概率论 王明慈版第三章答案
解：略，E(X)=k, D(X)=2k. 8. 证明： 证明：函数ψ (t ) = E[(X D(X) 。
−
t)2 ]当t = E(X)时取得最小值， 时取得最小值，且最小值为
证明：ψ (t ) = E[( X − t ) 2 ] = E[( X − E ( X ) + E ( X ) − t )] 2
−∞ +∞
xα +1 k kx dx = 1 ⇒ k =1⇒ = 1; ∫0 α +1 0 α +1
1
1
α
又 E ( X ) = 0.75, ∴ ∫ xkxα dx = 0.75 ⇒ k
0
1
xα + 2 α + 20
1 0
=
k = 0.75 α +2
两式联立可解得 k = 3, α = 2 .
4. 设随机变量X的概率分布如下： 的概率分布如下： X -1 0 pX(xi) 1/6 1/6
P3k P91 P( X = k ) = k +1 , k = 0,1,2,3 ，计算结果如下 P12 X P(X) 0 0.7500 1 0.2045 2 0.0409 3 0.0045
E(X)=0.3, E(X2)=0.4086, D(X)= EX 2 − E 2 ( X ) =0.319, σ ( X ) = 0.565
α 2 xe −αx , x > 0; f ( x) = ,其中 α > 0 为常数. 求这种电子元件的平均寿命. x≤0 0,
解: EX =
+∞
−∞
∫ xf ( x)dx = ∫ xα
0
+∞
2
xe
−αx
dx = α
+∞ 2
∫x e
0
2 −αx
dx =
2
α
.
kxα , 0 < x < 1 3. 设随机变量X的概率密度为 f ( x) = , 已知E(X)=0.75, 0 , 其它 求k及 α 的值。 的值。 解：因为 f (x)是密度函数，所以 ∫ f ( x)dx = 1 , 即
= E ( X 2 − Y 2 ) − E 2 ( X ) + E 2 (Y ) = E ( X 2 ) − E 2 ( X ) − [ E (Y 2 ) − E 2 (Y )] = D( X ) − D(Y ) = 0
⇔ D ( X ) = D (Y )
由此看出，此结论成立。 16、设二维随机变量(X,Y)的概率密度为
均收益最大。 12、游客从电视塔底层乘电梯到顶层观光， 游客从电视塔底层乘电梯到顶层观光，电梯于每个正点后的第6 分 钟、24 分钟、 分钟、42分钟从底层上行。 分钟从底层上行。假设游客在上午8：00 到9:00 之间 任何时刻可以到达侯梯厅， 任何时刻可以到达侯梯厅，到达时刻为X，且X 服从[0，60]上的均匀分 布，求游客等待时间的数学期望。 求游客等待时间的数学期望。 解：X ~U[0,60],等候时间Y与到达时刻X的关系有：
1 n E ( X i ) = µ , 方差 D( X i ) = σ ，求这些随机变量算数平均值 X = ∑ X i n i =1
2
的数学期望和方差。 的数学期望和方差。 解： E ( X ) = E (
1 n 1 n 1 n X ) EX = = ∑ i n∑ ∑µ = µ i n i =1 n i =1 i =1
《概率论与数理统计》第三章课后作业答案
张少强(/szhang)
P92 习题三 1. 甲，乙两台机器一天中出现次品的概率分布分别为若两台机器的日产 量相同， 量相同，问哪台机器较好？ 问哪台机器较好？ X 0 1 2 3 pX(xi) 0.4 0.3 0.2 0.1 Y 0 1 2 3 pY(yj) 0.3 0.5 0.2 0 解：甲台机器一天的平均次品数EX = 0×0.4 +1×0.3 + 2×0.2 +3×0.1 =1; 乙台机器一天的平均次品数EY = 0×0.43 +1×0.5 + 2×0.2 +3×0 = 0.9 ， ∵EX > EY ,而两台机器的日产量相同，所以乙台机器较好。 2. 某种电子元件的寿命X （单位： 单位：h ）的概率密度为： 的概率密度为：
5
《概率论与数理统计》第三章课后作业答案
张少强(/szhang)
1, | y |< x,0 < x < 1 f ( x, y ) = 其它 0,
求cov(X,Y)，并问X 与Y 是否相关， 是否相关，是否独立， 是否独立，为什么？ 为什么？ 解：先求X与Y的边缘密度
f X ( x) = ∫
+∞
−∞
f ( x, y )dy = ∫ 1dy = 2 x, x ∈ (0,1)
−x
x
2 x , 0 < x < 1 得 f X ( x) = 其它 0,
fY ( y ) = ∫
+∞ −∞
f ( x, y )dx = ∫ 1dx = 1− | y |, y ∈ (−1,1) 即
= E ( X ) = ∫ x f ( x)dx =
2 2 −∞
+∞
1
π
∫
1
1
x2 1− x2
−1
dx =
1
π
∫
1
x2 −1+1 1− x2
−1
dx
=−
π∫
1
1
−1
1 − x 2 dx +
π∫
1
1
−1
1− x2
dx =
1 。 2
7. 设随机变量X服从自由度为k 的χ 2分布， 分布，其概率密度为
k 1 −1 − x x 2 e 2 , x > 0; k/2 k f ( x ) = 2 Γ( ) ，求数学期望与方差。 求数学期望与方差。 2 x≤0 0,
E ( R) = ∫
4000 3 y 4x − y − 2 y 2 + 14000 y − 2 × 2000 2 dx + ∫ dx = 2000 2000 y 2000 2000
y
令
dE ( R ) = −4 y + 14000 = 0 ⇒ y = 3500 ，又 dy 2000
d 2 E ( R) −4 = < 0 ⇒ y = 3500 是最大值点，即组织货源3500 t即可使平 2 2000 dy
| y|
1
1− | y |, y ∈ (−1,1) fY ( y ) = y ∉ (−1,1) 0, 显然 f ( x, y ) ≠ f X ( x) fY ( y ) ，即X与Y不独立。
2 1/ 2 2
0≤x≤ 其它
1 2
，
0
x 3 1/ 2 1 2 x 2dx = 4 | 0 = . 3 6
1/ 2
D(Y ) = E (Y 2 ) − E 2 (Y ) = ∫
0
1 1 4 x 2 2dx − = . 45 6
2
11、 在国际市场上， 每年对我国某种出口商品需求量X是服从[2000,4000] 在国际市场上， 的均匀分布的随机变量， 的均匀分布的随机变量，若每售出1t，可以获得3 万元外汇， 万元外汇，如果售不 出而产品积压， 出而产品积压，则需要保养费1 万元/t，问，应组织多少货源， 应组织多少货源，才能使 得平均收益最大？ 得平均收益最大？ 解：设商品需求量为X (t),组织货源y（t），收益为R，X~U[2000, 4000]， 3 X − ( y − X ), X < y 则R = ，则 X ≥y 3 y,
k =1 n
1 n +1 , = n 2
2
1 n + 1 (n + 1)(2n + 1) n + 1 n2 −1 D( X ) = E ( X ) − ( EX ) = ∑ k − − = = n 2 6 12 2 k =1
2
n
2
2
2
3
《概率论与数理统计》第三章课后作业答案
D( X ) = D(
1 n 1 Xi) = 2 ∑ n i =1 n
∑ D( X i ) =
i =1
n
nσ 2 σ 2 = n n2
14. 计算泊松分布的三阶原点和中心矩. （略） 15. 设X，Y是随机变量， 是随机变量，证明： 证明：D(X)=D(Y)的充要条件是X-Y 与X+Y 不 相关. 证明：cov(X+Y)(X-Y)=E(X+Y)(X-Y)-E(X+Y)E(X-Y)
张少强(/szhang)
10. 设随机变量X在 [0,1 / 2] 上服从均匀分布， 上服从均匀分布， Y = 2 X 2 ，求E(Y), D(Y).
2, 1 解： X ~ U [0, ] ⇒ f ( x) = 2 0,
E (Y ) = E (2 X ) = ∫
x < −1; 0, 6. 设随机变量X的分布函数为 F ( x) = a + b arcsin x, − 1 ≤ x ≤ 1 ; 试确定 1, x >1
常数a, b, 并求E(X)与D(X).
π lim F ( x) = 0 = F (−1) = a − b x→ −1−0 2 ，由此联解得到 a = 1 , b = 1 . 所以 解： 2 π lim F ( x) = 1 = F (1) = a + π b x→1+ 0 2
= E[ X − E ( X )] 2 + 2 E[( X − E ( X ))( E ( X ) − t )] + E[ E ( X ) − t ] 2 = E ( X − EX ) 2 + 2[ E 2 ( X ) − E (tX ) − E 2 ( X ) + E (tX )] + E[ E ( X ) − t ]2 = E ( X − EX ) 2 + [ E ( X ) − t ] 2
概率论~第三章习题参考答案与提示
第三章 习题参考答案与提示
第三章 随机变量的数字特征习题参考答案与提示
22．已知 X 、 Y 分别服从正态分布 N (0，32 ) 和 N (1，42 ) ，且 X 与Y 的相关系数 ρ XY = −1/ 2 ，设 Z = X / 3 + Y / 2 ，求：
（1）求数学期望 EZ ，方差 DZ ； （2）Y 与 Z 的相关系数 ρYZ ； 答案与提示：本题要求熟悉数学期望、方差、协方差的性质、计算及有关正态 分布的性质。
X
Y
0
1
0
0.1
0.2
1
0.3
0.4
求：（1） EX ， EY ， DX ， DY ；
（2）( X ， Y )的协方差，相关系数，协方差阵，相关阵。
答案与提示： （1） EX = 0.7 ， DX = 0.21， EY = 0.6 ， DY = 0.24 。
（2） EXY = 0.4 ； Cov ( X ,Y ) = −0.02 ， ρXY = 0.089 ；
（1） X 的概率密度；
（2）Y = 1 − 2 X 的概率密度。
答案与提示：考查服从正态分布随机变量的概率密度的一般表达形式、参数的
几何意义及正态分布随机变量的性质。
（1） f (x) = 1 e−(x−1.7)2 /6 (−∞ < x < +∞) 6π
（2） f ( y) = 1 e−( y+2.4)2 / 24 2 6π
概率论第三章第四章习题及答案
9.以X记某医院一天出生的婴儿的个数，以Y记其
中男婴的个数,设X和Y的联合分布律为
e 14 (7.14) m (6.86) nm P{ X n, Y m} , m!(n m)! m 0,1,2,, n; n 0,1,2,.
(1)求边缘分布律 (2)求条件分布律
11.设随机变量(X,Y)的联合概率密度为
cxe y ,0 x y , f ( x, y) 其他. 0,
(1)求常数c (5)求(X,Y)的联合分布函数.
(1)由
f ( x, y)dxdy 1可解得c 1.
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第三章 多维随机变量及其分布
28.设随机变量(X,Y)服从区域
D ( x, y) : y 0, x y 1
2 2
上的均匀分布,定义随机变量U,V如下:
0, X 0, 0, X 3Y , U 1,0 X Y ,V 1, X 3Y . 2, X Y ,
求 (U ,V )的联合概率密度 , 并计算P UV 0 .
e 14 (7.14) m (6.86) nm P{ X n, Y m} , m!(n m)! m 0,1,2,, n; n 0,1,2,.
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第三章 多维随机变量及其分布
当n 0,1,2,时 P{ X n, Y m} P{Y m | X n} P{Y n}
令事件A Y 0, Y 1 X 2 , X 3Y , 则 A的面积 1 P U 2,V 0 , (扇形角度为 ) 2 6 6
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概率论与数理统计第三、四章答案(DOC)
第三章习题参考答案1.计算习题二第2题中随机变量的期望值。
解：由习题二第2题计算结果3 12 2E =0 13 3 3般对0-1分布的随机变量长与宽的期望计算，另一种是利用周长期望的分布计算。
解：方法一：先按定义计算长的数学期望E = 29 0.3 30 0.5 31 0.2 二 29.9和宽的数学期望=19 0.3 20 0.4 21 0.3 = 20再利用数学期望的性质计算周长的数学期望E 二 E （2 2 ）= 2 29.9 2 20 二 99.8方法二：利用习题二地30题的计算结果（见下表），按定义计算周长 的数学期望E = 96 0.09 98 0.27 100 0.35 102 0.23 104 0.06=98.83. 对习题二第31题，（1）计算圆半径的期望值；（2） E （2 R ）是否1 2p 0胡 g,…“=32.用两种方法计算习题二第 30题中周长的期望值，一种是利用矩形等于2 ER ？（3）能否用二（ER）2来计算远面积的期望值，如果不能用，又该如何计算？其结果是什么？解(1) ER = 10 0.1 11 0.4 12 0.3 13 0.2 = 11.6 (2)由数学期望的性质有E(2 二 R) =2二 ER 二 232(3)因为EC R 2)=二E(R)2，所以不能用二E(R 2)来计算圆面积 的期望值。
利用随机变量函数的期望公式可求得2 2 2 2 2 2E(「： R ) = ■-E(R ) = ■-(10 0.1 11 0.4 12 0.3 13 0.2) =135.4■:或者由习题二第31题计算结果，按求圆面积的数学期望E =100二 0.1 121 0.4 144 0.3 169 0.2)=135.44. 连续随机变量的概率密度为kx a,0 ：： x :: 1(k,a 0)0,其它-be 1「(x)dx 二 i kx adx1a 1k _ 3 a 24解得 a = 2 ,k = 35. 计算服从拉普拉斯分布的随机变量的期望和方差(参看习题二第 16 题)。
概率论与数理统计(经管类)第三章课后习题答案
P Z 30 P X 10, Y 20 20 3
P Z 20 P X 20, Y 0 20
P Z 10 P X 10, Y 0 P X 20, Y
P Z 0 P X 10, Y 则 Z=X‐Y 的分布律为
2 10 20
Z=X‐Y ‐40 ‐30 ‐20 ‐10 0
4. 设随机变量 X,Y 相互独立,且服从[0,1]上的均匀分布,求 X+Y 的概率密度. 解: 因 X,Y 都服从[0,1]上的均匀分布,且相互独立 故fX x fY y 1, f x, y fX x fY y
设 Z=X+Y
当0 z 1时
Z ZX
FZ
f x, y dydx
Z ZX
1dydx
Z
z xdx
;
P X 1, Y 0 P X 1 P Y 0
;
P X 1, Y 1 P X 1 P Y 1
;
(X,Y)的分布律与边缘分布律为
Y
X
0
1
p·
16
4
20
0
25 25 25
4
1
1
1
25 25
5
p·
20 25
1 5
(2) 不放回抽样的情况:
P X 0, Y 0 P X 0 P Y 0
;
P X 0, Y 1 P X 0 P Y 1
0, 其他.
0, 其他.
关于 Y 的边缘密度为
fY y
1
√2 24xydx , 0 y
0, 其他.
1 , 6x, 0 √3 =
y
1,
√3
0, 其他.
注意积分限为 Y 的值域,后面却 要写 X 的值域哦~
概率论第三章部分习题解答PPT课件
(3 )E 3 Y E 3 2 X X 2 2 2 3 E 1 2 X E 2 X 2 3 1 .2 1 2 2 .1 0 6 .72 E 3 2 Y 1 4 E [X 2 (3 X )2 ] 1 4 ( 4 0 .4 3 4 0 .2) 8 0 .7 82
11的相关系数定义定理3定理5如果x不相关12十切比雪夫不等式与大数定律1切比雪夫不等式4伯努利大数定律3辛钦大数定律若方差一致有上界独立同分布在独立试验序列中事件a的频率按概率收敛于事件a一批零件有9个合格品与3个废品安装机器时从中任取一个
第三章 随机变量的数字特征
（一）基本内容 一、一维随机变量的数学期望
定义1：设X是一离散型随机变量，其分布列为：
X x 1 x 2 x i
P p(x1) p(x2 ) p(xi )
则随机变量X 的数学期望为: EXxipxi
i
定义2：设X是一连续型随机变量，其分布密度为 f x,
则随机变量X的数学期望为 EX xfxdx
.
1
二、二维随机变量的数学期望
（1）设二维离散随机变量(X,Y)的联合概率函数为p(xi , yj)，则
0
.
17
5 设随机变量X 的概率密度为：
f x Ax2eax22 x0 (a0),求系数A及EX与D X.
0 x0
x2
解 f(x)d xA2e xa2d x1
0
令
x2 a2
t,即 xa
t,dx at1 2dt 2
x2
Ax2e a2
dx
0
A a2te tat 1 2d tA a3
[学习]概率论与数理统计王明慈第二版第3章随机变量的数字特征1节
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xf ( x)dx 绝对收敛 (即 | x | f ( x )dx ) ,
E ( X ) xf ( x)dx.
则X的数学期望（或均值）为
否则，称X的数学期望不存在.
2018/12/21
10
例4. 设X ~ e( ), 求数学期望E( X ).
取值为 a, a b, 相应的概率分布为 p, 1 p
于是 E a p (a b)(1 p) a b(1 p)
a 保险公司要获益, 必须 a b (1 p ) 0, 即 b 1 p
2018/12/21
9
2. 连续随机变量的数学期望
8
k 1
e e
2018/12/21
[例3] 据统计, 一位 60 岁的健康者在 5 年内健在的概率为 p (0 p 1). 保险公司开办 5 年人寿保险, 投保费 a 元, 若投保者在 5 年内死亡(非自杀死亡), 保险公司负责 赔偿 b 元(b a ). 应如何确定 b 值可使保险公司获益? 解 : 以 表示保险公司从一个投保者取得的收益, 则
当X为离散型时, P(Xxi) pi , (i 1,2,…); 当X为连续型时, X的密度函数为f (x).
求E[g(X)]时, 只需 知道X的分布即可.
2018/12/21 16
例5. 设随机变量X的分布列为
X P
-1
0.1
0
0. 2
1
0.4
2
0.3
求 E(2 X 1), E( X 2 ).
证: ECX Cxi pi C xi pi CE X .
概率论第三章课后习题答案_课后习题答案
第三章 离散型随机变量率分布。
，试写出命中次数的概标的命中率为目；设已知射手每次射击射击中命中目标的次数指示射手在这三次独立以本空间上定义一个函数验的样本空间；试在样作为试验，试写出此试察这些次射击是否命中三次独立射击，现将观一射手对某目标进行了7.0.1.343.0441.0189.0027.03210027.0)7.01()()0()0(189.0)7.01()7.01(7.03)(3)1()1()1()1(441.0)7.01(7.07.03)(3)2()2()2()2(343.0)7.0()()3()3()(0)(1)()()(2)()()(3)(},,,{)},,(),,,(),,,(),,,(),,,(),,,(),,,(),,,{(3,2,1332183217653214323321187654321821321321321321321321321321⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-======-⨯-⨯⨯===+=+====-⨯⨯⨯===+=+===================Ω==的分布列为所以，，则简记为将，，则代表击中目标的次数，令则次射中”，“第解：设ξξξξξξξξξξξξξξωξωξωξωξωξωξωξωξωξξωωωA A A P P P A A A P P P P P A A A P P P P P A A A P P P A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A i i A i i i。
出的废品数的概率分布前已取个，求在取得合格品之不再放回而再取来使用，若取得废品就个这批零件中任取个废品，安装机器时从个合格品、一批零件中有1139.2118805499101112123)3(132054109112123)2(13227119123)1(129)0(32101919110111111211213110191111211213111191121311219=⨯⨯⨯=⋅⋅⋅===⨯⨯=⋅⋅===⨯=⋅=====C C C C C C C C P C C C C C C P C C C C P C C P ξξξξξξ，，，可能取值为：代表废品数，则解：令.1188054132054132271293210⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛的分布列为所以，ξ废品数的概率分布。
概率论第三章习题解答(全)
.j
Y
0 1 2 3
1 8 1 8
0 0
0
0 0
2 8 2 8
0
1 8 1 8 1 4
1 8 3 8 3 8 1 8
pi.
7
1 4
1 2
设二维随机变量 ( X , Y ) 的概率密度为
4.8 y (2 x), 0 x 1, 0 y x f ( x, y ) 0, 其它.
2 C32C2 3 P{ X 2, Y 0} 35 35 2 C32C2 3 ， 35 35
P{ X 2, Y 1}
P{ X 2, Y 2}
P{ X 3, Y 0}
P{ X 3, Y 1}
3 1 C3 C2 2 ， 35 35
P{ X 3, Y 2} P{} 0
P{ X 0, Y 0} P{} 0 （因为盒子里总共只有 7 只球，每次取 4 只球，而红
球 2 只，故不可能白球和黑球同时都取不到）
P{ X 0, Y 1} P{} 0 ，
P{ X 0, Y 2}
2 2 0 C2 C2 C3 1 4 C7 35
（1）确定常数 k ； （2）求 P{ X 1, Y 3} ； （3）求 P{ X 1.5} ； （4） P{ X Y 4} 。 解 由
f ( x, y )dxdxy 1 得
2 4 0 2
f ( x, y )dxdxy dx k (6 x y )dy
P{ X 1, Y 0} P{} 0
1 2 1 C3 C2 C2 6 P{ X 1, Y 2} 。 35 35 1 1 C32C2 C2 12 ， 35 35 3 1 C3 C2 2 ， 35 35
概率论第三章参考答案
第三章 多维随机变量及其分布§3.1一、 设随机变量),(Y X 的密度函数为⎩⎨⎧≥≥=--。
y x ke y x f y x 其他,0.0,0,),(43(1) 求常数k ; (2) 求分布函数),(y x F (3) 求{}20,10≤<≤<Y X P 解:（1）⎰⎰⎰⎰⎰⎰+∞+∞--+∞+∞--+∞∞-+∞∞-====043043),(1dy e dx e k dxdy kedxdy y x f y xyx12)10)(10(12)4()3(120043k k y d e x d e k yx ⎰⎰+∞+∞--=--=-- 知12=k（2）()()⎪⎩⎪⎨⎧≥≥--==⎰⎰----。
y x e e dudv e y x F x y yx v u 其他00,01112),(004343（3）{}118310001202120,10---+--=+--=≤<≤<e e e ），F （），F （），F （），F （Y X P 二、设二维随机变量),(Y X 的概率密度为),()1)(1(),(22+∞<<-∞∞<<-∞++=y x y x Cy x f求（1）常数C ； （2）{}10,10≤<≤<Y X P ； （3）分布函数),(y x F 。
解：（1）=++=++⎰⎰⎰⎰+∞∞-+∞∞-+∞∞-+∞∞-dy ydx x C dxdy y x C 22221111)1)(1( 22002021,1224|arctan |arctan 411114ππππ=⇒====++=∞+∞++∞+∞⎰⎰C C C y x C dy y dx x C（2）{}161)1)(1(110,101022210=++=≤<≤<⎰⎰dxdy y x Y X P π （3）=++=++=⎰⎰⎰⎰∞-∞-∞-∞-dy y dx x dxdy y x y x F y xx y22222211111)1)(1(11),(ππ⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=21arctan 121arctan 1y x ππ),(+∞<<-∞∞<<-∞y x二、 设随机变量X 和Y 有联合概率密度⎩⎨⎧≤≤=。
概率论与数理统计第三章课后习题答案
习题三1.将一硬币抛掷三次，以X 表示在三次中出现正面的次数，以Y 表示三次中出现正面次数与出现反面次数之差的绝对值.试写出X 和Y 的联合分布律.【解】X 和Y 的联合分布律如表：222⨯⨯222⨯⨯=2.盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球，在其中任取4只球，以X 表示取到黑球的只数，以Y 表示取到红球的只数.求X 和Y 的联合分布律.【解】X 和Y 的联合分布律如表：324C 35= 324C 35=3224C 35= 3224C 35=324C 35= 3224C 35=324C 35=3.设二维随机变量（X ，Y）的联合分布函数为F （x ，y ）=⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤.,020,20,sin sin 其他ππy x y x求二维随机变量（X ，Y ）在长方形域⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<≤<36,40πππy x 内的概率.【解】如图πππ{0,}(3.2)463P X Y <≤<≤公式ππππππ(,)(,)(0,)(0,)434636F F F F --+ππππππsin sin sin sin sin 0sin sin 0sin 4346361).=--+=题3图说明：也可先求出密度函数，再求概率。
4.设随机变量（X ，Y ）的分布密度f （x ，y ）=⎩⎨⎧>>+-.,0,0,0,)43(其他y x A y x e求：（1） 常数A ；（2） 随机变量（X ，Y ）的分布函数； （3） P {0≤X <1，0≤Y <2}.【解】（1） 由-(34)0(,)d d e d d 112x y Af x y x y A x y +∞+∞+∞+∞+-∞-∞===⎰⎰⎰⎰得 A =12（2） 由定义，有(,)(,)d d y xF x y f u v u v -∞-∞=⎰⎰(34)340012ed d (1e )(1e )0,0,0,0,y yu v x y u v y x -+--⎧⎧-->>⎪==⎨⎨⎩⎪⎩⎰⎰其他(3) {01,02}P X Y ≤<≤<12(34)3800{01,02}12ed d (1e )(1e )0.9499.x y P X Y x y -+--=<≤<≤==--≈⎰⎰5.设随机变量（X ，Y ）的概率密度为f （x ，y ）=⎩⎨⎧<<<<--.,0,42,20),6(其他y x y x k（1） 确定常数k ； （2） 求P {X ＜1，Y ＜3}； （3） 求P {X <}； （4） 求P {X +Y ≤4}. 【解】（1） 由性质有242(,)d d (6)d d 81,f x y x y k x y y x k +∞+∞-∞-∞=--==⎰⎰⎰⎰故 18R =（2） 13{1,3}(,)d d P X Y f x y y x -∞-∞<<=⎰⎰130213(6)d d 88k x y y x =--=⎰⎰ (3) 11.5{ 1.5}(,)d d a (,)d d x D P X f x y x y f x y x y <<=⎰⎰⎰⎰如图1.542127d (6)d .832x x y y =--=⎰⎰(4) 24{4}(,)d d (,)d d X Y D P X Y f x y x y f x y x y +≤+≤=⎰⎰⎰⎰如图b240212d (6)d .83xx x y y -=--=⎰⎰题5图6.设X 和Y 是两个相互独立的随机变量，X 在（0，）上服从均匀分布，Y 的密度函数为f Y （y ）=⎩⎨⎧>-.,0,0,55其他y y e求：（1） X 与Y 的联合分布密度；（2） P {Y ≤X }.题6图【解】（1） 因X 在（0，）上服从均匀分布，所以X 的密度函数为1,00.2,()0.20,.X x f x ⎧<<⎪=⎨⎪⎩其他 而55e ,0,()0,.y Y y f y -⎧>=⎨⎩其他 所以(,),()()X Y f x y X Y f x f y 独立5515e25e ,00.20,0.20,0,yy x y --⎧⎧⨯<<>⎪==⎨⎨⎩⎪⎩且其他. (2) 5()(,)d d 25e d d y y xDP Y X f x y x y x y -≤≤=⎰⎰⎰⎰如图0.20.2-550-1d 25e d (5e 5)d =e 0.3679.xyx x y x-==-+≈⎰⎰⎰7.设二维随机变量（X ，Y ）的联合分布函数为F （x ，y ）=⎩⎨⎧>>----.,0,0,0),1)(1(24其他y x y x e e求（X ，Y ）的联合分布密度.【解】(42)28e ,0,0,(,)(,)0,x y x y F x y f x y x y -+⎧>>∂==⎨∂∂⎩其他. 8.设二维随机变量（X ，Y ）的概率密度为f （x ，y ）= 4.8(2),01,0,0,.y x x y x -≤≤≤≤⎧⎨⎩其他求边缘概率密度.【解】()(,)d X f x f x y y +∞-∞=⎰x204.8(2)d 2.4(2),01,=0,.0,y x y x x x ⎧⎧--≤≤⎪=⎨⎨⎩⎪⎩⎰其他 ()(,)d Y f y f x y x +∞-∞=⎰12y 4.8(2)d 2.4(34),01,=0,.0,y x x y y y y ⎧-⎧-+≤≤⎪=⎨⎨⎩⎪⎩⎰其他题8图 题9图 9.设二维随机变量（X ，Y ）的概率密度为f （x ，y ）=⎩⎨⎧<<-.,0,0,其他e y x y求边缘概率密度. 【解】()(,)d X f x f x y y +∞-∞=⎰e d e ,0,=0,.0,y x x y x +∞--⎧⎧>⎪=⎨⎨⎩⎪⎩⎰其他 ()(,)d Y f y f x y x +∞-∞=⎰0e d e ,0,=0,.0,yy x x y y --⎧⎧>⎪=⎨⎨⎩⎪⎩⎰其他题10图10.设二维随机变量（X ，Y ）的概率密度为f （x ，y ）=⎩⎨⎧≤≤.,0,1,22其他y x y cx（1） 试确定常数c ； （2） 求边缘概率密度.【解】（1） (,)d d (,)d d Df x y x y f x y x y +∞+∞-∞-∞⎰⎰⎰⎰如图2112-14=d d 1.21xx cx y y c ==⎰⎰ 得214c =. (2) ()(,)d X f x f x y y +∞-∞=⎰212422121(1),11,d 840,0,.x x x x x y y ⎧⎧--≤≤⎪⎪==⎨⎨⎪⎪⎩⎩⎰其他 ()(,)d Y f y f x y x +∞-∞=⎰5227d ,01,420,0,.y y x y x y y -⎧⎧≤≤⎪⎪==⎨⎨⎪⎪⎩⎩其他11.设随机变量（X ，Y ）的概率密度为f （x ，y ）=⎩⎨⎧<<<.,0,10,,1其他x x y求条件概率密度f Y ｜X （y ｜x ），f X ｜Y （x ｜y ）.题11图【解】()(,)d X f x f x y y +∞-∞=⎰1d 2,01,0,.xx y x x -⎧=<<⎪=⎨⎪⎩⎰其他111d 1,10,()(,)d 1d 1,01,0,.y Y y x y y f y f x y x x y y -+∞-∞⎧=+-<<⎪⎪⎪===-≤<⎨⎪⎪⎪⎩⎰⎰⎰其他所以|1,||1,(,)(|)2()0,.Y X X y x f x y f y x xf x ⎧<<⎪==⎨⎪⎩其他|1, 1,1(,)1(|),1,()10,.X Y Y y x y f x y f x y y x f y y⎧<<⎪-⎪⎪==-<<⎨+⎪⎪⎪⎩其他 12.袋中有五个号码1，2，3，4，5，从中任取三个，记这三个号码中最小的号码为X ，最大的号码为Y . （1） 求X 与Y 的联合概率分布； （2） X 与Y 是否相互独立【解】（1） X 与Y 的联合分布律如下表(2) 因6161{1}{3}{1,3},101010010P X P Y P X Y ===⨯=≠=== 故X 与Y 不独立13.设二维随机变量（X ，Y ）的联合分布律为2 5 8（1）求关于X 和关于Y 的边缘分布； （2） X 与Y 是否相互独立 【解】（1）X 和Y 的边缘分布如下表2 5 8 P {Y=y i }{}i P X x =(2) 因{2}{0.4}0.20.8P X P Y ===⨯0.160.15(2,0.4),P X Y =≠=== 故X 与Y 不独立.14.设X 和Y 是两个相互独立的随机变量，X 在（0，1）上服从均匀分布，Y 的概率密度为f Y （y ）=⎪⎩⎪⎨⎧>-.,0,0,212/其他y y e（1）求X 和Y 的联合概率密度；（2） 设含有a 的二次方程为a 2+2Xa +Y =0，试求a 有实根的概率.【解】（1） 因1,01,()0,X x f x <<⎧==⎨⎩其他; 21e ,1,()20,yY y f y -⎧>⎪==⎨⎪⎩其他. 故/21e01,0,(,),()()20,.y X Y x y f x y X Y f x f y -⎧<<>⎪=⎨⎪⎩独立其他题14图(2) 方程220a Xa Y ++=有实根的条件是2(2)40X Y ∆=-≥故 X 2≥Y ， 从而方程有实根的概率为：22{}(,)d d x yP X Y f x y x y ≥≥=⎰⎰21/2001d e d 21(1)(0)]0.1445.x y x y-==-Φ-Φ=⎰⎰15.设X 和Y 分别表示两个不同电子器件的寿命（以小时计），并设X和Y 相互独立，且服从同一分布，其概率密度为f （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧>.,0,1000,10002其他x x 求Z =X /Y 的概率密度.【解】如图,Z 的分布函数(){}{}Z XF z P Z z P z Y=≤=≤ (1) 当z ≤0时，()0Z F z =（2） 当0<z <1时，（这时当x =1000时,y =1000z ）(如图a) 3366102222101010()d d d d yz Z zx y zF z x y y x x y x y +∞≥==⎰⎰⎰⎰33610231010=d 2z zy yzy +∞⎛⎫-= ⎪⎝⎭⎰题15图(3) 当z ≥1时，（这时当y =103时，x =103z ）（如图b ）3366222210101010()d d d d zy Z xy zF z x y y x x y x y +∞≥==⎰⎰⎰⎰336231010101=d 12y yzy z +∞⎛⎫-=- ⎪⎝⎭⎰即 11,1,2(),01,20,.Z z z zf z z ⎧-≥⎪⎪⎪=<<⎨⎪⎪⎪⎩其他 故 21,1,21(),01,20,.Z z z f z z ⎧≥⎪⎪⎪=<<⎨⎪⎪⎪⎩其他 16.设某种型号的电子管的寿命（以小时计）近似地服从N （160，202）分布.随机地选取4 只，求其中没有一只寿命小于180的概率. 【解】设这四只寿命为X i (i =1,2,3,4)，则X i ~N （160，202），从而123412{min(,,,)180}{180}{180}i P X X X X X P X P X ≥≥≥之间独立34{180}{180}P X P X ≥≥ 1234[1{180}][1{180}][1{180}][1{180}]P X P X P X P X =-<-<-<-<44144180160[1{180}]120[1(1)](0.158)0.00063.P X ⎡-⎤⎛⎫=-<=-Φ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦=-Φ== 17.设X ，Y 是相互独立的随机变量，其分布律分别为P {X =k }=p （k ），k =0，1，2，…， P {Y =r }=q （r ），r =0，1，2，….证明随机变量Z =X +Y 的分布律为P {Z =i }=∑=-ik k i q k p 0)()(，i =0，1，2，….【证明】因X 和Y 所有可能值都是非负整数，所以{}{}Z i X Y i ==+={0,}{1,1}{,0}X Y i X Y i X i Y =====-==于是0{}{,},i k P Z i P X k Y i k X Y =====-∑相互独立0{}{}ik P X k P Y i k ===-∑()()ik p k q i k ==-∑18.设X ，Y 是相互独立的随机变量，它们都服从参数为n ，p 的二项分布.证明Z =X +Y 服从参数为2n ，p 的二项分布. 【证明】方法一：X +Y 可能取值为0，1，2，…，2n .{}{,}ki P X Y k P X i Y k i =+====-∑00202(){}2ki ki n i k i n k ii kk n ki k n k P X i P Y k i n n p q p qi k i n n p qi k i n p q k =---+=-=-===-⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎛⎫= ⎪⎝⎭∑∑∑方法二：设μ1,μ2,…,μn ;μ1′,μ2′,…，μn ′均服从两点分布（参数为p ），则X =μ1+μ2+…+μn ，Y =μ1′+μ2′+…+μn ′, X +Y =μ1+μ2+…+μn +μ1′+μ2′+…+μn ′,所以，X +Y 服从参数为（2n ,p )的二项分布.19.设随机变量（X ，Y ）的分布律为(1) 求P {X =2｜Y =2}，P {Y =3｜X =0}； （2） 求V =max （X ，Y ）的分布律； （3） 求U =min （X ，Y ）的分布律； （4） 求W =X +Y 的分布律.【解】（1）{2,2}{2|2}{2}P X Y P X Y P Y ======5{2,2}0.051,0.252{,2}i P X Y P X i Y ========∑ {3,0}{3|0}{0}P Y X P Y X P X ======3{0,3}0.011;0.033{0,}j P X Y P X Y j ========∑ （2）{}{max(,)}{,}{,}P V i P X Y i P X i Y i P X i Y i =====<+≤=1{,}{,},i ik k P X i Y k P X k Y i -=====+==∑∑ 0,1,2,3,4,5i =所以V 的分布律为(3) {}{min(,)}P U i P X Y i ===351{,}{,}{,}{,}k ik i P X i Y i P X i Y i P X i Y k P X k Y i ==+==≥+>====+==∑∑ 0,1,2,3,i =于是(4)类似上述过程，有W=X +Y0 1 2 3 4 5 6 7 8P 020.雷达的圆形屏幕半径为R ，设目标出现点（X ，Y ）在屏幕上服从均匀分布.（1） 求P {Y ＞0｜Y ＞X }；（2） 设M =max{X ，Y }，求P {M ＞0}.题20图【解】因（X ，Y ）的联合概率密度为22221,,(,)π0,.x y R f x y R⎧+≤⎪=⎨⎪⎩其他 （1）{0,}{0|}{}P Y Y X P Y Y X P Y X >>>>=>0(,)d (,)d y y xy xf x y f x y σσ>>>=⎰⎰⎰⎰π2π/405π42π/401d d π1d d πRR r rR r r R θθ=⎰⎰⎰⎰3/83;1/24==(2) {0}{max(,)0}1{max(,)0}P M P X Y P X Y >=>=-≤00131{0,0}1(,)d 1.44x y P X Y f x y σ≤≤=-≤≤=-=-=⎰⎰21.设平面区域D 由曲线y =1/x 及直线y =0，x =1,x=e 2所围成，二维随机变量（X ，Y ）在区域D 上服从均匀分布，求（X ，Y ）关于X 的边缘概率密度在x =2处的值为多少题21图【解】区域D 的面积为 22e e 0111d ln 2.S x x x===⎰（X ,Y ）的联合密度函数为211,1e ,0,(,)20,.x y f x y x ⎧≤≤<≤⎪=⎨⎪⎩其他（X ，Y ）关于X 的边缘密度函数为1/2011d ,1e ,()220,.x X y x f x x⎧=≤≤⎪=⎨⎪⎩⎰其他 所以1(2).4X f =22.设随机变量X 和Y 相互独立，下表列出了二维随机变量（X ，Y ）联合分布律及关于X 和Y 的边缘分布律中的部分数值.试将其余数值填入表中的空白处.【解】因21{}{,}j j i j i P Y y P P X x Y y ======∑,故11121{}{,}{,},P Y y P X x Y y P X x Y y ====+== 从而11111{,}.6824P X x Y y ===-=而X 与Y 独立，故{}{}{,}i j i i P X x P Y y P X x Y y =====, 从而11111{}{,}.624P X x P X x Y y =⨯==== 即：1111{}/.2464P X x === 又1111213{}{,}{,}{,},P X x P X x Y y P X x Y y P X x Y y ====+==+== 即1,3111{},4248P X x Y y =++== 从而131{,}.12P X x Y y ===同理21{},2P Y y == 223{,}8P X x Y y ===又31{}1j j P Y y ===∑,故3111{}1623P Y y ==--=.同理23{}.4P X x == 从而23313111{,}{}{,}.3124P X x Y y P Y y P X x Y y ====-===-=故23.设某班车起点站上客人数X 服从参数为λ(λ>0)的泊松分布，每位乘客在中途下车的概率为p （0<p <1），且中途下车与否相互独立，以Y 表示在中途下车的人数，求：（1）在发车时有n 个乘客的条件下，中途有m 人下车的概率；（2）二维随机变量（X ，Y ）的概率分布.【解】(1) {|}C (1),0,0,1,2,m m n mn P Y m X n p p m n n -===-≤≤=.(2) {,}{}{|}P X n Y m P X n P Y m X n ======e C (1),,0,1,2,.!m m n mnnp p n m n n n λλ--=-≤≤=24.设随机变量X 和Y 独立，其中X 的概率分布为X ~⎪⎪⎭⎫⎝⎛7.03.021，而Y的概率密度为f (y )，求随机变量U =X +Y 的概率密度g (u ). 【解】设F （y ）是Y 的分布函数，则由全概率公式，知U =X +Y 的分布函数为(){}0.3{|1}0.7{|2}G u P X Y u P X Y u X P X Y u X =+≤=+≤=++≤=0.3{1|1}0.7{2|2}P Y u X P Y u X =≤-=+≤-=由于X 和Y 独立，可见()0.3{1}0.7{2}G u P Y u P Y u =≤-+≤-0.3(1)0.7(2).F u F u =-+-由此，得U 的概率密度为()()0.3(1)0.7(2)g u G u F u F u '''==-+-0.3(1)0.7(2).f u f u =-+-25. 25. 设随机变量X 与Y 相互独立，且均服从区间[0,3]上的均匀分布，求P {max{X ,Y }≤1}.解：因为随即变量服从[0，3]上的均匀分布，于是有1, 03,()30, 0,3;x f x x x ⎧≤≤⎪=⎨⎪<>⎩ 1, 03,()30, 0, 3.y f y y y ⎧≤≤⎪=⎨⎪<>⎩ 因为X ，Y 相互独立，所以1, 03,03,(,)90, 0,0,3, 3.x y f x y x y x y ⎧≤≤≤≤⎪=⎨⎪<<>>⎩ 推得 1{max{,}1}9P X Y ≤=.26. 设二维随机变量（X ，Y ）的概率分布为1 0 11 01a 0b0 0.1 c其中a,b,c为常数，且X的数学期望E(X)=,P{Y≤0|X≤0}=，记Z=X+Y.求：（1）a,b,c的值；（2）Z的概率分布；（3）P{X=Z}.解 (1) 由概率分布的性质知，a+b+c+=1 即a+b+c = .由()0.2E X=-，可得0.1a c-+=-.再由 {0,0}0.1{00}0.5{0}0.5P X Y a b P Y X P X a b ≤≤++≤≤===≤++,得 0.3a b +=.解以上关于a ，b ，c 的三个方程得0.2,0.1,0.1a b c ===.(2) Z 的可能取值为2，1，0，1，2，{2}{1,1}0.2P Z P X Y =-==-=-=，{1}{1,0}{0,1}0.1P Z P X Y P X Y =-==-=+==-=，{0}{1,1}{0,0}{1,1}0.3P Z P X Y P X Y P X Y ===-=+==+==-=，{1}{1,0}{0,1}0.3P Z P X Y P X Y ====+===，{2}{1,1}0.1P Z P X Y =====，即Z 的概率分布为Z2 1 0 12P(3) {}{0}0.10.20.10.10.20.4P X Z P Y b ====++=++=.习题四1.设随机变量X 的分布律为1 0 12求E （X ），E （X 2），E （2X +3）.【解】(1) 11111()(1)012;82842E X =-⨯+⨯+⨯+⨯=(2) 2222211115()(1)012;82844E X =-⨯+⨯+⨯+⨯= (3) 1(23)2()32342E X E X +=+=⨯+=2.已知100个产品中有10个次品，求任意取出的5个产品中的次品数的数学期望、方差.【解】设任取出的5个产品中的次品数为X ，则X 的分布律为故 ()0.58300.34010.07020.00730405E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯0.501,= 52()[()]iii D X x E X P ==-∑222(00.501)0.583(10.501)0.340(50.501)00.432.=-⨯+-⨯++-⨯=3.设随机变量X 的分布律为1 01且已知E （X ）=,E (X 2)=,求P 1，P 2，P 3. 【解】因1231P P P ++=……①,又12331()(1)010.1E X P P P P P =-++=-=……②,222212313()(1)010.9E X P P P P P =-++=+=……③由①②③联立解得1230.4,0.1,0.5.P P P ===4.袋中有N 只球，其中的白球数X 为一随机变量，已知E （X ）=n ，问从袋中任取1球为白球的概率是多少 【解】记A ={从袋中任取1球为白球}，则(){|}{}Nk P A P A X k P X k ===∑全概率公式001{}{}1().NNk k k P X k kP X k N N n E X N N========∑∑5.设随机变量X 的概率密度为f （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-<≤.,0,21,2,10,其他x x x x求E （X ），D （X ）.【解】12201()()d d (2)d E X xf x x x x x x x +∞-∞==+-⎰⎰⎰21332011 1.33x x x ⎡⎤⎡⎤=+-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦122232017()()d d (2)d 6E X x f x x x x x x x +∞-∞==+-=⎰⎰⎰故 221()()[()].6D XE X E X =-=6.设随机变量X ，Y ，Z 相互独立，且E （X ）=5，E （Y ）=11，E （Z ）=8，求下列随机变量的数学期望. （1） U =2X +3Y +1； （2） V =YZ4X .【解】(1) [](231)2()3()1E U E X Y E X E Y =++=++25311144.=⨯+⨯+=(2) [][4][]4()E V E YZ X E YZ E X =-=-,()()4()Y Z E Y E Z E X -因独立 1184568.=⨯-⨯=7.设随机变量X ，Y 相互独立，且E （X ）=E （Y ）=3，D （X ）=12，D（Y ）=16，求E （3X2Y ），D （2X3Y ）.【解】(1) (32)3()2()3323 3.E X Y E X E Y -=-=⨯-⨯=(2) 22(23)2()(3)412916192.D X Y D X DY -=+-=⨯+⨯=8.设随机变量（X ，Y ）的概率密度为f （x ，y ）=⎩⎨⎧<<<<.,0,0,10,其他x y x k试确定常数k ，并求E （XY ）.【解】因1001(,)d d d d 1,2xf x y x y x k y k +∞+∞-∞-∞===⎰⎰⎰⎰故k =210()(,)d d d 2d 0.25xE XY xyf x y x y x x y y +∞+∞-∞-∞===⎰⎰⎰⎰.9.设X ，Y 是相互独立的随机变量，其概率密度分别为f X （x ）=⎩⎨⎧≤≤;,0,10,2其他x x f Y （y ）=(5)e ,5,0,.y y --⎧>⎨⎩其他 求E （XY ）.【解】方法一：先求X 与Y 的均值12()2d ,3E X x x x ==⎰ 5(5)5()e d 5e d e d 51 6.z y y z z E Y y yz z z +∞+∞+∞=-----=+=+=⎰⎰⎰令由X 与Y 的独立性，得2()()()6 4.3E XY E X E Y ==⨯=方法二：利用随机变量函数的均值公式.因X 与Y 独立，故联合密度为(5)2e ,01,5,(,)()()0,,y X Y x x y f x y f x f y --⎧≤≤>==⎨⎩其他于是11(5)2(5)552()2e d d 2d e d 6 4.3y y E XY xy x x y x xy y +∞+∞----===⨯=⎰⎰⎰⎰10.设随机变量X ，Y 的概率密度分别为f X （x ）=⎩⎨⎧≤>-;0,0,0,22x x x e f Y （y ）=⎩⎨⎧≤>-.0,0,0,44y y y e 求（1） E （X +Y ）;（2） E （2X 3Y 2）.【解】22-2000()()d 2e d [e ]e d xx x X X xf x x x x x x +∞+∞+∞--+∞-∞==-⎰⎰⎰201e d .2x x +∞-==⎰401()()d 4e dy .4y Y E Y yf y y y +∞+∞--∞==⎰⎰22242021()()d 4e d .48y Y E Y y f y y y y +∞+∞--∞====⎰⎰从而(1)113()()().244E X Y E X E Y +=+=+=(2)22115(23)2()3()23288E X Y E X E Y -=-=⨯-⨯=11.设随机变量X 的概率密度为f （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧<≥-.0,0,0,22x x cx xke求（1） 系数c ;（2） E （X ）;（3） D （X ）. 【解】(1) 由2220()d e d 12k x c f x x cx x k+∞+∞--∞===⎰⎰得22c k =. (2) 2220()()d()2e d k x E X xf x x x k x x +∞+∞--∞==⎰⎰22220π2ed 2k x kx x k+∞-==⎰(3) 222222201()()d()2e .k xE X x f x x x k x k +∞+∞--∞==⎰⎰ 故222221π4π()()[()].24D X E X E X k k k ⎛-=-=-= ⎝⎭12.袋中有12个零件，其中9个合格品，3个废品.安装机器时，从袋中一个一个地取出（取出后不放回），设在取出合格品之前已取出的废品数为随机变量X ，求E （X ）和D （X ）.【解】设随机变量X 表示在取得合格品以前已取出的废品数，则X 的可能取值为0，1，2，3.为求其分布律，下面求取这些可能值的概率，易知9{0}0.750,12P X === 39{1}0.204,1211P X ==⨯= 329{2}0.041,121110P X ==⨯⨯= 3219{3}0.005.1211109P X ==⨯⨯⨯=于是，得到X 的概率分布表如下：X 0 1 2 3P由此可得()00.75010.20420.04130.0050.301.E X =⨯+⨯+⨯+⨯=22222222()075010.20420.04130.0050.413()()[()]0.413(0.301)0.322.E X D X E X E X =⨯+⨯+⨯+⨯==-=-=13.一工厂生产某种设备的寿命X （以年计）服从指数分布，概率密度为f （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧≤>-.0,0,0,414x x xe 为确保消费者的利益，工厂规定出售的设备若在一年内损坏可以调换.若售出一台设备，工厂获利100元，而调换一台则损失200元，试求工厂出售一台设备赢利的数学期望.【解】厂方出售一台设备净盈利Y 只有两个值：100元和200元/41/411{100}{1}e d e 4x P Y P X x +∞--==≥==⎰1/4{200}{1}1e .P Y P X -=-=<=-故1/41/41/4()100e (200)(1e )300e 20033.64E Y ---=⨯+-⨯-=-= (元).14.设X 1，X 2，…，X n 是相互独立的随机变量，且有E （X i ）=μ，D （X i ）=σ2，i =1，2，…，n ，记∑==n i i S X n X 12,1，S 2=∑=--n i i X X n 12)(11. （1） 验证)(X E =μ，)(X D =n2σ；（2） 验证S 2=)(11122∑=--ni i X n X n ；（3） 验证E （S 2）=σ2.【证】(1) 1111111()()().n nn i i i i i i E X E X E X E X nu u n n n n ===⎛⎫===== ⎪⎝⎭∑∑∑22111111()()n nni i i ii i i D X D X D X X DXn nn ===⎛⎫== ⎪⎝⎭∑∑∑之间相互独立2221.n n nσσ==(2) 因222221111()(2)2nnnniii ii i i i i XX X X X X X nX X X ====-=+-=+-∑∑∑∑2222112nnii i i X nX X nX X nX ===+-=-∑∑故22211()1ni i S X nX n ==--∑. (3) 因2(),()i i E X u D X σ==,故2222()()().i i i E X D X EX u σ=+=+同理因2(),()E X u D X nσ==,故222()E X u nσ=+.从而222221111()()[()()]11n ni i i i E s E X nX E X nE X n n ==⎡⎤=-=-⎢⎥--⎣⎦∑∑221222221[()()]11().1ni i E X nE X n n u n u n n σσσ==--⎡⎤⎛⎫=+-+=⎢⎥ ⎪-⎝⎭⎣⎦∑15.对随机变量X 和Y ，已知D （X ）=2，D （Y ）=3，Cov(X ,Y )=1,计算：Cov （3X2Y +1，X +4Y3）.【解】Cov(321,43)3()10Cov(,)8()X Y X Y D X X Y D Y -++-=+-3210(1)8328=⨯+⨯--⨯=-(因常数与任一随机变量独立，故Cov(X ,3)=Cov(Y ,3)=0,其余类似).16.设二维随机变量（X ，Y ）的概率密度为f （x ，y ）=221,1,π0,.x y ⎧+≤⎪⎨⎪⎩其他试验证X 和Y 是不相关的，但X 和Y 不是相互独立的. 【解】设22{(,)|1}D x y x y =+≤.2211()(,)d d d d πx y E X xf x y x y x x y +∞+∞-∞-∞+≤==⎰⎰⎰⎰ 2π1001=cos d d 0.πr r r θθ=⎰⎰同理E (Y )=0.而 Cov(,)[()][()](,)d d X Y x E x y E Y f x y x y +∞+∞-∞-∞=--⎰⎰222π1200111d d sin cos d d 0ππx y xy x y r r r θθθ+≤===⎰⎰⎰⎰, 由此得0XY ρ=,故X 与Y 不相关.下面讨论独立性，当|x |≤1时，1()X f x y 当|y |≤1时，1()Y f y x 显然()()(,).X Y f x f y f x y ≠ 故X 和Y 不是相互独立的.17.设随机变量（X ，Y ）的分布律为1 0 11 0验证X和Y是不相关的，但X和Y不是相互独立的.【解】联合分布表中含有零元素，X与Y显然不独立，由联合分布律易求得X，Y及XY的分布律，其分布律如下表111由期望定义易得E（X）=E（Y）=E（XY）=0.从而E(XY)=E(X)·E(Y),再由相关系数性质知ρXY=0,即X 与Y 的相关系数为0，从而X 和Y 是不相关的. 又331{1}{1}{1,1}888P X P Y P X Y =-=-=⨯≠==-=- 从而X 与Y 不是相互独立的.18.设二维随机变量（X ，Y ）在以（0，0），（0，1），（1，0）为顶点的三角形区域上服从均匀分布，求Cov （X ，Y ），ρXY . 【解】如图，S D =12，故（X ，Y ）的概率密度为题18图2,(,),(,)0,x y D f x y ∈⎧=⎨⎩其他.()(,)d d DE X xf x y x y =⎰⎰11001d 2d 3xx x y -==⎰⎰22()(,)d d DE X x f x y x y =⎰⎰11201d 2d 6xx x y -==⎰⎰从而222111()()[()].6318D XE X E X ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭ 同理11(),().318E Y D Y ==而 11001()(,)d d 2d d d 2d .12xDDE XY xyf x y x y xy x y x xy y -====⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 所以1111Cov(,)()()()123336X Y E XY E X E Y =-=-⨯=-. 从而 112)()XY D Y ρ-===-19.设（X ，Y ）的概率密度为f （x ，y ）=1ππsin(),0,0,2220.x y x y ,⎧+≤≤≤≤⎪⎨⎪⎩其他求协方差Cov （X ，Y ）和相关系数ρXY .【解】π/2π/2001π()(,)d d d sin()d .24E X xf x y x y x x x y y +∞+∞-∞-∞==+=⎰⎰⎰⎰ππ2222201ππ()d sin()d 2.282E X x x x y y =+=+-⎰⎰从而222ππ()()[()] 2.162D XE X E X =-=+-同理 2πππ(),() 2.4162E Y D Y ==+-又π/2π/2π()d sin()d d 1,2E XY x xy x y x y =+=-⎰⎰故 2ππππ4Cov(,)()()()1.2444X Y E XY E X E Y -⎛⎫⎛⎫=-=--⨯=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭222222π4(π4)π8π164.πππ8π32π8π32()()2162XYD X D Y ρ-⎛⎫- ⎪--+⎝⎭===-=-+-+-+-20.已知二维随机变量（X ，Y ）的协方差矩阵为⎥⎦⎤⎢⎣⎡4111，试求Z 1=X 2Y和Z 2=2XY 的相关系数.【解】由已知知：D (X )=1,D (Y )=4,Cov(X ,Y )=1.从而12()(2)()4()4Cov(,)1444113,()(2)4()()4Cov(,)414414,D Z D X Y D X D Y X Y D Z D X Y D X D Y X Y =-=+-=+⨯-⨯==-=+-=⨯+-⨯=12Cov(,)Cov(2,2)Z Z X Y X Y =--2Cov(,)4Cov(,)Cov(,)2Cov(,)2()5Cov(,)2()215124 5.X X Y X X Y Y Y D X X Y D Y =--+=-+=⨯-⨯+⨯=故 121212513.26()()134Z Z D Z D Z ρ===⨯21.对于两个随机变量V ，W ，若E （V 2），E （W 2）存在，证明： ［E （VW ）］2≤E （V 2）E （W 2）.这一不等式称为柯西许瓦兹（Couchy Schwarz ）不等式.【证】令2(){[]},.g t E V tW t R =+∈显然22220()[()][2]g t E V tW E V tVW t W ≤=+=++222[]2[][],.E V t E VW t E W t R =++∀∈可见此关于t 的二次式非负，故其判别式Δ≤0， 即2220[2()]4()()E VW E W E V ≥∆=-2224{[()]()()}.E VW E V E W =-故222[()]()()}.E VW E V E W ≤22.假设一设备开机后无故障工作的时间X 服从参数λ=1/5的指数分布.设备定时开机，出现故障时自动关机，而在无故障的情况下工作2小时便关机.试求该设备每次开机无故障工作的时间Y 的分布函数F （y ）.【解】设Y 表示每次开机后无故障的工作时间，由题设知设备首次发生故障的等待时间X ~E (λ),E (X )=1λ=5. 依题意Y =min(X ,2). 对于y <0,f (y )=P {Y ≤y }=0.对于y≥2,F(y)=P(X≤y)=1.对于0≤y<2,当x≥0时，在(0,x)内无故障的概率分布为P{X≤x}=1eλx,所以F(y)=P{Y≤y}=P{min(X,2)≤y}=P{X≤y}=1e y/5.。