菱形的判定练习题
菱形的判定同步练习(含答案)
第六章特殊平行四边形1 菱形的性质与判定第2课时菱形的判定基础闯关知识点一：利用定义判定菱形1.如图，四边形ABCD是平行四边形，延长BA到点E,使AE=AB,连接ED,EC,AC.添加一个条件，能使四边形ACDE成为菱形的是( )A.AB=ADB.AB=EDC.CD=AED.EC=AD2.如图,在△ABC中,点D,E,F分别是边BC,CA,AB的中点,要使四边形AFDE为菱形,△ABC应满足的条件是.(添加一个条件即可)知识点二：利用对角线的位置关系判定菱形3.如图，在△ABC中，点D是BC的中点，点E，F分别在线段AD及其延长线上，DE=DF.在下列条件中，使四边形BECF是菱形的是( )A.EB⊥ECB.AB⊥ACC.AB=ACD.BF∥CE4.从下图入口处进入，最后到达的是( )A.甲B.乙C.丙D.丁知识点三：利用边的关系判定菱形5.如图,将平行四边形ABCD沿AE翻折,使点B恰好落在AD上的点F处，则下列结论不一定成立的是( )A.AF=EFB.AB=EFC.AE=AFD.AF=BE6.如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，连接AD，下列条件能够判定四边形ABCD为菱形的是( )A.AB=BCB.AC=BCC.∠B=60°D.∠ACB=60°7.如图,在△ABC中,AD是角平分线,DE∥AC交AB于点E,DF∥AB交AC于点F.如果AE=4cm,那么四边形AEDF的周长为( )A.12cmB.16cmC.20cmD.22cm8.如图，两条笔直的公路l₁，l₂相交于点O，村庄C的村民在公路的旁边建了三个加工厂A,B,D,已知AB=BC=CD=DA=5千米,村庄C到公路l₁的距离为4千米，则村庄C到公路l₂的距离为.知识点四：菱形判定方法的综合应用9.如图,在▱ABCD中,对角线AC,BD相交于点O，添加下列条件，不能判定▱ABCD是菱形的是( )A.AC⊥BDB.AB=BCC.AC=BDD.∠1=∠210.如图,在▱ABCD中,AE,CF分别是∠BAD和∠BCD的平分线.添加一个条件，仍无法判断四边形AECF为菱形的是( )A.AE=AFB.EF⊥ACC.∠B=60°D.AC是∠EAF的平分线能力提升11.如图，在小正方形组成的网格图中，四边形ABCD的顶点都在格点上，则下列结论错误的是( )A.AD∥BCB.DC=ABC.四边形ABCD是菱形D.将边AD向右平移3格，再向上平移7格就与边BC重合12.如图,▱ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,BD=2AD,E,F,G分别是OC,OD,AB的中点，下列结论：①BE ⊥AC;②EG=EF;③△EFG≌△GBE;④EA平分∠GEF;⑤四边形BEFG是菱形.其中正确的个数是( )A.2B.3C.4D.513.如图，四边形ABCD内有一点E,AE=BE=DE=BC=DC,AB=AD,若∠C=100°,则∠BAD的度数为.14.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=8,BC=6,D为斜边AB上一点,以CD,CB为边作▱CDEB,当AD=时,▱CDEB为菱形.15.如图,在▱ABCD中,对角线AC与BD相交于点O，过点O的直线EF与BA,DC的延长线分别交于点E,F.(1)求证:AE=CF.(2)请再添加一个条件，使四边形BFDE是菱形，并说明理由.16.如图,▱ABCD中,过点A作AM⊥BC于点M,交BD于点E,过点C作CN⊥AD于点N,交BD于点F,连接AF,CE.(1)求证:△ABE≌△CDF.(2)求证:当AB=AD时,四边形AECF是菱形.17.如图,过▱ABCD对角线AC与BD的交点E作两条互相垂直的直线，分别交边AB,BC,CD,DA 于点P,M,Q,N.(1)求证:△PBE≌△QDE.(2)顺次连接点P,M,Q,N,求证:四边形PMQN是菱形.培优创新【求解中点四边形的关键——中位线】18.如图，在四边形ABCD中,E,F,G,H分别是AB,BD,CD,AC的中点，要使四边形EFGH是菱形，则四边形ABCD只需要满足一个条件,是( )A.四边形ABCD是梯形B.四边形ABCD是菱形C.对角线AC=BDD.AD=BC19.如图,在四边形ABCD中,E是AB上的一点,△ADE和△BCE都是等边三角形,点P,Q,M,N分别为AB,BC,CD,DA的中点，求证：四边形MNPQ是菱形.参考答案1.B2.示例:AB=AC3.C4.D5.C6.A7.B8.4千米9.C 10.C 11.C 12.C 13.50° 14.2.815.(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴OA=OC,BE∥DF,∴∠E=∠F.在△AOE和△COF中,CF.(2)解:示例:当EF⊥BD时,四边形BFDE是菱形.理由:如图,连接BF,DE.∵四边形ABCD是平行四边形,∴OB=OD.∵△AOE≌△COF,∴OE=OF,∴四边形BFDE是平行四边形.∵EF⊥BD,∴四边形BFDE是菱形.16.证明:(1)∵四边形ABCD为平行四边形,∴AB=CD,AB∥CD,∠ABM=∠CDN,∴∠ABE=∠CDF.∵AM⊥BC,CN⊥AD,∴∠AMB=∠CND=90°,∴∠BAM=∠DCN,在△ABE和△CDF中,∴△ABE≌△CDF(ASA).(2)如图,连接AC.当AB=AD时,四边形ABCD为菱形,则AC⊥BD,AD∥BC.∵△ABE≌△CDF,∴AE=CF.∵AM⊥BC,CN⊥AD,AD∥BC,∴AM∥CN,∴四边形AECF为平行四边形.∵AC⊥EF,∴四边形AECF为菱形.17.证明:(1)∵四边形ABCD是平行四边形,∴EB=ED,AB∥CD,∴∠EBP=∠EDQ.在△PBE和△QDE中,(2)如图所示,∵△PBE≌△QDE,∴EP=EQ.同理,△BME≌△DNE(ASA),∴EM=EN,∴四边形PMQN是平行四边形.∵PQ⊥MN,∴四边形PMQN是菱形.18.D19.证明:如图,连接BD,AC.∵△ADE和△BCE都是等边三角形,∴AE=DE,EC=BE,∠AED=∠BEC=60°,∴∠AEC=∠DEB=120°,∴△AEC≌△DEB(SAS),∴AC=BD.∵M,N是CD,DA的中点,∴MN是△ACD的中位线,即同理可得NP=QM,∴四边形MNPQ是菱形.。
菱形判定练习题
菱形判定练习题一、选择题1. 下列哪个条件不能判定一个四边形是菱形？A. 对角线互相垂直平分B. 四边相等C. 一组邻边相等D. 对角线相等2. 如果一个四边形的对角线互相垂直，那么这个四边形可能是：A. 矩形B. 菱形C. 平行四边形D. 梯形3. 菱形的对角线长度之和是：A. 等于边长B. 等于对角线长度的两倍B. 不能确定D. 等于对角线长度的四倍4. 在菱形中，对角线将菱形分成四个部分，这四个部分的面积是：A. 相等B. 互为倍数关系C. 不能确定D. 互为倒数关系5. 一个四边形的对角线互相平分，且一组对边相等，这个四边形是：A. 矩形B. 菱形C. 平行四边形D. 梯形二、填空题6. 菱形的对角线互相________，并且每条对角线平分一组对角。
7. 如果一个四边形的四条边都相等，那么这个四边形是________形。
8. 菱形的面积可以通过________来计算，公式为S=d1*d2/2，其中d1和d2是两条对角线的长度。
9. 在菱形ABCD中，如果AC=6，BD=8，那么菱形的面积是________。
10. 菱形的对角线将菱形分成四个________形。
三、判断题11. 菱形的对角线一定相等。
（）12. 菱形的对角线相互垂直。
（）13. 菱形的对角线平分一组对角。
（）14. 菱形的面积可以通过边长和高来计算。
（）15. 菱形的对角线将菱形分成四个全等三角形。
（）四、简答题16. 请简述菱形的判定方法有哪些？17. 菱形的对角线有哪些性质？18. 为什么菱形的对角线将菱形分成四个全等的三角形？19. 如果已知菱形的边长，如何计算其面积？20. 菱形的对称性有哪些特点？五、计算题21. 已知菱形ABCD的边长为5cm，求其对角线AC和BD的长度。
22. 已知菱形ABCD的对角线AC=8cm，BD=6cm，求菱形的面积。
六、证明题23. 证明：菱形的对角线互相垂直。
24. 证明：菱形的对角线互相平分。
菱形的判定练习题及其详解
菱形的判定01基础题知识点1有一组邻边相等的平行四边形是菱形1．如图，若要使▱ABCD成为菱形，则可添加的条件是(C)A．AB＝CD B．AD＝BCC．AB＝BC D．AC＝BD第1题图第2题图2．如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，连接AD，下列条件中能够判定四边形ACED 为菱形的是(B)A．AB＝BC B．AC＝BCC．∠B＝60°D．∠ACB＝60°3．如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F，求证：四边形AEDF是菱形．证明：∵DE∥AC，DF∥AB，∴四边形AEDF为平行四边形．∴∠FAD＝∠EDA.∵AD是∠BAC的平分线，∴∠EAD＝∠FAD.∴∠EDA＝∠EAD.∴AE＝ED.∴四边形AEDF是菱形．知识点2对角线互相垂直的平行四边形是菱形4．如图，四边形ABCD的对角线互相垂直，且满足AO＝CO，请你添加一个适当的条件BO＝DO(答案不唯一)，使四边形ABCD成为菱形．(只需添加一个即可)5．(2017·岳阳)求证：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．小红同学根据题意画出了图形，并写出了已知和求证的一部分，请你补全已知和求证，并写出证明过程．已知：如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AC⊥BD．求证：四边形ABCD是菱形．证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴BO＝DO.∵AC⊥BD，∴AC垂直平分BD.∴AB＝AD.∴四边形ABCD为菱形．知识点3四条边相等的四边形是菱形6．(2016·大庆)下列说法正确的是(D)A．对角线互相垂直的四边形是菱形B．矩形的对角线互相垂直C．一组对边平行的四边形是平行四边形D．四边相等的四边形是菱形7．(2017·宁夏)在△ABC中，M是AC边上的一点，连接BM.将△ABC沿AC翻折，使点B 落在点D处，当DM∥AB时，求证：四边形ABMD是菱形．证明：∵AB∥DM，∴∠BAM＝∠AMD.由折叠性质得：∠CAB＝∠CAD，AB＝AD，BM＝DM.∴∠DAM＝∠AMD.∴DA＝DM＝AB＝BM.∴四边形ABMD是菱形．02中档题8．(2017·聊城)如图，△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，要判定四边形DBFE是菱形，还需要添加的条件是(D)A ．AB ＝ACB ．AD ＝BDC ．BE ⊥ACD ．BE 平分∠ABC9．如图，小聪在作线段AB 的垂直平分线时，他是这样操作的：分别以点A 和点B 为圆心，大于12AB 的长为半径画弧，两弧相交于点C ，D ，则直线CD 即为所求．根据他的作图方法可知四边形ADBC 一定是(B )A ．矩形B ．菱形C ．一般的四边形D ．平行四边形第9题图 第10题图10．(2016·兰州)如图，矩形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，CE ∥BD ，DE ∥AC ，AD ＝23，DE ＝2，则四边形OCED 的面积为(A)A ．2 3B ．4C ．4 3D ．811．(2016·沈阳)如图，△ABC ≌△ABD ，点E 在边AB 上，CE ∥BD ，连接DE. 求证：(1)∠CEB ＝∠CBE ；(2)四边形BCED 是菱形．证明：(1)∵△ABC ≌△ABD ，∴∠ABC ＝∠ABD.∵CE ∥BD ，∴∠CEB ＝∠ABD.∴∠CEB ＝∠CBE.(2)∵△ABC ≌△ABD ，∴BC ＝BD.由(1)得∠CEB ＝∠CBE ，∴CE ＝CB.∴CE ＝BD.又∵CE ∥BD ，∴四边形BCED 是平行四边形．又∵BC ＝BD ，∴四边形BCED 是菱形．12．(2016·聊城)如图，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，点E 是AC 的中点，AC ＝2AB ，∠BAC 的平分线AD 交BC 于点D ，作AF ∥BC ，连接DE 并延长交AF 于点F ，连接FC.求证：四边形ADCF 是菱形．证明：∵AF ∥CD ，∴∠AFE ＝∠CDE.在△AFE 和△CDE 中，⎩⎨⎧∠AFE ＝∠CDE ，∠AEF ＝∠CED ，AE ＝CE ，∴△AFE ≌△CDE(AAS )．∴AF ＝CD.∵AF ∥CD ，∴四边形ADCF 是平行四边形．∵点E 是AC 的中点，AC ＝2AB ，∴AE ＝AB.∵AD 平分∠BAC ，∴∠EAD ＝∠BAD.又∵AD ＝AD ，∴△AED ≌△ABD(SAS )．∴∠AED ＝∠B ＝90°，即DF ⊥AC.∴四边形ADCF 是菱形．03 综合题13．如图，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ≠CD ，BD ＝AC.(1)求证：AD ＝BC ；(2)若E ，F ，G ，H 分别是AB ，CD ，AC ，BD 的中点，求证：线段EF 与线段GH 互相垂直平分．证明：(1)延长DC 至K ，使CK ＝AB.连接BK.∵AB ∥ CK ，∴四边形ABKC 是平行四边形．∴AC ∥ BK.∴∠ACD ＝∠K.∵BD ＝AC ，AC ＝BK ，∴BD ＝BK.∴∠BDC ＝∠K.∴∠ACD ＝∠BDC.在△ACD 和△BDC 中，⎩⎨⎧AC ＝BD ，∠ACD ＝∠BDC ，CD ＝DC ，∴△ACD ≌△BDC(SAS )．∴AD ＝BC.(2)分别连接EH ，HF ，FG 和GE. ∵E ，H 分别是AB ，BD 的中点， ∴EH 为△ABD 的中位线．∴EH ＝12AD. 同理：GF ＝12AD ，EG ＝12BC ，HF ＝12BC. 又由(1)知AD ＝BC ，∴EH ＝HF ＝FG ＝GE. ∴四边形EHFG 是菱形．∴线段EF 与线段GH 互相垂直平分．。
专项练习：菱形的判定
菱形的判定一、选择题1. 下列条件能判断四边形ABCD是菱形的条件是（）A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直C．邻边相等D．对角线互相垂直且平分2. 若平行四边形对角线的平方和等于它一边平方的四倍，则该平行四边形一定为（）A．矩形．B．菱形．C．矩形和菱形．D．正方形．3. 满足下列（）的是菱形．A．两对角线相等B．两对角线垂直C．两条对角线垂直且互相平分D．两条对角线相等且互相垂直4. 顺次连结四边形各边中点得到的四边形是一个菱形，则原来的四边形必是（）A．等腰梯形B．矩形C．对角线相等D．菱形5. 将一张矩形纸对折再对折（如图），然后沿着图中的虚线剪下，得到①、②两部分，将①展开后得到的平面图形是（）A．矩形B．三角形C．正方形D．菱形6. 已知四边形的两条对角线相等，那么顺次连结四边形各边中点，得到的四边形是（）A．梯形B．矩形C．菱形D．正方形7. 用两根等宽的木条交叉重叠在一起，则重叠部分的图形一定是（）A．矩形B．菱形C．正方形D．无法确定8. 已知四边形ABCD 是平行四边形，下列结论中不一定正确的是（ ） A ．AB CD = B ．AC BD =C ．AC BD ⊥时，它是菱形 D ．当90ABC ∠=时，它是矩形 二、填空题9. 依次连结等腰梯形各边中点所成的四边形是．10. 在四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，从（1）AB CD =；（2）AB CD ∥；（3）OA OC =；（4）OB OD =；（5）AC BD ⊥；（6）AC 平分BAD ∠这六个条件中，选取三个推出四边形ABCD 是菱形．如（1）（2）（5）⇒ABCD是菱形，再写出符合要求的两个： ⇒ABCD 是菱形；⇒ABCD 是菱形．11. 延长等腰ABC △顶角平分线AD 到E 使DE AD =，连结BE CE ，，则四边形ABEC 是_________形．12. 对角线__________的四边形是菱形．13. 将矩形ABCD 绕对角线交点逆时针方向旋转一角度后，使A 与B 重合，得矩形BFDE ，BF 交AD 于M ，DE 交BC 于N ，则四边形BMDN 是______（填特殊四边形的名称）． 三、证明题14. 已知，如图，从菱形ABCD 对角线的交点O 分别向各边引垂线，垂线分别是E ，F ，G ，H ．求证：四边形EFGH 是矩形．15. 已知四边形ABCD 的四边分别为a ，b ，c ，d ，且满足A DMBCE NFＡＢ44444a b c d abcd +++=，求证：四边形ABCD 是菱形．16. 已知ABCD 是对角线AC BD 、相交于O，如图，且6AD AC ==，4BD =，你能说明四边形ABCD 是菱形吗17. 如图所示，ABC Rt △中，90ACB ∠=，ABC ∠的角平分线BD 交AC 于点D ，CH AB ⊥交BD 于F ，DE AB ⊥于E ，四边形CDEF 是菱形吗18. 如图，在五边形ABCDE 中，AB BC CD DE EA ====，2ABC DBE ∠=∠．请说明：四边形ACDE 是菱形．ＡＯＤＢＡＤＣＢＨＥＦＡＢ19. 如图，在ABC △中，AD 是BAC ∠的平分线，EF 垂直平分AD 交AB 于E ，交AC 于F ，求证：四边形AEDF 是菱形．20. 如图，矩形ABCD 中，O 是两对角线的交点，AF 垂直平分线段OB ，垂足为E ，CH 垂直平分线段OD ，垂足为G ． 求证：（1）AOB △是等边三角形； （2）四边形AFCH 是菱形．21. 如图，矩形ABCD 中，O 是AC 与BD 的交点，过O 点的直线EF 与AB ，CD 的延长线分别交于E ，F ． （1）求证：BOE DOF △≌△；（2）当EF 与AC 满足什么条件时，四边形AECF 为菱形并证明你的结论．22. 如图所示，AD 是Rt△ABC 斜边BC 上的高，B ∠的平分线交AD 于M ，交AC 于E ，DAE ∠的平分线交CD 于N ．求证：四边形AMNE 为菱形．ＣＤＢＣＦＢＥＢ23. 如图所示，在四边形ABCD 中，对边AB CD =，M ，N ，P ，Q 分别是AD ，BC ，AC ，BD 的中点，求证：MN PQ ⊥．24. 如图，四边形ABCD 中，点E 在AB 上，且△ADE 与△BCE 都是正三角形，点P ，Q ，M ，N 分别为边AB ，BC ，CD ，DA 的中点．求证：四边形PQMN 为菱形．25. 如图，四边形ABCD 中，90ABC ADC ∠=∠=，M 为AC 中点，且MN BD ⊥与MD 的平行线BN 交于N ，求证：四边形BNDM 为菱形．ＣＮＤＢCNBAP ＥＢＱＣＭＤＮ26. 如图Rt△ABC 中，90BAC ∠=，AD BC ⊥于D ，CE 平分ACB ∠交AD 于G ，交AB 于E ，EF BC ⊥于F ，求证：四边形AEFG 为菱形． 27.ABCD 的对角线的垂直平分线与边AD BC ，分别交于E F ，，求证：四边形AFCE 是菱形．28. 已知：如图，过ABCD 的对角线交点O 作互相垂直的两条直线EG FH，与平行四边形ABCD 各边分别相交于点E F G H ，，，． 求证：四边形EFGH 是菱形．ＢＣＣＤＦ Ｂ29. 如图，在ABCD中，O是对角线AC的中点，过点O作AC的垂线与边A D，BC分别交于E，F．求证：四边形AFCE是菱形．四、应用题30. 如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，请添加一个条件，使四边形EFGH为菱形，并说明理由．AB C DOEGF H参考答案一、选择题 1. D 2. B 3. C 4. C 5. D 6. C 7. B 8. B 二、填空题 9. 菱形10. (1)(2)(6) (3)(4)(5)[或(3)(4)(6)] 11. 菱12. 互相平分且垂直 13. 菱形 三、证明题14. 先证四边形HEFG 为平行四边形，再证HF EG =．15. 解：因为44444a b c d abcd +++=，所以4444222280a b c d abcd +++-=，所以422442244224422422222222(2)(2)(2)(2)2(2)2(2)0a a b b b a c c c c d d d a d a a b abcd c d a d abcd b c -++-++-++-++-++-+=所以22222222222222()()()()2()2()0a b b c c d d a ab cd ad bc -+-+-+-+-+-=由非负数性质得，220a b -=，220b c -=，220c d -=，220d a -=，0ab cd -=，0ad bc -=．所以a b c d ===． 所以四边形ABCD 是菱形．16. 解：四边形ABCD 是平行四边形，64AC BD ==，．32OA OC OB OD ∴====，． 又13AD =．222.90AD OA OD AOD AC BD∴=+∴∠=即，:⊥∴ABCD 是菱形．17. 解：四边形CDEF 是菱形．理由如下： DE AB CH AB ⊥，⊥，DE CH ∴∥． 即：DE CF ∥． 又BD 是角平分线，DE DC ∴=， 且.BDE BDC ∠=∠....DE CH BDE CFD CDF DFC CD CF CF DE ∴∠=∠∴∠=∠∴=∴=∥， ∴四边形CDEF 是平行四边形，又因DC DE =． ∴四边形CDEF 是菱形．18. 提示：只需证四边形EACD 为平行四边形，只需证明AE CD ∥，过B 作BM AE ∥经证BM CD ∥即可．19. EF ∵垂直平分AD ，AE DE =∴，AF DF =，AD ∵平分BAC ∠，AED AFD ∴△≌△，AE AF =∴，AE DE AF DF ===∴，故四边形AEDF 是菱形． 20. （1）可证12OA AC =，12OB BD =，OA OB =∴．AF ∵垂直平分OB ，OA AB OB ==∴，故AOB △为等边三角形． （2）在等边AOB △中，AF OB ⊥，30OAE BAE ∠=∠=∴， 可证明FCA DAC ∠=∠，FCA EAO ∠=∠，AF CF =∴，可证明四边形AFCH 是平行四边形，而AF CF =，故四边形AFCH 是菱形． 21. （1）∵在矩形ABCD 中，AB CD ∥，E F ∠=∠∴，EBO FDO ∠=∠，又BO OD =，BOE DOF ∴△≌△．（2）当EF 与AC 垂直时，四边形AECF 为菱形． 证明：BOE DOF ∵△≌△，EO FO =∴． 又AO OC =，∴四边形AECF 为平行四边形． 又EF AC ⊥，∴四边形AECF 为菱形．22. 证明：设AN 与ME 交于点O ，因为AD 是Rt△ABC 斜边BC 上的高， 所以ABD CAD ∠=∠．又BE ，AN 分别平分ABD ∠和CAD ∠， 所以EAN ABE ∠=∠．所以在Rt△ABE 中，90AOB ∠=，△AME 是等腰三角形，AN 平分ME ， 又因为ABO NBO =∠∠，OB OB =，所以Rt△AOB ≌Rt△NOB ，AO ON =，即ME 垂直平分AN ，四边形AMNE 是菱形．23. 证明四边形MQNP 是菱形即可．24. 连结AC ，BD ，△ADE 与△BCE 都是正三角形，AE DE ∴=，CE BE =，60AED BEC ∠=∠=，60AEC DEC DEB ∴∠=+∠=∠证△AEC ≌△DEB（SAS ）AC DB ∴=，又P ，Q ，M ，N 分别为各边中点，得12PQ MN AC ==，12QM PN BD ==PQ QM MN NP ∴===.∴四边形PQMN 为菱形． 25. 设MN 与BD 交于O ，易证MB MD =，再证△DOM ≌△BON ，从而BN DM =，又由BN DM ∥，可证得四边形BNDM 为菱形．26. 易证AE FE =，而且AD EF ∥，AEG AGE ∠=∠AG EA EF ∴==又AG EF ∥AEFG ∴为菱形．27. 证明：EF 垂直平分AC ，AF FC ∴=，AE EC =，FAC FCA ∴∠=∠，EAC ECA ∠=∠．AD BC ∥，EAC FCA ∴∠=∠，ECA FCA ∴∠=∠．EF AC ⊥，CEF CFE ∴∠=∠，FC EC ∴=，AF FC CE AE ∴===，∴四边形AFCE 是菱形．28.略29. 先证明四边形AFCE 为平行四边形，再由AC ⊥EF 即可得证．四、应用题30. 添加的条件是：AC BD =．理由略．。
菱形的性质与判定经典例题练习
1、叫菱形2、菱形的性质1)边2）角3）对角线4）对称性5）菱形的面积计算方法：练一练：、1菱形具有而矩形不一定具有的性质是（）．A．对边相等 B．对角相等 C．对角线互相垂直 D．对角线相等2、能够找到一点使该点到各边距离相等的图形为（）．A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．不存在3、如图所示，在菱形ABCD中，∠BAD=80°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，E为垂足，连结DF，则∠CDF等于（）A.80°B.70°C.65°D.60°3．如在菱形ABCD中，∠A=60°，E、F分别是AB，AD的中点，DE、BF相交于点G，连接BD，CG．有下列结论：①∠BGD=120°；②BG+DG=CG；③△BDF≌△CGB；④S△ABD=AB2其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个4、菱形的周长为12 cm，相邻两角之比为5∶1,那么菱形对边间的距离是（）A.6 cmB.1.5 cmC.3 cmD.0.75 cm5.在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，且E、F分别为BC、CD的中点，则∠EAF等于（）A.75° B.60° C.45° D.30°6、菱形的边长是2 cm，一条对角线的长是23 cm,则另一条对角线的长是（）A.4 cmB.3 cmC.2 cmD.23 cm例1、如图，菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O，且AC=16 cm，BD=12 cm，求菱形ABCD的高DH.2、如图，菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O，且AC=8，BD=6，过点O作OH丄AB，垂足为H，则点0到边AB的距离为_______．3、如图，菱形ABCD的边长是2cm，E是AB的中点，且DE丄AB，则菱形ABCD的面积为cm2．12. 如图，菱形OABC 在直角坐标系中，点A 的坐标为（5，0），对角线OB ＝45，反比 例函数xky(k ≠0，x ＞0)经过点C .则k 的值等于（ ） A ．12 B ．8 C ．15 D ．94变式：菱形ABCD 的周长为20 cm ，两条对角线的比为3∶4，求菱形的面积.5如图，在菱形ABCD 中，∠BAD=60°，BD=4，则菱形ABCD 的周长是_________．6、如图，菱形ABCD 中，E 是AB 中点，DE ⊥AB ，AB=4.求（1）∠ABC 的度数； （2）AC 的长； （3）菱形ABCD 的面积．例7：如图，在菱形ABCD 中，AB=4，E 在BC 上，BE=2，角ABC=120度,P 点在AC 上，求PE+PC 的最小值。
菱形的判定专项练习题
菱形的判定专项练习30题（有答案）1．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，BA=AD=DC=BC，点E为BC的中点．（1）求证：四边形ABED是菱形；（2）过A点作AF⊥BC于点F，若BD=4cm，求AF的长．2．如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且AC⊥BD．点M，N分别在BD、AC上，且AO=ON=NC，BM=MO=OD．求证：BC=2DN．3．如图，在△ABC中，AB=AC，D，E，F分别是BC，AB，AC的中点．（1）求证：四边形AEDF是菱形；（2）若AB=12cm，求菱形AEDF的周长．4．如图，在▱ABCD中，EF∥BD，分别交BC，CD于点P，Q，交AB，AD的延长线于点E，F．已知BE=BP．求证：（1）∠E=∠F；（2）▱ABCD是菱形．5．如图，在△ABC中，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC，AF与CE的延长线相交于点F，连接BF．（1）求证：AF=DC；（2）若∠BAC=90°，求证：四边形AFBD是菱形．6．已知平行四边形ABCD中，对角线BD平分∠ABC，求证：四边形ABCD是菱形．7．如图，在一个含30°的三角板ABC中，将三角板沿着AB所在直线翻转180°得到△ABF，再将三角板绕点C顺时针方向旋转60°得到△DEC，点F在AC上，连接AE．（1）求证：四边形ADCE是菱形．（2）连接BF并延长交AE于G，连接CG．请问：四边形ABCG是什么特殊平行四边形？为什么？8．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别是为E F，并且DE=DF．求证：四边形ABCD是菱形．9．如图，在△ABC中，DE∥BC，分别交AB，AC于点D，E，以AD，AE为边作▱ADFE交BC于点G，H，且EH=EC．求证：（1）∠B=∠C；（2）▱ADFE是菱形．10．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，∠BAC的平分线AE交CD于F，EG⊥AB于G．（1）求证：△AEG≌△AEC；（2）△CEF是否为等腰三角形，请证明你的结论；（3）四边形GECF是否为菱形，请证明你的结论．11．如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E、F分别是△ABC三边的中点．求证：四边形ADEF是菱形．12．如图，在四边形ABCD中，AB=CD，M、N、E、F分别为AD、BC、BD、AC的中点，求证：四边形MENF 为菱形．13．已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD，∠BAD的平分线AE交BC于点E，连接DE．求证：四边形ABED是菱形．14．如图，在△ABC中，AB=AC，M、O、N分别是AB、BC、CA的中点．求证：四边形AMON是菱形．15．如图：在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，CE平分∠ACB，交AD于G，交AB于E，EF⊥BC于F．求证：四边形AEFG是菱形．16．如图，矩形ABCD绕其对角线交点旋转后得矩形AECF，AB交EC于点N，CD交AF于点M．求证：四边形ANCM是菱形．17．如图，四边形ABCD、DEBF都是矩形，AB=BF，AD、BE交于M，BC、DF交于N，那么四边形BMDN是菱形吗？如果是，请写出证明过程；如果不是，说明理由．18．已知如图所示，AD是△ABC的角平分线，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F，四边形AEDF是菱形吗？说明理由．19．已知：如图所示，BD是△ABC的角平分线，EF是BD的垂直平分线，且交AB于E，交BC于点F．求证：四边形BFDE是菱形．20．如图，在平行四边形ABCD中，O是对角线AC的中点，过点O作AC的垂线与边AD、BC分别交于E、F．求证：四边形AFCE是菱形．21．如图，在矩形ABCD中，EF垂直平分BD．（1）判断四边形BEDF的形状，并说明理由．（2）已知BD=20，EF=15，求矩形ABCD的周长．22．如图所示，在▱ABCD中，点E在BC上，AE平分∠BAF，过点E作EF∥AB．求证：四边形ABEF为菱形．23．已知，如图，矩形ABCD中，AB=4cm，AD=8cm，作∠CAE=∠ACE交BC于E，作∠ACF=∠CAF交AD于F．（1）求证：AECF是菱形；（2）求四边形AECF的面积．24．如图，平行四边形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于E、F．问四边形AFCE是菱形吗？请说明理由．25．如图：在平行四边形ABCD中，E、F分别是边AB、CD的延长线上一点，且BE=DF，连接EF交AC于O．（1）AC与EF互相平分吗？为什么？（2）连接CE、AF，再添加一个什么条件，四边形AECF是菱形？为什么？26．已知：如图，△ABC和△DBC的顶点在BC边的同侧，AB=DC，AC=BD交于E，∠BEC的平分线交BC于O，延长EO到F，使EO=OF．求证：四边形BFCE是菱形．27．如图，在△ABC中，D是BC边的中点，F，E分别是AD及其延长线上的点，CF∥BE．（1）求证：△BDE≌△CDF；（2）请连接BF，CE，试判断四边形BECF是何种特殊四边形，并说明理由；（3）在（2）下要使BECF是菱形，则△ABC应满足何条件？并说明理由．28．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线DE交BC于D，交AB于E，F在DE上，并且AF=CE．（1）求证：四边形ACEF是平行四边形；（2）当∠B的大小满足什么条件时，四边形ACEF是菱形？请回答并证明你的结论．29．如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，EF垂直平分AD交AB于E，交AC于F．求证：四边形AEDF是菱形．30．如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA 的外角平分线于点F．（1）探究：线段OE与OF的数量关系并加以证明；（2）当点O运动到何处，且△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？（3）当点O在边AC上运动时，四边形BCFE会是菱形吗？若是，请证明，若不是，则说明理由．矩形的判定专项练习30题参考答案：1．1）证明：∵点E为BC的中点，∴BE=CE=BC，∵BA=AD=DC=BC，∴AB=BE=ED=AD，∴四边形ABED是菱形；（2）解：过点D作DH⊥BC，垂足为H，∵CD=DE=CE，∴∠DEC=60°，∴∠DBE=30°，在Rt△BDH中，BD=4cm，∴DH=2cm，∵AF=DH，∴AF=2cm．2．∵AO=ON，BM=MO，∴四边形AMND是平行四边形，∵AC⊥BD，∴平行四边形AMND是菱形，∴MN=DN，∵ON=NC，BM=MO，∴MN=BC，∴BC=2DN 3．（1）∵D，E分别是BC，AB的中点，∴DE∥AC且DE=AF=AC．同理DF∥AB且DF=AE=AB．又∵AB=AC，∴DE=DF=AF=AE，∴四边形AEDF是菱形．（2）∵E是AB中点，∴AE=AB=6cm，因此菱形AEDF的周长为4×6=24cm．4．（1）∵BE=BP，∴∠E=∠BPE，∵BC∥AF，∴∠BPE=∠F，∴∠E=∠F．（2）∵EF∥BD，∴∠E=∠ABD，∠F=∠ADB，∴∠ABD=∠ADB，∴AB=AD，∵四边形ABCD是平行四边形，∴□ABCD是菱形．5．1）证明：∵E是AD的中点，∴∠1=∠2，在△AEF和△DEC 中，∴△AFE≌△DCE（AAS），∴AF=DC；（2）证明：∵D是BC的中点，∴DB=CD=BC，∵AF=CD，∴AF=DB，∵AF∥BD，∴四边形AFBD是平行四边形，∵∠BAC=90°，D为BC中点，∴AD=CB=DB，∴四边形AFBD是菱形．6．∵对角线BD平分∠ABC，∴∠1=∠2，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，∴∠3=∠1，∴∠3=∠2，∴DC=BC，又∵四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是菱形．7．（1）∵三角板ABC中，将三角板沿着AB所在直线翻转180°得到△ABF，∴△ABC≌△ABF，且∠BAC=∠BAF=30°，∴∠FAC=60°，∴AD=DC=AC，又∵△ABC≌△EFC，∴CA=CE，又∵∠ECF=60°，∴AC=EC=AE，∴AD=DC=CE=AE，（2）证明：由（1）可知：△ACD，△AFC是等边三角形，△ACB≌△AFB，∴∠EDC=∠BAC=∠FAC=30°，且△ABC为直角三角形，∴BC=AC，∵EC=CB，∴EC=AC，∴E为AC中点，∴DE⊥AC，∴AE=EC，∵AG∥BC，∴∠EAG=∠ECB，∠AGE=∠EBC，∴△AEG≌△CEB，∴AG=BC，（7分）∴四边形ABCG是平行四边形，∵∠ABC=90°，∴四边形ABCG是矩形8．在△ADE和△CDF中，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A=∠C，∵DE⊥AB，DF⊥BC，∴∠AED=∠CFD=90°．又∵DE=DF，∴△ADE≌△CDF（AAS）∴DA=DC，∴平行四边形ABCD是菱形9．（1）∵在▱ADFE中，AD∥EF，∴∠EHC=∠B（两直线平行，同位角相等）．∵EH=EC（已知），∴∠EHC=∠C（等边对等角），∴∠B=∠C（等量代换）；（2）∵DE∥BC（已知），∴∠AED=∠C，∠ADE=∠B．∵∠B=∠C，∴∠AED=∠ADE，∴AD=AE，∴▱ADFE是菱形．10．1）证明：∵∠ACB=90°，∴AC⊥EC．在Rt△AEG与Rt△AEC中，，∴Rt△AEG≌Rt△AEC（HL）；（2）解：△CEF是等腰三角形．理由如下：∵CD是AB边上的高，∴CD⊥AB．又∵EG⊥AB，∴EG∥CD，∴∠CFE=∠GEA．又由（1）知，Rt△AEG≌Rt△AEC，∴∠GEA=∠CEA，∴∠CEA=∠CFE，即∠CEF=∠CFE，∴CE=CF，即△CEF是等腰三角形；（3）解：四边形GECF是菱形．理由如下：∵由（1）知，Rt△AEG≌Rt△AEC，则GE=EC；由（2）知，CE=CF，∴GE=EC=FC．又∵EG∥CD，即GE∥FC，∴四边形GECFR是菱形．11．∵D、E、F分别是△ABC三边的中点，∴DE AC，EF AB，∴四边形ADEF为平行四边形．又∵AC=AB，∴DE=EF．∴四边形ADEF为菱形．12．∵M、E、分别为AD、BD、的中点，∴ME∥AB，ME=AB，同理：FH∥AB，FH=AB，∴四边形MENF是平行四边形，∵M．F是AD，AC中点，∴MF=DC，∵AB=CD，∴MF=ME，∴四边形MENF为菱形13．∵AE平分∠BAD，∵，∴△BAE≌△DAE（SAS）…（2分）∴BE=DE，…（3分）∵AD∥BC，∴∠DAE=∠AEB，…（4分）∴∠BAE=∠AEB，∴AB=BE，…（5分）∴AB=BE=DE=AD，…（6分）∴四边形ABED是菱形．14．∵AB=AC，M、O、N分别是AB、BC、CA的中点，∴AM=AB=AC=AN，M0∥AC，NO∥AB，且MO=AC=AN，NO=AB=AM（三角形中位线定理），∴AM=MO=AN=NO，∴四边形AMON是菱形（四条边都相等的四边形是菱形）15．证法一：∵AD⊥BC，∴∠ADB=90°，∵∠BAC=90°，∴∠B+∠BAD=90°，∠BAD+∠CAD=90°，∴∠B=∠CAD，∵CE平分∠ACB，EF⊥BC，∠BAC=90°（EA⊥CA），∴AE=EF（角平分线上的点到角两边的距离相等），∵CE=CE，∴由勾股定理得：AC=CF，∵△ACG和△FCG中，∴△ACG≌△FCG，∴∠CAD=∠CFG，∵∠B=∠CAD，∴∠B=∠CFG，∴GF∥AB，∵AD⊥BC，EF⊥BC，∴AD∥EF，即AG∥EF，AE∥GF，∴平行四边形AEFG是菱形．证法二：∵AD⊥BC，∠CAB=90°，EF⊥BC，CE平分∠ACB，∴AD∥EF，∠4=∠5，AE=EF，∵∠1=180°﹣90°﹣∠4，∠2=180°﹣90°﹣∠5，∴∠1=∠2，∵AD∥EF，∴∠2=∠3，∴∠1=∠3，∴AG=AE，∵AE=EF，∴AG=EF，∵AG∥EF，∴四边形AGFE是平行四边形，∵AE=EF，∴平行四边形AGFE是菱形．16．∵CD∥AB，∴∠FMC=∠FAN，∴∠NAE=∠MCF（等角的余角相等），在△CFM和△AEN中，，∴△CFM≌△AEN（ASA），∴CM=AN，∴四边形ANCM为平行四边形，在△ADM和△CFM中，，∴△ADM≌△CFM（AAS），∴AM=CF，∴四边形ANCM是菱形17．四边形BMDN是菱形．∵AM∥BC，∴∠AMB=∠MBN，∵BM∥FN∴∠MBN=∠BNF，∴∠AMB=∠BNF，又∵∠A=∠F=90°，AB=BF，∴△ABM≌△BFN，∴DM=DN，∵ED=BF=AB，∠E=∠A=90°，∠AMB=∠EMD，∴△ABM≌△EDM，∴BM=DM，∴MB=MD=DN=BN，∴四边形BMDN是菱形18．如图，由于DE∥AC，DF∥AB，所以四边形AEDF 为平行四边形．∵DE∥AC，∴∠3=∠2，又∠1=∠2，∴∠1=∠3，∴AE=DE，∴平行四边形AEDF为菱形．19．∵EF是BD的垂直平分线，∴EB=ED，∴∠EBD=∠EDB．∵BD是△ABC的角平分线，∴∠EBD=∠FBD．∴∠FBD=∠EDB，∴ED∥BF．同理，DF∥BE，∴四边形BFDE是平行四边形．又∵EB=ED，∴四边形BFDE是菱形．20．方法一：∵AE∥FC．∴∠EAC=∠FCA．（2分）又∵∠AOE=∠COF，AO=CO，∴△AOE≌△COF．（5分）∴EO=FO．又EF⊥AC，∴AC是EF的垂直平分线．（8分）∴AF=AE，CF=CE，又∵EA=EC，∴AF=AE=CE=CF．∴四边形AFCE为菱形．（10分）方法二：同方法一，证得△AOE≌△COF．（5分）∴AE=CF．∴四边形AFCE是平行四边形．（8分）又∵EF是AC的垂直平分线，方法三：同方法二，证得四边形AFCE是平行四边形．（8分）又EF⊥AC，（9分）∴四边形AFCE为菱形21．（1）四边形BEDF是菱形．在△DOF和△BOE中，∠FDO=∠EBO，OD=OB，∠DOF=∠BOE=90°，所以△DOF≌△BOE，所以OE=OF．又因为EF⊥BD，OD=OB，所以四边形BEDF为菱形．（5分）（2）如图，在菱形EBFD中，BD=20，EF=15，则DO=10，EO=7.5．由勾股定理得DE=EB=BF=FD=12.5．S菱形EBFD =EF•BD=BE•AD，即所以得AD=12．根据勾股定理可得AE=3.5，有AB=AE+EB=16．由2（AB+AD）=2（16+12）=56，故矩形ABCD的周长为5622．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AF∥BE，又∵EF∥AB，∴四边形ABEF为平行四边形，∵AE平分∠BAF，∴∠BAE=∠FAE，∵∠FAE=∠BEA，∴∠BAE=∠BEA，∴BA=BE，∴平行四边形ABEF为菱形23．（1）证明：在矩形ABCD中，∵AB∥CD，∴∠BAC=∠DCA，又∠CAE=∠ACE，∠ACF=∠CAF，∴∠EAC=∠FCA．∴AE∥CF．∴四边形AECF为平行四边形，又∠CAE=∠ACE，∴AE=EC．∴▱AECF为菱形．（2）设BE=x，则EC=AE=8﹣x，在Rt△ABE中，AB2+BE2=AE2，所以EC=5，即S菱形AECF=EC×AB=5×4=20．24．四边形AFCE是菱形，理由是：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴=，∵AO=OC，∴OE=OF，∴四边形AFCE是平行四边形，∵EF⊥AC，∴平行四边形AFCE是菱形25．（1）AC与EF互相平分，连接CE，AF，∵平行四边形ABCD，∴AB∥CD，AB=CD，又∵BE=DF，∴AB+BE=CD+DF，∴AE=CF，∴AE∥CF，AE=CF，∴四边形AECF是平行四边形，∴AC与EF互相平分；（2）条件：EF⊥AC，∵EF⊥AC，又∵四边形AECF是平行四边形，∴平行四边形AECF是菱形．26．∵AB=DC AC=BD BC=CB，∴△ABC≌△DCB，∴∠DBC=∠ACB，∴BE=CE，又∵∠BEC的平分线是EF，∴EO是中线（三线合一），∴BO=CO，∴四边形BFCE是平行四边形（对角线互相平分），又∵BE=CE，∴四边形BFCE是菱形．27．（1）证明：∵CF∥BE，∴∠EBD=∠FCD，D是BC边的中点，则BD=CD，∠BDE=∠CDF，∴△BDE≌△CDF．（2）如图所示，由（1）可得CF=BE，又CF∥BE，所以四边形BECF是平行四边形；（3）△ABC是等腰三角形，即AB=AC，理由：当AB=AC 时，则有AD⊥BC，又（2）中四边形为平行四边形，所以可判定其为菱形．28．（1）∵DE为BC的垂直平分线，∴∠EDB=90°，BD=DC，又∵∠ACB=90°，∴DE∥AC，∴E为AB的中点，∴在Rt△ABC中，CE=AE=BE，∴∠AEF=∠AFE，且∠BED=∠AEF，∠DEC=∠DFA，∴AF∥CE，又∵AF=CE，∴四边形ACEF为平行四边形；（2）要使得平行四边形ACEF为菱形，则AC=CE即可，∵DE∥AC，∴∠BED=∠BAC，∠DEC=∠ECA，又∵∠BED=∠DEC，∴∠EAC=∠ECA，∴AE=EC，又EB=EC，∴AE=EC=EB，∵CE=AB，∴AC=AB即可，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∴当∠B=30°时，AB=2AC，故∠B=30°时，四边形ACEF为菱形．29．∵AD平分∠BAC∴∠BAD=∠CAD又∵EF⊥AD，∴∠AOE=∠AOF=90°∵在△AEO和△AFO中，∴△AEO≌△AFO（ASA），∴EO=FO即EF、AD相互平分，∴四边形AEDF是平行四边形又EF⊥AD，∴平行四边形AEDF为菱形30．1）解：OE=OF．理由如下：∵CE是∠ACB的角平分线，∴∠ACE=∠BCE，又∵MN∥BC，∴∠NEC=∠ECB，∴∠NEC=∠ACE，∴OE=OC，∵OF是∠BCA的外角平分线，∴∠OCF=∠FCD，又∵MN∥BC，∴∠OFC=∠ECD，∴∠OFC=∠COF，∴OF=OC，∴OE=OF；（2）解：当∠ACB=90°，点O在AC的中点时，∵OE=OF，∴四边形AECF是正方形；（3）答：不可能．解：如图所示，∵CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，∴∠ECF=∠ACB+∠ACD=（∠ACB+∠ACD）=90°，若四边形BCFE是菱形，则BF⊥EC，但在△GFC中，不可能存在两个角为90°，所以不存在其为菱形．。
初中数学九年级上册菱形的判定专项练习题
第2课时菱形的判定一、选择题（共10小题）1、在平面直角坐标系中，已知点A（0，2），B（﹣2，0），C（0，﹣2），D（2，0），则以这四个点为顶点的四边形ABCD是（）A、矩形B、菱形C、正方形D、梯形2、用两个全等的等边三角形，可以拼成下列哪种图形（）A、矩形B、菱形C、正方形D、等腰梯形3、如图，下列条件之一能使平行四边形ABCD是菱形的为（）①AC⊥BD；②∠BAD=90°；③AB=BC；④AC=BD．A、①③B、②③C、③④D、①②③4、红丝带是关注艾滋病防治问题的国际性标志，人们将红丝带剪成小段，并用别针将折叠好的红丝带别在胸前，如图所示．红丝带重叠部分形成的图形是（）A、正方形B、等腰梯形C、菱形D、矩形5、（在同一平面内，用两个边长为a的等边三角形纸片（纸片不能裁剪）可以拼成的四边形是（）A、矩形B、菱形C、正方形D、梯形6、用两个边长为a的等边三角形纸片拼成的四边形是（）A、等腰梯形B、正方形C、矩形D、菱形7、汶川地震后，吉林电视台法制频道在端午节组织发起“绿丝带行动”，号召市民为四川受灾的人们祈福．人们将绿丝带剪成小段，并用别针将折叠好的绿丝带别在胸前，如图所示，绿丝带重叠部分形成的图形是（）A、正方形B、等腰梯形C、菱形D、矩形8、能判定一个四边形是菱形的条件是（）A、对角线相等且互相垂直B、对角线相等且互相平分C、对角线互相垂直D、对角线互相垂直平分9、四边形的四边长顺次为a、b、c、d，且a2+b2+c2+d2=ab+bc+cd+ad，则此四边形一定是（）A、平行四边形B、矩形C、菱形D、正方形二、填空题（共8小题）11、（如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为菱形，需要添加的条件是_________ （只填一个你认为正确的即可）．12、如图，如果要使平行四边形ABCD成为一个菱形，需要添加一个条件，那么你添加的条件是_________ ．13、（如图，平行四边形ABCD中，AF、CE分别是∠BAD和∠BCD的角平分线，根据现有的图形，请添加一个条件，使四边形AECF为菱形，则添加的一个条件可以是_________ ．（只需写出一个即可，图中不能再添加别的“点”和“线”）14、在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，从（1）AB=CD；（2）AB∥CD；（3）OA=OC；（4）OB=OD；（5）AC⊥BD；（6）AC平分∠BAD这六个条件中，选取三个推出四边形ABCD是菱形．如（1）（2）（5）=＞ABCD是菱形，再写出符合要求的两个：_________ =＞ABCD是菱形；_________ =＞ABCD是菱形．15、若四边形ABCD是平行四边形，请补充条件_________ （写一个即可），使四边形ABCD是菱形．16、在四边形ABCD中，给出四个条件：①AB=CD，②AD∥BC，③AC⊥BD，④AC平分∠BAD，由其中三个条件推出四边形ABCD是菱形，你认为这三个条件是_________ ．（写四个条件的不给分，只填序号）17、要说明一个四边形是菱形，可以先说明这个四边形是_________ 形，再说明_________ （只需填写一种方法）18、如图，四边形ABCD是平行四边形，AC、BD相交于点O，不添加任何字母和辅助线，要使四边形ABCD 是菱形，则还需添加一个条件是_________ （只需填写一个条件即可）．三、解答题（共11小题）19、（如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，连接AD，在AD的延长线上取一点E，连接BE， CE．（1）求证：△ABE≌△ACE；（2）当AE与AD满足什么数量关系时，四边形ABEC是菱形？并说明理由．20、如图，在▱ABCD中，E，F分别为边AB，CD的中点，连接DE、BF、BD．（1）求证：△ADE≌△CBF．（2）若AD⊥BD，则四边形BFDE是什么特殊四边形？请证明你的结论．21、如图，已知点D在△ABC的BC边上，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F．（1）求证：AE=DF；（2）若AD平分∠BAC，试判断四边形AEDF的形状，并说明理由．22、已知：如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，BC=CD，AD⊥BD，E为AB中点，求证：四边形BCDE是菱形．23、如图，在△ABC和△DCB中，AB=DC，AC=DB，AC与DB交于点M．（1）求证：△ABC≌△DCB；（2）过点C作CN∥BD，过点B作BN∥AC，CN与BN交于点N，试判断线段BN与CN的数量关系，并证明你的结论．24、如图，△ABC中，AC的垂直平分线MN交AB于点D，交AC于点O，CE∥AB交MN于E，连接AE、CD．（1）求证：AD=CE；（2）填空：四边形ADCE的形状是_________ ．25、如图△ABC与△CDE都是等边三角形，点E、F分别在AC、BC上，且EF∥AB（1）求证：四边形EFCD是菱形；（2）设CD=4，求D、F两点间的距离．26、如图，在梯形纸片ABCD中，AD∥BC，AD＞CD，将纸片沿过点D的直线折叠，使点C落在AD上的点C 处，折痕DE交BC于点E，连接C′E．求证：四边形CDC′E是菱形．27、已知：如图，平行四边形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别相交于点E、F．求证：四边形AFCE是菱形．28、如图，等边△ABC的边长为2，E是边BC上的动点，EF∥AC交边AB于点F，在边AC上取一点P，使PE=EB，连接FP．（1）请直接写出图中与线段EF相等的两条线段；（不再另外添加辅助线）（2）探究：当点E在什么位置时，四边形EFPC是平行四边形？并判断四边形EFPC是什么特殊的平行四边形，请说明理由；（3）在（2）的条件下，以点E为圆心，r为半径作圆，根据⊙E与平行四边形EFPC四条边交点的总个数，求相应的r的取值范围．29、如图，已知△ABC的面积为3，且AB=AC，现将△ABC沿CA方向平移CA长度得到△EFA．（1）求△ABC所扫过的图形的面积；（2）试判断AF与BE的位置关系，并说明理由；（3）若∠BEC=15°，求AC的长．答案与评分标准一、选择题（共10小题）1、在平面直角坐标系中，已知点A（0，2），B（﹣2，0），C（0，﹣2），D（2，0），则以这四个点为顶点的四边形ABCD是（）A、矩形B、菱形C、正方形D、梯形考点：坐标与图形性质；菱形的判定。
完整版)菱形的性质和判定练习题
完整版)菱形的性质和判定练习题1.这个菱形的高为9cm。
2.较短对角线长为10cm。
3.边长为5cm。
4.各角分别为72°和108°。
5.添加的条件可以是AB=AD或BC=CD。
6.错误的说法是A，即两组对边分别平行。
7.对角线互相垂直。
8.菱形。
9.不正确的说法是B，即菱形的对角线平分各内角。
10.周长为40cm。
11.互相垂直且不平分。
12.AB长为8cm。
13.CD的长为4.14.对角线BD的长为2.15.边长为5.16.OH的长为7.17.若菱形的周长为20cm，则它的边长为4cm。
18.在菱形ABCD中，由对角线AC和BD相交于点O可知，菱形的对角线相等，即AC=BD。
又已知BD=6，则AC=6.设菱形ABCD的边长为a，则2a=20，即a=10.由菱形对角线的长度公式可得。
$AC=\sqrt{a^2+a^2}=a\sqrt{2}$，代入AC=6可得a=6/$\sqrt{2}$，因此菱形ABCD的面积为36.19.在菱形ABCD中，由$\angle ADC=120^\circ$可知，$\angle ADB=60^\circ$。
设$\angle ABD=\theta$，则$\angle ADB=120^\circ-\theta$。
由余弦定理可得，$BD^2=15^2+15^2-2\times15\times15\times\cos\theta$，化简可得$\cos\theta=1/2$，因此$\sin\theta=\sqrt{3}/2$。
由正弦定理可得，$BD/\sin\theta=2a$，其中a为菱形的边长。
又已知BD=15，代入可得$a=15\sqrt{3}/4$。
设B、D两点之间的距离为h，则$h=\sqrt{(15\sqrt{3}/4)^2-(15/2)^2}=15\sqrt{3}/4$，因此选项D 正确。
20.设菱形的较长对角线为2x，较短对角线为x，则菱形的面积为$x^2$。
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菱形的判定课时测控
1．下列四边形中不一定为菱形的是（）
A．对角线相等的平行四边形 B．每条对角线平分一组对角的四边形
C．对角线互相垂直的平行四边形 D．用两个全等的等边三角形拼成的四边形
2．四个点A，B，C，D在同一平面内，从①AB∥CD；②AB=CD；③AC⊥BD；④AD= BC； ⑤AD∥BC．这5个条件中任选三个，能使四边形ABCD是菱形的选法有（）．
A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
3．菱形的周长为32cm，一个内角的度数是60°，则两条对角线的长分别是（）A．8cm和43cm B．4cm和83cm C．8cm和83cm D．4cm和43cm 4．如图1所示，已知□ABCD，AC，BD相交于点O，•添加一个条件使平行四边形为菱形，添加的条件为________．（只写出符合要求的一个即可）
图1 图2
5．如图2所示，D，E，F分别是△ABC的边BC，CA，AB上的点，且DE∥AB，DF∥CA，要使四边形AFDE是菱形，则要增加的条件是________．（只写出符合要求的一个即可）6．菱形ABCD的周长为48cm，∠BAD： ∠ABC= 1：•2，•则BD=•_____，•菱形的面积是______．7．在菱形ABCD中，AB=4，AB边上的高DE垂直平分边AB，则BD=_____，AC=_____．8．如图所示，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB=CD=BC，四边形ABCD是菱形吗？•说明理由．
9．如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，PD∥AC，PC∥BD，PD，PC相交于点P，四边形PCOD 是菱形吗？试说明理由．
D
A
C F
H E B
K
D
A
C
F
H
G E B
D
A
C F
H G
E
B
10．（一题多解题）如图所示，△ABC 中，∠ACB=90°，∠ABC 的平分线BD•交AC 于点D ，CH⊥AB 于H ，且交BD 于点F ，DE⊥AB 于E ，四边形CDEF 是菱形吗？请说明理由．
11．（科内交叉题）如图所示，已知△ABC 中，AB=AC ，D 是BC 的中点，过点D•作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E ，F ，再过E ，F 作EG⊥AC，FH⊥AB，垂足分别为G ，H ，且EG ，•FH 相交于点K ，试说明EF 和DK 之间的关系．
12．菱形以其特殊的对称美而备受人们喜爱，在生产生活中有极其广泛的应用．如图所示是一块长30cm ，宽20cm 的长方形的瓷砖，E ，F ，G ，H 分别是边BC ，CD ，DA ，•AB 的中点，涂黑部分为淡蓝色花纹，中间部分为白色．现有一面长4.2m ，宽2.8m•的墙壁准备贴这种瓷砖，试问：（1）这面墙壁最少要贴这种瓷砖多少块？
（2）全部贴满瓷砖后，这面墙壁最多会出现多少个面积相等的菱形？• 其中有花纹的菱形有多少个？
13．已知：如图所示，菱形ABCD 中，E ，F 分别是CB ，CD 上的点，且BE=DF ． （1）试说明：AE =AF ；
（2）若∠B=60°，点E ，F 分别为BC 和CD 的中点，试说明：△AEF 为等边三角形．。