表示2.5；C 表示1；D 表示0；E 表示－1.5；F 表示－3.【例2－2】把下列各数在数轴上表示出来：32，－5,0,3.6，－3，－12，－112.分析：第一步，画出数轴(按三要素)；第二步，把这些数在数轴上的对应点找出来；0在原点，容易找到对应点．正数在原点的右边，所以32，3.6在原点的右边，且分别距原点32个单位长度、3.6个单位长度．负数在原点的左边，所以－5，－3，－12，－112在原点的左边，且分别距原点5个单位长度、3个单位长度、12个单位长度、112个单位长度．解：解技巧确定数在数轴上的对应点(1)确定有理数在数轴上的对应点，要先根据正负确定该点在原点的哪一边，然后再确定距原点多少个单位长度；(2)一般情况下，原数轴上的表示单位长度的数要标在数轴的下方，而要表示的数应标在数轴的上方．3.相反数(1)相反数的定义只有符号不同的两个数互为相反数，这就是说，其中一个是另一个的相反数，特别规定：0的相反数是0.辨误区相反数的意义①“0的相反数是0”是相反数定义的一部分，千万不能漏掉；②“只有符号不同”指的是除符号不同以外，其他完全相同，不能理解为只要符号不同的两个数就互为相反数，例如：－2和＋3符号不同，但它们不互为相反数．(2)相反数的几何意义两个互为相反数的数在数轴上所表示的点在原点的两侧，与原点的距离相等．如：＋3和－3，＋4.4和－4.4互为相反数，在数轴上的位置如图所示：(3)相反数的表示方法一般地，数a 的相反数是－a ，这里a 表示任意一个数，它可以是正数、负数或者零．析规律相反数的表示方法在任意一个数前面添上“－”号，所得的数是原数的相反数，在一个数的前面添上一个“＋”号，仍是原数．【例3】填空题：(1)－5的相反数是__________；(2)－(－6)的相反数__________；(3)__________的相反数是0.7；(4)18与__________互为相反数；(5)若a ＝13，则－a ＝__________.解析：根据相反数的意义求出各数的相反数．(1)－5的相反数为5；(2)－(－6)表示－6的相反数，即－(－6)＝6，所以求－(－6)的相反数就是求6的相反数；(3)－0.7的相反数是0.7；(4)18与－18互为相反数；(5)－a 表示a 的相反数，即求13的相反数，所以－a ＝－13.答案：(1)5(2)－6(3)－0.7(4)－18(5)－134．绝对值(1)绝对值的概念在数轴上，表示数a 的点到原点的距离，叫做数a 的绝对值，记作|a |.表示数0的点即原点，到原点的距离是0，故|0|＝0.(2)一个数的绝对值与这个数的关系①一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.②绝对值实际上和四则运算“加、减、乘、除”一样，也是一种运算，绝对值运算的本质就是要把带有绝对值符号的数化为不带绝对值符号的数(即去绝对值)．注意：既可以说0的绝对值是它本身，也可以说0的绝对值是它的相反数．故绝对值是它本身的数是正数和0；绝对值是它的相反数的数是负数和0.③互为相反数的两个数的绝对值相等；绝对值相等、符号相反的两个数互为相反数．谈重点绝对值的意义绝对值是初中代数中的重要概念，从数轴上看，一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点的距离越远，绝对值越大，离原点的距离越近，绝对值越小．由于距离总是正数或零，则有理数的绝对值不可能是负数．也就是说，任何一个有理数的绝对值都是非负数，即a 取任意有理数，都有|a |≥0，所以绝对值最小的数是0.【例4－1】下列说法正确的是()．A ．|－5|表示－5的绝对值，等于－5B ．负数的绝对值等于它本身C ．－4距离原点4个单位长度，所以－4的绝对值是4D ．绝对值等于它本身的数有两个，是0和1解析：绝对值是一个距离，不能为负数，故选项A 错误；负数的绝对值等于它的相反数，故选项B 错误；一个数的绝对值是它在数轴上对应点与原点的距离，C 正确；正数的绝对值都等于它本身，故选项D 错误．答案：C【例4－2】回答问题：(1)绝对值是3的数有几个？各是什么？(2)绝对值是0的数有几个？各是什么？(3)绝对值是－2的数是否存在？若存在，请写出来．分析：本题要正确理解绝对值的概念，尤其要理解绝对值的几何意义：一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离．(1)表示到原点距离等于3的点对应的数有几个，显然，表示数3和－3的点到原点的距离都等于3，所以绝对值等于3的数有两个，它们互为相反数．(2)到原点的距离为0的点只有原点本身，它对应的数是0.(3)任意有理数的绝对值都是非负数，故不存在绝对值是－2的数．一般地，一个有理数的绝对值只有一个，但是绝对值为一个正数的有理数都有两个，它们互为相反数，没有绝对值为负数的有理数．解：(1)绝对值是3的数有两个，它们分别是3和－3.(2)绝对值是0的数只有一个，它是0.(3)绝对值是－2的数不存在．5．数轴上两点间的距离与点表示的数之间的关系(1)数轴使数和直线上的点建立了对应关系，它揭示了数和形的内在联系．正是这种联系，使得数轴上两点之间的距离与所表示的数之间存在密切关系．(2)数轴上表示数a 的点与原点之间的距离：当a 为一个正数时，它与原点的距离是a 个单位长度，当a 是负数时，它与原点的距离是|a |个单位长度；当a 是0时，距离为0.(3)注意：到某一点距离等于a (a 是正数)的点有两个，在原点的左右两侧各一个．解技巧确定数轴上两点间的距离解决此类问题的最好方法是画出数轴，并表示出所求的数，再求两点间的距离．【例5－1】如图，A ，B 两点在数轴上，点A 对应的数为2，若线段AB 的长为3，求点B 对应的数是多少？分析：由于点A 对应的数为2，说明它到原点的距离为2，又线段AB 的长为3，则点B 对应的数就很容易确定了．解：因为点A 对应的数为2，又线段AB 的长为3，所以点B 到原点的长为1.又因为点B 在原点的左边，所以点B 对应的数为－1.【例5－2】已知数轴上A ，B 表示的数互为相反数，并且A ，B 两点间的距离为6个单位长度，求A ，B 两点表示的数(A 在B 的左边)．分析：互为相反数的数，位于原点的两侧，且到原点的距离相等，根据A ，B 的距离为6个单位长度，即可求出A ，B 两点表示的数．解：由点A ，B 表示的数互为相反数，且A ，B 两点间的距离为6，可知点A ，B 在原点的两侧，到原点距离都为3，又A 在B 的左边，所以A 点表示－3，B 点表示3.6.运用相反数化简符号(1)理解：①在任意－个数前面添上“－”号，新的数就是原数的相反数．如：＋5的相反数表示为－(＋5)，而5的相反数就是－5，所以－(＋5)＝－5.因此运用相反数可以进行符号化简．(2)分类：简单的符号化简共有3种情况：①－(＋a )＝－a ；②＋(－a )＝－a ；③－(－a )＝a .(3)延伸：①－[－(－a )]＝－a ；－[＋(－a )]＝a 等．②－0＝0，表示0的相反数是0.多重符号的结果是由“－”号的个数决定的，与“＋”号无关，据此可以对带有多重符号的数进行化简．化简时“＋”号的个数不影响结果，可省去；而“－”号的个数是偶数个时也可全部省去，奇数个时，结果保留一个“－”号即可．【例6－1】填空：(1)__________；(2)，那么x ＝__________.解析：(1)∵127，因此此题实际上是求127的相反数，∴－127；(2)是已知x 的相反数求原数x 的问题，∵－x ＝＋(－80.5)＝－80.5，∴x ＝80.5.答案：(1)－127(2)80.5【例6－2】化简下列各符号：(1)－[－(－2)]；(2)＋{－[－(＋5)]}；(3)－{－{－…－(－6)…}}(共n 个负号)．分析：化简的法则是：结果的符号与负号的个数有关，有偶数个负号时，结果为正；有奇数个负号时，结果为负．解：(1)－2；(2)5；(3)当n 为偶数时，为6；当n 为奇数时，为－6.7.绝对值的化简和计算化简绝对值符号主要根据绝对值的非负性，解题时看清楚“－”号在绝对值符号的里面还是外面．如果“－”号在绝对值符号的里面，化简时把“－”号去掉；如果“－”号在绝对值符号的外面，化简时不能把“－”号去掉．解技巧准确化简绝对值符号化简绝对值符号的关键是判断绝对值符号内的数是正数、负数或是0.【例7】化简：(1)－|－23|；(2)＋|(3)|；(4)|－(－7.5)|.分析：先判断绝对值符号内数的符号，再求绝对值．解：(1)－|－23|＝－23；(2)＋|；(3)|＝312；(4)|－(－7.5)|＝7.5.8.字母表示的数的绝对值的求法应用因为用字母所表示的数既可以是正数也可以是负数，还可以是0.它具有不确定性，而求绝对值首先要考虑的就是符号，因此求字母表示的数的绝对值时，必须考虑题目中给定的条件，若有限定条件，就按限定条件求出，若没有限定条件，则要分正、负、0三种情况讨论．解技巧求字母表示的数的绝对值(1)限制型逆用求法，如：|a |＝6，那么a ＝±6；(2)开放型分类讨论求法：如求|x |＋x 的值，当x ＞0时，|x |＝x ，所以|x |＋x ＝x ＋x ＝2x ，当x ＜0时，|x |＝－x ，原式＝0，当x ＝0时，原式＝0；(3)化简型求法：如：|a |＝|－8|，|－a |＝|－8|，|－a |＝|8|都能化为|a |＝|8|＝8解决．【例8－1】已知a ＝－5，|a |＝|b |，则b 的值等于()．A ．＋5B ．－5C ．0D ．±5解析：因为a ＝－5，所以|a |＝5.所以|b |＝5.所以b ＝±5.注：本题常见的思维误区是由|a |＝|b |推出a ＝b ，错选B.事实上，由|a |＝|b |，可得b ＝±a ，所以b ＝a 或b ＝－a ，即b ＝5或b ＝－5.答案：D【例8－2】下面推理正确的是()．A ．若|m |＝|n |，则m ＝nB ．若|m |＝n ，则m ＝nC ．若|m |＝－n ，则m ＝nD ．若m ＝n ，则|m |＝|n |解析：A 中若|m |＝|n |，则m ＝±n ；B 中若|m |＝n (n 一定是非负数)，则m ＝±n ，例如|±2|＝2，此时m ＝±2，n ＝2，显然m ＝±n ；C 中若|m |＝－n ，则m ＝n 或m ＝－n ，例如|±3|＝－(－3)(n 一定是非正数)，此时m ＝±3，n ＝－3，所以m ＝±n .答案：D 9．利用数轴解决生活中的实际问题本节知识常与运动问题结合在一起，利用数形结合将运动问题解决．这种利用数形结合解决问题的方法是中考考查的热点题型之一．数轴是一种数学工具，它使数和数轴上的点建立了对应关系，运用数轴可以直观表示点的移动，正确找出数在数轴上的对应点，会由数轴上的点的位置确定对应的数，是解决这类问题的关键．解题时，通常根据题意正确地画出数轴，在选取长度单位时，要根据题目中的实际情况来确定，再在数轴上表示点的移动过程，用箭头和竖线来表示．【例9】超市、书店、玩具店依次坐落在一条东西走向的大街上，超市在书店西边20米处，玩具店位于书店东边50米处．小明从书店出来沿街向东走了50米，接着又向东走了－80米，此时小明的位置在何处？在数轴上标出超市、书店、玩具店的位置以及小明最后的位置．分析：书店处于超市和玩具店之间，且书店与玩具店之间的距离是50米，书店与超市之间的距离是20米，这样可以画出数轴，即可表示出小明最后的位置．解决点的移动问题，可画出数轴，在数轴上表示点的移动，关键是确定原点，最后的点相对于原点来说，若在原点的右侧，表示的是正数，若在原点的左侧，则表示的是负数．解：根据题意可以画出如图所示的数轴，小明位于超市西边10米处．10.利用绝对值解决实际问题绝对值的产生来源于实际问题的需要，反过来又可以运用它解决一些实际问题．利用绝对值求距离路程问题中，当出现用“＋”、“－”号表示带方向的路程，求最后实际路程时，实际上是求绝对值的和．方法：①求各个数的绝对值；②求所有数的绝对值的和；③写出答案．【例10】一天上午，出租车司机小王在东西走向的中山路上营运，如果规定向东为正，向西为负，出租车的行车里程如下(单位：千米)：＋15，－3，＋12，－11，－13，＋3，－12，－18，请问小王将最后一位乘客送到目的地时，共行驶了多少千米？分析：本题是绝对值意义在实际问题中的具体应用，有理数中的“＋”和“－”在本题中表示的是方向，而它们的绝对值是小王在营运中所行驶的路程，因此求共行驶的路程应是每次行车里程绝对值之和．解：|＋15|＋|－3|＋|＋12|＋|－11|＋|－13|＋|＋3|＋|－12|＋|－18|＝15＋3＋12＋11＋13＋3＋12＋18＝87(千米)．答：小王将最后一位乘客送到目的地时共行驶了87千米．。
七年级数学上册 第2章2.2 数轴例题与讲解 (新版)华东师大版
2.2 数轴1．数轴(1)数轴的概念及画法①与温度计相仿，我们可以在一条直线上规定一个正方向，就可以用这条直线上的点表示正数、零和负数．具体做法如下：画一条直线(通常画成水平位置)，在这条直线上任取一点作为原点，用这点表示数0.规定直线上从原点向右为正方向，画上箭头，那么相反方向为负方向．再选取适当的长度作为单位长度，从原点向右，每隔一个单位长度取一点，依次标上1,2,3，…；从原点向左，每隔一个单位长度取一点，依次标上－1，－2，－3，….如图所示．②像这样，规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴．a ．数轴是一条直线，可以向两端无限延伸，但直线不是数轴；b ．原点、正方向、单位长度称为数轴的“三要素”；c ．数轴上的原点位置、单位长度都是任意规定的，但在同一条数轴上的单位长度必须一致；d ．通常选取向右的方向为正方向．(2)有理数与数轴上的点的关系①数轴上的点和有理数不是一一对应的关系，任意一个有理数总能在数轴上找到与其对应的点，但数轴上的点不都表示有理数．②在数轴上，正数和负数分别位于原点的两侧，所有正数的对应点都在数轴上原点的右边，所有负数的对应点都在数轴上原点的左边，与正数对称．③找出数轴上的点对应的有理数的步骤是：a ．确定点与原点的位置关系(左负右正)；b ．确定点与原点的距离．警误区 有理数与数轴上的点的关系 所有的有理数都可以用数轴上的点表示出来，反过来，不能说数轴上所有的点都表示有理数，数轴上的点除了表示所有的有理数之外，还表示所有的无理数(以后会学习)．【例1】 把下列各数在数轴上表示出来．32，－5,0,3.6，－3，－12，－112分析：第一步，画出数轴(按三要素)；第二步，把这些数在数轴上的对应点找出来：0在原点，容易找到对应点．正数在原点的右边，所以32，3.6在原点的右边，且分别距原点32个单位长度，3.6个单位长度．负数在原点的左边，所以－5，－3，－12，－112在原点的左边，且分别距原点5个单位长度，3个单位长度，12个单位长度，112个单位长度． 解：解技巧 将有理数用数轴上的点表示的步骤 (1)正确找到有理数在数轴上的对应点，要先根据正负看该点在原点的哪一边，然后再观察距原点多少个单位；(2)一般情况下，原数轴上表示单位长度的数要标在数轴的下方，而要表示的数应标在数轴的上方．2．利用数轴比较两个有理数的大小(1)当我们将一组人按照个子的高矮排成一排时，就会很容易地得出他们之间的个子的高低，如果我们把数也这样排成一排，就会出现同样的效果，所以我们只要利用数轴就可以达到想要的目的了．观察数轴，数轴上所表示的数是按规律排列的：①在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大．②根据有理数在数轴上表示的相对位置，在应用中我们也常说：正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数．(2)因为正数都大于0，反过来，大于0的数都是正数，所以我们可以用a ＞0表示a 是正数；把a 是正数表示为a ＞0.同理，a ＜0表示a 是负数；把a 是负数表示为a ＜0.【例2】 比较下列各数的大小：－1.5,0.5，－3，－5.分析：将这些有理数在数轴上表示出来，并按照从左到右的顺序排列就是把这些数按从小到大的顺序排列．解：将这些数分别在数轴上表示出来，如图所示，所以－5＜－3＜－1.5＜0.5.3．在数轴上表示有理数任何一个有理数都可以用数轴上的一个点表示出来，实现数与形的结合．解题时，第一步画数轴，第二步在数轴上找出相对应的点，0用原点来表示．每个正有理数都可用数轴上原点右边的一个点来表示．相反，每一个负有理数都可用数轴上原点左边的一个点来表示．第三步用字母标出或直接用数标写出所要表示的有理数．数轴上表示数的点可用大写字母标出，写在数轴上方所对应数的上面．数轴上原点的位置要根据需要来确定，不一定要居中．单位长度应根据需要来确定，但在同一数轴上，单位长度必须一致，不可随意改变．【例3】 在所给的数轴上画出表示下列各数的点：2，－5，0，－313，3.5，－34.分析：第一步画数轴，第二步在数轴上找出相对应的点，0用原点来表示．第三步用字母标出或直接用数标出所要表示的有理数．解：警误区 在数轴上表示负分数时易出现的错误 很多同学都容易犯的错误是在数轴上表示负分数时，弄不清楚这个负分数所靠近的整数．4.指出数轴上的点表示的有理数指出数轴上的点表示的有理数时，要先观察该数在数轴上的位置，如果在原点处，就是0；如果在原点的左侧就是负数；如果在原点的右侧就是正数．即先判断数的符号，再确定具体的数值．析规律 有理数与该数对应的点到原点的距离的关系 指出数轴上的点表示什么数时，如果是正数就是该点到原点的距离，如果是负数就在该点到原点的距离前加上负号．【例4】 指出数轴上O ，A ，B ，C ，D ，E 各点分别表示什么数．分析：表示正数的点都在原点的右侧，表示负数的点都在原点的左侧．要特别注意相邻两个负整数点之间的等分点所表示的数，例如：－2，－3之间的A 点是表示－223，而不是－313. 解：O 表示0，A 表示－223，B 表示1，C 表示314，D 表示－4，E 表示－0.5.5．利用数轴解决生活中的实际问题本节知识常与运动问题结合在一起，利用数形结合将运动问题解决．这种利用数形结合解决问题的方法是中考考查的热点题型之一．数轴是一种数学工具，它使数和数轴上的点建立了对应关系，揭示了数与形之间的内在联系，也为我们研究问题提供了新的方法．数轴是联系数与形的桥梁，是数形结合的具体体现，利用数轴可以解决生活中的许多问题．运用数轴可以直观表示点的移动，正确找出数在数轴上的对应点，会由数轴上的点的位置确定对应的数，是解决这类问题的关键．解题时，通常根据题意正确地画出数轴，在选取单位长度时，要根据题目中的实际情况来确定，再在数轴上表示点的移动过程，用箭头和竖线来表示．解题时，正确画出数轴是关键，作图要严谨仔细．【例5－1】 超市、书店、玩具店依次坐落在一条东西走向的大街上，超市在书店西边20米处，玩具店位于书店东边50米处．小明从书店出来沿街向东走了50米，接着又向东走了－80米，此时小明的位置在何处？在数轴上标出超市、书店、玩具店的位置，以及小明最后的位置．分析：书店处于超市和玩具店之间，且书店与玩具店之间的距离是50米，书店与超市之间的距离是20米，这样可以画出数轴，即可表示出小明最后的位置．解：根据题意可以画出如图所示的数轴，小明位于超市西边10米处．【例5－2】 小红做题时，不小心把墨水洒在了数轴上，如图，请根据图中的数值，写出墨迹盖住的所有整数．分析：本题主要考查有理数的分类，有理数的分类有两种：一是可分为正有理数、0、负有理数；二是可分为整数、分数．此题只要找出－12.1～－6.5及－0.5～10.5之间的整数即可．解：－12，－11，－10，－9，－8，－7及0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10.。
新版北师大版初中数学目录
七年级上第1章第一章丰富的图形世界第1讲生活中的立体图形第2讲展开与折叠第3讲截一个几何体第4讲从三个方向看物体的形状第2章第二章有理数及其运算第1讲有理数第2讲数轴第3讲绝对值第4讲有理数的加减法第5讲有理数的加减混合运算第6讲有理数的乘除法第7讲有理数的乘方与科学记数法第8讲有理数的混合运算第9讲用计算器进行运算第3章第三章整式及其加减第1讲代数式第2讲整式第3讲整式的加减第4讲探索与表达规律第4章第四章基本平面图形第1讲线段、射线、直线第2讲比较线段的长短第3讲角第4讲角的比较第5讲多边形和圆的初步认识第5章第五章一元一次方程第1讲认识一元一次方程第2讲求解一元一次方程第3讲应用一元一次方程第6章第六章数据的收集与整理第1讲数据的收集第2讲普查和抽样调查第3讲数据的表示和统计图的选择七年级下第1章第一章整式的乘除第1讲同底数幂乘法第2讲幂的乘方与积的乘方第3讲同底数幂除法第4讲整式的乘法第5讲平方差公式第6讲完全平方公式第7讲整式的除法第2章第二章相交线与平行线第1讲两条直线的位置关系第2讲探索直线平行的条件第3讲平行线的性质第4讲尺规作角第3章第三章变量之间的关系第1讲用表格表示变量之间的关系第2讲用关系式表示变量之间的关系第3讲用图象表示变量之间的关系第4章第四章三角形第1讲认识三角形第2讲图形的全等第3讲探索三角形全等的条件第4讲用尺规作三角形第5章第五章生活中的轴对称第1讲轴对称现象第2讲探索轴对称的性质第3讲简单的轴对称图形第4讲利用轴对称进行设计第6章第六章概率初步第1讲感受可能性第2讲频率的稳定性第3讲等可能事件的概率八年级上第1章第一章勾股定理第1讲探索勾股定理第2讲一定是直角三角形吗第3讲勾股定理的应用第2章第二章实数第1讲认识无理数第2讲平方根第3讲立方根第4讲估算第5讲用计算器开方第6讲实数第7讲二次根式第3章第三章位置与坐标第1讲确定位置第2讲平面直角坐标系第3讲轴对称与坐标变化第4章第四章一次函数第1讲函数第2讲一次函数与正比例函数第3讲一次函数的图象第4讲一次函数的应用第5章第五章二元一次方程组第1讲认识二元一次方程组第2讲求解二元一次方程组第3讲应用二元一次方程组第4讲二元一次方程与一次函数第5讲三元一次方程组第6章第六章数据分析第1讲平均数第2讲中位数与众数第3讲极差、方差和标准差第7章第七章平行线的证明第1讲为什么要证明第2讲定义与命题第3讲平行线的判定第4讲平行线的性质第5讲三角形内角和定理八年级下第1章第一章三角形的证明第1讲等腰三角形第2讲直角三角形第3讲线段的垂直平分线第4讲角平分线第2章第二章一元一次不等式与一元一次不等式组第1讲不等关系第2讲不等式的基本性质及其解集第3讲一元一次不等式第4讲一元一次不等式与一次函数第5讲一元一次不等式组第3章第三章图形的平移与旋转第1讲图形的平移第2讲图形的旋转第3讲中心对称第4讲简单的图案设计第4章第四章因式分解第1讲因式分解第2讲提公因式法第3讲公式法第5章第五章分式与分式方程第1讲认识分式第2讲分式的乘除法第3讲分式的加减法第4讲分式方程第6章第六章平行四边形第1讲平行四边形的性质第2讲平行四边形的判定第3讲三角形的中位线第4讲多边形的内角和与外角和九年级上第1章第一章特殊平行四边形第1讲菱形的性质与判定第2讲矩形的性质与判定第3讲正方形的性质与判定第2章第二章一元二次方程第1讲认识一元二次方程第2讲用配方法求解一元二次方程第3讲用公式法求解一元二次方程第4讲用因式分解法求解一元二次方程第5讲一元二次方程的根与系数的关系第6讲实际问题与一元二次方程第3章第三章概率的进一步认识第1讲概率初步第4章第四章图形的相似第1讲成比例线段第2讲平行线分线段成比例第3讲相似多边形第4讲相似三角形判定第5讲相似三角形的性质第6讲图形的位似第5章第五章投影与视图第1讲投影第2讲视图第6章第六章反比例函数第1讲反比例函数第2讲反比例函数的图象与性质第3讲反比例函数的应用九年级下第1章第一章直角三角形的边角关系第1讲锐角三角函数第2讲三角函数的应用第3讲利用三角函数测高第2章第二章二次函数第1讲二次函数第2讲二次函数的图象与性质第3讲确定二次函数的表达式第4讲二次函数的应用第5讲二次函数与一元二次方程第3章第三章圆第1讲圆第2讲垂径定理第3讲圆周角与圆心角的关系第4讲直线与圆的位置关系第5讲切线长定理第6讲圆内接正多边形第7讲弧长及扇形的面积。
2.3 数轴(2)
教学重难 点 教 具 与课件 板 书 设 计 教 学 环 节
教学重点：利用数轴比较有理数的大小。 教学难点：利用数轴比较有理数的大小。 三角板 2.3 数轴（2） 有理数比较大小的方法：
例 1、
例 2、
在数轴上表示的数，右边的数总比左边的数大， 正数都大于 0，负数都小于 0，正数大于负数。
学生自学共研的内容方法
lj 淮安市吴集镇初级中学 七年级数学 教案
教 学 环 节
学生自学共研的内容方法
（按环节设计自学、讨论、训练、探索、创新等内容）
教师施教提要 （启发、精讲、活动等）
再次 优化
练 习 反 馈
1、观察数轴，回答下列问题 （1）有没有最小的有理数 ； 学生做，教师行间巡视，根 （2）有没有最大的有理数； 据情况作适当的点拨和讲 （3）最大的正数、最小的正数; 解 （4）最大的正整数、最小的正整数； （5）最大的负整数、最小的负整数； （6）最大的非负数、最小的非负数； （7）最大的非正数、最小的非正数。 2、距原点 3 个单位长度的点有____个，它所表示的 有理数是_________。 3、在-17，-2.5, 5.7, 0, -0.31, 整数是 ； 最大的负数是 是 。 4、用“<”或“>”填空 -
结论
在数轴上表示的数，右边的数总比左边的 数大，
例 1、比较下列各组数的大小。
正数都大于 0，负数都小于 0，正数大于
（2）5 和 0 （4）―3.5 和―0.5 （6）―3、0 和 1.5 ①在数轴上描点； ②观察点的位置； ③比较大小。
பைடு நூலகம்
作
负数。 （ 1）2 和 4 （3）―1.5 和 0 （5）2 和―3
①正确描点； ②观察各点的位置； ③排出顺序； ④算出单位长度。
七年级数学《数轴》教案三篇
七年级数学《数轴》教案三篇规定了原点,正方向和单位长度的直线叫数轴。
其中,原点、正方向和单位长度称为数轴的三要素。
下面就是我给大家带来的七年级数学《数轴》教案三篇，希望能帮助到大家！七年级数学教案1一、教学目标【知识与技能】了解数轴的概念，能用数轴上的点准确地表示有理数。
【过程与方法】通过观察与实际操作，理解有理数与数轴上的点的对应关系，体会数形结合的思想。
【情感、态度与价值观】在数与形结合的过程中，体会数学学习的乐趣。
二、教学重难点【教学重点】数轴的三要素，用数轴上的点表示有理数。
【教学难点】数形结合的思想方法。
三、教学过程(一)引入新课提出问题：通过实例温度计上数字的意义，引出数学中也有像温度计一样可以用来表示数的轴，它就是我们今天学习的数轴。
(二)探索新知学生活动：小组讨论，用画图的形式表示东西向马路上杨树，柳树，汽车站牌三者之间的关系：提问1：上面的问题中，“东”与“西”、“左”与“右”都具有相反意义。
我们知道，正数和负数可以表示具有相反意义的量，那么，如何用数表示这些树、电线杆与汽车站牌的相对位置呢?学生活动：画图表示后提问。
提问2：“0”代表什么?数的符号的实际意义是什么?对照体温计进行解答。
教师给出定义：在数学中，可以用一条直线上的点表示数，这条直线叫做数轴，它满足：任取一个点表示数0，代表原点;通常规定直线上向右(或上)为正方向，从原点向左(或下)为负方向;选取合适的长度为单位长度。
提问3：你是如何理解数轴三要素的?师生共同总结：“原点”是数轴的“基准”，表示0，是表示正数和负数的分界点，正方向是人为规定的，要依据实际问题选取合适的单位长度。
(三)课堂练习如图，写出数轴上点A，B，C，D，E表示的数。
(四)小结作业提问：今天有什么收获?引导学生回顾：数轴的三要素，用数轴表示数。
课后作业：课后练习题第二题;思考：到原点距离相等的两个点有什么特点?七年级数学教案2一、教学内容分析1.2有理数1.2.2数轴。
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第二讲数轴
学习目标:
1、掌握数轴概念，理解数轴上的点和有理数的对应关系
2、会正确地画出数轴，利用数轴上的点表示有理数
3、领会数形结合的重要思想方法.
学习重点：数轴的概念
学习难点：数轴的概念与用数轴上的点表示有理数
教学过程
一、创设情境，引入新课
在一条东西向的马路上,有一个汽车站,汽车站东3m和7.5m处分别有一棵柳树和一棵杨树,汽车站西3m和4.8m处分别有一棵槐树和一根电线杆,试画图表示这一情境?
二、合作交流，探究归纳
1、由上面的两个问题，你受到了什么启发？能用直线上的点来表示有理数吗？
2、自己动手操作，看看可以表示有理数的直线必须满足什么条件？
引导归纳：
1、画数轴需要三个条件，即、、。
2、数轴：
三、动手操作，学用新知
1、请画好一条数轴
2、利用上面的数轴表示下列有理数
1.5， —2， 2， —
2.5，
3.5 ， 0.
四、寻找规律，探究新知
1、观察数轴，哪些数在原点的左边，哪些数在原点的右边，由此你有什么发现？
2、每个数到原点的距离是多少？由此你又有什么发现？
五、巩固练习
1、在数轴上,表示数-3 , 2.6 , -1.5 , 0 , 1.5 , 4
3 , -1，-2的点中,在原点左边的点有 个. 2、在数轴上点A 表示-4,如果把原点O 向负方向移动1个单位,那么在新数轴上点A 表示的
数是( )
A. -5，
B.-4
C.-3
D.-2
3、你觉得数轴上的点表示数的大小与点的位置有关系吗？
1、画出数轴并表示出下列有理数：
-1、 -2
3、 3.5、 -2.3、 4 、2.5
2、下列数轴的画法正确的是（ ）
3、在数轴上表示-4的点位于原点的＿＿＿边，与原点的距离是＿＿＿个单位长度。
4、比较大小，在横线上填入“＞”、“＜”或“=”。
1＿＿＿0；0＿＿＿-1；-1＿＿＿-2；-5＿＿＿-3；-2.5＿＿＿2.5.
典例分析：
（1）与原点距离等于4的点有几个？其表示的数是什么？
（2）在数轴上点A 表示的数是-3，与点A 相距两个单位的点表示的数是什么？
1、数轴上与原点距离是5的点有＿＿＿个，表示的数是＿＿＿。
2、已知x是整数，并且-3＜x＜4，那么在数轴上表示x的所有可能的数值有＿＿＿＿＿＿。
3、在数轴上，点A、B分别表示-5和2，则线段AB的长度是＿＿＿。
4、从数轴上表示-1的点出发，向左移动两个单位长度到点B，则点B表示的数是＿＿＿，
再向右移动两个单位长度到达点C,则点C表示的数是＿＿＿。
5、数轴上的点A表示-3，将点A先向右移动7个单位长度，再向左移动5个单位长度，
那么终点到原点的距离是＿＿＿个单位长度。
6、在数轴上P点表示2，现在将P点向右移动两个单位长度后再向左移动5个单位长度，
这时P点必须向＿＿＿移动＿＿＿个单位到达表示-3的点。
体验中考
1、在数轴上表示-2的点离开原点的距离等于（）
A、2
B、-2
C、±2
D、4
2、有理数a、b在数轴上的位置如图所示，则a、b的大小关系是（）
A、a＜b
B、a＞b
C、a=b
D、无法确定
课后作业：
一、选择题
1. 如图所示的图形为四位同学画的数轴，其中正确的是（）
2. 如图所示，点M表示的数是（）
A. 2.5
B.
C.
D. 1.5
3. 下列说法正确的是（）
A. 有原点、正方向的直线是数轴
B. 数轴上两个不同的点可以表示同一个有理数
C. 有些有理数不能在数轴上表示出来
D. 任何一个有理数都可以用数轴上的点表示
4.数轴上原点及原点右边的点表示的数是（）
A. 正数
B. 负数
C. 非负数
D. 非正数
5. 数轴上点M到原点的距离是5，则点M表示的数是（）
A. 5
B.
C. 5或
D. 不能确定
6. 在数轴上表示的点中，在原点右边的点有（）
A. 0个
B. 1个
C. 2个
D. 3个
二、填空题
7. 最大的负整数是___________；小于3的非负整数有______________________。
8. 从数轴上表示-1的点开始，向右移动6个单位长度，再向左移动5个单位长度，最
后到达的终点所表示的数是___________。
9. 在数轴上表示下列各数，2
1
2
450
2
3，，，，--.
10. 数轴上与原点的距离是6的点有___________个，这些点表示的数是___________；
与原点的距离是9的点有___________个，这些点表示的数是___________。
三、解答题
11.小明在A地东15米，他走了15米，结果离A地还有30米，这是怎么回事？
12.数轴上表示整数的点称为整点。
某数轴的单位长度是1厘米，若在这个数轴上随意画
出一条长为2004厘米的线段AB，则线段AB盖住的整点的个数是（）
A. 2002或2003
B. 2003或2004
C. 2004或2005
D. 2005或2006
13. 若向东走8米，记作_____米，如果一个人从A地出发向东走12米，再走_____米，
又走了_____米，你能判断此人这时在何处吗？
14.一只蚂蚁从原点O出发，它先向右爬了2个单位长度到达点A，再向右爬了3个单位
长度到达B点，然后向左爬了9个单位长度到达点C。
(1)写出A、B、C三点的表示数。
（2）根据C点在数轴上的位置回答：蚂蚁实际上是从原点出发，向什么方向爬行了几个单位长度？。