函数的连续性精品PPT课件

x0
x0
右连续但不左连续 ,
故函数 f ( x)在点 x 0处不连续.
4.连续函数与连续区间
f(x)在(a,b)内连续: x0 (a,b),f (x)在x0连续
f (x)在闭区间[a,b]上连续 :
(1)f (x)在(a,b)连续 (2) lim f (x) f (a)
xa
(3) lim f (x) f (b) xb
x0
x
又 f (0) 0, lim f ( x) f (0), x0
由定义2.9知
函数 f ( x)在 x 0处连续.
3.单侧连续 若函数f ( x)在(a, x0 ]内有定义,且f ( x0 0) f ( x0 ),
则称f ( x)在点x0处左连续;
若函数f ( x)在[ x0 , b)内有定义,且f ( x0 0) f ( x0 ), 则称f ( x)在点x0处右连续.
性质2.14
函数 f (x)在 x0 处连续 f (x0 0) f (x0 0) f (x0 )
例2
讨论函数
f
(
x)
x x
2, 2,
x 0, 在 x 0处的 x 0,
连续性.
解 lim f ( x) lim( x 2) 2 f (0),
x0
x0
lim f ( x) lim( x 2) 2 f (0),
存 在, 则称点 x0为函数 f ( x)的第一类间断点 .
1)跳跃间断点 f ( x0 0) f ( x0 0)
2)可去间断点
lim
xx0
f
(x)
A
,但(1)A
f
(x0
),
或(2)f (x)在点x0处无定义
则称点x0为函数 f (x)的可去间断点 .
注意 可去间断点只要改变或者补充间断处函 数的定义, 则可使其变为连续点.
例5 讨论函数
f
(x)
2 1,
x,
0 x 1, x1
1 x, x 1,
在x 1的连续性
y y 1 x
2 y2 x
1
o1
x
lim f ( x) 2 f (1), x 0为函数的可去间断点 .
x1
令 f (1) 2,
y
则
f (x)
2 x, 1 x,
0 x 1, x 1,
(3) lim x x0
f (x)
f ( x0 ).
定义 : 设y f (x)在x0处满足下面三条件之一,
(1) f (x)在x0的去心邻域内有定义,但在x0无定义.
(2) lim f (x)不存在 x x0
(3) lim x x0
f
( x)存在但不等于f
(x0 ).
则称 函数 f (x)在点 x0处不连续 (或间断), 并称点 x0为
在x 1处连续.
2 1
o1
x
2.第二类间断点 如果 f ( x)在点 x0处的左、 右极限至少有一个不存 在, 则称点 x0为函数 f ( x)的第二类间断点 .
例6
讨论函数
f (x)
1 , x
x 0,在x 0处的连续性.
x, x 0,
y
解 f (0 0) 0, f (0 0) ,
(x)在x0连续.
例1：证明y x2在x x0处连续
证明：lim x0
y
lim[
x0
x0
x2 x02 ]
lim [2
x0
x0
x(
x)2] 0
y x2在x x0处连续
例1
试证函数
f
(x)
x sin
1, x
x 0, 在x 0
0, x 0,
处连续.
证 lim x sin 1 0,
★ 狄利克雷函数
y
D( x)
1, 0,
当x是有理数时 , 当x是无理数时 ,
在定义域R内每一点处都间断，且都是第二类间断点。
★
f
(
x)Βιβλιοθήκη Baidu
1, 1,
当x是有理数时 , 当x是无理数时 ,
在定义域 R内每一点处都间断, 但其绝对值处处连续.
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例8 当a取何值时,
函数
f
(x)
cos a
x, x,
x 0, 在 x 0处连续. x 0,
解 f (0) a,
f (0 0) lim cos x 1, x0
f (0 0) lim (a x) a, x0
四、函数的连续性
(一)、连续的定义
1.函数的增量
设函数 f (x)在O (x0 )内有定义, x O (x0 ), x x x0 , 称为自变量在点 x0的增量.
y f ( x) f ( x0 ),称为函数 f ( x)相应于x的增量.
y
y
y f (x)
y f (x)
y
y
x
x
0 x0 x0 x x 0 x0 x0 x x
f (x)的不连续点(或间断点).
例3 f(x) x(x 2) x2 4 的间断点个数为 __1个, (x 2)(x 1)
间断点为 __x_=_2_ .
例4
讨论函数
f
(
x)
x, 1 x,
x 0,在x 0处的连续性. x 0,
y
o
x
1.第一类间断点 如果 f ( x)在点 x0处的左、右极限都
若f(x)在定义域内连续,则称f(x)为连续函数. 连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.
定理2.3: 基本初等函数在定义域内都是连续的.
(二)、函数的间断点及类型
函数 f ( x)在点 x0处连续必须满足的三个 条件 :
(1) f ( x)在点x0处有定义;
(2) lim f ( x)存在; x x0
设 x x x0,
y f ( x) f ( x ), 0
x x0就是x 0, f (x) f (x0 )就是y 0.
定义2.9中 lim xx0
f
(x)
f
(x0
)可写成
lim y 0
x0
定义2.9可写成 : 设函数y f(x)的定义域为D, x0 D,
若
lim
x0
y
0,则称f
x 0为函数的第二类间断点.
o
x
这种情况称为无穷间 断点.
例7 讨论函数 f ( x) sin 1 在 x 0处的连续性 . x
解 在x 0处没有定义,
且 lim sin 1 不存在. x0 x
y sin 1 x
x 0为第二类间断点 .
这种情况称为振荡间断点.
注意 不要以为函数的间断点只能是个别的几个点.
2.连续的定义
定义2.9 设函数y f(x)的定义域为D, x0 D,
若
lim
xx0
f
(x)
f
(x0
),则称f
(x)在x0连续.
x0称为f (x)的连续点.
与 lim f (x) A定义的区别在于 :
xx0
lim
xx0
f
(x)
A
:
(1)f
( x)在x0可以无定义 .
(2)A f (x0 )或A f (x0 )