第12讲(椭圆的定义、标准方程及简单性质)
椭圆的标准方程及性质
椭圆的标准方程及性质
椭圆是平面上一个动点到两个定点的距离之和等于常数的点的轨迹。
在直角坐
标系中，椭圆的标准方程为：
\[\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\]
其中a和b分别为椭圆的长半轴和短半轴。
下面我们将详细介绍椭圆的标准方
程及其性质。
首先，我们来看椭圆的标准方程。
椭圆的标准方程是一个二次方程，其中x和
y的平方项系数分别为a的平方和b的平方。
通过这个方程，我们可以轻松地确定
椭圆的长短半轴，进而画出椭圆的图形。
其次，让我们来了解一下椭圆的性质。
椭圆有许多独特的性质，这些性质在数
学和实际应用中都有着重要的作用。
首先，椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和等于常数，这个性质被称为椭圆的定义性质。
其次，椭圆的长半轴和短半轴的长度决定了椭圆的形状，长短半轴之比称为离心率，离心率越接近于零，椭圆形状越接近于圆。
另外，椭圆还有对称性，关于x轴、y轴和原点对称的性质。
除此之外，
椭圆还有着许多其他有趣的性质，如切线与法线的性质、椭圆的焦点和直径等。
总之，椭圆的标准方程及性质是数学中一个重要的概念，它不仅有着丰富的数
学内涵，而且在物理、工程等领域都有着广泛的应用。
通过学习椭圆的标准方程及性质，我们可以更好地理解椭圆的几何特征，为解决实际问题提供数学工具和思路。
希望本文对您有所帮助，谢谢阅读！。
椭圆定义及其标准方程
椭圆定义及其标准方程椭圆是平面上到两个定点F1和F2的距离之和等于常数2a的点P的轨迹。
这两个定点F1和F2称为椭圆的焦点，常数2a称为椭圆的长轴长。
椭圆的长轴的中点O称为椭圆的中心，短轴的长度称为椭圆的短轴长。
椭圆的离心率e是一个小于1的正数，它等于焦距与长轴长之比的一半。
椭圆的标准方程是x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1，其中a和b分别为椭圆的长轴长和短轴长。
在坐标系中，椭圆的中心位于原点O(0, 0)，长轴与x轴平行，短轴与y轴平行。
椭圆的定义和标准方程给出了椭圆的基本特征，下面我们来详细解释一下椭圆的性质和应用。
首先，椭圆是一种闭合的曲线，它在平面上呈现出一种椭圆形状，具有两个对称轴，分别是长轴和短轴。
椭圆的离心率决定了椭圆的形状，当离心率接近于0时，椭圆趋近于圆形；当离心率接近于1时，椭圆趋近于长条形。
其次，椭圆在几何光学、天文学、工程学等领域有着广泛的应用。
在几何光学中，椭圆镜可以将平行光线聚焦到一个焦点上，因此被广泛应用于激光器、望远镜等光学设备中。
在天文学中，行星和卫星的轨道往往呈现出椭圆形状，根据椭圆的性质可以精确描述它们的运动轨迹。
在工程学中，椭圆的形状被广泛运用于汽车、飞机等机械设备的设计中，以提高性能和效率。
另外，椭圆还具有许多有趣的数学性质。
例如，椭圆的面积可以用长轴和短轴的长度来表示，即πab，其中π为圆周率。
椭圆还具有反射性质，即光线从一个焦点射到椭圆上，会经过另一个焦点。
这些性质使得椭圆成为了数学研究和实际应用中的重要对象。
总之，椭圆是一个具有丰富几何性质和广泛应用价值的数学对象，它的定义和标准方程为我们理解和利用椭圆提供了重要的基础。
通过对椭圆的深入研究和应用，我们可以更好地认识和掌握这一重要的数学概念，为科学研究和工程实践提供更多可能性。
椭圆知识点总结91929讲课教案
椭圆知识点总结91929椭圆知识点知识点一：椭圆的定义平面内一个动点P 到两个定点1F 、2F 的距离之和等于常数)2(2121F F a PF PF >=+ ,这个动点P 的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距. 注意：若2121F F PF PF =+，则动点P 的轨迹为线段21F F ； 若2121F F PF PF <+，则动点P 的轨迹无图形. 知识点二：椭圆的简单几何性质椭圆：12222=+b y a x )0(>>b a 与 12222=+bx a y )0(>>b a 的简单几何性质标准方程12222=+b y a x )0(>>b a 12222=+bx a y )0(>>b a 图形性质焦点 )0,(1c F -，)0,(2c F ),0(1c F -，),0(2c F焦距 c F F 221= c F F 221= 范围 a x ≤，b y ≤b x ≤，a y ≤对称性 关于x 轴、y 轴和原点对称顶点)0,(a ±，),0(b ± ),0(a ±，)0,(b ±轴长长轴长=a 2，短轴长=b 2 长半轴长=a ，短半轴长=b （注意看清题目）离心率)10(<<=e ace c a F A F A -==2211；c a F A F A +==1221；c a PF c a +≤≤-1；(p 是椭圆上一点)（不等式告诉我们椭圆上一点到焦点距离的范围）注意：①与坐标系无关的椭圆本身固有的性质，如：长轴长、短轴长、焦距、离心率等；②与坐标系有关的性质，如：顶点坐标、焦点坐标等知识点三：椭圆相关计算1．椭圆标准方程中的三个量c b a ,,的几何意义 222c b a +=的弦,其长ab 222.通径:过焦点且垂直于长轴焦点弦：椭圆过焦点的弦。
椭圆的几何性质(简单性质)
3
则 C 的离心率为 3
.
y
BF 2FD
B
(c, b) 2( x c, y)
x
3 2
c,
y
b 2
.
OF
x
D
(
3 2
c
a2
)2
(
b 2
)2
b2
1,
c2 a2
1 3
,
e
3 3
.
主页
【4】(09·江苏)如图，在平面直角坐标系
xOy中, A1, A2, B1, B2为椭圆
x2 a2
y2 b2
1 (a>b>0)的四
PF1 PF2 ，求离心率的取值范围．
y
P
解：当点 P 在椭圆短轴端点时， F1PF2 最大．
F1
o
F2
x
≥ 45 sin ≥
2 2
c a
sin
≥
2 2
又0e1
2 2
≤
e
1
主页
例 3.已知 P 是椭圆上一点, F1, F2 分别是椭圆的左右焦点，且 PF1 PF2 ，求离心率的取值范围．
(Ⅱ)设 PF1 m, PF2 n ， 构造方程、不等式
解解解解:::易:易易易知知知知aaa＝a解＝＝＝2:22，易，2，，b知bb＝＝＝ba1＝1＝1，，，12cc，＝c，＝＝cb＝＝333，，，1，3，c＝ 3， 所所所所以以以以FFFF11(1(1－(－(－所－3以33，，3，F0，00)1)，()，0－，)FF，F22(23(F(，3233，(，0，)03，00)，)．)．F．02()．3，0)． 设设设设PPP((x((xx，x，，，yy)y设)y，)，，)，P(x，y)，
第12讲 椭圆的离心率和位置关系学生
第12讲 椭圆的离心率和位置关系[玩前必备]一、直线与椭圆的位置关系 1．位置关系的判断直线与椭圆方程联立方程组，消掉y ，得到Ax 2＋Bx ＋C ＝0的形式(这里的系数A 一定不为0)，设其判别式为Δ，(1)Δ>0⇔直线与椭圆相交；(2)Δ＝0⇔直线与椭圆相切；(3)Δ<0⇔直线与椭圆相离． 2．弦长公式(1)若直线y ＝kx ＋b 与椭圆相交于两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝1＋k 2|x1－x 2|＝1＋1k2|y 1－y 2|.(2)焦点弦(过焦点的弦)：最短的焦点弦为通径长2b 2a，最长为2a .[玩转典例]题型一 离心率的求解例1 （1）（2018·河北省隆化存瑞中学高二月考（文））椭圆221259x y +=的离心率为（ ）A ．1B ．13C ．43D ．45（2）（2019·安徽高二期末（理））椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点为F ，若F 关于直线0x y +=的对称点A 是椭圆C 上的点，则椭圆的离心率为（ ）A ．2B C 1 D 1（3）（2019·武威市第六中学高二月考（理））过椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点1F 做x 轴的垂线交椭圆于点P ，2F 为其右焦点，若1230F F P ∠=，则椭圆的离心率为（ ）A B ．13C ．12D （4）（2019·湖南高二月考）设1F ，2F 分别是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右焦点，点P 在椭圆C 上，且213PF PF =，若线段1PF 的中点恰在y 轴上，则椭圆的离心率为（ ）A ．3B C ．2D ．12（5）（2019·河北省隆化存瑞中学高二月考）已知椭圆()222210x y a b a b+=＞＞的左，右焦点是F 1、F 2，P是椭圆上一点，若|PF 1|=2|PF 2|，则椭圆的离心率的取值范围是（） A ．102⎛⎫ ⎪⎝⎭， B ．1132⎛⎫ ⎪⎝⎭，C ．113⎡⎫⎪⎢⎣⎭，D ．112⎡⎫⎪⎢⎣⎭，[玩转跟踪]1．（2019·广东高二期末（文））椭圆2214x y +=的离心率为______.2．（2019·河北石家庄二中高二月考）已知椭圆C ：()222124x y a a +=>，直线:2l y x =-过C 的一个焦点，则C 的离心率为（ ）A.12B.13C.2D.33.设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是C 上的点，PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2＝30°，则C 的离心率为( ) A.36 B.13 C.12 D.334．（2019·山西高考模拟（理））椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的右焦点为F ，过F 作x 轴的垂线交椭圆C 于A ，B 两点，若△OAB 是直角三角形(O 为坐标原点)，则C 的离心率为A 2B 1C D 题型二 直线和椭圆的位置关系例2 （1）（2018·吉林扶余市第一中学高二月考（文））对不同的实数值m ,讨论直线y x m =+与椭圆2214x y +=的位置关系. （2）（2019·湖南高二期末（文））已知直线l 过点()0,1-，椭圆2212536x y C ：+=，则直线l 与椭圆C 的交点个数为( ) A ．1B ．1或2C ．2D ．0（3）（2019·浙江嘉兴高二期中）经过点(1,2P 且与椭圆2214x y +=相切的直线方程是( )A ．40x +-=B ．40x --=C ．20x +-=D ．20x -+=[玩转跟踪]1.直线y ＝x ＋m 与椭圆2214x y +=有两个不同的交点，则m 的范围是( )A.－5＜m ＜5B.m mC.mD.m 2．（2018·安徽高二月考（文））已知直线2x y 10k -+=与椭圆22x y 19m+=恒有公共点，则实数m 的取值范围为( ) A ．(]1,9B ．[)1,∞+C ．[)()1,99,∞⋃+ D ．()9,∞+3.（2018·全国高二课时练习）如果过点M(-2,0)的直线l 与椭圆2x 2+y 2=1有公共点,那么直线l 的斜率k的取值范围是( )A.-,-2∞⎛ ⎝⎦B.,2∞⎫+⎪⎪⎣⎭C.11-,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.-,22⎡⎢⎣⎦题型三 弦长问题例3 （2019·四川高二期末）直线1y x =+被椭圆2248x y +=截得的弦长是( )A B C D 例4 （2019·武威市第六中学高二月考（理））点P 是椭圆22221(0)x y C a b a b+=>>：一点，F 为椭圆C 的一个焦点，||PF 11． （1）求椭圆C 的方程；（2）直线y x m =+被椭圆C ，求m 的值[玩转跟踪]1.（2019·四川双流中学高三月考（文））在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 的中心在原点O ，焦点在x 轴上短轴长为2，过左顶点A 的直线l 与椭圆交于另一点B .（1）求椭圆C 的方程； （2）若43AB =，求直线l 的倾斜角.题型四 点差法的应用例5 （1）（2020·湖南高二月考）已知椭圆22142x y +=，则以点（1，1）为中点的弦的长度为（ ）A ．B ．CD （2）（2019·江西南昌十中高二月考）如果椭圆22193x y +=的弦被点(1,1)M 平分，则这条弦所在的直线方程是（ ） A ．340x y +-= B ．320x y -+= C ．320x y --=D ．340x y +-=例6 （2019·河北石家庄二中高二月考）已知椭圆()222210x y a b a b+=>>，点F 为左焦点，点P 为下顶点，平行于FP 的直线l 交椭圆于,A B 两点，且AB 的中点为11,2M ⎛⎫⎪⎝⎭，则椭圆的离心率为（ ）A B ．12C ．14D [玩转跟踪]1．（2019·内蒙古一机一中高二期中（文））斜率为13-的直线l 被椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>截得的弦恰被点(1,1)M 平分，则C 的离心率是______．2.（2020·河南高二月考）已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的右焦点为F ，过点F 的直线交椭圆交于A ，B 两点，若AB 的中点11,2P ⎛⎫-⎪⎝⎭，且直线AB 的倾斜角为4π，则此椭圆的方程为（ ） A ．2224199x y +=B ．22194x y +=C ．22195x y +=D ．222199x y +=题型五 椭圆综合问题例7 （2019·四川高二期末（理））已知椭圆E ：22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点1FP 为椭圆E 上任一点，且1||PF1.（1）求椭圆E 的方程；（2）若直线l 过椭圆的左焦点1F ，与椭圆交于A B 、两点，且OAB ∆的面积为23，求直线l 的方程.[玩转跟踪]1．（2019·安徽高考模拟（理））已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>上的动点到其左焦点距离的最大值是最小值的3倍，且点31,2P ⎛⎫⎪⎝⎭在椭圆上. （1）求椭圆E 的标准方程；（2）过点()0,1G 作直线l 与曲线交于,A B 两点，求ABO 面积的最大值。
椭圆的几何性质讲义
椭圆的几何性质讲义本页仅作为文档封面，使用时可以删除This document is for reference only-rar21year.March28．1 椭圆方程及性质一、明确复习目标1．掌握椭圆的定义、标准方程，了解椭圆的参数方程2．掌握椭圆的简单几何性质;掌握a ,b ,c ,e 等参数的几何意义及关系．二．建构知识网络1． 椭圆的两种定义：(1)平面内与两定点F 1，F 2的距离的和等于定长()212F F a >的点的轨迹，即点集M ={P | |PF 1|+|PF 2|=2a ，2a ＞|F 1F 2|}；（212F F a =时为线段21F F ，212F F a <无轨迹）。
其中两定点F 1，F 2叫焦点，定点间的距离叫焦距。
(2)平面内一动点到一个定点和一定直线的距离的比是小于1的正常数的点的轨迹，即点集M ={P | e dPF =，0＜e ＜1的常数}。
（1=e 为抛物线；1>e 为双曲线）2． 标准方程：（1）焦点在x 轴上，中心在原点：12222=+by a x （a ＞b＞0）；焦点F 1（－c ，0）， F 2（c ，0）。
其中22b a c -=（一个∆Rt ）（2）焦点在y 轴上，中心在原点：12222=+bx a y （a ＞b ＞0）；焦点F 1（0，－c ），F 2（0，c ）。
其中22b a c -=（3）两种标准方程可用统一形式表示：Ax 2+By 2=1 （A ＞0，B ＞0，A ≠B当A ＜B 时，椭圆的焦点在x 轴上，A ＞B 时焦点在y 轴上），这种形式用起来更方便。
33．性质：对于椭圆：12222=+by a x （a ＞b ＞0）如下性质必须熟练掌握：①范围; ②对称轴,对称中心; ③顶点;④焦点; ⑤准线方程; ⑥离心率; (参见课本) 此外还有如下常用性质：⑦焦半径公式： |PF 1|=左r =a +ex 0，|PF 2|=右r =a-ex 0；(由第二定义推得)c a PF c a PF -=+=min max ,⑧焦准距c b p 2=；准线间距c a 22=;通径长22b a⨯;⑨最大角()12122max F PF F B F ∠=∠ 证:设|PF 1|=r 1,|PF 2|=r 2,则222221212121212221222124()24cos 222211,"",.()2r r c r r r r c P r r r r b b r r r r a +-+--==≤-=-==+时取角最大对于椭圆：12222=+bx a y （a ＞b ＞0）的性质可类似的给出（请课后完成）。
椭圆知识梳理和应用和解题方法步骤
圆锥曲线圆锥曲线分三大部分：椭圆，双曲线和抛物线 （一）椭圆椭圆分三大部分：基本量的应用、利用椭圆的基本量解决焦点三角形问题、直线和椭圆的相交问题一、椭圆的知识梳理二、椭圆的标准方程和统一方程三、椭圆的离心率 e= c/a ( 0<e<1)说明：1、同学们要牢记椭圆的定义，这是同学们经常想不到要用的，要记住。
对于求焦点三角形的面积，或者给了焦点弦之差、之积这些情况，第一想到的要用椭圆的定义。
例题：（1）已知△ABC 的三边长|CB|，|AB|，|CA|成等差数列，若点A ，B 的坐标分别为（-1，0），（1，0）．求顶点C 的轨迹W 的方程解析：1、等差数列 得到，线段之和为定值，为椭圆方程、利用椭圆的定义来求解方程，确定a 2 、确定焦点在哪个轴3、列出椭圆标准方程，带值整理2、若椭圆两个焦点为12(40)(40)F F -，，，，椭圆的弦的AB 过点1F ，且2ABF △的周长为20，那么该椭圆的方程为 ． 出现周长，想到定义。
2、求椭圆的方程，1.、确定焦点在哪个轴，用标准方程、不确定焦点在哪个轴，用统一方程。
2.一．设方程、二、带点、三、解法方程得解得结论、{}无轨迹时点的轨迹是线段时点得轨迹是椭圆是点椭圆的定义：P a P a a )22(2|)1(212121c F F c P c a c F F a MF MFM P <=><==+=22222222222c b a c 2 b 2 a 2c -0c ,0y )0(10c -0,c x )0(1+====>>=+>>=+焦距短轴长轴），）和（轴上（焦点坐标在），）和（轴上（焦点坐标在椭圆的方程：b a b x a y b a b y a x 轴上时焦点在轴上时焦点在x y ),0,0(122B A B A B A B A By Ax <>≠>>=+1、求适合下列条件的椭圆的标准方程： （1）两个焦点的坐标分别是（-4，0），（4，0），椭圆上一点P 到两焦点距离之和等于10；（2）两个焦点的坐标分别是（0，-2）、（0，2），并且椭圆经过点（- 32，52）．（3） 焦点在y 轴且经过两个点（0、2）（1、0）（4） 经过p （-23、1）q （3、2）（5） 方程my x ++16m -2522=1表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是 ( )(A)-16<m<25 (B)-16<m<29 (C)29<m<25 (D)m>29（6） 与椭圆9x 2+4y 2=36有相同焦点，且短轴长为45的椭圆方程是 _______________（7） 椭圆的一焦点与两顶点为等边三角形的三个顶点，则椭圆的长轴长是短轴长的( )(A)3倍 (B)2倍 (C)2倍 (D)32倍9)、对于求离心率问题，重要的应用abc 三者的平方关系，导出a 与c 的关系。
高二数学椭圆的定义标准方程及几何性质(文)人教实验b版(文)知识精讲
高二数学椭圆的定义标准方程及几何性质（文）人教实验b 版（文）知识精讲【本讲教育信息】一. 教学内容：椭圆的定义、标准方程及几何性质二. 本周学习目标把握椭圆的定义，标准方程，能依照条件利用待定系数法求椭圆的方程，把握椭圆的几何性质。
了解椭圆的参数方程，能依照方程讨论曲线的性质，了解椭圆的一些实际应用，把握直线与椭圆的位置关系的判定方法，能够正确熟练地解决直线和椭圆的位置关系的一些咨询题。
三. 知识点精析 〔一〕椭圆的定义1、第一定义：平面内与两个定点为F 1，F 2的距离的和等于常数〔大于21F F 〕的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫椭圆的焦距。
专门地，当常数等于21F F 时，轨迹是线段F 1F 2，当常数小于21F F 时，无轨迹。
2、第二定义：平面内到定点F 的距离和到定直线l 的距离之比等于常数e(0﹤e ﹤1)的点的轨迹，叫做椭圆，定点F 叫椭圆的焦点，定直线l 叫做椭圆的准线。
e 叫椭圆的离心率。
椭圆有两个焦点，两条准线。
该定义中的焦点和准线具有〝对应性〞，即左焦点对应左准线，右焦点对应右准线。
〔二〕椭圆的标准方程及几何性质1 中心在原点，焦点在x 轴上中心在原点，焦点在y 轴上 标准方程)0(12222>>=+b a b y a x )0(12222>>=+b a bx a y 参数方程⎩⎨⎧==θθθ(sin cos b y a x 为参数) ⎩⎨⎧==θθθ(sin cos a y b x 为参数) 图 形顶 点),0(),,0()0,(),0,(2121b B b B a A a A -- ),0(),,0()0,(),0,(2121a B a B b A b A --讲明：方程中的两个参数a 与b ，确定椭圆的形状和大小，是椭圆的定型条件，焦点F 1，F 2的位置，是椭圆的定位条件，它决定椭圆标准方程的类型，常数a ，b ，c 都大于零，其中a 最大且a 2=b 2+c 22、椭圆焦点三角形：设P 为椭圆12222=+by a x 上任意一点，F 1，F 2为焦点且∠F 1PF 2＝θ，那么△PF 1F 2为焦点三角形，S ＝b 2tan 2θ。
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第12讲 解析几何初步（1）
模块一、椭圆的定义及标准方程
考点1椭圆的定义
1.平面内到两个定点的距离的和等于常数2a （大于12F F ）的点的轨迹叫椭圆．定点1F ，2F 叫做椭圆的焦点，两焦点之间的距离叫做焦距（2c ）.
2.已知B ，C 是两个定点，6BC =，且ABC ∆的周长等于16，则顶点A 在 上运动.
A.椭圆
B.直线
C.线段
D.圆
3.设M 是圆2F ：22(1)16x y -+=上的任意一点，点1F (1,0)-是一定点，作1MF 的垂直平分线，交2MF 于P ，则点P 的轨迹为 .
4.设圆22(1)16x y -+=的圆心为A ，直线l 过点(1,0)B -且与x 轴不重合，交圆A 于C 、D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于M ，则点M 的轨迹为 . 考点2椭圆的标准方程
考法1焦点在x 轴上的椭圆的标准方程：122
22=+b
y a x （0a b >>），（222c a b =-）.
1.椭圆C ：164
1002
2=+y x 的焦点在 轴上，焦点坐标为 ， ，焦距为 . 2.已知4a =，3b =，焦点在x 轴上，则椭圆的标准方程为 . 3.已知4a =，3c =，焦点在x 轴上，则椭圆的标准方程为 .
4.（2015·广东卷·文科）已知椭圆22
2125x y m
+=（0m >）的左焦点为1(4,0)F -，
则m =
A ．9
B ．4
C ．3
D ．2
5.（2015·广东卷·文科）已知椭圆22
2125x y m
+=（0m >）的左焦点为1(4,0)F -，
则m =
A ．9
B ．4
C ．3
D ．2
6.（2020·北京卷）已知椭圆C ：22
221x y a b
+=过点(2,1)A --，且2a b =．则椭圆
C 的方程为 .
考法2焦点在y 轴上的椭圆的标准方程：方程为22
221y x a b
+=（0a b >>）.
1.椭圆C ：125
92
2=+y x 的焦点在 轴上，焦点坐标为 ， ，焦距为 .
2.（2002·全国卷）椭圆5522=+ky x 的一个焦点是)2,0(，那么=k .
3.如果方程222x ky +=表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是 A.(0,)+∞ B.(0,2) C.(1,)+∞ D.(0,1)
4.（2009·陕西卷·文理科）“0m n >>”是“方程221mx ny +=表示焦点在y 轴上的椭圆”的
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件 考点3 椭圆定义的应用
1.椭圆C ：
136
1002
2=+y x 上一点P 到焦点1F 的距离等于6，则点P 到另一焦点2F 的距离是 ．
2.已知椭圆C ：22
16410
x y +
=的焦点为1F 、2F ，直线l 过椭圆的焦点1F ，且与椭圆交于A B 、两点，则2ABF ∆的周长为 .
3.已知椭圆C ：22
192
x y +
=的焦点分别为1F 、2F ，点M 在椭圆上，若14MF =,则2MF = ，21F MF ∠= .
6.（2009·上海卷）已知椭圆C ：22
221x y a b
+=（0a b >>）的焦点为1F 、2F ，P
是椭圆上的一点，且120PF PF ⋅=，若三角形12PF F ∆的面积为9，则b = A.3 B.6 C.9 D.12
模块二、椭圆的简单性质
考点1椭圆的简单性质 以122
22=+b
y a x (0a b >>)为例
考法1对称性：既是轴对称，又是中心对称图形 考法2范围：a x a -≤≤，b y b -≤≤.
1.（2010·福建卷·文科）若点O 和点F 分别为椭圆22
143
x y +
=的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP FP ⋅的最大值为
A ．2
B ．3
C ．6
D ．8
考法3顶点：1A (,0)a -，2(,0)A a ，1(0,)B b -，2(0,)B b ，长轴长2a ，短轴长2b .
1.（2019·北京卷·文科）已知椭圆C ：22
221x y a b
+=的右焦点为(1,0)，且经过点
(0,1)A .则椭圆C 的方程为 .
2.（2020·海南卷）已知椭圆C ：22
221x y a b
+=（0a b >>）的过点(2,3)M ，A 为
其左顶点，且AM 的斜率为12
.则C 的方程为 .
3.（2016·山东卷·文科）已知椭圆C ：22
221x y a b
+=（0a b >>）的长轴长为4，
焦距为2，则椭圆C 的方程为 .
考法4 离心率：22c c
e a a
==（01e <<）
1.（2017·浙江卷）椭圆22
194
x y +
=的离心率是
23 D.5
9
2.（2019·北京卷·理科）已知椭圆2222+1x y a b =（0a b >>）的离心率为1
2
，则
A.222a b =
B.2234a b =
C.2a b =
D.34a b =
考法5通径：2
2b AB a
=.
1．（2004·全国卷Ⅰ·理科）椭圆C ：14
22
=+y x 的两个焦点为1F 、2F ，过1F 作
垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P ，则2||PF = A ．
23 B ．3 C ．2
7
D ．4 2.（2013·全国大纲卷·文科）已知1(1,0)F -、2(1,0)F 是椭圆C 的两个焦点，过
2F 且垂直于x 轴的直线交椭圆于A 、B 两点，且3AB =，则C 的方程为
A.22
12x y += B.22132x y +
= C.22143x y += D.22154
x y += 考点2 椭圆的性质的应用 考法1 求椭圆的标准方程.
1.椭圆的焦点在x 轴上，长轴长为12，离心率等于
2
3
，求椭圆的标准方程. 2.（2019·天津卷·理科）设椭圆22
221x y a b
+=（0a b >>）的左焦点为F ，上顶
点为B .已知椭圆的短轴长为4则椭圆的方程为 . 考法2求离心率
1.若椭圆的一个顶点与它的两个焦点构成的三角形是等边三角形，则椭圆的离心率为 .
2.（2018·全国卷Ⅱ·文科）已知1F ，2F 是椭圆C 的两个焦点，点P 是C 上的一点，若12PF PF ⊥，2160PF F ∠=，则C 的离心率为
A ．1-
B ．2
C
D 1 3.（2013·全国卷Ⅱ·文科）设椭圆C ：22
221x y a b
+=（0a b >>）的左、右焦点
分别为1F ，2F ，P 是C 上的点，212PF F F ⊥，1230PF F ∠=，则C 的离心率为
13 C.1
2
4.（2018·全国卷Ⅰ·文科）已知椭圆椭圆C ：22
214
x y a +
=的一个焦点为(2,0),则C 的离心率为
A.13
B.12
5．（2010·广东卷·文科）若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是
A ．45
B ．35
C ．25
D ．15
6.（2016·全国卷Ⅰ·文科）直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中
心到l 的距离为其短轴长的1
4
，则该椭圆的离心率为
A.13
B.12
C.23
D.34。