运筹学大M法和两阶段法
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《管理运筹学》02-4两阶段法和大m法
大M法的优势与局限性
优势
大M法能够处理大规模的整数规划问题，且计算过程相对简单，容易实现。
局限性
大M法只能求得问题的近似解，而非最优解，且当M值选取不合适时，可能导致求解结果偏离最优解 较远。同时，对于一些特殊问题，如非线性、非凸等问题，大M法可能无法得到满意的结果。
04
大M法实施步骤
确定问题与目标
局限性
两阶段法需要花费更多的计算时间和资源，因为需要进行多次迭 代和优化。此外，两阶段法对于初始解的选择比较敏感，如果初 始解不好，可能会导致算法陷入局部最优解，而非全局最优解。
02
两阶段法实施步骤
阶段一：问题建模与求解
80%
确定问题目标
明确问题的目标，并将其转化为 可量化的数学模型。
100%
建立数学模型
两阶段法案例
总结词
两阶段法是一种常见的求解线性规划问题的方法，通过将问题分解为两个阶段进行求解， 可以找到最优解。
详细描述
在第一阶段，两阶段法首先确定一个初始解，然后通过迭代不断改进这个解，直到满足 一定的收敛条件。在第二阶段，两阶段法使用一种称为对偶单纯形法的方法来求解子问
题，最终得到最优解。
大M法案例
输出求解结果，包括最优解、最优值等。
分析结果与决策
结果分析
对求解结果进行分析，包括最优解的合理性、最优值的可行性等。
制定决策方案
根据分析结果，制定相应的决策方案，包括最优解的实施方案、次 优解的备选方案等。
方案评估与选择
对制定的决策方案进行评估和选择，确保方案符合实际需求和可行 性。
05
案例分析
《管理运筹学》02-4两阶段法 和大m法
目
CONTENCT
大M法和两阶段法
1
0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0
-1
3 2 5M-3 0 1 0 -2 0 1 0 -2
2
-7 -1 -8M+5 -1/3 -7/3 (11/3) 11/3M+7/3 0 0 1 0
-1
（3） 2 5M-1 0 1 0 0 0 (1) 0 0
0
1 0 0
0
0 1 0 0 0 1 0 → 2/3 5/2 →
→
两阶段法
第一阶段：引入辅助问题
max S x5 x6 x7 s.t. x1 x 2 2 x3 x 4 x5 2 2 x1 x 2 3 x3 x 4 x6 6 x1 x3 x3 x 4 x7 7 x j 0, j 1,2, ,7
Cj 段 ↓ -1 1
→ 基 x5
0 b 2
0 P1 （1）
0 P2 -1
0 P3 2
0 P4 -1
-1 P5 1
-1 P6 0
-1 Qi P7 0 2 → 注
-1
-1 Cj-Zj 0
x6
x7 → x1 x6 x7 → x1 x4
6
7 15 2 2 5 7 8/3 2/3
2
1 4 1 0 0 0 1 0
大M法
引入人工变量x5，x6，x7，将原问题化为
max F 2 x1 x 2 x3 x 4 M ( x5 x6 x7 ) s.t. x1 x 2 2 x3 x 4 x5 2 2 x1 x 2 3x3 x 4 x6 6 x1 x3 x3 x 4 x7 7 x j 0, j 1,2,,7
Cj-Zj 0
线性规划-大M法、两阶段法与几种特殊情况
进基变量的相持
出基变量的相持
max
z=
4x1
+2x2
-3x3
+5x4
s.t.
2x1
-x2
+ x3
+2x4
≥50
(1)
3x1
-x3
+2x4
80
(2)
x1
+x2
+x4
= 60
(3)
x1,
x2,
x3,
x4
≥ 0
1-4 线性规划- 大M法、两阶段法及几种特殊情况
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School of Business ECUST
单纯形法
单纯形法的一般思路+例子
单纯形表结构+例子
单纯形法的计算步骤
单纯形法的矩阵描述
大M法
两阶段法
几种特殊情况
无可行解
无界解
多重最优解
1
X3
0
-3 0 2 0 0 -2-M -M
σj
-1 0 1 0 1 -1 0
1
X5
0
0 0 1/2 3/2 0 -1/2-M -3/2-M
2
X5
0
-1 2+2M -M -M 0 0 0
σj
3/1
0 1 0 0 1 0 0
3
X5
0
X1 x2 x3 x4 x5 x6 x7
3/2
X2
2
1/2/1/2
1 0 -1/2 1/2 0 1/2 -1/2
1/2
运筹学第1章-线性规划
凸集的数学定义:设K为n维欧氏空间的一个点集，若K中任意两个 点X1和X2连线上的所有点都属于K，即“X =αX1+(1-α) X2 ∈ K(0≤a ≤ 1)”，则称K为凸集。设X(x1，x2，…，xn)，X1(u1， u2，...，un)，X2(v1，v2，…，vn)，如图1一5所示，“X =αX1+(1α) X2 ∈ K(0≤a ≤ 1)”的证明思路如下:
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图解法步骤：
（1）建立坐标系； （2）将约束条件在图上表示； （3）确立满足约束条件的解的范围； （4）绘制出目标函数的图形 （5）确定最优解
用图解法求解下列线性规划问题
max z 2x1 3x2
4x1 0x2 16
s.t
10xx11
4x2 2x2
12 8
x1, x2 0
1. 1.1问题举例
(1)生产计划问题。 生产计划问题是典型的已知资源求利润最大化的问题，对于此类
问题通常有三个假设:①在某一计划期内对生产做出的安排;②生产 过程的损失忽略不计;③市场需求无限制，即假设生产的产品全部 卖出。
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1.一般线性规划问题的数学模型
例1 用一块连长为a的正方形铁皮做一个容 器，应如何裁剪，使做成的窗口的容积为最 大？
解：设 x1, x2分别表示从A,B两处采购的原油量（单
位：吨），则所有的采购方案的最优方案为：
min z 200x1 290x2
0.15x1 0.50x2 150000
s.t
0.20x1 0.50x1
0.30x2 0.15x2
120000 120000
x1 0, x2 0
1. 1线性规划问题与模型
也可以写成模型(1-6)和模型(1-7)的形式，其中模型(1-7)较为常用。
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图解法步骤：
（1）建立坐标系； （2）将约束条件在图上表示； （3）确立满足约束条件的解的范围； （4）绘制出目标函数的图形 （5）确定最优解
用图解法求解下列线性规划问题
max z 2x1 3x2
4x1 0x2 16
s.t
10xx11
4x2 2x2
12 8
x1, x2 0
1. 1.1问题举例
(1)生产计划问题。 生产计划问题是典型的已知资源求利润最大化的问题，对于此类
问题通常有三个假设:①在某一计划期内对生产做出的安排;②生产 过程的损失忽略不计;③市场需求无限制，即假设生产的产品全部 卖出。
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1.一般线性规划问题的数学模型
例1 用一块连长为a的正方形铁皮做一个容 器，应如何裁剪，使做成的窗口的容积为最 大？
解：设 x1, x2分别表示从A,B两处采购的原油量（单
位：吨），则所有的采购方案的最优方案为：
min z 200x1 290x2
0.15x1 0.50x2 150000
s.t
0.20x1 0.50x1
0.30x2 0.15x2
120000 120000
x1 0, x2 0
1. 1线性规划问题与模型
也可以写成模型(1-6)和模型(1-7)的形式，其中模型(1-7)较为常用。
线性规划-大M法、两阶段法与几种特殊情况课件
0 1 001 -1 2+2M -M -M 0
00 00
3 3/1
2 0 -1 1 0 1 -1
1 1/2
-1 1 0 -1 0 0 1
1
-
1 0 0 1 1 0 -1
2 2/1
1+2M 0 -M 2+M 0 0 -2-2M
1 0 -1/2 1/2 0 1/2 -1/2
1/2
0 1 -1/2 -1/2 0 1/2 1/2
-Mx7
-Mx8
s.t.
2x1
-x2
+ x3
+2x4
－x5
+x7
=50
(1)
3x1
-x3
+2x4
+x6
= 80
(2)
x1
+x2
+x4
＋x8
= 60
(3)
x1,
x2,
x3,
x4,
x5,
x6,
x7,
x8 ≥ 0
添加人工变量
min z=
4x1
+2x2
-3x3
+5x4
+Mx7
+Mx8
s.t.
2x1
-x2
+ x3
max z= 4x1 +2x2 -3x3 +5x4
s.t.
2x1 -x2 + x3 +2x4 －x5
=50 (1)
3x1
-x3 +2x4
+x6 = 80 (2)
x1 +x2
+x4
x1, x2, x3, x4, x5,
线性规划-大M法、两阶段法与几种特殊情况
x4,
x5,
x6,
x7,
x8 ≥ 0
School of Business ECUST
添加人工变量
min z=
4x1
+2x2
-3x3
+5x4
+Mx7
+Mx8
s.t.
2x1Hale Waihona Puke -x2+ x3
+2x4
－x5
+x7
=50 (1)
3x1
-x3
+2x4
+x6
= 80 (2)
x1
+x2
+x4
＋x8
= 60 (3)
x1,
x2,
x3,
x4,
x5,
x6,
x7,
x8 ≥ 0
School of Business ECUST
4 2 -3 5
0
0 MM
CB XB
[ x1]
x2
x3
x4
x5
x6 x7 x8 b
M [ x7]
2
-1
1
2
-1 0 1 0 50
0 x6
3 0 -1 2
0
1 0 0 80
M x8
1 10
1
0
0 0 1 60
1 0 0 1 1 0 -1
1+2M 0 -M 2+M 0 0 -2-2M
1 0 -1/2 1/2 0 1/2 -1/2
0 1 -1/2 -1/2 0 1/2 1/2
0 0 1/2 1/2 1 -1/2 -1/2
0 0 1/2 3/2 0 -1/2-M -3/2-M
运筹学大M法和两阶段法
0
0
0
-1
0
0
1
0
-3
0
x5
12
3
0
0
-2
1
2
-5
30
x2
1
0
1
0
-1
0
1
-2
0
x3
1
-2
0
1
0
0
0
1
Cj-Zj
→
0
0
0
0
0
0
-1
-1
结论
▪ 此时，目标函数已得最优值，人工变量均 为0。转入第二阶段。
第二阶段
▪ 求原问题最优值。目标函数为原问题的目 标函数，单纯形表初始表为第一阶段最后 一段的元素值，但应去掉人工变量所在列。
↓
0
1
-M
-M
Cj-Zj
0
2
-M
-1
Cj-Zj
0
3
-1
-1
Cj-Zj 3
4
-1
-1
Cj-Zj
→
0
3
-1
-1
0
0
-M
-M
Qi 注
基
b
P1
P2
P3
P4
P5
P6
P7
x4
11
1
-2
1
1
0
0
0
11
x6
3
-4
1
2
0
-1
1
0
3/2
x7
1
-2
0
（1）
0
0
0
1
1→
→
4M -6M+3 M-1 3M-1
运筹学论文
1.线性规划1.1图解法1.1.1解题步骤1.图解法步骤2.建立坐标系3.找出可行域4.绘出目标函数图形5.求出最优解1.2单纯形法1.2.1 解题思想：保持最优性不断改善解的可行性1.2.2 解题步骤1.找到初始可行解确定基变量，没有合适的基变量时，引入人工变量。
2.列出单纯型表，通过检验系数σ=Cj-C B B-Pj 确定进基变量，通过θ=B-b-B-a 确定出基变量，不断迭代达到最优解。
3.判断标准：在Max的条件下，σ全部小于0时，停止迭代，达到最优解。
1.2.3 解的几种情况在终表上的体现1.唯一最优解：终表上所有非基检验数均小于0。
2.多重最优解（无穷）：终表上存在非基检验数等于0，通过终表可以写出一个最优解X* Max Z。
3.无界解：终表上，存在正检验数相应的系数列中的所有系数均为非正（两出基θ均小于0）。
4.无解（只出现在使用人工变量的情况下）Ⅰ.大M法：最优解有X人工（X人工不等于0）.Ⅱ.两阶段法：Minω不等于0，无解。
1.3对偶单纯形法1.3.1 解题思想：保证最优性，改善可行性1.3.2 解题步骤1.前提：保障最优性：σ=c j-z j=c j-C B B-1≤0。
2.检查可行性：检查B-1b（常数项），若非负，则得到最优解，若还有负数，则开始下一步。
3.判断出基变量：找出B-1b中负数最小值，min（B-1b I B-1b＜0），这个数所在对应变量Xi就是出基变量。
4.判断进基变量：看出基变量Xi所在行的每一个系数aij，若aij≥0，则无可行解，若存在aij＜0，则计算θ=min（（σ/aij）I aij＜0）.5.主元迭代（初等行变换），直到B-1b≥0时结束。
2.对偶问题2.1对偶问题的一般性质1.对偶性：对偶问题的对偶问题是原问题。
2.弱对偶性：若拔X是原问题的可行解，则拔Y是对偶问题的可行解，cX≤Yb（出让价格大于盈利）。
3.无界性:若原问题（对偶）为无界解，则其对偶问题（原问题）无可行解。
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第二节 大M法和两阶段法
如果线性规划模型中约束条件系数矩阵中不存在单 位向量组，解题时应先加入人工变量，人工地构成 一个单位向量组。
人工变量只起过渡作用，不应影响决策变量的取值。
两种方法可控制人工变量取值。
大M法 两阶段法
例
min F 3 x1 x2 x3 s.t. x1 2 x2 x3 11 4 x1 x2 2 x3 3 2 x1 x3 1 x j 0, j 1,2,3
观察约束条件系数矩阵A
1 A 4 2 2 1 0 1 2 1 1 0 0 0 1 0
A矩阵不存在完全单位向量组。 应人工地构建一个完全单位向量组。
人为增加两列
1 2 1 1 0 0 0 A 4 1 2 0 1 1 0 2 0 1 0 0 0 1
于苛刻，该线性规划问题无可行解。
段
Cj ↓ 0
→ 基 x4 x6 x7
0 b 11 3 1
3 P1 1 -4 -2
-1 P2 -2 1 0
-1 P3 1 2 （1）
0 P4 1 0 0
0 P5 0 -1 0
-M P6 0 1 0
-M Qi P7 0 0 1 11 3/2 1
注
1
-M -M
→
Cj-Zj
0 0
-1
0 -M
1
0 0
-2
1 -3M+1
0
3 -1 -1 Cj-Zj
x4
x2 x3 → 1 0
0
1 0 0 0 -1 1 -2
段
Cj ↓ 0
→ 基 x4 x6 x7 → x4
0 b 11 3 1 4M 10
3 P1 1 -4 -2 -6M+3 3
-1 P2 -2 1 0 M-1 -2
-1 P3 1 2 （1） 3M-1 0
-1 P2 -2 1 0 M-1
-1 P3 1 2 （1） 3M-1
0 P4 1 0 0 0
0 P5 0 -1 0 -M
-M P6 0 1 0 0
-M Qi P7 0 0 1 0 11 3/2 1
注
1
-M -M Cj-Zj
→
0
2 -M -1
x4
x6 x3
10
1 1
3
0 -2
-2
（1） 0
0
0 1
1
0 0
用单纯形法求解
此时，各系数矩阵、向量为：
c 3 1 1 0 0 M
1 2 1 1 0 0 0 A 4 1 2 0 1 1 0 2 0 1 0 0 0 1
M
11 B 3 1
初始表
Cj
段
→ 基
x4 x6 x7
→
0
3 -1 -1 Cj-Zj
x4
x2 x3 →
12
1 1 2
（3）
0 -2 1
0
1 0 0
0
0 1 0
1
0 0 0
-2
-1 0 -1
2
1 0 -M+1
-5
-2 1 -M-1
→
段
Cj ↓ 0
→ 基 x4 x6 x7
0 b 11 3 1
3 P1 1 -4 -2
-1 P2 -2 1 0
-1 P3 1 2 （1）
1 0 0 0 1/3 0 2/3 -1/3
-M
-2 -1 0 -1 -2/3 -1 -4/3 -1/3
0
2 1 0 -M+1 2/3 1 4/3 -M+1/3
-3M+1
-5 -2 1 -M-1 -5/3 -2 -7/3 -M+2/3
→
结论
∵cj-zj均为非正数
∴得到最优解和最优值。 x1=4，x2=1，x3=9，x4=x5= x6=x7=0， minF= -maxF’=-2
→
4M
-6M+3
M-1
3M-1
0
-M
0
0
Cj 段 ↓
→
0
3
-1
-1
0
0
-M
-M Qi 注
基
b
P1
P2
P3
P4
P5
P6
P7
0
x4
11
1
-2
1
1
0
0
0
11
1
-M
x6
3
-4
1
2 （1）
0
-1
1
0
3/2 →
-M
x7 →
1
-2
0
0
0
0
1
1
Cj-Zj
4M
-6M+3
M-1
3M-1
0
-M
0
0
0
x4
0
2
-M
x6
0
-1
解：引入松弛变量x4、剩余变量x5， 将数学模型标准化
max F ' 3 x1 x 2 x3 s.t. x1 2 x 2 x3 x 4 11 4 x1 x 2 2 x3 x5 3 2 x1 x3 1 x j 0, j 1,2,3,4,5
x3
1
-2
0
1
0
0
0
1
Cj-Zj
→
Cj 段 ↓
→
0
3
-1
-1
0
0
-M
-M Qi 注
基
b
P1
P2
P3
P4
P5
P6
P7
0
x4
11
1
-2
1
1
0
0
0
11
1
-M
x6
3
-4
1
2 （1）
0
-1
1
0
3/2 →
-M
x7 →
1
-2
0
0
0
0
1
1
Cj-Zj
4M
-6M+3
M-1
3M-1
0
-M
0
0
0
x4
10
3
-2
0
1
0
0
-1
4
-1 -1 Cj-Zj
段
Cj
↓ 0
→
基 x4 x6 x7 → x4
0
b 11 3 1 4M 10
3
P1 1 -4 -2 -6M+3 3
-1
P2 -2 1 0 M-1 -2
-1
P3 1 2 （1） 3M-1 0
0
P4 1 0 0 0 1
0
P5 0 -1 0 -M 0
-M
P6 0 1 0 0 0
-M Qi
由于加入的两个变量只起辅助计算的作用，不能影 响目标函数和约束条件，因此它的取值只能是0。
两种方法可控制人工变量的取值
大M法 两阶段法
一、大M法
原理：
引入一个非常大的正数M，用来制约人工变量
的取值，并使目标函数变为：
max F c j x j M xt
( xt为人工变量）
-1 P3 1 2 1
0 P4 1 0 0
0 P5 0 -1 0
-M P6 0 1 0
-M P7 0 0 1
θi
注
1
-M -M
Cj-Zj
→
4M
-6M+3
M-1
3M-1
0
-M
0
0
检验数判断
1. 检验数Cj-Zj=aM+b：当a<0时，认为检验数为负； 当a>0时，认为检验数为正。 2. 若最终检验数Zj-Cj均为非正，而b列中对应的检 验数Cb-Zb（即最优值）中仍有M存在，说明没 有得到确定的最优值，可以解释为约束条件过
0 P4 1 0 0 0 1
0 P5 0 -1 0 -M 0
-M P6 0 1 0 0 0
-M Qi P7 0 0 1 0 -1 11 3/2 1
注
1
-M -M Cj-Zj 0
→
2
-M
-1 Cj-Zj
x6
x3 →
1
1 M+1
0
-2 1
（1）
0 M-1
0
1 0
0
0 0
-1
0 -M
1
0 0
-2
1 -3M+1
0 P4 1 0 0
0 P5 0 -1 0
-M P6 0 1 0
-M P7 0 0 1
Qi 11 3/2 1
注
1
-M -M
→
Cj-Zj
0
→
x4 x6 x3
4M
10 1 1
-6M+3
3 0 -2
M-1
-2 （1） 0
3M-1
0 0 1
0
1 0 0
-M
0 -1 0
0
0 1 0
0
-1 -2 1
2
-M -1
0
-2 1 1 0 0
1
0 0 0 1 0
0
1 0 0 0 1
0
0 0 1/3 0 2/3
-1
0 -1 -2/3 -1 -4/3
1
0 -M+1 2/3 1 4/3
-2
1 -M-1 -5/3 -2 -7/3
4
-1 -1 Cj-Zj
如果线性规划模型中约束条件系数矩阵中不存在单 位向量组，解题时应先加入人工变量，人工地构成 一个单位向量组。
人工变量只起过渡作用，不应影响决策变量的取值。
两种方法可控制人工变量取值。
大M法 两阶段法
例
min F 3 x1 x2 x3 s.t. x1 2 x2 x3 11 4 x1 x2 2 x3 3 2 x1 x3 1 x j 0, j 1,2,3
观察约束条件系数矩阵A
1 A 4 2 2 1 0 1 2 1 1 0 0 0 1 0
A矩阵不存在完全单位向量组。 应人工地构建一个完全单位向量组。
人为增加两列
1 2 1 1 0 0 0 A 4 1 2 0 1 1 0 2 0 1 0 0 0 1
于苛刻，该线性规划问题无可行解。
段
Cj ↓ 0
→ 基 x4 x6 x7
0 b 11 3 1
3 P1 1 -4 -2
-1 P2 -2 1 0
-1 P3 1 2 （1）
0 P4 1 0 0
0 P5 0 -1 0
-M P6 0 1 0
-M Qi P7 0 0 1 11 3/2 1
注
1
-M -M
→
Cj-Zj
0 0
-1
0 -M
1
0 0
-2
1 -3M+1
0
3 -1 -1 Cj-Zj
x4
x2 x3 → 1 0
0
1 0 0 0 -1 1 -2
段
Cj ↓ 0
→ 基 x4 x6 x7 → x4
0 b 11 3 1 4M 10
3 P1 1 -4 -2 -6M+3 3
-1 P2 -2 1 0 M-1 -2
-1 P3 1 2 （1） 3M-1 0
-1 P2 -2 1 0 M-1
-1 P3 1 2 （1） 3M-1
0 P4 1 0 0 0
0 P5 0 -1 0 -M
-M P6 0 1 0 0
-M Qi P7 0 0 1 0 11 3/2 1
注
1
-M -M Cj-Zj
→
0
2 -M -1
x4
x6 x3
10
1 1
3
0 -2
-2
（1） 0
0
0 1
1
0 0
用单纯形法求解
此时，各系数矩阵、向量为：
c 3 1 1 0 0 M
1 2 1 1 0 0 0 A 4 1 2 0 1 1 0 2 0 1 0 0 0 1
M
11 B 3 1
初始表
Cj
段
→ 基
x4 x6 x7
→
0
3 -1 -1 Cj-Zj
x4
x2 x3 →
12
1 1 2
（3）
0 -2 1
0
1 0 0
0
0 1 0
1
0 0 0
-2
-1 0 -1
2
1 0 -M+1
-5
-2 1 -M-1
→
段
Cj ↓ 0
→ 基 x4 x6 x7
0 b 11 3 1
3 P1 1 -4 -2
-1 P2 -2 1 0
-1 P3 1 2 （1）
1 0 0 0 1/3 0 2/3 -1/3
-M
-2 -1 0 -1 -2/3 -1 -4/3 -1/3
0
2 1 0 -M+1 2/3 1 4/3 -M+1/3
-3M+1
-5 -2 1 -M-1 -5/3 -2 -7/3 -M+2/3
→
结论
∵cj-zj均为非正数
∴得到最优解和最优值。 x1=4，x2=1，x3=9，x4=x5= x6=x7=0， minF= -maxF’=-2
→
4M
-6M+3
M-1
3M-1
0
-M
0
0
Cj 段 ↓
→
0
3
-1
-1
0
0
-M
-M Qi 注
基
b
P1
P2
P3
P4
P5
P6
P7
0
x4
11
1
-2
1
1
0
0
0
11
1
-M
x6
3
-4
1
2 （1）
0
-1
1
0
3/2 →
-M
x7 →
1
-2
0
0
0
0
1
1
Cj-Zj
4M
-6M+3
M-1
3M-1
0
-M
0
0
0
x4
0
2
-M
x6
0
-1
解：引入松弛变量x4、剩余变量x5， 将数学模型标准化
max F ' 3 x1 x 2 x3 s.t. x1 2 x 2 x3 x 4 11 4 x1 x 2 2 x3 x5 3 2 x1 x3 1 x j 0, j 1,2,3,4,5
x3
1
-2
0
1
0
0
0
1
Cj-Zj
→
Cj 段 ↓
→
0
3
-1
-1
0
0
-M
-M Qi 注
基
b
P1
P2
P3
P4
P5
P6
P7
0
x4
11
1
-2
1
1
0
0
0
11
1
-M
x6
3
-4
1
2 （1）
0
-1
1
0
3/2 →
-M
x7 →
1
-2
0
0
0
0
1
1
Cj-Zj
4M
-6M+3
M-1
3M-1
0
-M
0
0
0
x4
10
3
-2
0
1
0
0
-1
4
-1 -1 Cj-Zj
段
Cj
↓ 0
→
基 x4 x6 x7 → x4
0
b 11 3 1 4M 10
3
P1 1 -4 -2 -6M+3 3
-1
P2 -2 1 0 M-1 -2
-1
P3 1 2 （1） 3M-1 0
0
P4 1 0 0 0 1
0
P5 0 -1 0 -M 0
-M
P6 0 1 0 0 0
-M Qi
由于加入的两个变量只起辅助计算的作用，不能影 响目标函数和约束条件，因此它的取值只能是0。
两种方法可控制人工变量的取值
大M法 两阶段法
一、大M法
原理：
引入一个非常大的正数M，用来制约人工变量
的取值，并使目标函数变为：
max F c j x j M xt
( xt为人工变量）
-1 P3 1 2 1
0 P4 1 0 0
0 P5 0 -1 0
-M P6 0 1 0
-M P7 0 0 1
θi
注
1
-M -M
Cj-Zj
→
4M
-6M+3
M-1
3M-1
0
-M
0
0
检验数判断
1. 检验数Cj-Zj=aM+b：当a<0时，认为检验数为负； 当a>0时，认为检验数为正。 2. 若最终检验数Zj-Cj均为非正，而b列中对应的检 验数Cb-Zb（即最优值）中仍有M存在，说明没 有得到确定的最优值，可以解释为约束条件过
0 P4 1 0 0 0 1
0 P5 0 -1 0 -M 0
-M P6 0 1 0 0 0
-M Qi P7 0 0 1 0 -1 11 3/2 1
注
1
-M -M Cj-Zj 0
→
2
-M
-1 Cj-Zj
x6
x3 →
1
1 M+1
0
-2 1
（1）
0 M-1
0
1 0
0
0 0
-1
0 -M
1
0 0
-2
1 -3M+1
0 P4 1 0 0
0 P5 0 -1 0
-M P6 0 1 0
-M P7 0 0 1
Qi 11 3/2 1
注
1
-M -M
→
Cj-Zj
0
→
x4 x6 x3
4M
10 1 1
-6M+3
3 0 -2
M-1
-2 （1） 0
3M-1
0 0 1
0
1 0 0
-M
0 -1 0
0
0 1 0
0
-1 -2 1
2
-M -1
0
-2 1 1 0 0
1
0 0 0 1 0
0
1 0 0 0 1
0
0 0 1/3 0 2/3
-1
0 -1 -2/3 -1 -4/3
1
0 -M+1 2/3 1 4/3
-2
1 -M-1 -5/3 -2 -7/3
4
-1 -1 Cj-Zj