普通物理学 第十章课件2

之间。 3.通常情况下,合振幅介于 A1 + A2 和 A1 − A2 之间。 通常情况下,
x
O
x1
t
x2
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例10-5 N个同方向、同频率的简谐振动，它们的振幅 相等，初相分别为 0，0 ，φ0 ， 0 ， ， φ 2 3φ ⋯ 依次差一个恒量 φ0 , 振动表达式可写成:
x1 = a cos ωt x2 = a cos(ωt + φ0 ) x3 = a cos(ω t + 2φ0 ) x N = a cos[ω t + ( N − 1)φ0 ]
dx Ff = −γ v = −γ dt
问题：负号？？ 问题：负号？？
γ:阻力系数，大小由物体的形状、大小和介质的性 质决定 若振动系统和介质已知， 若振动系统和介质已知，阻力系数为常数
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在阻力作用下的弹簧振子： 在阻力作用下的弹簧振子： 受力： 受力： 弹性恢复力-kx
2
阻力Ff
求它们的合振动的振幅和初相。 解：采用旋转矢量法可使问题得到简化，避开三角函数运算。 根据矢量合成法则，N个简谐振动对应的旋转矢量的合成如 下图所示：
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C
M φ0
a5
A
R
O
φ0′
a4
φ0
a2
a3
φ0
φ0
因各个振动的振幅相同且相差恒为 φ0,各个矢量的起点 和终点都在以C为圆心的圆周上，令其半径为R,根据简 单的几何关系:
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振动
一、LC电路的振荡 LC电路的振荡 电路
电磁振荡:电路中电压和电流的周期性变化
S
ε
C
L
LC振荡电路
向左合上开关S，使电源给电容器充电，然 后将开关S接通 LC 回路，出现电磁振荡效应。
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•LC电路电磁振荡过程
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•（无阻尼）自由振荡的定量分析: （无阻尼）自由振荡的定量分析:
ω 2 = 1 LC
Q02 W = We + Wm = 2C
电能和磁能均随时间变化,总能量守恒
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二、受迫振荡 电共振
•受迫振荡:LRC 电路在外加周期性电动势持续作用下 受迫振荡: 受迫振荡 产生的振荡。 电动势ε(t)=ε0cos(ωdt) •受迫振荡微分方程：
d q dq q L 2 +R + = ε 0 cos ωd t dt dt C
§10-2 阻尼振动 10•无阻尼自由振动:振动物体不受任何阻力的影响，只在 无阻尼自由振动: 无阻尼自由振动 回复力作用下所作的振动。 回复力 •阻尼振动:在回复力 阻尼振动: 回复力 回复力(内力)和阻力 阻力(外力)作用下的振动 阻尼振动 阻力
阻尼： 阻尼：消耗振动系统能量的原因 阻尼种类： 阻尼种类：摩擦阻尼，辐射阻尼 •以摩擦阻尼为例： 以摩擦阻尼为例： 以摩擦阻尼为例 在流体(液体、气体)中运动的物体，当物体速度较小 时，阻力大小正比于速度，且方向相反:
2 1 2 2
k ± ± ⋯ 2.两振动反相 φ20 − φ10 = (2k + 1)π， = 0， 1， 2，
A = A1 − A2
反相叠加，合振幅最小
x
O
x2
t
x1
当A1=A2 时，A=0
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A = A + A + 2 A1 A2 cos(φ20 − φ10 )
2 1 2 2
O
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t
阻尼振动的准周期性振动
4Hale Waihona Puke 4)阻尼振动不是周期性振动，更 不是简谐振动，因位移不是时间 的周期函数。但阻尼振动有某种 重复性。 •位移相继两次达到极大值的时间间隔叫做阻尼振动的 周期:
2π 2π 2π T'= = > ω' ω02 − δ 2 ω0
振动变慢了
−δ t
•阻尼振动的振幅:
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§10-3 受迫振动 共振 10一、受迫振动
—物体在周期性外力的持续作用下发生的振动 驱动力： 驱动力：
F = F0 cos ωd t
2
d x dx 运动方程： 运动方程： m 2 = − kx − γ + F0 cos ωt dt dt
γ k 2 令 = ω0 ， = 2δ m m
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q=Q0cos(ωt+φ0)
i=-ωQ0sin(ωt+φ0)
•设t时刻电容器极板上电量为q，电场能量:
Q 02 q2 We = = cos 2 (ω t + φ 0 ) 2C 2C
i L C
•此时电流为i，线圈中的磁场能量:
1 2 Lω 2Q02 Wm = Li = sin 2 (ωt + φ0 ) 2 2
1 1 N −1 = (π − φ 0 ) − (π − N φ 0 ) = φ0 2 2 2
在阻尼很小的前提下,速度共 振和位移共振可以认为等同
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10§10-4 电磁振荡
引入： 振动:任何一个物理量在某个定值 引入： 振动
附近反复变化 谐振动 机械振动： 机械振动 阻尼振动 (物体 物体) 物体 受迫振动 — 电磁振荡： 电流、电压、电荷量、 电磁振荡：
电场强度或磁场强度
γ k 2 = 2δ 阻尼系数 引入固有角频率 = ω0 ，阻尼系数 固有角频率 m m
d2 x dx 2 + 2δ + ω0 x = 0 d t2 dt
在小阻尼 小阻尼条件下(δ<ω0): 小阻尼 δ
d x dx 运动方程: 运动方程: m 2 = − kx − γ dt dt
x = A0e −δt cos(ω 't + φ0' )
dA =0 d ωd
ωr = ω02 − 2δ 2
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vm =
ωd F0
m (ω − ωd ) + 4δ ωd
2 0 2 2 2 2
位移共振
ωr = ω − 2δ
2 0
2
•速度共振 : 受迫振动速度 速度共振: 速度共振 在一定条件下发生共振的 的现象
d vm =0 d ωd
ωr = ω0
由初始条件确定
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q = Q0 cos(ωt + φ0 )
LC回路自由振荡角频率 ω 2 = 1 LC
1 ν= 2π LC
T = 2π LC
dq π i= = −ωQ0 sin(ωt + φ0 ) = I 0 cos(ωt + φ0 + ) dt 2
其中 I 0 = ωQ0 为电流振幅
2
ε (t )
C
L
R
•稳态解: q = Q0 cos(ωd t + φ ) 稳态解: 稳态解
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问题： 问题：一般解和 如何推导Q 如何推导Q0??
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q = Q0 cos(ωd t + φ )
dq i= = −ωQ0 sin( ωd t + φ0 ) dt = I 0 cos(ωd t + φ0 + π 2)
受迫振动中，周期性的驱动力对振动系统提供能量， 另一方面系统又因阻尼而消耗能量，若二者相等，则 系统达到稳定振动状态。
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二、共振
A=
F0 m (ω − ωd ) + 4δ ωd
2 0 2 2 2 2
•位移共振 : 当驱动力的角频 位移共振: 位移共振 率等于某个特定值时，位移 振幅达到最大值的现象
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讨论： 讨论：
A = A + A + 2 A1 A2 cos(φ20 − φ10 )
2 1 2 2
k ± ± ⋯ 1.当两振动同相 φ20 − φ10 = 2kπ， = 0， 1， 2，
A = A1 + A2
同相叠加，合振幅最大
x
O
x1
x2
t
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A = A + A + 2 A1 A2 cos(φ20 − φ10 )
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电磁振荡(串联电路) 电磁振荡(串联电路)
q i 电感 L
电荷 电流 电容的倒数 电阻 R
1/C
电动势 ε 电场能量 q2/2C 磁场能量 Li2/2
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§10-5 一维谐振动的合成 10一、同一直线上两个同频率的谐振动的合成 一质点同时参与沿同一方向 x轴)的两个独立的同频率 沿同一方向( 一质点 沿同一方向 同频率 的简谐振动，两个振动位移： x1 = A1 cos(ωt + φ10 ) x2 = A2 cos(ωt + φ20 ) 合位移： x = x1 + x2 = A cos(ωt + φ0 ) 合位移：
A 矢量沿x轴之
A = A1 + A2
A2
投影表征了合运 动的规律
φ20 φ0
O
φ10
A1
X=Acos(ωt+φ0)
x1
x2
x
x
2 A = A12 + A2 + 2 A1 A2 cos(φ20 − φ10 )
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A1 sin φ10 + A2 sin φ20 tan φ0 = A1 cos φ10 + A2 cos φ20
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q = Q0 cos(ωt + φ0 )
dq π i= = −ωQ0 sin(ωt + φ0 ) = I 0 cos(ωt + φ0 + ) dt 2