基本初等函数的凸性及其应用
凸函数的性质及其应用
即 证f在 （上x)≥式α中（分x－别x２)令+f（xx＝２) x １ ， x ＝ （∨x３得x∈ ［ ａ ， ｂ ］ ) f （ x x ３３) －－ xf （２ x ２ ) ≥ α ≥ f （ xx ２ ２) －－ fx （１ x １) ，
３ 、应用举例：
例 １：用凸函数方法证明 ｙｏｕｎｇｅｒ 不等式：x a y a ≤α x＋ β y(x，
由于f ２（ x )+f ２（ ｙ ）≥２f（ x ）f（ y ） ，故（Ｄ）式成立，结论得证。 另：设 f （ x )=e－２x＞０ 为 Ｒ 上的凸函数，但 f（ １x ） =e－２x 仍为凸函数 定理 ６：若 f （ x )为区间 Ｉ 上的凸函数，对∨ x ∈ Ｉ，且 x 为 Ｉ 的 内点，则单侧导数f （ ＇－x )，f ＋＇（ x ) 皆存在，且 f ＇－（ x )≤ f ＇＋（ x ) (∨x ∈Ｉ) 推论：若f （x)为区间 Ｉ 上的凸函数，则f（ x ）在区间 Ｉ的内点连续．
仅当对∨ x１，x２，…，xn ∈ Ｉ ，有 n f （ ∑ i＝ １ n x i ）≤n １ ∑ i＝ n１ f （x１） 推论 １：若 f （x ）在区间 Ｉ 上为凸函数，则对 Ｉ 上∨ x１＜x２＜x３，有
f （xx２）２－－fx （１ x １） ≤ f （xx３）３－－fx （１ x １） ≤ f （xx３）３－－xf （２ x ２） 注：若 f （x ）在 Ｉ 上连续，则上述定义 １，２，３ 等价
的凸函数，反之不真。
证明：要证 f（ 1 x ） 为Ｉ上的凸函数，即证∨x１，x２∈Ｒ，λ∈
（０，１ ）有
１ f （λx１＋（１－λ）x２）
≤ f （ λx １） ＋
１－λ f （x２）
………
凸函数的性质与应用
凸函数的性质与应用数学与统计学院、数学与应用数学、0701班，湖北，黄石，4350021.引言凸函数是数学分析中的一个重要概念,它涉及了许多数学命题的讨论证明和应用,而且在现代优化学、运筹学、管理学、和工程测绘学等多个学科有着重要的意义和很好的应用.关于凸函数,虽然很多书籍都做了相应的介绍,但多是从不同的角度出发来进行不同的定义和应用.在高等数学中,利用导数讨论函数的性态时,经常遇到一类特殊函数—凸函数,由于凸函数具有一些特殊性质,利用这些性质可非常简单地证明一些初等不等式、函数不等式和积分不等式. 凸函数是一类重要的函数,在不等式的研究中尤为重要.本文通过凸函数的定义、性质的描述,主要研究其在不等式证明中的应用,举例说明解题思路与证明方法,并且证明了几个常见的重要不等式及高次函数的凸性猜想. 函数的凸性是函数在区间上变化的整体性态,把握函数在区间上的整体性态,不仅可以更加科学、准确地描绘函数的图象,而且有助于对函数的定性分析.2. 凸函数的有关概念2.1凸函数的定义、定理及其几何意义定义 若函数()f x 对于区间(),a b 内的任意12,x x 以及()0,1,λ∈恒有1212[(1)]()(1)()f x x f x f x λλλλ+-≤+-，则称()f x 为区间(),a b 上的凸函数.其几何意义为:凸函数曲线()y f x =上任意两点()()11,,x f x ()()22,x f x 间的割线总在曲线之上.定理1 若函数()f x 在区间(),a b 内连续,对于区间(),a b 内的任意12,x x 恒有12121[][()()]22x x f f x f x +≤+， 则称()f x 为区间(),a b 上的凸函数.其几何意义为:凸函数曲线()y f x =上任意两点()()11,,x f x ()()22,x f x 间割线的中点总在曲线上.定理2 若函数()f x 在区间(),a b 内可微,且对于区间(),a b 内的任意x 及0x ,恒有00()()()f x f x f x x '≥+-，则称()f x 为区间(),a b 上的凸函数.其几何意义为:凸函数曲线()y f x =上任一点处的切线,总在曲线之下. 注 若将定义1,2,3中的≤“”改为<“”则称()f x 为(),a b 上的严格凸函数. 2.2 凸函数定义与定理之间的等价性条件2.2.1 定义1与定理1的等价性证 定义1⇒定理1:显然,只要取12λ=即可由定义1推得定理1.定理1⇒定义1:我们首先推证()f x 对于任意的12,x x (),a b ∈及有理数()0,1λ∈,不等式1212[(1)]()(1)()f x x f x f x λλλλ+-≤+-，成立.事实上,对于此有理数λ,总可表示为有穷二进位小数,即121121122220.2n n n nn na a a a a a a ---++=，其中0,1(1,2,,1);1i n a i n a ==-=或由于1λ-也是有理数,故也可以表示为有穷的二进位小数,即1λ-=121121122220.2n n n nn nb b b b b b b ---++=， 其中()1,1,2,,1;i i b a i n =-=-1,n b =这是因为()11λλ+-=的缘故,因此111212[]()()i i f a x b x a f x b f x +≤+(1,2,,1)i n =-，所以12[(1)]f x x λλ+-12112112112112222222[]22n n n n n nn n nna a a ab b b b f x x ------++++=+21212121111212112222()(22[]2n n n n n nn n a a a b b b a x b x x x f ------+++++=2121212111121211222211[()]()2222n n n nn n n n a a a b b b f a x b x f x x ------++≤+++2121212111121211222211[()()]()2222n n n n n n n n a a a b b b a f x b f x f x x ------++≤+++121112212221111[()()][()()]()2222n n n a x b x a f x b f x a f x b f x f -+≤++++11122122122111[()()][()()][()()]222n n na f xb f x a f x b f x a f x b f x ≤+++++12112112112112222222()()22n n n n n n n n n na a a ab b b b f x f x ------++++=+12()(1)().f x f x λλ=+-下面再推证()f x 对λ为无理数时定义1也成立.事实上,对任意无里数()0,1,λ∈{}(0,1),n λ⊂存在有理数列12(),(1)n n n n x x λλλλ→→∞+-→所以，12(1)()x x n λλ+-→∞,由于()f x 在(),a b 内连续,所以1212121212[(1)][lim (1)]lim [(1)]lim[()(1)()]()(1)()n n x n n n n x x f x x f x x f x x f x f x f x f x λλλλλλλλλλ→∞→∞→∞+-=+-=+-≤+-=+-综上即知,定义1与定理1等价.2.2.2 定义1与定理2的等价条件证 定义1⇒定理2:对(),a b 内任意的0x 及x ,若0,x x <则取0h >,使00,x x h x <+<由推论1得0000()()()()].f x h f x f x f x h x x +-+≤-上式中令0,h →由于()f x 可微,所以有0()f x '00()(),f x f x x x +≤-即00()()()f x f x f x x '≥+-.若0,x x <则取0h >,使00,,x x x x h x <<+<同理可证.2.2.3 定理2与定义1的等价条件对于区间(),a b 内的任意12,x x (不妨设12x x <)以及()0,1,λ∈令()121x x x λλ=+-,则12,x x x << ()()1121,x x x x λ-=-- 2x x -= ()()211,x x λ--由泰勒(Taylor)公式,我们有111222()()()()()()()()f x f x f x x f x f x f x x θθ''=+-=+-及其中1122x x x θθ<<<<,于是12()(1)()f x f x λλ+-12[(1)]f x x λλ=+-+2121(1)()[()()]x x f f λλθθ''---.再由单调性知21()()f f θθ''≥,所以12()(1)()f x f x λλ+-≥ 12[(1)]f x x λλ+-,即12[(1)]f x x λλ+-≤12()(1)()f x f x λλ+-.所以在一定条件下，定义1与定理3等价.3. 凸函数的有关结论 3.1 凸函数的运算性质性质1 若()f x 为区间I 上的凸函数, k 为非负实数,则()kf x 也为区间I 上的凸函数.性质2 若()(),f x g x 均为区间I 上的凸函数,则()f x + ()g x 也为区间I 上的凸函数.推论 若()(),f x g x 均为区间I 上的凸函数,12,k k 为非负实数,则()()12f x k g x +k 也为区间I 上的凸函数.性质3 若()f x 为区间I 上的凸函数,()g x 为J 上的凸增函数,且()f I J ⊂,则g f ⋅为区间I 上的凸函数.性质4 若()(),f x g x 均为区间I 上的凸函数,则()F x =()(){}max ,f x g x 也是区间I 上的凸函数.上述性质很容易证明，故在此省略.3.2 凸函数的其他性质引理 f 为I 上的凸函数的充要条件是：对于I 上的任意三点12x x x <<，总有32212132()()()()f x f x f x f x x x x x +-≤--. ()1证 [必要性]记3231,x x x x λ-=-则213(1).x x x λλ=+- 由f 的凸性知道()21313[(1)]()(1)()f x f x x f x f x λλλλ=+-≤+-=3221133131()()x x x xf x f x x x x x --+--.从而有()()312321213()()()()x x f x x x f x x x f x -≤-+-,即()()()322212321213()()()()()x x f x x x f x x x f x x x f x -+-≤-+-.整理后即得()1式.[充分性]在I 上任取两点1313,,(),x x x x <在[13,x x ]上任取一点213(1)x x x λλ=+- ()0,1,λ∈即3231.x x x x λ-=-由必要性的推导逆过程，即可证明 1313[(1)]()(1)()f x x f x f x λλλλ+-≤+-.故f 为I 上的凸函数.同理可证，f 为I 上的凸函数的充要条件是：对于I 上的任意三点12,x x x <<总有313221213132()()()()()()]]f x f x f x f x f x f x x x x x x x -+-≤≤---.性质1 设f 为区间I 上的严格凸函数,若有0x 是()f x 的极小值点,则0x 是()f x 在I 上唯一的极小值点.证明 若()f x 有异于0x 的另一极小值点1x I ∈ ,不妨设()()10f x f x ≤ 由于()f x 是在I 上的严格凸函数, 故对于任意的()0,1λ∈,都有()01010[(1)]()(1)()f x x f x f x f x λλλλ+-<+-≤.于是,任意的0δ>,1,只要充分接近时总有()0010(1),x x x U x λλδ=+-∈.但是,()0()f x f x ≤,这与1x 是()f x 的极小值点的条件矛盾,从而0x 是()f x 在I 上唯一的极小值点.性质2 设()f x 为(),a b 内的凸函数,有()f x 在I 的任一内闭区间()(),,a b αβ<上满足Lipschitz 条件.证明 要证明()f x 在(),αβ上满足Lipschitz 条件,即要证明:0,L ∃>使得()12,,x x αβ∀∈有1212()()f x f x L x x -≤-. ()2()()()(),,,,,,a b h h a b αβαβ⊂-+⊂因为，故可取充分小使得因此，()12,,x x αβ∀∈，12,x x <32x x h =+取，根据定义有32212132()()()()f x f x f x f x M mx x x x h+--≤≤--,(其中,M m 分别表示()f x 在(),h h αβ-+的上、下界)从而2121()()M mf x f x x x h--≤-, ()3 若1232,,x x x x h >=-可取由定义有32211223()()()()f x f x f x f x x x x x --≤--,从而32211223()()()()f x f x f x f x M m x x x x h---≤≤--.由此也可推出()3式.若12x x =，则()2显然成立.这就证明了()3式显然对于一切()12,,x x αβ∈都成立，因此()3式当12,x x 互换位置也应成立，故有2121()()M mf x f x x x h--≤-. 令M mL h-=,则原命题成立.性质3 设()f x 是(),a b 上的凸函数,则()f x 在(),a b 上处处存在左、右导数,且左导数小于、等于右导数.证明 ()()()00,,,x a b U x a b δ∀∈∃⊂.记()()00()(),,f x f x F x x a b x x +=∈-，()121200,x x x x x x δ<∈-任意且，，，有引理得()()1020121020()()()()f x f x f x f x F x F x x x x x ++=≤=--.()F x 在()00x x δ-，上单调递增;再在0x 右方任取一定点()00,x x λλδ∈+，，由引理得: ()()()12F F F x x λ≤≤所以()F x 在()00x x δ-，上单调递增且有上界, 故由单调有界原理: 极限()0lim x x F x -→存在，即0()f x +'存在; 任意102x x x <<由定义3有()()1020121020()()()()f x f x f x f x F x F x x x x x ++=≤=--.令1020,x x x x -+→→,则()f x 在0x 的左导数小于等于()f x 在0x 的右导数.性质4 设()f x 为(),a b 内可导凸函数,证明()0,x a b ∈ 为()f x 的极小值的充要条件是0()0f x '=.证明 [必要性]已知函数()f x 在0x 可导,且取得极小值,则0()0f x '=(极值的必要条件).[充分性] (),x a b ∀∈，0,x x ≠有00()()().f x f x x x ≥+-因为0()0f x '=，故(),,x a b ∀∈都有0()(),f x f x ≥所以0x 为()f x 的极小值点.定理1 设f 为区间I 上的可导函数，则下列论断互相等价；1) f 为I 上的凸函数, 2) f '为I 上的增函数, 3) 对I 上的任意两点12,,x x 有()21121()()()f x f x f x x x '≥+-. ()*证明 1)2)→ 任取I 上的两点1212,x x x x <（）及充分小的正数,h 由于1122,x h x x x h -<<<+根据的凸性及引理有11212212()()()()()()f x f x h f x f x f x h f x h x x h---+-≤≤-.有f 是可导函数，令0h +→时可得211212()()()()f x f x f x f x x x -''≤≤-.所以f '为I 上的递增函数.2)3)→ 在以1212,()x x x x <为端点的区间上，应用拉格朗日中值定理和f '递增条件，有()()2121121()()()()f x f x f x x f x x x ξ''-=-≥-,移项后即得()*式成立，且当12x x >仍可得到相同结论3)1)→ 设以12,x x 为I 上的任意两点，312(1)x x x λλ=+-，由3)并利用131223211)()x x x x x x x x λλ-=---=-与（）,()()133133312()()()()(1)()f x f x f x x x f x f x x x λ''≥+-=+--,()233233321()()()()()f x f x f x x x f x f x x x λ''≥+-=+-（）,分别用λ和1λ-乘上列两式并相加，便得()()12312(1)()()(1)f x f x f x f x x λλλλ+-≥=+-,从而为I 上的凸函数.推论1 设()f x 为区间I 上的二阶可导函数,则()f x 为凸函数.()0,f x x I ''⇔≥∈.推论2 设()f x 为区间I 上的可微凸函数,则有0x I ∈是()f x 的极小值点.()00.f x ''⇔=定理2 设()f x 在(),a b 上连续,则()f x 是(),a b 上的凸函数的充要条件是:对任意含于(),a b 的闭区间[],,x h x h -+都有1()()2hhf x f x t dt h -≤+⎰. 证明 必要性：()()()()1,2t h f x f x t f x t ∀≤≤-++，故 ()()()()12[]2hhhhhf x f x t f x t f x t dt --≤-++≤+⎰⎰.充分性:假定存在12,x x <使()()1212122x x f f x f x +⎛⎫>+⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭ 作辅助函数()()()()11,x f x k x x f x ϕ=---其中2121()()f x f x k x x +=-则120,2x x ϕ+⎛⎫> ⎪⎝⎭因此[]()()[][]12012,max 0,0,,,,x x x x h x h x h x x ϕϕ=>=-+⊂取()()000t h x x t ϕϕ≤-+≥当时，且不恒为0，因此()()002hhh x xt dt ϕϕ->+⎰.再由()x ϕ的定义推出: ()002()hhf xt hf x dt -+>⎰ 这与条件矛盾, 故定理2得证.定理3 若()f x 为(),a b 内的凸函数,(),,i x a b ∈ 1,2,,,i n =则()111.ni ni i i x f f x n n ==⎛⎫⎪ ⎪≤ ⎪ ⎪⎝⎭∑∑ 证明 对12,2n x ==不等式是显然的,设对1n -不等式成立. 因为1212111,1nn n x x x x x x n x nn n n-++++++-=⋅+- 这里()()1211,,,,,1n n x x x n a b x a b n n λ-+++-=∈∈- 由题得()()111111.1n n i i n i i n i i x x n f f f x f x n n n nn ===⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪- ⎪⎪≤+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑ 4.凸函数的一些应用4.1应用凸函数性质证明不等式在初等数学及数学分析的课程中,对于不等式的证明是一个重要内容.有时利用凸 函数的理论,证明一些不等式,将会更加简单.下面用例题加以说明.例1 求证:对任意实数,,a b 有()21.2a ba bee e +≤+ 证明 设()()(),0,,x f x e f x x ''=≥∈-∞+∞则故()xf x e =(),-∞+∞为上的凸函数.从而对121,,2x a x b λ===有定义 12121[][()()]22x x f f x f x +≤+.即得()212a ba bee e +≤+. 注：该题构造函数，运用凸函数的定义很容易就导出.例2 设01,01,x a <<<<则有()()1111.aax x x -+-<-证明 设()()()()11101aaf x x x x -=+-<<.那么()()()()()()111111,aaa a f x a x x x ax ---'=-+-++-()()()()()()1111111aaaa f x a a x x a a x x ----''=--+---+()()()()1121111a aa a a a x x a a x x ------+--+()()()()()()12112111111aa a a a a a x x x x x x x x -----⎡⎤=--+-++++-+⎣⎦()()()()()()1212111111.a a aa a a x x a a x x ------=--+-=-+-于是 ,当01,01x a <<<<时,()0,f x ''>由严格凸函数的定义,其中12,1,0,x x x λ===得()()()()()110110,f x f x x x f x f =⋅+-⋅<⋅+-⋅⎡⎤⎣⎦即()()1111.aax x x -+-<-注：该题运用了定理1及推论1的结论.例3 在ABC 中，证明sin sin sin 2A B C ++≤()()()()sin ,0,,sin 0,0,f x x x f x x x ππ''=-∈=>∈证明 令由应用2得()()()33f A f B f C A B C F ++++⎛⎫≥ ⎪⎝⎭,即sin sin sin sin3A B CA B C ++++≤s i n ,3π≤=所以sinA+sinB+sinC 2注：该题运用了定理3的结论.例4设12n a a a 、、均为正数，且121n a a a +++=.求证：()2222212121111.n n na a a a a a n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++≥⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭证 因为()2,f x x =()()()22,20,f x x f x f x x ''==>=由于得是凸函数，有凸函数的性质，有22212122121221211111111111.n n n nn a a a a a a a a a a a a n n n a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫++++++ ⎪⎪≥⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫=++++ ⎪⎝⎭()4 由柯西不等式：222111n n n i i i i i i i a b a b ===⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅≥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑得1212111111()1n n a a a a a a ⎛⎫+++=+++⋅ ⎪⎝⎭()12122111(),n na a a a a a n =++++++≥212111()nn a a a ∴+++≥，由()4即得 ()2222212121111n n n a a a a a a n+⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++≥⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.4.2关于凸函数的某些猜想猜想1 三次函数不是(),-∞+∞上的凸函数. 证 设()3232103,0.x x a x a x a a f a +++≠= 显然，()f x 在(),-∞+∞上可导，且()232123x x a x a f a ++'=,因为30,a ≠故()f x '在(),-∞+∞上不单调，所以不是凸函数.猜想2 试给出四次的函数在定义域上是凸函数的一个充分条件. 设()432432104,0,x x x a x a x a a f a a ++++≠=因为四次的在定义域上二次同样可导，且()324321432x x x a x a f a a +++'=, ()24321262x x x a f a a ++''=.根据3..1的推论1可知,下式()423420.64120a a a a >⎧⎪⎨-⋅⋅≤⎪⎩ 则该四次函数在(),-∞+∞是凸函数. 化简得① 423420.380a a a a >⎧⎨-⋅≤⎩② 423420.380a a a a <⎧⎨-⋅≤⎩ 则该四次函数在(),-∞+∞不是凸函数.③ 423420.380a a a a >⎧⎨-⋅>⎩设()24321262x x x a f a a ++''=与x 轴的两交点分别是()1212,,x x x x <则()x f 在()()12,,,x x -∞+∞内分别为凸函数，在()12,x x 内不是凸函数.④ 423420.380a a a a <⎧⎨-⋅>⎩同理设()x f ''与x 轴的两交点分别是()1212,,x x x x <则()x f 在()12,x x 内为凸函数，其他区间不是凸函数.猜想3 5次函数在实数范围内是否有为凸函数的？设5次函数的表达式为()54325432105,0,x x x x a x a x a a f a a a +++++≠= 显然该是在实数范围内二次可导.()432543215432,x x x x a x a f a a a ++++'= ()325432201262.x x x x a f a a a +++''=现在需要找出二次导数在实数范围内是否恒大于等于0. 我们设()()325432201262,x f x x x x a g a a a ''=+++=()2154360246.x x x g a a a =++'下面分情况讨论：()524530,2446060a a a a >⎧⎪⎨-⋅⋅≤⎪⎩ 即()0x g ≥'在R 上恒成立.则()x g 在R 上单调递增，此时5a 为某一定值，但是总,x R ∃∈使得()0,x g <即x R ∃∈使()0f x ''<成立.同四次的理一样，其他3种情况更不可能为凸函数. 所以五次函数在R 上不是凸函数.以此类推，高次函数()11100,,n n n n n f x a x a x a x a a --=+++≠5n 时，该函数在实数范围内不是凸函数.5.小结本文通过凸函数的定义、性质的描述,主要研究其在不等式证明中的应用,举例说明解题思路与证明方法,并且证明了几个常见的重要不等式及高次函数的凸性猜想.函数的凸性是函数在区间上变化的整体性态,把握函数在区间上的整体性态,不仅可以更加科学、准确地描绘函数的图象,而且有助于对函数的定性分析.致谢经过半年的忙碌和工作，本次毕业论文已经接近尾声，在这里首先要感谢我的指导老师柴国庆教授.柴老师平日里工作繁多，但在我做毕业论文的每个阶段，从初次选题到查阅资料，论文初稿的确定和修改，中期检查，后期详细设计等整个过程中都给予了我悉心的指导，还不惜把自己的研究成果让我参考、借鉴，细心地纠正论文中的错误并给予指导.如果没有他的大力支持，此次论文的完成将变得非常困难.除了敬佩柴老师的专业水平外，他的治学严谨和科学研究的精神也是我永远学习的榜样，然后还要感谢大学四年来所有的老师，为我们打下坚实的专业知识的基础.最后祝各位评审老师身体健康，工作顺利！参考文献[1]数学分析上第三版.华东师范大学数学系编.北京.高等教育出版社，2001,148-154.[2]李惜雯.数学分析例题解析及难点注释（上册）.西安.西安交通大学出版社，2004.1,265-269.[3]林源渠方企勤.数学分析解题指南.北京.北京大学大学出版社，2003.11.84-87.[4]大学数学名师导学丛书.北京.中国水利水电出版社，2004208-212..[5]花树忠.邯郸市职工大学基础教学部.邯郸，056001.[6]李世杰.衢州市教育局.浙江.衢州，324002.[7]宋小军.西华师范大学数学与信息学院.四川文理学院学报.2010年5期.[8]陈迪红.长沙铁道学院学报.第12卷.第3期.1994年9月.[9]曹良干.阜阳师范学院学报.总22期.[10]陈太道.琼州大学.数学系.临沂师范学院学报第24卷，第3期.[11]李宗铎.湖南教育学院学报长沙大学.第18卷第2期.。
1凸函数性质及其应用论文
凸函数性质及其应用摘要本文首先给出了凸函数的几种定义，然后给出了凸函数的几种重要性质，最后举例说明了凸函数在微分学、积分学、及在证明不等式中的应用.关键词凸函数的积分性质。
凸函数的不等式Abstract In this article，first we listseveral kind of definitionsfor convex functions，then we give several important properties of convex functions 。
finally we discuss the application of convex functions in differential calculus , integral calculus, and the proof of inequality.Keywords integral properties of convex functions。
inequality of convex functions凸函数是一类非常重要的函数,广泛应用于数学规划、控制论、黎曼几何、复分析等领域.本文先给出凸函数的几种等价定义,然后列出重要的相关性质,最后给出在微分学、积分学、以及在证明不等式中应用.1 凸函数的定义及其相互关系定义1设在区间I上有定义,在区间I称为是凸函数当且仅当:,有上式中“”改成“<”则是严格凸函数的定义.定义2设在区间I上有定义,在区间I称为是凸函数当且仅当:有定义3设在区间I上有定义,在区间I称为是凸函数当且仅当：,有定义4在区间I上有定义,当且仅当曲线的切线恒保持在曲线以下,则成为凸函数.若除切点之外,切线严格保持在曲线下方,则称曲线为严格凸的.引理1定义2与定义3等价.引理2若连续,则定义1，2，3等价.2 凸函数的性质定理1设在区间I上有定义,则以下条件等价<其中各不等式要求对任意,保持成立）：<i）在I上为凸函数 <1）<ii） <2）(iii> <3）(iv> <4）推论1若在区间I上为凸函数，则I上任意三点，有.推论2若在区间I上的凸函数，则过的弦的斜率是x 的增函数<若为严格凸的,则严格增）.推论3若是区间I上的凸函数，则I上任意四点s<t<u<v有.推论4若是区间I上的凸函数，则对I上的任一内点x,单侧导数皆存在，皆为增函数，且这里表示的全体内点组成之集合.<若为严格凸的，则与为严格递增的）.证明因为内点,故使得,从而<利用推论2）,.再由推论2所述,当递增时,也递增.故由单调有界原理知,如下极限存在且(x>=.同理,在此式中，令时,可知存在,且.最后由推论3中的不等式重新取相应的极限,可知与皆为增函数.推论5若在区间I上为凸的，则在任一内点上连续.事实上由推论4知与存在，所以在处左右都连续.定理2设函数在区间上有定义，则为凸函数的充要条件是：，使得,有.证明<必要性）因为凸函数，由上面的推论4知，存在且. 由此任取一则时有.因,所以对任一:恒有.(充分性>设是区间I上的任意三点，由已知条件,由此令和，可以得到,由定理1可知为凸的.定理3设在区间I上有导数，则在I上为凸函数的充要条件是递增.证明<充分性）,不妨设及记，则,或 (1>因为 (1>式等价于(2>应用定理，使得，但,.故<2）式左端=按已知条件递增，得知,从而上式0,(2>式获证.<必要性）由定理1的推论4,在内为递增的，因存在，故亦在内为递增的，若I有右端点b,按照已知条件f在b点有左导数，易知:同理，若I有左端点a,则即在I上为递增的.推论若在区间I上有二阶导数，则在I上为凸函数的充要条件是：定理4<不等式）若为上的凸函数，则,，有.证明应用数学归纳法.当时，由定义1命题显然成立.设时命题成立,即对任何与都有现设及<i=1,2,…k+1）,.令i=1,2,…,k,则.由数学归纳法假设可推得==即对任何正整数,上述不等式成立.推论设在区间I上是凸函数,则对于任意的和都有.3 凸函数的应用3.1在微分学中的应用我们讨论了凸函数的有界性，左右函数极限和性质.例1设函数在区间I上为凸函数，试证：在I上的任一闭子区间上有界.证明设为任一闭子区间:①<证明在上有上界）取.因为凸函数,所以其中. 故在上有上界；②<证明在上有下界）记为的中点，则，有关于的对称点，因为凸函数，所以,从而，即为在上的下界.例2设为区间内的凸函数，试证：在I上的任一内闭区间上满足条件.证明要证明在区间上满足条件，即要证明：使得有(1>因为，故可取充分小，使得与此若取.由凸性，<其中分别表示在上的上下界）,从而(2>若可取由的凸性，有，从而由此可得(2>式成立.若，则<2）式明显成立.这就证明了<2）式对一切皆成立.因此<2）式当与互换位置也成立，故有，令则<1）式也获证.例3设为区间内的凸函数,并且有界,试证极限与存在.证明设时为内任意三点，根据的凸性,当x递增时也递增.又因为,根据单调有界原理,有极限,从而亦存在.3.2凸函数的积分性质将凸性与函数的连续性<甚至单侧连续性）、单调性等联系起来,应用到积分学中可以得到许多好的结论,我们举例如下:例4设为区间上连续的凸函数.试证:，有.证明令则,(1> 同理，令，亦有从而,(2> 注意与关于中点对称.因为是凸函数, 故由<2）式得 . 另外,由<1）式,应用的凸性.例5设是上的凸函数,求证：<1）为上的凸函数.证明为上的凸函数,因此它在内连续,在上有界.由此知积分(1>有意义.,令时<2）恒有[因(2>]=<因的凸性）所以是上的凸函数.例6设函数在上递增,试证函数为凸函数.证明因递增,积分有意义.且故由定理1知为凸函数.例7设为上的凸函数,证明有<1）证明因为凸函数, 由定理1推论4，存在且递增<当）.故(1>中的积分有意义.对任作一分划有参看定理2，我们有于是由.(1>式知.将分划无限分细,令同理有3.3利用凸函数的性质证明不等式利用凸函数证明不等式已经有了许多结果,我们所做的就是由定理4证明了不等式，并且利用不等式证明了几个复杂的不等式.例8设证明证明因为函数在区间上是凸函数，由凸函数的性质，即定理 4 有因为不可能同时相等，从而有例9设函数是区间上的凸函数，对于则证明因为,则由定理1中<4）式，有即令,对上式两边求和，有即例10设及则有不等式成立：当且仅当与成正比例时等号成立.证明取=，，因为，所以在上为凸函数,由定理4得:即，亦即令则有，于是有令，则有当与成正比例时，即 (为正常数，>当与不成正比例时，不全相等，又因为在为严格凸函数，故严格不等式成立.例11设和是两组正数，.证明 .证明要证原不等式即要证明.令,则因为，所以为凹函数，由不等式即得所证.例12证明：.证明设，则因为<用不等式）所以因为不等式中等号成立的条件是均为常数,而，这实际上是不可能的，所以上式中的等号不成立.例13证明不等式，其中均为正数.证明设,由可见在时为严格凸函数.由不等式有,从而.即又因, 所以.例14应用不等式证明：设，有证明取函数,.因为是区间上严格凹函数，则对及1.，则上式等号成立。
凸函数的性质和应用
( 1 ) f 为 I上的凸函数 ( 2 ) f’ 为 I上的递增函数 ( 3 ) 对 I 上的任意两点 x0 , x, 恒有 f ( x ) Ε f ( x0 ) + f ’( x0 ) ( x - x0 )
推论 1:设 f是区间 I上的二阶可导函数 , 则有 f在 I上 为凸函数 Ζ f" ( x) Ε 0 x ∈ I 推论 2:设 f是区间 I上可微凸函数 ,
调递增 。 要证此定理 , 我们先来做一些预备工作 。 引理 1:设 f在 ( a, b) 是凸函数 , 则 f在 ( a, b) 处处存在 左、 右导数 , 且左导数小于 、 等于右导数
) < ( a, b) 记作 F ( x ) 证明 : Π x0 ∈ ( a, b) , ϖ ∪ ( x0 ,δ
16720768200505002303凸函数是一类非常重要的函数在数学规划中有着广泛的应用考虑到凸函数与连续性可导性之间的联系以及凸函数在不等式证明方面的作用和意义为此本文提出凸函数的两种定义并讨论它们之间的等价性以及凸函数的三种等价结论还有凸函数的几何意义和凸函数的线性复合性等等良好的结论不仅如此我们还将凸函数的定义推广到着名的詹森不等式并讨论了詹森不等式在证明一些平均不等式方面的应用
( a, b) 上连续并且除了至多可数个点外 , f ’ 处处存在 , 且单
定理 1:如果定义 2 中区间 I = [ a, b ] 且 f ( x ) 都是连 续函数 , 则定义 1 和定义 2 是等价的 定理 2: f为 I上的凸函数 , 其充要条件是对一切 x1 , x2 ,
x3 ∈ I, ( x1 < x2 < x3 ) 恒有 f ( x2 ) - f ( x1 ) x2 - x1 f ( x3 ) - f ( x1 ) x3 - x1 f ( x3 ) - f ( x2 ) x3 - x2
凸函数的性质及其在不等式证明中的应用
凸函数的性质及其在不等式证明中的应用凸函数是一类在数学中非常重要的函数，它具有很多重要的性质，并且在不等式证明中有着广泛的应用。
在本文中，我将介绍凸函数的性质，并给出一些在不等式证明中的具体应用。
一、凸函数的定义：对于定义在区间上的函数，如果对于区间上的任意两个点和以及任意实数，都有那么我们称函数是凸函数。
如果上式中的等号只在时成立，那么我们称函数是严格凸函数。
二、凸函数的性质：1.凸函数的一阶导数是非递减的。
2.凸函数的二阶导数是非负的。
3.函数的局部极小值点是凸函数。
4.凸函数的和、乘积以及复合仍然是凸函数。
三、凸函数在不等式证明中的应用：凸函数具有很多重要的性质，这些性质使得凸函数在不等式证明中有着广泛的应用。
下面是一些具体的应用示例：1.利用凸函数判断不等式的方向：考虑不等式f(x)≥g(x)如果函数和是凸函数，且在区间上有，那么可以得到f(x) ≥ g(x) for a ≤ x ≤ b2.利用凸函数证明不等式：有时候，我们需要证明一个不等式，其中和可能是一些函数或者表达式。
如果我们可以找到一个凸函数，使得在区间上有，以及在边界处有，那么我们就可以得到f(x) ≥ g(x) for a ≤ x ≤ b从而证明原始的不等式。
3.利用凸函数确定不等式的最优解：在一些优化问题中，我们需要求解一个约束条件下的最优解。
如果我们可以找到一个凸函数，使得在区间上有，且在边界处有，那么我们就可以确定约束条件的最优解。
4.利用凸函数证明柯西不等式：对于实数集和，柯西不等式指的是(a1b1 + a2b2 + ... + anbn)^2 ≤ (a1^2 + a2^2 + ... +an^2)(b1^2 + b2^2 + ... + bn^2)其中和是任意实数。
我们可以通过构造一些凸函数的性质，如二次函数，来证明柯西不等式。
在不等式证明中，凸函数是一个非常重要的工具。
它的性质使得我们可以利用它来判断不等式的方向，证明不等式，确定不等式的最优解，甚至证明柯西不等式等等。
初等函数的性质及其应用
初等函数的性质及其应用初等函数是数学中常见的一类函数，包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数等。
初等函数的性质和应用广泛，不仅在数学领域有重要作用，还在物理、工程、经济等领域有广泛的应用。
本文将从初等函数的定义、性质和应用三个方面进行探讨。
一、初等函数的定义和性质初等函数的定义相对简单，可以通过有限次的加、减、乘、除、幂运算和开方运算得到。
常数函数是最简单的初等函数，它的函数值在定义域内始终保持不变。
幂函数是由一个变量的常数次幂构成，指数函数则是以常数为底的幂函数。
对数函数是指数函数的反函数，它的定义域为正实数集合。
三角函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数等，它们的定义域是全体实数。
反三角函数是三角函数的反函数，它们的定义域根据具体函数而定。
初等函数具有一些共同的性质。
首先，初等函数在其定义域内是连续的，可以通过极限运算来求解其函数值。
其次，初等函数在其定义域内是可导的，可以通过导数运算来研究函数的变化趋势。
再次，初等函数的图像具有一定的对称性，如正弦函数和余弦函数的图像关于y轴对称，正切函数的图像关于原点对称。
此外，初等函数之间还存在一些特殊的关系，如指数函数和对数函数是互为反函数，正弦函数和余弦函数是互为相互关系。
二、初等函数的应用初等函数在数学领域有广泛的应用。
首先，它们可以用来描述和研究各种变化的规律。
例如，指数函数可以用来描述人口增长、物质衰变等指数增长或衰减的现象；正弦函数和余弦函数可以用来描述周期性变化的现象，如天体运动、电流变化等。
其次，初等函数可以用来求解各种数学问题。
例如，通过对数函数的运算，可以将复杂的乘法和除法运算转化为简单的加法和减法运算，从而简化计算过程。
再次，初等函数的导数可以用来研究函数的变化趋势和极值点，为优化问题的求解提供了数学工具。
除了在数学领域，初等函数还在其他学科和领域有广泛的应用。
在物理学中，初等函数可以用来描述和研究各种物理现象，如运动、力学、电磁学等。
凸函数的性质与应用
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凸函数的性质及其应用 毕业论文
凸函数的性质及其应用摘要凸函数是一类重要的函数，在数学规划中有着广泛的应用，本文给出了凸函数的三种等价定义，并讨论了凸函数的有关性质，以及它在不等式方面的相关应用。
[关键词]凸函数等价定义性质应用最优化Nature and Application of Convex FunctionAbstractConvex function is an important function and it has a wide application in mathematic programming. This essay gives three kinds of equal definitions of convex function and discusses some relative nature of it. And it also discusses some relative applications on inequality[Key wards] Convex function The definition of equivalence nature applicationOptimization目录绪论 (1)1凸函数的概念与等价定义 (1)1.1凸函数的概念 (1)1.2凸函数的等价定义 (2)2凸函数的简单性质 (3)3凸函数的判定定理 (5)4关于凸函数的几个重要不等式 (7)4.1Jensen不等式 (7)4.2Hadamard不等式 (10)5 凸函数的应用 (11)5.1 凸函数在证明不等式中的应用 (11)般凸函数和凸集 (13)广义凸函数求极小的问题 (14)5.4广义凸函数求极大的问题 (16)结束语 (19)致谢 (19)参考文献 (20)绪论凸函数是一类非常重要的函数，广泛应用于数学规划，控制论等领域,函数凸性是数学分析中的一个重要概念,它在判定函数的极值、研究函数的图象以及证明不等式诸方面都有广泛的应用.凸分析作为数学的一个比较年轻的分支，是在50年代以后随着数学规划，最优控制理论、数理经济学等应用数学学科的兴起而发展起来的。