概率论王明慈版第三章答案

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概率论~第三章习题参考答案与提示

设二维随机变量xy的概率密度为6第三章习题参考答案与提示?2121yxyxyxf?xy?其中1yx?和2yx?都是二维正态密度函数且它们对应的二维随机变量的相关系数分别为13和13它们的边缘密度函数所对应的随机变量的数学期望都是0方差都是1
第三章习题参考答案与提示
第三章随机变量的数字特征习题参考答案与提示
22．已知 X 、 Y 分别服从正态分布 N (0，32 ) 和 N (1，42 ) ，且 X 与Y 的相关系数 ρ XY = −1/ 2 ，设 Z = X / 3 + Y / 2 ，求：
（1）求数学期望 EZ ，方差 DZ ；（2）Y 与 Z 的相关系数 ρYZ ；答案与提示：本题要求熟悉数学期望、方差、协方差的性质、计算及有关正态分布的性质。
X
Y
0
1
0
0.1
0.2
1
0.3
0.4
求：（1） EX ， EY ， DX ， DY ；
（2）( X ， Y )的协方差，相关系数，协方差阵，相关阵。
答案与提示：（1） EX = 0.7 ， DX = 0.21， EY = 0.6 ， DY = 0.24 。
（2） EXY = 0.4 ； Cov ( X ,Y ) = −0.02 ， ρXY = 0.089 ；
（1） X 的概率密度；
（2）Y = 1 − 2 X 的概率密度。
答案与提示：考查服从正态分布随机变量的概率密度的一般表达形式、参数的
几何意义及正态分布随机变量的性质。
（1） f (x) = 1 e−(x−1.7)2 /6 (−∞ < x < +∞) 6π
（2） f ( y) = 1 e−( y+2.4)2 / 24 2 6π

概率论第三章第四章习题及答案

第三章多维随机变量及其分布
9.以X记某医院一天出生的婴儿的个数，以Y记其
中男婴的个数,设X和Y的联合分布律为
e 14 (7.14) m (6.86) nm P{ X n, Y m} , m!(n m)! m 0,1,2,, n; n 0,1,2,.
(1)求边缘分布律 (2)求条件分布律
11.设随机变量(X,Y)的联合概率密度为
cxe y ,0 x y , f ( x, y) 其他. 0,
(1)求常数c (5)求(X,Y)的联合分布函数.
(1)由

f ( x, y)dxdy 1可解得c 1.
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第三章多维随机变量及其分布
28.设随机变量(X,Y)服从区域
D ( x, y) : y 0, x y 1
2 2

上的均匀分布,定义随机变量U,V如下:
0, X 0, 0, X 3Y , U 1,0 X Y ,V 1, X 3Y . 2, X Y ,
求 (U ,V )的联合概率密度 , 并计算P UV 0 .
e 14 (7.14) m (6.86) nm P{ X n, Y m} , m!(n m)! m 0,1,2,, n; n 0,1,2,.
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第三章多维随机变量及其分布
当n 0,1,2,时 P{ X n, Y m} P{Y m | X n} P{Y n}

令事件A Y 0, Y 1 X 2 , X 3Y , 则 A的面积 1 P U 2,V 0 , (扇形角度为 ) 2 6 6
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概率论与数理统计第三、四章答案(DOC)

第三章习题参考答案1.计算习题二第2题中随机变量的期望值。

解：由习题二第2题计算结果3 12 2E =0 13 3 3般对0-1分布的随机变量长与宽的期望计算，另一种是利用周长期望的分布计算。

解：方法一：先按定义计算长的数学期望E = 29 0.3 30 0.5 31 0.2 二 29.9和宽的数学期望=19 0.3 20 0.4 21 0.3 = 20再利用数学期望的性质计算周长的数学期望E 二 E （2 2 ）= 2 29.9 2 20 二 99.8方法二：利用习题二地30题的计算结果（见下表），按定义计算周长的数学期望E = 96 0.09 98 0.27 100 0.35 102 0.23 104 0.06=98.83. 对习题二第31题，（1）计算圆半径的期望值；（2） E （2 R ）是否1 2p 0胡 g,…“=32.用两种方法计算习题二第 30题中周长的期望值，一种是利用矩形等于2 ER ？（3）能否用二（ER）2来计算远面积的期望值，如果不能用，又该如何计算？其结果是什么？解(1) ER = 10 0.1 11 0.4 12 0.3 13 0.2 = 11.6 (2)由数学期望的性质有E(2 二 R) =2二 ER 二 232(3)因为EC R 2)=二E(R)2，所以不能用二E(R 2)来计算圆面积的期望值。

利用随机变量函数的期望公式可求得2 2 2 2 2 2E(「： R ) = ■-E(R ) = ■-(10 0.1 11 0.4 12 0.3 13 0.2) =135.4■:或者由习题二第31题计算结果，按求圆面积的数学期望E =100二 0.1 121 0.4 144 0.3 169 0.2)=135.44. 连续随机变量的概率密度为kx a,0 ：： x :: 1(k,a 0)0,其它-be 1「(x)dx 二 i kx adx1a 1k _ 3 a 24解得 a = 2 ,k = 35. 计算服从拉普拉斯分布的随机变量的期望和方差(参看习题二第 16 题)。

概率论与数理统计(经管类)第三章课后习题答案

P Z 40 P X 20, Y 20 20 6
P Z 30 P X 10, Y 20 20 3
P Z 20 P X 20, Y 0 20
P Z 10 P X 10, Y 0 P X 20, Y
P Z 0 P X 10, Y 则 Z=X‐Y 的分布律为
2 10 20
Z=X‐Y ‐40 ‐30 ‐20 ‐10 0
4. 设随机变量 X,Y 相互独立,且服从[0,1]上的均匀分布,求 X+Y 的概率密度. 解: 因 X,Y 都服从[0,1]上的均匀分布,且相互独立故fX x fY y 1, f x, y fX x fY y
设 Z=X+Y
当0 z 1时
Z ZX
FZ
f x, y dydx
Z ZX
1dydx
Z
z xdx
;
P X 1, Y 0 P X 1 P Y 0
;
P X 1, Y 1 P X 1 P Y 1
;
(X,Y)的分布律与边缘分布律为
Y
X
0
1
p·
16
4
20
0
25 25 25
4
1
1
1
25 25
5
p·
20 25
1 5
(2) 不放回抽样的情况:
P X 0, Y 0 P X 0 P Y 0
;
P X 0, Y 1 P X 0 P Y 1
0, 其他.
0, 其他.
关于 Y 的边缘密度为
fY y
1
√2 24xydx , 0 y
0, 其他.
1 , 6x, 0 √3 =
y
1,
√3
0, 其他.
注意积分限为 Y 的值域,后面却要写 X 的值域哦~

概率论第三章部分习题解答PPT课件

D 2 E Y 2 2 Y E 2 Y 2 1 .0 0 ( 0 .2 8 ) 2 4 0 .9504
(3 )E 3 Y E 3 2 X X 2 2 2 3 E 1 2 X E 2 X 2 3 1 .2 1 2 2 .1 0 6 .72 E 3 2 Y 1 4 E [X 2 (3 X )2 ] 1 4 ( 4 0 .4 3 4 0 .2) 8 0 .7 82
11的相关系数定义定理3定理5如果x不相关12十切比雪夫不等式与大数定律1切比雪夫不等式4伯努利大数定律3辛钦大数定律若方差一致有上界独立同分布在独立试验序列中事件a的频率按概率收敛于事件a一批零件有9个合格品与3个废品安装机器时从中任取一个
第三章随机变量的数字特征
（一）基本内容一、一维随机变量的数学期望
定义1：设X是一离散型随机变量，其分布列为：
X x 1 x 2 x i
P p(x1) p(x2 ) p(xi )
则随机变量X 的数学期望为: EXxipxi
i
定义2：设X是一连续型随机变量，其分布密度为 f x,
则随机变量X的数学期望为 EX xfxdx
.
1
二、二维随机变量的数学期望
（1）设二维离散随机变量(X,Y)的联合概率函数为p(xi , yj)，则
0
.
17
5 设随机变量X 的概率密度为：
f x Ax2eax22 x0 (a0),求系数A及EX与D X.
0 x0
x2
解 f(x)d xA2e xa2d x1
0
令
x2 a2
t,即 xa
t,dx at1 2dt 2
x2
Ax2e a2
dx
0
A a2te tat 1 2d tA a3

[学习]概率论与数理统计王明慈第二版第3章随机变量的数字特征1节

定义. 设连续随机变量X的概率密度为f (x), 若积分

xf ( x)dx 绝对收敛 (即 | x | f ( x )dx ) ,
E ( X ) xf ( x)dx.

则X的数学期望（或均值）为
否则，称X的数学期望不存在.
2018/12/21
10
例4. 设X ~ e( ), 求数学期望E( X ).
取值为 a, a b, 相应的概率分布为 p, 1 p
于是 E a p (a b)(1 p) a b(1 p)
a 保险公司要获益, 必须 a b (1 p ) 0, 即 b 1 p
2018/12/21
9
2. 连续随机变量的数学期望
8
k 1
e e
2018/12/21
[例3] 据统计, 一位 60 岁的健康者在 5 年内健在的概率为 p (0 p 1). 保险公司开办 5 年人寿保险, 投保费 a 元, 若投保者在 5 年内死亡(非自杀死亡), 保险公司负责赔偿 b 元(b a ). 应如何确定 b 值可使保险公司获益? 解 : 以表示保险公司从一个投保者取得的收益, 则
当X为离散型时, P(Xxi) pi , (i 1,2,…); 当X为连续型时, X的密度函数为f (x).
求E[g(X)]时, 只需知道X的分布即可.
2018/12/21 16
例5. 设随机变量X的分布列为
X P
-1
0.1
0
0. 2
1
0.4
2
0.3
求 E(2 X 1), E( X 2 ).
证: ECX Cxi pi C xi pi CE X .

概率论第三章课后习题答案_课后习题答案

第三章离散型随机变量率分布。

，试写出命中次数的概标的命中率为目；设已知射手每次射击射击中命中目标的次数指示射手在这三次独立以本空间上定义一个函数验的样本空间；试在样作为试验，试写出此试察这些次射击是否命中三次独立射击，现将观一射手对某目标进行了7.0.1.343.0441.0189.0027.03210027.0)7.01()()0()0(189.0)7.01()7.01(7.03)(3)1()1()1()1(441.0)7.01(7.07.03)(3)2()2()2()2(343.0)7.0()()3()3()(0)(1)()()(2)()()(3)(},,,{)},,(),,,(),,,(),,,(),,,(),,,(),,,(),,,{(3,2,1332183217653214323321187654321821321321321321321321321321⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-======-⨯-⨯⨯===+=+====-⨯⨯⨯===+=+===================Ω==的分布列为所以，，则简记为将，，则代表击中目标的次数，令则次射中”，“第解：设ξξξξξξξξξξξξξξωξωξωξωξωξωξωξωξωξξωωωA A A P P P A A A P P P P P A A A P P P P P A A A P P P A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A i i A i i i。

出的废品数的概率分布前已取个，求在取得合格品之不再放回而再取来使用，若取得废品就个这批零件中任取个废品，安装机器时从个合格品、一批零件中有1139.2118805499101112123)3(132054109112123)2(13227119123)1(129)0(32101919110111111211213110191111211213111191121311219=⨯⨯⨯=⋅⋅⋅===⨯⨯=⋅⋅===⨯=⋅=====C C C C C C C C P C C C C C C P C C C C P C C P ξξξξξξ，，，可能取值为：代表废品数，则解：令.1188054132054132271293210⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛的分布列为所以，ξ废品数的概率分布。

概率论第三章习题解答(全)

0 1 2
.j
Y
0 1 2 3
1 8 1 8
0 0
0
0 0
2 8 2 8
0
1 8 1 8 1 4
1 8 3 8 3 8 1 8
pi.
7
1 4
1 2
设二维随机变量 ( X , Y ) 的概率密度为
4.8 y (2 x), 0 x 1, 0 y x f ( x, y ) 0, 其它.
2 C32C2 3 P{ X 2, Y 0} 35 35 2 C32C2 3 ， 35 35
P{ X 2, Y 1}
P{ X 2, Y 2}
P{ X 3, Y 0}
P{ X 3, Y 1}
3 1 C3 C2 2 ， 35 35
P{ X 3, Y 2} P{} 0
P{ X 0, Y 0} P{} 0 （因为盒子里总共只有 7 只球，每次取 4 只球，而红
球 2 只，故不可能白球和黑球同时都取不到）
P{ X 0, Y 1} P{} 0 ，
P{ X 0, Y 2}
2 2 0 C2 C2 C3 1 4 C7 35
（1）确定常数 k ；（2）求 P{ X 1, Y 3} ；（3）求 P{ X 1.5} ；（4） P{ X Y 4} 。解由

f ( x, y )dxdxy 1 得
2 4 0 2

f ( x, y )dxdxy dx k (6 x y )dy
P{ X 1, Y 0} P{} 0
1 2 1 C3 C2 C2 6 P{ X 1, Y 2} 。 35 35 1 1 C32C2 C2 12 ， 35 35 3 1 C3 C2 2 ， 35 35

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解：略，E(X)=k, D(X)=2k. 8. 证明：证明：函数ψ (t ) = E[(X D(X) 。
−
t)2 ]当t = E(X)时取得最小值，时取得最小值，且最小值为
证明：ψ (t ) = E[( X − t ) 2 ] = E[( X − E ( X ) + E ( X ) − t )] 2
−∞ +∞
xα +1 k kx dx = 1 ⇒ k =1⇒ = 1; ∫0 α +1 0 α +1
1
1
α
又 E ( X ) = 0.75, ∴ ∫ xkxα dx = 0.75 ⇒ k
0
1
xα + 2 α + 20
1 0
=
k = 0.75 α +2
两式联立可解得 k = 3, α = 2 .
4. 设随机变量X的概率分布如下：的概率分布如下： X -1 0 pX(xi) 1/6 1/6
P3k P91 P( X = k ) = k +1 , k = 0,1,2,3 ，计算结果如下 P12 X P(X) 0 0.7500 1 0.2045 2 0.0409 3 0.0045
E(X)=0.3, E(X2)=0.4086, D(X)= EX 2 − E 2 ( X ) =0.319, σ ( X ) = 0.565
α 2 xe −αx , x > 0; f ( x) = ,其中 α > 0 为常数. 求这种电子元件的平均寿命. x≤0 0,
解: EX =
+∞
−∞
∫ xf ( x)dx = ∫ xα
0
+∞
2
xe
−αx
dx = α
+∞ 2
∫x e
0
2 −αx
dx =
2
α
.
kxα , 0 < x < 1 3. 设随机变量X的概率密度为 f ( x) = , 已知E(X)=0.75, 0 , 其它求k及 α 的值。的值。解：因为 f (x)是密度函数，所以 ∫ f ( x)dx = 1 , 即
= E ( X 2 − Y 2 ) − E 2 ( X ) + E 2 (Y ) = E ( X 2 ) − E 2 ( X ) − [ E (Y 2 ) − E 2 (Y )] = D( X ) − D(Y ) = 0
⇔ D ( X ) = D (Y )
由此看出，此结论成立。 16、设二维随机变量(X,Y)的概率密度为
均收益最大。 12、游客从电视塔底层乘电梯到顶层观光，游客从电视塔底层乘电梯到顶层观光，电梯于每个正点后的第6 分钟、24 分钟、分钟、42分钟从底层上行。分钟从底层上行。假设游客在上午8：00 到9:00 之间任何时刻可以到达侯梯厅，任何时刻可以到达侯梯厅，到达时刻为X，且X 服从[0，60]上的均匀分布，求游客等待时间的数学期望。求游客等待时间的数学期望。解：X ~U[0,60],等候时间Y与到达时刻X的关系有：
1 n E ( X i ) = µ , 方差 D( X i ) = σ ，求这些随机变量算数平均值 X = ∑ X i n i =1
2
的数学期望和方差。的数学期望和方差。解： E ( X ) = E (
1 n 1 n 1 n X ) EX = = ∑ i n∑ ∑µ = µ i n i =1 n i =1 i =1
《概率论与数理统计》第三章课后作业答案
张少强(/szhang)
P92 习题三 1. 甲，乙两台机器一天中出现次品的概率分布分别为若两台机器的日产量相同，量相同，问哪台机器较好？问哪台机器较好？ X 0 1 2 3 pX(xi) 0.4 0.3 0.2 0.1 Y 0 1 2 3 pY(yj) 0.3 0.5 0.2 0 解：甲台机器一天的平均次品数EX = 0×0.4 +1×0.3 + 2×0.2 +3×0.1 =1; 乙台机器一天的平均次品数EY = 0×0.43 +1×0.5 + 2×0.2 +3×0 = 0.9 ， ∵EX > EY ,而两台机器的日产量相同，所以乙台机器较好。 2. 某种电子元件的寿命X （单位：单位：h ）的概率密度为：的概率密度为：
5
《概率论与数理统计》第三章课后作业答案
张少强(/szhang)
1, | y |< x,0 < x < 1 f ( x, y ) = 其它 0,
求cov(X,Y)，并问X 与Y 是否相关，是否相关，是否独立，是否独立，为什么？为什么？解：先求X与Y的边缘密度
f X ( x) = ∫
+∞
−∞
f ( x, y )dy = ∫ 1dy = 2 x, x ∈ (0,1)
−x
x
2 x , 0 < x < 1 得 f X ( x) = 其它 0,
fY ( y ) = ∫
+∞ −∞
f ( x, y )dx = ∫ 1dx = 1− | y |, y ∈ (−1,1) 即
= E ( X ) = ∫ x f ( x)dx =
2 2 −∞
+∞
1
π
∫
1
1
x2 1− x2
−1
dx =
1
π
∫
1
x2 −1+1 1− x2
−1
dx
=−
π∫
1
1
−1
1 − x 2 dx +
π∫
1
1
−1
1− x2
dx =
1 。 2
7. 设随机变量X服从自由度为k 的χ 2分布，分布，其概率密度为
k 1 −1 − x x 2 e 2 , x > 0; k/2 k f ( x ) = 2 Γ( ) ，求数学期望与方差。求数学期望与方差。 2 x≤0 0,
E ( R) = ∫
4000 3 y 4x − y − 2 y 2 + 14000 y − 2 × 2000 2 dx + ∫ dx = 2000 2000 y 2000 2000
y
令
dE ( R ) = −4 y + 14000 = 0 ⇒ y = 3500 ，又 dy 2000
d 2 E ( R) −4 = < 0 ⇒ y = 3500 是最大值点，即组织货源3500 t即可使平 2 2000 dy
| y|
1
1− | y |, y ∈ (−1,1) fY ( y ) = y ∉ (−1,1) 0, 显然 f ( x, y ) ≠ f X ( x) fY ( y ) ，即X与Y不独立。
2 1/ 2 2
0≤x≤ 其它
1 2
，
0
x 3 1/ 2 1 2 x 2dx = 4 | 0 = . 3 6
1/ 2
D(Y ) = E (Y 2 ) − E 2 (Y ) = ∫
0
1 1 4 x 2 2dx − = . 45 6
2
11、在国际市场上，每年对我国某种出口商品需求量X是服从[2000,4000] 在国际市场上，的均匀分布的随机变量，的均匀分布的随机变量，若每售出1t，可以获得3 万元外汇，万元外汇，如果售不出而产品积压，出而产品积压，则需要保养费1 万元/t，问，应组织多少货源，应组织多少货源，才能使得平均收益最大？得平均收益最大？解：设商品需求量为X (t),组织货源y（t），收益为R，X~U[2000, 4000]， 3 X − ( y − X ), X < y 则R = ，则 X ≥y 3 y,
k =1 n
1 n +1 , = n 2
2
1 n + 1 (n + 1)(2n + 1) n + 1 n2 −1 D( X ) = E ( X ) − ( EX ) = ∑ k − − = = n 2 6 12 2 k =1
2
n
2
2
2
3
《概率论与数理统计》第三章课后作业答案
D( X ) = D(
1 n 1 Xi) = 2 ∑ n i =1 n
∑ D( X i ) =
i =1
n
nσ 2 σ 2 = n n2
14. 计算泊松分布的三阶原点和中心矩. （略） 15. 设X，Y是随机变量，是随机变量，证明：证明：D(X)=D(Y)的充要条件是X-Y 与X+Y 不相关. 证明：cov(X+Y)(X-Y)=E(X+Y)(X-Y)-E(X+Y)E(X-Y)
张少强(/szhang)
10. 设随机变量X在 [0,1 / 2] 上服从均匀分布，上服从均匀分布， Y = 2 X 2 ，求E(Y), D(Y).
2, 1 解： X ~ U [0, ] ⇒ f ( x) = 2 0,
E (Y ) = E (2 X ) = ∫
x < −1; 0, 6. 设随机变量X的分布函数为 F ( x) = a + b arcsin x, − 1 ≤ x ≤ 1 ; 试确定 1, x >1
常数a, b, 并求E(X)与D(X).
π lim F ( x) = 0 = F (−1) = a − b x→ −1−0 2 ，由此联解得到 a = 1 , b = 1 . 所以解： 2 π lim F ( x) = 1 = F (1) = a + π b x→1+ 0 2
= E[ X − E ( X )] 2 + 2 E[( X − E ( X ))( E ( X ) − t )] + E[ E ( X ) − t ] 2 = E ( X − EX ) 2 + 2[ E 2 ( X ) − E (tX ) − E 2 ( X ) + E (tX )] + E[ E ( X ) − t ]2 = E ( X − EX ) 2 + [ E ( X ) − t ] 2