第39讲简单的线性规划问题

第39讲 简单的线性规划问题
1.若点(1,3)和(－4，－2)在直线2x ＋y ＋m ＝0的两侧，则m 的取值范围是( )
A ．m <－5或m >10
B ．m ＝－5或m ＝10
C ．－5<m <10
D ．－5≤m ≤10
2.不等式组⎩⎨⎧
x －3y ＋6≥0
x －y ＋2<0
表示的平面区域是( )
3.在不等式组⎩⎨⎧
x －y ≤0
x ＋y ≥0
y ≤a
确定的平面区域中，若z ＝x ＋2y 的最大值为3，则a 的值
是( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
4.(2014·山东卷)已知x ，y 满足约束条件⎩
⎨⎧
x －y －1≤0
2x －y －3≥0，当目标函数z ＝ax ＋by (a
＞0，b ＞0)在该约束条件下取到最小值25时，a 2＋b 2的最小值为( )
A ．5
B ．4 C. 5 D ．2
5.(2014·石家庄质检)已知点Q (5,4)，动点P (x ，y )满足⎩⎨⎧
2x －y ＋2≥0
x ＋y －2≤0
y －1≥0
，则|PQ |的最
小值为______．
6.实数x 、y 满足不等式组⎩⎨⎧
y ≥0
x －y ≥0
2x －y －2≥0
，则ω＝y －1
x ＋1
的取值范围是__________．
7.某公司承担了每天至少搬运280吨水泥的任务，已知该公司有6辆A 型卡车和8
辆B 型卡车．又已知A 型卡车每天每辆的运载量为30吨，成本费为0.9千元；B 型卡车每天每辆的运载量为40吨，成本费为1千元．如果你是公司的经理，为使公司所花的成本费最小，每天应派出A 型卡车、B 型卡车各多少辆？
8.(2014·全国新课标卷Ⅰ)不等式组⎩⎨⎧
x ＋y ≥1
x －2y ≤4
的解集记为D ，有下面四个命题：
p 1：∀(x ，y )∈D ，x ＋2y ≥－2； p 2：∃(x ，y )∈D ，x ＋2y ≥2； p 3：∀(x ，y )∈D ，x ＋2y ≤3； p 4：∃(x ，y )∈D ，x ＋2y ≤－1. 其中的真命题是( )
A ．p 2，p 3
B ．p 1，p 4
C ．p 1，p 2
D ．p 1，p 3
9.(2014·郑州一模)若x ，y 满足条件⎩⎨⎧
3x －5y ＋6≥0
2x ＋3y －15≤0
y ≥0
，当且仅当x ＝y ＝3时，z ＝
ax －y 取得最小值，则实数a 的取值范围是__________．
10.设实数x 、y 满足不等式组⎩⎨⎧
1≤x ＋y ≤4
y ＋2≥|2x －3|
.
(1)求点(x ，y )所在的平面区域；
(2)设a >－1，在(1)所求的区域内，求函数f (x ，y )＝y －ax 的最大值和最小值．
第39讲 简单的线性规划问题
1．C 解析：由已知两点在直线的两侧， 则(2＋3＋m )(－8－2＋m )<0，
即(m ＋5)(m －10)<0，所以－5<m <10，选C. 2．B
3．A 解析：如图所示，作出可行域，是一个三角形区域，而由图可知，目标函数z ＝x ＋2y 在点A (a ，a )处取得最值，故a ＋2a ＝3，解得a ＝1.故选A.
4．B 解析：(方法1)线性约束条件所表示的可行域如图所示． 由⎩⎪⎨⎪⎧ x －y －1＝02x －y －3＝0，解得⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝2y ＝1， 所以z ＝ax ＋by 在A (2,1)处取得最小值， 故2a ＋b ＝25，
a 2＋
b 2＝a 2＋(25－2a )2＝(5a －4)2＋4≥4.
(方法2)画出满足约束条件的可行域知，当目标函数过直线x －y －1＝0与2x －y －3＝0的交点(2,1)时取得最小值，所以有2a ＋b ＝2 5.又因为a 2＋b 2是原点(0,0)到点(a ，b )的距离的平方，
故当a 2＋b 2为原点到直线2a ＋b －25＝0的距离时最小，所以a 2＋b 2的最小值是|－25|
22＋1
2＝2，所以a 2＋b 2
的最小值是4.故选B.
5．5 解析：不等式组所表示的可行域如图所示，直线AB 的方程为x ＋y －2＝0，过Q 点
且与直线AB 垂直的直线为y －4＝x －5，即x －y －1＝0，其与直线x ＋y －2＝0的交点为(32，1
2
)，
而B (1,1)，A (0,2)，因为3
2
＞1，所以点Q 在直线x ＋y －2＝0上的射影不在线段AB 上，则|PQ |
的最小值即为点Q 到点B 的距离，故|PQ |min ＝(5－1)2＋(4－1)2＝5.故填5.
6．[－1
2，1) 解析：点(x ，y )在图中阴影部分，ω＝y －1x ＋1
，即动点(x ，y )与定点A (－1,1)连
线的斜率，如图l 1的斜率k 1＝k AB ，由⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝02x －y －2＝0
，得B (1,0)，则k 1＝－1
2，l 2与直线x －y ＝0
平行，所以ω∈[－12，1)．故填[－1
2
，1)．
7．解析：设公司每天派出A 型卡车x 辆，B 型卡车y 辆，公司所花的成本费为z 千元，根据题意，得
⎩⎪⎨⎪⎧
30x ＋40y ≥2800≤x ≤60≤y ≤8x ∈N ，y ∈N
，目标函数z ＝0.9x ＋y ，
作出该不等式组表示的可行域，如下图．
考虑z ＝0.9x ＋y ，变形为y ＝－0.9x ＋z ，这是以－0.9为斜率，z 为y 轴上的截距的平行直线族．
经过可行域，平行移动直线，当直线经过点(0,7)时，直线在y 轴上的截距最小，即z 取最小值，为7.
答：公司每天派出A 型卡车0辆，B 型卡车7辆时，所花的成本费最低，为7千元． 8．C 解析：(方法1)作图验证
作出可行域如图．设x ＋2y ＝z ，即y ＝－12x ＋z
2
，当直线过A (2，－1)时，
z min ＝－2＋2＝0，所以z ≥0，所以命题p 1、p 2真命题，故选C. (方法2)特殊点验证
取点(4,0)代入x ＋2y 中，得x ＋2y ＝4，则4≤3不成立，所以p 2成立，而p 3不成立，排除A 、B 、D ，故选C.
9．(－23，3
5
) 解析：画出可行域，如图．
直线3x －5y ＋6＝0与2x ＋3y －15＝0交于点M (3,3)， 由目标函数z ＝ax －y ，得y ＝ax －z ，纵截距为－z ，
当z 最小时，－z 最大．欲使纵截距－z 最大，则－23<a <35.故填(－23，3
5
)．
10．解析：(1)由已知不等式组可化为 ⎩⎪⎨⎪
⎧
1≤x ＋y ≤4y ＋2≥2x －32x －3≥0
或⎩⎪⎨⎪
⎧
1≤x ＋y ≤4y ＋2>3－2x 2x －3<0
，
解得点(x ，y )所在平面区域为如图所示的阴影部分(含边界)．其中AB ：y ＝2x －5；BC ：x ＋y ＝4；CD ：y ＝－2x ＋1；DA ：x ＋y ＝1.
(2)f (x ，y )表示直线l ：y －ax ＝k 在y 轴上的截距，且直线l 与(1)中所求区域有公共点． 因为a ＞－1.
所以当直线l 过顶点C 时，f (x ，y )最大． 因为C 点的坐标为(－3,7)， 所以f (x ，y )的最大值为7＋3a .
当－1＜a ≤2，直线l 过点A (2,1)时，f (x ，y )最小，且f (x ，y )min ＝－1－2a ； 当a ＞2时，直线l 过点B (3,1)时，f (x ，y )最小，且f (x ，y )min ＝1－3a .。