垂径定理基础班
垂径定理基础训练卷
垂径定理基础训练卷一．选择题（共3小题）1．某公园中央地上有一个大理石球，小明想测量球的半径，于是找了两块厚20cm的砖塞在球的两侧（其中间的截面图如图所示），他量了下两砖之间的距离刚好是80cm，则图中截面圆的半径是（）A．80cm B．70cm C．60cm D．50cm2．如图，AB是⊙O的直径，CD⊥AB于E，CD＝30，BE＝9，则AB为（）A．17B．30C．34D．363．如图，在⊙O中，半径OC⊥弦AB，垂足为D，若AB＝16，OD＝6，则⊙O的半径为（）A．6B．8C．10D．12二．填空题（共8小题）4．已知CD是⊙O的一条弦，作直径AB，使AB⊥CD，垂足为E，若AE＝1，CD＝6，则AB的长为．5．如图表示一圆柱形输水管的横截面，阴影部分为有水部分，如果水的最大深度CD为4m，水面宽AB为16m，则输水管的半径为m．6．如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB于点C，若AB＝8，OC＝3，则⊙O半径的长为．7．如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，OE⊥AB于点E，OE的长为3cm，则⊙O的半径为cm．8．石拱桥是中国传统桥梁四大基本形式之一，它的主桥拱是圆弧形．如图，已知某公园石拱桥的跨度AB＝16米，拱高CD＝4米，那么桥拱所在圆的半径OA＝米．9．嘉兴南湖不仅是党的诞生地，它优美的风光还吸引全国各地的旅客前来观赏．如图是南湖的一座三孔桥，某天测得最大桥拱的水面宽AB为6m，桥顶C到水面AB的距离为2m，则这座桥桥拱半径为m．10．蔬菜基地圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示，已知AB＝16m，半径OA＝10m，则高度CD 为m．11．如图，点A，C，D均在⊙O上，点B在⊙O内，且AB⊥BC于点B，BC⊥CD于点C，若AB＝6，BC＝12，CD＝4，则⊙O的周长为．三．解答题（共11小题）12．1400多年前，我国隋朝建造的赵州石拱桥（如图）是圆弧形，它的跨度（即弧所对的弦长）为37.4m，拱高（即弧的中点到弦的距离）为7.2m，求桥拱所在圆的半径（结果精确到0.1m）．13．如图AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若EB＝18，AE＝2，求弦CD的长．14．如图，AB是⊙O的一条弦，点C是AB的中点，连接OC并延长交劣弧AB于点D，连接OB，DB．若AB＝4，CD＝1，求△BOD的面积．15．如图，两个圆都以点O为圆心，大圆的弦AB交小圆于C，D两点，AC＝2．求BD的长．16．如图是输水管的切面，阴影部分是有水部分，其中水面AB宽8cm，水最深4cm．（1）求圆的半径．（2）求阴影部分的面积．17．如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6cm，其中水面高0.9cm，求截面上有水部分的面积．18．如图，某地有一座圆弧形拱桥其圆心为O，桥下水面宽度AB为7.2m，拱高CD为2.4m．（1）求拱桥的半径；（2）夏季雨季来临时，当水面离桥顶C距离为1m时，就要禁止通行，某天暴雨后桥下水面宽度EF为3m，请通过计算说明是否要禁止通行．19．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点F，OE⊥AC于点E，若OE＝3，OB＝5，求OF的长．20．如图，在⊙O中，CP＝2，PD＝6，AP＝5，弦CD⊥AB，垂足为点P，求OP的长度．21．如图，在半径为6的扇形AOB中，∠AOB＝120°，C是上的一个动点（不与A，B 重合），OD⊥AC，OE⊥BC，垂足分别为点D，E．（1）求DE的长．（2）求四边形ODCE各内角的度数．22．如图，某地有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽度AB为7.2m，拱高CD为2.4m．（1）求拱桥的半径；（2）现有一艘宽3m、船舱顶部为长方形并高出水面2.2m的货船要经过这里，问此货船能顺利通过拱桥吗？。
高中数学垂径定理教案
高中数学垂径定理教案一、教学目标：1. 知识与能力：掌握垂径定理的概念，能够应用垂径定理解决相关问题。
2. 过程与方法：运用几何知识和推理方法，探究垂径定理的原理和应用。
3. 情感态度与价值观：培养学生的观察和推理能力，增强学生对几何学习的兴趣和自信心。
二、教学重难点：1. 掌握垂径定理的内容和概念。
2. 能够灵活运用垂径定理解决相关问题。
三、教学内容及方法：1. 垂径定理的概念：通过展示示意图，引导学生理解垂径定理的基本原理。
2. 垂径定理的证明：以几何推理为基础，让学生自行探究垂径定理的证明过程。
3. 垂径定理的应用：通过具体案例演练，让学生掌握灵活运用垂径定理解决相关问题的方法。
四、教学过程：1. 导入：通过展示一个圆和其直径的示意图，引出垂径定理的概念。
2. 学习：讲解垂径定理的内容和原理，引导学生思考垂线与半径的关系。
3. 实践：学生自行探究垂径定理的证明过程，进行思维导图整理。
4. 演练：通过案例分析和问题讨论，让学生灵活运用垂径定理，解决相关问题。
5. 总结：总结本节课的学习内容，强化垂径定理的重点和难点。
五、作业布置：1. 完成课堂练习，加深对垂径定理的理解。
2. 预习下节课内容，做好相关准备。
六、教学评价：1. 课堂表现：学生能够积极参与讨论，表达自己的观点和想法。
2. 作业质量：学生能够独立完成作业，运用垂径定理解决实际问题。
3. 考试成绩：学生在考试中能够准确运用垂径定理，获得理想的成绩。
七、教学反思：1. 教学方法：适当运用案例分析和问题讨论，提高学生对垂径定理的应用能力。
2. 教学内容：加强垂径定理的相关练习，巩固学生对垂径定理的理解和掌握。
以上是本次垂径定理教学范本，欢迎老师们根据实际情况进行调整和完善。
祝教学顺利！。
垂径定理_精品文档
垂径定理垂径定理是数学几何中的一个重要定理，它解决了直径垂直于弦的问题。
在几何形体中，直径和弦是常见的概念。
定义在一个圆中，如果某条直径与一条弦垂直相交，那么这条直径被称为垂径。
理论证明假设我们有一个圆，直径为AB，弦为CD，且垂直相交于E点。
我们需要证明AE与BE相等。
首先，连接AC和BD，并延长直线AC和BD，分别交于F和G点。
根据垂直与切线的性质，可以得出四个直角三角形：AEC、EDB、AFB和EGC。
我们需要利用这四个直角三角形的性质来推导出AE与BE相等。
首先考虑直角三角形AEC和EDB，这两个三角形共有一边AE，因此我们可以利用直角三角形的边长关系依次得到以下两个等式：AE^2 + CE^2 = AC^2 (1)BE^2 + DE^2 = BD^2 (2)接下来考虑直角三角形AFB和EGC，这两个三角形也共有一边AE，而它们还有两边分别是FA、AG和GE、EB。
由于直角三角形的边长关系，我们可以得到以下两个等式：FA^2 + AE^2 = AF^2 (3)AG^2 + AE^2 = AG^2 (4)根据圆的性质，直径的两个端点到圆心的距离相等，即AC = BD。
由于AC = BD，我们可以将等式(1)和(2)进行简化：AE^2 + CE^2 = BD^2 (5)BE^2 + DE^2 = BD^2 (6)由于等式(5)和(6)左侧都包含AE，我们将它们相减，可以得到：AE^2 + CE^2 - (BE^2 + DE^2) = 0再根据等式(3)和(4)可以得到：FA^2 + AE^2 - (AG^2 + AE^2) = 0整理等式得到：FA^2 - AG^2 + CE^2 - DE^2 = 0化简得到：(FA^2 - AG^2) + (CE^2 - DE^2) = 0根据差的平方公式，我们可以进一步得到：(FA + AG)(FA - AG) + (CE + DE)(CE - DE) = 0将FA + AG替换为FG，CE + DE替换为CD，可以得到：FG * CD + FG * CD = 0进一步整理得到：2 * FG * CD = 0由于FG和CD都是正值，所以只能有FG = 0。
垂径定理课件
性质：垂线与平行线互相垂直，即当两条直线相交时，其中一条为垂线时，另一条即为平行线。
垂心和比例点的概念
垂心：三角形内的垂线交点称为垂心，是三角形内心的一种特殊情况。 比例点：三角形内的垂线与对边的交点称为比例点，可以在相似三角形中使用。
如何求垂直线的长度
方法：根据垂径定理，可以使用勾股定理或相似三角形的比例关系求解垂直 线的长度。
垂径定理课件PPT
欢迎来到本次垂径定理课件PPT！今天我们将介绍垂径定理的定义、特点、 应用以及与其他几何知识的关系。让我们开始探索这个有趣且实用的几何原 理吧！
垂径定理的定义
垂径定理：在一个平面内，通过三角形的一个内角的三垂线的交点共线。 示意图：（图片示意图）
直角三角形的特点
直角三角形：一个角为90度的三角形，特点是拥有一个直角和两个锐角。 性质：勾股定理成立，垂径定理可用于求解各边的长度。
垂径定理的应用
应用举例：垂径定理可用于解决三角形面积、边长、角度等问题，也可以在多边形的证明和相似三角形 的研究中应用。
证明垂径定理的方法
一种证明方法：通过构造垂线、平行线和相似三角形，可以从不同角度证明垂径定理的正确性。
如何画垂径
步骤：确定要画垂线的三角形，找到该三角形的某个角，通过该角的顶点作垂线，使其与对边垂直相交。 图片示意：（图片示意图）
垂径定理计算公式
垂径定理计算公式
「垂径定理」是几何中的基础定理，它表明了从垂足A到点P的垂径和从垂足A到点Q的垂径的乘积，等于对应的点P和Q的连线的平方。
下面我就来讲述一下垂径定理的计算公式。
首先，我们必须了解垂径定理的基本概念，即AB为一直线，A
为垂足，P为直线上点，Q为垂线上点，以及AP和BQ两条垂线。
垂径定理的计算公式为：AP*BQ=PB^2
其中，AP为从垂足A投影到点P的垂线，BQ为从垂足B投影到
点Q的垂线，而PB为从点P到点Q的直线，^2表示平方运算。
计算垂径定理的公式时，首先应计算相应的垂线的长度，例如
AP的长度为a，BQ的长度为b。
然后，可以用公式a*b=PB^2计算出PB的长度，即从点P到点Q的距离。
在一般的教学和习题中，可以有以下几种应用方法。
首先，可以利用垂径定理来计算平行四边形中任意两条边的长度，其中一边知道，另一边未知。
例如，若已知直线AB，以及M为其中
一点，则可以求出MN的长度。
另一种应用，是利用垂径定理求解三角形的内角。
有时候，我们需要求解的三角形的内角未知，仅知道三条边的长度时，则可以利用垂径定理来计算。
最后，垂径定理也可以用于求解椭圆的参数和椭圆上的点。
由于椭圆是以双曲线形式出现的，双曲线一端的点都是到椭圆中心的距离相等，则可以用垂径定理来计算双曲线上点的坐标，从而得到椭圆参
数。
以上就是关于垂径定理计算公式的全部内容，希望能够对读者有所帮助。
垂径定理在几何中有许多有趣的应用，如本文所提到的，通过深入的学习，可以更好地理解垂径定理。
垂径定理及推论证明方法
垂径定理及推论证明方法一、垂径定理的内容。
1.1 垂径定理简单来说就是在圆中，垂直于弦的直径平分弦且平分这条弦所对的两条弧。
这就像是一个圆里的“公平分配原则”，直径就像一个公正的裁判，只要它垂直于弦，就会把弦和对应的弧都平均分成两份。
1.2 例如，我们有一个圆，画一条弦AB，再画一条直径CD，让CD垂直于AB于点E。
那么根据垂径定理，AE就等于BE，弧AC等于弧BC，弧AD等于弧BD。
这就好像把一块圆形的蛋糕（圆），用一把垂直于蛋糕中间一条线（弦）的长刀（直径）切开，两边的蛋糕（弧）和中间的线（弦）都被平均分开了。
二、垂径定理的证明方法。
2.1 我们可以利用等腰三角形的性质来证明。
连接圆心O与弦AB的两个端点A和B，这样就形成了两个等腰三角形，即△OAB。
因为OA = OB（圆的半径都相等，这是圆的基本性质，就像一个家族里的兄弟姐妹都有相同的地位一样），直径CD垂直于AB，根据等腰三角形三线合一的性质（这可是三角形里的一个“法宝”性质），就可以得出AE = BE，从而证明了垂径定理平分弦这一部分。
2.2 对于平分弧的证明，我们可以利用圆的对称性。
圆是一个非常对称的图形，就像一个完美的圆形镜子，任何一条直径都是它的对称轴。
因为直径CD垂直于弦AB，那么沿着直径CD对折这个圆，弧AC和弧BC会完全重合，弧AD和弧BD也会完全重合，这就证明了直径平分弦所对的两条弧。
这就好比把一张圆形的纸沿着直径对折，两边的图案（弧）会严丝合缝地重合在一起，这就是圆的对称性在起作用。
2.3 从全等三角形的角度也能证明。
在前面连接OA、OB后，在Rt△OAE和Rt△OBE中，OA = OB（半径），OE是公共边，根据HL（斜边直角边）定理，可以得出这两个直角三角形全等。
全等三角形对应边相等，所以AE = BE。
而且全等三角形对应角相等，那么对应的圆心角相等，圆心角相等所对的弧就相等，也就证明了弧AC等于弧BC，弧AD等于弧BD。
数学公开课优质课件精选《垂径定理》
解析
要证明FM垂直于FN， 只需证明角MFN等于 90度。根据抛物线的 性质可知AF = AM， BF = BN。因此，角 AFM和角BFN均为45 度。所以角MFN等于 90度，即FM垂直于FN
。
例题6
已知椭圆C： (x^2)/a^2 + (y^2)/b^2 = 1 (a > b > 0)的左、右焦点分别 为F1、F2，过F1的直 线l与椭圆C交于A、B 两点。若|AF1| = 3|F1B|，且|AB| = 4√3 ，求椭圆C的方程。
利用垂径定理求线段中点
01
通过构造以线段为直径的圆，利用垂径定理可求得线段的中点
Hale Waihona Puke 。判定线段中点的性质
02
根据垂径定理，若一条线段是某圆的直径，则该线段的中点是
圆心，从而可判定线段中点的性质。
解决与线段中点相关的几何问题
03
利用垂径定理可以解决与线段中点相关的各种问题，如求线段
的长度、证明线段的平行或垂直等。
应用场景
在解决三维几何问题中，如计算球面上两点的最短距离、 判断点到球面的位置关系等问题时，可应用三维空间中的 垂径定理。
垂径定理与其他知识点的联系
与勾股定理的联系
在直角三角形中，垂径定理可视 为勾股定理的特殊情况，当直角 三角形的两条直角边相等时，斜
边上的中线即为垂径。
与圆的性质的联系
垂径定理与圆的性质密切相关，如 圆心角、弧长、弦长等概念在证明 垂径定理时均有涉及。
解决角平分线问题
1 2 3
利用垂径定理构造角平分线
通过构造以角为顶点的圆，利用垂径定理可求得 角的平分线。
判定角平分线的性质
根据垂径定理，若一条射线是某圆的切线，且切 点是角的顶点，则该射线是角的平分线，从而可 判定角平分线的性质。
《垂径定理》课件
垂径定理的证明
1
几何证明
我们可以使用几何方法证明垂径定理，通过绘制图形、构造垂直线段等方法来说 明定理的正确性。
2
代数证明
垂径定理也可以使用代数方法进行证明，通过使用坐标系和向量来推导出定理的 结果。
3
三角证明
三角学中的一些关系可以用来证明垂径定理，例如正弦定理和余弦定理。
垂径定理的拓展
1 平面几何
垂径定理的定义
垂径定理
垂径定理，又称为垂径垂直定理，是指当两条线段相互垂直时，它们的垂径相连的线段也垂 直。
垂径定理的应用
建筑设计
垂径定理在建筑设计中扮演着重 要的角色，帮助工程师确定建筑 物的垂直度和平衡性。
圆的性质
坐Hale Waihona Puke 系垂径定理也可以用来证明圆的性 质，例如切线与半径的垂直关系。
在数学中，垂径定理可以用来证 明两条直线是否垂直，从而确定 坐标系中点和直线的关系。
《垂径定理》PPT课件
欢迎大家来到今天的课程，我们将一起探索《垂径定理》。通过这个课件， 我将向你展示垂径定理的定义、应用、证明和拓展，以及实例演示。让我们 开始吧！
问题背景
在几何学中，我们经常遇到求解线段或角问题的情况。垂径定理是一种重要 的几何定理，可以帮助我们解决这些问题。让我们来了解一下问题的背景。
垂径定理可以扩展到三维空间中，用于解决立体几何问题。
2 向量几何
在向量几何中，垂径定理可以扩展到多维空间，用于解决向量的正交性问题。
3 复数几何
在复数几何中，垂径定理可以应用于解决复数平面中点和直线的关系。
实例演示
几何构造
我们将通过实例演示来展示如何 使用垂径定理进行几何构造，解 决实际问题。
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垂径定理练习
上周知识检测：
本周同步训练：
1、如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，已知CD=12，BE=2，则⊙O的直径为（）
2、如图，在平面直角坐标系中，⊙A与y轴相切于原点O，平行于x轴的直线交⊙A于M、N两点，若点M 的坐标是（-4，-2），则点N的坐标为（）
A．（1，-2）B．（-1，-2）C．（-1.5，-2）D．（1.5，-2）
3、如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCO的顶点A、C分别在y轴、x轴上，以AB为弦的⊙M与x轴相切．若点A的坐标为（0，8），则圆心M的坐标为（）
4、在半径为500cm的圆柱形油桶内注入一些油后，截面如图所示，若油面宽AB=800cm,则油的最大深度为______
5、如图，BD是⊙O的弦，点C在BD上，以BC为边作等边三角形△ABC，点A在圆内，且AC恰好经过点O，其中BC=12，OA=8，则BD的长为（）
6、有一座圆弧形的拱桥，桥下水面宽度8m，拱顶高出水面2m．现有一货船载一货箱欲从桥下经过，已知货箱宽6m，高1.5m（货箱底与水面持平），问该货船能否顺利通过该桥？
总结：
本周老师所讲内容及题型：
本周你学会了哪些方法或思路、思想？有哪些没掌握好的？。