易失分点3基本初等函数及函数的应用
高考数学最容易丢分的知识点总结
高考数学最容易丢分的知识点总结高考数学是考生们备战高考的重中之重，不仅占据了数学科目的一半分数，而且是考生综合实力的重要体现。
然而，也有一些知识点容易使考生们失分。
本文将从高考数学的各个章节进行总结，总结高考数学最容易丢分的知识点，希望能够对考生们有所帮助。
一、函数与方程1. 初等函数的性质和图像：在函数与方程中，容易丢分的是对于初等函数的性质和图像的理解不清。
对于一些常见的初等函数（如线性函数、二次函数、幂函数等），考生们需要理解函数的定义域、值域、单调性、奇偶性等性质，并且要能准确地画出函数的图像。
2. 函数的复合与反函数：在函数的复合与反函数的相关知识点里，容易丢分的是对于复合函数和反函数的运算不熟悉。
考生们需要掌握复合函数的求值方法和计算规则，以及反函数的定义和求解方法，同时要能够对复合函数和反函数的图像进行分析。
3. 二次函数方程与一元二次方程：在解题过程中，容易丢分的是对于二次函数方程和一元二次方程的解法不熟悉。
考生们需要掌握配方法、因式分解和公式求解三种方法，并能够根据题目的要求选择合适的解法进行求解，同时要注意解方程时的细节和计算的准确性。
二、数形结合1. 数列的概念与性质：在数形结合中，容易丢分的是对于数列的概念和性质的理解不深。
考生们需要掌握数列的定义、通项公式、前n项求和公式等重要概念和性质，并能够灵活运用数列的相关知识解决实际问题。
2. 平面向量的概念与运算：在平面向量的概念与运算中，容易丢分的是对于平面向量的加法、减法、数量积和向量积的计算不熟悉。
考生们需要掌握平面向量的基本性质和计算规则，并能够利用平面向量解决几何问题。
3. 图形的性质与变换：在图形的性质与变换中，容易丢分的是对于图形的性质和变换方法的理解不清。
考生们需要熟悉常见的几何图形的性质和特点，掌握旋转、平移、镜像和对称等变换方法，并能够根据题目的要求进行图形的变换和证明。
三、概率与统计1. 概率的基本概念与计算：在概率的基本概念与计算中，容易丢分的是对于事件的概率和条件概率的计算方法和规律不熟悉。
基本初等函数知识点
基本初等函数知识点基本初等函数是指在数学中常见且重要的一类函数，包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数等。
这些函数在数学中广泛应用于各种数学问题和实际应用中，对于学习和理解高等数学和物理等学科具有重要意义。
本文将对这些基本初等函数进行详细介绍。
首先，常数函数是最简单的一个函数，它的函数值始终保持不变。
常数函数的一般形式为f(x)=c，其中c是常数。
常数函数在数学中常用于表示等级和水平等不变的情况。
例如，常用的数学常数π就是一个常数函数，表示圆周长与直径之比。
其次，幂函数是一类形如f(x)=x^n的函数，其中x是变量，n是常数。
幂函数的特点是通过改变幂指数n的大小可以得到不同形状的函数图像。
比如当n为正偶数时，函数图像是一个开口朝上的平滑曲线；当n为正奇数时，函数图像是一个开口朝下的平滑曲线；当n为负数时，函数图像则是一个经过坐标轴原点的曲线。
指数函数是一类形如f(x)=a^x的函数，其中a是常数，且a大于0且不等于1、指数函数的特点是函数值随着自变量的增大而指数级增长或指数级衰减。
当a大于1时，函数图像是一个增长的指数曲线；当0小于a小于1时，函数图像是一个衰减的指数曲线。
对数函数是指数函数的反函数，它表示一些数在一个给定的底数下的指数。
对数函数的一般形式为f(x) = log_a(x)，其中a是常数，且a大于0且不等于1、对数函数和指数函数是一对互逆函数，它们的图像是关于y=x对称的。
三角函数是一类周期函数，包括正弦函数、余弦函数和正切函数等。
正弦函数的一般形式为f(x) = A*sin(Bx+C)，余弦函数的一般形式为f(x) = A*cos(Bx+C)，正切函数的一般形式为f(x) = A*tan(Bx+C)。
其中A、B、C是常数，分别表示振幅、频率和初相位。
三角函数的图像具有周期性和对称性，常用于描述波动和周期性现象。
反三角函数是三角函数的反函数，它表示一些角度在三角函数中的对应值。
基本初等函数及函数的应用
(2) log0.31.8 , log0.32.7; (3) log3 , log20.8. (4) log67, log76;
小 结 比较大小的方法
(1) 利用函数单调性(同底数) (2) 利用中间值（如:0,1.） (3) 变形后比较
(4) 作差比较
N
对数运算性质如下：
如果a>0,且a≠1,M>0,ห้องสมุดไป่ตู้>0 ,那么：
(1)
log a (M N ) log a M log a N ;
M (2) log log a M log a N ; a N
(3)
log a M n log a M (n R).
n
几个重要公式
n (1) log am b log a b m log c b (2) log a b (换底公式) log c a 1 (3) log a b log b a
是R上的增函数
是R上的减函数
比较两个幂的形式的数大小的方法:
(1) 对于底数相同指数不同的两个幂的大小 比较,可以利用指数函数的单调性来判断.
(2) 对于底数不同指数相同的两个幂的大 小比较,可以利用比商法来判断.
(3) 对于底数不同也指数不同的两个幂的 大小比较,则应通过中间值来判断.常用1和0.
(1)正数的分数指数幂： 当a 0, m, n N , n 1时，规定
a a
n
m n
m
a (2)零的正分数指数幂为零，零
,a
m n
1
n m
的负分数指数幂没有意义
(3)常用公式
2021高考数学一轮复习易错题易错点03 基本初等函数 (原卷版)
努力的你，未来可期!易错点03 基本初等函数—备战2021年高考数学一轮复习易错题【典例分析】（2020年普通高等学校招生全国统一考试数学）基本再生数R 0与世代间隔T 是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：(e )rt I t =描述累计感染病例数I (t )随时间t (单位:天)的变化规律，指数增长率r 与R 0，T 近似满足R 0 =1+rT .有学者基于已有数据估计出R 0=3.28，T =6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69) （ ） A. 1.2天 B. 1.8天 C. 2.5天D. 3.5天【易错警示】易错点1．函数定义域理解不透【例1】已知函数()f x 的定义域为[0，1]，求函数(1)f x +的定义域 易错点2．没有理解分段函数的意义【例2】已知：*,x N ∈5(6)()(2)(6)x x f x f x x -≥⎧=⎨+<⎩，求(3)f .易错点3．忽略函数的定义域【例3】判断函数()(1f x x =+的奇偶性. 易错点4．奇偶性的判别方法不灵活【例4】判断2()log (f x x =+的奇偶性.易错点5．不理解定义域和单调性的联系【例5】已知奇函数f (x )是定义在(－3，3)上的减函数，且满足不等式f (x －3)+f (x 2－3)<0,求x 的取值范围.易错点6．不理解符合函数的单调性【例6】已知)2(log ax y a -=在[0，1]上是x 的减函数，则a 的取值范围是 易错点7．公式运用不熟练没有得到最终解【例7】已知18log 9,185,ba ==求36log 45易错点8．关于方程根考虑不全面【例8】已知210mx x ++=有且只有一根在区间（0,1）内，求m 的取值范围. 易错点9．应用题理解题意有误【例9】将进价为8元的商品，按每件10元售出，每天可销售200件，若每件售价涨价0.5元，其销售量就减少10件，问应将售价定为多少时，才能使所赚利润最大，并求出这个最大利润.易错点10．不理解二次函数在闭区间上恒成立【例10】已知函数2()3f x x ax a =++-若[2,2]x ∈-时，()f x ≥0恒成立， 求a 的取值范围.【变式练习】1．函数2232y x x =--的定义域为( ) A ．(],1-∞- B ．[]1,1- C ．[)()1,22,⋃+∞D ．111,,122⎡⎫⎛⎤---⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦2．已知(1)f x +的定义域为[2,3)-，(2)f x -的定义域是（ ） A ．[2,3)-B ．[1,4)-C ．[0,5)D ．[1,6)3．若0.33133,log 0.3,log 3a b c ===，则,,a b c 的大小关系为（ ） A ．b c a << B ．c a b << C ．a b c << D ．b a c <<4．幂函数()()2122af x a a x-=--在()0+∞，上是减函数，则a =（ ） A ．3- B ．1-C ．1D ．35．基本再生数R 0与世代间隔T 是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：(e )rt I t =描述累计感染病例数I (t )随时间t (单位:天)的变化规律，指数增长率r 与R 0，T 近似满足R 0 =1+rT .有学者基于已有数据估计出R 0=3.28，T =6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69) （ ） A ．1.2天 B ．1.8天 C ．2.5天D ．3.5天6．某跨国饮料公司在对全世界所有人均GDP （即人均纯收入）在0.5~8千美元的地区销售该公司A 饮料的情况调查时发现：该饮料在人均GDP 处于中等地区的年人均销售量最大，然后向两边递减．下列几个模拟函数中用哪个模拟函数来描述人均A 饮料销售量与地区的人均GDP 关系更合适？（x 表示人均GDP ，单位：千美元，y 表示年人均A 饮料的销售量，单位：L ）（ ） A ．()20y ax bx a =+<B ．()0y kx b k =+≠C ．(0a y log x b a =+>且1)a ≠D ．(0x y a b a =+>且1)a ≠7．设()()121,1x f x x x <<=-≥⎪⎩，若()()1f a f a =+，则a =（ ）A ．4B ．2C ．14D ．128．函数()|ln |2x f x e x =-的零点个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．49．已知k ∈R ，函数()()2322,11,1x x kx k x f x x k e e x ⎧-+≤⎪=⎨--+>⎪⎩，若关于x 的不等式()0f x ≥在x ∈R 上恒成立，则k 的取值范围为（ ）A ．20,e ⎡⎤⎣⎦B ．22,e ⎡⎤⎣⎦C ．[]0,4D ．[]0,310．函数ln ||cos ()sin x xf x x x⋅=+在[,0)(0,]ππ-的图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．11．已知函数()31sin f x x x x =+++，若()()2122f a f a-+≤，则实数a 的取值范围是( ) A ．3[1,]2-B ．3[,1]2-C ．1[1]2-，D ．1[,1]2-【真题演练】1．【2020年高考全国I 卷理数】若242log 42log a b a b +=+，则 A ．2a b > B ．2a b <C ．2a b >D ．2a b <2．【2020年高考全国Ⅱ卷理数】在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压．为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作．已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05．志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者 A ．10名 B ．18名C ．24名D ．32名3．【2020年高考全国Ⅱ卷理数】设函数()ln |21|ln |21|f x x x =+--，则f (x ) A ．是偶函数，且在1(,)2+∞单调递增 B ．是奇函数，且在11(,)22-单调递减C ．是偶函数，且在1(,)2-∞-单调递增D ．是奇函数，且在1(,)2-∞-单调递减4．【2020年高考全国Ⅲ卷理数】Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I (t )(t 的单位：天)的Logistic 模型：0.23(53)()=1et I K t --+，其中K 为最大确诊病例数．当I (*t )=0.95K 时，标志着已初步遏制疫情，则*t 约为（ln19≈3） A ．60 B ．63C ．66D ．695．【2020年高考全国Ⅲ卷理数】已知55<84，134<85．设a =log 53，b =log 85，c =log 138，则 A ．a <b <c B ．b <a <cC ．b <c <aD ．c <a <b6．【2020年高考全国Ⅱ卷理数】若2x−2y<3−x−3−y，则A ．ln(y −x +1)>0B ．ln(y −x +1)<0C ．ln|x −y |>0D ．ln|x −y |<07．【2020年高考天津】函数241xy x =+的图象大致为A BC D8．【2020年高考天津】设0.70.80.713,(),log 0.83a b c -===，则,,a b c 的大小关系为A ．a b c <<B ．b a c <<C ．b c a <<D ．c a b <<9．【2020年新高考全国Ⅰ卷】基本再生数R 0与世代间隔T 是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：(e )rtI t =描述累计感染病例数I (t )随时间t (单位:天)的变化规律，指数增长率r 与R 0，T 近似满足R 0 =1+rT .有学者基于已有数据估计出R 0=3.28，T =6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69) A ．1.2天 B ．1.8天 C ．2.5天D ．3.5天10．【2020年新高考全国Ⅰ卷】若定义在R 的奇函数f (x )在(0),-∞单调递减，且f (2)=0，则满足(10)xf x -≥的x 的取值范围是 A ．[)1,1][3,-+∞ B ．3,1][,[01]-- C ．[)1,0][1,-+∞D ．1,0]3][[1,-11．【2020年新高考全国Ⅰ卷】信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量X 所有可能的取值为1,2,,n ，且1()0(1,2,,),1ni i i P X i p i n p ===>==∑，定义X 的信息熵21()log ni i i H X p p ==-∑.A ．若n =1，则H (X )=0B ．若n =2，则H (X )随着1p 的增大而增大C ．若1(1,2,,)i p i n n==，则H (X )随着n 的增大而增大D ．若n =2m ，随机变量Y 所有可能的取值为1,2,,m ，且21()(1,2,,)j m j P Y j p p j m +-==+=，则H (X )≤H (Y )12．【2020年高考天津】已知函数3,0,(),0.x x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩若函数2()()2()g x f x kx x k =--∈R 恰有4个零点，则k 的取值范围是A ．1(,)(22,)2-∞-+∞ B ．1(,)(0,22)2-∞-C ．(,0)(0,22)-∞ D ．(,0)(22,)-∞+∞13．【2020年高考北京】已知函数()21x f x x =--，则不等式()0f x >的解集是A ．(1,1)-B ．(,1)(1,)-∞-+∞C ．(0,1)D ．(,0)(1,)-∞⋃+∞14．【2020年高考北京】函数1()ln 1f x x x =++的定义域是____________．15．【2020年高考浙江】函数y=x cos x+sin x在区间[–π，π]上的图象可能是16．【2020年高考浙江】已知a，b∈R且ab≠0，对于任意x≥0均有(x–a)(x–b)(x–2a–b)≥0，则A．a<0 B．a>0C．b<0 D．b>0f-的值是．17．【2020年高考江苏】已知y=f(x)是奇函数，当x≥0时，()23f x x=，则()8。
高数高频易错点
经济数学――微积分复习提纲第一章函数1、函数的定义域及分段函数的求值。
2、基本初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数。
初等函数：由基本初等函数和常数经过有限次的四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数，称为初等函数。
3、常用的经济函数(需求函数、供给函数、总成本函数、总收益函数、总利润函数、库存函数)第二章极限与连续1、无穷小的定义与性质。
1）极限为零的变量称为无穷小量。
注：（1）无穷小量是个变量而不是个很小的数.（2）零是常数中唯一的无穷小量。
2）无穷小的性质：有限个无穷小的代数和是无穷小、有界函数与无穷小的乘积是无穷小、常数与无穷小的乘积是无穷小、有限个无穷小的乘积也是无穷小。
3）函数极限与无穷小的关系：的充要条件是，其中A为常数，。
2、无穷大的定义。
在某一变化过程中，若f(x)的绝对值无限增大,则称函数f(x)为此变化过程中的无穷大量。
注：无穷大是变量,不是一个绝对值很大的数。
3、无穷大与无穷小互为倒数。
4、极限的运算法则。
见教材P48 定理1、2、3、4及推论1、25、两个重要极限。
会用重要极限求函数极限。
6、会用等价无穷小代替求极限7、连续的定义。
见教材P66函数f(x) 在点x0处连续，必须同时满足三个条件：1) 在点x0处有定义；2）存在；3）极限值等于函数值，即。
8、函数在点连续的充分必要条件是：既左连续又右连续。
9、函数在点处连续与该点处极限的关系：函数在点处连续则在该点处必有极限，但函数在点处有极限并不一定在该点连续。
10、如何求连续函数的极限连续函数极限必存在，且极限值等于函数值，即11、对于分段函数在分段点处的连续性，若函数在分段点两侧表达式不同时，需根据函数在一点连续的充要条件进行讨论。
12、如何求连续区间？基本初等函数在其定义域内是连续的；一切初等函数在其定义区间内都是连续的。
13、间断点的定义。
14、间断点的类型。
（一）第一类间断点1、可去间断点（1）在处无定义，但存在。
基本初等函数知识点
基本初等函数知识点1.函数的定义与性质函数是一种将一个集合的元素映射到另一个集合的运算关系。
函数可以通过一条或多条有序对来表示，其中每个有序对由自变量和对应的函数值组成。
常见的函数表示方法有显式函数、隐式函数和参数方程等。
函数的性质有定义域、值域、奇偶性、增减性等。
其中，定义域是自变量的取值范围，值域是函数值的取值范围。
奇偶性描述了函数图像的对称性，增减性描述了函数在定义域的变化趋势。
2.常见初等函数常见的初等函数包括多项式函数、指数函数、对数函数、三角函数和双曲函数等。
-多项式函数是形如f(x)=aₙxⁿ+aₙ₋₁xⁿ⁻¹+...+a₁x+a₀的函数，其中aₙ,aₙ₋₁,...,a₁,a₀是常数，x是自变量，n是非负整数。
-指数函数是形如f(x)=aᵢx的函数，其中a是一个正常数，x是自变量。
- 对数函数是指数函数的逆运算，形如 f(x) = logₐx 的函数，其中a 是正常数，x 是自变量。
-三角函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。
-双曲函数是以指数函数为基础构造的一类函数，包括双曲正弦函数、双曲余弦函数等。
3.函数的运算函数之间可以进行四则运算、函数的复合和逆函数的求解等运算。
-四则运算是指两个函数之间进行加减乘除的运算。
加法运算表示两个函数的对应值相加，减法运算表示两个函数的对应值相减，乘法运算表示两个函数的对应值相乘，除法运算表示两个函数的对应值相除。
-函数的复合是指将一个函数的输出作为另一个函数的输入。
复合函数可以通过符号f(g(x))表示，其中f和g是两个函数。
-逆函数是指将一个函数的自变量和函数值交换后得到的新函数。
逆函数可以通过符号f^(-1)(x)表示，其中f是一个函数。
4.函数的图像与性质函数的图像是函数关系在一些坐标系中的几何表现。
函数的图像可以用来研究函数的性质和变化趋势。
-函数的图像可以用点集、曲线或面积等形式来表示。
-函数的对称性可以通过图像来判断，如关于原点对称、关于x轴对称、关于y轴对称等。
基本初等函数及函数的应用
基本初等函数（Ⅰ）及函数的应用★知识网络1a > ）1(02．底数互为倒数的两个指数函数的图像关于y 轴对称.例如：指数函数的图像x a y =与)1,0(≠>=-a a a y x的图象关于y 轴对称3．指数函数的性质：定义域：R ； 值域：（0，＋∞）；过点（0，1）；即x=0时，y=1.当a ＞1时，在R 上是增函数；当0＜a ＜1时，在R 上是减函数.4．利用复合函数的单调性判断形如)(x f a y =的函数的单调性：若1>a ，则)(x f y =的单调增（减）区间，就是)(x f a y =的单调增（减）区间；若10<<a ，则)(x f y =的单调增（减）区间，就是)(x f a y =的单调减（增）区间；5.指数型的方程和不等式的解法(Ⅰ)形如b a b a b a x f x f x f <>=)()()(,,的形式常用“化同底”转化为利用指数函数的单调性解决，或“取对数”等方法；(Ⅱ)形如02=++C Ba a xx 或)0(02≤≥++C Ba ax x的形式，可借助于换元法转化为二次方程或不等式求解。
考点1 指数幂的运算1． （湛江市09届统考）计算：100.256371.5()86-⨯-+ 2.=-⋅63a a ————————考点2 指数函数的图象及性质的应用 题型1：由指数函数的图象判断底数的大小 3．下图是指数函数（1）y=a x ，（2）y=b x ，（3）y=c x ，（4）y=d x 的图像，则a 、b 、c 、d 与1的大小关系是（ ） A ．a b c d <<<<1; B ．b a d c <<<<1； C ．a b c d <<<<1；D ．b a c d <<<<1 [名师指引] 1的妙用题型2：解简单的指数方程4． 方程33131=++-xx的解是_________题型3：利用函数的性质解题5．不等式1622<-+x x的解集是___________6．（广东恩城中学09年模拟）不论a 为何正实数,函数12x y a +=-的图象一定通过一定点,则该定点的坐标是_________7．（广东广雅中学09届月考）已知函数()()()f x x a x b =--（其中a b >）的图象如下面右图所示，则函数()x g x a b =+的图象是( )A ．B ．C ．D ．8．（08年安徽改编）若函数(),()f x g x 分别是R 上的奇函数、偶函数，且满足()()xf xg x e -=，则)3(f 、)0(g 、)2(f 的大小关系为——————————考点3 与指数函数有关的含参数问题9．（广州六校09届联考）已知函数()22x x af x =-, 将()y f x =的图象向右平移两个单位, 得到()y g x =的图象.(1) 求函数()y g x =的解析式;(2) 若函数()y h x =与函数()y g x =的图象关于直线1y =对称, 求函数()y h x =的解析式;二． 对数及对数函数1．对数的概念如果ab=N （a ＞0，a≠1），那么b 叫做以a 为底N 的对数，记作logaN=b ab=N ⇔logaN=b （a ＞0，a ≠1，N ＞0）. 2．对数的运算性质loga （MN ）=logaM+logaN. loga N M=logaM －logaN.logaM n =nlogaM.（M ＞0，N ＞0，a ＞0，a ≠1）3．对数换底公式：logb N =bN a a log log （a ＞0，a ≠1，b ＞0，b ≠1，N ＞0）.4．对数函数的图像及性质①函数y=loga x （a ＞0，a≠1）叫做对数函数，其中x 是自变量，图像如下a <11))②对数函数的性质：定义域：（0，+∞）； 值域：R ； 过定点（1，0）当a ＞1时，在（0，+∞）上是增函数；当0＜a ＜1时，在（0，+∞）上是减函数。
基本初等函数、函数与方程及函数的应用(题型归纳)
基本初等函数、函数与方程及函数的应用【考情分析】1.考查特点:基本初等函数作为高考的命题热点,多考查指数式与对数式的运算、利用函数的性质比较大小,难度中等;函数的应用问题多体现在函数零点与方程根的综合问题上,题目有时较难,而与实际应用问题结合考查的指数、对数函数模型也是近几年考查的热点,难度中等.2.关键能力:逻辑思维能力、运算求解能力、数学建模能力、创新能力.3.学科素养:数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算.【题型一】基本初等函数的图象与性质【典例分析】【例1】（2021•焦作一模）若函数||(0,1)x y a a a =>≠的值域为{|1}y y ，则函数log ||a y x =的图象大致是()A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】若函数||(0,1)x y a a a =>≠的值域为{|1}y y ，则1a >，故函数log ||a y x =的图象大致是：故选：B ．【例2】（2021·陕西西安市·西安中学高三模拟）若1(,1)x e -∈，ln a x =，ln 1()2xb =，ln 2xc =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．c b a >>B ．b a c >>C ．a b c >>D ．b c a>>【答案】D【解析】因1(,1)x e -∈，且函数ln y x =是增函数，于是10a -<<；函数2x y =是增函数，1ln 0ln 1x x -<<<-<，而ln ln 1()22xx -=，则ln 11()22x <<，ln 1212x<<，即1122c b <<<<，综上得：b c a >>故选：D【例3】（2021·湖南长沙长郡中学高三模拟）若函数()()4log 1,13,1x x x f x m x ⎧->=⎨--≤⎩存在2个零点，则实数m 的取值范围为（）A ．[)3,0-B ．[)1,0-C ．[)0,1D ．[)3,-+∞【答案】A【解析】因函数f (x )在(1，+∞)上单调递增，且f (2)=0，即f (x )在(1，+∞)上有一个零点，函数()()4log 1,13,1x x x f x m x ⎧->=⎨--≤⎩存在2个零点，当且仅当f (x )在(-∞，1]有一个零点，x≤1时，()03x f x m =⇔=-，即函数3x y =-在(-∞，1]上的图象与直线y =m 有一个公共点，在同一坐标系内作出直线y =m 和函数3(1)x y x =-≤的图象，如图：而3x y =-在(-∞，1]上单调递减，且有330x -≤-<，则直线y =m 和函数3(1)x y x =-≤的图象有一个公共点，30m -≤<.故选：A【提分秘籍】1.指数函数、对数函数的图象和性质受底数a 的影响,解决与指数、对数函数特别是与单调性有关的问题时,首先要看底数a 的范围.2.研究对数函数的性质,应注意真数与底数的限制条件.如求f(x)=ln(x 2-3x+2)的单调区间,易只考虑t=x 2-3x+2与函数y=ln t 的单调性,而忽视t>0的限制条件.3.指数、对数、幂函数值的大小比较问题的解题策略:(1)底数相同,指数不同的幂用指数函数的单调性进行比较.(2)底数相同,真数不同的对数值用对数函数的单调性进行比较.(3)底数不同、指数也不同,或底数不同、真数也不同的两个数,常引入中间量或结合图象比较大小.【变式演练】1．【多选】（2021·山东省实验中学高三模拟）已知函数()2121x x f x -=+，则下列说法正确的是（）A ．()f x 为奇函数B ．()f x 为减函数C ．()f x 有且只有一个零点D ．()f x 的值域为[)1,1-【答案】AC【解析】()2121x x f x -=+ ,x ∈R ,2121x=-+2112()()2112x xx xf x f x ----∴-===-++,故()f x 为奇函数，又()21212121x x xf x -==-++ ，()f x ∴在R 上单调递增，20x> ，211x ∴+>，20221x∴<<+，22021x∴-<-<+，1()1f x ∴-<<，即函数值域为()1,1-令()21021x x f x -==+，即21x =，解得0x =，故函数有且只有一个零点0.综上可知，AC 正确，BD 错误.故选：AC2．（2021·山东潍坊市·高二一模（理））设函数()322xxf x x -=-+，则使得不等式()()2130f x f -+<成立的实数x 的取值范围是【答案】(),1-∞-【解析】函数的定义域为R ，()()322xx f x x f x --=--=-，所以函数是奇函数，并由解析式可知函数是增函数原不等式可化为()()213f x f -<-，∴213x -<-，解得1x <-，∴x 的取值范围是(),1-∞-．【题型二】函数与方程【典例分析】【例4】（2021·宁夏中卫市·高三其他模拟）函数3()9x f x e x =+-的零点所在的区间为（）A ．()0,1B ．()1,2C ．()2,3D ．()3,4【答案】B【解析】由x e 为增函数，3x 为增函数，故3()9x f x e x =+-为增函数，由(1)80f e =-<，2(2)10f e =->，根据零点存在性定理可得0(1,2)x ∃∈使得0()0f x =，故选：B.【例5】（2021·北京高三一模）已知函数22,,()ln ,x x x t f x x x t⎧+=⎨>⎩(0)t >有2个零点，且过点(,1)e ，则常数t 的一个取值为______．【答案】2（不唯一）．【解析】由220x x +=可得0x =或2x =-由ln 0x =可得1x =因为函数22,,()ln ,x x x t f x x x t⎧+=⎨>⎩(0)t >有2个零点，且过点(,1)e ，所以1e t >≥，故答案为：2（不唯一）【提分秘籍】1.判断函数零点个数的方法直接法直接求零点,令f(x)=0,则方程解的个数即为函数零点的个数定理法利用零点存在性定理,利用该定理只能确定函数的某些零点是否存在,必须结合函数的图象和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点数形结合法对于给定的函数不能直接求解或画出图象的,常分解转化为两个能画出图象的函数的交点问题2.利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法(1)利用零点存在性定理构建不等式求解.(2)分离参数后转化为求函数的值域(最值)问题求解.(3)转化为两个熟悉的函数图象的位置关系问题,从而构建不等式求解.【变式演练】1．（2021·湖北十堰市高三模拟）函数()()()23log 111f x x x x =+->-的零点所在的大致区间是（）A ．()1,2B ．()2,3C ．()3,4D ．()4,5【答案】B【解析】易知()f x 在()1,+∞上是连续增函数，因为()22log 330f =-<，()33202f =->，所以()f x 的零点所在的大致区间是()2,3.故选：B2．（2021·天津高三二模）设函数2,1()4()(2),1x a x f x x a x a x ⎧-<=⎨--≥⎩，若1a =，则()f x 的最小值为______；若()f x 恰有2个零点，则实数a 的取值范围是__________．【答案】1-112a ≤<或2a ≥【解析】当1a =时，()()211()4(1)(2)1x x f x x x x ⎧-<⎪=⎨--≥⎪⎩，1x <，()211xf x =-<，1≥x ，()()()234124112f x x x x ⎛⎫=--=--≥- ⎪⎝⎭所以()f x 的最小值为1-.设()f x 的零点为1x 、2x ，若()1,1x ∈-∞，[)21x ∈+∞,，则20012a a a a->⎧⎪>⎨⎪<≤⎩，得112a ≤<若[)12,1,x x ∈+∞，则0201a a a >⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，得2a ≥，综上:112a ≤<或2a ≥.故答案为:1-；112a ≤<或2a ≥.【题型三】函数的实际应用【典例分析】1．（2021·北京高三二模）20世纪30年代，里克特制定了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用地震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大，这就是我们常说的里氏震级M ，其计算公式为0lg lg M A A =-，其中A 是被测地震的最大振幅,0A 是标准地震的振幅，2008年5月12日，我国四川汶川发生了地震，速报震级为里氏7.8级，修订后的震级为里氏8.0级，则修订后的震级与速报震级的最大振幅之比为（）A ．0.210-B ．0.210C ．40lg39D ．4039【答案】B【解析】由0lg lg M A A =-，可得01AM gA =，即10M A A =，010M A A =⋅，当8M =时，地震的最大振幅为81010A A =⋅，当7.8M =时，地震的最大振幅为7.82010A A =⋅，所以，修订后的震级与速报震级的最大振幅之比是887.80.2017.82010101010A A A A -⋅===⋅.故选：B.2．为加强环境保护，治理空气污染，某环保部门对辖区内一工厂产生的废气进行了监测，发现该厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物数量(mg /L)P 与时间(h)t 的关系为0ktP P e -=.如果在前5个小时消除了10%的污染物，那么污染物减少19%需要花的时间为（）A ．7小时B ．10小时C ．15小时D ．18小时【答案】B【解析】因为前5个小时消除了10%的污染物，所以()50010.1kP P P e -=-=，解得ln 0.95k =-，所以ln 0.950tP P e =，设污染物减少19%所用的时间为t ，则()0010.190.81P P -=()()ln 0.92ln 0.955500000.90.9t t t P P e P eP ====，所以25t=，解得10t =，故选：B 3.（2021·山东滕州一中高三模拟）为了预防某种病毒，某商场需要通过喷洒药物对内部空间进行全面消毒，出于对顾客身体健康的考虑，相关部门规定空气中这种药物的浓度不超过0.25毫克/立方米时，顾客方可进入商场．已知从喷洒药物开始，商场内部的药物浓度y （毫克/立方米）与时间t （分钟）之间的函数关系为100.1,0101,102ta t t y t -≤≤⎧⎪=⎨⎛⎫>⎪ ⎪⎝⎭⎩（a 为常数），函数图象如图所示．如果商场规定10：00顾客可以进入商场，那么开始喷洒药物的时间最迟是A ．9:40B ．9:30C ．9:20D ．9:10【答案】9:30【解析】根据函数的图象，可得函数的图象过点(10,1)，代入函数的解析式，可得1121a-⎛⎫⎪⎝⎭=，解得1a =，所以1100.1,0101,102t t t y t -≤≤⎧⎪=⎨⎛⎫>⎪ ⎪⎝⎭⎩，令0.25y ≤，可得0.10.25t ≤或11020.251t -⎛⎝≤⎫⎪⎭，解得0 2.5t <≤或30t ≥，所以如果商场规定10：00顾客可以进入商场，那么开始喷洒药物的时间最迟是9:30.故选：B.【提分秘籍】1.构建函数模型解决实际问题的失分点：(1)不能选择相应变量得到函数模型；(2)构建的函数模型有误；(3)忽视函数模型中变量的实际意义.2.解决新概念信息题的关键：(1)依据新概念进行分析；(2)有意识地运用转化思想，将新问题转化为我们所熟知的问题.【变式演练】（2020·湖北黄冈市·黄冈中学高三模拟）“百日冲刺”是各个学校针对高三学生进行的高考前的激情教育，它能在短时间内最大限度激发一个人的潜能，使成绩在原来的基础上有不同程度的提高，以便在高考中取得令人满意的成绩，特别对于成绩在中等偏下的学生来讲，其增加分数的空间尤其大．现有某班主任老师根据历年成绩在中等偏下的学生经历“百日冲刺”之后的成绩变化，构造了一个经过时间()30100t t ≤≤（单位：天），增加总分数()f t （单位：分）的函数模型：()()1lg 1kPf t t =++，k 为增分转化系数，P 为“百日冲刺”前的最后一次模考总分，且()1606f P =．现有某学生在高考前100天的最后一次模考总分为400分，依据此模型估计此学生在高考中可能取得的总分约为（）（lg 61 1.79≈）A ．440分B ．460分C ．480分D ．500分【答案】B【解析】由题意得：()1601lg 61 2.796kP kP f P ===+， 2.790.4656k ∴≈=；∴()0.465400186186100621lg1011lg100lg1.013f ⨯==≈=+++，∴该学生在高考中可能取得的总分约为40062462460+=≈分.故选：B.1.（2021·江苏金陵中学高三模拟）函数()2ln 1xf x x =+-的零点所在的区间为（）．A ．31,2⎛⎫⎪⎝⎭B ．3,22⎛⎫⎪⎝⎭C ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】D【解析】函数()2ln 1xf x x =+-为()0,∞+上的增函数，由()110f =>，1311112ln 21ln 21ln 2ln 0222222f e ⎛⎫=-<--=-<-=⎪⎝⎭，可得函数()f x 的零点所在的区间为1,12⎛⎫⎪⎝⎭．故选：D.2.（2021·山东潍坊一中高三模拟）若函数()1af x x x =+-在(0,2)上有两个不同的零点，则a 的取值范围是（）A ．1[2,]4-B ．1(2,)4-C ．1[0,]4D ．1(0,)4【答案】D【解析】函数()1a f x x x=+-在(0,2)上有两个不同的零点等价于方程10ax x +-=在(0,2)上有两个不同的解，即2a x x =-+在(0,2)上有两个不同的解.此问题等价于y a =与2(02)y x x x =-+<<有两个不同的交点.由下图可得104a <<.故选：D.3．（2021·长沙市·湖南师大附中高三三模）已知函数()()()ln 2ln 4f x x x =-+-，则（）．A ．()f x 的图象关于直线3x =对称B ．()f x 的图象关于点()3,0对称C ．()f x 在()2,4上单调递增D ．()f x 在()2,4上单调递减【答案】A【解析】()f x 的定义域为()2,4x ∈，A ：因为()()()()3ln 1ln 13f x x x f x +=++-=-，所以函数()f x 的图象关于3x =对称，因此本选项正确；B ：由A 知()()33f x f x +≠--，所以()f x 的图象不关于点()3,0对称，因此本选项不正确；C ：()()()2ln 2ln 4ln(68)x x x f x x =-+-=-+-函数2268(3)1y x x x =-+-=--+在()2,3x ∈时，单调递增，在()3,4x ∈时，单调递减，因此函数()f x 在()2,3x ∈时单调递增，在()3,4x ∈时单调递减，故本选项不正确；D ：由C 的分析可知本选项不正确，故选：A4．（2021·辽宁本溪高级中学高三模拟高三模拟）设函数2ln(1)ln(1)()1x x f x x +--=-，则函数的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】2ln(1)ln(1)()1x x f x x +--=-，定义域为()1,1-，且()()f x f x -=-，故函数为奇函数，图象关于原点对称，故排除A,B,C ，故选：D.5．（2021·新安县第一高级中学高三模拟）被誉为信息论之父的香农提出了一个著名的公式：2log 1S C W N ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，其中C 为最大数据传输速率，单位为bit /s ：W 为信道带宽，单位为Hz ：SN为信噪比.香农公式在5G 技术中发挥着举足轻重的作用.当99SN=，2000Hz W =时，最大数据传输速率记为1C ；在信道带宽不变的情况下，若要使最大数据传输速率翻一番，则信噪比变为原来的多少倍（）A ．2B ．99C ．101D ．9999【答案】C【解析】当99S N =，2000Hz W =时，()1222log 12000log 1994000log 10S C W N ⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭，由228000log 102000log 1S N ⎛⎫=+⎪⎝⎭，得224log 10log 1S N ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以9999S N =，所以999910199=，即信噪比变为原来的101倍.故选：C .6．（2021·浙江温州市·瑞安中学高三模拟）已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，满足()()2f x f x +=-，且当[]0,1x ∈时，()()2log 1f x x =+，则函数()3y f x x =-的零点个数是（）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】B【解析】由()()2f x f x +=-可得()f x 关于1x =对称，由函数()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()()[]2()(2)(2)f x f x f x f x f x +=-=-=---=-，所以()f x 的周期为4，把函数()3y f x x =-的零点问题即()30y f x x =-=的解，即函数()y f x =和3y x =的图像交点问题，根据()f x 的性质可得如图所得图形，结合3y x =的图像，由图像可得共有3个交点，故共有3个零点，故选：B.7．（2021·珠海市第二中学高三模拟）设21()log (1)f x x a=++是奇函数，若函数()g x 图象与函数()f x 图象关于直线y x =对称，则()g x 的值域为（）A ．11(,)(,)22-∞-+∞ B ．11(,22-C ．(,2)(2,)-∞-+∞D ．(2,2)-【答案】A【解析】因为21()log (1)f x x a=++，所以1110x a x a x a+++=>++可得1x a <--或x a >-，所以()f x 的定义域为{|1x x a <--或}x a >-，因为()f x 是奇函数，定义域关于原点对称，所以1a a --=，解得12a =-，所以()f x 的定义域为11(,)(,)22-∞-+∞ ，因为函数()g x 图象与函数()f x 图象关于直线y x =对称，所以()g x 与()f x 互为反函数，故()g x 的值域即为()f x 的定义域11(,)(,)22-∞-+∞ .故选：A .8．（2021·浙江杭州高级中学高三模拟）已知函数22log ,0,()44,0.x x f x x x x ⎧>=⎨--+<⎩若函数()()g x f x m =-有四个不同的零点1234,,,x x x x ，则1234x x x x 的取值范围是（）A ．(0,4)B ．(4,8)C ．(0,8)D ．(0,)+∞【答案】A【解析】函数()g x 有四个不同的零点等价于函数()f x 的图象与直线y m =有四个不同的交点.画出()f x 的大致图象，如图所示.由图可知(4,8)m ∈.不妨设1234x x x x <<<，则12420x x -<<-<<，且124x x +=-.所以214x x =--，所以()()212111424(0,4)x x x x x =--=-++∈，则3401x x <<<，因为2324log log x x =，所以2324log log x x -=，所以12324log log x x -=，所以341x x ⋅=，所以123412(0,4)x x x x x x ⋅⋅⋅=∈⋅.故选：A9．（2021·天津南开中学高三模拟）若函数()1x f x e =-与()g x ax =的图象恰有一个公共点，则实数a 可能取值为()A ．2B ．1C ．0D ．1-【答案】BCD【解析】函数()1x f x e =-的导数为()x f x e '=；所以过原点的切线的斜率为1k =；则过原点的切线的方程为：y x =；所以当1a 时，函数()1x f x e =-与()g x ax =的图象恰有一个公共点；故选BCD10．（2021·广东佛山市·高三模拟）函数()()()ln 1ln 1xxf x e e =+--，下列说法正确的是（）A ．()f x 的定义域为(0,)+∞B ．()f x 在定义域内单调递増C ．不等式(1)(2)f m f m ->的解集为(1,)-+∞D ．函数()f x 的图象关于直线y x =对称【答案】AD【解析】要使函数有意义，则10(0,)10x xe x e ⎧+>⇒∈+∞⎨->⎩，故A 正确；()()12()ln 1ln 1ln ln(111x xxx x e f x e e e e +=+--==+--，令211xy e =+-，易知其在(0,)+∞上单调递减，所以()f x 在(0,)+∞上单调递减，故B 不正确；由于()f x 在(0,)+∞上单调递减，所以对于(1)(2)f m f m ->，有1020(1,)12m m m m m ->⎧⎪>⇒∈+∞⎨⎪-<⎩，故C 不正确；令()ln(211x y f x e +=-=，解得11ln()11y xy y y e e e x e e ++=⇒=--，所以()f x 关于直线y x =对称，故D 正确.故选：AD11．（2021·福建厦门市高三模拟）某医药研究机构开发了一种新药，据监测，如果患者每次按规定的剂量注射该药物，注射后每毫升血液中的含药量y （微克）与时间t （小时）之间的关系近似满足如图所示的曲线．据进一步测定，当每毫升血液中含药量不少于0.125微克时，治疗该病有效，则（）A ．3a =B ．注射一次治疗该病的有效时间长度为6小时C ．注射该药物18小时后每毫升血液中的含药量为0.4微克D ．注射一次治疗该病的有效时间长度为31532时【答案】AD【解析】由函数图象可知()4(01)112t at t y t -<⎧⎪=⎨⎛⎫≥ ⎪⎪⎝⎭⎩，当1t =时，4y =，即11()42a-=，解得3a =，∴()34(01)112t t t y t -<⎧⎪=⎨⎛⎫≥ ⎪⎪⎝⎭⎩，故A 正确，药物刚好起效的时间，当40.125t =，即132t =，药物刚好失效的时间31()0.1252t -=，解得6t =，故药物有效时长为131653232-=小时，药物的有效时间不到6个小时，故B 错误，D 正确；注射该药物18小时后每毫升血液含药量为140.58⨯=微克，故C 错误，故选：AD ．12．（2021·辽宁省实验中学高三模拟）（多选题）已知函数()f x ，()g x 的图象分别如图1，2所示，方程(())1f g x =，(())1g f x =-，1(())2g g x =-的实根个数分别为a ，b ，c ，则（）A ．a b c +=B ．b c a+=C ．b a c=D ．2b c a+=【答案】AD【解析】由图，方程(())1f g x =，1()0g x -<<，此时对应4个解，故4a =；方程(())1g f x =-，得()1f x =-或者()1f x =，此时有2个解，故2b =；方程1(())2g g x =-，()g x 取到4个值，如图所示：即2()1g x -<<-或1()0g x -<<或0()1g x <<或1()2g x <<，则对应的x 的解，有6个，故6c =.根据选项，可得A ，D 成立.故选AD ．13．（2021·山东淄博实验中学高三模拟）如果函数y =a 2x +2a x -1(a >0，且a ≠1)在区间[-1，1]上的最大值是14，则a 的值为________.【答案】3或13【解析】令a x =t ，则y =a 2x +2a x -1=t 2+2t -1=(t +1)2-2.当a >1时，因为x ∈[-1，1]，所以t ∈1,a a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，又函数y =(t +1)2-2在1,a a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以y max =(a +1)2-2=14，解得a =3(负值舍去).当0<a <1时，因为x ∈[-1，1]，所以t ∈1a a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，又函数y =(t +1)2-2在1a a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递增，则y max =211a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭-2=14，解得a =13(负值舍去).综上，a =3或a =13.14．（2021·北京高三一模）已知函数22,1,()log ,1,x x f x x x ⎧<=⎨-⎩则(0)f =________；()f x 的值域为_______．【答案】1(),2-∞【解析】0(0)2=1=f ；当1x <时，()()20,2=∈xf x ，当1x ≤时，()2log 0=-≤f x x ，所以()f x 的值域为(),2-∞故答案为：1；(),2-∞．15．（2021·重庆南开中学高三模拟）已知定义域为[4,4]-的函数()f x 的部分图像如图所示，且()()0f x f x --=，函数(lg )1f a ≤，则实数a 的取值范围为______．【答案】1,1010⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】由题意知()()f x f x -=，且函数()f x 的定义域为[4,4]-，所以()f x 是偶函数．由图知()11f =，且函数()f x 在[0,4]上为增函数，则不等式(lg )1f a ≤等价于(|lg |)(1)f a f ≤，即|lg |1a ≤，所以1lg 1a -≤≤，解得11010a ≤≤．故实数a 的取值范围为1,1010⎡⎤⎢⎥⎣⎦．故答案为：1,1010⎡⎤⎢⎥⎣⎦16.（2021·湖南长沙市·长沙一中高三其他模拟）设函数()222,034,0x x x f x x x ⎧-+≥=⎨+<⎩，若互不相等的实数1x ，2x ，3x 满足()()()123f x f x f x ==，则123x x x ++的取值范围是__________．【答案】41,3⎛⎤ ⎥⎝⎦【解析】作出函数()f x 图像如下互不相等的实数1x ，2x ，3x 满足()()()123f x f x f x ==不妨设123x x x <<，则23,x x 关于1x =对称，所以232x x +=根据图像可得1213x -<≤-所以123413x x x <++≤，所以123x x x ++的取值范围为41,3⎛⎤ ⎥⎝⎦。
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易失分点(三)基本初等函数及函数的应用1.已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫15x －log 3x ，若实数x 0是方程f (x )＝0的解，且0<x 1<x 0，则f (x 1)的值( )．A ．不小于0B ．恒为正数C ．恒为负数D ．不大于02．a ＝0.80.7，b ＝0.80.9，c ＝1.20.8的大小关系是( )．A ．a >b >cB ．c >a >bC ．b >c >aD ．b >a >c3．函数f (x )＝a x －b 的图象如图所示，其中a 、b 为常数，则下列结论正确的是( )．A ．a >1，b <0B ．a >1，b >0C ．0<a <1，b >0D ．0<a <1，b <04．已知幂函数f (x )＝k ·x α的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22，则k ＋α＝( )．A.12B ．1C.32D ．25．函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象关于直线x ＝－b2a 对称．据此可推测，对任意的非零实数a ，b ，c ，m ，n ，p ，关于x 的方程m [f (x )]2＋nf (x )＋p ＝0的解集都不可能是( )．A ．{1,2}B ．{1,4}C ．{1,2,3,4}D ．{1,4,16,64}6．函数f (x )＝mx 2－2x ＋1有且仅有一个正实数零点，则实数m 的取值范围是( )．A ．(－∞，1]B ．(－∞，0]∪{1}C ．(－∞，0)∪{1}D ．(－∞，1)7. 已知函数f (x )＝a x ＋b 的图象如图所示，则g (x )＝log a (x ＋b )的图象是 ( )．8．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x(x >0)，e x (x ≤0)，F (x )＝f (x )＋x ，x ∈R .F (x )的值域为 ( )． A ．(－∞，1]B ．[2，＋∞)C ．(－∞，1]∪[2，＋∞)D ．(－∞，1)∪(2，＋∞)9．定义在R 上的奇函数f (x )满足f (2－x )＝f (x )，当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，又g (x )＝cos πx2，则集合{x |f (x )＝g (x )}等于( )．A.⎩⎨⎧ x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＝2k ＋12，k ∈ZB.⎩⎨⎧ x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＝4k ＋12，k ∈ZC ．{x |x ＝2k ＋1，k ∈Z }D.⎩⎨⎧ x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＝4k ±12，k ∈Z10．设g (x )＝⎩⎨⎧10x(x ≤0)，lg x (x >0)，则g ⎝ ⎛⎭⎪⎫g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝________.11．设m ∈N ，若函数f (x )＝2x －m 10－x －m ＋10存在整数零点，则m 的取值集合为________．12．用二分法求方程x 2＝2的正实根的近似解(精确度0.001)时，如果我们选取初始区间是[1.4,1.5]，则要达到精确度要求至少需要计算的次数是________．13．已知函数f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)在区间[1,2]上的最大值与最小值的差为a2，则a 的值为________．14．2013年我国人口总数约为14亿，如果人口的自然年增长率控制在1.25%，则____年我国人口将超过20亿．(lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1，lg7 ≈0.845 1) 15．某同学高三阶段12次数学考试的成绩呈现前几次与后几次均连续上升，中间几次连续下降的趋势．现有三种函数模型；①f (x )＝pq x ，②f (x )＝log a x ＋q ，③f (x )＝(x －1)·(x －q )2＋p (其中p ，q 为正常数，且q >2)．能较准确反映数学成绩与考试序次关系，应选________作为模拟函数；若f (1)＝4，f (3)＝6，则所选函数f (x )的解析式为________．易失分点(三)基本初等函数及函数的应用答案1.已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫15x －log 3x ，若实数x 0是方程f (x )＝0的解，且0<x 1<x 0，则f (x 1)的值( )．A ．不小于0B ．恒为正数C ．恒为负数D ．不大于0解析 若实数x 0是方程f (x )＝0的解，即x 0是函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫15x 和y ＝log 3x 的图象的交点的横坐标，因为0<x 1<x 0，画图易知⎝ ⎛⎭⎪⎫15x 1>log 3x 1，所以f (x 1)恒为正数．答案 B2．a ＝0.80.7，b ＝0.80.9，c ＝1.20.8的大小关系是( )．A ．a >b >cB ．c >a >bC ．b >c >aD ．b >a >c解析 由y ＝a x 的性质知c >1，a <1，b <1，又考虑y ＝0.8x 的单调性可知a >b ，∴c >a >b . 答案 B3．函数f (x )＝a x －b 的图象如图所示，其中a 、b 为常数，则下列结论正确的是( )．A ．a >1，b <0B ．a >1，b >0C ．0<a <1，b >0D ．0<a <1，b <0解析 由图象得函数是减函数，∴0<a <1. 又分析得，图象是由y ＝a x 的图象向左平移所得，∴－b >0，即b <0.从而D 正确． 答案 D4．已知幂函数f (x )＝k ·x α的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22，则k ＋α＝( )．A.12B ．1C.32D ．2解析 ∵f (x )＝k ·x α是幂函数，∴k ＝1.又f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫12α＝22，∴α＝12，∴k ＋α＝1＋12＝32. 答案 C5．函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象关于直线x ＝－b2a 对称．据此可推测，对任意的非零实数a，b，c，m，n，p，关于x的方程m[f(x)]2＋nf(x)＋p＝0的解集都不可能是()．A．{1,2} B．{1,4}C．{1,2,3,4} D．{1,4,16,64}解析设关于f(x)的方程m[f(x)]2＋nf(x)＋p＝0有两根，即f(x)＝t1或f(x)＝t2.而f(x)＝ax2＋bx＋c的图象关于x＝－b2a对称，因而f(x)＝t1或f(x)＝t2的两根也关于x＝－b2a对称．而选项D中4＋162≠1＋642.答案 D6．函数f(x)＝mx2－2x＋1有且仅有一个正实数零点，则实数m的取值范围是()．A．(－∞，1] B．(－∞，0]∪{1}C．(－∞，0)∪{1} D．(－∞，1)解析当m＝0时，x＝12为函数的零点；当m≠0时，若Δ＝0，即m＝1时，x＝1是函数唯一的零点，若Δ≠0，显然x＝0不是函数的零点，这样函数有且仅有一个正实数零点等价于方程f(x)＝mx2－2x＋1＝0有一个正根一个负根，即mf(0)<0，即m<0.故选B.答案 B7. 已知函数f(x)＝a x＋b的图象如图所示，则g(x)＝log a(x＋b)的图象是()．解析由f(x)＝a x＋b的图象知0<a<1，b>0，则g(x)＝log a(x＋b)为减函数，排除A，B，又函数y＝log a(x＋b)的定义域为(－b，＋∞)，且－b<0，排除C.答案 D8．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x(x >0)，e x (x ≤0)，F (x )＝f (x )＋x ，x ∈R .F (x )的值域为 ( )．A ．(－∞，1]B ．[2，＋∞)C ．(－∞，1]∪[2，＋∞)D ．(－∞，1)∪(2，＋∞)解析 当x >0时，F (x )＝1x ＋x ≥2；当x ≤0时，F (x )＝e x ＋x ，根据指数函数与一次函数的单调性，F (x )是单调递增函数，F (x )≤F (0)＝1，所以F (x )的值域为(－∞，1]∪[2，＋∞) 答案 C9．定义在R 上的奇函数f (x )满足f (2－x )＝f (x )，当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，又g (x )＝cos πx2，则集合{x |f (x )＝g (x )}等于( )．A.⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＝2k ＋12，k ∈Z B.⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＝4k ＋12，k ∈Z C ．{x |x ＝2k ＋1，k ∈Z }D.⎩⎨⎧ x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＝4k ±12，k ∈Z 解析 由题意，得函数为奇函数，即有f (－x )＝－f (x )．又f (2－x )＝f (x )，所以f (2－x )＝－f (－x )．令t ＝－x ，则f (t ＋2)＝－f (t )，故f (t ＋4)＝f (t )，即函数f (x )以4为周期，而函数g (x )＝cos πx2也以4为周期，经画图象观察，在它们公共的定义域[0,4]上，方程f (x )＝g (x )的解只有一个12∈[0,1]，故方程的解集为B. 答案 B10．设g (x )＝⎩⎨⎧10x(x ≤0)，lg x (x >0)，则g ⎝ ⎛⎭⎪⎫g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝________.解析 由题可知g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝lg 12<0，可得g ⎝ ⎛⎭⎪⎫g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝g lg 12＝10lg 12＝12.答案 1211．设m ∈N ，若函数f (x )＝2x －m 10－x －m ＋10存在整数零点，则m 的取值集合为________．解析 由题中m ∈N ，函数f (x )＝2x －m 10－x －m ＋10存在整数零点知，－5≤x ≤10，若使f (x )存在整数零点，则当m ≠0时10－x ∈Z ，于是x 只能取1,6,9,10这四个数字，令2x －m 10－x －m ＋10＝0，则将x 的可能取值分别代入方程，可得m ∈{3,14,30}；当m ＝0时，也符合题意，于是m 的取值集合为{0,3，14,30}． 答案 {0,3,14,30}12．用二分法求方程x 2＝2的正实根的近似解(精确度0.001)时，如果我们选取初始区间是[1.4,1.5]，则要达到精确度要求至少需要计算的次数是________． 解析 设至少需要计算n 次，由题意知1.5－1.42n <0.001， 即2n >100，由26＝64.27＝128知n ＝7. 答案 713．已知函数f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)在区间[1,2]上的最大值与最小值的差为a2，则a 的值为________．解析 当a >1时，f (x )＝a x 在[1,2]上为增函数， 故f (x )max ＝a 2，f (x )min ＝a ，由题意知a 2－a ＝a 2，解得a ＝0(舍)或a ＝32，故a ＝32， 当0<a <1时，f (x )在[1,2]上为减函数， 故f (x )max ＝a ，f (x )min ＝a 2， ∴a －a 2＝a 2，解a ＝0(舍)或a ＝12， 综上：a ＝32或a ＝12. 答案 32或1214．2013年我国人口总数约为14亿，如果人口的自然年增长率控制在1.25%，则________年我国人口将超过20亿．(lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1，lg7 ≈0.845 1)解析 由已知条件：14(1＋1.25%)x －2 013>20， x －2 013>lg 107lg 8180＝1－lg 74lg 3－3 lg 2－1＝28.7则x >2 041.7，即x ＝2 042. 答案 2 04215．某同学高三阶段12次数学考试的成绩呈现前几次与后几次均连续上升，中间几次连续下降的趋势．现有三种函数模型；①f (x )＝pq x ，②f (x )＝log a x ＋q ，③f (x )＝(x －1)·(x －q )2＋p (其中p ，q 为正常数，且q >2)．能较准确反映数学成绩与考试序次关系，应选________作为模拟函数；若f (1)＝4，f (3)＝6，则所选函数f (x )的解析式为________．解析 (1)因为f (x )＝pq x ，f (x )＝log a x ＋q 是单调函数，f (x )＝(x －1)(x －q )2＋p 中，f ′(x )＝3x 2－(4q ＋2)x ＋q 2＋2q ，令f ′(x )＝0，得x ＝q ，x ＝q ＋23，f (x )有两个零点，可以出现两个递增区间和一个递减区间，所以应选f (x )＝(x －1)(x －q )2＋p 为其成绩模拟函数．(2)由f (1)＝4，f (3)＝6，得⎩⎨⎧p ＝4，2(3－q )2＋p ＝6，q >2，解得⎩⎨⎧p ＝4，q ＝4，故f (x )＝x 3－9x 2＋24x －12(1≤x ≤12，且x ∈Z )．答案 ③ f (x )＝x 3－9x 2＋24x －12(1≤x ≤12，且x ∈Z )。