微积分在物理 中的简单应用
求解在立体斜面上滑动的物体的速度
一物体放在斜面上，物体与斜面间的摩擦因数μ恰好满足αμtg =，α为斜面的倾角。今使物体获得一水平速度
0V 而滑动，如图一，求：
物体在轨道上任意一点的速度V 与φ的关系，设φ为速度与水平线的夹角。
解：物体在某一位置所受的力有：重力G
，
弹力N 以及摩擦力f 。摩擦力f
总是与运动速度V 的方向相反，其数值
ααααμμsin cos cos mg mg tg mg N f ====
重力在斜面上的分力为1G ，如图二，将1
G
分解为两个分力：1G
''是1G 沿轨迹切线方向的分
力，φαφsin sin sin 11
mg G G =='' ；1G
'是沿轨
迹
法
向
的
分
力
，
φαφcos sin cos 11
mg G G =='，如图三。 根据牛顿运动定律，得运动方程为
τma f G =-''1
（1） n ma G ='1
（2） 由（1），
)1(sin sin )sin sin sin (1
-=-=
φααφατg mg mg m a 而
,dt
dV
a =
τ得到 ,)1(sin sin dt g dV -=φα （3）
式中φ是t 的函数，但是这个函数是个未知函数，因此还不能对上式积分，要设法在φ与t 中消去一个变量，才能积分，注意到
φφ
d d ds V V dS dt 1==
（4） 而φ
d ds
表示曲线在该点的曲率半径ρ，根据（2）式，
ρ
φα2
cos sin V m
mg = （5）
由式（3）（4）（5），可得到
,)sec (φφφd tg
V dV
-= φφφφ
d tg V dV V V ??-=00)sec (，
积分，得到
)sin 1ln()ln(sec cos ln ln
φφφφ+-=+--=tg V V
， .sin 10
φ
+=
V V
运用积分法求解链条的速度及其时间
一条匀质的金属链条，质量为m ，挂在一个光滑的钉子上，一边长度为1L ，另一边长度为,2L 而且120L L <<，如图一。试求：
链条从静止开始滑离钉子时的速度和所需要的时间。
解：设金属链条的线密度为.2
1L L m
+=
λ当一边长度为
x L +1，另一边长度为x L -2时受力如图二所示，则根据牛
顿运动定律，得出运动方程
,)()(11a x L T g x L λλ+=-+
.)()(22a x L g x L T λλ-=--
则.2)(2
121g L L x
L L a ++-=
因为dx
VdV
dt dx dx dV dt dV a ===
，所以 ,2)(2
121g L L x L L dx VdV ++-= ?
?
++-=x
V
gdx L L x
L L VdV 0
2
1210
2)(
.)(22212
1x x L L L L g
V +-+=
令,2L x ≈可以求得链条滑离钉子时的速度大小 全转化成与x 有关的式子，因为x 有对应的式子。
2
1212L L g
L L V +=
再由,dt
dx
V =
得到 2212
1)(2x x L L L L g
dt
dx +-+=
,20
2
10
2
21dt L L g
x x L L dx
t
x
?
?
+=+-）（
积分，得到
,2])(2)(2ln[2
1022121t L L g
x x L L L L x x
+=
+-+-+
,2)(2)(2ln
2
12
12
2121t L L g
L L x x L L L L x +=
-+-+-+
令x=2L ,可以求得链条滑离钉子所需的时间为
.ln 22ln 22
1212
12
12
12121L L L L g L L L L L L L L g L L t -++=-+++=
求解棒下落过程中的最大速度
在密度为1ρ的液体上方有一悬挂的长为L,密度为2ρ的均匀直棒，棒的下端刚与液面接触。今剪断细绳，棒在重力和浮力的作用下下沉，若21ρρ<
，求：
棒下落过程中的最大速度。
解：剪断细绳后，直棒在下沉过程中受到重力G 和
浮力F
的作用，如图一所示。根据牛顿运动定律，有
.dt
dV
m
F mg =- （1） 随着棒往下沉，浮力逐渐增大。当直棒所受合力为零，即mg F =时，棒的加速度为零，速度最大。设棒达到最大速度时，棒浸入液体中的长度为1L ，设棒的截面积为S ，则有
,211SLg g SL ρρ=
解得，
.1
2
1L L ρρ=
（2） 取x 坐标如图所示，则（1）式可以写为
.212dt
dV SL
Sxg SLg ρρρ=- 做变量代换，令,dx
dV
V dt dx dx dV dt dV ==代入上式，得到 ;)1(2
1
VdV gdx L x =-
ρρ 两边积分，得到
??
=-11
00
2
1
)1(V L VdV gdx L x ρρ
得到，21212112
1)21(V L L g gL =-
ρρ
将（2）式代入（3）式，得棒的最大速度为.1
2
1Lg V ρρ=
运用微分法求解阻尼平抛
质量为m 的物体，以初速为0V ，方向与地面成0θ角抛出。如果空气的阻力不能忽略，并设阻力与速度成正比，即V k f
-=，k 为大于零的常数。求：
物体的运动轨道。
解：根据受力情况，列出牛顿运动定律方程
a m f g m =+
其分量式，,x x x ma kV f =-= （1）
y y ma kV mg =- （2）
将dt dV a x
x =
代入式（1），得 ,dt
dV m
kV x
x =- 改写成
,dt m
k
V dV x x -=?
?-=x
x
V V t x x dt V dV 00,m
k 两边积分，得到
.cos 00t m
k
t m
k x x e
V e
V V --?==θ
可见由于空气阻力的存在，x 方向的速度不再是常数，而随时间逐渐衰减。由于
,dt
dx
V x =
再积分，并以t=0时x=0,代入得到 ).1(cos )1(000t m k
t m
k
x e k
V e k m V x ---=-=θ （3）
同理，由于,dt
dV a y y =
式（2）转化为
),
(y y y
V k
mg
m k V m k g dt dV -=-=.dt m k V k
m g dV y y -=- 错了 不带负号
积分，并以t=0时，000sin θV V V y y ==代入，得到
.)sin (00k
mg
e k mg V V t m k
y -+=-θ
可见，y 方向的速度也不再是匀减速的。再将上式对时间积分，并以t=0时y=0代入，
得到
.)1)(sin (00t k
mg
e k mg V k m y t m k
--+=-θ 在那修正 （4）
由（3）（4）两式消去t,得到有阻力时的轨道方程
).cos 1ln()cos 1ln()cos (022*******x mV k k
g m x mV k k g m x kV mg tg y θθθθ-+-++=
显然由于空气阻力的作用，抛体的轨道不再是简单的抛物线了，实际轨道将比理想轨
道向左下方偏离，如图一。
例如：以初速620m/s,仰角0
45发射的步枪子弹的射程，没有空气阻力时应为40km,而实际射程只有4km.
求解飞机的滑行距离
飞机以0V 的水平速度触地滑行着陆。滑行期
间受到空气的阻力为
2V C x ，
升力为2
V C y ，其中V 是飞机的滑行速度。
设飞机与跑道间的摩擦系数为μ，试求：
飞机从触地到停止所
滑行的距离。
解：取飞机触地点为坐标原点，取飞机滑行方向为x 轴。飞机在水平方向上受力为：摩擦力N f μ=，空气阻力为2V C f x ='；在竖直方向上受力为：重力、支持力和升力
,2V C F y =如图一所示，应用牛顿第二定律，得到
dt
dV
m
V C N x =--2μ .02=-+mg V C N y
由上两式消去N ，得到
.)(2V C C mg dt
dV
m
y x μμ---= 利用,dx dV
V dt dx dx dV dt dV == 得到.)(2V C C mg dx dV
mV y x μμ---= 分离变量，积分
?
?-=-+V
V x y x dx V
C C mg mVdV
02)(μμ， 得到].)()(ln[)(22
2V C C m g V C C m g C C m
x y x y x y x μμμμμ-+-+--= 在飞机触地的瞬间，,0V V =支持力N=0,由运动方程，得到
.20mg V C y =
于是].)(ln[
)
(220
2
2020V
C V C C V C C C g V C x x y x y y y y μμμ-+--
=
这就是飞机从触地到停止所滑行的距离。 社5,/900==x
y C C h km V （升阻比）
，10.0=μ。代入数值计算后，得到 x=221m.
求解阻尼自由落体和阻尼竖直上抛的相遇问题
两小球的质量均为m ，小球1从离地面高度为h 处由静止下落，小球2在小球1的正下方地面上以初速0V 同时竖直上抛。设空气阻力与小球的运动速率成正比，比例系数为k(常量)。试求：
两小球相遇的时间、地点以及相遇时两小球的速度。
解：两小球均受重力和阻力作用，取坐标如图一所示，两小球的运动方程可统一表示为
,22mg kV dt
y
d m --= 为什么可以把两个小球的运动合并？ 这里的V 是指矢量，这个式子不矛盾，且可以把1,2 两个小球用一个式子统一起来！
它们运动状态的差别仅由于初始条件的不同而引起的，故
,g V m
k
dt dV --= 分离变量
.dt g V m
k
dV =--
对于小球1，初始条件为0=t 时，,,01010h y V ==故
,1
0?
?=--V t dt g V m
k
dV
).1(1t m k
e k
mg
V ---= (1)
对于小球2，初始条件是t=0时，,0,20020==y V V 故
?
?=--1
,0V V t dt g m
k
dV
得到.02k
mg
e k mg V V t m k
-+=
-）（ （2） 由（1）式，得到
),1(1t m k
e k
mg
dt dy ---= dt e k
mg dy t m k
)1(1---=
?
?---=1
01)1(y h
t
t m k
dt e k
mg
dy
积分，得到
.)1(221t k mg
e k
g m h y t m k
--+=-
由式（2）得到
,)(02k mg
e k mg V dt dy t m k
-+=- dt k
mg e k mg V dy t m k
])[(02-+=-
dt k
mg
e k mg V dy t
t m k
y ??
-+=-000
2])[(2
积分，得到
t k
mg
e k mg V k m y t m k
-+=-)(02
两小球相遇时，,21y y =相遇时间为*
t ，由（3（4）两式，得到
)1(*0t m k
e V k m h --=，,10
*mV kh e t m k
-=-
故),1ln(0
*
mV kh
k m t --
= 把上述结果代入（3）或者（4），得到两小球相遇的地点
).1ln()1(0220*
mV kh
k
g m h kV mg y -++=
代入（1）（2），得到两小球相遇时的速度
;)]1(1[0
0*1V gh mV kh k mg V -=---
=
.)()1)((0000*2m
kh
V gh V k mg mV kh k mg V V --=--+
= 讨论：（1）当阻力很小时，即当0→k 时，利用展开式
,2
)1ln(2
x x x --=-
上述结果简化为
.,;2;00*20*
12
0*0*V gh V V V gh V V gh h y V h t -=-=-==
这正是不考虑空气阻力时的结果。
（2）当考虑如提设的空气阻力时，由上述结果可知，只在下述条件下
,0kh mV >或者,0m
kh V >
两小球才有可能相遇。
在非惯性系中求解球环系统的运动情况
一轻绳的两端分别连接小球A 和小环B ，球与环的质量相等，小环B 可在拉紧的钢丝上作无摩擦的滑动，如图一。现使小球在图示的平面内摆动。求：
小球摆离铅垂线的最大角度θ时小环和小球的加速度。
解：当小球摆动时，小环沿钢丝做加速运动。以小环B 为参考系，则小球受重力和绳子拉力外，还受惯性力
B ma F =惯的作用，如图二。其
加速度A a '沿圆弧的切线方向。在最大摆角为θ时的运动方程为
,
0cos sin =-+θθmg F T 惯
A
a m F mg '=+θθcos sin 惯
小环B 在水平方向的运动方程为B ma T =θsin . 解方程，得到
)
sin 1(sin 2,)sin 1(22sin 2
2θθ
θθ+='+=
g a g a A B 。 小球
A
相对地的加速度
B A A a a a
+'=，取如图二所示的坐标系，
则有
,)
sin 1(22sin cos 2
g a a a B A Ax θθ
θ+=
-'=
.)
sin 1(sin 2sin 2
2g a a A Ay
θθ
θ+='= 旋转液体的液面
以等角速度ω旋转的液体，液面的形状如何求得？ 解答：
假设它的剖面是一条曲线，Y 轴是转轴，旋转面以 Y 轴为对称轴，此时在
液面会得到一正压力 R ，R 可以同时提供向心力
，
，和重力
因此
其中
、 都是常数，因此该剖面的曲线是拋物线，液面形状是该拋物线
绕 Y 轴的旋转面。
直接求sin(x)的导函数从几何上如何找到sin(x)的微分呢？
解答：
直接求
sin d
d
θ
θ
把θ变动△θ，sinθ从变到，我们要了解与△θ之比，△θ是
一小段弦长，是斜线区域这个近似直角三角形的斜边，此与△θ之比之
比可以想成是cosθ
四只苍蝇飞行问题
有四只苍蝇A,B,C,D分别位于平面上的﹙1,1﹚，﹙-1,1﹚，﹙-1,-1﹚，﹙1, -1﹚，之后它们一起以每秒1单位的速度行动，行动的方式为：
A苍蝇一直向着B苍蝇靠近，
B苍蝇一直向着C苍蝇靠近，
C苍蝇一直向着D苍蝇靠近，
D苍蝇一直向着A苍蝇靠近，试问：
﹙1﹚四只苍蝇会在何处相遇？
﹙2﹚它们多久会相遇？
﹙3﹚找出A苍蝇的行动轨迹，并大致画出。
﹙4﹚计算A苍蝇从开始到相遇的路径长。
﹙5﹚苍蝇A会有什么样的生理反应？
解答：
﹙1﹚、﹙2﹚：
从物理相对运动的点来看A的行进方向始终和B的行进方向保持垂直，你可以想象苍蝇移动了瞬间之后，方向就立即修正﹙参照图一、二、三﹚，由于四只苍蝇是做等速运动，所以每一时刻以四只苍蝇围出来的四边形会是正方形，﹙行进方向垂直加上等速﹚于是当时间愈久的时候，苍蝇愈来愈靠近，正方形愈来愈小，最后会内缩成一点，这一点会是原点，这就是他们相遇的地方。此外，A靠近B是垂直方向靠近，所以从B苍蝇看来，A还是以1 单位/ 秒的等速
向B靠近，原来A、B的距离是 2 单位，因此需要秒的时间四只苍蝇会
相遇﹙，，的推论都一样，∴四只会一起相遇﹚
图一图二
图三
﹙3﹚：
我们将苍蝇A的坐标位置用极坐标的方式表达，，而
B的位置就是要注意
的是：和都是的函数
而A的速度是
此向量要与平行，于是﹙如果﹚
，初始值，，。
( ) 其轨迹如下图所示
事实上我们必须注意到，在的情形下会有的推论，
我们不妨用积分式算出时刻走了多少路：﹙等式
右边是速度乘上时间﹚，在的
时候，，" "。所以其实苍蝇A的轨迹应为
上述讨论要表达的是说，加上这一点是需要的，并且加上那一点后，轨迹还是连续的﹙可以想一下如何定义在端点的连续性﹚
﹙4﹚：
由﹙3﹚
﹙5﹚：
由﹙3﹚得知在到 2 的时候，，换言之，在之前已转了无限多圈，
于是苍蝇会“头昏”。
雪球融化
假设雪球融化的速率与表面积成正比，若有一个半径为10公分的雪球，在气温气压皆固定的情况之下，在5分钟后融化为一个半径5公分的雪球，请问雪球完全融化需要多少时间？
解答：
假设此雪球在时间分钟时的半径为公分，由题意可知，
，又雪球融化的速率与表面积成正比，雪球融化的速率即雪球体积的变化率，雪球的体积为，表面积为，所以有
为一比例常数，由于体积随时间经过而减少，可知
为常数，由，，可解出，由此可看出雪球的半径随时间经过等速率减少，雪球完全融化时，所以雪球在10分钟后完全融化。
雨中行车
若你驾驶一辆风玻璃与地面垂直的吉普车欲从甲地到乙地，此时天正下着雨，假设所有雨滴皆以速度u 垂直落下，且均匀的分布在空气中，请问你是该开的快一点或是慢一点，才能使落在挡风玻璃的雨水总量最少？
解答：
图一
假设每立方公尺中有α克的雨水，若车子以速度v 前进，以车子为标准坐
标来看，则雨水以水平速度v，垂直速度u 朝车子而来,假设速度与水平夹角θ，
则对单位面积的挡风玻璃来说，在到间，落在其上的雨水正好是
时，单位面积上高为，倾斜角度θ的圆柱内的水﹙如图二﹚
图二
总共有克，所以单位时间内单位面积所接收的雨水为
，若甲到乙地距离，挡风玻璃总面积，则从甲以等速v 开车到乙挡风玻璃所接收的雨水共有
为一常数，与无关。
若并非以等速行车，结果又会是如何呢？假设v 为t 的函数，写成，
单位时间内单位面积接收的雨水为，假设在时间后从甲到达乙，则
。则从甲到乙所接收的总雨量为
依然是一个常数，与v 无关，也就是说不管怎么开，落在挡风玻璃上总雨量都是固定的。
工人拉船
码头上，有一个圆筒状铁柱，从船上抛出一根绳子，一端固定在船尾，另一端绕铁柱三圈后由一工人拉着，假设工人施力10公斤，绳子与铁柱的磨擦系数是1/3，请问船尾受力多大？
解答：
在绳子与铁柱有的接触时，增加的拉力会提供﹙接近
﹚的正压力给铁柱，所以有，积分得，其
中就是10公斤，，而，所以。
录音带
如果你曾注意过收音机带动录音带的情形，相信你会发现在收听﹙或者快转﹚的时候，在左方的轮子会逆时针旋转，以带动磁带，而原本在右方的磁带地方就会被一直带动，最后会绕到左方的轮子上。
现在我们考虑二个问题：两个轮子磁带半径的变化率之比为多少？如果我知道录音带从一开始﹙左方的轮子没有磁带，所有磁带都在右方的轮子上﹚转到一半(左方的磁带量＝右方的磁带量﹚时，需要一分钟，并且轮 1 的转速始终保持一定值，那么录音带全部转完的时候需要几分钟呢？
解答：
如果你曾注意过收音机带动录音带的情形时，就会发现到，在收听﹙或者快转﹚的时候，在1 处的轮子会逆时针旋转，以带动磁带，而磁带原本在 2 的地方就会被一直带动，最后会绕到轮子 1 上。
现在我们想要考虑两个问题：
1.记为1号轮子在时刻所绕出的磁带的半径，为2号轮子在时
刻磁带形成圆形的半径，它们会随而变化，那么两半径的变化率之比
﹙即﹚为何？
2.如果我知道录音带从一开始﹙轮1 没有磁带，所有磁带都在轮2上﹚转
到一半﹙轮1的磁带量＝轮2的磁带量﹚时，需要一分钟，并且轮 1 的转速始终保持一定值，那么录音带全部转完的时候需要几分钟？
第一个问题其实并不难，如果注意到磁带的总量始终保持一定，另一个角度想就是两磁带所绕出的两个圆形面积总和是固定的，于是会有
常数，对微分后得到
第二个问题我们可以试着用积分的方法解决，首先注意到由于转速是一定
﹙记为ω﹚，所以半径是和成正比，于是不妨令﹙比方说轮子每
秒转10圈，那么一秒后半径就多了10个磁带的厚度，两秒后半径就多了20个磁带的厚度﹚另外，我们同样是以圆面积代表磁带量，所以
﹙一分钟时转了总长的一半，是一比
例常数﹚欲解时的α值。
一节课微积分入门
一节课微积分入门 “一节课微积分入门”原本是笔者制作的一个教学视频，在酷6网上点击率一 度突破12万（可惜现在删了，但土豆网上还有），而大学教授的同类视频，点击率最高才2千多。笔者身边好几个学不懂微积分的人都在里面受益。 这是笔者独创的一套最简捷，清晰，易懂的教学方法，从零开始，在短短的 40分钟内，让大家理解：微积分最基本的原理，牛莱公式的本质含义和基本求导方法。希望能在微积分教学的历史长河中留下一朵小小的浪花。 考虑到很多朋友不喜欢看教学视频，而更喜欢阅读文档，笔者把最基本的教 学思路整理下来，供大家学习和参考，（看不懂的可以网上搜视频做为辅助学习） 目录： 1巧妙的叠加方法 2问题的提出：求y=x2曲线围成的面积 3切割法求出近似面积 4寻找“远房表叔”来帮忙 5对“远房表叔”进行切割和叠加 6“表叔”和“表侄”的一一对应。 7一一对应关系式的提出 8一一对应关系式的进一步表达：牛莱公式 9一一对应关系式的变形：导函数的定义 10求导的2个例题 11导函数的意义
1巧妙的叠加方法 方法一非常麻烦，要测1千次，再加1千次，方法二就简单多了，因为反正不需要知道每个小棍子的长度，只测一次就够了。这就是“叠加法”，在后面的微积分学习中，我们会非常巧妙的用到“叠加法”。 2 问题的提出：求y=x2曲线围成的面积
这种曲线围成的面积，显然用初等数学无法解决，这就需要我们巧妙构思，另辟蹊径了。 3 切割法求出近似面积 我们把横坐标切成1000份，然后切割出999个小长方形，每个小长方形的宽都是1/1000，小长方形的长则是该点对应的函数值，这样每个小长方形的面积都可以求出来了。
微积分练习题及解析
练习题 1、质量为2kg 的某物体在平面直角坐标系中运动，已知其x 轴上的坐标为x=3+5cos2t ，y 轴上的坐标为y=-4+5sin2t ，t 为时间物理量，问： ⑴物体的速度是多少？ ()'10sin(2)x dx V x t t dt = ==- ()'10cos(2)y dy V y t t dt === 2210x y V V V =+= ⑵物体所受的合外力是多少? 222(3)(4)5x y -+-= 运动轨迹是圆，半径为5，所以是做匀速圆周运动 22*100405 mv F N r === ⑶该物体做什么样的运动？ 匀速圆周运动 ⑷能否找出该物体运动的特征物理量吗？ 圆心（3,4），半径5 2、一质点在某水平力F 的作用下做直线运动，该力做功W 与位移x 的关系为W=3x-2x 2,试问当位移x 为多少时F 变 为零。 34dW F x dx = =-，所以当x=3/4时，F=0 3、已知在距离点电荷Q 为r 处Ａ点的场强大小为E= KQ r 2, 请验证Ａ点处的电势公式为：U = KQ r 。 规定无穷远处电势为零，A 处的电势即为把单位正电荷缓慢的从无穷远处移到A 点所做的功 我们认为在r 变化dr 时，库仑力F 是不变的， 则2 kQq dW F dr dr r =-?=- ? 所以2 0W r kQq dW dr r ∞=-?? 即21r q kQq dr r ?∞=? 所以1|r kQ kQ r r ?∞=-=
4、某复合材料制成的一细杆OP 长为L ，其质量分布不均匀。在杆上距离O 端点为x 处取点A ，令M 为细杆上OA 段 的质量。已知M 为x 的函数，函数关系为M=kx 2，现定义线密度ρ=dM dx ,问当x=L 2 处B 点的线密度为何？ 2dM kx dx ρ= = ,2L x kL ρ∴== 5、某弹簧振子的总能量为2×10-5J ，当振动物体离开平衡位置12 振幅处，其势能E P =，动能E k =。 首先推导弹簧的弹性势能公式，设弹簧劲度系数为k ，伸长量为x 时的势能为E （x ） 弹簧所具有的弹性势能即为将弹簧从原长拉长x 时所做的功 dW F dx kx dx =?=? 00W x dW kx dx ∴=??? 2 ()2 kx E x ∴= 所以在距平衡位置12振幅处的弹性势能为总能量的14 ，即655*10, 1.5*10p k E J E J --== 6、取无穷远处电势为零。若将对电容器充电等效成把电荷从无穷远处移到电容器极板上，试问，用电压U 对电容为C 的电容器充电，电容器存储的电能为何？开始时电容器存放的电荷量为零。 0022 1122q q E Q q q dE dQ U Q dE dQ C Q E CU C =?∴=∴==?? 7、在光滑的平行导轨的右端连接一阻值为R 的电阻，导轨宽度为L ，整个导轨水平放置在方向竖直向下的磁场中，磁场的磁感应强度为B 。有一导体棒ab 垂直轨杆并停放在导轨上，导体棒与导轨有良好的接触。在t=0时刻，给导
微积分在物理 中的简单应用
求解在立体斜面上滑动的物体的速度 一物体放在斜面上，物体与斜面间的摩擦因数μ恰好满足αμtg =，α为斜面的倾角。今使物体获得一水平速度 0V 而滑动，如图一，求： 物体在轨道上任意一点的速度V 与φ的关系，设φ为速度与水平线的夹角。 解：物体在某一位置所受的力有：重力G ， 弹力N 以及摩擦力f 。摩擦力f 总是与运动速度V 的方向相反，其数值 ααααμμsin cos cos mg mg tg mg N f ==== 重力在斜面上的分力为1G ，如图二，将1 G 分解为两个分力：1G ''是1G 沿轨迹切线方向的分 力，φαφsin sin sin 11 mg G G =='' ；1G '是沿轨 迹 法 向 的 分 力 ， φαφcos sin cos 11 mg G G =='，如图三。 根据牛顿运动定律，得运动方程为 τma f G =-''1 （1） n ma G ='1 （2） 由（1）， )1(sin sin )sin sin sin (1 -=-= φααφατg mg mg m a 而 ,dt dV a = τ得到 ,)1(sin sin dt g dV -=φα （3）
式中φ是t 的函数，但是这个函数是个未知函数，因此还不能对上式积分，要设法在φ与t 中消去一个变量，才能积分，注意到 φφ d d ds V V dS dt 1== （4） 而φ d ds 表示曲线在该点的曲率半径ρ，根据（2）式， ρ φα2 cos sin V m mg = （5） 由式（3）（4）（5），可得到 ,)sec (φφφd tg V dV -= φφφφ d tg V dV V V ??-=00)sec (， 积分，得到 )sin 1ln()ln(sec cos ln ln φφφφ+-=+--=tg V V ， .sin 10 φ += V V 运用积分法求解链条的速度及其时间 一条匀质的金属链条，质量为m ，挂在一个光滑的钉子上，一边长度为1L ，另一边长度为,2L 而且120L L <<，如图一。试求： 链条从静止开始滑离钉子时的速度和所需要的时间。 解：设金属链条的线密度为.2 1L L m += λ当一边长度为 x L +1，另一边长度为x L -2时受力如图二所示，则根据牛 顿运动定律，得出运动方程 ,)()(11a x L T g x L λλ+=-+
微积分中10大经典问题
微积分中10大经典问题 最初的想法来自大一，当时想效仿100个初等数学问题，整理出100个经典的 高等数学问题（这里高等数学按广义理解）。可惜的是3年多过去了，整理出 的问题不足半百。再用经典这把尺子一量，又扣去了一半。 这里入选原则是必须配得起“经典”二字。知识范围要求不超过大二数学系水平， 尽量限制在实数范围内，避免与课本内容重复。排名不分先后。 1）开普勒定律与万有引力定律互推。绝对经典的问题，是数学在实际应用中的光辉 典范，其对奠定数学科学女皇的地位起着重要作用。大家不妨试试，用不着太多的专业知识，不过很有挑战性。重温下牛顿当年曾经做过的事，找找当牛人的感觉吧，这个问题是锻炼数学能力的好题！ 2）最速降线问题。该问题是变分法中的经典问题，不少科普书上也有该问题。答案 是摆线（又称悬轮线），关于摆线还有不少奇妙的性质，如等时性。其解答一般变分书上均有。本问题的数学模型不难建立，即寻找某个函数，它使得某个积分取最小值。这个问题往深层次发展将进入泛函领域，什么是泛函呢？不好说，一个通俗的解释是“函数的函数”，即“定义域”不是区间，而是“一堆”函数。最速降线问题通过引 入光的折射定律可以直接化为常微分方程，大大简化了求解过程。不过变分法是对这类问题的一般方法，尤其在力学中应用甚广。 3）曲线长度和曲面面积问题。一条封闭曲线，所围面积是有限的，但其周长却可以 是无限的，比如02年高中数学联赛第14题就是这样一条著名曲线-----雪花曲线。 如果限制曲线是可微的，通过引入内折线并定义其上确界为曲线长度。但把这个方法搬到曲面上却出了问题，即不能用曲面的内折面的上确界来定义曲面面积。德国数学家H.A.Schwarz举出一个反例，说明即使像直圆柱面这样的简单的曲面，也可以具有面积任意大的内接折面。 4）处处连续处处不可导的函数。长久以来，人们一直以为连续函数除了有限个或可数无穷个点外是可导的。但是，魏尔斯特拉斯给出了一个函数表达式，该函数处处连续却处处不可导。这个例子是用函数级数形式给出的，后来不少人仿照这种构造方式给出了许多连续不可导的函数。现在教材中举的一般是范德瓦尔登构造的比较简单的例子。至于魏尔斯特拉斯那个例子，可以在齐民友的《重温微积分》中找到证明。其实上面那个雪花曲线也是一条处处连续处处不可导的曲线。
微积分心得体会范文
微积分心得体会范文 学好微积分的意义有如下几点： 1 重要性 西方分析权威 R. 柯朗说 :" 微积分 , 或者数学分析 , 是人类思维的伟大成果之一 . 它处于自然科学与人文科学之间的地位 , 使它成为高等教育的一种特别有效的工具 . 微积分是人类智力的伟大结晶 . 它给出一整套的科学方法 , 开创了科学的 __ , 并因此加强与加深了数学的作用 . 恩格斯说 :" 在一切理论成就中 , 未必再有什么像 17 世纪下半叶微积分的发现那样被看作人类精神的最高胜利了 . 微积分已成为现代人的基本素养之一 , 微积分将教会你在运动和变化中把握世界 , 它具有将复杂问题化归为简单规律和算法的能力 . 没有微积分很难理解现代社会正在发生的变化 , 很难跟上时代的脚步 . 2 牛顿革命 牛顿把他的书定名为《自然哲学的数学原理》 , 目的在于向世人昭示他将原理数学化的过程 , 即他构造了一种自然哲学 , 而不是一般的哲学 . 牛顿的《自然哲学的数学原理》 , 不仅在原理的发展上 , 在命题的证明和应用上是数学的。在哲学上引出了 " 决定论
" 的世界观 . 那就是 , 大自然有规律 , 我们能够发现它们 . 对这一世界观表达最清楚的是数学家拉普拉斯 . 在他的《概率的哲学导论》中 , 他雄辩地指出 ," 假设有一位智者 , 在任意给定的时刻 , 他都能洞见所有支配自然界的力和组成自然界的存在物的相互位置 , 假使这一智者的智慧巨大到足以使自然界的数据得到分析 , 他就能将宇宙中最大的天体和最小的原子的运动统统纳入单一的公式之中。 " 3 微积分产生的主要因素 当代著名数学家哈尔莫斯说 , 问题是数学的心脏 . 那么促使微积分产生的主要问题是什么呢微积分的创立首先是为了处理下列四类问题 . 1) 已知物体运动的路程与时间的关系 , 求物体在任意时刻的速度和加速度 . 反过来 , 已知物体运动的加速度与速度 , 求物体在任意时刻的速度与路程 . 困难在于 17 世纪所涉及的速度和加速度每时每刻都在变化 . 计算平均速度可用运动的时间去除运动的距离 . 但对瞬时速度 , 运动的距离和时间都是 0, 这就碰到了 0/0 的问题 . 这是人类第一次碰到这样微妙而费解的问题 .
微积分在物理学上的应用复习过程
微积分在物理学上的 应用
微积分在物理学上的应用 1 引言 微积分是数学的一个基本学科，内容包括微分学，积分学，极限及其应用，其中微分学包括导数的运算，因此使速度，加速度等物理元素可以使用一套通用的符号来进行讨论。而在大学物理中，使用微积分去解决问题是及其普遍的。对于大学物理问题，可是使其化整为零，将其分成许多在较小的时间或空间里的局部问题来进行分析。只要这些局部问题分的足够小，足以使用简单，可研究的方法来解决，再把这些局部问题的结果整合起来啊，就可以得到问题的结果。而这种将问题无限的分割下去，局部问题无限的小下去的方法，即称为微分，而把这些无限个微分元中的结果进行求和的方法，即是积分。这种解决物理问题的思想和方法即是微积分的思想和方法。 2 微积分的基本概念及微分的物理含义 微积分是一种数学思想，其建立在函数，实数和极限的基础上，其主要探讨的就是连续变量。在运用微积分去解决物理问题时，可以将我们所需要得出的结果看成是一个整体，再将这个整体先微分，即将其分成足够小的个体，我们可以将这个个体的变量看成衡量，得出个体结果后，再将其积分，即把个体的结果累积起来进行求和。例如，在我们研究匀变速直线运动时，我们就可以在其运动过程中选取一个微小的时间dt，而这一时间内的位移为dt，在每一段时间内速度的变化量非常小，可以近似忽略，那么我们就可以将这段时间内的运动近似看成匀速直线运动，再把每段时间内的位移相加，无限求和，就可以得出总的位移。
在物理学中，每个物理公式都是某些物理现象和规律的数学表示，因此，我们在使用这些公式时，面对物理量和公式的微分形式我们不能仅仅从数学方面去考虑，更要从物理含义上去考虑。在我们使用微分符号时，不能只从数学角度去理解其为无限小，更要结合具体 的物理量和角度去判断他的正确含义。 例：如图所示，一通有交流电流i=的长直导线旁有一共面的单匝矩形线圈ABCD，试求线圈中的感应电动势大小。 解：设在某个时刻，长直导线电流产生的磁场为 B= 在图中做一个微元面dS,dS=ldx,则该面元上的磁场可以近似于均匀磁场，微元面dS上的磁通量为 d 线圈围成的面上通过的磁通量为 线圈中的感应电动势为
最新整理读《简单微积分》有感范文.docx
我与数学的二三事 ——读《简单微积分》有感 李红霞 一直说看完书写点什么，第一遍读完，只感受到了“简单”，什么都写不出来，那就开始第二遍，看完之后晚上失眠写了三百字，第二天准备借鉴一下其他人的写作经验，于是看了前面的十几篇、“遇见数学”第一次征文获奖篇以及侯博士《我的爱豆是数学家小平邦彦》之后觉得文学及功底欠缺。被侯博士十年如一日的坚持推广所感动；为两个还没有上初中孩子的博学而感到欣慰...就觉得干脆想到什么写点什么好了。 书名《简单微积分》顾名思义，“简单”在于本书是一本可以不用纸笔，只需要“读”的微积分“入门书”。贯穿了小学面积、体积...初中一次函数、勾股定理...高中导数、幂函数...大学微积分...我首次见到的卡瓦列利原理、魏尔斯特拉斯函数...会用到的知识一一做了介绍，不仅简单，还有深度；“微积分”就是微分、积分、微积分。 作者:神永正博，理学博士，日本东北学院大学教授，还着有《数学思考法》...不出意外下一本就是它。 译者:李慧慧，手边小平邦彦《几何世界的邀请》译者同名，不知道是否是同一人，其他情况未知。 的确，本书共三章，只是顺序变了，第一章积分，第二章微分，理由是积分能够“图形化”，积分的基础是求面积、体积，易于感知理解；而微分研究的东西，我们无法用眼睛看到，很难直观上去把握；毫无疑问第三章微积分。 书中例子有小孩喜欢吃的冰激凌蛋卷筒、甜甜圈，还有成年人感兴趣的钻石、项链、股价...而重点在于介绍的微积分基本定理、公式推导以及实际应用意义。 我一直以来的困惑在这里找到了答案: ①考试为何根据计算结果来确定成绩? 因为根据思路来给分数比较困难。 ②如今软件绘制函数图像如此便捷，为何高中还要考? 其一是考察考生是否记住了“通过微分了解函数的变化”；其二是教学
微积分学习方法
《微积分》学习方法 来源：东财网院 很多同学都会认为，数学是一门比较难学的学科，有那么多的定义、公式、定理，还有图像以及各种曲线等等，总是让人头疼。所以同学们在接触微积分之前，可能就已经对它产生了心理恐惧，甚至是排斥心理。而事实并非如此，之所以会这样是因为你还没有掌握正确的学习方法。 首先，大家应该大致翻一下教科书，或者是看看目录和前言，了解学习这么课程所需具备的基础知识是什么。从第一章的内容中，大家可以了解到，微积分的起点是中学里的函数概念和解析几何。所以，如果以往的知识不牢固，或是没有接触过，那么最好找来中学的教科书复习一下。接下来，大家就接触到了极限，数列的极限以及函数的极限。大家可能会发现，极限的定义很难看懂。那是不是就能以此为借口，停顿在这里呢？当然不能，我们可以先把这个问题放一下，继续向下。实际上，极限的概念是很直观的，理解其思想即可，看不懂定义并不影响下面的学习。 接下来的部分就较为重要了，而且不能跳过。导数的概念其实也很简单，就是一个量关于另一个量的变化率。下面可能牵扯到很多导数的公式和运算技巧，很少有人会马上记住，这也不要紧，可以在平时的练习中慢慢掌握。可能有些同学喜欢解题，喜欢推导和运算，这固然是好事，但不要过度的沉浸在题海中。接触到微分，大家会发现，它和导数没有实质性的区别，只是在表达方式上有所不同，这是需要大家分清楚地。 下一个难点就是积分了。积分的数学定义可能较难理解，那么可以从图形下手，可以充分发挥想象力：为了求得曲线所围的面积，用无数小梯形去无限逼近，这也就是极限的思想。其实积分的本质就是极限。理解它的本质后，运算技巧可以暂放一下，在考试前可以集中解决运算技巧的问题。 对于多数同学来说，微积分的后半部分会更难些。对于无穷级数，同学们还是重在理解思想。多元函数微积分比前面的一元函数稍微复杂了些，但是基本的思路是一样的。最后一个难点，就是关于微分方程了。首先，要理解微分方程的有关概念以及微分方程的解，这样才能对微分方程有所识别。其次，对各种类型的微分方程，都要抓住其特征的本质，领会每一道例题中解题的方法和含义。 在学习数学的过程中，前后的连贯性较为重要，所以要注意知识点之间的衔接。但也不排除个别的情况，比如前文中说到的极限和级数。事实上很多人的亲身经历也证明了，微积分并不可怕，关键看你肯不肯下功夫。相信在大家的努力和老师的帮助下，微积分的难关是可以攻克的。 微 积 分》 的 学 习 方 法 读书好比走路。不知道去那里干什么，走起路来也没 劲儿。读书也是这样，没有目的，读起书来也没兴趣。 走路也得有方法，方法对走起路来才省劲儿。读书也 是这样，方法得当才能收到好效果。学生在校期间， 读书当然应以教科书为主，但是大学生与中小学生不
(整理)《微积分》考试大纲.
附件3 《微积分》考试大纲 第一部分：总要求 考生应按本大纲的要求，了解或理解“微积分”中函数、极限和连续、一元函数微分学、一元函数积分学、多元函数微积分学、无穷级数、常微分方程的基本概念与基本理论；学会、掌握或熟练掌握上述各部分的基本方法。应注意各部分知识的结构及知识的内在联系；应具有一定的抽象思维能力、逻辑推理能力、运算能力；有运用基本概念、基本理论和基本方法正确地推理证明，准确地计算；能综合运用所学知识分析并解决简单的实际问题。 第二部分：考试内容 一、函数、极限和连续 函数的概念，复合函数的概念；基本初等函数的性质与图形，极限的基本性质，极限的存在准则（单调有界数列必有极限以及夹逼定理），两个重要极限，函数极限与数列极限的关系，无穷小与无穷大概念，极限存在与无穷小的关系；函数在一点连续的概念，初等函数的连续性，闭区间上连续函数的性质（有界性、最值性与介值性）。 二、一元函数微分学 导数的概念及其几何、物理意义，导数的四则运算法则，基本初等函数的导数公式，复合函数的求导法，隐函数以及由参数方程所确定的函数的求导法，高阶导数的概念：罗尔(Rolle )定理，拉格朗日（Lagrange）定理，洛必达（L'Hospital）法则，五个基本的麦克劳林（Maclaurin）公式，函数单调性与曲线的凹凸性，函数极值的概念和求法，函数的最大值与最小值的求法。 三、一元函数积分学 原函数与不定积分的概念及其几何意义，不定积分的基本性质与运算法则。基本积分公式表，不定积分的换元法与分部积分法；定积分的概念及其几何意义，定积分的基本性质，变上限的积分及其求导，原函数存在定理，牛顿——莱布尼兹（Newton-Leibniz）公式，定积分的换元法与分部积分法；定积分的应用（计算平面图形面积、立体体积、变力沿直线所作的功等）；广义积分（无穷区间广义积分）。
微积分在物理学上的应用
微积分在物理学上得应用 1 引言 微积分就是数学得一个基本学科,内容包括微分学,积分学,极限及其应用,其中微分学 包括导数得运算,因此使速度,加速度等物理元素可以使用一套通用得符号来进行讨论。而在大学物理中,使用微积分去解决问题就是及其普遍得。对于大学物理问题,可就是使其化整为零,将其分成许多在较小得时间或空间里得局部问题来进行分析。只要这些局部问题分得足够小,足以使用简单,可研究得方法来解决,再把这些局部问题得结果整合起来啊,就可以得到问题得结果。而这种将问题无限得分割下去,局部问题无限得小下去得方法,即称为微分,而把这些无限个微分元中得结果进行求与得方法,即就是积分。这种解决物理问题得思想与方法即就是微积分得思想与方法。 2 微积分得基本概念及微分得物理含义 微积分就是一种数学思想,其建立在函数,实数与极限得基础上,其主要探讨得就就是 连续变量。在运用微积分去解决物理问题时,可以将我们所需要得出得结果瞧成就是一个整体,再将这个整体先微分,即将其分成足够小得个体,我们可以将这个个体得变量瞧成衡量,得出个体结果后,再将其积分,即把个体得结果累积起来进行求与。例如,在我们研究匀变速直线运动时,我们就可以在其运动过程中选取一个微小得时间dt,而这一时间内得位移为dt,在每一段时间内速度得变化量非常小,可以近似忽略,那么我们就可以将这段时间内得运动近似瞧成匀速直线运动,再把每段时间内得位移相加,无限求与,就可以得出总得位移。 在物理学中,每个物理公式都就是某些物理现象与规律得数学表示,因此,我们在使用 这些公式时,面对物理量与公式得微分形式我们不能仅仅从数学方面去考虑,更要从物理含义上去考虑。在我们使用微分符号时,不能只从数学角度去理解其为无限小,更要结合具体得物理量与角度去判断她得正确含义。 例:如图所示,一通有交流电流i=得长直导线旁有一共面得单匝矩形线圈ABCD,试求线圈中得感应电动势大小。 解:设在某个时刻,长直导线电流产生得磁场为 B= 在图中做一个微元面dS,dS=ldx,则该面元上得磁场可以近似于均匀磁场,微元面dS上得磁通量为 d 线圈围成得面上通过得磁通量为
微积分教学大纲
《微积分》教学大纲 课程代码： 名称：微积分学 授课专业：工业设计专业 学时数：100 一、课程的目的和要求 学生能够通过本课程的学习，获得一元函数微积分学、多元函数微分学方面比较系统的知识。同时，这些知识的掌握也会给后续课程的学习打下基础。 更重要的是，在教学过程中使学生加深高等数学的辩证统一思想的理解，并利用这一思想解决一些实际问题。通过这门课程的学习，提高学生的空间想象能力、逻辑思维和创造性思维能力，全面提高学生的数学素质。 二、课程教学内容 第一部分函数 主要内容：函数的概念与性质，复合函数、初等函数的概念。 要求： 1、理解函数的概念，能列出简单实际问题中的函数关系。 2、理解函数的单调性、周期性、有界性和奇偶性； 3、理解反函数和复合函数的概念； 4、理解初等函数的概念和性质。 重点：函数的的概念与性质。 难点：列出问题中的函数关系，反函数和复合函数的概念。 第二部分极限与连续 主要内容：极限的概念，极限四则运算，无穷小、无穷大的概念，函数连续的概念。 要求： 1、了解数列极限、函数极限的概念(对极限的精确定义、证明不作要求)； 2、掌握极限四则运算法则，会用两个重要极限求极限； 3、理解解无穷小与无穷大、高阶无穷小、同阶无穷小和等价无穷小的概念； 4、理解函数在一点连续和在一区间连续概念，了解函数间断的概念； 5、了解初等函数的连续性，了解在闭区间上连续函数的性质. 重点：极限的四则运算法则。 难点：极限的概念，连续的概念。 第三部分导数与微分 主要内容：导数和微分的概念，导数和微分的运算。 要求： 1、理解导数和微分的概念，理解导数的几何意义，了解函数的可导与连续之间的关系； 2、熟练掌握导数和微分的运算法则、导数的基本公式，了解高阶导数概念，能熟练求初等函数的一阶、二阶导数（n>2阶导数不作要求）； 3、掌握复合函数和隐函数的求导法； 4、会求曲线的切线与法线方程，了解微分在近似计算中的应用。
微积分基本定理的理解与应用
微积分基本定理的理解与应用 微积分基本定理揭示了定积分与不定积分的内在联系，运用其求定积分 ? b a x f )(dx ，是 求f （x ）的一个原函数F （x ），并计算其在端点的函数值的差，与用定积分的定义计算定积分比较显得简单，具有比较大的优越性，为计算定积分提供了一种十分简捷的方法． 一．微积分基本定理的理解 1．微积分基本定理：一般地，如果f （x ）是区间[a ，b]上的连续函数，并且)(x F '=f （x ），那么 ? b a x f )(dx=F （b ）－F （a ） ． 2．微积分基本定理中，通常是把求原函数与计算原函数值的差用一串等式表示出来．一般地，有 ? b a x f )(dx=F （x ）b a |=F （b ）－F （a ） ．注意，把积分上、下限代入原函数求差时，要按步骤进行，以免发生符号错误． 3．微积分基本定理的条件中是指任一原函数，而不是所有原函数．一般地，有 ? b a x f )(dx=[F （x ）+C]b a |=[F （b ）+C]－[F （a ）+C]=F （b ）－F （a ） ． 4．微积分基本定理的条件中是指任一原函数，而不是所有原函数．一般地，有 ? b a x f )(dx=[F （x ）+C]b a |=[F （b ）+C]－[F （a ）+C]=F （b ）－F （a ） ． 5．利用微积分基本公式求定积分．其步骤为：第一步：求f （x ）的一个原函数F （x ）； 第二步：计算F （b ）－F （a ）． 6．应用微积分基本公式还可以得到定积分的一些简单性质：如： （1）? a a x f )(dx=0，这是因为?a a x f )(dx=F （a ）－F （a ）=0； （2） ? b a x f )(dx=－?a b x f )(dx ，这是因为?b a x f )(dx=F （b ）－F （a ） ，而?a b x f )(dx=F （x ）a b |=F （a ）－F （b ）=－[F （b ）－F （a ）]． 二．微积分基本定理的应用 1．计算问题 利用微积分基本定理求函数f （x ）在某个区间上的定积分问题是定积分部分最重要的应用之一．有时是对单一的函数进行积分，有时也对分段函数进行积分，要注意加以区分和应用． 例1．（2008年高考山东卷理，14）设函数f （x ）=ax 2 +c （a ≠0），若 ? 1 )(x f dx=f （x 0）， 0≤x 0≤1，则x 0的值为________． 分析：求函数f （x ）在某个区间上的定积分，关键是求出函数f （x ）的一个原函数，再加以计算，同时结合取值条件加以确定． 解析：由于 ? 1 )(x f dx=?+1 02 )(c ax dx=（3a x 3+cx ）|10=3 a +1=f （x 0）=ax 02+c ， 则有x 02= 31，由于0≤x 0≤1，解得x 0=33，故填答案：3 3 ．
微积分期末复习指导
微积分期末复习指导 一、复习要求和重点 函数 ⒈理解函数概念，了解函数的两要素 定义域和对应关系，会判断两函数是否相同。 ⒉掌握求函数定义域的方法，会求函数值，会确定函数的值域。 ⒊了解函数的属性，掌握函数奇偶性的判别，知道它的几何特点。 ⒋了解复合函数概念，会对复合函数进行分解，知道初等函数的概念。 ⒌了解分段函数概念，掌握求分段函数定义域和函数值的方法。 ⒍知道初等函数的概念，理解常数函数、幂函数、指数函数、对数函数和三角函数（正弦、余弦、正切和余切）。 ⒎了解需求、供给、成本、平均成本、收入和利润等经济分析中常见的函数。 ⒏会列简单应用问题的函数关系式。 本章重点：函数概念，函数的奇偶性，几类基本初等函数。 一元函数微分学 ⒈知道极限概念（数列极限、函数极限、左右极限），知道极限存在的充分必要条件： 且 ⒉了解无穷小量概念，了解无穷小量与无穷大量的关系，知道无穷小量的性质，如有界变量乘无穷小量仍为无穷小量，即。 ⒊掌握极限的四则运算法则，掌握两个重要极限，掌握求极限的一般方法。 两个重要极限的一般形式是： ， ⒋了解函数在一点连续的概念，知道左连续和右连续的概念。知道函数在一点间断的概念，会求函数的间断点。 ⒌理解导数定义，会求曲线的切线。知道可导与连续的关系。 ⒍熟练掌握导数基本公式、导数的四则运算法则、复合函数求导法则，掌握求简单隐函数的导数。 ⒎了解微分概念，即。会求函数的微分。 ⒏知道高阶导数概念，会求函数的二阶导数。 本章重点：导数概念，极限、导数和微分的计算。 导数的应用 ⒈掌握函数单调性的判别方法，会求函数的单调区间。 ⒉了解函数极值的概念，知道极值存在的必要条件，掌握极值点的判别方法。知道函数的极值点与驻点的区别与联系，会求函数的极值。
微积分在物理学上的应用
1 引言 微积分是数学的一个基本学科，内容包括微分学，积分学，极限及其应用，其中微分学包括导数的运算，因此使速度，加速度等物理元素可以使用一套通用的符号来进行讨论。而在大学物理中，使用微积分去解决问题是及其普遍的。对于大学物理问题，可是使其化整为零，将其分成许多在较小的时间或空间里的局部问题来进行分析。只要这些局部问题分的足够小，足以使用简单，可研究的方法来解决，再把这些局部问题的结果整合起来啊，就可以得到问题的结果。而这种将问题无限的分割下去，局部问题无限的小下去的方法，即称为微分，而把这些无限个微分元中的结果进行求和的方法，即是积分。这种解决物理问题的思想和方法即是微积分的思想和方法。 2 微积分的基本概念及微分的物理含义 微积分是一种数学思想，其建立在函数，实数和极限的基础上，其主要探讨的就是连续变量。在运用微积分去解决物理问题时，可以将我们所需要得出的结果看成是一个整体，再将这个整体先微分，即将其分成足够小的个体，我们可以将这个个体的变量看成衡量，得出个体结果后，再将其积分，即把个体的结果累积起来进行求和。例如，在我们研究匀变速直线运动时，我们就可以在其运动过程中选取一个微小的时间dt，而这一时间内的位移为dt，在每一段时间内速度的变化量非常小，可以近似忽略，那么我们就可以将这段时间内的运动近似看成匀速直线运动，再把每段时间内的位移相加，无限求和，就可以得出总的位移。 在物理学中，每个物理公式都是某些物理现象和规律的数学表示，因此，我们在使用这些公式时，面对物理量和公式的微分形式我们不能仅仅从数学方面去考虑，更要从物理含义上去考虑。在我们使用微分符号时，不能只从数学角度去理解其为无限小，更要结合具体的物理量和角度去判断他的正确含义。 例：如图所示，一通有交流电流i=的长直导线旁有一共面的单匝矩形线圈ABCD，试求线圈中的感应电动势大小。 解：设在某个时刻，长直导线电流产生的磁场为 B= 在图中做一个微元面dS,dS=ldx,则该面元上的磁场可以近似于均匀磁场，微元面dS上的磁通量为 d 线圈围成的面上通过的磁通量为 线圈中的感应电动势为 在这个例题中，微元面dS的磁通量与线圈的感应电动势都有，但他们的物理含义却是不一样的，前者的表示微元面 dS上的磁通量，是一个微小量，而后者的表示
微积分在普通物理学中的应用
微积分在普通物理学中的应用 1引言 从牛顿那个时代到今天，每个时代都在为一种事物惊叹不已，它不仅推动了物理学和数学的发展，也更新了人类的观念,是人类史上的里程碑,它就是微积分． 微积分可以称为是人类智慧最伟大的成就之一，在各个领域内都有重要应用．如果将整个人类科学比作一棵大树，那么初等数学是树的根，名目繁多的数学分支是树枝，而树干的主要部分就是微积分．微积分在物理学、天文学等自然科学及应用科学等多个分支中，有越来越广泛的应用．可以说，微积分推动了现代人类社会的发展，所以我们很有必要对它进行了解和掌握． 微积分是微分和积分的总称，它是一种数学思想，其中‘无限细分’就是微分，‘无限求和’就是积分．极限的思想是微积分的基础，它是用变化的思想来看待问题的． 微积分在物理学中的应用相当普遍，本篇论文从导数、微分、积分三方面研究了微积分在其中的应用． 2导数在力学中的应用 导数在力学中有很重要的作用，通常可求得最小的力，最省的距离等极值问题，在实际生活中应用性很强．下面简单举出两个例子说明其应用(画图略)． 例1 设有质量为5kg 的物体，置于水平面上，受力F 的作用开始移动，设摩擦系数 0.25,μ=问力F 与水平线的交角α为多少时,才可以使力F 的大小为最小？ 解 由题意得 cos (sin )F P F ααμ=-,其中α0,2π?? ∈???? ，P 表示重力 cos sin P F μαμα = + 由于P μ为常数,欲求F 最小,只须 求分母U cos sin αμα=+的最大值. 记 U αcos sin αμα=+ 令U α '=sin cos 0αμα-+=
微积分上简单考试题及答案
微积分简单试题及答案 一、填空题 ⒈函数241)(x x f -= 的定义域是 ． ⒉若24sin lim 0=→kx x x ，则=k ． ⒊已知x x f ln )(=，则)(x f ''= ． ⒋若?=x x s d in ． 二、单项选择题 ⒈设函数x x y sin =，则该函数是（ ）． A ．奇函数 B ．偶函数 C ．非奇非偶函数 D ．既奇又偶函数 ⒉当k =（ ）时，函数???=≠+=00,,1)(2x k x x x f ，在0=x 处连续. A ．1 B ．2 C ．1- D ．0 ⒊满足方程0)(='x f 的点一定是函数)(x f 的（ ）。 A ．极值点 B ．最值点 C ．驻点 D ． 间断点 ⒋设)(x f 是连续的奇函数，则定积分=?a a x x f -d )(（ ） A ．?0-d )(2a x x f B ．?0-d )(a x x f C ．?a x x f 0d )( D ． 0 三、计算题 ⒈计算极限4 23lim 222-+-→x x x x ． ⒉设x x y 3cos 5sin +=，求y '. ⒊计算不定积分x x x d )1(2? + ⒋计算定积分?π0d sin 2 x x x 四、应用题（本题16分） 欲用围墙围成面积为216平方米的一成矩形的土地，并在正中用一堵墙将其隔成两块，问这块土地的长和宽选取多大尺寸，才能使所用建筑材料最省？ 模拟试题答案及评分标准
一、填空题 ⒈)2,2(- ⒉2 ⒊21x - ⒋C x +-cos 二、单项选择题 ⒈B ⒉A ⒊C ⒋D 三、 ⒈解：原式4 1)2)(2()2)(1(lim 2=+---=→x x x x x 11分 ⒉解：)sin (cos 35cos 52x x x y -+=' 9分 x x x 2c o s s i n 35 c o s 5-= 11分 ⒊解：x x x d )1(2 ?+= C x x x ++=++?32)(132)d(1)1(2 11分 ⒌解：?π 0d sin 2x x x 2sin 212d cos 21cos 21000πππ ππ=+=+-=?x x x x x 11分 四、应用题 解：设土地一边长为x ，另一边长为 x 216，共用材料为y 于是 y =3x x x x 43232162+=+ 24323x y -=' 令0='y 得唯一驻点12=x （12-=x 舍去） 10分 因为本问题存在最小值，且函数的驻点唯一，所以，当土地一边长为12，另一 边长为18时，所用材料最省. 16分
定积分在物理上的应用(学习资料)
授课题目定积分在物理上的应用 课时数1课时 教学目标用定积分解决物理学上的变力做功以及液体压力问题。 重点与难点教学重点：定积分方法分析变力做功和液体压力。教学难点：定积分的元素法以及物理量的计算公式。 学情分析我所教授的学生从知识结构上来说属于好坏差别很大，有的接受新知识很快，有的很慢，有的根本听不懂，基 于这些特点，结合教学内容，我以板书教学为主，多媒 体教学为辅，把概念较强的课本知识直观化、形象化， 引导学生探索性学习。 教材分析本次课是学生学习完定积分的概念和计算方法以及定积分在几何上的应用后的学习，定积分的元素法在几何和 物理上的应用为学生尝试解决各种实际问题做了很好的 铺垫。将来把元素法的思想推广到多元函数后，其应用 范围将会更宽更广。所以无论从内容还是数学思想方面， 本次课在教材中都处于重要的地位。 教学方法根据对学生的学情分析，本次课主要采用案例教学法，问题驱动教学法，讲与练互相结合，以教师的引导和讲 解为主，同时充分调动学生学习的主动性和思考问题的 积极性。 教学手段传统教学与多媒体资源相结合。
课程资源 同济大学《高等数学》（第七版）上册 教学内容与过程 一、 变力沿直线所作的功 dx x F dW )(= ?=b a dx x F W )( ，求电场力所做的功。 处处移动到从距离点电荷直线下，一个单位正电荷沿电荷所产生的电场作用、在一个带例)(1b a b a q <+为时，由库仑定律电场力原点解：当单位正电荷距离r 2r q k F = dr r kq dW 2=则功的元素为： 所求功为 )11(]1[2b a kq r kq dr r kq W b a b a -=-==? 例2、在底面积为S 的圆柱形容器中盛有一定量的气体，由于气体的膨胀，把容器中的一个面积为S 的活塞a 移动到b 处（如图），求移动过程中气体压力所做的功。 解：建立坐标系如图. 由波义耳---马略特定律知压强p 与体积V 成反比，即xS k V k p == ，故作用在活塞上的力为 x k S p F =?= x a b x x x d +q +o r a b r r d r +1+S o x a b x x d x +
《微积分》教学大纲(上、下)
《微积分》教学大纲（上、下） 课程名称：《微积分》英文名称：《calculus》 学分： 6总学时：108 实验（上机）学时： 无 开课专业： 经济学专业、财务管理专业、资产管理专业、物业管理专业 一、课程性质、目的和培养目标： 《微积分》是一门数学基础课程，它的主要内容包括函数、极限、连续﹑导数与微分， 中值定理与导数的应用，不定积分，定积分，多元函数微分法及其应用，重积分，无穷级， 数，微分方程与差分方程等。本课程是经济学专业的一门专业必修课程。通过系统介绍微积 分的基本内容，使学生在掌握微积分的基本知识，基本理论和基本技能基础上，提高抽象思 维，逻辑推理与运算的能力和自学能力，还要特别注意培养学生具有综合运用所学知识去分 析问题和解决问题的能力。提高数学修养和思维品质，为学习相关的后续课程准备必要的数 学知识。 二、预修课程：高中数学 三、课程内容和建议学时分配：（120学时。含108课时，复习考试12课时） 章 节 内 容 学时 第一章 函数与极限 18课时 第一节函数 1. 理解函数的概念 2. 理解函数奇偶性、单调性、周期性、有界性。 3. 理解反函数的概念。 第二节初等函数 1. 熟悉基本初等函数的性质及其图形。 2. 理解复合函数 3. 会建立简单实际问题中的函数关系式。 第三节数列的极限 1. 理解数列极限的概念，掌握极限四则运算法。 2. 理解子数列的概念，掌握数列的极限与其子数列的极限之间的关系。 3. 理解极限的唯一性定理.
4. 收敛数列的有界性定理. 第四节函数的极限 1.自变量趋于有限值时函数的极限 2.自变量趋于无穷大时函数的极限 第五节无穷小与无穷大 1. 理解无穷小、无穷大 2. 有限个无穷小量的和为无穷小量. 3. 无穷小量与有界函数的积为无穷小量. 4. 有限个无穷小量的积为无穷小量 第六节极限运算法则 1.掌握极限四则运算法 2.掌握复合函数极限四则运算法则 第七节极限存在准则 两个重要极限 1. 理解极限存在的夹逼准则. 2. 了解单调有界数列必有极限的原理 3. 会用两个重要极限求极限 第八节无穷小的比较 1. 理解无穷小的阶的概念 2. 会用等价无穷小求极限 第九节函数的连续性与间断点 1. 理解函数在一点连续和在一个区间上连续的概念. 2. 了解间断点的概念. 3. 会判别间断点的类型 第十节连续函数的运算与初等函数的连续性 1. 了解连续函数的和﹑积﹑商的连续性. 2. 反函数与复合函数的连续性 3. 了解初等函数的连续性. 第十一节闭区间上连续函数的性质 1. 了解最大最小值定理. 2. 了解介值定理. 第二章 导数与微分12课时 第一节导数的概念 1．理解导数的概念。 2．理解导数的几何意义。 3．理解函数的可导性与连续性之间的关系。
微积分在物理学上的应用
微积分在物理学上的应用 1 引言 微积分就是数学的一个基本学科,内容包括微分学,积分学,极限及其应用,其中微分学包括导数的运算,因此使速度,加速度等物理元素可以使用一套通用的符号来进行讨论。而在大学物理中,使用微积分去解决问题就是及其普遍的。对于大学物理问题,可就是使其化整为零,将其分成许多在较小的时间或空间里的局部问题来进行分析。只要这些局部问题分的足够小,足以使用简单,可研究的方法来解决,再把这些局部问题的结果整合起来啊,就可以得到问题的结果。而这种将问题无限的分割下去,局部问题无限的小下去的方法,即称为微分,而把这些无限个微分元中的结果进行求与的方法,即就是积分。这种解决物理问题的思想与方法即就是微积分的思想与方法。 2 微积分的基本概念及微分的物理含义 微积分就是一种数学思想,其建立在函数,实数与极限的基础上,其主要探讨的就就是连续变量。在运用微积分去解决物理问题时,可以将我们所需要得出的结果瞧成就是一个整体,再将这个整体先微分,即将其分成足够小的个体,我们可以将这个个体的变量瞧成衡量,得出个体结果后,再将其积分,即把个体的结果累积起来进行求与。例如,在我们研究匀变速直线运动时,我们就可以在其运动过程中选取一个微小的时间dt,而这一时间内的位移为dt,在每一段时间内速度的变化量非常小,可以近似忽略,那么我们就可以将这段时间内的运动近似瞧成匀速直线运动,再把每段时间内的位移相加,无限求与,就可以得出总的位移。 在物理学中,每个物理公式都就是某些物理现象与规律的数学表示,因此,我们在使用这些公式时,面对物理量与公式的微分形式我们不能仅仅从数学方面去考虑,更要从物理含义上去考虑。在我们使用微分符号时,不能只从数学角度去理解其为无限小,更要结合具体 的物理量与角度去判断她的正确含义。 例:如图所示,一通有交流电流i=的长直导线旁有一共面的单匝矩形线圈ABCD,试求线圈中的感应电动势大小。 解:设在某个时刻,长直导线电流产生的磁场为 B= 在图中做一个微元面dS,dS=ldx,则该面元上的磁场可以近似于均匀磁场,微元面dS上的磁通量为 d 线圈围成的面上通过的磁通量为