1平面的基本性质及推论
§14.1 平面及其基本性质
一、 平面的基本概念
1.平面的概念：非常“平”，且无限延展的
2.平面的特征：面 ①.无厚度；②无边界；③在空间无限延展.
3.平面的记法：
①可用一个大写的英文字母或小写的希腊字母表示平面.
②可用三个(或三个以上)点的字母表示平面.
4.平面的画法：画平行四边形来表示平面.
（2）证明点在直线上.(证明点是两个平面的公共点，直线 是两个平面的交线即可)
（3）证明多点共线.பைடு நூலகம்证明这些点是两个平面的公共点， 则它们必在两个平面的交线上)
Ⅰ.基础知识§14.1 平面及其基本性质
二、 平面的基本性质
3.公理3： 不在同一直线上的三点确定一个平面.
α
A
B
C
推论1：
A
一条直线和直线外的一点确定一个平面α.
α
A
b
直线均在此平面内即可.) (3)证明多点共面.(证明这些点在共面的直线即可.)
Ⅱ.例题选讲§14.1 平面及其基本性质 例1 用集合符号表示语句“直线l经过平面α外
M
一点M和平面α内一点N”.并画出图形.
M , N , M l, N l.
α
N
例2 若空间中有四个点，则“这四个点中有三个在同一 直线上”是“这四个点在同一平面上”充的分_不__必__要_______
1.公理1： 如果直线 l 上有两个点在平面α上，那么
直线 l 在平面α上.
若A l, B l,且A , B , α
l
则 l .
①公理1的实质： 公理1是判定直线在平面上的依据.
②公理1的应用： （1）证明直线在平面上.(只要证明直线上两点在平面上)
平面的基本性质
∴过不共线的三点A,B,C有一个平面 （公理3）
∵B∈ ，C∈ ∴a （公理1）
∴过点A和直线a有一个平面
（唯一性）
又由公理3,经过不共线的三点A、B、C的平面
只有一个 ∴经过a和平点面的A基本的性质平面只有一个.
推论2.两条相交直线唯一确定一个平面。
a
βb
C
数学语言表示:
直 线 a bC 有 且 只 有 一 个 平 面 ， 使 得 a， b.
平面的基本性质
一.平面的概念：
光滑的桌面、平静的湖面等都是我们熟悉的 平面形象，数学中的平面概念是现实平面加以抽 象的结果。
二.平面的特征：
观察思考
平面没有大小、厚薄和宽窄，平面在空间是 无限延伸的。
三.平面的表示方法：
平面可以用小写的希腊字母或大写的英文字 母表示，也可以用三个或三个以上字母表示。
察 思
问题2 如图，两个平面只有一个公共点，是吗？ 考
?
问题3 照相机架为什么只有三只脚？自行车只用
一只撑脚？
平面的基本性质
公理一：如果一条直线上的两点在一个平面内， 那么这条直线上的所有点都在这个平面内
BAAB
B A α
l
如果直线l 上所有点都在平面α内就说直线l在平 面α内，或者说平面α经过直线l,否则，就说直 线l在平面α外 应用：
平面的基本性质
推论3.两条平行直线唯一确定一个平面。
βA
Ba b
C
数学语言表示:
直 线 a//b 有 且 只 有 一 个 平 面 ， 使 得 a， b.
思考1：不共面的四点可以确定多少个平面？ 思考2：四条相交于同一点的直线a,b,c,d并且任意三条都不在同一平 面内，有它们中的两条来确定平面，可以确定多少个平面。
1_平面基本性质第三课时
练习
（1）三条直线相交于一点，用其中的两条确定平面， 三条直线相交于一点，用其中的两条确定平面， 最多确定的平面数是_______; 最多确定的平面数是 3
看看答案吧
或 两个平面可以把空间分成________部分 部分， （2) 两个平面可以把空间分成 3或4 部分， ， ， 或 三个平面呢?_________________。 。 三个平面呢 4，6，7或8
CD上，H在AD上，且DF：FC=2：3，DH：HA=2：3， 上 在 上 ： ： ， ： ： ， 求证： 、 交于一点。 求证：EF、GH、BD交于一点。 、 交于一点 A G H B D F E C 证明三线共点的方法： 证明三线共点的方法： 证明两直线的交点在第三直线上， 证明两直线的交点在第三直线上，而第三直线又 往往是两平面的交线
证共面问题：可先由公理3（或推论）证某些元素确定一个平面， 证共面问题：可先由公理 （或推论）证某些元素确定一个平面， 再证其余元素都在此平面内； 再证其余元素都在此平面内 ； 或者指出给定的元素中的某些元 素在一个平面内，再证两个平面重合． 素在一个平面内，再证两个平面重合．
题目变型：求证三角形ABC的三条边在同一个平面内。 ABC的三条边在同一个平面内 题目变型：求证三角形ABC的三条边在同一个平面内。
同理b 同理b、c确定平面β ,且l ⊂β 确定平面β
而l、b ⊂α, 、b ⊂β,l∩ b = B l
∴α与β重合
∴a,b,c,l共面 a,b,c,l共面
四、证明共面问题 AB、 两两相交， 例5、直线AB、BC、CA两两相交，交点分别为A、B、C， 、直线AB BC、CA两两相交 交点分别为A 判断这三条直线是否共面，并说明理由。 如图) 判断这三条直线是否共面，并说明理由。(如图)
上海高中数学必修二
上海高中数学必修二一、平面的基本性质与推论1、平面的基本性质：公理1如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内;公理2过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面;公理3如果两个不重合的平面存有一个公共点，那么它们存有且只有一条过该点的公共直线。
2、空间点、直线、平面之间的位置关系：直线与直线-平行、平行、异面;直线与平面-平行、相交、直线属于该平面(线在面内，最易忽视);平面与平面-平行、平行。
3、异面直线：平面外一点a与平面一点b的连线和平面内不经过点b的直线就是异面直线(认定);所成的角范围(0，90】度(平移法，作平行线相交得到夹角或其补角);两条直线不是异面直线，则两条直线平行或平行(确证);异面直线不同在任何一个平面内。
Geaune面直线阿芒塔的角：位移法，把异面问题转变为平行直线的夹角二、空间中的平行关系1、直线与平面平行(核心)定义：直线和平面没有公共点认定：无此一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，则该直线平行于此平面(由线线平行得出结论)性质：一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，则这条直线就和两平面的交线平行2、平面与平面平行定义：两个平面没有公共点认定：一个平面内有两条平行直线平行于另一个平面，则这两个平面平行性质：两个平面平行，则其中一个平面内的直线平行于另一个平面;如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。
3、常利用三角形中位线、平行四边形对边、未知直线并作一平面打听其交线三、空间中的垂直关系1、直线与平面横向定义：直线与平面内任意一条直线都垂直认定：如果一条直线与一个平面内的两条平行的直线都横向，则该直线与此平面横向性质：垂直于同一直线的两平面平行推断：如果在两条平行直线中，存有一条旋转轴一个平面，那么另一条也旋转轴这个平面直线和平面所成的角：【0，90】度，平面内的一条斜线和它在平面内的射影说成的锐角，特别规定垂直90度，在平面内或者平行0度2、平面与平面横向定义：两个平面所成的二面角(从一条直线出发的两个半平面所组成的图形)是直二面角(二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线所成的角)认定：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面横向性质：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直高一数学自学阶段,搞好每一个知识点的总结有利于我们在考试中的充分发挥。
平面的基本性质及推论
4个
（2）共点的三条直线可以确定几个平面？ 1个或3个
D1
C1
O
A1
B1
D A
C B
D A
C B
D1 A1
C1 B1
小结
1、平面的基本性质：三公理三推论 2、公理化方法：从一些原始概念（基 本概念）和一些不加证明的原始命题 （公理）出发，运用逻辑推理，推导 出其他命题和定理的方法叫公理化方 法。
观察下列问题，你能得到什么结论？
B
桌面α
A
公理1：如果一条直线上两点在一个平面内，那么这条 直线上的所有的点都在这个平面内（即直线在平面内）。
Байду номын сангаас符 符号号语表言：示：
Al, B l,且A , B l
α
A
B
公理1的作用：
一 是可以用来判定一条直线是否在平面内，即 要判定直线在平面内，只需确定直线上两个 点在平面内即可；
符号语言：
P P
l且P
l
公理3的作用：
一 是判定两个平面相交，即如果两个平面有一个 公共点，那么这两个平面相交；
二 是判定点在直线上，即点若是某两个平面的公 共点，那么这点就在这两个平面的交线上.
三.两平面两个公共点的连线就是它们的交线
β
α
（×）
（×） （×）
（×） （×）
2、（1）不共面的四点可以确定几个平面？
一.平面的概念及特征：
平面没有大小、厚薄和宽窄，平面在空间是无限延伸的。
二.平面的表示：
几何画法：通常用平行四边形来表示平面．
D
C
α A
符号表示：
B
α
平面ABCD 平面AC
三.用数学符号来表示点、线、面之间的位置关系：
平面的基本性质：三个公理,三个推论.
资源信息表14．1 （2）平面及其基本性质——三个公理三个推论一、教学内容分析本节的重点和难点是三个公理三个推论.三个公理和三个推论是立体几何的基础，公理1确定直线在平面上；公理2明确两平面相交于一直线；公理3及三个推论给出了确定平面的条件.这些是后面学习空间直线与平面位置关系的基础.所以让学生透彻理解这些公理和性质，把现实中的具体空间问题抽象出来，初步认识直线与平面、平面与平面之间的关系并体会立体几何的基本思想，从而培养学生的空间想象能力，有利于学生更快更好的学习立体几何.二、教学目标设计理解平面的基本性质，能用三个公理三个推论解决简单的空间线面问题；了解一些简单的证明.培养空间想象能力，提高学习数学的自觉性和兴趣.三、教学重点及难点三个公理，三个推论.四、教学过程设计一、讲授新课（一）公理1如果直线l上有两个点在平面α上，那么直线l在平面α上.（直线在平面上）用集合语言表述：,,,A l B l A B l ααα⊂∈∈∈∈⇒≠ （二）公理2如果不同的两个平面α、β有一个公共点A ，那么α、β的交集是过点A 的直线l .（平面与平面相交）用集合语言表述：l A l A ∈=⋂⇒⋂∈且βαβα （三）公理3和三个推论公理3：不在同一直线上的三点确定一个平面.（确定平面）这里“确定”的含义是“有且仅有”用集合语言表述：A ，B ，C 不共线=>A ，B ，C 确定一个平面 推论1：一条直线和直线外的一点确定一个平面. 证明：设A 是直线l 外的一点，在直线l 上任取两点B 和C ，由公理3可知A ，B 和C 三点能确定平面α.又因为点,B C α∈，所以由公理1可知B ，C 所在直线l α⊂≠，即平面α是由直线l 和点 A 确定的平面.用集合语言表述：,A l A l α∉⇒确定平面 推论2：两条相交的直线确定一个平面. 用集合语言表述：,a b A a b α⋂=⇒确定平面 推论3：两条平行的直线确定一个平面. 用集合语言表述：//,a b a b α⇒确定平面 （四）例题解析例1如图，正方体1111ABCD A BC D -中，E ，F 分别是111,B C BB 的中点，问：直线EF 和BC 是否相交？如果相交，交点在那个平面内？解：111111E B C E B C EF B C F B B F B C ∈⇒∈⎫⇒⊂⎬∈⇒∈⎭≠平面平面平面 又1BC B C ⊂≠平面，则直线EF 和BC 共面； 1111//EF BC BC B C EF BC EF B C E ⎫⎪⇒⎬⎪⋂=⎭与共面与相交 设直线EF 和BC 相交于点p ，则p 在直线BC 上，即点P 在平面ABCD 上.1D 1C 1B 1A DCBA FE[说明]利用公理1确定直线在平面内.例2 如图，若,,,a b c a b P αβαχβχ⋂=⋂=⋂=⋂=，求证：直线C 必过点P.解：a P b P P c P c c αββαχβχχβχβχ⋂=⎫⎫∈⎧⎪⎪⋂=⇒⇒∈⋂⎬⎨⎪⇒∈∈⎬⎩⎪⋂=⎭⎪⎪⋂=⎭[结论]三个平面两两相交得到三条交线，若其中两条交于一点，另一条必过此公共点.例3 空间三个点能确定几个平面？空间四个点能确定几个平面？解：三点共线有无数多个平面；三点不共线可以确定一个平面.所以三点可以确定一个或无数个平面.四点共线有无数个平面；有三点共线可确定一个平面；任意三点不共线能确定1个或3个平面.所以四点可以确定1个或3个或无数个平面.[说明]公理3的简单应用.例4空间三条直线相交于一点，可以确定几个平面？空间四条直线相交于一点，可以确定几个平面？ 解：三条直线相交于一点可以确定1个或3个平面； 四条直线相交于一点可以确定1个、4个或6个平面. [说明]推论2的简单应用.例5 如图，AB//CD ，,AB E CD F αα⋂=⋂=，求作BC 与平面α的交点.解：连接EF 和BC ，交点即为所求BC 与平面 的交点.（公理3和公理2）[说明]推论3的简单应用.三、课堂小结1.公理1：确定直线在平面内；2.公理2：平面与平面相交于一直线；3.公理3和三个推论确定平面的条件；四、课后作业练习14.1（1）2 练习14.1（2）1，2，3五、教学设计说明本章呈现了几何研究的范围从平面扩展到空间时的基本方法.把几何研究的范围从平面扩展到空间后，增加了新的对象——平面.空间几何学是平面几何学的推广，平面几何中研究点与点、点与直线、直线与直线三种位置关系；空间几何中则增加了点与平面、直线与平面、平面与平面三中位置关系.本节的主要内容是让学生理解三个公理和三个推论，运用这些公理和推论进行一些简单的证明.αFBCDEA公理是人们在长期的生活实践的观察和检验中发现的.可以联系生活中的情景来学习三个公理，从而帮助学生学习，加深他们对公理的理解.三个公理和三个推论是空间几何学习的基础，有了这个基础，才能进一步研究空间中点与面、线与面、面与面的位置关系和度量问题.。
直线与平面
( A ) 1 个 ( B ) 2个 ( C ) 3个 ( D ) 4个
3. 如图，四面体ABCD中，E，F分别是AC、 BD的中点，若CD=4, AB=2, EF⊥AB，则EF 与CD所成的角等于____ 30°
C E E
D G
F A
B
G
FБайду номын сангаас
4. 空间四点A，B，C，D每两点的距离都为a， 动点 P ， Q 分别在线段 AB ， CD 上，则点 P 与 2 Q的最短距离是________ a
【解题回顾】 反证法是立体几何解题中，用于
确定位置关系的一种较好方法，它的一般步骤是： (1)反设——假设结论的反面成立；
(2)归谬——由反设及原命题的条件，经过严密的推 理，导出矛盾； (3)结论——否定反设，肯定原命题正确.
本题的反面不只一种情形，应通过推证将其反 面一一驳倒.
； / 钢塑土工格栅
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烟筒不停地冒着青白色的烟，在微风吹拂下、袅袅地飘向远处。刘丽娟凭直觉那肯定是啤酒厂锅炉房的大烟筒，再远点几排白 色的、圆柱形的巨型大罐无疑是发酵大罐，而紧邻的一座建筑，屋顶上像沸腾的蒸笼一样不断冒着热腾腾的热气肯定是糖化间， 还有两颗又高又大的树直穿云霄，树梢仿佛可以触到天空。上学时专业老师曾说过，如果你找不到啤酒厂时，从外围看到三个 标志性的建筑物：锅炉房的大烟囱、糖化上热气腾腾的烟筒和高高矗立的发酵大罐，那八九不离十就是啤酒厂了。得到马启明 肯定的答复后，他们立即沿着马路朝大烟筒方向走去，感觉就好像找到了组织一样心里踏实多了。一路上看见一辆辆满载着空 瓶的汽车停在路边，一直排到啤酒厂门口，粗略数数竟有十几辆。此时正好是上下班的时候，一群群职工有说有笑地进进出出， 门口悬挂着厂牌：江苏花开啤酒厂。走进厂门仍旧是排得紧紧的、等待拉啤酒的汽车。马启明忍不住叫出声：“这么多的车子 在等着拉啤酒呀！”望着这么多进进出出的车辆马启明竟一时想不起上次是怎么走的了，一路问着找到厂长办公室。一进门马 明启就看到上次接待他的蒋明辉，像见到了亲人一样，立即兴奋地喊道：“蒋主任，您好！”蒋明辉一看惊喜地叫道：“唉吆 外！这不是马启明吗！”马上站起来把手伸过来，跟马启明热烈地握手，笑着说道：“欢迎！欢迎！”马启明觉得笑是两人间 最短的距离。蒋明辉是厂办公室主任，三十来岁，个子不高，约1.70，肌肉男，短短的板寸头，身体结实，眼睛里透着南方人 的精明劲儿，脸上永远挂着标志性的笑容。马启明上一次来花开啤酒厂就受到他热情的接待，是马启明在花开啤酒厂第二个认 识的人，虽然第二次相见，但是感到非常亲切。马启明一看蒋明辉也这么热情，赶紧拉着妻子高兴地说：“蒋主任，这是我爱 人刘丽娟，我们这次来是正式向您报到的。”说着从口袋中掏出海涛州人事局的介绍信。蒋明辉给马启明、刘丽娟倒了杯水， 然后接过马启明的介绍信说道：“别着急，先坐下休息休息，喝口茶。我出去看一下他们在不在？”说完脸上挂着标志性的笑 容就出去了。不一会儿，蒋明辉进来说道：“谷厂长他们马上要开会，要不然你们先到厂招待所休息一下？等会议结束后我再 叫你们。”“好好好！那就麻烦您了！”马启明急忙答道。到吃中午饭时，蒋明辉把马启明和刘丽娟带到厂内招待所食堂，等 了一会儿，看见几个人朝饭厅走来。马启明一眼就认出来人保科的张之文科长，刚想站起来准备和他打招呼，蒋明辉却急忙拉 起马启明，恭恭敬敬地指着一位白白胖胖的中年人向马启明介绍道:“马启明，这位是谷厂长。”马启明上次来就了解到厂长 叫谷仕昊，同时兼党委书记，属于党政一把抓。可惜当时谷厂长到局里开会，无
专题3 空间图形的基本关系与公理(解析版)-2021年高考数学立体几何中必考知识专练
专题3：空间图形的基本关系与公理（解析版）一公理1 公理2 公理3图形语言文字语言如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内.过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面.如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.符号语言,,A lB llA Bααα∈∈⎫⇒⊂⎬∈∈⎭,,,,A B CA B Cα⇒不共线确定平面,lP PP lαβαβ=⎧∈∈⇒⎨∈⎩作用判断线在面内确定一个平面证明多点共线推论1 经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面；推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面；推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面.二．直线与直线的位置关系直线：相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；平行直线：同一平面内，没有公共点；直线：不同在任何一个平面内，没有公共点。
（既不平行，也不相交）三．直线与平面的位置关系有三种情况：在平面内——有无数个公共点．符号 aα相交——有且只有一个公共点符号 a∩α= A平行——没有公共点符号 a∥α说明：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用a α来表示对应练习一、单选题1．如图所示的是平行四边形ABCD所在的平面，有下列表示方法：①平面ABCD；②平面BD；③平面AD；④平面ABC；⑤AC；⑥平面α.其中不正确的是（）A．④⑤B．③④⑤C．②③④⑤D．③⑤【答案】D【分析】根据平面的表示方法判断．【详解】③中AD不为对角线，故错误；⑤中漏掉“平面”两字，故错误.故选：D.2．下列叙述错误的是（）A．若p∈α∩β，且α∩β=l，则p∈l.B．若直线a∩b=A，则直线a与b能确定一个平面.C．三点A，B，C确定一个平面.D．若A∈l，B∈l且A∈α，B∈α则l α.【答案】C【分析】由空间线面位置关系，结合公理即推论，逐个验证即可．【详解】选项A，点P在是两平面的公共点，当然在交线上，故正确；选项B，由公理的推论可知，两相交直线确定一个平面，故正确；选项C，只有不共线的三点才能确定一个平面，故错误；选项D，由公理1，直线上有两点在一个平面内，则整条直线都在平面内．故选：C3．在空间中，下列结论正确的是（）A．三角形确定一个平面B．四边形确定一个平面C．一个点和一条直线确定一个平面D．两条直线确定一个平面【答案】A【分析】根据确定平面的公理及其推论对选项逐个判断即可得出结果.【详解】三角形有且仅有3个不在同一条直线上的顶点，故其可以确定一个平面，即A正确；当四边形为空间四边形时不能确定一个平面，故B错误；当点在直线上时，一个点和一条直线不能确定一个平面，故C错误；当两条直线异面时，不能确定一个平面，即D错误；故选：A.【点睛】本题主要考查平面的基本定理及其推论，解题时要认真审题，仔细解答，属于基础题.4．下列命题中正确的是（ ）A ．若直线l 上有无数个点不在平面α内，则//l αB ．如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行C ．若两条直线都与第三条直线垂直，则这两条直线互相平行D ．垂直于同一个平面的两条直线互相平行 【答案】D 【分析】利用空间中直线与直线、直线与平面的位置关系进行判断. 【详解】解:选项A: 若直线l 上有无数个点不在平面α内，则//l α或相交,故A 错误;选项B: 如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条可能与这个平面平行,也可包含于这个平面,故B 错误;选项C: 若两条直线都与第三条直线垂直，则这两条直线相交、平行或异面,故C 错误; 选项D: 垂直于同一个平面的两条直线互相平行, 故D 正确, 故选:D 【点睛】本题考查空间中直线与直线、直线与平面的位置关系的判断，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养.5．已知直线l 和不重合的两个平面α，β，且l α⊂，有下面四个命题：①若//l β，则//αβ；②若//αβ，则//l β；③若l β⊥，则αβ⊥；④若αβ⊥，则l β⊥ 其中真命题的序号是（ ） A ．①② B ．②③ C ．②③④ D ．①④【答案】B 【分析】对于①，由//l β可得α与β可平行，可相交；对于②，若//αβ，则由面面平行的性质定理可判断；对于③，由线面垂直的判定定理可判断；对于④，当αβ⊥时，l 可能在β内，可能与β平行，可能相交 【详解】解：对于①，由//l β可得α与β可平行，可相交，故错误； 对于②，若//αβ，则由面面平行的性质定理可得//l β，故正确； 对于③，若l β⊥，则由线面垂直的判定定理可得αβ⊥，故正确；对于④，当αβ⊥时，l 可能在β内，可能与β平行，可能相交，所以不一定有l β⊥，故错误， 故选：B 【点睛】此题考查线线、线面、面面关系的判断，属于基础题6．四个顶点不在同一平面上的四边形ABCD 中，E ，F ，G ，H 分别是边AB ，BC ，CD ，DA 上的点，如果直线EF ，GH 交于点P ，那么（ ）A ．点P 一定在直线AC 上B ．点P 一定在直线BD 上C ．点P 一定在平面ABC 外D ．点P 一定在平面BCD 内 【答案】A 【分析】由两个面的交点在两个面的交线上，知P 在两面的交线上，由AC 是两平面的交线，知点P 必在直线AC 上． 【详解】解：∵EF 在面ABC 内，而GH 在面ADC 内， 且EF 和GH 能相交于点P ， ∴P 在面ABC 和面ADC 的交线上， ∵AC 是两平面的交线， 所以点P 必在直线AC 上． 故选：A ．【点睛】本题考查平面的基本性质及其推论，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答． 7．平面α平面l β=，点A α∈，点B β∈，且B l ∉，点C α∈，又ACl R =，过A 、B 、C 三点确定的平面为γ，则βγ⋂是（ ）A ．直线CRB ．直线BRC ．直线ABD ．直线BC【答案】B 【分析】确定平面β、γ的公共点，利用公理可得出平面β与γ的交线. 【详解】 如下图所示：由题意可知，AC γ⊂，AC l R =，则R γ∈，又平面α平面l β=，则l α⊂，l β⊂，AC l R =，R β∴∈，B β∈，B γ∈，因此，βγ⋂=直线BR .故选：B. 【点睛】本题考查两平面交线的确定，关键是确定两平面的公共点，属于基础题.8．设l ，m 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A ．若l m ⊥，m α⊂，则l α⊥ B ．若//l α，m α⊂，则//l m C ．若//αβ，m β⊄，//m α，则//m β D ．若//l α，//m α，则//l m【答案】C 【分析】由线面垂直的判定定理可判断A ，由线面平行的性质定理可判断B ，由面面平行的性质定理可判断C ，由线面平行的性质定理可判断D. 【详解】解：对于A ，由线面垂直的判定定理可知当直线l 垂直平面α内的两条相交直线时，l α⊥才成立，所以A 不正确；对于B ，若//l α，m α⊂，则//l m 或l ，m 异面，所以B 不正确； 对于C ，由面面平行的性质定理可知是正确的，对于D ，若//l α，//m α，则l ，m 有可能相交、平行或异面，所以D 不正确， 故选：C 【点睛】此题考查了线线、线面和面面的位置关系，考查平行和垂直的判定和性质，考查空间想象能力和推理能力，属于基础题.9． 下列命题中，正确的是 ( )A ．经过正方体任意两条面对角线，有且只有一个平面B ．经过正方体任意两条体对角线，有且只有一个平面C ．经过正方体任意两条棱，有且只有一个平面D ．经过正方体任意一条体对角线与任意一条面对角线，有且只有一个平面 【答案】B 【解析】因为正方体的四条体对角线相交于同一点(正方体的中心)，因此经过正方体任意两条体对角线，有且只有一个平面，故选B ．点睛：确定平面方法: 过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面;经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面；经过两条相交直线有且只有一个平面；经过两条平行直线有且只有一个平面．10．设α，β表示平面，l 表示直线，A ，B ，C 表示三个不同的点，给出下列命题：①若∈A l ，A α∈，B l ∈，B α∈，则l α⊂；②若A α∈，A β∈，B α∈，B β∈，则AB αβ=；③若l α⊄，∈A l ，则A α；④若,,A B C α∈，,,A B C β∈，则α与β重合.其中，正确的有（ ） A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B 【分析】根据平面的基本性质及推论进行判断. 【详解】若∈A l ，A α∈，B l ∈，B α∈，根据公里1，得l α⊂，①正确；若A α∈，A β∈，B α∈，B β∈，则直线AB 既在平面α内，又在平面β内， 所以AB αβ=，②正确；若l α⊄，则直线l 可能与平面α相交于点A ，所以∈A l 时， A α∈，③不正确； 若,,A B C α∈，,,A B C β∈，当,,A B C 共线时，α与β可能不重合，④不正确； 故选：B. 【点睛】本题主要考查平面的性质，明确平面的基本性质及推论是求解的关键，侧重考查直观想象的核心素养.11．平面α的一条斜线AP 交平面α于P 点，过定点A 的直线l 与AP 垂直，且交平面α于M 点，则M 点的轨迹是（ ）.A ．一条直线B ．一个圆C ．两条平行直线D ．两个同心圆【答案】A 【分析】由过定点A 的直线l 与AP 垂直可知，直线l 绕点A 旋转形成一个平面，由此可知两平面的交线即为所求．【详解】解：如图，设直线l与l'是其中两条任意的直线，⊥，则这两条相交直线确定一个平面β，且斜线APβ由过平面外一点有且只有一个平面与已知直线垂直可知，过定点定点A且与AP垂直的直线都在平面β内，∴M点都在平面α与平面β的交线上，故选：A．【点睛】本题主要考查空间中点、线、面的位置关系，考查空间想象能力，属于基础题．12．和直线l都平行的直线,a b的位置关系是（）A．相交B．异面C．平行D．平行、相交或异面【答案】C【分析】直接利用平行公理，即可得到答案．【详解】由平行公理，可知平行与同一直线的两直线是平行的，所以和直线l都平行的直线,a b的位置关系是平行，故选C．【点睛】本题考查两直线的位置关系的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．二、填空题13．如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ，则异面直线1BC 与AC 所成的角为_____．【答案】60︒ 【解析】11//BC AD ∴ 异面直线1BC 与AC 所成的角为0160CAD ∠=14．已知l ，m 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出下列四个论断：①//l m ，②//αβ，③m α⊥，④l β⊥.以其中的两个论断作为命题的条件，l α⊥作为命题的结论，写出一个真命题：______.【答案】若//l m ，m α⊥，则l α⊥ 【分析】若//l m ，m α⊥，则l α⊥，运用线面垂直的性质和判定定理，即可得到结论. 【详解】解：l ，m 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面， 可得若//l m ，m α⊥，则l α⊥， 理由：在α内取两条相交直线a ，b ， 由m α⊥可得m a ⊥.m b ⊥， 又//l m ，可得l a ⊥.l b ⊥，而a ，b 为α内的两条相交直线，可得l α⊥. 故答案为：若//l m ，m α⊥，则l α⊥ 【点睛】此题考查线面垂直的判定定理和性质定理的应用，考查推理能力，属于基础题15．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 依次是11A D 和11B C 的中点，则异面直线AE 与CF 所成角的余弦值为__．【答案】35【分析】连AE 、BF 、EF ，利用平行四边形可得//BF AE ，可得BFC ∠是异面直线AE 与CF 所成角（或所成角的补角），然后用余弦定理可得结果. 【详解】在正方体1111ABCD A B C D -中，连AE 、BF 、EF ，E ，F 依次是11A D 和11B C 的中点，所以11//A E B F 且11A E B F =，所以四边形11A B FE 为平行四边形， 所以11//EF A B 且11EF A B =，又11//A B AB 且11A B AB =， 所以//EF AB 且EF AB =，所以四边形ABFE 为平行四边形，//BF AE ∴，BFC ∴∠是异面直线AE 与CF 所成角（或所成角的补角）， 设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，则415BF CF ==+3cos5BFC∴∠==．∴异面直线AE与CF所成角的余弦值为35．故答案为：35．【点睛】本题考查了求异面直线所成的角，考查了余弦定理，属于基础题.16．在长方体1111ABCD A B C D-中，11AA AD==，2AB=，则直线AC与1A D所成的角的大小等于__________.【答案】arccos10【分析】连接11,B A B C，可得直线AC与1A D所成的角为1B CA∠，利用余弦定理求1cos B CA∠即可.【详解】解：如图，连接11,B A B C，由长方体的结构特点可知11//B C A D，则直线AC与1A D所成的角为1B CA∠（或其补角），因为11B A BC AC======，在1B CA中，2221111cos210BC AC ABB CABC AC+-∠===⋅，1arccos10B CA∴∠=.故答案为：arccos10.【点睛】本题考查异面直线所成的角，关键是要通过平移找到异面直线所成的角的平面角，是基础题.三、解答题17．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，1E ，1F 分别为棱AD ，AB ，11B C ，11C D 的中点.求证：111EA F E CF ∠=∠.【答案】见解析 【分析】根据空间中两个角的两边平行时,角的关系可知两个角相等或互补. 结合空间中平行线的传递性及当两个角的方向相同时,即可证明两个角相等. 【详解】证明：如图,在正方体1111ABCD A B C D -中,取11A B 的中点M ,连接名BM ,1F M由题意得112BF A M AB ==又1BF M A ∥∴四边形1A FBM 为平行四边形 ∴1A F BM ∥又1F ,M 分别为11C D ,11A B 的中点,则111F M C B =∥而11C B BC =∥∴1F M BC =∥∴四边形1F MBC 为平行四边形 ∴1BM F C ∥ 又1BM A F ∥ ∴11A F F C ∥ 同理可得11A ECE∴1EA F ∠与11E CF ∠的两边分别平行,且方向都相反 ∴111EA F E CF ∠=∠. 【点睛】本题考查了直线与直线平行的证明,空间中角的两边分别平行时两个角的关系,属于基础题. 18．（不写做法）（1）如图，直角梯形ABCD 中，//AB CD ，AB CD >，S 是直角梯形ABCD 所在平面外一点，画出平面SBD 和平面SAC 的交线．（2）如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，试画出平面11AB D 与平面11ACC A 的交线．【答案】（1）见解析（2）见解析 【分析】（1）延长BD 和AC 交于点O ，再连接SO ，即得到交线； （2）先记11B D 与11A C 的交点为O ，连接AO ，即可得出交线. 【详解】（1）（延长BD 和AC 交于点O ，连接SO ，SO 即为平面SBD 和平面SAC 的交线），如图：（2）（记11B D 与11A C 的交点为O ，连接AO ，则AO 即为平面11AB D 与平面11ACC A 的交线），如图:【点睛】本题主要考查画出平面与平面的交线，考查空间想象能力，属于基础题型. 19．如图，已知正方体ABCD -A ′B ′C ′D .（1）哪些棱所在直线与直线BA′是异面直线？（2）直线BA′和CC′的夹角是多少？（3）哪些棱所在的直线与直线AA′垂直？【答案】（1）棱AD、DC、CC′、DD′、D′C′、B′C′（2）45°（3）AB、BC、CD、DA、A′B′、B′C′、C′D′、D′A′【分析】（1）根据异面直线的定义判断即可；（2）∠B′BA′为异面直线BA′与CC′的夹角，进而可得直线BA′和CC′的夹角；（3）根据正方体的性质即可判断．【详解】（1）由异面直线的定义可知，棱AD、DC、CC′、DD′、D′C′、B′C′所在直线分别与直线BA′是异面直线；（2）由BB′∥CC′可知，∠B′BA′为异面直线BA′与CC′的夹角，∠B′BA′＝45°，所以直线BA′和CC′的夹角为45°；（3）直线AB、BC、CD、DA、A′B′、B′C′、C′D′、D′A′分别与直线AA′垂直.【点睛】本题考查异面直线的定义，考查线线角的求解，考查线线垂直的判断，是基础题．VB VC的中点，求异20．如图，AB是圆O的直径，点C是弧AB的中点，,D E分别是,面直线DE与AB所成的角.【答案】45︒ 【分析】根据题意，直径所对圆周角是直角，BC AC ∴⊥，又知点C 是弧AB 的中点，则等腰直角三角形，再根据中位线平行，找到异面直线所成角的平面角，即可求解. 【详解】AB 是圆O 的直径，BC AC ∴⊥.∵点C 是弧AB 的中点，,45BC AC ABC ∴=∴∠=︒. 在VBC △中，,D E 分别为,VB VC 的中点，DE BC ∴∥，DE ∴与AB 所成的角为45ABC ∠=︒.故答案为：45︒ 【点睛】本题考查异面直线所成角问题，考查转化与化归思想，属于基础题.21．如图1所示，在梯形ABCD 中，//AB CD ，E ，F 分别为BC ，AD 的中点，将平面CDFE 沿EF 翻折起来，使CD 到达C D ''的位置（如图2），G ，H 分别为AD '，BC '的中点，求证:四边形EFGHEFGH 为平行四边形.图1 图2【答案】证明见详解.【分析】通过证明EF //GH ，且EF =GF ，即可证明. 【详解】在题图1中，∵四边形ABCD 为梯形，//AB CD ，E F ，分别为BC AD ，的中点，∴//EF AB 且()12EF AB CD =+. 在题图2中，易知////C D EF AB ''. ∵,G H 分别为AD '，BC '的中点， ∴//GH AB 且()()1122GH AB C D AB CD ''=+=+， ∴//GH EF ，GH EF =，∴四边形EFGH 为平行四边形.即证. 【点睛】本题考查通过线线平行证明平行四边形，主要借助几何关系进行证明.22．如图所示,已知,E F 分别是正方体1111ABCD A B C D -的棱11,AA CC 的中点,求证:四边形1BED F 是平行四边形.【答案】见解析 【分析】取1D D 的中点G ,连接,EG GC ，证明四边形EGCB 是平行四边形，再证四边形1D GCF 为平行四边形，即可证明四边形1BED F 是平行四边形. 【详解】证明 取1D D 的中点G ,连接,EG GC .∵E 是1A A 的中点,G 是1D D 的中点,//EG AD ∴. 由正方体的性质知//AD BC ,//EG BC ∴, ∴四边形EGCB 是平行四边形,//EB GC ∴. 又,G F 分别是1D D ,1C C 的中点,1//D G FC ∴,且1D G FC =,∴四边形1D GCF 为平行四边形,1//D F GC ∴, 1//EB D F ∴,∴四边形1BED F 是平行四边形. 【点睛】本题考查了线线平行的判定，利用平行四边形的对边平行且相等证明线线平行，是基础题.。
第1讲平面及其基本性质讲义
平面及其基本性质知识点1 平面的概念平面是没有厚薄的，可以无限延伸，这是平面最基本的属性常见的桌面，黑板面，平静的水面等都是平面的局部形象指出: 平面的两个特征：①无限延展②平的（没有厚度）。
平面的表示：一般用一个希腊字母α、β、γ……来表示，还可用平行四边形对角顶点的字母来表示。
平面的画法：在立体几何中，通常画平行四边形来表示平面。
一个平面，通常画成水平放置，通常把平行四边形的锐角画成45 ，横边画成邻边的2倍长。
两个相交平面：画两个相交平面时，若一个平面的一部分被另一个平面遮住，应把被遮住部分的线段画成虚线或不画。
集合中“∈”的符号只能用于点与直线，点与平面的关系，“⊂”和“ ”的符号只能用于直线与直线、直线与平面、平面与平面的关系，虽然借用于集合符号，但在读法上仍用几何语言。
知识点2 公理1 如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内指出：符号语言：,,,A l B l A B l ααα∈∈∈∈⇒⊂．知识点3 公理2如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点,且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线指出：符号语言：P ∈α,且P ∈β⇒α∩β=l ,且P ∈l .知识点4 公理3 经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面指出：符号语言：,, ,,,,A B C A B C A B C ααβ⎫⎪∈⇒⎬⎪∈⎭不共线与β重合推论1 一条直线和直线外的一点确定一个平面.（证明见课本）指出：推论1的符号语言：A a ∉⇒有且只有一个平面α，使得A α∈，l α⊂推论2 两条相交直线确定一个平面推论3 两条平行直线有且只有一个平面三、典例解析例1 用符号语言表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系.例2 求证：两两相交而不通过同一点的四条直线必在同一平面内。
例3 正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，对角线A 1C∩平面BDC 1=O ，AC 、BC 交于点M ，求证：点C 1、O 、M 共线．例4 已知平面α、β、γ两两相交于三条直线l 1、l 2、l 3，且l 1、l 2、l 3不平行.求证：l 1、l 2、l 3相交于一点.基础练习：一、选择题：1.下面给出四个命题: ①一个平面长4m, 宽2m; ②2个平面重叠在一起比一个平面厚; ③一个平面的面积是25m 2; ④一条直线的长度比一个平面的长度大, 其中正确命题的个数是( )A. 0B.1C.2D.32．若点N 在直线a 上，直线a 又在平面α内，则点N ，直线a 与平面α之间的关系可记作（ ） Ａ、N α∈∈a Ｂ、N α⊂∈a Ｃ、N α⊂⊂a Ｄ、N α∈⊂a3.Ａ，Ｂ，Ｃ表示不同的点，a, 表示不同的直线，βα,表示不同的平面，下列推理错误的是（ ） Ａ.A ααα⊂⇒∈∈∈∈ B B A ,;,Ｂ.βαβαβα⋂⇒∈∈∈∈B B A A ,;,=ABＣ.αα∉⇒∈⊄A A ,Ｄ.A,B,C α∈,A,B,C β∈且A ，B ，C 不共线α⇒与β重合4. 空间不共线的四点，可以确定平面的个数为（ ）Ａ.０ Ｂ.１ Ｃ.１或４ Ｄ. 无法确定5. 空间 四点A ，B ，C ，D 共面但不共线，则下面结论成立的是（ ）Ａ. 四点中必有三点共线 B. 四点中必有三点不共线C. AB ，BC ，CD ，DA 四条直线中总有两条平行D. 直线AB 与CD 必相交6. 空间不重合的三个平面可以把空间分成（ ）A. 4或6或7个部分B. 4或6或7或8个部分C. 4或7或8个部分D. 6或7或8个部分7．下列说法正确的是( )①一条直线上有一个点在平面内, 则这条直线上所有的点在这平面内; ②一条直线上有两点在一个平面内, 则这条直线在这个平面内; ③若线段AB α⊂, 则线段AB 延长线上的任何一点一点必在平面α内; ④一条射线上有两点在一个平面内, 则这条射线上所有的点都在这个平面内.A. ①②③B. ②③④C. ③④D. ②③8．空间三条直线交于同一点，它们确定平面的个数为n ，则n 的可能取值为（ ）A. 1B.１或３C. １或２或3D.１或 4二、填空题：9．水平放置的平面用平行四边形表示时，通常把横边画成邻边的___________倍.10．设平面α与平面β交于直线 , A αα∈∈B ,, 且直线AB C =⋂ ,则直线AB β⋂=_____________.11．设平面α与平面β交于直线 , 直线α⊂a , 直线β⊂b ,M b a =⋂, 则M_______ .12．直线AB 、AD α⊂，直线CB 、CD β⊂，点E ∈AB ，点F ∈BC ，点G ∈CD ，点H ∈DA ，若直线HE ⋂直线FG=M ，则点M 必在直线___________上.三、解答题：13．判断下列说法是否正确?并说明理由.(1)平行四边形是一个平面; (2)任何一个平面图形都是一个平面;(3)空间图形中先画的线是实线，后画的线是虚线.14．如图，E、F、G、H分别是空间四边形AB、BC、CD、DA上的点，且EH与FG交于点O. 求证：B、D、O三点共线.15．证明梯形是平面图形。
《平面的基本性质》课件
平面解析几何在实际问题中的应用案例
物理学中的应用
在物理学中，许多概念和公式可以通过平面解析几何来描述和解 释，例如力学、电磁学和光学中的许多概念。
工程学中的应用
在工程学中，平面解析几何被广泛应用于机械设计、建筑设计、航 空航天等领域。
计算机图形学中的应用
在计算机图形学中，平面解析几何是生成和处理二维图形的基础， 例如在游戏开发、动画制作和计算机视觉等领域的应用。
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平面与几何体的关系
总结词
平面是几何体的重要组成部分，它可以作为几何体的边界或 表面。
详细描述
在几何学中，许多常见的几何体都是由平面构成的。例如， 长方体的每个面都是一个平面，球体的表面也是一个平面。 此外，平面还可以用来定义其他几何体的形状和大小，例如 通过平面的交线来定义三维空间的形状。
CHAPTER 02
平面上的直线的方程
两点式方程
通过平面上两点的坐标，可以求出直 线的方程。
点斜式方程
已知直线上的一个点和直线的斜率， 可以求出直线的方程。
平面上的点与直线的位置关系
点在直线上
如果一个点的坐标满足直线的方程，则该点在直线上。
点在直线外
如果一个点的坐标不满足直线的方程，则该点在直线外。
CHAPTER 04
与线性代数的联系
线性代数提供了研究平面几何对象 （如向量、矩阵和线性变换）的工 具。
平面解析几何的发展历程与未来展望
发展历程
从早期的欧几里得几何到文艺复兴时 期的笛卡尔几何，再到现代的解析几 何，平面解析几何经历了漫长的发展 历程。
未来展望
随着数学和其他学科的发展，平面解 析几何将继续发展，与其他数学分支 的交叉将更加深入，新的研究方法和 视角也将不断涌现。