第2讲 基本初等函数、函数的应用

第2讲 基本初等函数、函数的应用高考定位 1.掌握二次函数、分段函数、幂函数、指数函数、对数函数的图象与性质；2.以基本初等函数为依托，考查函数与方程的关系、函数零点存在性定理；3.能利用函数解决简单的实际问题.真 题 感 悟1.(2020·全国Ⅲ卷)已知55<84，134<85.设a ＝log 53，b ＝log 85，c ＝log 138，则( ) A.a <b <c B.b <a <c C.b <c <aD.c <a <b解析 ∵log 53－log 85＝log 53－1log 58＝log 53·log 58－1log 58<⎝ ⎛⎭⎪⎫log 53＋log 5822－1log 58＝⎝ ⎛⎭⎪⎫log 52422－1log 58<⎝ ⎛⎭⎪⎫log 52522－1log 58＝0，∴log 53<log 85.∵55<84，134<85，∴5log 85<4log 88＝4＝4log 1313<5log 138， ∴log 85<log 138，∴log 53<log 85<log 138， 即a <b <c .故选A. 答案 A2.(2020·全国Ⅰ卷)若2a ＋log 2a ＝4b ＋2log 4b ，则( ) A.a >2b B.a <2b C.a >b 2D.a <b 2解析 由指数和对数的运算性质可得 2a ＋log 2a ＝4b ＋2log 4b ＝22b ＋log 2b .令f (x )＝2x ＋log 2x ，则f (x )在(0，＋∞)上单调递增. 又∵22b ＋log 2b <22b ＋log 2b ＋1＝22b ＋log 2(2b )， ∴2a ＋log 2a <22b ＋log 2(2b )，即f (a )<f (2b )，∴a <2b . 故选B. 答案 B3.(2020·全国Ⅲ卷)Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域.有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I (t )(t 的单位：天)的Logistic 模型：I (t )＝K 1＋e－0.23（t －53），其中K 为最大确诊病例数.当I (t *)＝0.95K 时，标志着已初步遏制疫情，则t *约为(ln 19≈3)( ) A.60B.63C.66D.69解析 因为I (t )＝K 1＋e －0.23（t －53），所以当I (t *)＝0.95K 时，K1＋e －0.23（t *－53）＝0.95K ⇒11＋e －0.23（t *－53）＝0.95⇒1＋e－0.23(t *－53)＝10.95⇒e －0.23(t *－53)＝10.95－1⇒e 0.23(t *－53)＝19⇒0.23(t *－53)＝ln 19⇒t *＝ln 190.23＋53≈30.23＋53≈66.故选C. 答案 C4.(2020·天津卷)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 3，x ≥0，－x ，x ＜0.若函数g (x )＝f (x )－|kx 2－2x |(k ∈R )恰有4个零点，则k 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪(22，＋∞) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪(0，22) C.(－∞，0)∪(0，22) D.(－∞，0)∪(22，＋∞)解析 法一 注意到g (0)＝0，所以要使g (x )恰有4个零点，只需方程|kx －2|＝f（x）|x|恰有3个实根即可.令h(x)＝f（x）|x|，即y＝|kx－2|与h(x)＝f（x）|x|的图象有3个交点.h(x)＝f（x）|x|＝⎩⎪⎨⎪⎧x2，x＞0，1，x＜0.当k＝0时，此时y＝|kx－2|＝2，如图①，y＝2与h(x)＝f（x）|x|的图象有1个交点，不满足题意；当k＜0时，如图②，此时y＝|kx－2|与h(x)＝f（x）|x|的图象恒有3个交点，满足题意；当k＞0时，如图③，由y＝kx－2与y＝x2联立，得x2－kx＋2＝0，令Δ＞0，得k2－8＞0，解得k＞22或k＜－22(舍去)，此时y＝|kx－2|与h(x)＝f（x）|x|的图象有3个交点.综上，k的取值范围为(－∞，0)∪(22，＋∞).故选D.法二由法一知y＝|kx－2|与h(x)＝f（x）|x|的图象有3个交点，令k＝－12，检验知符合题意，可排除选项A，B；令k＝1，检验知不符合题意，可排除选项C.故选D.答案 D考 点 整 合1.指数式与对数式的七个运算公式 (1)a m ·a n ＝a m ＋n ； (2)(a m )n ＝a mn ；(3)log a (MN )＝log a M ＋log a N ； (4)log a MN ＝log a M －log a N ； (5)log a M n ＝n log a M ； (6)a log a N ＝N ；(7)log a N ＝log b Nlog ba (注：a ，b >0且a ，b ≠1，M >0，N >0).2.指数函数与对数函数的图象和性质指数函数y ＝a x (a >0，a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0，a ≠1)的图象和性质，分0<a <1，a >1两种情况，当a >1时，两函数在定义域内都为增函数，当0<a <1时，两函数在定义域内都为减函数. 3.函数的零点问题(1)函数F (x )＝f (x )－g (x )的零点就是方程f (x )＝g (x )的根，即函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝g (x )的图象交点的横坐标.(2)确定函数零点的常用方法：①直接解方程法；②利用零点存在性定理；③数形结合，利用两个函数图象的交点求解. 4.应用函数模型解决实际问题的一般程序 读题文字语言⇒建模数学语言⇒求解数学应用⇒反馈检验作答.热点一 基本初等函数的图象与性质【例1】 (1)在同一直角坐标系中，函数y ＝1a x ，y ＝log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12(a >0，且a ≠1)的图象可能是( )(2)(2020·百校联盟考试)已知函数f (x )＝log 12(x 2－ax ＋a )在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上为减函数，则实数a 的取值范围是( )A.(－∞，1]B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，1 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞ 解析 (1)当a >1时，y ＝1a x 是减函数，y ＝log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12是增函数，且y ＝log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12的图象过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，则选项A ，B ，C ，D 均不符合.从而0<a <1，此时y ＝1a x 是增函数，y ＝log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12是减函数，且y ＝log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12的图象过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，只有选项D适合.(2)∵f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上为减函数，且y ＝log 12t 在(0，＋∞)上为减函数，∴t ＝x 2－ax ＋a 在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上为增函数，且t ＞0.因此－－a 2≤12，且⎝ ⎛⎭⎪⎫122－a2＋a ≥0，解得a ≤1且a ≥－12，则a 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1.答案 (1)D (2)B探究提高 1.指数函数、对数函数的图象和性质受底数a 的影响，解决与指数、对数函数特别是与单调性有关的问题时，首先要看底数a 的范围.2.研究对数函数的性质，应注意真数与底数的限制条件.如本例(2)中易只考虑y ＝log 12t 与t ＝x 2－ax ＋a 的单调性，而忽视t ＞0恒成立的限制条件. 【训练1】 (1)(2020·天津卷)设a ＝30.7，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－0.8，c ＝log 0.70.8，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A.a ＜b ＜c B.b ＜a ＜c C.b ＜c ＜aD.c ＜a ＜b(2)(2020·济南模拟)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧log a x ，x ＞0，|x ＋2|，－3≤x ≤0(a ＞0且a ≠1)，若函数f (x )的图象上有且仅有两个点关于y 轴对称，则a 的取值范围是( ) A.(0，1)B.(1，3)C.(0，1)∪(3，＋∞)D.(0，1)∪(1，3)解析 (1)因为a ＝30.7＞30＝1，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－0.8＝30.8＞30.7，c ＝log 0.70.8＜log 0.70.7＝1，所以b ＞a ＞c .故选D.(2)y ＝log a x 的图象关于y 轴对称的图象对应的函数为y ＝log a (－x )，函数f (x )的图象上有且仅有两个点关于y 轴对称，等价于y ＝log a (－x )与y ＝|x ＋2|，－3≤x ≤0的图象有且仅有一个交点.当0＜a ＜1时，显然符合题意(图略).当a ＞1时，只需log a 3＞1，∴1＜a ＜3，综上所述，a 的取值范围是(0，1)∪(1，3). 答案 (1)D (2)D热点二 函数的零点与方程 角度1 确定函数零点个数或范围【例2】 (1)函数f (x )＝log 2x －1x 的零点所在的区间为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 C.(1，2)D.(2，3)(2)(2020·武汉二模)函数f (x )＝4cos 2x 2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x －2sin x －|ln(x ＋1)|的零点个数为________.解析 (1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数. f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝log 212－112＝－1－2＝－3＜0， f (1)＝log 21－11＝0－1＜0，f (2)＝log 22－12＝1－12＝12＞0，f (3)＝log 23－13＞1－13＝23＞0，即f (1)·f (2)＜0，∴函数f (x )＝log 2x －1x的零点在区间(1，2)内.(2)f (x )＝4cos 2x 2sin x －2sin x －|ln(x ＋1)|＝2sin x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos 2x 2－1－|ln(x ＋1)|＝sin 2x －|ln(x ＋1)|，令f (x )＝0，得sin 2x ＝|ln(x ＋1)|.在同一坐标系中作出两个函数y ＝sin 2x 与函数y ＝|ln(x ＋1)|的大致图象如图所示.观察图象可知，两函数图象有2个交点，故函数f (x )有2个零点. 答案 (1)C (2)2探究提高 判断函数零点个数的主要方法：(1)解方程f (x )＝0，直接求零点；(2)利用零点存在定理；(3)数形结合法：对于给定的函数不能直接求解或画出图形，常会通过分解转化为两个能画出的函数图象交点问题.【训练2】 (1)(2019·全国Ⅲ卷)函数f (x )＝2sin x －sin 2x 在[0，2π]的零点个数为( ) A.2B.3C.4D.5(2)函数y ＝|log 2x |－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的零点个数是( )A.0B.1C.2D.3解析 (1)令f (x )＝0，得2sin x －sin 2x ＝0，即2sin x －2sin x cos x ＝0，∴2sin x (1－cos x )＝0，∴sin x ＝0或cos x ＝1. 又x ∈[0，2π]，∴由sin x ＝0得x ＝0，π或2π，由cos x ＝1得x ＝0或2π. 故函数f (x )的零点为0，π，2π，共3个.(2)函数y ＝|log 2x |－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的零点，即方程|log 2x |－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x＝0的根，即函数y ＝|log 2x |与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x图象的交点，画出y ＝|log 2x |与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的图象，易知交点有2个.选C. 答案 (1)B (2)C角度2 根据函数的零点数形结合求参数【例3】 (1)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧e x ，x ≤0，ln x ，x >0，g (x )＝f (x )＋x ＋a .若g (x )存在2个零点，则a 的取值范围是( ) A.[－1，0) B.[0，＋∞) C.[－1，＋∞)D.[1，＋∞)(2)(2019·天津卷)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，0≤x ≤1，1x ，x >1.若关于x 的方程f (x )＝－14x ＋a (a ∈R )恰有两个互异的实数解，则a 的取值范围为( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤54，94 B.⎝ ⎛⎦⎥⎤54，94 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤54，94∪{1}D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤54，94∪{1} 解析 (1)函数g (x )＝f (x )＋x ＋a 存在2个零点，即关于x 的方程f (x )＝－x －a 有2个不同的实根，即函数f (x )的图象与直线y ＝－x －a 有2个交点，作出直线y ＝ －x －a 与函数f (x )的图象，如图所示，由图可知，－a ≤1，解得a ≥－1.(2)如图，分别画出两函数y ＝f (x )和y ＝－14x ＋a 的图象.①当0≤x ≤1时，直线y ＝－14x ＋a 与y ＝2x 的图象只有一个交点的情况. 当直线y ＝－14x ＋a 过点B (1，2)时，则a ＝94. 所以0≤a ≤94.②当x >1时，直线y ＝－14x ＋a 与y ＝1x 的图象只有一个交点的情况：ⅰ相切时，由y ′＝－1x 2＝－14，得x ＝2，此时切点为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12，则a ＝1.ⅱ相交时，由图象可知直线y ＝－14x ＋a 从过点A 向右上方移动时与y ＝1x 的图象只有一个交点.过点A (1，1)时，1＝－14＋a ，解得a ＝54.所以a ≥54.结合图象可得，所求实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤54，94∪{1}.故选D.答案 (1)C (2)D探究提高 解决由函数零点的存在情况求参数的值或取值范围问题，关键是利用函数方程思想或数形结合思想，构建关于参数的方程或不等式求解.【训练3】 (1)若函数f (x )＝|log a x |－3－x (a >0，a ≠1)的两个零点是m ，n ，则( ) A.mn ＝1 B.mn >1 C.0<mn <1D.无法判断(2)(多选题)(2020·临沂调研)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (x ＋3)＝f (x －1)，若x∈[0，2]，f(x)＝2x－1，则下列结论正确的是()A.当x∈[－2，0]时，f(x)＝2－x－1B.f(2 019)＝1C.y＝f(x)的图象关于点(2，0)对称D.函数g(x)＝f(x)－log2x有3个零点解析(1)令f(x)＝0，得|log a x|＝13x ，则y＝|log a x|与y＝13x的图象有2个交点，不妨设a>1，m<n，作出两函数的图象(如图)，∴13m>13n，即－log a m>log a n，∴log a(mn)<0，则0<mn<1.(2)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x＋3)＝f(x－1)，则该函数的周期为4.当x∈[0，2]时，f(x)＝2x－1，当x∈[－2，0]时，－x∈[0，2]，f(x)＝f(－x)＝2－x－1，所以A正确.f(2 019)＝f(4×505－1)＝f(－1)＝f(1)＝1，所以B正确.若y＝f(x)的图象关于点(2，0)对称，则f(3)＋f(1)＝0，但是f(3)＝f(－1)＝f(1)＝1，f(3)＋f(1)≠0，与f(3)＋f(1)＝0矛盾，所以C错误.作出函数y＝f(x)，y＝log2x的大致图象，如图.由图可得函数g(x)＝f(x)－log2x有3个零点，所以D正确.故选ABD.答案(1)C(2)ABD热点三函数的实际应用【例4】(2020·新高考山东卷)基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：I(t)＝e rt描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位：天)的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R0＝1＋rT.有学者基于已有数据估计出R0＝3.28，T＝6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln 2≈0.69)()A.1.2天B.1.8天C.2.5天D.3.5天解析由R0＝1＋rT，R0＝3.28，T＝6，得r＝R0－1T＝3.28－16＝0.38.由题意，累计感染病例数增加1倍，则I(t2)＝2I(t1)，即e0.38t2＝2e0.38t1，所以e0.38(t2－t1)＝2，即0.38(t2－t1)＝ln 2，∴t2－t1＝ln 20.38≈0.690.38≈1.8.故选B.答案 B探究提高 1.解决函数的实际应用问题时，首先要耐心、细心地审清题意，弄清各量之间的关系，再建立函数关系式，然后借助函数的知识求解，解答后再回到实际问题中去.2.对函数模型求最值的常用方法：单调性法、基本不等式法及导数法.【训练4】(2019·全国Ⅱ卷)2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就.实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通信联系.为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日L2点的轨道运行.L2点是平衡点，位于地月连线的延长线上.设地球质量为M1，月球质量为M2，地月距离为R，L2点到月球的距离为r，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r满足方程：M 1（R ＋r ）2＋M 2r2＝(R ＋r )M 1R 3. 设α＝r R .由于α的值很小，因此在近似计算中3α3＋3α4＋α5（1＋α）2≈3α3，则r 的近似值为( ) A.M 2M 1RB.M 22M 1RC.33M 2M 1RD.3M 23M 1R解析 由α＝rR 得r ＝αR ， 代入M 1（R ＋r ）2＋M 2r 2＝(R ＋r )M 1R 3， 整理得3α3＋3α4＋α5（1＋α）2＝M 2M 1. 又3α3＋3α4＋α5（1＋α）2≈3α3，即3α3≈M 2M 1，所以α≈3M 23M 1，故r ＝αR ≈3M 23M 1R .答案 DA 级 巩固提升一、选择题1.(2020·全国Ⅰ卷)设a log 34＝2，则4－a ＝( ) A.116B.19C.18D.16解析 法一 因为a log 34＝2，所以log 34a ＝2，所以4a ＝32＝9， 所以4－a ＝14a ＝19.故选B.法二 因为a log 34＝2，所以a ＝2log 34＝2log 43＝log 432＝log 49，所以4－a ＝4－log 49＝4log 49－1＝9－1＝19.故选B. 答案 B2.已知a ＝log 20.2，b ＝20.2，c ＝0.20.3，则( ) A.a <b <c B.a <c <b C.c <a <bD.b <c <a解析 由对数函数的单调性可得a ＝log 20.2<log 21＝0，由指数函数的单调性可得b ＝20.2>20＝1，0<c ＝0.20.3<0.20＝1，所以a <c <b .故选B. 答案 B3.已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2x －1，x ≤1，1＋log 2x ，x >1，则函数f (x )的零点为( )A.12，0B.－2，0C.12D.0解析 当x ≤1时，令f (x )＝2x －1＝0，解得x ＝0； 当x >1时，令f (x )＝1＋log 2x ＝0，解得x ＝12，又因为x >1，所以此时方程无解.综上函数f (x )的零点只有0. 答案 D4.(2019·全国Ⅱ卷)若a >b ，则( ) A.ln(a －b )>0 B.3a <3b C.a 3－b 3>0D.|a |>|b |解析 法一 不妨设a ＝－1，b ＝－2，则a >b ，可验证A ，B ，D 错误，只有C 正确.法二 由a >b ，得a －b >0.但a －b >1不一定成立， 则ln(a －b )>0不一定成立，故A 不一定成立.因为y ＝3x 在R 上是增函数，当a >b 时，3a >3b ，故B 不成立.因为y ＝x 3在R 上是增函数，当a >b 时，a 3>b 3，即a 3－b 3>0，故C 成立. 因为当a ＝3，b ＝－6时，a >b ，但|a |<|b |，D 项不正确. 答案 C5.在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足m 2－m 1＝52lg E 1E 2，其中星等为m k 的星的亮度为E k (k ＝1，2).已知太阳的星等是－26.7，天狼星的星等是－1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为( ) A.1010.1B.10.1C.lg 10.1D.10－10.1解析 设太阳的星等为m 1，天狼星的星等为m 2，则太阳与天狼星的亮度分别为E 1，E 2.由题意知，m 1＝－26.7，m 2＝－1.45，代入所给公式得－1.45－(－26.7)＝52lg E 1E 2，所以lg E 1E 2＝10.1，所以E 1E 2＝1010.1.答案 A6.(2020·广州模拟)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，满足f (x ＋1)＝－f (x )，当x ∈[0，1]时，f (x )＝cos π2x ，则函数y ＝f (x )－|x |的零点个数是( ) A.2B.3C.4D.5解析 由f (x ＋1)＝－f (x )，得f (x ＋2)＝f (x )，知周期T ＝2. 令f (x )－|x |＝0，得f (x )＝|x |.作出函数y ＝f (x )与g (x )＝|x |的图象如图所示.由图象知，函数y ＝f (x )－|x |有两个零点. 答案 A 二、填空题7.已知λ∈R ，函数f (x )＝⎩⎨⎧x －4，x ≥λ，x 2－4x ＋3，x <λ.若函数f (x )恰有2个零点，则λ的取值范围是________.解析 令f (x )＝0，当x ≥λ时，x ＝4.当x <λ时，x 2－4x ＋3＝0，则x ＝1或x ＝3.若函数f (x )恰有2个零点，结合图1与图2知，1<λ≤3或λ>4.答案 (1，3]∪(4，＋∞)8.已知a >b >1，若log a b ＋log b a ＝52，a b ＝b a ，则a ＝______，b ＝________. 解析 设log b a ＝t ，则t ＞1，因为t ＋1t ＝52，解得t ＝2，所以a ＝b 2，因此a b ＝(b 2)b ＝b 2b ＝b a ，∴a ＝2b ，b 2＝2b ，又b ＞1，解得b ＝2，a ＝4. 答案 4 29.(2020·重庆质检)已知a ，b ，c 为正实数，且ln a ＝a －1，b ln b ＝1，c e c ＝1，则a ，b ，c 的大小关系是________. 解析 ln a ＝a －1，ln b ＝1b ，e c ＝1c .依次作出y ＝e x ，y ＝ln x ，y ＝x －1，y ＝1x 这四个函数的图象，如下图所示.由图象可知0＜c ＜1，a ＝1，b ＞1，∴c ＜a ＜b . 答案 c ＜a ＜b 三、解答题10.已知偶函数f (x )满足f (x －1)＝1f （x ），且当x ∈[－1，0]时，f (x )＝x 2，若在区间[－1，3]内，函数g (x )＝f (x )－log a (x ＋2)有3个零点，求实数a 的取值范围. 解 ∵偶函数f (x )满足f (x －1)＝1f （x ），∴f (x －2)＝f (x －1－1)＝1f （x －1）＝f (x )，∴函数f (x )的周期为2， 又x ∈[－1，0]时，f (x )＝x 2，∴x ∈[0，1]时，f (x )＝f (－x )＝x 2，从而f (x )＝x 2，x ∈[－1，1].在区间[－1，3]内函数g (x )＝f (x )－log a (x ＋2)有3个零点等价于函数f (x )的图象与y ＝log a (x ＋2)的图象在区间[－1，3]内有3个交点.当0<a <1时，函数图象无交点，数形结合可得a >1且⎩⎨⎧log a 3<1，log a 5>1，解得3<a <5.故实数a 的取值范围为(3，5).B 级 能力突破11.(2020·贵阳质检)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧e x ，x ＜0，4x 3－6x 2＋1，x ≥0， 其中e 为自然对数的底数，则函数g (x )＝3[f (x )]2－10f (x )＋3的零点个数为( ) A.4B.5C.6D.3解析 当x ≥0时，f (x )＝4x 3－6x 2＋1的导数为f ′(x )＝12x 2－12x ， 当0＜x ＜1时，f (x )单调递减，x ＞1时，f (x )单调递增，可得f (x )在x ＝1处取得最小值，最小值为－1，且f (0)＝1，作出函数f (x )的图象，g (x )＝3[f (x )]2－10f (x )＋3，可令g (x )＝0，t ＝f (x )，可得3t 2－10t ＋3＝0，解得t ＝3或13，当t ＝13，即f (x )＝13时，g (x )有三个零点； 当t ＝3时，可得f (x )＝3有一个实根， 综上，g (x )共有四个零点. 答案 A12.记f ′(x )，g ′(x )分别为函数f (x )，g (x )的导函数.若存在x 0∈R ，满足f (x 0)＝g (x 0)且f ′(x 0)＝g ′(x 0)，则称x 0为函数f (x )与g (x )的一个“S 点”. (1)证明：函数f (x )＝x 与g (x )＝x 2＋2x －2不存在“S 点”； (2)若函数f (x )＝ax 2－1与g (x )＝ln x 存在“S 点”，求实数a 的值. (1)证明 函数f (x )＝x ，g (x )＝x 2＋2x －2， 则f ′(x )＝1，g ′(x )＝2x ＋2. 由f (x )＝g (x )且f ′(x )＝g ′(x )，得 ⎩⎨⎧x ＝x 2＋2x －2，1＝2x ＋2，此方程组无解， 因此，f (x )与g (x )不存在“S 点”. (2)解 函数f (x )＝ax 2－1，g (x )＝ln x ， 则f ′(x )＝2ax ，g ′(x )＝1x . 设x 0为f (x )与g (x )的“S 点”， 由f (x 0)＝g (x 0)且f ′(x 0)＝g ′(x 0)，得⎩⎪⎨⎪⎧ax 20－1＝ln x 0，2ax 0＝1x 0，即⎩⎨⎧ax 20－1＝ln x 0，2ax 20＝1， (*) 得ln x 0＝－12，即x 0＝e －12，则a ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫e －122＝e2.当a ＝e 2时，x 0＝e －12满足方程组(*)， 即x 0为f (x )与g (x )的“S 点”. 因此，a 的值为e2.。