23.1_图形的旋转练习题

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图形的旋转(八大题型提分练)(原卷版)

23.1图形的旋转（八大题型提分练）题型一、生活中的旋转现象1．（23-24·全国·假期作业）下列现象属于旋转的是（）A ．摩托车在急刹车时向前滑动B ．电梯上下运动的过程C ．幸运大转盘转动的过程D ．笔直的铁轨上飞驰而过的火车2．（23-24九年级上·广东珠海·期中）下列现象中属于旋转的有（填序号）①火车在笔直行驶；②荡秋千运动；③地下水位下降；④钟摆的运动；⑤圆规画圆．题型二、由图形旋转而成的图案3．（23-24·河南郑州·期中）小林想要通过一步全等图形变换从左边的等腰直角三角形得到右边的等腰直角三角形，下列说法正确的个数是（）①DEF 可由ABC V 沿AD 方向平移一定的距离得到；②DEF 可由BAC绕点N 顺时针旋转一定的角度得到；③DEF 可由BCA V 沿直线MN 翻折得到；④DEF 不可由BCA V 通过一次图形变换得到．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4．（2024·吉林松原·一模）如图，该图形绕其中心旋转能与其自身完全重合，则其旋转角最小为°．题型三、旋转的三要素5．（23-24·广东佛山·期末）如图，在126⨯的网格纸中，ABC V 的三个顶点都在格点上，以某个格点为旋转中心，ABC V 旋转180︒后得到A B C ''' ，则旋转中心是（）A ．点PB ．点C 'C ．点QD ．点R6．（2024·福建厦门·模拟预测）如图，将ABC V 绕点B 顺时针旋转至DBE ．下列角中，是旋转角的是（）A ．ABD ∠B ．DBC ∠C ．ABC ∠D ．ABE∠7．（2023·吉林白山·一模）如图所示的图案绕其中心旋转x ︒后能与自身完全重合，则x 的最小值是．题型四、旋转与角的计算与证明8．（2024·天津·中考真题）如图，ABC V 中，30B ∠= ，将ABC V 绕点C 顺时针旋转60o 得到DEC ，点,A B 的对应点分别为,D E ，延长BA 交DE 于点F ，下列结论一定正确的是（）A ．ACB ACD ∠=∠B ．AC DE∥C ．AB EF=D ．BF CE ⊥9．（2024·辽宁大连·模拟预测）如图，ABC V 中，90ACB ∠=︒，40ABC ∠=︒．将ABCV 绕点B 逆时针旋转得到A BC ''△，使点C 的对应点C '恰好落在边AB 上，则AA C ''∠的度数是（）A ．120︒B ．70︒C ．40°D ．20°10．（23-24七年级下·四川宜宾·期末）如图，在等边ABC V 中，点D 是BC 边上的点，以A 为边作等边ADE V ，连结BE ．(1)填空：ABE 可以看成△________以点________为旋转中心，________时针旋转________度得到；(2)若42DAC ∠=︒，求AEB ∠的度数．题型五、旋转与线段的计算与证明11．（2024·四川广元·中考真题）如图，将ABC V 绕点A 顺时针旋转90︒得到ADE V ，点B ，C 的对应点分别为点D ，E ，连接CE ，点D 恰好落在线段CE 上，若3CD =，1BC =，则AD 的长为（）AB C ．2D ．12．（22-23九年级上·江西南昌·阶段练习）如图，D 为等边ABC V 内一点，将线段AD 绕点A 逆时针旋转60︒，得到线段AE ，连接BD CE ，．(1)求证：ABD ACE ≌△△；(2)连接DE ，若115ADB ∠=︒，直接写出CED ∠的度数．13．（23-24九年级下·江苏盐城·期中）如图，点E 为正方形ABCD 内一点，90AEB ∠=︒，将Rt ABE △绕点B 按顺时针方向旋转90︒，得到CBF V ．延长AE 交CF 于点G ，连接DE ．(1)试判断四边形BEGF 的形状，并说明理由；(2)若2BE =，1CG =，求DE ．14．（23-24·陕西西安·期中）如图，在等腰直角ABC V 中，90ACB ∠=︒，D 为AB 边上一点，连接CD ，将CD 绕点C 逆时针旋转90︒到CE ，连接AE ．(1)求证：AE DB =．(2)若=AD BD =，求四边形AECD 的面积．题型六、旋转与图形的坐标15．（23-24·广西贵港·期末）在平面直角坐标系中，以原点为中心，若将点()4,5Q 按逆时针方向旋转90︒得到点P ，则P 的坐标是（）A ．()5,4-B ．()4,5--C ．()5,4--D ．()5,4-16．（2024·山东青岛·模拟预测）如图，将ABC V 先向下平移3个单位，再绕原点O 按逆时针方向旋转90°，得到A B C ''' ，则点C 的对应点C '的坐标是（）A ．()1,3-B ．()4,2-C ．0,2D ．()1,3-17．（23-24·辽宁沈阳·阶段练习）如图，已知点A 、B 、C 的坐标分别为(1,0)、(4,2)、(2,4)．(1)将ABC V 沿着x 轴向左平移5个单位后得到111A B C △，请画出111A B C △；并写出C 的对应点1C 的坐标______(2)将ABC V 绕着O 顺时针旋转90°后得到222A B C △，请画出222A B C △；并写出A 的对应点2A 坐标______(3)将线段AB 绕着某个定点旋转180°后得到11B A （其中点A 的对应点为点1B ，点B 的对应点为点1A ），则这个定点的坐标是______题型七、旋转与坐标变化规律18．（23-24·甘肃白银·期末）如图，在直角坐标系中，已知点()3,0A -，()0,4B ，对OAB △连续作旋转变换，依次得到1234,,,,⋅⋅⋅△△△△，则2020△的直角顶点的坐标为（）A ．()8076,0B ．128076,5⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．()8065,0D ．128065,5⎛⎫ ⎪⎝⎭19．（23-24·河北邯郸·期末）如图，在平面直角坐标系中，将正方形OABC 绕点O逆时针旋转45︒后得到正方形111OA B C ，依此方式，绕点O 连续旋转2024次得到正方形202420242024OA B C ，如果点A 的坐标为()1,0A ，那么点2024B 的坐标为（）A ．B ．(C ．()1,1D ．−1,120．（23-24·广东广州·期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD 的顶点A ，B分别在y 轴正半轴、x 轴正半轴上，顶点C ，D 在第一象限，已知1OA OB ==，BC =ABCD 绕点O 逆时针旋转，每次旋转90︒，则第2025次旋转结束时，点C 的坐标是（）A ．()3,2B ．−2,3C ．()3,2--D ．−3,2题型八、旋转的几何综合问题21．（23-24·山东威海·期中）已知：正方形ABCD 中，45MAN ∠=︒，MAN ∠绕点A 顺时针旋转，它的两边分别交CB DC ，（或它们的延长线）于点M ，N ，当MAN ∠绕点A 旋转到BM DN =时（如图1），易证BM DN MN +=．(1)当MAN ∠绕点A 旋转到BM DN ≠时（如图2），上面的结论还成立吗？说明理由．(2)当MAN ∠绕点A 旋转到如图3的位置时，线段BM DN ，和MN 之间又有怎样的数量关系？说明理由．(3)图3中，若3AB =，5MN =，求AMN 的面积为．22．（23-24·江西鹰潭·期中）将矩形ABCD 绕点A 顺时针旋转()0360αα<< ，得到矩形AEFG ．(1)在图中，点E 在BD 上，EF 与DA 交于点H ，求证：HDE V 是等腰三角形；(2)如图，连接DF ，当点E 在BD 上时，求证：FD AE =；(3)当GC GB =时，求旋转角α．23．（23-24·四川眉山·期末）（1）【案例展示】如图1，点E 、F 分别在正方形ABCD 的边BC 、CD 上，45EAF ∠=︒，连接EF ，则EF BE DF =+，理由如下：∵AB AD =，可把ABE 绕点A 逆时针旋转90︒至ADG △，可使AB 与AD 重合，∵90ADC B ADG ∠=∠=∠=︒，∴180FDG ∠=︒，点F 、D 、G 共线，由旋转得：ABE ADG ≌△△，∴AE AG =，BE DG =，BAE DAG ∠=∠，而904545BAE DAF BAD EAF ∠+∠=∠-∠=︒-︒=︒，∴45DAG DAF EAG ∠+∠=∠=︒，即EAF FAG ∠=∠，∴________AFG ≌ ，根据是________（第一空填三角形，第二空填全等的依据），∴EF FG =，又∵FG DG DF =+，∴EF DG DF BE DF =+=+．（2）【类比引申】如图2，四边形ABCD 中，AB AD =，90BAD ∠=︒，点E 、F 分别在边BC 、CD 上，45EAF ∠=︒．若B ∠、D ∠都不是直角时，EF BE DF =+仍成立，则B ∠与D ∠应该满足什么数量关系是______．（3）【拓展运用】如图3，在ABC V 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，点D 、E 均在边BC 上，且45DAE =︒∠．猜想BD 、DE 、EC 应满足的等量关系，并写出推理过程．一、单选题1．（2024·河南·三模）把边长为5的正方形ABCD 绕点A 顺时针旋转45︒得到正方形AB C D '''，边BC 与D C '交于点O ，则四边形ABOD '的周长是（）A ．B ．10C ．D ．5+2．（23-24·江苏扬州·期末）如图，边长为4的正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转60︒得到正方形AEFG ，连接CF ，则CF 的长是（）A ．4B ．C ．D ．43．（2024·天津·三模）如图，将ABC V 沿射线BC 的方向平移，得到A B C ''' ，再将A B C ''' 绕点A '逆时针旋转一定角度后，得到A CD '△，点B 的对应点为C ，点C '的对应点为点D ，则下列结论不一定正确的是（）A ．∥A D BC 'B ．BB CC ''=C ．''B A C CAD ∠='∠'D ．CA '平分BCD ∠4．（23-24·广东深圳·期末）已知P 是等边三角形ABC 的边BC 上的一点，若106APC ∠=︒，在以线段AP ，BP ，CP 长度为边长的三角形中，最小内角的度数是（）A ．13︒B ．15︒C ．16︒D ．14︒二、填空题5．（23-24·辽宁大连·期末）如图，在四边形ABCD 中，将边AB 绕点A 逆时针旋转90︒交CD 于点E ．若AD BC ∥，45C ∠=︒，3AD =，则CE =．6．（2024·天津南开·三模）如图，将矩形ABCD 绕点B 顺时针旋转90︒至矩形EBGF 的位置，连接AC ，BF ，取AC ，BF 的中点M ，N ，连接MN ，若4AB =，3BC =．（1）AC 的长度为；（2）MN 的长度为．7．（23-24·宁夏中卫·期末）如下图在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，30B ∠=︒，23AC =P 是BC 边上一动点，连接AP ，把线段AP 绕点A 逆时针旋转60︒到线段AQ ，连接CQ ，则线段CQ 的最小值为．8．（20-21九年级上·黑龙江·期中）如图，将边长为1的正三角形AOP 沿x 轴正方向作无滑动的连续反转，点P 依次落在点1P ，2P ，32020P P ⋅⋅⋅的位置，则点2020P 的坐标为．三、解答题9．（23-24·四川成都·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点()1,1A ，现将点A 按下列步骤完成两次运动：第一次：将点A 先向右平移()0m m >个单位长度，得到点A '，再将点A '绕原点O 逆时针旋转90︒得到点1A ；第二次：将点A 先绕原点O 逆时针旋转90︒得到点A ''，再将点A ''向右平移()0m m >个单位长度，得到点2A ．(1)当1m =时，请直接写出点1A 和点2A 的坐标；(2)用含m 的代数式表示点1A 和点2A 的坐标，并求出当124A A =时m 的值；(3)当点A 在12OA A △的内部时，请直接写出m 的取值范围．10．（23-24·安徽安庆·期末）如图1，在矩形纸片ABCD 中，3AB =，对角线5AC =．(1)求AD 的长；(2)在CD 上选取一点E ，沿着AE 将ADE V 剪下后绕ADE V 的一个顶点转动．①如图2，当1DE =时，将ADE V 绕点E 转动至FGE △的位置，此时点G 在CE 上，连接DF ，H 为DF 的中点，连接GH ，求GH 的长；②如图3，将ADE V 绕点A 转动至APQ △的位置，此时点P 在AC 上，连接CQ ．当32AE =求CQ 的长．11．（2024·海南·模拟预测）如图1，在正方形ABCD 内作45,EAF AE ∠= 交BC 于点,E AF 交CD 于点F ，连接EF ，将ADF △绕点A 顺时针旋转90 得到ABG ．(1)求证：AGE AFE ≌；(2)若2,3BE DF ==，求AEF △的面积；(3)如图2，连接BD 交AE 于点M ，交AF 于点N ．求证：222BM DN MN +=．12．（23-24·江苏扬州·期末）如图，正方形ABCD 的边长为4，点E 从点B 出发沿线段BC 运动，到达C 点时运动停止，以点E 为中心，将线段EA 绕着点E 顺时针旋转90︒，得到线段EF ．(1)过点F 作FG BC ⊥于点G ，求证：BE FG =；(2)连接AF 交CD 于点H ，连接EH ， ECH 的周长是否随点E 的运动而变化，如不变，求 ECH 的周长，如变，请说明理由；(3)试求在整个运动过程中，点F 的运动路径长．13．（17-18·四川成都·期末）如图1，在Rt ABC ∆中，90C ∠=°，AC BC =，点D ，E 分别在边AC ，BC 上，CD CE =，连接A ，点F ，P ，G 分别为AB BD DE ，，的中点.(1)如图1中，线段PF 与PG 的数量关系是_____，位置关系是_____；(2)若把CDE 绕点C 逆时针方向旋转到图2的位置，连接AD BE GF ，，，判断FGP 的形状，并说明理由；(3)若把CDE 绕点C 在平面内自由旋转，83AC CD ==，，请求出FGP 面积的最大值.。

23.1 图形的旋转(9大题型)

23.1 图形的旋转旋转的概念将一个图形绕一个定点转动一定的角度，这样的图形运动称为图形的旋转.定点称为旋转中心，旋转的角度称为旋转角.注意：旋转的三要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度；图形的旋转不改变图形的形状、大小.题型1：旋转中的概念及对应元素1.下列运动中，属于旋转运动的是（）A．小明向北走了4 米B．一物体从高空坠下C．电梯从1 楼到12 楼D．小明在荡秋千【变式1-1】如图，线段AB绕着点O旋转一定的角度得线段A'B'，下列结论错误的是（）A．AB＝A'B'B．∠AOA'＝∠BOB'C．OB＝OB'D．∠AOB'＝100°【变式1-2】如图（1）中，△和△都是等腰直角三角形，∠和∠都是直角，点在上，△绕着点经过逆时针旋转后能够与△重合，再将图（1）作为“基本图形”绕着点经过逆时针旋转得到图（2）.两次旋转的角度分别为（）A．45°，90°B．90°，45°C．60°，30°D．30°，60°旋转的性质一个图形和它经过旋转所得到的图形中：(1)对应点到旋转中心的距离相等； (2)两组对应点分别与旋转中心连线所成的角相等.　注意：图形绕某一点旋转，既可以按顺时针旋转也可以按逆时针旋转.题型2：旋转的性质及旋转中心的确定2.如图，△DEF是由△ABC绕着某点旋转得到的，则这点的坐标是( )A．(1，1)B．(0，1)C．(-1，1)D．(2，0)【变式2-1】如果一个图形绕着一个点至少需要旋转72°才能与它本身重合，则下列说法正确的是（）A．这个图形一定是中心对称图形B．这个图形可能是中心对称图形C．这个图形旋转216°后能与它本身重合D．以上都不对【变式2-2】如图，四边形OABC绕点O旋转得到四边形ODEF，如果∠AOC＝40°，∠COD＝50°，那么：（1）这个图形的旋转中心是；（2）旋转的角是；（3）点A的对应点是，线段OC的对应线是．题型3：求旋转角度3.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，将△ABC绕点C逆时针旋转90°得到△DEC，则∠AED的度数为（）A．105°B．120°C．135°D．150°【变式3-1】如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，将△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到的△AB′C′（点B的对应点是点B′，点C的对应点是点C′），连接CC′．若∠CC′B′＝20°，则∠B的大小是（）A．70°B．65°C．60°D．55°【变式3-2】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=α，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转后得到△DEC，此时点E在AB边上，则旋转角的大小为（）A．αB．2αC．90°−αD．90°−2α题型4：求旋转变换中的线段长度4.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC=30°，AC＝3，将Rt△ABC绕点A逆时针旋转得到Rt△AB'C'，连接BB'，则BB'的长度是（）A．1B．3C．3D．23【变式4-1】如图，将矩形ABCD绕点B按顺时针方向旋转一定角度得到矩形ABCD．此时点A的对应点A恰好落在对角线AC的中点处．若AB＝3，则点B与点D之间的距离为（）A．3B．6C．33D．63A．10B．213C．234D．45题型5：利用旋转求阴影部分面积5.如图，将正方形纸片ABCD绕着点A按逆时针方向旋转30º后得到正方形AB´C´D´，若AB=23cm，则图中阴影部分的面积为（）A．6c m2B．(12−63)c m2C．33c m2D．43c m2【变式5-1】如图，等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6cm，将△ABC绕点A顺时针旋转15°后得到△AB′C′，则图中阴影部分的面积是 cm2．A．8B．9C．16D．18旋转的作图在画旋转图形时，首先确定旋转中心，其次确定图形的关键点，再将这些关键点沿指定的方向旋转指定的角度，然后连接对应的部分，形成相应的图形．注意：　作图的步骤：(1)连接图形中的每一个关键点与旋转中心；(2)把连线按要求（顺时针或逆时针）绕旋转中心旋转一定的角度（旋转角）；(3)在角的一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点；(4)连接所得到的各对应点.题型6：旋转的作图6.分别画出△ABC绕点O逆时针旋转90°和180°后的图形．【变式6-1】如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（2，4），B（1，1），C（4，3）．（1）请画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点A1的坐标．（2）请画出△ABC绕点B逆时针旋转90°后的△A2BC2，并写出点A2的坐标．【变式6-2】如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（4.2）．C（3.4）⑴请画出将△ABC向左平移6个单位长度后得到的图形△A1B1C1；⑵请画出△ABC绕原点O顺时针旋转90°的图形△A2B2C2；⑶△A2B2C2可看成将△A1B1C1以某点为旋转中心旋转而得，则旋转中心的坐标是▲．题型7：以等边三角形为背景的旋转问题7.如图，△ABD，△AEC都是等边三角形，线段BE与DC有怎样的数量关系？请用旋转的性质说明上述关系成立的理由．【变式7-1】如图，点O是等边三角形ABC内的一点，∠BOC=150°，将△BOC绕点C按逆时针旋转得到△ADC，连接OD，OA．（1）求∠ODC的度数；（2）若OB=2，OC=3，求AO的长．【变式7-2】如图，已知等边三角形ABC，O为△ABC内一点，连接OA，OB，OC，将△BAO绕点B旋转至△BCM.（1）依题意补全图形；（2）若OA= 2，OB= 3，OC=1，求∠OCM的度数.题型8：以正方形为背景的旋转问题8.在正方形ABCD中，∠EDF=45°，求证：EF=AE+CF．【变式8-1】如图所示，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点且∠AEF=90°，EF交正方形外角平分线CF于点F，取边AB的中点G，连接EG．（1）求证：EG=CF；（2）将△ECF绕点E逆时针旋转90°，请在图中直接画出旋转后的图形，并指出旋转后CF与EG的位置关系．【变式8-2】如图，在正方形ABCD中，E为CD边上一点，F为BC延长线上一点，且CE＝CF，连接EF（1）若∠FDC＝30°，求∠BEF的度数；（2）BE与DF之间有怎样的关系？并说明理由题型9：旋转中的最值问题9.如图，在RtΔABC中，∠ACB=90°，将ΔABC绕顶点C逆时针旋转得到△A′B′C，M 是BC的中点，P是A′B′的中点，连接PM．若BC=2，∠BAC=30°，则线段PM的最大值是（）A．4B．3C．2D．1【变式9-1】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AC=43，BC的中点为D，将△ABC 绕点C顺时针旋转任意一个角度得到△FEC，EF的中点为G，连接DG．在旋转过程中，求DG 的最大值和最小值．【变式9-2】如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=1，P是△ABC内一点，求PA+PB+PC的最小值．一、单选题1．如图，正方形ABCD中，点O为对角线的交点，直线EF过点O分别交AB，CD于E，F两点（BE>EA），若过点O作直线与正方形的一组对边分别交于G，H两点，满足GH=EF，则这样的直线GH（不同于直线EF）的条数共有（）A．1条B．2条C．3条D．无数条2．如图，在方格中的四叶风车，其中一个叶轮至少旋转( )度才能与相邻的叶轮重合。

2019-2020人教版九上数学23.1图形的旋转培优专题(含答案)

2019-2020图形的旋转培优专题（含答案）一、单选题1．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，∠A=60°，AC=6，将△ABC 绕点C 按逆时针方向旋转得到△A'B'C'，此时点A'恰好在AB 边上，则点B'与点B 之间的距离为（）A ．12B ．6C ．62D ．632．如图，在正方形ABCD 中，AB=3，点M 在CD 的边上，且DM=1，ΔAEM 与ΔADM 关于AM 所在的直线对称，将ΔADM 按顺时针方向绕点A 旋转90°得到ΔABF ，连接EF ，则线段EF 的长为（）A.3B.23C.13D.153．如图，在ABC 中，65CAB ∠=，将ABC 在平面内绕点A 旋转到''AB C 的位置，使'//CC AB ，则旋转角的度数为（）A.35B.40C.50D.654．如图直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AD=2，BC=3，将腰CD 以D 为中心逆时针旋转90°至ED ，连AE 、CE ，则△ADE 的面积是（）A.1B.2C.3D.不能确定5．如图，已知菱形OABC 的顶点O （0，0），B （2，2），若菱形绕点O 逆时针旋转，每秒旋转45°，则第60秒时，菱形的对角线交点D 的坐标为( )A.(1，-1)B.(-1，-1)C.(2，0)D.(0，-2)6．点P 是正方形ABCD 边AB 上一点(不与A ，B 重合)，连接PD 并将线段PD 绕点P 顺时针旋转90°，得线段PE ，连接BE ，则∠CBE 等于( )A ．75°B ．60°C ．45°D ．30°7．如图所示，将一个含30°角的直角三角板ABC 绕点A 旋转，使得点B ，A ，C′在同一直线上，则三角板ABC旋转的度数是（）A．60°B．90°C．120°D．150°8．如图，把边长为1的正方形ABCD绕顶点A逆时针旋转30°到正方形AB′C′D′，则它们的公共部分的面积等于（）A.3B.33C.332D.329．如图，将两个大小、形状完全相同的△ABC和△A′B′C′拼在一起，其中点A′与点A重合，点C′落在边AB上，连接B′C．若∠ACB=∠AC′B′=90°，AC=BC=3，则B′C的长为（）A．B．6 C．D．10．如图，将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△ADE，点C的对应点E恰好落在BA的延长线上，DE与BC交于点F，连接BD．下列结论不一定正确的是（）A.AD=BDB.AC∥BDC.DF=EFD.∠CBD=∠E11．如图，在△ABC中，∠CAB=65°，将△ABC在平面内绕点A旋转到△AB′C′的位置，使CC′∥AB，则旋转角的度数为（）A．30°B．40°C．50°D．65°12．如图，将矩形ABCD 绕点A 顺时针旋转到矩形AB′C′D′的位置，旋转角为α(0°＜α＜90°)．若∠1＝112°，则∠α的大小是( )A．68°B．20°C．28°D．22°二、填空题13．如图，在矩形ABCD中，AD=3，将矩形ABCD绕点A逆时针旋转，得到矩形AEFG，点B的对应点E落在CD上，且DE=EF，则AB的长为_____．14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，将Rt△ABC绕点A逆时针旋转30°后得到Rt△ADE，点B经过的路径为弧BD，则图中阴影部分的面积为_____．15．如图，平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A（﹣6，0），C（0，23）．将矩形OABC绕点O顺时针方向旋转，使点A恰好落在OB上的点A1处，则点B的对应点B1的坐标为_____．16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=6，CD是斜边AB上的中线，将△BCD沿直线CD翻折至△ECD的位置，连接AE．若DE∥AC，计算AE的长度等于_____．17．如图，△ABC中，AB=6，DE∥AC，将△BDE绕点B顺时针旋转得到△BD′E′，点D的对应点D′落在边BC上．已知BE′=5，D′C=4，则BC的长为______．18．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，将其绕点A逆时针旋转15°得到Rt△AB′C′，B′C′交AB于E，若图中阴影部分面积为23，则B′E的长为__．19．两个全等的三角尺重叠放在△ACB的位置，将其中一个三角尺绕着点C按逆时针方向旋转至△DCE的位置，使点A恰好落在边DE上，AB与CE相交于点F．已知∠ACB=∠DCE=90°，∠B=30°，AB=8cm，则CF=______cm．20．如图，在矩形ABCD中，AB=5，BC=3，将矩形ABCD绕点B按顺时针方向旋转得到矩形GBEF，点A落在矩形ABCD的边CD上，连接CE，则CE的长是________．21．已知：如图，在△AOB中，∠AOB=90°，AO=3 cm，BO=4 cm．将△AOB绕顶点O，按顺时针方向旋转到△A1OB1处，此时线段OB1与AB的交点D恰好为AB的中点，则线段B1D=__________cm．22．如图，点P 是正方形ABCD 的对角线BD 上一点，PE ⊥BC 于点E ，PF ⊥CD 于点F ，连接E ，F ．给出下列五个结论：①AP=EF ；②PD=EC ；③∠PFE=∠BAP ；④△APD 一定是等腰三角形；⑤AP ⊥EF ．其中正确结论的序号是_____．三、解答题23．已知，点P 是等边三角形△ABC 中一点，线段AP 绕点A 逆时针旋转60°到AQ ，连接PQ 、QC ．（1）求证：PB ＝QC ；（2）若PA ＝3，PB ＝4，∠APB ＝150°，求PC 的长度．24．如图，在ABC 中，ACB 90∠=，AC BC =，D 是AB 边上一点，点D 与A ，B 不重合，连结CD，将线段CD绕点C按逆时针方向旋转90得到线段CE，连结DE交BC于点F，连接BE．（）求证：△ACD≌△BCE；1（）当AD BF2∠的度数．=时，求BEF25．如图，在四边形ABCD中，AB=AD=4，∠A=60°，BC=45，CD=8．（1）求∠ADC的度数；（2）求四边形ABCD的面积．26．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8．线段AD由线段AB绕点A按逆时针方向旋转90°得到，△EFG由△ABC沿CB方向平移得到，且直线EF过点D．（1）求∠BDF的大小；（2）求CG的长．27．在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，（1）当直线MN绕点C旋转到图（1）的位置时，显然有：DE=AD+BE；（2）当直线MN 绕点C 旋转到图（2）的位置时，求证：DE=AD ﹣BE ；（3）当直线MN 绕点C 旋转到图（3）的位置时，试问DE 、AD 、BE 具有怎样的等量关系？请直接写出这个等量关系．28．如图1，点E 是正方形ABCD 边CD 上任意一点，以DE 为边作正方形DEFG ，连接BF ，点M 是线段BF 中点，射线EM 与BC 交于点H ，连接CM ．（1）请直接写出CM 和EM 的数量关系和位置关系；（2）把图1中的正方形DEFG 绕点D 顺时针旋转45°，此时点F 恰好落在线段CD 上，如图2，其他条件不变，（1）中的结论是否成立，请说明理由；（3）把图1中的正方形DEFG 绕点D 顺时针旋转90°，此时点E 、G 恰好分别落在线段AD 、CD 上，如图3，其他条件不变，（1）中的结论是否成立，请说明理由．29．如图，在正方形ABCD 中，E 为DC 边上的点，连接BE ，将BCE 绕点C 顺时针方向旋转90得到DCF ，连结EF ，若30EBC ∠=，求EFD ∠的度数．30．如图1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，点D，E分别在边AB，AC上，AD＝AE，连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点．（1）观察猜想：图1中，线段PM与PN的数量关系是，位置关系是；（2）探究证明：把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN，BD，CE，判断△PMN的形状，并说明理由；（3）拓展延伸：把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD＝4，AB＝10，请直接写出△PMN面积的最大值．31．点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠BOC=65°．将一直角三角板的直角顶点放在点O处．（1）如图①，将三角板MON的一边ON与射线OB重合时，则∠MOC=；（2）如图②，将三角板MON绕点O逆时针旋转一定角度，此时OC是∠MOB的角平分线，求旋转角∠BON=；∠CON=．（3）将三角板MON绕点O逆时针旋转至图③时，∠NOC=5°，求∠AOM．32．四边形ABCD 是正方形，E 、F 分别是DC 和CB 的延长线上的点，且DE =BF ，连接AE 、AF 、EF ．（1）求证：△ADE ≌△ABF ；（2）若BC =12，DE =5，求△AEF 的面积．33．已知正方形ABCD 中，45MAN ∠=，MAN ∠绕点A 顺时针旋转，它的两边分别交CB 、(DC 或它们的延长线于点M 、N ，当MAN ∠绕点A 旋转到BM DN =时如图1)，则()1线段BM 、DN 和MN 之间的数量关系是______；()2当MAN ∠绕点A 旋转到BM DN ≠时（如图2)，线段BM 、DN 和MN 之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明；()3当MAN∠绕点A旋转到（如图3)的位置时，线段BM、DN和MN之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想．34．如图，D是等边三角形ABC内一点，将线段AD绕点A顺时针旋转60°，得到线段AE，连接CD，BE．（1）求证：∠AEB=∠ADC；（2）连接DE，若∠ADC=105°，求∠BED的度数．35．如图，正方形ABCD的边长为6，E，F分别是AB，BC边上的点，且，将△绕点D逆时针旋转，得到△．求证：．当时，求EF的长．参考答案1．D【解析】【分析】连接B'B，利用旋转的性质和直角三角形的性质解答即可．【详解】连接B'B，∵将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A'B'C，∴AC=A'C，AB=A'B，∠A=∠CA'B'=60°，∴△AA'C是等边三角形，∴∠AA'C=60°，∴∠B'A'B=180°-60°-60°=60°，∵将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A'B'C，∴∠ACA'=∠BAB'=60°，BC=B'C，∠CB'A'=∠CBA=90°-60°=30°，∴△BCB'是等边三角形，∴∠CB'B=60°，∵∠CB'A'=30°，∴∠A'B'B=30°，∴∠B'BA'=180°-60°-30°=90°，∵∠ACB=90°，∠A=60°，AC=6，∴AB=12，∴A'B=AB-AA'=AB-AC=6，∴B'B=63，故选D．【点睛】此题考查旋转问题，关键是利用旋转的性质和直角三角形的性质解答．2．C【解析】分析：连接BM.证明△AFE≌△AMB得FE=MB，再运用勾股定理求出BM的长即可. 详解：连接BM，如图，由旋转的性质得：AM=AF.∵四边形ABCD是正方形，∴AD=AB=BC=CD，∠BAD=∠C=90°,∵ΔAEM与ΔADM关于AM所在的直线对称，∴∠DAM=∠EAM.∵∠DAM+∠BAM=∠FAE+∠EAM=90°,∴∠BAM=∠EAF,∴△AFE≌△AMB∴FE=BM.在Rt△BCM中，BC=3，CM=CD-DM=3-1=2,∴BM=22223213+=+=BC CM∴FE=13.故选C.点睛：本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了正方形的性质．3．C【解析】分析：根据两直线平行,内错角相等可得∠ACC′=∠CAB，根据旋转的性质可得AC=AC′，然后利用等腰三角形两底角相等求∠CAC′，再根据∠CAC′、∠BAB′都是旋转角解答.详解：∵CC′∥AB，∴∠ACC′=∠CAB=65°，∵△ABC绕点A旋转得到△AB′C′，∴AC=AC′，∴∠CAC′=180°-2∠ACC′=180°-2×65°=50°，∴∠CAC′=∠BAB′=50°故选C.点睛：本题考查了旋转的性质,等腰三角形两底角相等的性质,熟记性质并准确识图是解题的关键. 4．A 【解析】【分析】如图作辅助线，利用旋转和三角形全等证明△DCG 与△DEF 全等，再根据全等三角形对应边相等可得EF 的长，即△ADE 的高，然后得出三角形的面积．【详解】如图所示，作EF ⊥AD 交AD 延长线于F ，作DG ⊥BC ，∵CD 以D 为中心逆时针旋转90°至ED ， ∴∠EDF+∠CDF=90°，DE=CD ，又∵∠CDF+∠CDG=90°， ∴∠CDG=∠EDF ，在△DCG 与△DEF 中，90CDG EDFEFD CGD DE CD ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴△DCG ≌△DEF （AAS ）， ∴EF=CG ， ∵AD=2，BC=3， ∴CG=BC ﹣AD=3﹣2=1， ∴EF=1，∴△ADE 的面积是：12×AD×EF=12×2×1=1，故选A ．【点睛】本题考查梯形的性质和旋转的性质，熟知旋转变换前后，对应点到旋转中心的距离相等、每一对对应点与旋转中心连线所构成的旋转角相等是解题的关键．同时要注意旋转的三要素：①定点为旋转中心；②旋转方向；③旋转角度．5．B【解析】试题分析：根据已知条件O（0,0），B（2,2），可求得D（1,1），OB与x轴、y轴的交角为45°，当菱形绕点O逆时针旋转，每秒旋转45°，时，8秒可旋转到原来的位置，因60÷8=7....4，所以第60秒时是第8循环的地上个位置，这时点D的坐标原来位置点D的坐标关于原点对称，所以为（-1，-1），故答案选B.考点：规律探究题.6．C【解析】【分析】过E作AB的延长线AF的垂线，垂足为F，可得出∠F为直角，先利用AAS证明△ADP≌△PEF，根据全等三角形的对应边相等可得出AD=PF，AP=EF，再由正方形的边长相等得到AD=AB，由AP+PB=PB+BF，得到AP=BF，等量代换可得出EF=BF，即三角形BEF为等腰直角三角形，可得出∠EBF为45°，再由∠CBF为直角，即可求出∠CBE的度数．【详解】过点E作EF⊥AF，交AB的延长线于点F，则∠F=90°，∵四边形ABCD为正方形，∴AD=AB，∠A=∠ABC=90°，∴∠ADP+∠APD=90°，由旋转可得：PD=PE，∠DPE=90°，∴∠APD+∠EPF=90°，∴∠ADP=∠EPF，在△APD和△FEP中∠ADP=∠FPE∠A=∠F=90°PD=EP，∴△APD≌△FEP（AAS），∴AP=EF，AD=PF，又∵AD=AB，∴PF=AB，即AP+PB=PB+BF，∴AP=BF，∴BF=EF，又∠F=91°，∴△BEF为等腰直角三角形，∴∠EBF=45°，又∠CBF=90°，则∠CBE=45°．故选C．【点睛】此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，旋转的性质，以及等腰直角三角形的判定与性质，其中作出相应的辅助线是解本题的关键．7．D【解析】试题分析：根据旋转角的定义，两对应边的夹角就是旋转角，即可求解．旋转角是∠CAC′=180°﹣30°=150°．故选：D．考点：旋转的性质．8．B【解析】分析：设CD、B′C′相交于点M，连结AM，根据旋转角的定义易得：∠BAB′=30°，根据HL易得△AB′M≌△ADM，所以公共部分面积等于△ADM面积的2倍；设DM=x，在△AMD中利用勾股定理求得DM，进而解答即可.详解：设CD、B′C′相交于点M，连结AM，设DM=x，根据旋转的性质以及正方形的性质可得AB′=AD，AM=AM，∠BAB′=30°，∠B′=∠D=90°.∵AB′=AD，AM=AM，∴△AB′M≌△ADM.∵∠BAB′=30°，∴∠MAD=30°，AM=2x.∵x2+1=4x2，∴x=33，∴S ADM′=1331236⨯⨯=,∴重叠部分的面积S ADMB′=326⨯=33．故选B.点睛：本题考查了正方形的性质，旋转的性质，含30°三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，证明△AB′M≌△ADM是解答本题的关键；9．A【解析】试题分析：∵∠ACB=∠AC′B′=90°，AC=BC=3，∴AB==，∠CAB=45°，∵△ABC和△A′B′C′大小、形状完全相同，∴∠C′AB′=∠CAB=45°，AB′=AB=，∴∠CAB′=90°，∴B′C==，故选A．考点：勾股定理．10．C【解析】【分析】由旋转的性质知∠BAD=∠CAE=60°、AB=AD，△ABC≌△ADE，据此得出△ABD是等边三角形、∠C=∠E，证AC∥BD得∠CBD=∠C，从而得出∠CBD=∠E．【详解】由旋转知∠BAD=∠CAE=60°、AB=AD，△ABC≌△ADE，∴∠C=∠E，△ABD是等边三角形，∠CAD=60°，∴∠D=∠CAD=60°、AD=BD，∴AC∥BD，∴∠CBD=∠C，∴∠CBD=∠E，则A、B、D均正确，故选C．【点睛】本题主要考查旋转的性质，解题的关键是熟练掌握旋转的性质、等边三角形的判定与性质及平行线的判定与性质．11．C【解析】试题解析：∵CC′∥AB，∴∠ACC′=∠CAB=65°，∵△ABC绕点A旋转得到△AB′C′，∴AC=AC′，∴∠CAC′=180°-2∠ACC′=180°-2×75°=30°，∴∠CAC′=∠BAB′=30°故选A．考点：旋转的性质．12．D【解析】试题解析：∵四边形ABCD为矩形，∴∠BAD=∠ABC=∠ADC=90°，∵矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形AB′C′D′的位置，旋转角为α，∴∠BAB′=α，∠B′AD′=∠BAD=90°，∠D′=∠D=90°，∵∠2=∠1=112°，而∠ABD=∠D′=90°，∴∠3=180°-∠2=68°，∴∠BAB′=90°-68°=22°，即∠α=22°．故选D．13．32【解析】【分析】根据旋转的性质知AB=AE，在直角三角形ADE中根据勾股定理求得AE长即可得.【详解】∵四边形ABCD是矩形，∴∠D=90°，BC=AD=3，∵将矩形ABCD绕点A逆时针旋转得到矩形AEFG，∴EF=BC=3，AE=AB，∵DE=EF，∴AD=DE=3，∴AE=22AD DE+=32，∴AB=32，故答案为：32.【点睛】本题考查矩形的性质和旋转的性质，熟知旋转前后哪些线段是相等的是解题的关键.14．2 3π【解析】【分析】先根据勾股定理得到AB=22，再根据扇形的面积公式计算出S扇形ABD，由旋转的性质得到Rt△ADE≌Rt△ACB，于是S阴影部分=S△ADE+S扇形ABD﹣S△ABC=S扇形ABD．【详解】∵∠ACB=90°，AC=BC=2，∴AB=22，∴S扇形ABD =()2302223603ππ⨯=，又∵Rt△ABC绕A点逆时针旋转30°后得到Rt△ADE，∴Rt△ADE≌Rt△ACB，∴S阴影部分=S△ADE+S扇形ABD﹣S△ABC=S扇形ABD=23π，故答案为：23π．【点睛】本题考查了旋转的性质、扇形面积的计算，得到S阴影部分=S扇形ABD是解题的关键. 15．（-23，6）【解析】分析：连接OB1，作B1H⊥OA于H，证明△AOB≌△HB1O，得到B1H=OA=6，OH=AB=23，得到答案．详解：连接OB1，作B1H⊥OA于H，由题意得，OA=6，AB=OC-23，则tan∠BOA=33 ABOA=，∴∠BOA=30°，∴∠OBA=60°，由旋转的性质可知，∠B1OB=∠BOA=30°，∴∠B1OH=60°，在△AOB和△HB1O，111B HO BAO B OH ABO OB OB ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝， ∴△AOB ≌△HB 1O ，∴B 1H=OA=6，OH=AB=23，∴点B 1的坐标为（-23，6），故答案为：（-23，6）．点睛：本题考查的是矩形的性质、旋转变换的性质，掌握矩形的性质、全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．16．23 【解析】【分析】根据题意、解直角三角形、菱形的性质、翻折变化可以求得AE 的长．【详解】由题意可得，DE=DB=CD=12AB ， ∴∠DEC=∠DCE=∠DCB ，∵DE ∥AC ，∠DCE=∠DCB ，∠ACB=90°， ∴∠DEC=∠ACE ，∴∠DCE=∠ACE=∠DCB=30°， ∴∠ACD=60°，∠CAD=60°，∴△ACD是等边三角形，∴AC=CD，∴AC=DE，∵AC∥DE，AC=CD，∴四边形ACDE是菱形，∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=6，∠B=30°，∴AC=23，∴AE=23．故答案为23．【点睛】本题考查翻折变化、平行线的性质、直角三角形斜边上的中线，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．17．234+．【解析】解：由旋转可得，BE=BE'=5，BD=BD'，∵D'C=4，∴BD'=BC﹣4，即BD=BC﹣4，∵DE∥AC，∴BD BEBA BC=，即456BCBC-=，解得BC=234+（负值已舍去），即BC的长为234+．故答案为：234+．点睛：本题主要考查了旋转的性质，解一元二次方程以及平行线分线段成比例定理的运用，解题时注意：对应点到旋转中心的距离相等．解决问题的关键是依据平行线分线段成比例定理，列方程求解．18．23﹣2【解析】【分析】求出∠C′AE=30°，推出AE=2C′E，AC′=3C′E，根据阴影部分面积为23得出12×C′E×3C′E=23，求出C′E=2，即可求出C′B′，即可求出答案．【详解】解：∵将Rt△ACB绕点A逆时针旋转15°得到Rt△AB′C′，∴△ACB≌△AC′B′，∴AC=AC′，CB=C′B′，∠CAB=∠C′AB′，∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，∴∠CAB=45°，∵∠CAC′=15°，∴∠C′AE=30°，∴AE=2C′E，AC′=3C′E，∵阴影部分面积为23，∴12×C′E×3C′E=23，C′E=2，∴AC=BC=C′B′=3C′E=23，∴B′E=23-2，故答案为：23-2．【点睛】本题考查了旋转的性质，含30度角的直角三角形性质，勾股定理，等腰三角形的性质的应用，主要考查学生的推理和计算能力．19．【解析】试题解析∵将其中一个三角尺绕着点C按逆时针方向旋转至△DCE的位置，使点A恰好落在边DE 上，∴DC=AC，∠D=∠CAB，∴∠D=∠DAC，∵∠ACB=∠DCE=90°，∠B=30°，∴∠D=∠CAB=60°，∴∠DCA=60°，∴∠ACF=30°，可得∠AFC=90°，∵AB=8cm，∴AC=4cm，∴FC=4cos30°=2cm．【点睛】此题主要考查了旋转的性质以及直角三角形的性质，正确得出∠AFC的度数是解题关键．20．【解析】解：连接AG，由旋转变换的性质可知，∠ABG=∠CBE，BA=BG=5，BC=BE，由勾股定理得，CG==4，∴DG=DC﹣CG=1，则AG==，∵，∠ABG=∠CBE，∴△ABG∽△CBE，∴，解得，CE=，故答案为：．点睛：本题考查的是翻转变换的性质、相似三角形的判定和性质，掌握勾股定理、矩形的性质、旋转变换的性质是解题的关键．21．1.5【解析】试题解析：∵在△AOB中，∠AOB=90°，AO=3cm，BO=4cm，∴AB=22OA OB=5cm，∵点D为AB的中点，∴OD=12AB=2.5cm．∵将△AOB绕顶点O，按顺时针方向旋转到△A1OB1处，∴OB1=OB=4cm，∴B1D=OB1﹣OD=1.5cm．故答案为：1.5．22．①③⑤【解析】【分析】可以作PG⊥AB，证明△APG≌△FEP即可. 【详解】如图，作PG⊥AB，易知PG=PE，且AG=EC=FP，则△APG≌△FEP，所以AP=EF，∠PFE=∠BAP，运用旋转的知识易知AP⊥EF，所以正确结论的序号是①③⑤.【点睛】做辅助线证明全等是解题的关键.23．（1）证明见解析；（2）5.【解析】【分析】（1）直接利用旋转的性质可得AP=AQ，∠P AQ=60°，然后根据“SAS”证明△BAP≌△CAQ，结合全等三角形的性质得出答案；（2）由△APQ是等边三角形可得AP=PQ=3，∠AQP=60°，由全等的性质可得∠AQC =∠APB=150°,从而可求∠PQC=90°，然后根据勾股定理求PC的长即可.直接利用等边三角形的性质结合勾股定理即可得出答案．【详解】（1）证明：∵线段AP绕点A逆时针旋转60°到AQ，∴AP=AQ，∠PAQ=60°，∴△APQ是等边三角形，∠PAC+∠CAQ=60°，∵△ABC是等边三角形，∴∠BAP+∠PAC=60°，AB=AC，∴∠BAP=∠CAQ ，在△BAP 和△CAQ 中，∴△BAP ≌△CAQ （SAS ）， ∴PB=QC ；（2）解：∵由（1）得△APQ 是等边三角形， ∴AP=PQ=3，∠AQP=60°， ∵∠APB=150°，∴∠PQC=150°﹣60°=90°， ∵PB=QC ， ∴QC=4，∴△PQC 是直角三角形，∴PC===5．【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质与判定，全等三角形的判定与性质，勾股定理.证明△BAP ≌△CAQ 是解（1）的关键，证明∠PQC =90°是解（2）的关键. 24．()1证明见解析；()2BEF 67.5∠=. 【解析】【分析】()1由题意可知：CD CE =，DCE 90∠=，由于ACB 90∠=，从而可得ACD BCE ∠∠=，根据SAS 即可证明ACD ≌BCE ；()2由ACD ≌()BCE SAS 可知：A CBE 45∠∠==，BE BF =，从而可求出BEF ∠的度数．【详解】()1由题意可知：CD CE =，DCE 90∠=，ACB 90∠=，ACD ACB DCB ∠∠∠∴=-，BCE DCE DCB ∠∠∠=-，ACD BCE ∠∠∴=，在ACD 与BCE 中，AC BCACD BCE CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ACD ∴≌()BCE SAS ；()2ACB 90∠=，AC BC =，A 45∠∴=，由()1可知：A CBE 45∠∠==，AD BF =， BE BF ∴=，BEF 67.5∠∴=.【点睛】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练运用旋转的性质以及全等三角形的判定与性质．25．(1) 150°；(2)43+16【解析】试题分析：（1）连接BD，首先证明△ABD是等边三角形，可得∠ADB=60°，DB=4，再利用勾股定理逆定理证明△BDC是直角三角形，进而可得答案；（2）过B作BE⊥AD，利用三角形函数计算出BE长，再利用△ABD的面积加上△BDC的面积可得四边形ABCD的面积．试题解析：（1）连接BD，∵AB=AD，∠A=60°，∴△ABD是等边三角形，∴∠ADB=60°，DB=4，∵42+82=（4）2，∴DB2+CD2=BC2，∴∠BDC=90°，∴∠ADC=60°+90°=150°；（2）过B作BE⊥AD，∵∠A=60°，AB=4，∴BE=AB•sin60°=4×32=23，∴四边形ABCD的面积为：12AD•EB+12DB•CD=12×4×23+12×4×8=43+16．26．（1）45°；（2）12.5.【解析】【分析】（1）由旋转的性质得，AD=AB=10，∠ABD=45°，再由平移的性质即可得出结论；（2）先判断出∠ADE=∠ACB，进而得出△ADE∽△ACB，得出比例式求出AE，即可得出结论．【详解】（1）∵线段AD是由线段AB绕点A按逆时针方向旋转90°得到，∴∠DAB=90°，AD=AB=10，∴∠ABD=45°，∵△EFG是△ABC沿CB方向平移得到，∴AB∥EF，∴∠BDF=∠ABD=45°；（2）由平移的性质得，AE∥CG，AB∥EF，∴∠DEA=∠DFC=∠ABC，∠ADE+∠DAB=180°，∵∠DAB=90°，∴∠ADE=90°，∵∠ACB=90°，∴∠ADE=∠ACB，∴△ADE∽△ACB，∴AD AE AC AB，∵AB=8，AB=AD=10，∴AE=12.5，由平移的性质得，CG=AE=12.5．【点睛】此题主要考查了图形的平移与旋转，平行线的性质，等腰直角三角形的判定和性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，判断出△ADE∽△ACB是解本题的关键．27．（1）详见解析；（2）详见解析；（3）DE=BE﹣AD．【解析】【分析】（1）利用垂直的定义得∠ADC=∠CEB=90°，则根据互余得∠DAC+∠ACD=90°，再根据等角的余角相等得到∠DAC=∠BCE ，然后根据“AAS”可判断△ADC ≌△CEB ，所以CD=BE ，AD=CE ，再利用等量代换得到DE=AD+BE ；（2）与（1）一样可证明△ADC ≌△CEB ，则CD=BE ，AD=CE ，于是有DE=CE ﹣CD=AD ﹣BE ；（3）与（1）一样可证明△ADC ≌△CEB ，则CD=BE ，AD=CE ，于是有DE=CD ﹣CE=BE ﹣AD ．【详解】(1)∵AD ⊥MN ，BE ⊥MN ， ∴∠ADC=∠CEB=90°， ∴∠DAC+∠ACD=90°， ∵∠ACB=90°， ∴∠BCE+∠ACD=90°， ∴∠DAC=∠BCE ，在△ADC 和△CEB ，ADC CEB DAC ECB AC CB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ADC ≌△CEB （AAS ）， ∴CD=BE ，AD=CE ， ∴DE=CE+CD=AD+BE ；(2)与(1)一样可证明△ADC ≌△CEB ， ∴CD=BE ，AD=CE ， ∴DE=CE ﹣CD=AD ﹣BE ；(3)DE=BE﹣AD．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”，根据实际情况选择合适的方法证明△ADC≌△CEB是解决问题的关键．28．（1）CM=EM，CM⊥EM，理由见解析；（2）（1）中的结论成立，理由见解析；（3）（1）中的结论成立，理由见解析.【解析】分析：（1）延长EM交AD于H，证明△FME≌△AMH，得到HM=EM，根据等腰直角三角形的性质可得结论；（2）根据正方形的性质得到点A、E、C在同一条直线上，根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半证明即可；（3）根据题意画出完整的图形，根据平行线分线段成比例定理、等腰三角形的性质证明即可．详解：（1）如图1，结论：CM=EM，CM⊥EM．理由：∵AD∥EF，AD∥BC，∴BC∥EF，∴∠EFM=∠HBM，在△FME和△BMH中，EFM MBH FM BMFME BMH ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝，， ∴△FME ≌△BMH ， ∴HM=EM ，EF=BH ， ∵CD=BC ，∴CE=CH ，∵∠HCE=90°，HM=EM ， ∴CM=ME ，CM ⊥EM ．（2）如图2，连接AE ，∵四边形ABCD 和四边形EDGF 是正方形， ∴∠FDE=45°，∠CBD=45°， ∴点B 、E 、D 在同一条直线上，∵∠BCF=90°，∠BEF=90°，M 为AF 的中点，∴CM=12AF ，EM=12AF ， ∴CM=ME ， ∵∠EFD=45°， ∴∠EFC=135°，∵CM=FM=ME ，∴∠MCF=∠MFC ，∠MFE=∠MEF ， ∴∠MCF+∠MEF=135°， ∴∠CME=360°-135°-135°=90°， ∴CM ⊥ME ．（3）如图3，连接CF ，MG ，作MN ⊥CD 于N ，在△EDM 和△GDM 中，DE DG MDE MDG DM DM ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝， ∴△EDM ≌△GDM ，∴ME=MG ，∠MED=∠MGD ， ∵M 为BF 的中点，FG ∥MN ∥BC ， ∴GN=NC ，又MN ⊥CD ， ∴MC=MG ，∴MD=ME ，∠MCG=∠MGC ， ∵∠MGC+∠MGD=180°， ∴∠MCG+∠MED=180°，∴∠CME+∠CDE=180°， ∵∠CDE=90°， ∴∠CME=90°， ∴（1）中的结论成立．点睛：本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定定理和性质定理以及直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题． 29．15° 【解析】【分析】根据旋转性质可得：BEC DFC ∠=∠，90ECF BCE ∠=∠=，CF CE =，由等腰直角三角形三角形性质可得45CFE FEC ∠=∠=，所以EFD DFC EFC ∠=∠-∠. 【详解】解：DCF 是BCE 旋转得到的图形，903060BEC DFC ∴∠=∠=-=，90ECF BCE ∠=∠=，CF CE =， 45CFE FEC ∴∠=∠=．604515EFD DFC EFC ∴∠=∠-∠=-=．【点睛】本题考核知识点：旋转性质，等腰直角三角形. 解题关键点：熟记旋转性质，等腰直角三角形性质.30．（1）PM =PN ，PM ⊥PN ；（2）△PMN 是等腰直角三角形；（3）．【解析】【分析】（1）利用三角形的中位线得出PM=CE，PN=BD，进而判断出BD=CE，即可得出结论，再利用三角形的中位线得出PM∥CE得出∠DPM=∠DCA，最后用互余即可得出结论；（2）先判断出△ABD≌△ACE，得出BD=CE，同（1）的方法得出PM=BD，PN=BD，即可得出PM=PN，同（1）的方法即可得出结论；（3）先判断出MN最大时，△PMN的面积最大，进而求出AN，AM，即可得出MN最大=AM+AN，最后用面积公式即可得出结论．【详解】（1）∵点P，N是BC，CD的中点，∴PN∥BD，PN=BD，∵点P，M是CD，DE的中点，∴PM∥CE，PM=CE，∵AB=AC，AD=AE，∴BD=CE，∴PM=PN，∵PN∥BD，∴∠DPN=∠ADC，∵PM∥CE，∴∠DPM=∠DCA，∵∠BAC=90°，∴∠ADC+∠ACD=90°，∴∠MPN=∠DPM+∠DPN=∠DCA+∠ADC=90°，∴PM⊥PN，故答案为：PM=PN，PM⊥PN，（2）由旋转知，∠BAD=∠CAE，∵AB=AC，AD=AE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABD=∠ACE，BD=CE，同（1）的方法，利用三角形的中位线得，PN=BD，PM=CE，∴PM=PN，∴△PMN是等腰三角形，同（1）的方法得，PM∥CE，∴∠DPM=∠DCE，同（1）的方法得，PN∥BD，∴∠PNC=∠DBC，∵∠DPN=∠DCB+∠PNC=∠DCB+∠DBC，∴∠MPN=∠DPM+∠DPN=∠DCE+∠DCB+∠DBC=∠BCE+∠DBC=∠ACB+∠ACE+∠DBC=∠ACB+∠ABD+∠DBC=∠ACB+∠ABC，∵∠BAC=90°，∴∠ACB+∠ABC=90°，∴∠MPN=90°，∴△PMN是等腰直角三角形，（3）如图2，同（2）的方法得，△PMN是等腰直角三角形，∴MN最大时，△PMN的面积最大，∴DE∥BC且DE在顶点A上面，∴MN最大=AM+AN，连接AM，AN，在△ADE中，AD=AE=4，∠DAE=90°，∴AM=2，在Rt△ABC中，AB=AC=10，AN=5，，∴MN最大=2+5=7∴S△PMN最大=PM2=×MN2=×（7）2= ．【点睛】解（1）的关键是判断出PM=CE，PN=BD，解（2）的关键是判断出△ABD≌△ACE，解（3）的关键是判断出MN最大时，△PMN的面积最大31．25°40°25°【解析】【分析】（1）根据∠MON和∠BOC的度数可以得到∠MOC的度数；（2）根据OC平分∠MOB，∠BOC=65°可以求得∠BOM的度数，由∠MON=90°，可得∠BON的度数，继而可得∠CON的度数；（3）由∠NOC=5°，∠BOC=65°，∠MON=90°结合平角的定义即可求得.【详解】（1）∠MOC=∠MON﹣∠BOC=90°﹣65°=25°，故答案为：25°；（2）∵OC是∠MOB的角平分线，∴∠MOB=2∠BOC=2×65°=130°，∴旋转角∠BON=∠MOB﹣∠MON=130°﹣90°=40°，∠CON=∠BOC﹣∠BON=65°﹣40°=25°，故答案为：40°，25°；（3）∵∠NOC=5°，∠BOC=65°，∴∠BON=∠NOC+∠BOC=70°，∵点O为直线AB上一点，∴∠AOB=180°，∵∠MON=90°，∴∠AOM=∠AOB﹣∠MON﹣∠BON=180°﹣90°﹣70°=20°.【点睛】本题考查了旋转的性质，角平分线的定义，平角的定义等，熟练掌握相关的定义和性质是解题的关键.32．（1）见解析；（2）84.5．【解析】【分析】（1）由正方形的性质得出AD=AB，∠D=∠ABC=∠ABF=90°，依据“SAS”即可证得；（2）根据勾股定理求得AE=13，再由旋转的性质得出AE=AF ，∠EAF=90°，从而由面积公式得出答案．【详解】解：（1）∵四边形ABCD 是正方形， ∴AD=AB ，∠D=∠ABC=90°，而F 是CB 的延长线上的点， ∴∠ABF=90°，在△ADE 和△ABF 中，∵AB AD ABF ADE BF DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩, ∴△ADE ≌△ABF （SAS ）；（2）∵BC=12，∴AD=12，在Rt △ADE 中，DE=5，AD=12， ∴AE==13，(勾股定理)∵△ABF 可以由△ADE 绕旋转中心 A 点，按顺时针方向旋转90°得到， ∴AE=AF ，∠EAF=90°，∴△AEF 的面积=12AE 2=12×169=84.5．【点睛】本题主要考查正方形的性质和全等三角形的判定与性质及旋转的性质，熟练掌握正方形的性质和全等三角形的判定与性质是解题的关键．33．（1）BM DN MN +=；（2）猜想：BM DN MN +=，详见解析；（3）DN BM MN -=，详见解析.【解析】【分析】（1）连接AC，交MN于点G，则可知AC垂直平分MN，结合∠MAN=45°，可证明△ABM≌△AGM，可得到BM=MG，同理可得到NG=DN，可得出结论；（2）在MB的延长线上，截取BE=DN，连接AE，则可证明△ABE≌△ADN，可得到AE=AN，进一步可证明△AEM≌△ANM，可得结论BM+DN=MN；（3）在DC上截取DF=BM，连接AF，可先证明△ABM≌△ADF，进一步可证明△MAN≌△FAN，可得到MN=NF，从而可得到DN﹣BM=MN．【详解】（1）如图1，连接AC，交MN于点G．∵四边形ABCD为正方形，∴BC=CD，且BM=DN，∴CM=CN，且AC平分∠BCD，∴AC⊥MN，且MG=GN，∴AM=AN．∵AG⊥MN，∴∠MAG=∠NAG．∵∠BAC=∠MAN=45°，即∠BAM+∠GAM=∠GAM+∠GAN，∴∠BAM=∠GAN=∠GAM．在△ABM和△AGM中，∵90B AGMBAM GAMAM AM∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABM≌△AGM（AAS），∴BM=MG，同理可得GN=DN，∴BM+DN=MG+GN=MN．故答案为：BM+DN=MN；（2）猜想：BM+DN=MN，证明如下：如图2，在MB的延长线上，截取BE=DN，连接AE．在△ABE和△ADN中，∵AB ADABE DBE DN=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABE≌△ADN（SAS），∴AE=AN，∠EAB=∠NAD．∵∠BAD=90°，∠MAN=45°，∴∠BAM+∠DAN=45°，∴∠EAB+∠BAM=45°，∴∠EAM=∠NAM．在△AEM和△ANM中，∵AE ANEAM NAMAM AM=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AEM≌△ANM（SAS），∴ME=MN，又ME=BE+BM=BM+DN，∴BM+DN=MN；（3）DN﹣BM=MN．证明如下：如图3，在DC上截取DF=BM，连接AF．△ABM和△ADF中，∵AB ADABM DBM DF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABM≌△ADF（SAS），∴AM=AF，∠BAM=∠DAF，∴∠BAM+∠BAF=∠BAF+∠DAF=90°，即∠MAF=∠BAD=90°．∵∠MAN=45°，∴∠MAN=∠F AN=45°．在△MAN和△F AN中，∵AM AFMAN FANAN AN=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△MAN≌△F AN（SAS），∴MN=NF，∴MN=DN﹣DF=DN﹣BM，∴DN﹣BM=MN．【点睛】本题为四边形的综合应用，涉及知识点有正方形的性质、全等三角形的判定和性质、垂直平分线的判定和性质等．在（1）中证得AM=AN是解题的关键，在（2）、（3）中构造三角形全等是解题的关键．本题考查了知识点不多，但三角形全等的构造难度较大．34．（1）证明见解析；（2）∠BED=45°.【解析】试题分析：（1）由等边三角形的性质知∠BAC=60°，AB=AC，由旋转的性质知∠DAE=60°，AE=AD，从而得∠EAB=∠DAC，再证△EAB≌△DAC可得答案；（2）由∠DAE=60°，AE=AD知△EAD为等边三角形，即∠AED=60°，继而由∠AEB=∠ADC=105°可得．试题解析：（1）∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC=60°，AB=AC．∵线段AD绕点A顺时针旋转60°，得到线段AE，∴∠DAE=60°，AE=AD．∴∠BAD+∠EAB=∠BAD+∠DAC．∴∠EAB=∠DAC．在△EAB和△DAC中，＝＝，＝∴△EAB≌△DAC．∴∠AEB=∠ADC．（2）如图，∵∠DAE=60°，AE=AD，∴△EAD为等边三角形．∴∠AED=60°，又∵∠AEB=∠ADC=105°．∴∠BED=45°．35．（1）证明见解析；（2）FC=3．【解析】试题分析：（1）由旋转可得DE=DM，∠EDM为直角，可得出∠EDF+∠MDF=90°，由∠EDF=45°，得到∠MDF为45°，可得出∠EDF=∠MDF，再由DF=DF，利用SAS可得出三角形DEF与三角形MDF全等，由全等三角形的对应边相等可得出EF=MF；（2）由第一问的全等得到AE=CM=2，正方形的边长为6，用AB-AE求出EB的长，再由BC+CM求出BM的长，设EF=MF=x，可得出BF=BM-FM=BM-EF=8-x，在直角三角形BEF中，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即为EF的长．（1）证明：∵△DAE逆时针旋转90°得到△DCM，∴∠FCM=∠FCD+∠DCM=180°，∴F、C、M三点共线，∴DE=DM，∠EDM=90°，∴∠EDF+∠FDM=90°，∵∠EDF=45°，∴∠FDM=∠EDF=45°，∴△DEF≌△DMF（SAS），∴EF=MF；（2）解：设EF=MF=x，∵AE=CM=2，且BC=6，∴BM=BC+CM=6+2=8，∴BF=BM﹣MF=BM﹣EF=8﹣x，∵EB=AB﹣AE=6﹣2=4，在Rt△EBF中，由勾股定理得EB2+BF2=EF2，即42+（8﹣x）2=x2，解得：x=5，则EF=5．点睛：熟练掌握旋转的性质，正方形的四个角都是直角，四条边相等，勾股定理，全等三角形的判定(SAS)，全等三角形的性质是解答本题的关键.。

(人教版数学)初中9年级上册-同步练习-23.1 图形的旋转-九年级数学人教版(上)(解析版)

第二十三章旋转23.1图形的旋转一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．平面图形的旋转一般情况下会改变图形的A．位置B．大小C．形状D．性质【答案】A【解析】旋转和平移一样只改变图形的位置．故选A．2．如图所示，将平面图形绕轴旋转一周，得到的几何体是A．球B．圆柱C．半球D．圆锥【答案】A3．…依次观察这三个图形，并判断照此规律从左向右的第四个图形是【答案】D【解析】根据图形，有规律可循．从左到右图形顺时针方向旋转，可得到第四个图形是D．故选D．4．若一个60°的角绕顶点旋转15°，则重叠部分的角的大小是A．15°B．30°C．45°D．75°【答案】C【解析】如图：∵∠AOB=60°，∠BOD=15°，∴∠AOD=∠AOB–∠BOD=60°–15°=45°，故选C．5．将数字“6”旋转180°，得到数字“9”；将数字“9”旋转180°，得到数字“6”．现将数字“69”旋转180°，得到的数字是A．96 B．69 C．66 D．99【答案】B【解析】现将数字“69”旋转180°，得到的数字是：69．故选B．6．如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△A＇OB＇，若∠AOB=15°，则∠AOB＇的度数是A．25°B．30°C．35°D．40°【答案】B二、填空题：请将答案填在题中横线上．7．如图，将△AO B绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△COD，若∠AOB=15°，则∠BOC=__________度．【答案】60°【解析】∵将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后，得到△COD，∴∠BOD=45°，又∵∠AOB=15°，∴∠BOC=∠BOD+∠AOB=45°+15°=60°.故答案为：60°.8．如图，在△ABC中，∠CAB=65°，在同一平面内，将△ABC绕点A逆时针旋转到△AB′C′的位置，使得C′C ∥A B，则∠B′AB等于__________．【答案】50°9．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC =2，将△ABC绕点A顺时针方向旋转60°到△AB′C′的位置，连接C′B，则C′B=__________．【答案】31-【解析】如图,连接BB′，∵△ABC绕点A顺时针方向旋转60°得到△AB′C′，∴AB=AB′,∠BAB′=60°，∴△ABB′是等边三角形，∴AB=BB′，在△ABC′和△B′BC′中，'''''' AB BBAC B C BC BC⎧===⎪⎨⎪⎩，∴△ABC′≌△B′BC′(SSS)，∴∠ABC′=∠B′BC′，延长BC′交AB′于D，则BD⊥AB′，可证得AD=12AB′=12AB．∵∠C =90°，AC =BC =2，∴A B =()()2222+=2，∴BD =22AB AD -=3，C ′D =12×2=1，∴BC ′=BD −C ′D =3−1. 故答案为：3−1.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．10．如图，已知点A ，B 的坐标分别为（0，0）、（2，0），将△ABC 绕C 点按顺时针方向旋转90°得到△A 1B 1C ．（1）画出△A 1B 1C ；（2）A 的对应点为A 1，写出点A 1的坐标；（3）求出B 旋转到B 1的路线长．【解析】（1）△A 1B 1C 如图所示．（2）A 1（0，6）．（3）点B 旋转到B1的路线长即为1B B 的长度．由题知旋转角为90°，BC=10， ∴1B B =90π10180⨯=10π2．11．如图，等腰Rt △ABC 中，BA =BC ，∠ABC =90°，点D 在AC 上，将△ABD 绕点B 沿顺时针方向旋转90°后，得到△CBE ．（1）求∠DCE 的度数；（2）若AB =4，CD =3AD ，求DE 的长．（2）∵BA =BC ，∠ABC =90°， ∴AC 2242AB BC +=∵CD =3AD ，∴AD 2，DC 2．由旋转的性质可知：AD =EC 2．∴DE 2225CE DC +=12．在△ABC 中，∠ACB =90°，AC =BC ，直线MN 经过点C ，且AD ⊥MN 于D ，BE ⊥MN 于E ．（1）当直线MN 绕点C 旋转到图1的位置时，求证：①△ADC ≌△CEB ；②DE =AD +BE ；（2）当直线MN 绕点C 旋转到图2的位置时，求证：DE =AD –BE ；（3）当直线MN 绕点C 旋转到图3的位置时，试问DE 、AD 、BE 具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．∴DE=CE+CD=AD+BE．（2）∵∠ADC=∠CEB=∠ACB=90°，∴∠ACD=∠CBE．又∵AC=BC，∴△ACD≌△CBE．∴CE=AD，CD=BE．∴DE=CE–CD=AD–BE．（3）DE=BE–AD（或AD=BE–DE，BE=AD+DE等）．易证得△ACD≌△CBE，∴AD=CE，DC=BE，∴DE=CD–CE=BE–AD．。

人教版九年级数学上册：23.1 图形的旋转同步练习(含答案)

图形的旋转班级：_____________姓名：__________________组号：_________第三课时一、巩固训练1．如图1，将△ABC 绕点A 旋转后得到△ADE ，则旋转方式是( )A ．顺时针旋转90°B ．逆时针旋转90°C ．顺时针旋转45°D ．逆时针旋转45°2．如图2是一个旋转对称图形，要使它旋转后与自身重合，应将它绕中心逆时针方向旋转的度数至少为（）度。

A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°3．如图3，图形旋转一定角度后能与自身重合，则旋转的角度可能是(A ．30°B ．60°C ．90°D ．120°4．如图4，把三角形△ABC 绕着点C 顺时针旋转350，得到△A ＇B ＇C ，A ＇B ＇交AC 于点D ，若∠A ＇DC=90°，则∠A 的度数是__________。

二、错题再现1．图5有两个边长为4cm 的正方形，其中一个正方形的顶点在另一个正方形的中心上，那么图中阴影部分的面积是( )。

A ．4cm 2B ．8cm 2C ．16cm 2D ．无法确定2．如图6，将△ABC 绕点A 旋转一定角度后能与△ADE 重合，如果△ABC 的面积是12cm 2，那么△ADE 的面积是____________。

3．如图7，△ABC 绕点B 逆时针方向旋转到△EBD 的位置，若∠E=21°，∠C=18°，E，图1 图2 图3 图 4完成情况B ，C 在同一直线上，则旋转角的度数是_____。

4．如图8所示，已知正方形ABCD 中的△DCF 可以经过旋转得到△ECB ．（1）图中哪一个点是旋转中心？（2）按什么方向旋转了多少度？（3）如果CF=3cm ，求EF 的长。

三、能力提升1．已知：如图，在△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=α，且60°＜α＜120°，P 为△ABC 内部一点，且PC=AC ，∠PCA=120°﹣α。

专题23.1图形的旋转-2024-2025学年九年级数学上册举一反三系列(人教版)[含答案]

专题23.1图形的旋转【十大题型】【人教版】【题型1判断生活中的旋转现象】【题型2由旋转的性质判断结论正误】【题型3由旋转的性质进行求解】【题型4由旋转的性质证明线段相等或角相等】【题型5画旋转图形】【题型6旋转对称图形】【题型7旋转求坐标】【题型8旋转中的规律性问题】【题型9由旋转的性质求最值】【题型10 图形的动态旋转】知识点1：旋转在平面内，把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，就叫做图形的旋转，点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角．我们把旋转中心、旋转角度、旋转方向称为旋转的三要素．【题型1判断生活中的旋转现象】【例1】（23-24九年级·广西来宾·期末）1．有下列现象：①高层公寓电梯的上升：②传送带的移动；③方向盘的转动；④风车的转动；⑤钟摆的运动；⑥荡秋千运动．其中属于旋转的有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【变式1-1】（2024·吉林长春·三模）2．以如图（1）（以O为圆心，半径为1的半圆）作为“基本图形”，分别经历如下变换：①只要向右平移1个单位；②先以直线AB为对称轴进行翻折，再向右平移1个单位；③先绕着点O旋转180°，再向右平移一个单位；④绕着OB的中点旋转180°即可．其中能得到图（2）的是（）A．①②③B．②③④C．①③④D．①②【变式1-2】（23-24九年级·广东广州·期末）3．“玉兔”在月球表面行走的动力主要来自太阳光能，要使接收太阳光能最多，就要使光线垂直照射在太阳光板上．现在太阳光如图照射，那么太阳光板绕支点A逆时针最小旋转（）可以使得接收光能最多．A．46°B．44°C．36°D．54°【变式1-3】（23-24九年级·重庆江津·期中）4．如果齿轮A以逆时针方向旋转，齿轮E旋转的方向（）A．顺时针B．逆时针C．顺时针或逆时针D．不能确定知识点2：旋转的性质（1）对应点到旋转中心的距离相等；（2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；（3）旋转前后的图形全等．理解以下几点：（1）图形中的每一个点都绕旋转中心旋转了同样大小的角度．（2）对应点到旋转中心的距离相等，对应线段相等，对应角相等．（3）图形的大小与形状都没有发生改变，只改变了图形的位置．【题型2 由旋转的性质判断结论正误】【例2】（23-24九年级·四川宜宾·期末）5．如图所示，O 是锐角三角形ABC 内一点，120AOB BOC COA Ð=Ð=Ð=o ，P 是ABC V 内不同于O 的另一点，A BO ¢¢△、A BP ¢¢V 分别由AOB V 、APB △旋转而得，旋转角都为60o ，则下列结论：①O BO ¢V 为等边三角形；②+=¢¢+¢A O O O AO BO ；③+=¢¢+¢A P P P PA PB ；④++³++PA PB PC AO BO CO ．其中正确的有（提示：有一个角是60o 的等腰三角形是等边三角形）A ．①②③B ．②③④C ．①②④D ．①③④【变式2-1】（23-24九年级·福建厦门·期末）6．如图，Rt ABC △中，90ACB Ð=°，30ABC Ð=°，M 为直线BC 上的一个动点，将线段AM 绕点A 顺时针旋转60°得到线段AN ，连接CN ，则当CN 取得最小值时，下列结论正确的是（）A ．直线CN AB ^B ．直线CN 平分ABC ．直线CN 与直线BC 重合D ．直线CN 与直线AC 重合【变式2-2】（23-24九年级·北京大兴·期末）7．如图，将△ABC 绕点C 顺时针旋转得到△DEC ，使点A 的对应点D 恰好落在边AB 上，点B 的对应点为E ，连接BE ，下列四个结论：①AC ＝AD ；②AB ⊥EB ；③BC ＝EC ；④∠A ＝∠EBC ；其中一定正确的是（）A ．①②B ．②③C ．③④D ．②③④【变式2-3】（23-24九年级·江苏南通·阶段练习）8．如图所示，在等边ABC V 中，点D 是边AC 上一点，连接BD ，将BCD △绕着点B 逆时针旋转60°，得到BAE V ，连接ED ，则下列结论中：①AE BC ∥；②60DEB Ð=°；③ADE BDC Ð=Ð；④AED ABD Ð=Ð，其中正确的结论的个数是（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【题型3 由旋转的性质进行求解】【例3】（23-24九年级·贵州六盘水·期末）9．如图，在正方形ABCD 中，将边BC 绕点B 逆时针旋转至点BC ¢，若90,2CC D C D ¢¢Ð=°=，则线段BC ¢的长度为（）A ．4B ．C ．6D ．【变式3-1】（23-24九年级·福建·期末）10．将直角边长为6cm 的等腰直角三角形ABC 绕点A 逆时针旋转15°后得到AB C ¢¢△，则图中阴影部分的面积是 2cm ．【变式3-2】（23-24九年级·吉林长春·期末）11．如图，菱形纸片ABCD 的一内角为60°，边长为2，将它绕对角线的交点O 顺时针旋转90°后到A B C D ¢¢¢¢的位置，则旋转前后两菱形重叠部分多边形的周长为( )A ．8B ．)41C ．)81D ．)41【变式3-3】（23-24九年级·四川成都·期末）12．如图，等腰直角ABC V 中，AC BC =，将线段CA 绕点C 逆时针旋转a °（090a <<）得到线段CA ¢，作点A 关于线段CA ¢所在直线的对称点E ，连接AE 和BE ，分别交线段CA ¢所在直线于点M 和点F ，若1CF =，3FM =，则BF 的长为．【题型4 由旋转的性质证明线段相等或角相等】【例4】（23-24九年级·河南周口·期末）13．【猜测探究】在ABC V 中，ACB a Ð=．点D 是直线AB 上的一个动点，线段CD 绕点C 逆时针旋转α，得到线段CE ，连接DE ，BE ．（1）如图1，当CA CB =，点D 在AB 边上运动时，线段BD ，AB 和BE 之间的数量关系是______；（2）如图2，当CA CB =，点D 运动到AB 的延长线上时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；【拓展应用】（3）如图3，将ABC V 绕点C 逆时针旋转60°得到DEC V ，DE 交AB 于点F ，连接CF ．若4CF =，1BF =，3DF =，求线段DE 的长．【变式4-1】（23-24九年级·山东济南·期末）14．在等边三角形ABC 的内部有一点D ，连接BD ，CD ，以点B 为中心，把BD 逆时针旋转60°得到BD ¢，连接AD ¢，DD ¢．以点C 为中心，把CD 顺时针旋转60°得到CD ¢¢，连接AD ¢¢，DD ¢¢．(1)判断D BA ¢Ð和DBC Ð的大小关系，并说明理由；(2)求证：D A DC ¢=；(3)求证：四边形AD DD ¢¢¢是平行四边形．【变式4-2】（23-24九年级·安徽·期末）15．如图，在四边形ABCD 中，AC BD ，是对角线，ABC V 是等边三角形，将线段CD 绕点C 顺时针旋转60°得到线段CE ，连接AE DE ，．(1)求证：BCD ACE Ð=Ð；(2)若30610ADC AD BD Ð=°==，，，求DE 的长．【变式4-3】（23-24九年级·河南信阳·期末）16．在ABC V 中，CA CB =，ACB a Ð=，D 为ABC V 内一点，将CAD V 绕点C 按逆时针方向旋转角a 得到CBE △，点A D ，的对应点分别为点B E ，．(1)如图1，若A D E ，，三点在同一直线上，则CDE Ð=_________（用含a 的代数式表示）；(2)如图2，若A D E ，，三点在同一直线上，90a =°，过点C 作CF AE ^于点F ，探究线段CF AE BE ，，之间的数量关系，并证明你的结论；(3)如图3，连接AE ，若60a =°，CA =2CD =，将DCE △绕点C 旋转一周，当60AEC Ð=°时，BE =____________．知识点2：旋转作图旋转有两条重要性质：任意一对对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；对应点到旋转中心的距离相等，它就是利用旋转的性质作图的关键．步骤可分为：①连：即连接图形中每一个关键点与旋转中心；②转：即把直线按要求绕旋转中心转过一定角度（作旋转角）③截：即在角的另一边上截取关键点到旋转中心的距离，的到各点的对应点； ④接：即连接到所连接的各点．【题型5 画旋转图形】【例5】（23-24九年级·河南洛阳·期末）17．如图，在所给网格图（每小格均为边长是1的正方形）中完成下列各题：(1)画出将ABC V 向下平移5个单位长度后的111A B C △；(2)画出ABC V 关于点B 成中心对称的22A BC V ；(3)画出ABC V 绕点B 逆时针旋转90o 的33A BC △；(4)在直线l 上找一点P ，使ABP V 的周长最小．（说明：在网格中画出图形，标上字母即可）【变式5-1】（23-24九年级·四川成都·期末）18．如图，在平面直角坐标系中xOy ，已知ABC V 三个顶点的坐标分别为()1,3A ，()1,1B -，()2,2C -．(1)画出ABC V 绕原点O 顺时针旋转90°得到的111A B C △；(2)在y 轴上取点P ，使ABP V 的面积是ABC V 面积的32倍，求点P 的坐标．【变式5-2】（23-24九年级·江苏泰州·期末）19．如图，在边长为1的正方形网格中，ABC V 的顶点都在格点上，将ABC V 绕点O 逆时针旋转一定角度后，点C 落在格点C ¢处．(1)旋转角为______ °；(2)在图中画出旋转后的A B C ¢¢¢V ，其中A ¢、B ¢分别是A 、B 的对应点；(3)点O 到直线BB ¢的距离是______ ．【变式5-3】（23-24九年级·辽宁沈阳·期末）20．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐标系，点3,4,()(0,1)A B ---．(1)平移线段AB 得到线段CD ，若点A 的对应点C 的坐标为(3,2)--，点B 的对应点为点D ，在网格中请画出线段CD ，并直接写出点D 的坐标为_______；(2)在（1）的条件下，在网格中请画出将线段CD 绕点D 按逆时针旋转90°后的线段DE ，点C 的对应点为点E ，并直接写出点E 的坐标为_______；(3)在（2）的条件下，线段AB 与线段DE 存在一种变换关系，即其中一条线段绕着某点旋转一个角度可以得到另一条线段，则这个旋转中心的坐标为_______．【题型6 旋转对称图形】【例6】（23-24九年级·上海松江·期末）21．在正三角形、正方形、正五边形和等腰梯形这四种图形中，是旋转对称图形的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【变式6-1】（2024·北京西城·模拟预测）22．如图，沿图中的右边缘所在的直线为轴将该图形向右翻折180°后，再将翻折后的正方形绕它的右下顶点按顺时针方向旋转90°，所得到的图形是（）A ．B ．C ．D ．【变式6-2】（2024·河北·模拟预测）23．规定：在平面内，如果一个图形绕一个定点旋转一定的角度()0180a a °<°…后能与自身重合，那么就称这个图形是旋转对称图形，转动的这个角度a 称为这个图形的一个旋转角．例如：正方形绕着两条对角线的交点O 旋转90°或180°后，能与自身重合，所以正方形是旋转对称图形，且有两个旋转角．根据以上规定，回答问题：（1）下列图形是旋转对称图形，但不是中心对称图形的是；A .矩形；B .正五边形；C .菱形；D .正六边形（2）下列图形中，是旋转对称图形，且有一个旋转角是60度的有：（填序号）；（3）下列三个命题：①中心对称图形是旋转对称图形；②等腰三角形是旋转对称图形；③圆是旋转对称图形．其中真命题的个数有个；【变式6-3】（23-24九年级·全国·单元测试）24．下列四个图案是小明家在瓷砖厂选购的四种地砖图案，其中既可用旋转来分析整个图案的形成过程，又可用平移来分析整个图案的形成过程的是（）A ．B ．C ．D ．【题型7 旋转求坐标】【例7】（2024·天津东丽·二模）25．如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正方形OABC 绕点O 顺时针旋转45°后得到正方形111OA B C ，那么点1B 的坐标是（）A ．()1,1B ．C ．(D ．【变式7-1】（23-24九年级·河北唐山·期中）26．如图，将线段AB 绕点O 顺时针旋转90°得到线段A B ¢¢，那么()1,4A -的对应点A ¢的坐标是．【变式7-2】（23-24九年级·浙江金华·期末）27．如图，正比例函数的图象经过(),2A m -，()2,B n 两点，其中m ，n 为整数，且0,0m n <>.现将线段AB 绕点B 顺时针旋转90°得到线段BC ，则点C 的坐标为．【变式7-3】（23-24九年级·河南南阳·期末）28．在平面直角坐标系中，A （0，3），B （4，0），把△AOB 绕点O 旋转，使点A ，B 分别落在点A ′，B ′处，若A ′B ′∥x 轴，点B ′在第一象限，则点A 的对应点A ′的坐标为（）A ．（912,55-）B ．（129,55-）C ．（1612,55-）D ．（1216,55-）【题型8 旋转中的规律性问题】【例8】（23-24九年级·河南平顶山·期末）29．如图，在平面直角坐标系中，把边长为1的正方形OABC 绕着原点O 顺时针旋转45°得到正方形111OA B C ，按照这样的方式，绕着原点O 连续旋转2024次，得到正方形202420242024OA B C 则点2024A 的坐标是（）A ．(0,1)B ．()0,1-C ．(1,0)D ．【变式8-1】（23-24九年级·浙江杭州·期末）30．将正方体骰子（相对面上的点数1和6、2和5、3和4）放置于水平桌面上，如图1.在图2中，将骰子向右翻滚90°，然后在桌面上按逆时针方向旋转90°，则完成一次变换，若骰子的初始位置为图1所示的状态，那么按上述规则连续完成4次变换后，骰子朝上一面的点数是（）A ．6B ．5C ．3D ．1【变式8-2】（23-24九年级·内蒙古鄂尔多斯·期末）31．风力发电是一种常见的绿色环保发电形式，它能够使大自然的资源得到更好地利用．如图1，风力发电机有三个底端重合、两两成120°角的叶片，以三个叶片的重合点为原点水平方向为x 轴建立平面直角坐标系（如图2所示），已知开始时其中一个叶片的外端点的坐标为()5,5A ，在一段时间内，叶片每秒绕原点O 顺时针转动90°，则第2024秒时，点A 的对应点2024A 的坐标为（）A ．()5,5B ．()5,5-C ．()5,5--D ．()5,5-【变式8-3】（23-24九年级·广东广州·期末）32．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD 的顶点A ，B 分别在y 轴正半轴、x 轴正半轴上，顶点C ，D 在第一象限，已知1OA OB ==，BC =将矩形ABCD 绕点O 逆时针旋转，每次旋转90°，则第2025次旋转结束时，点C 的坐标是（）A ．()3,2B ．(−2,3)C ．()3,2--D ．(−3,2)【题型9 由旋转的性质求最值】【例9】（23-24九年级·江苏南通·期末）33．如图，正方形ABCD 的边长为4，30BCM Ð=°，点E 是直线CM 上一个动点，连接BE ，线段BE 绕点B 顺时针旋转45°得到BF ，则线段DF 长度的最小值等于（）A ．4-B ．2-C ．D ．【变式9-1】（23-24九年级·江苏盐城·期末）34．如图，线段4AC =，点B 为平面上一动点，且90ABC Ð=°，将线段AB 的中点M 绕点A 逆时针旋转90°得到线段AN ，连接CN ，则线段CN 的最大值为．【变式9-2】（2024·江苏扬州·一模）35．如图，直角ABC V 中，90ACB Ð=°，30A Ð=°，4BC =，点E 是边AC 上一点，将BE 绕点B 顺时针旋转60°到点F ，则CF 长的最小值是．【变式9-3】（23-24九年级·江苏无锡·期末）36．已知在矩形ABCD 中，9AD =，12AB =，O 为矩形的中心，在等腰Rt V AEF 中，90EAF Ð=°，AE AF 6==．则EF 边上的高为；将AEF △绕点A 按顺时针方向旋转一周，连接CE ，取CE 中点M ，连接FM ，则FM 的最大值为．【题型10 图形的动态旋转】【例10】（23-24九年级·安徽合肥·期末）37．将一个三角板如图所示摆放，直线MN 与直线GH 相交于点P ，45MPH Ð=°，现将三角板ABC 绕点A 以每秒3°的速度顺时针旋转，设时间为t 秒，且0150t ££，当t = 时，MN 与三角板的直角边平行．【变式10-1】（23-24九年级·四川成都·期末）38．新定义：已知射线OP 、OQ 为AOB Ð内部的两条射线，如果12POQ AOB Ð=Ð，那么把POQ Ð叫作AOB Ð的幸运角．已知40AOB Ð=°，射线OC 与射线OA 重合，并绕点O 以每秒5°的速度顺时针旋转，射线OD 与射线OB 重合，并绕点O 以每秒3°的速度逆时针旋转，当射线OC 旋转一周时运动停止．在旋转过程中，射线OA ，OB ，OC ，OD 中由两条射线组成的角是另外两条射线组成的角的幸运角时，t = 秒．（本题所有角都指的是小于180°的角）【变式10-2】（23-24九年级·河南平顶山·期末）39．如图，点 D 是等边ABC V 边BC 上一点，且 20BAD Ð=°．将ABD △绕点A 顺时针旋转α（0a ¹）得到AB D ¢¢V ，其中点B ，D 的对应点分别为B D ¢¢，．当直线B D ¢¢经过ABC V 的顶点时，CDD ¢Ð的度数为．【变式10-3】（23-24九年级·江苏无锡·阶段练习）40．如图，在平行四边形ABCD 中，5cm,2cm,120AB BC BCD ==Ð=°，点P 从A 点出发，沿射线AB 以1cm /s 的速度运动，连接CP ，将CP 绕点C 逆时针旋转60°，得到CQ ，连接BQ ．当t = 时，BPQ V 是直角三角形．1．C【分析】根据旋转的定义进行判断即可．【详解】解：①高层公寓电梯的上升，是平移，故不符合要求：②传送带的移动，是平移，故不符合要求；③方向盘的转动，是旋转，故符合要求；④风车的转动，是旋转，故符合要求；⑤钟摆的运动，是旋转，故符合要求；⑥荡秋千运动，是旋转，故符合要求；故选：C．【点睛】本题考查了旋转的定义．解题的关键在于对知识的熟练掌握．2．B【分析】根据轴对称变换，平移变换，旋转变换的特征结合图形解答即可．【详解】解：由图可知，图（1）先以直线AB为对称轴进行翻折，再向右平移1个单位，即可得到图（2），故②符合题意；图（1）先绕着点O旋转180°，再向右平移一个单位，即可得到图（2），故③符合题意；图（1）绕着OB的中点旋转180°即可得到图（2），故④符合题意；图（1）只要向右平移1个单位不能得到图（2），故①不符合题意．故选：B．【点睛】本题考查了几何变换的类型，熟练掌握常见的几种几何变换－平移、翻折、旋转的特征是解题的关键．3．B【分析】根据垂直的定义和旋转方向，计算可得．【详解】解：由题意可得：若要太阳光板于太阳光垂直，则需要绕点A逆时针旋转90°-（180°-134°）=44°，故选：B．【点睛】本题考查了实际生活中的垂直的定义，旋转的定义，解题的关键是理解旋转分为顺时针和逆时针．4．B【分析】根据图示进行分析解答即可．【详解】齿轮A 以逆时针方向旋转，齿轮B 以顺时针方向旋转，齿轮C 以逆时针方向旋转，齿轮D 以顺时针方向旋转，齿轮E 以逆时针方向旋转，故选B ．【点睛】此题考查旋转问题，关键是根据图示进行解答．5．A【分析】本题考查了旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．也考查了等边三角形的性质以及两点之间线段最短．由于A BO ¢¢△，A BP ¢¢V 分别由AOB V 、APB △旋转而得，旋转角都为60°，得到BO BO ¢=，BP BP ¢=，60OBO PBP ¢¢Ð=Ð=°，A O B AOB ¢¢Ð=Ð，O A OA ¢¢=，P A PA ¢¢=，则BOO ¢V 和BPP ¢V 都是等边三角形，得到60BOO BO O ¢¢Ð=Ð=°，OO OB ¢=，而120AOB BOC COA Ð=Ð=Ð=°，再进行判断即可．【详解】解：连PP ¢，如图，Q A BO ¢¢△，A BP ¢¢V 分别由AOB V 、APB △旋转而得，旋转角都为60°，BO BO ¢\=，BP BP ¢=，60OBO PBP ¢¢Ð=Ð=°，A O B AOB ¢¢Ð=Ð，O A OA ¢¢=，P A PA ¢¢=，BOO ¢\V 和BPP ¢V 都是等边三角形，所以①正确；,OO OB O B BP BP PP ¢¢¢¢\====，A O O O AO BO ¢¢¢\+=+，所以②正确；+=¢¢+¢A P P P PA PB ，所以③正确；60BOO BO O ¢¢\Ð=Ð=°，而120AOB BOC COA Ð=Ð=Ð=°，180A O O O OC ¢¢¢\Ð=Ð=°，\A ¢，O ¢，O ，C 在一条直线上，又CP PP P A CA CO OO O A ¢¢¢¢¢¢¢++>=++Q ，\++>++PA PB PC AO BO CO ，所以④错误．故选：A6．B【分析】延长AC 到E ，使得AE AB =，连接NE ，先求出60BAC Ð=°，2AB AC =，由旋转的性质可得AM AN =，60MAN Ð=°，则BAM EAN Ð=Ð，证明()SAS BAM EAN △≌△，得到30AEN ABM ==°∠∠，则点N 在直线EN 运动，故当CN EN ^时，CN 最小，设当CN EN^时，点N 与点H 重合，延长HC 交AB 于F ，证明ACF △是等边三角形，得到AF AC =，则2AB AF =，即直线CN 平分AB ．【详解】解：如图所示，延长AC 到E ，使得AE AB =，连接NE ，∵Rt ABC △中，90ACB Ð=°，30ABC Ð=°，∴18060BAC ACB ABC =°--=°∠∠∠，2AB AC =，由旋转的性质可得AM AN =，60MAN Ð=°，∴BAC MAN Ð=Ð，∴BAM EAN Ð=Ð，∴()SAS BAM EAN △≌△，∴30AEN ABM ==°∠∠，∴点N 在直线EN 运动，∵垂线段最短，∴当CN EN ^时，CN 最小，设当CN EN ^时，点N 与点H 重合，延长HC 交AB 于F ，∴903060ACF HCE ==°-°=°∠∠，∴ACF △是等边三角形，∴AF AC =，∵2AB AC =，∴2AB AF =，∴此时直线CN 平分AB ，【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，含30度角的直角三角形的性质，旋转的性质等等，确定N 的运动轨迹是解题的关键．7．C【分析】根据旋转的性质，得到对应边相等，旋转角相等，从而去判断命题的正确性．【详解】解：∵旋转，∴AC DC =，但是旋转角不一定是60°，∴ACD V 不一定是等边三角形，∴AC AD =不一定成立，即①不一定正确；∵旋转，∴BC EC =，故③正确；∵旋转，∴ACD BCE Ð=Ð，∵等腰三角形ACD 和等腰三角形BCE 的顶角相等，∴它们的底角也相等，即A EBC Ð=Ð，故④正确；∵90A ABC Ð+Ð=°不一定成立，∴90EBC ABC Ð+Ð=°不一定成立，∴AB EB ^不一定成立，即②不一定正确．故选：C ．【点睛】本题考查旋转的性质，解题的关键是掌握图形旋转的性质．8．C【分析】由题意可得∠EAB ＝∠ACB ＝∠ABC ＝60°，BD ＝BE ，∠DBE ＝60°，可判断①②，根据三角形的外角等于不相邻的两个内角和可判断③④．【详解】解：∵△ABC 是等边三角形，∴AB ＝BC ，∠BAC ＝∠ABC ＝∠ACB ＝60°，∠AEB ＝∠BDC∵将△BCD 绕着点B 逆时针旋转60°，得到△BAE ，∴BE ＝BD ，∠DBE ＝60°，∠EAB ＝∠ACB ＝60°∴∠EAB ＝∠ABC ＝60°，△BED 是等边三角形∵△BED 是等边三角形∴∠DEB ＝60°故①②正确∵∠AEB ＝∠BDC ，∠AEB ＝∠AED ＋∠BED ，∠BDC ＝∠BAC ＋∠ABD∴∠AED ＝∠ABD故④正确∵∠BDC ＞60°，∠ADE ＜60°∴∠BDC≠∠ADE故③错误．故答案选：C ．【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，证明△BED 是等边三角形是本题的关键．9．D【分析】过点B 作BE CC ¢^于E ，如图所示，由旋转性质得到BC BC ¢=，从而得到BCC ¢V 是等腰三角形，结合等腰三角形性质确定BE 是线段CC ¢的垂直平分线，再由正方形性质，利用三角形全等的判定得到()AAS CC D BEC ¢V V ≌，进而由全等性质得到2CE C D ¢==，在Rt CC D ¢△中，由勾股定理求解即可得到答案．【详解】解：过点B 作BE CC ¢^于E ，如图所示：Q 将边BC 绕点B 逆时针旋转至点BC ¢，BC BC ¢\=，由等腰三角形三线合一性质可得BE 是线段CC ¢的垂直平分线，则190,2BC E C E CE CC ¢¢¢Ð=°==，在正方形ABCD 中，BC CD =，90BCD BCE DCE Ð=°=Ð+Ð，CD BC ¢\=，Q 90CC D ¢Ð=°，90CDC DCE ¢\Ð+Ð=°，BCE CDC ¢\Ð=Ð，在CC D ¢△和BEC V 中，90BCE CDC BEC CC D BC CD ¢¢Ð=ÐìïÐ=Ð=°íï=î()AAS CC D BEC \¢V V ≌，\2CE C D ¢==，则24CC CE ¢==，在Rt CC D ¢△中，90,2CC D C D ¢¢Ð=°=，4CC ¢=，则由勾股定理可得CD ==，BC CD ¢\==，故选：D ．【点睛】本题考查正方形中求线段长，涉及旋转性质、等腰三角形的判定与性质、垂直平分线的判定与性质、三角形全等的判定与性质、正方形的性质、勾股定理等知识，读懂题意，准确构造出辅助线，灵活运用相关几何性质求解是解决问题的关键．10．【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质．关键是通过旋转的性质判断阴影部分三角形的特点，计算三角形的面积．设AB 与B C ¢¢交于D 点，根据旋转角15CAC ¢Ð=°，等腰直角ABC V 的一锐角45CAB Ð=°，可求C AD ¢Ð，旋转前后对应边相等，对应角相等，6AC AC cm ==¢，90C C ¢Ð=Ð=°，根据勾股定理求得C D ¢，进而根据三角形的面积公式可求阴影部分面积．【详解】解：设AB 与B C ¢¢交于D 点，根据旋转性质得15CAC ¢Ð=°，而45CAB Ð=°，∴30C AD CAB CAC ¢¢Ð=Ð-Ð=°，又∵690AC AC cm C C ¢¢==Ð=Ð=°，，∴2AD C D ¢=，由勾股定理得，222AD C D AC ¢¢-=，即22246C D C D ¢¢-=，∴C D ¢=，∴阴影部分的面积2162=´´=．故答案为：11．C【分析】此题主要考查菱形的性质和直角三角形的性质．根据已知可得重叠部分是个八边形，从而求得其一边长即可得到其周长．【详解】解：2,60,AD A B DAB ==Ð=¢¢°Q 30,DAO B A O \Ð=Ð=¢°¢1,OD OB AO A O ==¢\=¢=1,AB AO B O ¢¢\=-=30,60DAC A B C Ð=°Ð¢=¢°Q 30,DAC AFB \¢Ð=Ð=°,AB B F FD A D \==¢=¢¢1,B F FD \=-¢根据旋转的性质可得阴影部分为各边长相等的八边形，\旋转前后两菱形里鲁部分多边形的周长是1)．故选：C ．12．【分析】过点C 作CH CA ¢^交BE 于点H ，连接AF ，根据题意得到,AF EF AC CE ==，易证CAF CEF Ð=Ð，由等腰三角形的性质推出CBE CEB Ð=Ð，推出CAF CBE Ð=Ð，证明()AAS AFC BHC V V ≌，得到,CF CH AF BH ==，进而证明CHF V 是等腰直角三角形，即可证明AMF V 是等腰直角三角形，推出利用勾股定理即可求出FH AF ====BF 的长．【详解】解：如图，过点C 作CH CA ¢^交BE 于点H ，连接AF ，Q 点E 与点A 关于线段CA ¢所在直线对称，\,AF EF AC CE ==，,CAE CEA FAE FEA \Ð=ÐÐ=Ð，\CAF CEF Ð=Ð，,BC AC AC CE ==Q ，CE BC \=，\CBE CEB Ð=Ð，\CAF CBE Ð=Ð，90ACF ACH BCH ACH Ð+Ð=Ð+Ð=°Q ，ACF BCH \Ð=Ð，\()AAS AFC BHC V V ≌，\,CF CH AF BH ==，\CHF V 是等腰直角三角形，45CFH CHF \Ð=Ð=°，180135BHC AFC CHF \Ð=Ð=°-Ð=°，45AFM \Ð=°\AMF V 是等腰直角三角形，MF AM\=Q 1CF =，3FM =，\FH AF ======\BF BH FH AF FH =+=+=故答案为：【点睛】本题考查了等腰直角三角形判定与性质，三角形全等的判定与性质，勾股定理，对称的性质，正确作出辅助线构造三角形全等时解题的关键．13．（1）AB BE DB =+，（2）不成立，见解析；（3）8【分析】本题考查旋转的性质、全等三角形的性质与判定、等边三角形的性质与判定，（1）由旋转的性质得，CD CE =，ACB DCE a Ð=Ð=，利用等量代换可得ACD BCE Ð=Ð，证得()ACD BCE SAS V V ≌，可得AD BE =，即可得证；（2）由旋转的性质得，ACB DCE a Ð=Ð=，CD CE =，利用等量代换可得ACD BCE Ð=Ð，证得()ACD BCE SAS V V ≌，可得AD BE =，即可证明；（3）在ED 上取一点P ，使EP FB =，由旋转的性质得CB CE =，B E Ð=Ð，证得()CFB CPE SAS V V ≌，可得CF CP =，FCB PCE Ð=Ð，从而可证FCP V 是等边三角形，可得CF FP =，即可求解．【详解】解：（1）由旋转的性质得，CD CE =，ACB DCE a Ð=Ð=，∵=ACD DCB a Ð+Ð，=DCB BCE a Ð+Ð，∴ACD BCE Ð=Ð，又∵CA CB =，∴()ACD BCE SAS V V ≌，∴AD BE =，∵AB AD DB =+，∴AB BE DB =+，故答案为：AB BE DB =+；（2）不成立，理由如下：由旋转的性质得，ACB DCE a Ð=Ð=，CD CE =，∴ACB BCD BCD DCE Ð+Ð=Ð+Ð，即ACD BCE Ð=Ð，又∵CA CB =，∴()ACD BCE SAS V V ≌，∴AD BE =，∵AD AB BD =+，∴=BE AB DB +；（3）在ED 上取一点P ，使EP FB =，由题意得，CB CE =，CBF CEP Ð=Ð，∴()CFB CPE SAS V V ≌，∴CF CP =，FCB PCE Ð=Ð，由题意得，60BCE Ð=°，∴60FCP FCB BCP PCE BCP BCE Ð=Ð+Ð=Ð+Ð=Ð=°，∴FCP V 是等边三角形，∴CF FP =，∴3418DE DF FP PE DF CF FB =++=++=++=，即线段DE 的长为8．14．(1)D BA DBC ¢Ð=Ð，理由见解析(2)证明见解析(3)证明见解析【分析】（1）根据旋转的性质得60DBD ¢Ð=°，BD BD ¢=，则可判断BDD ¢△为等边三角形，再利用ABC V 为等边三角形得到60ABC Ð=°，则可得到D BA DBC ¢Ð=Ð；（2）通过证明ABD CBD ¢≌V V 得到D A DC ¢=；（3）根据旋转的性质得60DCD ¢¢Ð=°，DC D C ¢¢=，则可判断DCD ¢¢△为等边三角形，于是得到DD DC ¢¢=，再与（2）的证明方法一样证明ACD BCD ¢¢≌V V 得到AD BD ¢¢=，于是AD DD ¢¢¢=，加上D A DC DD ¢¢¢==，从而可判断四边形AD DD ¢¢¢是平行四边形．【详解】（1）解：D BA DBC ¢Ð=Ð，理由如下：Q 以点B 为中心，把BD 逆时针旋转60°得到BD ¢，60DBD ¢\Ð=°，BD BD ¢=，BDD ¢\△为等边三角形，BD DD ¢\=，ABC QV 为等边三角形，60ABC \Ð=°，BA BC =，60DBD ABD D BA ¢¢Ð=Ð+Ð=°Q ，60ABC ABD DBC Ð=Ð+Ð=°，D BA DBC ¢\Ð=Ð；（2）证明：在ABD ¢△和CBD △中，BA BC D BA DBC BD BD =ìïÐ=¢¢=Ðíïî，()SAS ABD CBD ¢\≌V V ，D A DC ¢\=；（3）证明：Q 以点C 为中心，把CD 顺时针旋转60°得到CD ¢¢，60DCD ¢¢\Ð=°，DC D C ¢¢=，DCD ¢¢\△为等边三角形，DD DC ¢¢\=，ABC QV 为等边三角形，60ACB Ð=°∴，CA CB =，60DCD ACD D CA ¢¢¢¢Ð=Ð+Ð=°Q ，60ACB ACD DCB Ð=Ð+Ð=°，D CA DCB ¢¢\Ð=Ð，在ACD ¢¢△和BCD △中，CA CB D CA DCB D C DC =ìïÐ=Ðíï=¢¢¢î¢，()SAS ACD BCD ¢¢\≌V V ，AD BD ¢¢\=，由（1）可知：BD DD ¢=AD DD ¢¢¢\=，由（2）可知：D A DC ¢=，又DD DC ¢¢=Q ，D A DD ¢¢¢\=，\四边形AD DD ¢¢¢是平行四边形．【点睛】本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定等知识点，熟练掌握相关知识点是解题的关键．15．(1)见解析(2)8【分析】（1）根据旋转的性质得到60DCE CE CD Ð=°=，，利用等边三角形的性质得到60ACB AC BC Ð=°=，．则ACB DCE Ð=Ð，即可得到结论；（2）证明()SAS ACE BCD ≌△△．则AE BD =．证明CDE V 是等边三角形．进一步得到90ADE ADC CDE Ð=Ð+Ð=°．在Rt ADE V 中，由勾股定理即可得到DE 的长．【详解】（1）证明：由旋转的性质，知60DCE CE CD Ð=°=，．∵ABC V 是等边三角形，∴60ACB AC BC Ð=°=，．∴ACB DCE Ð=Ð．∴ACB ACD DCE ACD Ð+Ð=Ð+Ð，即BCD ACE Ð=Ð．（2）解：在ACE △和BCD △中，AC BC ACE BCD CE CD =ìïÐ=Ðíï=î，，，∴()SAS ACE BCD ≌△△．∴10AE BD ==．∵60DCE CD CE Ð=°=，，∴CDE V 是等边三角形．∴60CDE Ð=°．∵30ADC Ð=°，∴90ADE ADC CDE Ð=Ð+Ð=°．在Rt ADE V中，8DE ==【点睛】此题考查了旋转的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、等边三角形的判定和性质等知识，熟练掌握旋转的性质、全等三角形的判定和性质是解题的关键．16．(1)1802a°-(2)2AE BE CF =+，理由见解析(3)2【分析】（1）根据旋转的性质及三角形的内角和定理即可解答；（2）根据旋转的性质及等腰直角三角形的性质即可解答；（3）根据旋转的性质及等边三角形的性质得到1DH EH ==，再利用勾股定理及全等三角形的性质即可解答．【详解】（1）解：如图1中，∵将CAD V 绕点C 按逆时针方向旋转角a 得到CBE △，∴ACD BCE △△≌，DCE a Ð=，∴CD CE =，∴1802CDE a °-Ð=．故答案为：1802a °-．（2）解：2AE BE CF =+．理由如下：如图2中，∵将CAD V 绕点C 按逆时针方向旋转角90°得到CBE △，∴ACD BCE △△≌，∴AD BE =，CD CE =，90DCE Ð=°，∴CDE V 是等腰直角三角形，∵CF DE ^，∴2DF EF CF ==，∵AE AD DF EF =++，∴2AE BE CF =+．（3）解：如图3中，过点C 作CH DE ^于点H ．∵60a =°，∴ACB △，DCE △都是等边三角形，∴60CED Ð=°，∵60AEC Ð=°，∴60AEC CED Ð=Ð=°，∴A ，D ，E 共线，∵CH DE ^，2CD =，CD DE CE ==，∴1DH EH ==，∴CH ===∵CA =∴3AH ===，∴312AD AH DH =-=-=，∵ACD BCE △△≌，∴2BE AD ==．故答案为：2．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，旋转的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．17．(1)图见解析(2)图见解析(3)图见解析(4)图见解析【分析】本题主要考查了利用平移变换，旋转变化作图，熟练掌握作图技巧是解题的关键．（1）根据平移的方向和距离，即可得到ABC V 向下平移5个单位后的图形111A B C △；（2）根据旋转中心，旋转的方向以及角度，即可得到图像；（3）分别找出A C 、对应点，连接即可；（4）找出A 关于直线l 的对称点，连接A B ¢，交直线l 于点P ，此时PA PA ¢=，则PA PB A B ¢+=，使ABP V 的周长最小．【详解】（1）解：111A B C V 即为所求（2）解：222A B C V 即为所求。

人教版数学九年级上册23.1图形的旋转练习题.docx

23.1图形的旋转练习题一、单选题1．下列现象中属于旋转的是()A．摩托车在急刹车时向前滑动B．拧开水龙头C．雪橇在雪地里滑动D．电梯的上升与下降2．如图，直线AB与EF相交于点M，∠EMB＝88°，∠1＝60°，要使AB∥CD，则将直线AB绕点M逆时针旋转的度数为()A．28°B．30°C．60°D．88°3．如图,把直角三角形ABC绕直角顶点顺时针方向旋转90°后到达△A'B'C'的位置,延长AB交A'B'于点D,则∠ADA'的度数是( )A．30°B．60°C．75°D．90°4．下面四个图案中,不能由基本图案(图中阴影部分)旋转得到的是( )A．B．C．D．5．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（2，1），如果将线段OA绕点O 逆时针方向旋转90°，那么点A的对应点的坐标为（）A.（﹣1，2）B.（﹣2，1）C.（1，﹣2）D.（2，﹣1）6．如图，点E是正方形ABCD的边DC上一点，把△ADE绕点A顺时针旋转到ABF 的位置，若四边形AECF的面积为25，DE=2，则AE的长为（）A.7B.6 D.57．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，把△ABC绕AB边上的点D顺时针旋转90°得到△A′B′C′，A′C′交AB于点E，若AD=BE，则△A′DE的面积是（）A.3B.5C.11D.68．平面直角坐标系中，点A的坐标为（4，3），将线段OA绕原点O逆时针旋转90°得到OA′，则点A′的坐标是（）A.（﹣3，4）B.（4，﹣3）C.（3，﹣4）D.（﹣4，3） 9．如图，AOB 中，30B ∠=．将A O B 绕点O 顺时针旋转52得到A OB ''，边A B ''与边OB 交于点C （A '不在OB 上），则A CO ∠'的度数为（）A.22B.52C.60D.8210．如图，已知A （1，3），将线段OA 绕原点O 顺时针旋转90°后得到OA′，则OA′的长度是（）B.3C.D.1二、填空题 11．如图，正方形ABCD 的对角线相交于点O ，正三角形OEF 绕点O 旋转，在旋转过程中，当CF ＝DE 时，∠DOF 的大小是_____．12．已知点 P 坐标为(1，1)，将点 P 绕原点逆时针旋转45°得点P 1，则点P 1的坐标为__________.13．在平面直角坐标系中，先将函数y=2x+3的图象向下平移3个单位长度，再沿y 轴翻折，所得函数对应的解析式为_____．14．如图，在直角三角形ABC 中，90ACB ∠=︒，以AC 所在的直线为轴转一周所得到的几何体是__________．15．一个图形在旋转的过程中，对应角的大小_______.16．如图，紫荆花绕着它的中心最少旋转 ________度就可以与它自身重合.17．在Rt △ABC 中，90C =∠，5AB =，4AC =，点D 是斜边AB 的中点，把ABC ∆绕点C 旋转，使得点B 落在射线CD 上，点A 落在点'A ，那么'AA 的长是_________． 18．将边长为1的正方形ABCD 绕点C 按顺时针方向旋转到FECG 的位置（如图），使得点D 落在对角线CF 上，EF 与AD 相交于点H ，则HD ＝_________.（结果保留根号）19．如图，在平面直角坐标系中，2,0,()()0,1A B ，AC 由AB 绕点A 顺时针旋转90︒而得，则AC 所在直线的解析式是___．20．如图，在平面直角坐标系中，点A（0，2），B（0），点P为线段AB的中点，将线段AB绕点O顺时针旋转60°后点P的对应点的坐标是___________．三、解答题21．如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α，将△BOC绕点C 顺时针方向旋转60°，到△ADC，连接OD．（1）求证：△COD是等边三角形；（2）当α＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由．（3）探索：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形．22．如图①，在平面直角坐标系中，等边△ABC的顶点A，B的坐标分别为（5，0），（9，0），点D是x轴正半轴上一个动点，连接CD，将△ACD绕点C逆时针旋转60°得到△BCE，连接DE．（1）直接写出点C的坐标，并判断△CDE的形状，说明理由；（2）如图②，当点D在线段AB上运动时，△BDE的周长是否存在最小值？若存在，求出△BDE的最小周长及此时点D的坐标；若不存在，说明理由；（3）当△BDE是直角三角形时，求点D的坐标．（直接写出结果即可）。

人教版2021年九年级上册：23.1.1 图形的旋转及性质同步练习(含答案)

人教版2021年九年级上册：23.1图形的旋转同步练习第1课时图形的旋转及性质一、选择题1.下列运动形式属于旋转的是()A.放飞的风筝B.飞奔的高铁动车C.时钟上分针的运动D.鱼在水中游动2.如图,把△AOB绕点O顺时针旋转得到△COD,则旋转角是()A.∠AOCB.∠AODC.∠AOBD.∠BOC第2题图第3题图第4题图3.如图,在4×4的正方形网格中,△PMN绕某点旋转一定的角度,得到△P1M1N1,其旋转中心是()A.点AB.点BC.点CD.点D4.如图所示的每个小三角形是全等的等边三角形,其中的菱形AEFG可以看成是菱形ABCD以点A 为中心()A.顺时针旋转60°所得到的B.逆时针旋转60°所得到的C.顺时针旋转120°所得到的D.逆时针旋转120°所得到的5.如图,将△ABC绕点C逆时针旋转60°得到△A'B'C,点A在边B'C上.若∠B＝30°,则∠A'的大小是( )A.30°B.60°C.90°D.120°第5题图第6题图第7题图6.如图,一块含30°角的直角三角板ABC绕点C顺时针旋转一定角度得到△A'B'C,当点B,C,A'在一条直线上时,三角板ABC的旋转角度为()A.150°B.120°C.60°D.30°7.如图,将Rt△ABC绕点A顺时针旋转一定角度得到Rt△ADE,使得点B的对应点D恰好落在BC 边上.若AB＝1,∠B＝60°,则CD的长为()A.0.5B.1.5C.√2D.18.如图,正方形OABC绕着点O逆时针旋转40°得到正方形ODEF,连接AF,则∠OFA的度数()A.20°B.25°C.30°D.35°9.如图,在矩形ABCD中,AD＝4,DC＝3,将△ADC绕点A逆时针旋转一定角度得到△AEF(点A,B,E 在同一条直线上),连接CF,则CF的长为()A.5B.3√2C.4√2D.5√2第8题图第9题图第10题图10.如图,在Rt△ABC中,∠ACB＝90°,线段BC绕点B逆时针旋转α(0°<α<180°)得到线段BD,过点A作AE⊥射线CD于点E,则∠CAE的度数是()A.90°－αB.αC.90°－α2D.α211.(2020·天津)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，使点B的对应点E恰好落在边AC上，点A的对应点为D，延长DE交AB于点F，则下列结论一定正确的是()A．AC＝DE B．BC＝EFC．∠AEF＝∠D D．AB⊥DF12.(2020·大连)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝40°.将△ABC绕点B逆时针旋转得到△A′BC′，使点C的对应点C′恰好落在边AB上，则∠CAA′的度数是()A．50° B．70° C．110° D．120°13.(2020·苏州)如图，在△ABC中，∠BAC＝108°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△AB′C′.若点B′恰好落在BC边上，且AB′＝CB′，则∠C′的度数为()A．18° B．20° C．24° D．28°14.(2020·海南)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，AC＝1 cm，将Rt△ABC绕点A逆时针旋转得到Rt△AB′C′，使点C′落在AB边上，连接BB′，则BB′的长度是()A．1 cm B．2 cmC. 3 cm D．2 3 cm二、填空题15.如图,△ABC是等腰直角三角形,D是AB边上一点,△CBD经旋转后到达△CAE的位置,则旋转中心是;旋转角度是;点B的对应点是;点D的对应点是;线段CB的对应线段是;∠B的对应角是.16.如图,F是等边△ABC内一点,将△ABF绕点B顺时针旋转60°得△CBG,连接FG,则△BFG的形状是.17.如图,两个完全相同的正五边形ABCDE,AFGHM的边DE,MH在同一条直线上,且有一个公共顶点A.若正五边形ABCDE绕点A旋转x度恰好与正五边形AFGHM的一条边重合,则x的最小值为.18.如图,正方形ABCD的边长为5,O是AB边的中点,E是正方形内的一个动点,OE＝2,将线段CE绕点C逆时针旋转90°得到CF,连接OF,则线段OF的最小值为.三、解答题19.如图,在△ABC中,AB＝AC,∠BAC＝100°,将△ABC绕点A逆时针旋转40°得到△ADE,BC与AD,DE分别交于点G,F.(1)求∠AGC的度数;(2)求证:四边形ABFE是菱形.20.如图,在Rt△ABC中,∠ACB＝90°,点D,E分别在AB,AC上,EC＝BC,连接CD,将线段CD绕点C顺时针旋转90°得到线段CF,连接EF.(1)补全图形;(2)若EF∥CD,求证:∠BDC＝90°.21.如图,E是正方形ABCD的边BC上一点,连接AE,将线段AE绕点E顺时针旋转一定的角度得到EF,点C在EF上,连接AF交边CD于点G.(1)若AB＝4,BF＝8,求CE的长;(2)求证:AE＝BE＋DG.22.(中考·宁波)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是AB边上一点(点D与A，B不重合)，连接CD，将线段CD绕点C按逆时针方向旋转90°得到线段CE，连接DE交BC于点F，连接BE.(1)求证：△ACD≌△BCE；(2)当AD＝BF时，求∠BEF的度数；(3)求证：DE2＝BD2＋AD2.23.(2019·荆州)如图①，等腰直角三角形OEF的直角顶点O为正方形ABCD的中心，点C，D分别在OE和OF上，现将△OEF绕点O逆时针旋转α角(0°<α<90°)，连接AF，DE(如图②)．(1)在图②中，∠AOF＝________(用含α的式子表示)；(2)在图②中猜想AF与DE的数量关系，并证明你的结论．24.【探索新知】如图1,射线OC在∠AOB的内部,图中共有3个角:∠AOB,∠AOC和∠BOC,若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍,则称射线OC是∠AOB的“巧分线”.(1)一个角的平分线这个角的“巧分线”;(填“是”或“不是”)(2)如图2,若∠MPN=α,且射线PQ是∠MPN的“巧分线”,则∠MPQ=.(用含α的代数式表示出所有可能的结果)【深入研究】如图2,若∠MPN=60°,且射线PQ绕点P从PN位置开始,以每秒10°的速度逆时针旋转,当PQ与PN成180°时停止旋转,旋转的时间为t秒.(3)当t为何值时,射线PM是∠QPN的“巧分线”?(4)若射线PM同时绕点P以每秒5°的速度逆时针旋转,并与PQ同时停止,请直接写出当射线PQ 是∠MPN的“巧分线”时t的值.参考答案一、选择题1.下列运动形式属于旋转的是(C)A.放飞的风筝B.飞奔的高铁动车C.时钟上分针的运动D.鱼在水中游动2.如图,把△AOB绕点O顺时针旋转得到△COD,则旋转角是(A)A.∠AOCB.∠AODC.∠AOBD.∠BOC第2题图第3题图第4题图3.如图,在4×4的正方形网格中,△PMN绕某点旋转一定的角度,得到△P1M1N1,其旋转中心是(B)A.点AB.点BC.点CD.点D4.如图所示的每个小三角形是全等的等边三角形,其中的菱形AEFG可以看成是菱形ABCD以点A 为中心(D)A.顺时针旋转60°所得到的B.逆时针旋转60°所得到的C.顺时针旋转120°所得到的D.逆时针旋转120°所得到的5.如图,将△ABC绕点C逆时针旋转60°得到△A'B'C,点A在边B'C上.若∠B＝30°,则∠A'的大小是(C)A.30°B.60°C.90°D.120°第5题图第6题图第7题图6.如图,一块含30°角的直角三角板ABC绕点C顺时针旋转一定角度得到△A'B'C,当点B,C,A'在一条直线上时,三角板ABC的旋转角度为(A)A.150°B.120°C.60°D.30°7.如图,将Rt△ABC绕点A顺时针旋转一定角度得到Rt△ADE,使得点B的对应点D恰好落在BC 边上.若AB＝1,∠B＝60°,则CD的长为(D)A.0.5B.1.5C.√2D.18.如图,正方形OABC绕着点O逆时针旋转40°得到正方形ODEF,连接AF,则∠OFA的度数(B)A.20°B.25°C.30°D.35°9.如图,在矩形ABCD中,AD＝4,DC＝3,将△ADC绕点A逆时针旋转一定角度得到△AEF(点A,B,E 在同一条直线上),连接CF,则CF的长为(D)A.5B.3√2C.4√2D.5√2第8题图第9题图第10题图10.如图,在Rt△ABC中,∠ACB＝90°,线段BC绕点B逆时针旋转α(0°<α<180°)得到线段BD,过点A作AE⊥射线CD于点E,则∠CAE的度数是(C)A.90°－αB.αC.90°－α2D.α211.(2020·天津)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，使点B的对应点E恰好落在边AC上，点A的对应点为D，延长DE交AB于点F，则下列结论一定正确的是(D)A．AC＝DE B．BC＝EFC．∠AEF＝∠D D．AB⊥DF12.(2020·大连)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝40°.将△ABC绕点B逆时针旋转得到△A′BC′，使点C的对应点C′恰好落在边AB上，则∠CAA′的度数是(D)A．50° B．70° C．110° D．120°13.(2020·苏州)如图，在△ABC中，∠BAC＝108°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△AB′C′.若点B′恰好落在BC边上，且AB′＝CB′，则∠C′的度数为(C)A．18° B．20° C．24° D．28°14.(2020·海南)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，AC＝1 cm，将Rt△ABC绕点A 逆时针旋转得到Rt△AB′C′，使点C′落在AB边上，连接BB′，则BB′的长度是(B)A．1 cm B．2 cmC. 3 cm D．2 3 cm二、填空题15.如图,△ABC是等腰直角三角形,D是AB边上一点,△CBD经旋转后到达△CAE的位置,则旋转中心是点C;旋转角度是90°;点B的对应点是A;点D的对应点是E;线段CB的对应线段是CA;∠B的对应角是∠CAE.16.如图,F是等边△ABC内一点,将△ABF绕点B顺时针旋转60°得△CBG,连接FG,则△BFG的形状是等边三角形.17.如图,两个完全相同的正五边形ABCDE,AFGHM的边DE,MH在同一条直线上,且有一个公共顶点A.若正五边形ABCDE绕点A旋转x度恰好与正五边形AFGHM的一条边重合,则x的最小值为36.18.如图,正方形ABCD的边长为5,O是AB边的中点,E是正方形内的一个动点,OE＝2,将线段CE绕点C逆时针旋转90°得到CF,连接OF,则线段OF的最小值为5√102－2.提示:如图,连接CO,将线段CO绕点C逆时针旋转90°得到CM,连接FM,OM,∴∠ECF＝∠OCM ＝90°,∴∠ECO＝∠FCM.∵CE＝CF,CO＝CM,∴△ECO≌△FCM(SAS),∴FM＝OE＝2.∵正方形ABCD中,AB＝5,O是AB边的中点,∴OB＝2.5,∴OC＝√52＋(52)2＝5√52,∴OM＝√2OC＝5√10 2.∵OF＋MF≥OM,∴OF≥5√102－2,∴线段OF的最小值为5√102－2.三、解答题19.如图,在△ABC中,AB＝AC,∠BAC＝100°,将△ABC绕点A逆时针旋转40°得到△ADE,BC与AD,DE分别交于点G,F.(1)求∠AGC的度数;(2)求证:四边形ABFE是菱形.解:(1)∵AB＝AC,∠BAC＝100°,∴∠B＝∠C＝40°.由旋转的性质可知∠BAD＝40°,∴∠AGC＝∠B＋∠BAD＝80°.(2)由旋转的性质可知∠D＝∠B＝∠BAD＝40°,∠DAE＝100°,∴AB∥DE.由(1)知∠AGC＝80°,∴∠DAE＋∠AGC＝180°,∴AE∥BF,∴四边形ABFE是平行四边形.又∵AB＝AC＝AE,∴四边形ABFE是菱形.20.如图,在Rt△ABC中,∠ACB＝90°,点D,E分别在AB,AC上,EC＝BC,连接CD,将线段CD绕点C顺时针旋转90°得到线段CF,连接EF.(1)补全图形;(2)若EF∥CD,求证:∠BDC＝90°.解:(1)补全图形,如图所示.(2)由旋转的性质可知∠DCF ＝∠DCE ＋∠ECF ＝90°,CD ＝CF.∵∠ACB ＝∠DCE ＋∠BCD ＝90°,∴∠ECF ＝∠BCD.∵EF ∥CD ,∴∠EFC ＋∠DCF ＝180°,∴∠EFC ＝90°.在△BDC 和△EFC 中,{CD ＝CF,∠BCD ＝∠ECF,BC ＝EC,∴△BDC ≌△EFC (SAS),∴∠BDC ＝∠EFC ＝90°.21.如图,E 是正方形ABCD 的边BC 上一点,连接AE ,将线段AE 绕点E 顺时针旋转一定的角度得到EF ,点C 在EF 上,连接AF 交边CD 于点G.(1)若AB ＝4,BF ＝8,求CE 的长;(2)求证:AE ＝BE ＋DG.解:(1)∵四边形ABCD 为正方形,∴AB ＝BC ＝4,∠ABC ＝90°.∵BF ＝8,∴CF ＝BF －BC ＝4.由旋转的性质知,EF ＝AE ,∴BE ＝BF －EF ＝BF －AE ＝8－AE ,在Rt △ABE 中,AB 2＋BE 2＝AE 2,即42＋(8－AE )2＝AE 2,解得AE ＝5,∴CE ＝EF －CF ＝AE －CF ＝5－4＝1.(2)延长EB 到点H ,使得BH ＝DG ,易证△ADG ≌△ABH (AAS),∴∠BAH ＝∠DAG ,∴∠HAF ＝∠BAD ＝90°.∵AE ＝EF ,∴∠EAF ＝∠F.∵∠EAH ＋∠EAF ＝90°,∠F ＋∠H ＝90°,∴∠H ＝∠EAH ,∴EA ＝EH.∵EH ＝BE ＋BH ＝BE ＋DG ,∴AE ＝BE ＋BG.22.(中考·宁波)如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，D 是AB 边上一点(点D 与A ，B 不重合)，连接CD ，将线段CD 绕点C 按逆时针方向旋转90°得到线段CE ，连接DE 交BC 于点F ，连接BE .(1)求证：△ACD ≌△BCE ；证明：由题意可知CD ＝CE ，∠DCE ＝90°.∵∠ACB ＝90°，∴∠DCE ＝∠ACB .∵∠ACD ＝∠ACB －∠DCB ，∠BCE ＝∠DCE －∠DCB ，∴∠ACD ＝∠BCE .在△ACD 和△BCE 中，⎩⎨⎧AC ＝BC ，∠ACD ＝∠BCE ，CD ＝CE ，∴△ACD ≌△BCE (SAS)．(2)当AD ＝BF 时，求∠BEF 的度数；解：∵∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，∴∠A ＝45°.由(1)知△ACD ≌△BCE ，∴∠A ＝∠CBE ＝45°，AD ＝BE .∵AD ＝BF ，∴BE ＝BF .∴∠BEF ＝180°－45°2＝67.5°. (3)求证：DE 2＝BD 2＋AD 2.证明：由(1)知△ACD ≌△BCE ，∴∠A ＝∠CBE ，AD ＝BE .∵∠ACB ＝90°，∴∠A ＋∠CBA ＝90°.∴∠CBE ＋∠CBA ＝90°.∴∠EBD ＝90°.∴DE 2＝BD 2＋BE 2.∴DE 2＝BD 2＋AD 2.23.(2019·荆州)如图①，等腰直角三角形OEF 的直角顶点O 为正方形ABCD 的中心，点C ，D 分别在OE 和OF 上，现将△OEF 绕点O 逆时针旋转α角(0°<α<90°)，连接AF ，DE (如图②)．(1)在图②中，∠AOF ＝________(用含α的式子表示)；【思路点拨】如图②，利用旋转的性质得到∠DOF ＝∠COE ＝α，再根据正方形的性质得到∠AOD ＝90°，从而得到∠AOF ＝90°－α；(2)在图②中猜想AF 与DE 的数量关系，并证明你的结论．【思路点拨】如图②，利用正方形的性质得到∠AOD ＝∠COD ＝90°，OA ＝OD ，再利用△OEF 为等腰直角三角形得到OF ＝OE ，利用(1)的结论得到∠AOF ＝∠DOE ，则可证明△AOF ≌△DOE ，从而得到AF ＝DE .解：AF ＝DE .证明如下：∵四边形ABCD 为正方形，∴∠AOD ＝∠COD ＝90°，OA ＝OD .∵∠DOF ＝∠COE ＝α.∴∠AOF ＝∠DOE .∵△OEF 为等腰直角三角形，∴OF ＝OE .在△AOF 和△DOE 中，⎩⎨⎧AO ＝DO ，∠AOF ＝∠DOE ，OF ＝OE ，∴△AOF ≌△DOE (SAS)．∴AF ＝DE .24.【探索新知】如图1,射线OC 在∠AOB 的内部,图中共有3个角:∠AOB ,∠AOC 和∠BOC ,若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍,则称射线OC 是∠AOB 的“巧分线”.(1)一个角的平分线是这个角的“巧分线”;(填“是”或“不是”)(2)如图2,若∠MPN=α,且射线PQ 是∠MPN 的“巧分线”,则∠MPQ= 12α或13α或23α .(用含α的代数式表示出所有可能的结果)【深入研究】如图2,若∠MPN=60°,且射线PQ 绕点P 从PN 位置开始,以每秒10°的速度逆时针旋转,当PQ 与PN 成180°时停止旋转,旋转的时间为t 秒.(3)当t 为何值时,射线PM 是∠QPN 的“巧分线”?(4)若射线PM同时绕点P以每秒5°的速度逆时针旋转,并与PQ同时停止,请直接写出当射线PQ 是∠MPN的“巧分线”时t的值.×60,解得t=9;解:(3)依题意有①10t=60+12②10t=2×60,解得t=12;③10t=60+2×60,解得t=18.故当t为9或12或18时,射线PM是∠QPN的“巧分线”.(4)当t为2.4或4或6时,射线PQ是∠MPN的“巧分线”.提示:依题意有①10t=1(5t+60),解得t=2.4;3②10t=1(5t+60),解得t=4;2③10t=2(5t+60),解得t=6.3。

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1 / 12 223.1 图形的旋转练习试卷班级姓名

一、选择题 1.下列物体的运动不是旋转的是( ) A.坐在摩天轮里的小朋友 B.正在走动的时针 C.正在行走的月球车玉兔二号 D.正在转动的风车叶片 2. (2019天津河北期中)如图,△ABC是等边三角形,点P在△ABC内,PA=2,将△PAB绕点A逆时针旋转得到△QAC,则PQ的长等于( )

A.2 B.3 C.32 D.1 3.(2019浙江台州临海期末)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=12,BC=5,将△ABC绕AB上的点O顺时针旋转90°,得到△A'B'C',连接BC'.若BC'∥A'B',则OB的长为( )

A.6013 B.5 C.6512 D.245 4..(2019福建莆田期中)如图,在等腰Rt△ABC中,∠C=90°,点O是AB的中点,边AC的长为6,将一块边长足够长的三角板的直角顶点放在点O处,将三角板绕着点O旋转,始终保持三角板的直角边与AC相交,交点为D,另一条直角边与BC相交,交点为E,则等腰直角三角形ABC的边被三角板覆盖部分的两条线段CD与CE长度之和为( ) 2 / 12

A.7 B.6 C.5 D.4 5.如图,△ABC为等腰直角三角形,∠ACB=90°,将△ABC绕点A逆时针旋转75°,得到△AB'C',过点B'作B'D⊥CA,交CA的延长线于点D,若AC=6,则AD的长为( )

A.2 B.3 C.23 D.32 6. (2019浙江湖州长兴期中)下列图形中,由原图旋转得到的是( )

7. (2019河北唐山路南期中,14,★★☆)如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=4,将斜边AB绕点A逆时针旋转90°至AB'.连接B'C,则△AB'C的面积为( )

A.4 B.6 C.8 D.10 8. (2018广西桂林中考,11,★★☆)如图,在正方形ABCD中,AB=3,点M在CD边上,且DM=1,△AEM与△ADM关于AM所在直线对称,将△ADM按顺时针方向绕点A旋转90°得到△ABF,连接EF,则线段EF的长为( )

A.3 B.23 3 / 12

C.13 D.15 9. (2018江苏南通海安模拟)如图,点C为线段AB的中点,E为直线AB上方的一点,且满足CE=CB,连接AE,以AE为腰,A为顶角顶点作等腰Rt△ADE,连接CD,当CD最大时,∠DEC的度数为( )

A.60° B.75° C.67.5° D.90° 二、填空题 10. 如图,在平面直角坐标系xOy中,已知点A(3,4),将OA绕坐标原点O逆时针旋转90°至OA',则点A'的坐标是 .

11. 如图,在平面直角坐标系xOy中,已知点A(-3,0),B(-1,2).以原点O为旋转中心,将△AOB顺时针旋转90°,再沿y轴向下平移两个单位,得到△A'O'B',其中点A'与点A对应,点B'与点B对应.则点A'的坐标为 ,点B'的坐标为 . 4 / 12

12. (2019湖北襄樊襄城月考)如图,△ABC是边长为4的等边三角形,点D是AB上异于A,B的一动点,将△ACD绕点C逆时针旋转60°得到△BCE,则△BDE周长的最小值是 .

13. (2019广东珠海香洲期末)如图,在△ABC中,AB=AC,∠C=72°,△ABC绕点B逆时针旋转,当点C的对应点C1落在边AC上时,设AC的对应边A1C1与AB的交点为E,则∠BEC1= °.

14如图,边长为6的等边三角形ABC中,E是对称轴AD上的一个动点,连接EC,将线段EC绕点C逆时针旋转60°得到FC,连接DF,则在点E运动过程中,DF的最小值是 .

15. (2019山西太原期中)如图,正方形ABCD中,AB=2,对角线AC,BD相交于点O,将△OBC绕点B逆时针旋转得到△O'BC',当射线O'C'经过点D时,线段DC'的长为 . 5 / 12

三、解答题 16.(2019广东潮州饶平期末)如图,在平面直角坐标系xOy中,△ABC的三个顶点坐标分别为A(-1,0),B(-2,-2),C(-4,-1). (1)将△ABC绕点O逆时针旋转90°得到△A1B1C1,请画出△A1B1C1; (2)点C1的坐标为 . 6 / 12

17.(2019浙江台州三门期中)如图,把正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转45°得到正方形A'B'CD' (此时,点B'落在对角线AC上,点A'落在CD的延长线上),A'B'交AD于点E,连接AA'、CE. 求证:(1)AA'=CE; (2)直线CE是线段AA'的垂直平分线.

参考答案和解析 1.答案 C 正在行走的月球车玉兔二号在行进的过程中没有发生旋转.故选C. 2. 答案 A ∵△ABC是等边三角形, 7 / 12

∴AC=AB,∠CAB=60°, ∵将△PAB绕点A逆时针旋转得到△QAC, ∴△CQA≌△BPA, ∴AQ=AP,∠CAQ=∠BAP, ∴∠CAB=∠CAP+∠BAP=∠CAP+∠CAQ=60°, 即∠PAQ=60°,又PA=QA, ∴△APQ是等边三角形, ∴QP=PA=2.故选A. 3.答案 A 如图,连接OC,OC',作CH⊥AB于H.在Rt△ACB中,∵AC=12,BC=5,∴AB=52+122=13, ∵12·AB·CH=12·AC·BC.∴CH=6013.∵△ABC绕AB上的点O顺时针旋转90°,得到△A'B'C',∴OC=OC', ∠COC'=∠BOB'=90°.∵BC'∥A'B',∴BC'⊥AB,∴∠CHO=∠OBC'=90°.∵∠COH+∠BOC'=90°, ∠COH+∠OCH=90°, ∴∠OCH=∠BOC',∴△CHO≌△OBC'(AAS),∴OB=CH=6013,故选A.

4. .答案 B 连接OC. ∵AC=BC,AO=BO,∠ACB=90°, ∴∠ACO=∠BCO=12∠ACB=45°,OC⊥AB,∠A=∠B=45°,∴OC=OB. ∵∠BOE+∠EOD+∠AOD=180°,∠EOD=90°, ∴∠BOE+∠AOD=90°, 又∵∠COD+∠AOD=90°, ∴∠BOE=∠COD. 在△OCD和△OBE中, ∠OCD=∠B,OC=OB,∠COD=∠BOE, 8 / 12

∴△OCD≌△OBE(ASA),∴CD=BE, ∴CD+CE=BE+CE=BC=AC=6.故选B.

5.答案 D 在等腰直角△ABC中,AB=AC2+BC2=62+62=62,由旋转的性质知AB'=AB=62,∠BAB'=75°. 在直角△B'AD中,∠B'AD=180°-∠BAC-∠BAB'=180°-45°-75°=60°,则AD=62×12=32.故选D. 6. 答案 D 选项A是由图形通过轴对称得到的;选项B是由图形通过轴对称得到的;选项C是由图形通过轴对称和旋转得到的;选项D是由图形通过顺时针旋转90°得到的.故选D. 7. 答案 C 如图,过点B'作B'E⊥AC于点E,由题意得AB=AB',∠BAB'=90°,∴∠BAC+ ∠B'AC=90°,且∠B'AC+∠AB'E=90°,∴∠BAC=∠AB'E,又∠AEB'=∠BCA=90°,AB=B'A, ∴△ABC≌△B'AE(AAS),∴AC=B'E=4, ∴S△AB'C=12×AC×B'E=12×4×4=8.故选C.

8. 答案 C 连接BM,如图所示. 由对称和旋转可知,△ADM≌△AEM≌△ABF, ∴AD=AE=AB,AF=AM,∠FAB=∠MAD=∠MAE, ∴∠FAB+∠BAE=∠MAE+∠BAE, 9 / 12

∴∠FAE=∠MAB, 在△FAE和△MAB中, AF=AM,∠FAE=∠MAB,AE=AB, ∴△FAE≌△MAB(SAS). ∴EF=BM, 又在正方形ABCD中,AB=DC=BC=3, 而DM=1,∴MC=2, ∴在Rt△BCM中,根据勾股定理得 BM=BC2+MC2=32+22=13, ∴EF=13,故选C. 9. 答案 C 如图1中,将线段CA绕点A逆时针旋转90°得到线段HA,连接CH,DH. ∵∠DAE=∠HAC=90°,∴∠DAH=∠EAC. ∵DA=EA,HA=CA, ∴△DAH≌△EAC(SAS), ∴∠ADH=∠AEC,DH=CE. ∵CD≤DH+CH,∴当D,C,H共线时,DC最大. 如图2中,此时∠AHD=∠ACE=∠HAC+∠ACH=135°, ∴∠ECB=45°,∠DCE=∠ACE-∠ACH=90°. ∵C为AB中点,CE=CB,∴AC=CB=CE. ∵∠ECB=∠CAE+∠CEA, ∴∠CAE=∠CEA=22.5°, ∴∠ADH=∠AEC=22.5°, ∵△ADE为等腰直角三角形, ∴∠ADE=45°,∴∠CDE=45°-22.5°=22.5°, ∴∠DEC=90°-22.5°=67.5°.故选C. 10. 答案 (-4,3) 解析如图,过点A作AB⊥x轴于点B,过点A'作A'B'⊥x轴于点B', 10 / 12

由题意知OA=OA',∠AOA'=90°, ∴∠A'OB'+∠AOB=90°, ∵∠AOB+∠OAB=90°, ∴∠OAB=∠A'OB', 在△AOB和△OA'B'中,∠OAB=∠A'OB',∠ABO=∠OB'A',OA=A'O, ∴△AOB≌△OA'B' (AAS), ∴OB'=AB=4,A'B'=OB=3, ∴点A'的坐标为(-4,3). 11. 答案 (0,1);(2,-1) 解析根据题意作图如下,观察图形可知,A'(0,1),B'(2,-1).

12. 答案 23+4 解析 ∵将△ACD绕点C逆时针旋转60°得到△BCE,∴∠DCE=60°,DC=EC,∴△CDE是等边三角形,由旋转的性质得BE=AD,∴C△DBE=BE+DB+DE=AB+DE=4+DE,∵△CDE是等边三角形, ∴DE=CD,∴C△DBE=CD+4.由垂线段最短可知,当CD⊥AB时,CD最短,△BDE的周长最小,此时,CD=42-22=23,∴△BDE的最小周长=CD+4=23+4. 13答案 72 解析 ∵AB=AC,∠C=72°,∴∠ABC=∠C=72°,∵BC=BC1,∴∠CBC1=180°-72°-72°=36°,∴∠ABC1=72°-36°=36°.∵△ABC绕点B逆时针旋转得到△A1BC1,∴∠A1C1B=∠C=72°,∴∠BEC1=180°-∠A1C1B-∠ABC1=72°.

14.答案 1.5