2020最新最新七年级数学第一学期 第2章 整式的加减 2.1 整式 第3课时 多项式及整式备课素材

2.1 整式第3课时多项式情景导入置疑导入归纳导入复习导入类比导入悬念激趣情景导入如图2－1－15，我们学校的操场由一个长方形和两个半圆组成．图2－1－15(1)两个半圆的面积和是多少？(2)整个操场的面积是多少？(待得出以上两个答案后)观察这两个式子之间有哪些区别和联系呢？这就是我们这节课要研究的整式．[说明与建议] 说明：从学生身边的情境出发，使学生了解整式的实际背景，进一步理解字母表示数的意义，既巩固了旧知识，又可以借此自然引入新课．建议：在丰富的情境中，学生再一次经历了用字母表示数量关系的过程，有效地激发了学生的学习兴趣，调动了学生学习的积极性．也可以采取以下方式提问学生：(1)是单项式，(2)是单项式吗？和(1)相比有什么区别呢？复习导入用字母表示数：(1)若长方形的长与宽分别为a，b，则长方形的周长是__2(a＋b)__；(2)若某班有男生x人，女生21人，则这个班共有学生__(x＋21)__人；(3)鸡兔同笼，鸡a只，兔b只，则共有头__(a＋b)__个，脚__(2a＋4b)__只．观察以上所得出的四个式子，与上节课所学的单项式有何区别．[说明与建议] 说明：由于本课的主题是多项式，通过用字母表示数引入多项式，既是对前面知识的回顾，又由此导入新课，既符合学生的认知水平，又能为学生学习新知识提供丰富的素材．建议：由学生小组派代表回答，教师应肯定每一位学生说出的特点，培养学生观察、比较、归纳的能力，同时又锻炼了他们的语言表达能力．通过特征的讲述，由学生自己归纳出多项式的定义，教师可给予适当的提示及补充．[命题角度1] 多项式的有关概念多项式的项数是由组成该多项式的单项式的个数确定的，有几个单项式就有几项，多项式的次数是“多项式中次数最高的项的次数”．例 [佛山中考] 多项式1＋2xy －3xy 2的次数及次数最高的项的系数分别是( A ) A ．3，－3 B ．2，－3 C ．5，－3 D ．2，3 [命题角度2] 多项式的项及次数的应用根据多项式的有关概念，列出方程，解方程求出待定字母的值，再代入所求的式子求值即可．例 [济宁中考] 如果整式x n －2－5x ＋2是关于x 的二次三项式，那么n 等于( B )A ．3B ．4C ．5D ．6P58练习 1．填空：(1)a ，b 分别表示长方形的长和宽，则长方形的周长l ＝________，面积S ＝________，当a ＝2 cm ，b ＝3 cm 时，l ＝________ cm ，S ＝________ cm 2；(2)a ，b 分别表示梯形的上底和下底，h 表示梯形的高，则梯形的面积S ＝________，当a ＝2 cm ，b ＝4 cm ，h ＝5 cm 时，S ＝________ cm 2.[答案] (1)2(a ＋b ) ab 10 6(2)（a ＋b ）2h 152．用整式填空，指出单项式的次数以及多项式的次数和项：(1)每袋大米5 kg，x袋大米( )kg；(2)如图(图中长度单位：m)，阴影部分的面积是( )m2；(3)体重由x kg增加2 kg后是( )kg.[答案] (1)5x，次数为1；(2)x2＋3x＋6，次数为2，有三项：x2，3x，6；(3)x＋2，次数为1，有两项：x，2.P59习题2.1复习巩固1．列式表示：(1)棱长为a cm的正方体的表面积．(2)每件a元的上衣，降价20%后的售价是多少元？(3)一辆汽车的行驶速度是v km/h，t h行驶多少千米？(4)长方形绿地的长、宽分别是a m，b m，如果长增加x m，新增加的绿地面积是多少平方米？[答案] (1)6a2 cm2；(2)a(1－20%)；(3)vt；(4)xb.2．列式表示：(1)温度由t℃上升5 ℃后是多少？(2)两车同时、同地、同向出发，快车行驶速度是x km/h，慢车行驶速度是y km/h，3 h 后两车相距多千米？(3)某种苹果的售价是每千克x元(x<10)，用50元买5 kg这种苹果，应找回多少钱？(4)如图(图中长度单位：cm)，钢管的体积是多少？[答案] (1)t＋5；(2)3(x－y)；(3)50－5x；(4)πa(R2－r2)．3．填表：整式－15ab 4a2b23x2y54x2－3a4－2a2b2＋b4系数次数项整式－15ab 4a2b23x2y54x2－3a4－2a2b2＋b4系数－154354，－31，－2，1次数2432 4项1112 3 4．测得一种树苗的高度与树苗生长的年数的有关数据如下表(树苗原高100 cm)：年数高度/cm1100＋52100＋103100＋154100＋20…………前四年树苗高度的变化与年数有什么关系？假设以后各年树苗高度的变化与年数保持上述关系，用式子表示生长了n年的树苗的高度．[答案] 前四年树苗高度每年增长5 cm.生长了n年的树苗的高度是(100＋5n)cm.5．礼堂第1排有a个座位，后面每排都比前一排多一个座位. 第2排有多少个座位？第3排呢？用式子表示第n 排的座位数．如果第1排有20个座位，计算第19排的座位数．[答案] 第2排有(a ＋1)个座位，第3排有(a ＋2)个座位，第n 排的座位数为(a ＋n －1)个．第19排的座位数；20＋19－1＝38(个)．6．一块三角尺的形状和尺寸如图所示．如果圆孔的半径是r ，三角尺的厚度是h ，用式子表示这块三角尺的体积V .若a ＝6 cm ，r ＝0.5 cm ，h ＝0.2 cm ，求V 的值(π取3)．[答案] V ＝12a 2h －πr 2h ，当a ＝6 cm ，r ＝0.5 cm ，h ＝0.2 cm ，π＝3时，V ＝12×62×0.2－3×0.52×0.2＝3.45(cm 3)．拓广探索7．设n 表示任意一个整数，用含n 的式子表示： (1)任意一个偶数； (2)任意一个奇数． [答案] (1)2n ；(2)2n ＋1.8．3个球队进行单循环比赛(参加比赛的每一个队都与其他所有的队各赛一场)，总的比赛场数是多少？4个队呢？5个队呢？n 个队呢？[答案] 3个队赛3场，4个队赛6场，5个队赛 10场，n 个队赛n （n －1）2场．9．对于密码L dp d vwxghqw ，你能看出它代表什么意思吗？如果给你一把破译它的“钥匙”x －3，联想英语字母表中字母的顺序，你再试试能不能解读它．英语字母表中字母是按以下顺序排列的：a b c d e f g h i j k 1 m n o p q r s t u v w x y z如果规定a 又接在z 的后面，使26个字母排成圈，并能想到x －3可以代表“把一个字母换成字母表中从它向前移动3位的字母”，按这个规律就有L dp d vwxghqw ―→I am a student. 这样你就能解读它的意思了．为了保密，许多情况下都要采用密码，这时就需要有破译密码的“钥匙”．上面的例子中，如果写和读密码的双方事先约定了作为“钥匙”的式子x －3的含义，那么他们就可以用一种保密方式通信了．你和同伴不妨也利用数学式子来制定一种类似的“钥匙”，并互相合作，通过游戏试试如何进行保密通信．[答案] 略．[当堂检测]1. 多项式-x 2- 3x+2的各项分别是（ ）A. -x 2、 3x 、 2B. -x 2、- 3x 、2C. -x 2、3x +2D. x 2、- 3x 、+2 2. 在代数式x 2+5， -1， x 2-3x+2， π，xx2，x 2+a1，0中，整式有（ ） A ．3个 B ．4个 C ．5个 D ．6个3. 一组按规律排列的多项式：a+b ，a 2-b 3，a 3+b 5，a 4-b 7，…，其中第10个式子是（ ）A ．a 10+b 19B ．a 10-b19C ．a 10-b 17D ．a 10-b 214..代数式：5)1(223-+-x x x 是___ 次___项式，其中二次项的系数是______ .5. 某班级中一个小组5人，在一次测试中，小华得了72分，其余4人的平均分数为a 分，则这个小组的平均分数是_______ .参考答案： 1. B 2. C 3. B 4. 三 四 - 525. 5724 a[能力培优]专题一 用代数式表示实际问题 1.10名学生的平均成绩是x ，如果另外5名学生每人得84分，那么整个组的平均成绩是（ ）2.某种商品进价为a 元/件，在销售旺季，商品售价较进价高30%；销售旺季过后，商品又以7折（即原售价的70%）的价格开展促销活动，这时一件该商品的售价为（ ）. A.a 元 B.0.7 a 元 C.1.03 a 元 D.0.91a 元 专题二 单项式的系数与次数3.代数式-23xy 3的系数与次数分别是（ ）A ．-2，4B ．-6，3C ．-2，3D ．-8，44.如果-33a m b 2是7次单项式，则m 的值是（ ）3a , 12 xy 2,－5xy 4 ,a π ,－x , 13 (a +1), 1x ．专题三 考查多项式的项、项数与次数7.如果一个多项式的次数是6，则这个多项式的任何一项的次数都( )A.小于6B.等于6C.不大于6D.不小于68.若2210a a +-=，则2242013a a ++= . 9.m 为何值时，2123(2)3m m x y xy -+-是五次二项式？专题四 列代数式解决中考中的规律探索题10.（2012·山西）如图，是由形状相同的正六边形和正三角形组合成的一组有规律的图案，则第n 个图案中阴影小三角形的个数是 （用含有n 的代数式表示）.11.（2012·桂林）下图是在正方形网格中按规律填成的阴影，根据此规律，第n 个图中的阴影部分小正方形的个数是 .12.（2011·汕头）如图数表是由从1 开始的连续自然数组成，观察规律并完成各题的解答.（1）表中第8行的最后一个数是 ，它是自然数 的平方，第8行共有 个数；（2）用含n 的代数式表示：第n 行的第一个数是 ，最后一个数是 ，第n 行共有 个数.知识要点：1．单项式的概念：数或字母的积，这样的代数式叫做单项式．单独的一个数或字母也是单项式．2．单项式的系数和次数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数．一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数.单独一个非零的数，规定它的次数为0.3. 多项式的定义：几个单项式的和叫做多项式．4．多项式的有关概念．多项式中的每一个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项．多项式里，次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数．5．整式的定义：单项式和多项式统称为整式．温馨提示：1.用字母表示数要点：（1）字母与字母相乘，乘号一般省略不写，字母的排列顺序一般按字母表的顺序．如a ×b 写成ab ；（2）数与字母相乘，乘号一般也省略不写，但数一定要写在字母的前面，当数是带分数时,一定要化为假分数．如a ×3要写成3a ，不要写为a 3；313×m 要写为310m ，不要写成313m ； （3）带括号的式子与字母的地位相同．如a ×（b －2）可写为a （b －2），也可以写成（b －2）a ；（π－3）×2可写为2（π－3），但不要写成（π－3）2；（4）含字母的除法中，一般不用除号，而改为分数线．如ｘ与ｙ的商一般写为yx ，而不写x ÷y ； （5）和或差关系，又带单位的代数式要用括号括起来后再写上单位．如气温从t ℃下降6℃后是（t －6）℃，不要写为t －6℃．2.与单项式有关的注意事项：（1）确定一个单项式的系数，要注意包括它前面的性质符号．（2）看上去只含有字母因式的单项式，其系数是1或1-，1往往省略不写.（3）计算单项式的次数时，应注意是所有字母指数的和，不要漏掉字母指数是1的指数．（4）单项式的次数只和字母的指数有关，与系数的指数无关．3.与多项式有关的注意事项：（1）多项式中的每一项要包括它前面的符号.（2）“×次×项式”，用大写“一、二、三…”表示.方法技巧：1.本节概念性的东西较多，熟记概念是做好题目的保证.2.与图形有关的规律探索问题，往往先从最简单的前1至3个入手，找到它们共同的规律（规律一般是与图形的序号有关的式子）,然后将要解决的复杂图形的问题，代入到前面发现的规律中，得到问题的解.答案:1. B 解析:先求出这15个人的总成绩10x +5×84=10x +420,再除以15可求得平均值为1042015x +.2. D 解析 :因为商品每件a 元,按进价提高30%出售,则售价为(1+30%)a =1.3a 元,商品以7折销售时售价为1.3a ×70% =0.91a 元.3. D 解析：该单项式的因数是-23，即-8，所以该单项式的系数是-8．字母x 、y 的指数分别是1和3，指数和是4，所以该单项式的次数是4．4. B 解析：由题意得，所有字母的指数和为7，即m +2=7，则m =5．5.解析：根据四次单项式的定义，x 2y 2，x 3y ，xy 3等都符合题意（答案不唯一）．6.解析：3a 表示3与a 相乘,是单项式,系数为3,次数为1；12 xy 2表示12 与xy 2相乘,是单项式,系数为12,次数为3； －5xy 4 表示－54 与xy 相乘，是单项式,系数为－54,次数为2； a π 表示1π 与a 相乘,是单项式,系数为1π,次数为1； －x 表示-1与x 相乘,是单项式，系数为-1,次数为1；13 (a +1)表示a 与1的和的31倍,含有加法运算,不是单项式． 1x表示1与x 的商,不是单项式． 7.C 解析：由于多项式的次数是“多项式中次数最高的项的次数”，因此六次多项式中，次数最高的项是六次的，其余项的次数可以是六次的，也可以是小于六次的，却不能是大于六次的．因此六次多项式中的任何一项都是不大于六次的．8.2015 解析：222420132(2)2013220132015a a a a ++=++=+=.9.解析：根据条件，有m 2-1+2=5，且m +2≠0.所以m =2.10. 4n －2 解析：第1个图案中阴影小三角形的个数是2；第2个图案中阴影小三角形的个数是6=2+4×1；第三个图案中阴影小三角形的个数是10=2+4×2；第4个图案中阴影小三角形的个数是14=2+4×3；…，所以第n 个图案中阴影小三角形的个数是2+4（n －1）=4n －2.11. n (n +1)＋2或 n 2+n +2 解析：根据图形可知：第一个图形中阴影部分小正方形个数为4＝2＋2＝1×2＋2,第二个图形中阴影部分小正方形个数为8＝6＋2＝2×3＋2,第三个图形中阴影部分小正方形个数为14＝12＋2＝3×4＋2,…所以第n 个图形中阴影部分小正方形个数为n (n +1)＋2或 n 2+n +2.12.（1）64 8 15 （2）2(1)1n -+ 2n 21n - 解析：（1）观察所给数阵可知，每行最右侧的数是该行序号的平方.每一行数字的个数是每行的序号乘以2减去1.所以第8行的最后一个数是自然数8的平方，即82=64，共有2×8-1=15个数；（2）第n －1行的最后一个数为2(1)n -，所以第n 行的第一个数是2(1)1n -+，最后一个数为2n ，第n 行共有2n －1个数.整式陷阱面面观整式是单项式和多项式的统称.其中单项式是数字因数和字母因数的乘积形式，单独的一个数字也是单项式；多项式是几个单项式和的形式，它的很多概念都和单项式息息相关.正确把握整式及其相关概念，有助于我们学好整式运算.但同时，这些概念的把握不准，极有可能掉进一个个的陷阱.陷阱一：单项式的系数错例：1.单项式22r π的系数是2. 2.单项式232xy a b -、的系数都是0. 点拨：单项式的系数指的是单项式的数字因数．．．．，而不是数字．．，尤其这个数字因数以分数或科学记数法的形式出现或有常数π时易出现错误.因此判断单项式系数时，关键在于正确分离单项式的因数成分.正解：1.单项式22r π的系数是2π. 2.单项式232xy a b -、的系数分别是1和-1. 陷阱二：单项式的次数错例：1.单项式22xy 次数是2次. 2.222ab 是五次单项式.点拨：单项式的次数指的是所有字母指数的和．．．．．．．．，而不是部分指数的和．．．．．．，特别是当字母没有指数时，应理解为指数为1，而不是0；但同时，因为单项式次数，只和字母指数有关，因此在判断单项式次数时，也并非“见指数就相加．．．．．．”. 正解：1.单项式22xy 次数是3次. 2.222ab 是三次单项式.陷阱三：多项式的项、项数 错例：多项式222331x x x x --+-有5项构成，他们分别是222 3 3 1x x x x 、、、、. 点拨：我们知道，几个单项式的和叫做多项式，在多项式中，每一个单项式称作该多项式的项，其中不含有字母的项叫做常数项.因此，多项式中的项必须带有“前边的符号．．．．．”.而判断多项式的项数的前提是必须把多项式化为最简．．，即要把多项式合并. 正解：多项式222331x x x x --+-有3项构成，他们分别是22 1x x ---、、. 陷阱四：多项式的次数错例：多项式325234x x x -+-是六次四项式.点拨：多项式的次数指的是多项式中最高次数项的次数．．．．．．．．.不要理解为多项式中所有项的次．数之和．．．.所以判断多项式次数时，应该逐项判断构成多项式的每一项的次数，然后找到最高次数项的次数，而不是将她们相加.正解：多项式325234x x x -+-是三次四项式.陷阱五：同类项 错例：１.3-xy xy 和不是同类项. 2. 22-35yx z x yz 和不是同类项. 3. 222-3ab a b 和是同类项.点拨：同类项是整式加减运算的基础，它的概念是：含有相同字母．．．．，并且相同字母的指．．．．．．数也相同．．．．的项.它和字母的先后顺序，项的系数及次数没有任何关系. 正解：１.3-xy xy 和是同类项. 2. 22-35yx z x yz 和是同类项. 3. 222-3ab a b 和不是同类项.。