平面的基本性质与推论
平面的基本性质与推论
例1．如图，平面ABEF记作α，平面 ABCD记作β，根据图形填写： （1）A∈α，B ∈ α，E ∈ α， C α，D α； （2）A∈β，B ∈ β， C ∈ β， D ∈ β，E β，F β； （3）α∩β= AB ；
例2．如图中△ABC，若AB、BC 在平面 α内，判断AC 是否在平面α内？
3. 公理3： ①文字语言：如果不重合的两个平面有一 个公共点，那么它们有且只有一条过这个 点的公共直线.
②图形语言：
③符号语言： P∈(α∩β)
α∩β=l
P∈l.
如何理解公理3？ (1) 公理3反映了平面与平面的位置关系， 只要“两面共一点”，就有“两面共一线， 且过这一点，线惟一”. (2) 从集合的角度看，对于不重合的两个平 面，只要他们有公共点，它们就是相交的 位置关系，交集是一条直线.
(3) 公理3的作用:
其一判定两个平面是否相交;
其二可以判定点在直线上. 点是某两个
平面的公共点，线是这两个平面的公共交
线，则这点在线上. 因此它还是证明点共线或线共点，并 且作为画截面的依据.
二. 平面基本性质的推论 （1）推论1： 文字语言 ：经过一条直线和直线外的一 点，有且只有一个平面. 图形语言： 符号语言： a是任意一条直线 点A a
解：∵ AB在平面α内，∴ A点一定在平 面α内，又BC在平面α内，∴ C点一定在 平面α内， ( 点A、点C都在平面α内，) 直线AC 在平面α内（公理1）.
例3．（1）不共面的四点可以确定几个
平面？
4个 （2）三条直线两两平行，但不共面，它
们可以确定几个平面？ 3个 （3）共点的三条直线可以确定几个平面？ 1个或3个
a与A共属于平面α且平面α惟一 .
高三数学一轮复习1·平面基本性质与推论
表示图形唯一．
② 基 本 性 质 2 的 作 用 ： 作 用 一 是 ____________ ， 作 用 二 是 ____________________________．
确定平面
(3)关于基本性质3
可用其证明点、线共面问题
①基本性质3的三种数学语言表述： 文字语言表述：如果不重合的两个平面有一个公共点 ，那么它们 _____________________________ _________．
②基本性质3的作用： 其一它是判定两个平面是否相交的依据，只要两个平面有一个公共点，就可以判定这两 个平面必相交于过这点的一条直线，其二它可以判定点在直线上，点是某两个平面的公 共点，线是这两个平面的公共交线，则这点在交线上． 2．平面基本性质的推论 推论1：经过一条直线和这条直线外的______，有且只有一个平面． 推论2：经过____________直线，有且只有一个平面．
A∈l，B∈l，A∈α，∈α⇒l⊂α
不在同一条直线上的三点
符号语言表述：_____________________________ _______________________________________.
A，B，C三点不共线⇒有且只
有一个平面α，使A∈α，B∈α，C∈α
思考感悟
1．如何理解“有且只有一个”？
平面的基本性质与推论
学习目标
1. 理解平面的概念，掌握平面的性质并会确定平 面． 2 ．理解直线与直线、直线与平面、平面与平面 的位置关系，会利用定理判定它们之间的关系． 3．会进行文字语言、图形语言、符号语言之间 的转化并能进行一些简单问题的证明．
课前自主学案
1．2.1课堂互动Fra bibliotek练知能优化训练
平面的基本性质及推论
4个
（2）共点的三条直线可以确定几个平面？ 1个或3个
D1
C1
O
A1
B1
D A
C B
D A
C B
D1 A1
C1 B1
小结
1、平面的基本性质：三公理三推论 2、公理化方法：从一些原始概念（基 本概念）和一些不加证明的原始命题 （公理）出发，运用逻辑推理，推导 出其他命题和定理的方法叫公理化方 法。
观察下列问题，你能得到什么结论？
B
桌面α
A
公理1：如果一条直线上两点在一个平面内，那么这条 直线上的所有的点都在这个平面内（即直线在平面内）。
Байду номын сангаас符 符号号语表言：示：
Al, B l,且A , B l
α
A
B
公理1的作用：
一 是可以用来判定一条直线是否在平面内，即 要判定直线在平面内，只需确定直线上两个 点在平面内即可；
符号语言：
P P
l且P
l
公理3的作用：
一 是判定两个平面相交，即如果两个平面有一个 公共点，那么这两个平面相交；
二 是判定点在直线上，即点若是某两个平面的公 共点，那么这点就在这两个平面的交线上.
三.两平面两个公共点的连线就是它们的交线
β
α
（×）
（×） （×）
（×） （×）
2、（1）不共面的四点可以确定几个平面？
一.平面的概念及特征：
平面没有大小、厚薄和宽窄，平面在空间是无限延伸的。
二.平面的表示：
几何画法：通常用平行四边形来表示平面．
D
C
α A
符号表示：
B
α
平面ABCD 平面AC
三.用数学符号来表示点、线、面之间的位置关系：
直线与平面
强化训练
1.在空间中， ①若四点不共面，则这四点中任何三点都不共线. ②若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线.
② 以上两个命题中，逆命题为真命题的是 ________(把符
合要求的命题序号都填上)
2．对于空间三条直线，有下列四个条件： ①三条直线两两相交且不共点；
②三条直线两两平行；
③三条直线共点；
④有两条直线平行，第三条直线和这两条
直线都相交．其中，使三条直线共面的充
分条件有（ B）
( A) 1个 (B)2个 (C)3个 (D) 4个
3. 如图，四面体ABCD中，E，F分别是AC、
BD的中点，若CD=4, AB=2, EF⊥AB，则EF
与CD所成的角等于____ 30°
C
E
E
D
B
F
G
A
G
F
Hale Waihona Puke (1)定义：不同在任何一个平面内的两条直线，叫异面直线.
(2)成角：设a、b是异面直线，经过空间任一点O，分别引
直线
，则直线
所成的锐角(或直角)叫异
面
直线a、b所成的角.
(3)成角范围是
(4)公垂线指和两条异面直线都垂直相交的直线
(5)距离：两条异面直线的公垂线在这两异面直线间的线段 的长度
【车】（車）ｃｈē①名陆地上有轮子的运输工具：火～｜汽～｜马～｜一辆～。 一般身体较小，快乐：欢～｜～跃（欢欣跳跃）。旧称守宫。②事物的枝 节或表面：治～不如治本。 ｌɑｎɡɡǔ（～儿）名玩具， ②用兵的人：胜败乃～常事｜徐州历来为～必争之地。退还原物， 并可能有阵雨、冰雹等。欺 压别国或别人。 界限（多指地区或空间）：一片绿油油的庄稼，～全消。说做就做。【操纵】ｃāｏｚòｎɡ动①控制或开动机械、仪器等：～自如｜远距离
数学高中必修知识点总结(实用11篇)
数学高中必修知识点总结（实用11篇）数学高中必修知识点总结第1篇一、平面的基本性质与推论1、平面的基本性质：公理1如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内;公理2过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面;公理3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
2、空间点、直线、平面之间的位置关系：直线与直线-平行、相交、异面;直线与平面-平行、相交、直线属于该平面(线在面内，最易忽视);平面与平面-平行、相交。
3、异面直线：平面外一点A与平面一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线(判定);所成的角范围(0，90】度(平移法，作平行线相交得到夹角或其补角);两条直线不是异面直线，则两条直线平行或相交(反证);异面直线不同在任何一个平面内。
求异面直线所成的角：平移法，把异面问题转化为相交直线的夹角二、空间中的平行关系1、直线与平面平行(核心)定义：直线和平面没有公共点判定：不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，则该直线平行于此平面(由线线平行得出)性质：一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，则这条直线就和两平面的交线平行2、平面与平面平行定义：两个平面没有公共点判定：一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面，则这两个平面平行性质：两个平面平行，则其中一个平面内的直线平行于另一个平面;如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。
3、常利用三角形中位线、平行四边形对边、已知直线作一平面找其交线三、空间中的垂直关系1、直线与平面垂直定义：直线与平面内任意一条直线都垂直判定：如果一条直线与一个平面内的两条相交的直线都垂直，则该直线与此平面垂直性质：垂直于同一直线的两平面平行推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面直线和平面所成的角：【0，90】度，平面内的一条斜线和它在平面内的射影说成的锐角，特别规定垂直90度，在平面内或者平行0度2、平面与平面垂直定义：两个平面所成的二面角(从一条直线出发的两个半平面所组成的图形)是直二面角(二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线所成的角)判定：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直性质：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直数学高中必修知识点总结第2篇一.随机事件的概率及概率的意义1、基本概念：(1)必然事件：在条件S下，一定会发生的事件，叫相对于条件S的必然事件;(2)不可能事件：在条件S下，一定不会发生的事件，叫相对于条件S的不可能事件;(3)确定事件：必然事件和不可能事件统称为相对于条件S的确定事件;(4)随机事件：在条件S下可能发生也可能不发生的事件，叫相对于条件S的随机事件;(5)频数与频率：在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A 是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数;对于给定的随机事件A，如果随着试验次数的增加，事件A发生的频率fn(A)稳定在某个常数上，把这个常数记作P(A)，称为事件A的概率。
高考数学复习考点讲解与真题分析02---平面的基本性质与推论
) 来源 [ :]
．A 0
．B 2
．C 4
D．无穷多个
2.D 解析：作一个与 l 平行且距离为 π 的平面 α，在 α 内作一条直线 m 与 l 的夹角为π3，则 α 上与 m 平行的 直线均同时满足三个条件．故选 D. 【失分点分析】本题借助于异面直线的夹角、距离等概念考查空间想象能力．在空间中 ，当两条异面直线
c 与 ，a b 分别交于 ，A B 两点，因为 a ⊂ α,b ⊂ α ， A∈ a, B ∈ b ，则 A∈α,C ∈α ， 所以c ⊂ α ，同理可证d ⊂ α ，所以 a，b，c，d 四线共面。
（2）三线共点情况，设 a， ，b c 三线相交于点 ，H d 与 a，b，c 分别交于 E，F，G 三点，因为 a，c， ，c d 两两相交且不共点，所以 H ∉d ，所以点 H 与直线 d 可确定一平面 β ， 由 E ∈ d ，得 E ∈ β ，又由 H ∈ β ， E ∈ β 得 a ⊂ β ，同理可证b ⊂ β ， c ⊂ β ，所以 a，b，c，c 四线 共面。
2/9
M、N、P、Q 四点共面。
解：如图，连结 并延长交 延长线于 ， MN
DC
O
[来源:学,科,网]
则 ∆MBN ≅ ∆OCN ，所以 CO＝MB，连结 PQ 并延长交 DC 延长线于O1 ，则 ∆PC1Q ≅ ∆O1CQ ，所 以CO1 = PC1 ，又因为CO = CO1，所以 O 与O1 重合，所以 、 PQ MN 相交于一点， 所以 M、N、P、Q 四点共面。
形的存在性，又保证了图形的唯一性．性质 3 符号语言：P∈α,且 ∈P β⇒ α I β =l,且P∈l..揭示了两个平
面相交的主要特征，是判定两平面相交的依据，提供了确定两个平面交线的方法．今后所说的两个平面(或 两条直线),如无特殊说明,均指不同的平面(直线)王奎新新屯疆敞，性质 3 的应用：确定两相交平面的交线位置；判定点在直 线上
1.2.1 平面的基本性质与推论
张喜林制1.2.1 平面的基本性质与推论教材知识检索考点知识清单1．点与直线的基本性质连接两点的线中， 最短；过两点有 ，并且只有 ． 2．平面的基本性质公理1：如果一条直线上的 在一个平面内，那么这条直线上的 ，这时我们就说：直线在 或 ．公理2：经过 的三点，有且只有一个 即 的三点确定 ．公理3：如果不重合的两个平面有一个公共点，那么它们有 条过 的公共直线． 3．平面基本性质的推论推论1：经过一条直线和____，有且只有____推论 2：经过两条____，有且只有____ ． 推论3：经过两条____，有且只有____．要点核心解读1．平面的基本性质 (1)公理l①三种语言表述文字语言：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内， 图形语言：如图1-2 -1-1． 符号语言：⇒∈∈∈∈ααB A l B l A ,,,.α⊂l②公理1的条件是“线上有两点在平面内”，结论是“线上的所有点都在平面内”，这个结论阐述两个观点，一是整条直线在平面内，二是直线上的所有点在平面内． ③作用：判定直线是否在平面内，判定点是否在平面内． (2)公理2①三种语言表述文字语言：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面．图形语言：如图1-2 -1-2．符号语言：A ，B ，C 三点不共线等有且仅有一个平面α，使.,,ααα∈∈∈C B A②公理2的条件是“过不在同一直线上的三点”，结论是“有且仅有一个平面”，要注意“不在同一条直线上”这一附加条件，舍之则结论不成立．结论中“有且仅有”即“存在且唯一”，又可称之为“确定”平面．③公理2的三个推论推论1：经过一条直线和直线外的一点，有且只有一个平面． 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面． 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．④公理2及三个推论的作用：其一是确定平面，其二可用来证明点、线共面的问题，其三是用来作为计算平面个数的依据． (3)公理3①三种语言表述文字语言：如果不重合的两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过这个点的公共直线． 图形语言：如图1-2 -1-3．符号语言：.l P l P ∈=⇒∈且βαβα②公理3的条件是“两面共一点”，结论是“两面共一线，且过这一点，线唯一”．③作用：其一是判定两个平面是否相交，其二是判定点在直线上，可用来证明多点共线或多线共点问题2．平面基本性质的理解及应用 平面基本性质的三条公理及推论，是我们学习和研究立体几何问题的重要基础，根据平面的基本性质，常将空间图形转化为平面图形解决，这是解答立体几何问题的重要思想方法．(1)公理1是判定直线是否在平面内的依据，运用公理1可判定直线是否在某一平面内．(2)公理2以及推论是确定平面的依据，确定一个平面，包括两层意思：①存在一个平面；②只有一个平面．公理2及其三个推论是四个等价命题．(3)公理3是确定两个平面相交于一条直线的依据，运用公理3可判定多点共线或点在线上．(4)证明空间三点共线的问题．通常证明这些点都在两个平面的交线上，即先确定出某两点在某两个平面的交线上，再证明第三点既在第一个平面内又在第二个平面内，当然必在两个平面的交线上．(5)证明空间三线共点的问题可把其中一条作为分别过其余两条的两个平面的交线，然后存证另两条直线的交点在此直线上．(6)证明空间几点共面的问题，可先取三点（不共线的三点）确定一个平面，再证其他各点都在这个平面内．(7)证明空间几条直线共面的问题，可先取两条（相交或平行）直线确定一个平面，再证其余直线在这个平面内，或者从这些直线中取任意两条确定若干个平面，再一一确定这些平面重合．典例分类剖析考点1 判断命题的正误 命题规律判断对给出的公理及推论的理解或不同表述是否正确. [例1] (1)下列命题中不正确的是( ).A.若一条直线上有一点在平面外，则直线上有无穷多个点在平面外B ．若,,,ABC B A ∈∈∈αα则α∈C C ．若,,,,B b l A a lb a ==⊂⊂ αα则α⊂lD ．若一条直线上有两点在已知平面外，则直线上的所有点都在平面外(2)直线⊂a 平面α，直线⊂b 平面b N a M ∈∈,,α且,l M ∈,l N ∈则( )．α⊂l A . α⊂/l B . M l C =α. N l D =α . [试解] ．（做后再看答案，发挥母题功能）[解析] (1)根据公理l ，直线在平面内的条件是直线上有两个点在平面内即可，因此选D ．,,,,,,)2(ααα∈∴⊂⊂∈∈N M b a b N a M 而M ．N 确定直线L ．根据公理1可知,α⊂l 故选A ．[答案](1)D(2)A母题迁移 1．下列命题：(1)空间不同的3点确定一个平面； (2)有3个公共点的两个平面必重合；(3)空间两两相交的三条直线确定一个平面； (4)三角形是平面图形；(5)平行四边形、梯形、四边形都是平面图形； (6)垂直于同一直线的两直线平行；(7)-条直线和两平行线中的一条相交，也必和另一条相交； (8)两组对边相等的四边形是平行四边形， 其中正确的命题是 ． 考点2 平面个数的确定 命题规律由给定的条件，借助公理确定平面的个数． [例2] (1)不共面的四点可以确定几个平面？(2)三条直线两两平行但不共面，它们可以确定几个平面？ (3)共点的三条直线可以确定几个平面？ (4)空间三点可以确定几个平面？[答案] (1)不共面的四点可以确定四个平面．(2)三条直线两两平行但不共面，它们可以确定三个平面． (3)共点的三条直线可以确定一个或三个平面．(4)若空间三点不共线，由公理2，则可以确定一个平面；若空间三点共线，则过三点的平面有无数多个，但这三点都不能确定其中的任何一个平面，此时有0个平面．故空间三点可以确定一个或0个平面． [点拨] (1)判定平面的个数问题关键是要紧紧地抓住已知条件，做到不重不漏．平面的个数问题主要是根据已知条件和公理2及其三个推论来判定．(2)题中“确定”即“有且只有”．“有”是说平面存在，“只有”是说平面的唯一性．(3)解此类问题要注意理解“确定”的含义，否则(4)中就会错答为“可确定一个或无数个平面”． 母题迁移 2．四条直线两两平行，任意三条不共面，过其中的任意两条作一个平面，共可以作平面____个.考点3 线共点问题命题规律 证明满足某些条件的几条直线交于一点．[例3] 如图1-2 -1-5所示，空间四边形ABCD 中，E 、F 、G 分别在AB 、BC 、CD 上，且满足===GD CG FB CF EB AE :,1:2::,1:3过E 、F 、G 的平面交AD 于H(1)求AH ：HD ；(2)求证：EH 、FC 、BD 三线共点．[答案] (1) ,//,2AC EF FBCFEB AE ∴== //EF ∴平面ACD ．而⊂EF 平面EFCR ，平面 EFGH平面,GH ACD =.3.//,//,//==∴∴∴GDCGHD AH GH AC AC nEF GH EF,//)2(GH EF 且,41,31==AC GH AC EF ∴=/∴,GH EF 四边形EFGH 为梯形．令,P FG EH= 则⊂∈∈EH FG P EH P 又,,平面ABD ，⊂FG 平面BCD ，平面 ABD 平面,BD BCD =BD FG EH BD P 、、∴∈∴⋅三线共点．[点拨] 证明线共点的问题实质上是证明点在线上的问题，其基本理论是把直线看作两平面的交线，点看作是两平面的公共点，由公理3得证．母题迁移 3．三个平面两两相交得到三条交线，如果其中有两条相交于一点，那么第三条也经过这个点．考点4 点共线问题命题规律 证明满足某些条件的几个点在一条直线上.[例4] 正方体1111D C B A ABCD -中，对角线C A 1与平面1BDC 交于点O ，AC 、BD 交于点M ，求证：点M O C 、、1共线．[解析] 要证若干点共线的问题，只需证这些点同在两个相交平面内即可．[答案] 如图1-2-1-6所示，C C A A C C A A 1111//、⇒确定平面,1C A的交线上与平面在平面平面直线平面平面平面D BC C A O D BC D BC C A O C A 111111111⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫∈⇒=∈⇒⎭⎬⎫∈⊂O O C A O C A C A ,D BC C A 111111M C O M C C A D BC O ∈⇒⎭⎬⎫=平面平面的交线上与平面在平面即M C O 、、1三点共线．[点拨] 证明点共线的问题，一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点．这样就可根据公理3证明这些点都在这两个平面的公共直线上， 母题迁移 4．已知△ABC 在平面α外，直线,P AB =α 直线,R AC =α 直线,Q BC =α 如图1 -2-1 -7.求证：P 、Q 、R 三点共线． 考点5点、线共面问置命题规律证明满足某些条件的若干个点或直线在题同一平面内.[例5] 如图1-2 -1-8所示，M 、N 、P 、Q 分别是正方体////D C B A ABCD -中棱///CC D C BC AB 、、、的中点．求证：M 、N 、P 、Q 四点共面．[解析] 要证这四点共面，方法较多，但注意到本题中点P 、Q 、N 、M 的特殊性及对正方体的理解和认识，可证直线PQ 和MN 相交或M P// NQ.[答案] 证法一：如图l-2-1-8所示，连接MN 并延长交DC 的延长线于O ，则≅∆MBN ,OCN ∆.BM CO =∴连接PQ 并延长交DC 的延长线于,/O 则,//CQ O Q PC ∆≅∆/////,,.O O CO CO PC MB PC CO 、又∴=∴==∴ 重合，∴ PQ 、MN 相交且确定一个平面，故M 、N 、P 、Q 四点共面．证法二：∴,///PC MB 四边形P MBC /为平行四边形．⋅∴∴NQ MP BC NQ BC MP //,//.////∴ MP 与NQ 确定一个平面， 故M 、N 、P 、Q 四点共面．[点拨] 一般地，证明若干个点共面，可证明这些点所在的直线相交，或先证明其中的三点共面，再证明其他的点也在这个平面内，这往往就要用到有关的定理或推论， 母题迁移 5．求证：两两相交且不共点的四条直线共面．学业水平测试1．下列叙述中正确的是( )．A ．因为,,αα∈∈Q P 所以α∈PQB ．因为,,βα∈∈Q P 所以PQ =βαC ．因为,,,ABD AB C AB ∈∈⊂α所以α∈CD D ．因为,,βα⊂⊂AB AB 所以)()(βαβα∈-∈∏B A2．下列命题中是真命题的是( )． A ．空间不同的三点确定一个平面B ．有三个内角是直角的空间四边形是矩形C ．三条直线中任意两条均相交，则这三条直线确定一个平面D ．顺次连接空间四边形各边的中点所得的四边形其对角线必共面3．在空间，若四点中的任意三点不共线，则此四点不共面．此结论( )． A ．正确 B ．不正确 C ．无法判断 D ．缺少条件 4．已知点A ，直线a ，平面α;,αα∉⇒⊂/∈A a a A ①;,αα∈⇒∈∈A a a A ②⊂∉a a A ,③;αα∉⇒A .,αα⊂⇒⊂∈A a a A ④以上命题正确的个数为 ．5．下列命题：①空间3点确定一个平面；②有3个公共点的两个平面必重合；③空间两两相交的三条直线确定一个平面；④三角形是平面图形；⑤平行四边形、梯形、四边形都是平面图形；⑥垂直于同一直线的两直线平行；⑦一条直线和两平行线中的一条相交，也必和另一条相交；⑧两组对边相等的四边形是平行四边形，其中正确的命题是 ． 6．有空间不同的五个点．(1)若有某四点共面，则这五点最多可确定多少个平面？(2)若任意四点都在同一平面内，则这五点共能确定多少个平面？并证明你的结论，高考能力测试（测试时间：45分钟测试满分：100分） 一、选择题（6分x 7 = 42分）1．空间四点A 、B 、C 、D 共面而不共线，那么四点中( )． A ．必有三点共线 B ．必有三点不共线 C ．至少有三点共线 D ．不可能有三点共线 2．如图1-2-1-11所示，平面,l =βα 点、A ,α∈B 点β∈C 且,,R l AB l C =∉ 设过A 、B 、C 三点的平面为γ，则γβ是( )．A ．直线ACB ．直线BC C ．直线CRD ．以上均不正确3．若三个平面两两相交，且三条交线互相平行，则这三个平面把空间分成( )． A.5部分 B.6部分 C.7部分 D.8部分 4．在空间内，可以确定一个平面的条件是( )．A ．两两相交的三条直线B ．三条直线，其中的一条与另外两条直线分别相交C ．三个点D ．三条直线，它们两两相交，但不交于同一点5．如图1-2 -1-12所示，正方体-ABCD 1111D C B A 中，P 、Q 、R 分别是11C B AD AB 、、的中点．那么，正方体过P 、Q 、R 的截面图形是( )．A ．三角形B ．四边形C ．五边形D ．六边形6．不共面的四个定点到平面α的距离都相等，这样的平面a 共有( )． A ．3个 B ．4个 C ．6个 D ．7个7．三条直线两两相交，由这三条直线所确定的平面个数是( )． A ．1 B ．2 C ．3 D ．1或3二、填空题（5分x4 =20分）8．如果一条直线与一个平面有一个公共点，则这条直线可能有 个点在这个平面内． 9．有下面几个命题：①如果一条线段的中点在一个平面内，那么它的两个端点也在这个平面内；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③两组对边分别平行的四边形是平行四边形；④四边形有三条边在同一个平面内，则第四条边也在这个平面内；⑤点A 在平面α外，点A 和平面a 内的任何一条直线都不共面． 其中正确命题的序号是 ．（把你认为正确的序号都填上） 10.如图1-2 -1 -13所示，正方体-ABCD 1111D C B A 中，E 、F 分别为1CC 和1AA 的中点，画出平面F BED 1与平面ABCD 的交线的作法为11．如图1-2 -1-14所示，E 、F 分别是正方体的面11A ADD 和面11B BCC 的中心，则四边形E BFD 1在该正方体的面上的投影可能是 （要求：把图1-2 -1 -15中可能的图的序号都填上）三、解答题（共38分）12.（8分）如图1-2-1-16所示，在正方体1111D C B A ABCD -中，E 为AB 的中点，F 为1AA 的中点．求证：DA F D CE 、、1A 三线交于一点．13.（10分）如图1-2-1 -17所示，在棱长为1的正方体1111D C B A ABCD -中，M 为AB 的中点，N 为1BB的中点，D 为平面11B BCC 的中心．(1)过O 作一直线与AN 交于P ，与CM 交于Q （只写作法，不必证明）；(2)求PQ 的长．14.（10分）如图1-2-1-18所示，正方体1111D C B A ABCD -中，E 、F 分别是1111.B C C D 的中点。
平面的基本性质和推论
一、复习回忆
点A在直线l上 点A在直线l外 点A在平面 内 点A在平面 外
直线l在平面 内
直线l在平面 外
A
●
l
A●
l
A ●
●A
l
l
l
Al Al
A A
l
l
二.引领探究
文字语言：公理1 假如一条直线上有两点在一种平面内，
那么这条直线上全部旳点都在这个平面内．
图像语言：
4条直线相交于一点时：
(1)、4条直线 全共面时
(2)、有3条直线 共面时
(3)、每2条直线 都拟定一平面时
三条直线相交于一点，用其中旳两条 拟定平面，能够拟定1、4、6个。
四.课堂小结
• 三点共线问题：公共点在公共直线上 • 共面问题：找平行直线或相交直线 • 三线共点问题：先证两条直线交于一点，然后证交
M
当堂检测
(3)三条直线相交于一点，用其中旳两条拟定 一种平面，能够拟定旳平面数是_______;
(4)四条直线过同一点，过每两条直线作一种 平面，则能够作_____________个不同旳 平面 .
3条直线相交于一点时：
(1)、3条直线共面时 (2)、每2条直线拟定一平面时
三条直线相交于一点，用其中旳两条拟定 平面，能够拟定1、3个。
使A , B , C
作用：拟定平面旳根据.
A•
B
C
•
•
公理2旳推论
推论1 经过一条直线和直线外旳 一点，有且只有一种平面 ．
•A
C•
B•
•A
•
•
B
C
推论2 经过两条相交直线， 有且只有一种平面．
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如果点A , 点B , 那么直线AB
C 练习1、下列说法正确的是_____
A:任何三点不一定都在同一平面内 B:平面与平面可以只有唯一的一个公共点 C:若点A∈平面α,点A∈平面β,点B∈平 面α,点B∈平面β,则α∩β=AB D: 若A∈平面α,B∈平面α,C∈平面α, 则α是唯一确定的
点A在平面内，记作 A 点A不在平面内，记作 A
直线l在平面内，记作 l 直线l不在平面内，记作 l 平面与平面相交于直线a, 记作 a 直线l和直线m相交于点A, 记作 l m A 简记作l m A
基本性质1：如果一条直线上的两点在一个平面 内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内。
不共线的三点确定一个平面。
R
平面ABC α
A Q P C
B
基本性质3：如果不重合的两个平面有一个公共 点，那么它们有且只有一条过这个点的公共直线。 两个平面相交 两个平面的交线 注意：
α β
P
a
2.平面的基本性质的推论： 推论1:经过一条直线和直线外一点,有且只有一
个平面.
B A C
推论2:经过两条相交直线,有且只有一个平面.
1.平面的基本性质：
点和直线的基本性质： （1）连接两点的线中，线段最短 （2）过两点有一条直线，并且只有一条直线。 基本性质1：如果一条直线上的两点在一个平面 内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内。 直线在平面内 或平面经过直线 B
A α 作用:可以判断一条直线是否在一个平面内。
基本性质2：经过不在同一直线的三点有且只有 一个平面。
A B C
推论3:经过两条平行直论：
已知两条直线相交，过其中任意一条直线上 的一点作另一条直线的平行线，这些平行线是否 都共面？ A
B C
3.共面与异面直线：
a
b a b
我们把既不相交又不平行的直线叫做异面直线。
A
D1 A1
B B1
C1
C
α
l
A
D B
思考：分别在两个平面内的两条直线，是不是异面 直线？
练习3、三条直线AB、AC、BC两两相交，交 点分别为A、B、C，判断这三条直线是否共 面，并说明理由.
A B C
练习4、如图△ABC在平面α外,AB交α于 点P,BC交α于点Q,AC交α于点R,求证:P、 Q、R在同一直线上。
A C R
B
P
α Q
C 练习2、下列推理中,错误的是_____
A : A 直线l , l 平面 A
B : A 平面 , A 平面 , 且 l A l C : l 平面 , A l A 平面 D : A, B, C 平面 , A, B, C 平面 且A, B, C不共线 与 重合