材料力学重点及其公式
材料力学 -公式汇总-全要点
材料力学公式汇总一、应力与强度条件 1、拉压σmax N=A≤[σ]max4、平面弯曲①σmax=②σtmax=σcmaxMWz≤[σ]max2、剪切τmax=Q≤[τ] A挤压σ挤压=P挤压A≤σ挤压[]Mmaxytmax≤[σtmax] IzM=maxycmax≤[σcnax]IzIz⋅b*③τmax=QmaxSz max≤[τ]3、圆轴扭转τmax=5、斜弯曲σmax= T≤[τ] Wt≤[σ]maxMzMy+WzWy6、拉（压）弯组合σmax=σtmax=NM+AWz≤[σ]maxMzNMzN+ytmax≤[σt] σcmax=ycmax-≤[σc] AIzIzA注意：“5”与“6”两式仅供参考 7、圆轴弯扭组合：①第三强度理论σr3=②第四强度理论σr4=二、变形及刚度条件 NL１、拉压∆L==EANiLi=EAN(x)dxEA2w2+4τn==22Mw+MnWzWz≤[σ]≤[σ]2w2+3τn22Mw+0.75Mn∑⎰LTiLiT(x)dxTLΦT1800=∑=⋅２、扭转Φ= φ== （ /m）GIpGIpGIpLGIpπ⎰３、弯曲(1)积分法:EIy''(x)=M(x) EIy'(x)=EIθ(x)=⎰M(x)dx+C EIy(x)=[M(x)dx]dx+Cx+D (2)叠加法:f(P1,P2)…=f(P1)+f(P2)+…，θ(P1,P2)=θ(P1)+θ(P2)+…(3)基本变形表(注意：以下各公式均指绝对值，使用时要根据具体情况赋予正负号)MALq⎰⎰PALBBALBMLPL2qL3θB= θB= θB=EI2EI6EIqL4ML2PL3fB= fB= fB=8EI3EI2EIMLMLqL3PL2,θA= θB=θA= θB=θA= θB=6EI3EI24EI16EIqL4ML2PL3fc= fc= fc= 16EI48EI384EI(4)弹性变形能(注：以下只给出弯曲构件的变形能,并忽略剪力影响,其他变形与此相似,不予写出)Mi2LiM2LM2(x)dx=∑= U=2EIi2EI2EI⎰(5)卡氏第二定理(注：只给出线性弹性弯曲梁的公式)∆i=M(x)∂M(x)∂U=∑dx EI∂Pi∂Pi⎰三、应力状态与强度理论１、二向应力状态斜截面应力σx+σyσx-σyσx-σyσα=+cos2α-τxysin2α τα=sin2α+τxyco2sα 222２、二向应力状态极值正应力及所在截面方位角σx-σy2-2τxyσmaxσx+σy2=±()+τxy tg2α0= σminσx-σy22３、二向应力状态的极值剪应力τmax=(σx-σy22)2+τxy0注：极值正应力所在截面与极值剪应力所在截面夹角为45４、三向应力状态的主应力：σ1≥σ2≥σ3σ-σ3最大剪应力：τmax=1 25、二向应力状态的广义胡克定律（1）、表达形式之一（用应力表示应变）τxy11μεx=(σx-μσy) εy=(σy-μσx) εz=-(σx+σy) γxy= EEEG（2）、表达形式之二（用应变表示应力）σx=E1-μ2(εx+μεy) σy=E1-μ2(εy+μεx) σz=0 τxy=Gγxy6、三向应力状态的广义胡克定律εx=τxy1σx-μσy+σz (x,y,z) γxy= (xy,yz,zx) EG[()]27、强度理论（1）σr1=σ1≤[σ1] σr2=σ1-μ(σ2+σ3)≤[σ] [σ]=（2）σr3=σ1-σ3≤[σ] σr4=σbnb1(σ1-σ2)2+(σ2-σ3)2+(σ3-σ1)2≤[σ] [σ]=σsns28、平面应力状态下的应变分析εx+εyεx-εy⎛γxy⎫⎪sin2α （1）εα=+cos2α- - ⎪22222⎛εx-εy⎫⎛γxy⎫εmaxεx+εy⎪+ ⎪ =±（2）⎪⎪εmin2⎝2⎭⎝2⎭⎛γxy⎛γα⎫εx-εysin2α+ -⎪= -22⎝2⎭⎝⎫⎪co2sα ⎪⎭γxytg2α0=εx-εy四、压杆稳定1、临界压力与临界应力公式（若把直杆分为三类）π2EIminπ2E①细长受压杆λ≥λp Pcr= σcr=2 2λ(μL)②中长受压杆λp≥λ≥λs σcr=a-bλ ③短粗受压杆λ≤λs “σcr”=σs 或σba-σsπ2E2、关于柔度的几个公式λ= λp= λs=iσpbμL3、惯性半径公式i=Izd（圆截面 iz=，矩形截面iminA4=b（b为短边长度））五、动载荷（只给出冲击问题的有关公式）能量方程∆T+∆V=∆U 2h冲击系数 Kd=1++（自由落体冲击） Kd=∆st2v0（水平冲击）g∆st六、截面几何性质1、惯性矩（以下只给出公式，不注明截面的形状）dπd4πD42IP=ρdA= 1-α4 α=D3232⎰()bh3hb3Iz=ydA=1-α 64641212Izπd3πD3hb2bh24Wz== 1-αymax326326⎰2πd4πD4((4))2、惯性矩平移轴公式Iz=Izc+a2A。
材料力学基本概念及计算公式
材料力学基本概念及计算公式材料力学是研究物质在外力作用下的力学性质和变形规律的学科，主要研究物质的力学性质，包括弹性、塑性、稳定性等。
下面将介绍材料力学的基本概念及计算公式。
1.弹性力学：(1) 弹性模量（Young’s modulus）：材料承受应力时的应变程度。
计算公式：E = σ / ε，其中 E 为弹性模量，σ 为应力，ε 为应变。
(2) 剪切模量（Shear modulus）：材料抵抗剪切变形的能力。
计算公式：G = τ/ γ，其中 G 为剪切模量，τ 为剪切应力，γ 为剪切应变。
(3) 泊松比（Poisson’s ratio）：材料在受力作用下沿一方向延伸时，在垂直方向上收缩的比例。
计算公式：ν = -ε_y / ε_x，其中ν 为泊松比，ε_x 为纵向应变，ε_y 为横向应变。
2.稳定性分析：(1) 屈曲载荷（Buckling load）：结构在受压作用下失去稳定性的临界载荷。
计算公式：F_cr = π²EI / L²，其中 F_cr 为屈曲载荷，E 为弹性模量，I 为截面惯性矩，L 为结构长度。
(2) 欧拉稳定性理论（Euler’s stability theory）：用于分析长杆（例如柱子）的稳定性。
计算公式：P_cr = π²EI / (KL)²，其中P_cr 为屈曲载荷，E 为弹性模量，I 为截面惯性矩，K 为杆件端部支撑系数，L 为杆件长度。
3.塑性力学：(1) 屈服点（yield point）：材料开始发生塑性变形的点，也是材料在加强阶段的上线。
计算公式：σ_y = F_y / A_0，其中σ_y 为屈服点应力，F_y 为屈服点力，A_0 为断面积。
(2) 韧性（toughness）：材料吸收能量的能力，一般由应力-应变曲线上的面积表示。
计算公式：T = ∫σ dε，其中 T 为韧性，σ 为应力，ε 为应变。
4.疲劳力学：(1) 疲劳极限（fatigue limit）：材料在循环应力作用下出现裂纹的最大应力。
材料力学公式完全版
材料力学公式完全版材料力学是研究材料在外力作用下的力学性质和变形行为的一门学科。
在材料力学中，有很多的公式被广泛应用于计算和分析材料的力学行为。
下面是一些常见的材料力学公式：1. 应力(Stress)：应力是单位面积上的力，通常用σ 表示，计算公式为：σ = F / A，其中 F 是力的大小，A 是面积。
2. 应变(Strain)：应变是物体在受力作用下发生变形的程度，通常用ε 表示，计算公式为：ε = ΔL / L，其中ΔL 是长度的变化量，L 是初始长度。
3. 弹性模量(Young's modulus)：弹性模量是衡量材料抵抗变形的能力的物理量，通常用 E 表示，计算公式为：E = σ / ε。
4. 剪切应力(Shear stress)：剪切应力是垂直方向上的切应力，通常用τ 表示，计算公式为：τ = F / A，其中 F 是切力的大小，A 是垂直于切力方向的面积。
5. 剪切应变(Shear strain)：剪切应变是物体在受剪切力作用下的变形程度，通常用γ 表示，计算公式为：γ = tanθ，其中θ 是切变角度。
6. 泊松比(Poisson's ratio)：泊松比是衡量材料横向收缩相对于纵向伸长的程度的物理量，通常用ν 表示，计算公式为：ν = -ε横 /ε纵。
7. 屈服强度(Yield strength)：屈服强度是材料开始产生塑性变形的临界点，通常用σy 表示。
8. 极限强度(Ultimate strength)：极限强度是材料在破坏前能承受的最大应力，通常用σu 表示。
9. 可延性(Elonagation)：可延性是材料在断裂前的拉伸变形量，通常用δ 表示，计算公式为：δ = (L - L0) / L0。
10. 硬度(Hardness)：硬度是材料抵抗划伤或压痕的能力，常用的硬度测量方法有布氏硬度、维氏硬度等。
11. 柯尔摩根关系(Hooke's law)：柯尔摩根关系是描述弹性固体在小应变下的力学行为的线性关系，计算公式为：σ = Eε，其中 E 是杨氏模量，σ 是应力，ε 是应变。
材料力学公式大全
材料力学公式大全材料力学是研究材料在外力作用下的变形、破坏和稳定性等力学性能的学科。
在工程实践中，材料力学公式是工程师们进行材料设计、分析和计算的重要工具。
本文将为大家介绍一些常用的材料力学公式，希望能对大家有所帮助。
1. 应力和应变。
在材料力学中，应力和应变是最基本的概念。
应力是单位面积上的内力，通常用σ表示，其公式为：σ = F/A。
其中，F为受力，A为受力面积。
应变是材料单位长度的变形量，通常用ε表示，其公式为：ε = ΔL/L。
其中，ΔL为长度变化量，L为原始长度。
2. 弹性模量。
弹性模量是材料在弹性阶段的应力和应变关系的比例系数，通常用E表示，其公式为：E = σ/ε。
3. 餐极限。
屈服极限是材料在受力作用下开始发生塑性变形的应力值，通常用σy表示。
4. 断裂韧性。
断裂韧性是材料在破坏前所能吸收的能量，通常用K表示，其公式为：K = σ√πc。
其中，σ为应力，c为裂纹长度。
5. 疲劳强度。
疲劳强度是材料在交变应力作用下能够承受的最大应力值，通常用σf表示。
6. 塑性体积变形。
塑性体积变形是材料在塑性变形过程中体积的变化，通常用ΔV表示，其公式为：ΔV = V(ε1-ε2+ε3)。
其中，V为原始体积，ε1、ε2、ε3分别为三个主应变。
7. 岛壳理论。
岛壳理论是用于计算薄壁结构的强度和稳定性的理论，通常用T表示，其公式为：T = P/A。
其中，P为受力，A为受力面积。
8. 塑性流动理论。
塑性流动理论是用于描述金属材料在塑性变形过程中的流动规律的理论，通常用ε表示，其公式为：ε = ln(ε0/εf)。
其中，ε0为初始应变，εf为终止应变。
以上就是一些常用的材料力学公式，希望对大家有所帮助。
在工程实践中，我们可以根据具体情况选择合适的公式进行分析和计算，以保证工程设计的安全可靠性。
材料力学是一个复杂而又有趣的领域，希望大家能够在学习和工作中不断深入研究，提升自己的专业能力。
材料力学公式大全
材料力学公式大全材料力学是研究材料在外力作用下的力学性能和变形规律的学科，是材料科学的重要组成部分。
在工程实践中，材料力学公式是工程师们设计和分析结构、零部件等工程问题时必不可少的工具。
本文将为大家介绍一些常用的材料力学公式，希望能对大家的工程实践有所帮助。
1. 应力公式。
在材料力学中，应力是指单位面积上的力的大小，通常用σ表示，其公式为：\[ \sigma = \frac{F}{A} \]其中，F为受力，A为受力面积。
2. 应变公式。
应变是指材料在受力作用下产生的变形程度，通常用ε表示，其公式为：\[ \varepsilon = \frac{\Delta L}{L} \]其中，ΔL为长度变化量，L为原始长度。
3. 弹性模量公式。
弹性模量是材料抵抗形变的能力，通常用E表示，其公式为：\[ E = \frac{\sigma}{\varepsilon} \]4. 剪切应力公式。
在材料力学中，剪切应力是指垂直于受力方向的力，通常用τ表示，其公式为：\[ \tau = \frac{F}{A} \]其中，F为受力，A为受力面积。
5. 剪切应变公式。
剪切应变是指材料在受剪切力作用下产生的变形程度，通常用γ表示，其公式为：\[ \gamma = \frac{\Delta x}{h} \]其中，Δx为位移，h为原始长度。
6. 泊松比公式。
泊松比是材料在拉伸或压缩时，在垂直方向上的收缩或膨胀程度的比值，通常用ν表示，其公式为：\[ \nu = -\frac{\varepsilon_{y}}{\varepsilon_{x}} \]其中，εy为垂直方向的应变，εx为拉伸或压缩方向的应变。
7. 弯曲应力公式。
在材料力学中，弯曲应力是指材料在受弯曲力作用下的应力，其公式为：\[ \sigma = \frac{M \cdot c}{I} \]其中，M为弯矩，c为截面到中性轴的距离，I为惯性矩。
8. 弯曲应变公式。
弯曲应变是指材料在受弯曲力作用下产生的变形程度，其公式为：\[ \varepsilon = \frac{M \cdot c}{E \cdot I} \]其中，M为弯矩，c为截面到中性轴的距离，E为弹性模量，I为惯性矩。
材料力学常用公式
材料力学常用公式材料力学是研究材料在受力下的力学性质和变形行为的学科，它在工程领域中有着广泛的应用。
常用的材料力学公式包括应力、应变、热应变、应力-应变关系等。
下面是一些常用的材料力学公式的介绍：1. 应力（Stress）公式：应力定义为单位面积上的力，常用公式为：σ=F/A其中，σ为应力，F为受力，A为受力面积。
2. 应变（Strain）公式：应变定义为材料单位长度的变化，常用公式为：ε=ΔL/L其中，ε为应变，ΔL为长度变化，L为原始长度。
3. 霍克定律（Hooke's Law）：霍克定律描述了弹性固体在小应变下应力和应变的线性关系，常用公式为：σ=Eε其中，σ为应力，ε为应变，E为材料的弹性模量。
4. 应力-应变关系（Stress-Strain Relationship）：应力-应变关系用来描述材料在受力下的变形行为，通常用应力与应变的曲线来表示。
其中弹性阶段遵循霍克定律，塑性阶段存在应力和应变不再线性相关的情况。
5.等效应力（von Mises Stress）：等效应力是衡量材料在多轴载荷作用下发生破坏的临界值，常用公式为：σ_eq = √(σ_x^2 + σ_y^2 + σ_z^2 - σ_xσ_y - σ_yσ_z -σ_zσ_x + 3τ^2)其中，σ_eq为等效应力，σ_x、σ_y、σ_z为主应力，τ为主应力间的剪应力。
6. 拉伸强度（Tensile Strength）：拉伸强度是材料在拉伸状态下破坏前的最大抗拉应力，常用公式为：σ_u = P_max / A_0其中，σ_u为拉伸强度，P_max为最大拉伸力，A_0为原始横截面积。
7. 弯曲应力（Bending Stress）：当材料受弯曲作用时，所产生的应力称为弯曲应力，常用公式为：σ_b=(M*y)/I其中，σ_b为弯曲应力，M为弯矩，y为材料中点位置，I为截面惯性矩。
8. 剪切应力（Shear Stress）：剪切应力是材料在剪切载荷作用下的应力，常用公式为：τ=F/A其中，τ为剪切应力，F为剪切力，A为剪切面积。
材料力学公式汇总
材料力学公式汇总一、轴向拉压。
1. 轴力计算。
- 截面法：F_N=∑ F_i（F_N为轴力，F_i为截面一侧外力的代数和，拉力为正，压力为负）2. 正应力计算。
- σ=(F_N)/(A)（σ为正应力，A为横截面面积）3. 胡克定律。
- Δ L=(F_NL)/(EA)（Δ L为轴向变形量，L为杆件原长，E为弹性模量）4. 泊松比。
- ν =-(varepsilon')/(varepsilon)（ν为泊松比，varepsilon为轴向线应变，varepsilon'为横向线应变）二、扭转。
1. 扭矩计算。
- 截面法：T=∑ M_i（T为扭矩，M_i为截面一侧外力偶矩的代数和，右手螺旋法则确定正负，拇指指向截面外法线方向时，扭矩为正）2. 切应力计算（圆轴扭转）- τ=(Tρ)/(I_p)（τ为切应力，ρ为所求点到圆心的距离，I_p为极惯性矩）- 对于圆轴最大切应力：τ_max=(T)/(W_t)（W_t=(I_p)/(R)，R为圆轴半径）- 对于实心圆轴：I_p=(π D^4)/(32)，W_t=(π D^3)/(16)（D为圆轴直径）- 对于空心圆轴：I_p=(π)/(32)(D^4 - d^4)，W_t=(π)/(16D)(D^4 - d^4)（d为空心圆轴内径）3. 扭转角计算（圆轴扭转）- φ=(TL)/(GI_p)（φ为扭转角，L为轴长，G为切变模量）三、弯曲内力。
1. 剪力和弯矩计算。
- 截面法：F_Q=∑ F_i（F_Q为剪力，截面左侧向上的外力或右侧向下的外力为正）- M=∑ M_i（M为弯矩，使梁下侧受拉的弯矩为正）2. 剪力图和弯矩图绘制。
- 利用载荷、剪力、弯矩之间的微分关系：(dF_Q)/(dx)=q(x)，(dM)/(dx)=F_Q，frac{d^2M}{dx^2} = q(x)（q(x)为分布载荷集度）四、弯曲应力。
1. 正应力计算（梁的纯弯曲）- σ=(My)/(I_z)（σ为正应力，M为弯矩，y为所求点到中性轴的距离，I_z为截面对中性轴的惯性矩）- 最大正应力：σ_max=(M)/(W_z)（W_z=(I_z)/(y_max)）- 对于矩形截面：I_z=frac{bh^3}{12}，W_z=frac{bh^2}{6}（b为截面宽度，h 为截面高度）- 对于圆形截面：I_z=(π D^4)/(64)，W_z=(π D^3)/(32)2. 切应力计算（矩形截面梁）- τ=frac{F_QS_z^*}{bI_z}（S_z^*为所求点以上（或以下）部分截面对中性轴的静矩，b为截面宽度）- 最大切应力（矩形截面）：τ_max=(3F_Q)/(2bh)（发生在中性轴上）五、弯曲变形。
材料力学公式
材料力学公式材料力学公式是材料学研究领域中很重要的部分，运用合适的公式能够预测、描述和解释许多材料学现象。
材料力学公式是基于物理和数学原理建立的，有助于我们了解材料的性质和行为。
在这篇文章中，我们将介绍几个常见的材料力学公式，以及它们在材料学中的应用。
1. 晶体弹性常数公式晶体弹性常数通常是材料物理学的一个关键方面，它们描述了材料变形和应力之间的关系。
一些常见的晶体弹性常数公式包括：（1）杨氏模量（E）公式：E = σ/ε其中，E是杨氏模量，σ是单轴应力，ε是单轴应变。
（2）剪切模量（G）公式：G = τ/γ其中，G是剪切模量，τ是剪切应力，γ是剪切应变。
（3）泊松比（ν）公式：ν = -εx/εy其中，εx是沿着x轴的应变，εy是沿着y轴的应变。
这些公式能够帮助我们计算材料在特定应力下的变形和应变。
例如，杨氏模量是一个很重要的性质，因为我们可以通过它来计算材料的应力应变曲线。
对于一些高坚度的材料，剪切模量比杨氏模量更适合用于描述材料的特定弹性行为。
2. 应力公式应力公式是指计算在材料内部力的作用下材料产生的应力的公式。
例如，一些常见的应力公式包括：（1）等效应力（σeq）公式：σeq = ((σ1 - σ2)² + (σ2 - σ3)² + (σ3 - σ1)²)½其中，σ1、σ2和σ3分别是应力的主应力。
（2）应力分布公式：σ = F/A其中，σ是应力，F是力，A 是受力面积。
（3）柯西应力公式：σij = cijklεkl其中，σij 是第i个面上的第j个分量的应力，εkl 是第k个面上的第l个分量的应变，cijkl是材料的柯西弹性常数。
3. 强度和韧度公式强度和韧度公式涉及到材料的机械性能，是材料学中很重要的概念。
一些常见的强度和韧度公式包括：（1）屈服强度公式：σy = Fy/A其中，σy是材料的屈服强度，Fy是达到屈服点所需要的力，A是受力面积。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1、应力 全应力正应力切应力线应变 外力偶矩传动轴所受的外力偶矩通常不是直接给出，而是根据轴的转速n 与传递的功率P 来计算。
当功率P 单位为千瓦（kW ），转速为n （r/min ）时，外力偶矩为m).(N 9549e nPM = 当功率P 单位为马力（PS ），转速为n （r/min ）时，外力偶矩为m).(N 7024e nPM = 拉（压）杆横截面上的正应力拉压杆件横截面上只有正应力σ，且为平均分布，其计算公式为 NF Aσ= (3-1) 式中N F 为该横截面的轴力，A 为横截面面积。
正负号规定 拉应力为正，压应力为负。
公式（3-1）的适用条件：（1）杆端外力的合力作用线与杆轴线重合，即只适于轴向拉（压）杆件； （2）适用于离杆件受力区域稍远处的横截面；（3）杆件上有孔洞或凹槽时，该处将产生局部应力集中现象，横截面上应力分布很不均匀； （4）截面连续变化的直杆，杆件两侧棱边的夹角020α≤时 拉压杆件任意斜截面（a 图）上的应力为平均分布，其计算公式为全应力 cos p ασα= (3-2)正应力 2cos ασσα=（3-3）切应力1 sin22ατα=（3-4）式中σ为横截面上的应力。
正负号规定：α由横截面外法线转至斜截面的外法线，逆时针转向为正，反之为负。
ασ拉应力为正，压应力为负。
ατ对脱离体内一点产生顺时针力矩的ατ为正，反之为负。
两点结论：（1）当00α=时，即横截面上，ασ达到最大值，即()maxασσ=。
当α=090时，即纵截面上，ασ=090=0。
（2）当045α=时，即与杆轴成045的斜截面上，ατ达到最大值，即max()2αατ=1．2 拉（压）杆的应变和胡克定律（1）变形及应变杆件受到轴向拉力时，轴向伸长，横向缩短；受到轴向压力时，轴向缩短，横向伸长。
如图3-2。
图3-2轴向变形1l l l∆=-轴向线应变llε∆=横向变形1b b b∆=-横向线应变bbε∆'=正负号规定伸长为正，缩短为负。
（2）胡克定律当应力不超过材料的比例极限时，应力与应变成正比。
即Eσε=（3-5）或用轴力及杆件的变形量表示为NF llEA∆= (3-6)式中EA称为杆件的抗拉（压）刚度，是表征杆件抵抗拉压弹性变形能力的量。
公式(3-6)的适用条件：(a)材料在线弹性范围内工作，即pσσ〈；(b)在计算l∆时，l长度内其N、E、A均应为常量。
如杆件上各段不同，则应分段计算，求其代数和得总变形。
即1ni ii i iN llE A=∆=∑ (3-7)(3)泊松比当应力不超过材料的比例极限时，横向应变与轴向应变之比的绝对值。
即ενε'= (3-8)表1-1 低碳钢拉伸过程的四个阶段表1-2 主要性能指标强度计算许用应力 材料正常工作容许采用的最高应力，由极限应力除以安全系数求得。
塑性材料 [σ]=s s n σ ； 脆性材料 [σ]=b bn σ 其中,s b n n 称为安全系数，且大于1。
强度条件：构件工作时的最大工作应力不得超过材料的许用应力。
对轴向拉伸（压缩）杆件[]NAσσ=≤ （3-9） 按式（1-4）可进行强度校核、截面设计、确定许克载荷等三类强度计算。
切应力互等定理受力构件内任意一点两个相互垂直面上，切应力总是成对产生，它们的大小相等，方向同时垂直指向或者背离两截面交线，且与截面上存在正应力与否无关。
纯剪切单元体各侧面上只有切应力而无正应力的受力状态，称为纯剪切应力状态。
切应变切应力作用下，单元体两相互垂直边的直角改变量称为切应变或切应变，用τ表示。
剪切胡克定律在材料的比例极限范围内，切应力与切应变成正比，即 G τγ= (3-10)式中G 为材料的切变模量，为材料的又一弹性常数（另两个弹性常数为弹性模量E 及泊松比ν）,其数值由实验决定。
对各向同性材料,E 、 ν、G 有下列关系 2(1)EG ν=+ (3-11)2.5.2切应力计算公式横截面上某一点切应力大小为 p pT I ρτ=(3-12) 式中p I 为该截面对圆心的极惯性矩，ρ为欲求的点至圆心的距离。
圆截面周边上的切应力为 max tTW τ=(3-13) 式中p t I W R=称为扭转截面系数，R 为圆截面半径。
2.5.3 切应力公式讨论（1） 切应力公式（3-12）和式（3-13）适用于材料在线弹性范围内、小变形时的等圆截面直杆；对小锥度圆截面直杆以及阶梯形圆轴亦可近似应用，其误差在工程允许范围内。
（2） 极惯性矩p I 和扭转截面系数t W 是截面几何特征量，计算公式见表3-3。
在面积不变情况下，材料离散程度高，其值愈大；反映出轴抵抗扭转破坏和变形的能力愈强。
因此，设计空心轴比实心轴更为合理。
表3-32.5.4强度条件圆轴扭转时，全轴中最大切应力不得超过材料允许极限值，否则将发生破坏。
因此，强度条件为[]maxmaxt T W ττ⎛⎫=≤ ⎪⎝⎭ (3-14) 对等圆截面直杆 []maxmax tT W ττ=≤ （3-15）式中[]τ为材料的许用切应力。
3.1.1中性层的曲率与弯矩的关系1zMEI ρ=(3-16) 式中，ρ是变形后梁轴线的曲率半径；E 是材料的弹性模量；E I 是横截面对中性轴Z 轴的惯性矩。
3.1.2横截面上各点弯曲正应力计算公式 ZMy I σ=(3-17) 式中，M 是横截面上的弯矩；Z I 的意义同上；y 是欲求正应力的点到中性轴的距离最大正应力出现在距中性轴最远点处 max max max max z zM My I W σ=•= （3-18） 式中，max z z I W y =称为抗弯截面系数。
对于h b ⨯的矩形截面，216z W bh =；对于直径为D 的圆形截面，332z W D π=；对于内外径之比为d a D =的环形截面，34(1)32z W D a π=-。
若中性轴是横截面的对称轴，则最大拉应力与最大压应力数值相等，若不是对称轴，则最大拉应力与最大压应力数值不相等。
梁的正应力强度条件梁的最大工作应力不得超过材料的容许应力，其表达式为 []maxmax zM W σσ=≤ （3-19） 对于由拉、压强度不等的材料制成的上下不对称截面梁（如T 字形截面、上下不等边的工字形截面等），其强度条件应表达为[]maxmax 1l t z M y I σσ=≤ （3-20a ） []maxmax 2y c zM y I σσ=≤ （3-20b ） 式中，[][],t c σσ分别是材料的容许拉应力和容许压应力；12,y y 分别是最大拉应力点和最大压应力点距中性轴的距离。
梁的切应力 z z QS I bτ*= （3-21）式中，Q 是横截面上的剪力；z S *是距中性轴为y 的横线与外边界所围面积对中性轴的静矩；z I 是整个横截面对中性轴的惯性矩；b 是距中性轴为y 处的横截面宽度。
3.3.1矩形截面梁切应力方向与剪力平行，大小沿截面宽度不变，沿高度呈抛物线分布。
切应力计算公式 22364Q h y bh τ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（3-22）3.3.2工字形截面梁切应力主要发生在腹板部分，其合力占总剪力的95~97%，因此截面上的剪力主要由腹板部分来承担。
切应力沿腹板高度的分布亦为二次曲线。
计算公式为 ()2222824z Q B b h H h y I b τ⎡⎤⎛⎫=-+-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦(3-23)近似计算腹板上的最大切应力：dhFs 1max=τd 为腹板宽度 h 1为上下两翼缘内侧距3.3.3圆形截面梁横截面上同一高度各点的切应力汇交于一点，其竖直分量沿截面宽度相等，沿高度呈抛物线变化。
最大切应力发生在中性轴上，其大小为（3-25） 圆环形截面上的切应力分布与圆截面类似。
切应力强度条件梁的最大工作切应力不得超过材料的许用切应力，即 []max max maxz z Q S I bττ*=≤ (3-26)式中，max Q 是梁上的最大切应力值；max z S *是中性轴一侧面积对中性轴的静矩；z I 是横截面对中性轴的惯性矩；b 是maxτ处截面的宽度。
对于等宽度截面，max τ发生在中性轴上，对于宽度变化的截面，max τ不一定发生在中性轴上。
剪切的实用计算名义切应力：假设切应力沿剪切面是均匀分布的 ，则名义切应力为 AQ=τ （3-27） 剪切强度条件：剪切面上的工作切应力不得超过材料的 许用切应力[]τ,即 []ττ≤=AQ（3-28）挤压的实用计算名义挤压应力 假设挤压应力在名义挤压面上是均匀分布的，则 []bsbs bs bsP A σσ=≤ （3-29） 式中，bs A 表示有效挤压面积，即挤压面面积在垂直于挤压力作用线平面上的投影。
当挤压面为平面时为接触面面积，当挤压面为曲面时为设计承压接触面面积在挤压力垂直面上的 投影面积。
挤压强度条件挤压面上的工作挤压应力不得超过材料的许用挤压应力 []bs bsbs A Pσσ≤=（3-30）1， 变形计算圆轴扭转时，任意两个横截面绕轴线相对转动而产生相对扭转角。
相距为l 的两个横截面的相对扭转角为dx GI TlP⎰=0ϕ (rad) 若等截面圆轴两截面之间的扭矩为常数，则上式化为PGI Tl=ϕ (rad) 图式中称为圆轴的抗扭刚度。
显然，ϕ的正负号与扭矩正负号相同。
公式（）的适用条件：（1） 材料在线弹性范围内的等截面圆轴，即P ττ≤；（2） 在长度l 内，T 、G 、P I 均为常量。
当以上参数沿轴线分段变化时，则应分段计算扭转角，然后求代数和得总扭转角。
即 ∑==ni P i ii iI G l T 1ϕ (rad) 当T 、P I 沿轴线连续变化时,用式计算ϕ。
2， 刚度条件扭转的刚度条件 圆轴最大的单位长度扭转角max 'ϕ不得超过许可的单位长度扭转角[]'ϕ,即[]''maxmax ϕϕ≤=PGI T (rad/m) 式 []'180'max max ϕπϕ≤⨯=︒P GI T （m /︒） （）2，挠曲线的近似微分方程及其积分在分析纯弯曲梁的正应力时，得到弯矩与曲率的关系EIM=ρ1对于跨度远大于截面高度的梁，略去剪力对弯曲变形的影响，由上式可得()()EIx M x =ρ1 利用平面曲线的曲率公式，并忽略高阶微量，得挠曲线的近似微分方程，即 ()EIx M =''ω （） 将上式积分一次得转角方程为 ()C dx EIx M +==⎰'ωθ （）再积分得挠曲线方程 ()D Cx dx dx EI x M ++⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎰⎰ω （） 式中，C,D 为积分常数，它们可由梁的边界条件确定。
当梁分为若干段积分时，积分常数的确定除需利用边界条件外，还需要利用连续条件。