主成分分析在STATA中的实现以及理论介绍
统计学中的主成分分析
统计学中的主成分分析主成分分析（Principal Component Analysis, PCA）是一种多变量分析方法，用于降维和数据可视化。
它通过将原始数据转换为新的坐标系，使得转换后的数据能够保留原始数据的主要变化趋势，并且可以按照重要性进行排序。
在本文中，将介绍主成分分析的原理、应用场景和步骤。
一、主成分分析原理主成分分析的核心是寻找数据中的主要变化趋势，即找到数据中的主成分。
主成分是数据最大方差方向上的投影，也即是能够解释数据中最大不同的变量。
对于一个具有p个变量的数据集，主成分分析可以得到p个主成分，按照重要性递减排序。
通过选择适当数量的主成分，可以实现对数据的降维和可视化。
主成分分析的计算过程可以通过特征值分解或奇异值分解来实现。
特征值分解会得到数据的特征向量和特征值，而奇异值分解则可以直接得到主成分。
在实际应用中，奇异值分解是更常用的方法。
二、主成分分析的应用场景主成分分析广泛应用于各个领域，包括金融、生物学、社会科学等。
下面将介绍主成分分析在这些领域的具体应用。
1. 金融：主成分分析常用于资产组合管理和风险管理。
通过将各种金融数据进行主成分分析，可以获得具有代表性的主成分，从而有效降低资产组合的维度，减少投资组合中的相关风险。
2. 生物学：主成分分析可以应用于基因表达数据的分析。
通过主成分分析，可以从大量的基因表达数据中提取出基因表达的主要变化趋势，帮助研究人员理解基因与表型之间的关系。
3. 社会科学：主成分分析可以用于社会调查数据的分析。
通过对调查数据进行主成分分析，可以发现不同变量之间的相关性，进而揭示不同因素对于社会问题的影响程度。
三、主成分分析的步骤主成分分析的步骤通常包括以下几个步骤：1. 数据标准化：对原始数据进行标准化处理，将不同量级的变量转化为标准差为1的变量。
这一步骤是为了消除变量间的量纲差异。
2. 计算协方差矩阵：根据标准化后的数据计算协方差矩阵，用于度量变量之间的相关性。
主成分分析
第十二章 主成分分析主成分分分析也称作主分量分析，是霍特林(Hotelling)在1933年首先提出。
主成分分析是利用降维的思想，在损失较少信息的前提下把多个指标转化为较少的综合指标。
转化生成的综合指标即称为主成分，其中每个主成分都是原始变量的线性组合，且各个主成分互不相关。
Stata 对主成分分析的主要内容包括：主成分估计、主成分分析的恰当性（包括负偏协方差矩阵和负偏相关系数矩阵、KMO(Kaiser-Meyer-Olkin)抽样充分性、复相关系数、共同度等指标测度）、主成分的旋转、预测、各种检验、碎石图、得分图、载荷图等。
p j ni b a y ij j i ij ,,2,1,,2,1,' ==+=ε主成分的模型表达式为：pp j i i i i diag v v v v i pV V C λλλλλλλ≥≥≥=∧=''==∧=∑ 2121),,,,(01其中，a 称为得分，b 称为载荷。
主成分分析主要的分析方法是对相关系数矩阵（或协方差矩阵）进行特征值分析。
Stata 中可以通过负偏相关系数矩阵、负相关系数平方和KMO 值对主成分分析的恰当性进行分析。
负偏相关系数矩阵即变量之间两两偏相关系数的负数。
非对角线元素则为负的偏相关系数。
如果变量之间存在较强的共性，则偏相关系数比较低。
因此，如果矩阵中偏相关系数较高的个数比较多，说明某一些变量与另外一些变量的相关性比较低，主成分模型可能不适用。
这时，主成分分析不能得到很好的数据约化效果。
Kaiser-Meyer-Olkin 抽样充分性测度也是用于测量变量之间相关关系的强弱的重要指标，是通过比较两个变量的相关系数与偏相关系数得到的。
KMO 介于0于1之间。
KMO 越高，表明变量的共性越强。
如果偏相关系数相对于相关系数比较高，则KMO 比较低，主成分分析不能起到很好的数据约化效果。
根据Kaiser （1974），一般的判断标准如下：0.00-0.49,不能接受（unacceptable ）;0.50-0.59,非常差（miserable ）；0.60-0.69，勉强接受（mediocre ）；0.70-0.79,可以接受（middling ）；0.80-0.89，比较好（meritorious ）；0.90-1.00,非常好（marvelous ）。
经济统计学中的主成分分析方法
经济统计学中的主成分分析方法主成分分析（Principal Component Analysis，简称PCA）是一种常用的统计学方法，广泛应用于经济统计学领域。
它通过降维处理，将原始数据转化为一组新的无关变量，以揭示数据内在的结构和规律。
本文将介绍主成分分析的基本原理、应用场景以及相关的注意事项。
一、主成分分析的基本原理主成分分析的基本原理是通过线性变换，将原始数据转化为一组新的变量，使得新变量之间相互无关。
这些新变量被称为主成分，按照其解释原始数据方差的大小排序。
主成分分析的目标是尽可能保留原始数据的信息，同时降低数据的维度，以便更好地理解和分析数据。
主成分分析的步骤如下：1. 标准化数据：将原始数据进行标准化处理，使得每个变量的均值为0，方差为1，以消除变量间的量纲差异。
2. 计算协方差矩阵：根据标准化后的数据，计算变量之间的协方差矩阵。
协方差矩阵反映了变量之间的线性关系。
3. 计算特征值和特征向量：对协方差矩阵进行特征值分解，得到特征值和对应的特征向量。
特征值表示主成分的方差贡献，特征向量表示主成分的线性组合权重。
4. 选择主成分：按照特征值的大小排序，选择解释方差较大的特征值对应的特征向量作为主成分。
5. 重构数据：将原始数据通过主成分的线性组合重构出来，得到降维后的数据。
二、主成分分析的应用场景主成分分析在经济统计学中有着广泛的应用场景，以下列举几个例子。
1. 经济指标分析：主成分分析可以用于经济指标的综合评价。
例如，我们可以将多个相关的经济指标（如GDP、CPI、PPI等）作为原始数据，通过主成分分析得到一组综合指标，用于评估经济的整体状况。
2. 金融风险管理：主成分分析可以用于金融市场的风险管理。
通过将多个相关的金融指标（如股票收益率、利率、汇率等）进行主成分分析，可以得到一组无关的主成分，用于评估和控制金融风险。
3. 消费者行为分析：主成分分析可以用于消费者行为的分析。
例如，我们可以将多个相关的消费者行为指标（如购买金额、购买频率、购买渠道等）进行主成分分析，得到一组无关的主成分，用于揭示消费者的行为模式和偏好。
stata学习笔记（四）：主成份分析与因子分析
stata学习笔记（四）：主成份分析与因⼦分析1.判断是否适合做主成份分析，变量标准化Kaiser-Meyer-Olkin抽样充分性测度也是⽤于测量变量之间相关关系的强弱的重要指标，是通过⽐较两个变量的相关系数与偏相关系数得到的。
KMO介于0于1之间。
KMO越⾼，表明变量的共性越强。
如果偏相关系数相对于相关系数⽐较⾼，则KMO⽐较低，主成分分析不能起到很好的数据约化效果。
根据Kaiser（1974），⼀般的判断标准如下：0.00-0.49,不能接受（unacceptable）;0.50-0.59,⾮常差（miserable）；0.60-0.69，勉强接受（mediocre）；0.70-0.79,可以接受（middling）；0.80-0.89，⽐较好（meritorious）；0.90-1.00,⾮常好（marvelous）。
SMC即⼀个变量与其他所有变量的复相关系数的平⽅，也就是复回归⽅程的可决系数。
SMC⽐较⾼表明变量的线性关系越强，共性越强，主成分分析就越合适。
. estat smc. estat kmo. estat anti//暂时不知道这个有什么⽤得到结果，说明变量之间有较强的相关性，适合做主成份分析。
Squared multiple correlations of variables with all other variables-----------------------Variable | smc-------------+---------x1 | 0.8923x2 | 0.9862y1 | 0.9657y2 | 0.9897y3 | 0.9910y4 | 0.9898y5 | 0.9769y6 | 0.9859y7 | 0.9735-----------------------变量标准化. egen z1=std(x1)2.对变量进⾏主成份分析. pca x1 x2 y1 y2 y3 y4 y5 y6 y7. pca x1 x2 y1 y2 y3 y4 y5 y6 y7, comp(1)得到下⾯两个表格,第⼀个表格中的各项分别为特征根、difference这个不知道是啥、⽅差贡献率、累积⽅差贡献率。
主成分分析的理论和应用
主成分分析的理论和应用主成分分析（Principal Component Analysis，简称PCA）是一种常用的多变量数据分析方法，它通过线性变换将原始数据转化为一组新的互相无关的变量，称为主成分。
主成分分析在统计学、机器学习、模式识别等领域被广泛应用。
一、主成分分析的理论基础主成分分析的理论基础可以追溯到线性代数和统计学的相关理论。
其核心思想是通过对原始数据的协方差矩阵进行特征值分解，得到一组特征向量，这些特征向量即为主成分。
主成分的选择是按照特征值的大小排序的，特征值越大，对应的主成分所解释的方差越大，因此选择前几个主成分即可解释大部分的方差。
二、主成分分析的应用1. 数据降维主成分分析可以将高维数据降低到低维空间，减少数据的维度。
这在处理大规模数据时尤为重要，可以提高计算效率，并且降低存储空间的需求。
例如，在图像处理中，可以将图像的像素点作为原始数据，利用主成分分析将其降维到较低的维度，从而实现图像的压缩和存储。
2. 数据可视化主成分分析可以将原始数据转化为一组新的主成分，这些主成分是互相无关的。
因此，可以选择其中的几个主成分来表示数据，实现数据的可视化。
通过将高维数据映射到二维或三维空间中，可以更直观地观察数据的分布和结构。
例如，在生物学研究中，可以利用主成分分析将基因表达数据降维到二维空间，从而观察不同样本之间的相似性和差异性。
3. 特征提取主成分分析可以通过选择前几个主成分来提取数据的重要特征。
这些主成分对应的特征向量可以解释原始数据中的大部分方差，因此可以用来表示数据的重要特征。
例如，在语音识别中，可以利用主成分分析提取语音信号的主要频谱特征，从而实现对语音的识别和分类。
4. 噪声去除主成分分析可以通过去除方差较小的主成分来降低数据中的噪声。
由于噪声通常对应的特征值较小，因此可以通过选择特征值较大的主成分来去除噪声。
例如，在信号处理中，可以利用主成分分析对信号进行降噪处理，提高信号的质量和准确性。
主成分分析在统计学中的意义和应用
主成分分析在统计学中的意义和应用主成分分析（Principal Component Analysis，简称PCA）是一种常用的多变量数据分析方法，广泛应用于统计学领域。
它通过线性变换将原始数据转换为一组新的互相无关的变量，称为主成分，以减少数据的维度并提取数据中的主要信息。
本文将探讨主成分分析在统计学中的意义和应用。
一、主成分分析的意义主成分分析在统计学中具有重要的意义。
首先，主成分分析可以帮助我们理解数据的内在结构。
通过将高维数据降维到低维空间，我们可以观察到数据中的主要变化趋势和关联性，从而揭示数据背后的规律和模式。
这对于统计学研究和数据分析具有重要意义。
其次，主成分分析可以减少数据的维度。
在实际应用中，我们经常面临高维数据的分析问题，而高维数据不仅难以可视化，而且计算复杂度高。
通过主成分分析，我们可以将高维数据转换为低维空间，减少数据的维度，从而简化问题的复杂度，提高数据分析的效率。
最后，主成分分析可以提取数据中的主要信息。
在数据分析中，我们通常只关注数据中的重要信息，而忽略噪声和不相关的变量。
主成分分析通过将数据转换为主成分，可以提取数据中的主要变化趋势和关联性，帮助我们更好地理解数据，做出更准确的分析和预测。
二、主成分分析的应用主成分分析在统计学中有广泛的应用。
以下是主成分分析的几个典型应用领域：1. 数据降维主成分分析可以将高维数据降维到低维空间，从而减少数据的维度。
这在数据可视化和数据分析中非常有用。
例如，在图像处理中，我们可以使用主成分分析将图像转换为低维空间，从而实现图像的压缩和重建。
在金融领域，主成分分析可以用于降低股票市场的维度，帮助投资者理解市场的主要变化趋势。
2. 特征提取主成分分析可以提取数据中的主要信息，帮助我们理解数据的内在结构。
在模式识别和机器学习中，我们经常需要从数据中提取有用的特征，以便更好地分类和预测。
主成分分析可以帮助我们实现这一目标。
例如，在人脸识别中，我们可以使用主成分分析提取人脸图像中的主要特征，从而实现人脸的自动识别。
主成分分析原理及详解
主成分分析原理及详解PCA的原理如下：1.数据的协方差矩阵：首先计算原始数据的协方差矩阵。
协方差矩阵是一个对称矩阵，描述了不同维度之间的相关性。
如果两个维度具有正相关性，协方差为正数；如果两个维度具有负相关性，协方差为负数；如果两个维度之间没有相关性，协方差为0。
2.特征值分解：对协方差矩阵进行特征值分解，得到特征值和特征向量。
特征值表示该特征向量对应的主成分的方差大小。
特征向量表示数据中每个维度的贡献程度，也即主成分的方向。
3.选择主成分：根据特征值的大小选择前k个主成分，使其对应的特征值之和占总特征值之和的比例达到预定阈值。
这些主成分对应的特征向量构成了数据的新基。
4.数据映射：将原始数据投影到新基上，得到降维后的数据。
投影的方法是将数据点沿着每个主成分的方向上的坐标相加。
PCA的步骤如下：1.数据预处理：对原始数据进行预处理，包括去除均值、缩放数据等。
去除均值是为了消除数据的绝对大小对PCA结果的影响；缩放数据是为了消除数据在不同维度上的量纲差异。
2.计算协方差矩阵：根据预处理后的数据计算协方差矩阵。
3.特征值分解：对协方差矩阵进行特征值分解，得到特征值和特征向量。
4.选择主成分：根据特征值的大小选择前k个主成分，其中k是满足预设的方差百分比的最小主成分数量。
5.数据映射：将原始数据投影到前k个主成分上，得到降维后的数据。
PCA的优缺点如下：2.缺点：PCA是一种线性方法，无法处理非线性数据；PCA对异常值敏感，可能会导致降维后的数据失去重要信息；PCA的解释性较差，不易解释主成分和原始数据之间的关系。
综上所述，PCA是一种常用的数据降维方法，通过保留数据的最大方差，将高维数据映射到低维空间。
它的原理基于协方差矩阵的特征值分解，步骤包括数据预处理、计算协方差矩阵、特征值分解、选择主成分和数据映射。
PCA具有很多优点，如无监督学习、重要特征提取和数据压缩等，但也存在一些缺点，如无法处理非线性数据和对异常值敏感。
主成分分析( principal components analysis,PCA )
主成分分析的主要作用
3．多维数据的一种图形表示方法。 我们知道当维数大于3时便不能画出几何图形，多元统 计研究的问题大都多于3个变量。要把研究的问题用图形 表示出来是不可能的。然而，经过主成分分析后，我们可 以选取前两个主成分或其中某两个主成分，根据主成分的 得分，画出n个样品在二维平面上的分布况，由图形可直 观地看出各样品在主分量中的地位，进而还可以对样本进 行分类处理，可以由图形发现远离大多数样本点的离群点。 4．由主成分分析法构造回归模型。即把各主成分作为 新自变量代替原来自变量x做回归分析。
主成分分析（ PRINCIPAL COMPONENTS ANALYSIS，PCA ）
主成分分析介绍 基本思想 基本原理 作用 计算 主成分个数选取原则 例题 SPSS操作
主成分分析介绍
在统计学中，主成分分析（principal components analysis, PCA）是一种简化数据集的技术。它是一个线 性变换。这个变换把数据变换到一个新的坐标系统中， 使得任何数据投影的第一大方差在第一个坐标(称为第 一主成分)上，第二大方差在第二个坐标(第二主成分)上， 依次类推。主成分分析经常用减少数据集的维数，同时 保持数据集的对方差贡献最大的特征。这是通过保留低 阶主成分，忽略高阶主成分做到的。这样低阶成分往往 能够保留住数据的最重要方面。但是，这也不是一定的， 要视具体应用而定。
x3
的
例题
1. 求样本均值和样本协方差矩阵
46.67 S 17.12 21.11 30.00 32.58 55.53 2. 求解协方差矩阵的特征方程 S I 0
46.67 17.12 30.00 17.12 30.00 21.11 32.பைடு நூலகம்8 0 32.58 55.53
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. . 页脚. 第十二章 主成分分析 主成分分分析也称作主分量分析，是霍特林(Hotelling)在1933年首先提出。主成分分析是利用降维的思想，在损失较少信息的前提下把多个指标转化为较少的综合指标。转化生成的综合指标即称为主成分，其中每个主成分都是原始变量的线性组合，且各个主成分互不相关。Stata对主成分分析的主要容包括：主成分估计、主成分分析的恰当性（包括负偏协方差矩阵和负偏相关系数矩阵、KMO(Kaiser-Meyer-Olkin)抽样充分性、复相关系数、共同度等指标测度）、主成分的旋转、预测、各种检验、碎石图、得分图、载荷图等。
pjnibayijjiij,,2,1,,2,1,'
主成分的模型表达式为：
ppjiiiidiagvvvvipVVC2121),,,,(01
其中，a称为得分，b称为载荷。主成分分析主要的分析方法是对相关系数矩阵（或协方差矩阵）进行特征值分析。 Stata中可以通过负偏相关系数矩阵、负相关系数平方和KMO值对主成分分析的恰当性进行分析。负偏相关系数矩阵即变量之间两两偏相关系数的负数。非对角线元素则为负的偏相关系数。如果变量之间存在较强的共性，则偏相关系数比较低。因此，如果矩阵中偏相关系数较高的个数比较多，说明某一些变量与另外一些变量的相关性比较低，主成分模型可能不适用。这时，主成分分析不能得到很好的数据约化效果。 Kaiser-Meyer-Olkin抽样充分性测度也是用于测量变量之间相关关系的强弱的重要指标，是通过比较两个变量的相关系数与偏相关系数得到的。KMO介于0于1之间。KMO越高，表明变量的共性越强。如果偏相关系数相对于相关系数比较高，则KMO比较低，主成分分析不能起到很好的数据约化效果。根据Kaiser（1974），一般的判断标准如下：0.00-0.49,不能接受（unacceptable）;0.50-0.59,非常差（miserable）；0.60-0.69，勉强接受（mediocre）；0.70-0.79,可以接受（middling）；0.80-0.89，比较好（meritorious）；0.90-1.00,非常好（marvelous）。 SMC即一个变量与其他所有变量的复相关系数的平方，也就是复回归方程的可决系数。SMC比较高表明变量的线性关系越强，共性越强，主成分分析就越合适。 成分载荷、KMO、SMC等指标都可以通过extat命令进行分析。 多元方差分析是方差分析在多元中的扩展，即模型含有多个响应变量。本章介绍多元（协）方差分析以及霍特林（Hotelling)均值向量T检验。 12.1 主成分估计 Stata可以通过变量进行主成分分析，也可以直接通过相关系数矩阵或协方差矩阵进行。 （1）sysuse auto,clear pca trunk weight length headroom pca trunk weight length headroom, comp(2) covariance . . 页脚. （2）webuse bg2,clear pca bg2cost*, vce(normal)
12.2 Estat estat给出了几个非常有用的工具，包括KMO、SMC等指标。 webuse bg2,clear pca bg2cost*, vce(normal) estat anti estat kmo estat loadings estat residuals estat smc estat summarize 12.3 预测 Stata可以通过predict预测变量得分、拟合值和残差等。 webuse bg2,clear pca bg2cost*, vce(normal) predict score fit residual q （备注：q代表残差的平方和） 12.4 碎石图 碎石图是判断保留多少个主成分的重要方法。命令为screeplot。 webuse bg2,clear pca bg2cost*, vce(normal) screeplot
.511.52
Eigenvalues
123456Number
Scree plot of eigenvalues after pca . . 页脚. 12.5 得分图、载荷图 得分图即不同主成分得分的散点图。命令为scoreplot。 webuse bg2,clear pca bg2cost*, vce(normal) scoreplot
-4-2024
Scores for component 2
-6-4-2024Scores for component 1
Score variables (pca)
载荷图即不同主成分载荷的散点图。命令为loadingplot。 webuse bg2,clear pca bg2cost*, vce(normal) loadingplot
bg2cost1bg2cost2bg2cost3
bg2cost4bg2cost5bg2cost6
.3
.4.5.6Component 2
-.4-.20.2.4.6Component 1
Component loadings . . 页脚. 12.6 旋转 对载荷进行旋转的命令格式为rotate。 webuse bg2,clear pca bg2cost*, vce(normal) rotate
例：对中国30个省市自治区经济发展基本情况的八项指标主成分分析，原始数据如下表：
省份 GDP (亿元） 居民消费水平(元） 固定资产投资(亿元) 职工平均工资（元） 货物周转量 (亿吨公里) 居民消费价格指数 (上年100) 商品零售价格指数 (上年100) 工业总产值 (亿元)
area x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 北 京 10488.03 20346 3814.7 56328 758.9 105.1 104.4 10413 天 津 6354.38 14000 3389.8 41748 2703.4 105.4 105.1 12503 河 北 16188.61 6570 8866.6 24756 5925.5 106.2 106.7 23031 山 西 6938.73 6187 3531.2 25828 2562.2 107.2 107.2 10024 7761.8 8108 5475.4 26114 3658.7 105.7 104.7 8740.2 辽 宁 13461.57 9625 10019.1 27729 7033.9 104.6 105.3 24769 吉 林 6424.06 7591 5038.9 23486 1157.8 105.1 106.2 8406.9 8310 7039 3656 23046 1690.9 105.6 105.8 7624.5 上 海 13698.15 27343 4823.1 56565 16029.8 105.8 105.3 25121 江 30312.61 11013 15300.6 31667 4300.9 105.4 104.9 67799 浙 江 21486.92 13893 9323 34146 4974.9 105 106.3 40832 安 徽 8874.17 6377 6747 26363 5843.2 106.2 106.3 11162 福 建 10823.11 10361 5207.7 25702 2396.2 104.6 105.7 15213 江 西 6480.33 5753 4745.4 21000 2285.5 106 106.1 8499.6 山 东 31072.06 9573 15435.9 26404 10107.8 105.3 104.9 62959 河 南 18407.78 5877 10490.6 24816 5165.1 107 107.5 26028 湖 北 11330.38 7406 5647 22739 2526.4 106.3 106.3 13455 湖 南 11156.64 7145 5534 24870 2349.8 106 105.6 11553 广 东 35696.46 14390 10868.7 33110 4428.4 105.6 106 65425 广 西 7171.58 6103 3756.4 25660 2079 107.8 107.6 6072 海 南 1459.23 6550 705.4 21864 597.7 106.9 106.7 1103.1 重 庆 5096.66 9835 3979.6 26985 1490.3 105.6 105 5755.9 四 川 12506.25 6072 7127.8 25038 1578.7 105.1 105.3 14762 贵 州 3333.4 4426 1864.5 24602 805.3 107.6 107.2 3111.1 云 南 5700.1 4553 3435.9 24030 821.3 105.7 106.1 5144.6 西 藏 395.91 3504 309.9 47280 35.5 105.7 103.9 48.19