(完整版)专项练习：菱形的判定
全等菱形的判定精选练习题(分专题)
全等菱形的判定精选练习题(分专题)题目1: 判定全等菱形的条件判定以下四边形为全等菱形的条件是什么？在图纸上标出所有已知等长和等角的边和角。
两个条件需要满足才能判定一个四边形为全等菱形:1. 所有四条边的长度相等。
2. 所有角度都是直角（90度）。
题目2: 证明全等菱形已知图中的四边形 ABCD 是一个全等菱形，现在请你证明它是全等菱形。
证明方法如下:1. 根据已知信息，可以得出 AB = AD 和∠ABC = ∠ADC。
2. 因为ABCD是一个菱形，所以 AB = BC，AD = DC。
3. 根据等长和等角的性质，我们可以得出∠BAC = ∠ACD。
4. 综上所述，根据SSS和ASA全等定理，可以证明四边形ABCD 是全等菱形。
题目3: 判定对角线平分全等菱形的条件判定以下四边形为对角线平分全等菱形的条件是什么？在图纸上标出所有已知等长和等角的边和角。
两个条件需要满足才能判定一个四边形为对角线平分全等菱形:1. 对角线 AC 和 BD 的长度相等。
2. 对角线 AC 和 BD 互相垂直且平分彼此。
题目4: 证明对角线平分全等菱形已知图中的四边形 ABCD 是一个对角线平分全等菱形，现在请你证明它是对角线平分全等菱形。
证明方法如下:1. 根据已知信息，可以得出 AC = BD。
2. 因为 ABCD 是一个菱形，所以 AD = BC。
3. 设交点为 E，连接 BE 和 DE。
4. 因为 AC = BD，且对角线互相垂直且平分彼此，所以 AE = CE，BE = DE。
5. 综上所述，根据 SSS和ASA全等定理，可以证明四边形ABCD 是对角线平分全等菱形。
题目5: 判定已知两角和边长的全等菱形判定以下四边形为全等菱形的条件是什么？在图纸上标出所有已知等长和等角的边和角。
菱形的判定练习
菱形的判定练习一、选择题〔每题2分，共30分〕1 .菱形和矩形一定都具有的性质是〔〕A .对角线相等.B .对角线互相平分.C.对角线互相垂直. D .每条对角线平分一组对角.2. 四边相等的四边形是〔〕A .菱形B .矩形C.正方形D .梯形3. 菱形是轴对称图形，它的对称轴有〔〕A . 1条B. 2条C. 3条D. 4条4. 如图19-2-2-14,在菱形ABCD中，E、F、G、H分别是菱形四边的中点，连结EG与FH交于点0,那么图中的菱形共有〔〕A . 4个B. 5个C. 6个D. 7个图19-2-2-145. 在菱形ABCD中，AC=6, BD=8，那么菱形的边长为〔〕A . 5 B. 10 C . 6 D . 86. 如图19-2-2-15,在菱形ABCD 中，AB=5，/ BCD=120° 那么对角线AC等于〔〕A. 20B. 15 C . 10 D . 5图19-2-2-157. 如图19-2-2-16，在菱形ABCD中，E、F分别是AB、AC的中点，如果EF=2，那么ABCD的周长是〔〕A. 4B. 8C. 12D. 168. 菱形的边长和一条对角线的长均为'1 r ,那么菱形的面积为〔〕A. 3cm2B. 4cm2C. 仏叶D. 2-讥叶9. 以下条件之一能使口ABCD是菱形的为〔〕①AC丄BD ②/ BAD=90°③AB=BC ④AC=BDA .①③B .②③ C.③④ D .①②③10. 以下说法正确的选项是〔〕A .对角线互相垂直且相等的四边形是菱形B .对角线互相垂直的平行四边形是菱形C.对角线互相平分且相等的四边形是菱形D .对角线相等的四边形是菱形11. 用两个边长为a的等边三角形纸片拼成的四边形是〔〕A .平行四边形B .正方形C.矩形D .菱形12. 菱形OABC在平面直角坐标系中的位置如图19-2-2-17所示, 仁'■… K，那么点B的坐标为〔〕A. dB.（i 应）C.D.（L】）13. 如图19-2-2-18,菱形ABCD 中，/ B=60° AB=2, E、F 分别是BC、CD的中点，连接AE、EF、AF,那么△ AEF的周长为〔〕A. B.・疵C. 4 2 D. 3图19-2-2-1814. 如图19-2-2-19,将一个长为10cm，宽为8cm的矩形纸片对折两次后，沿所得矩形两邻边中点的连线〔虚线〕剪下，再翻开，得到的菱形的面积为〔〕A. 10cm2B. 20cm2C. 40cm2D. 20cm2DB图19-2-2-1915. 将矩形纸片ABCD按如图19-2-2-20所示的方式折叠，得到菱形AECF.假设AB=3，那么BC的长为〔〕A. 1B. 2C.亡D.曲图19-2-2-20二、填空题〔每空3分，共15分〕16. 假设一个菱形的周长是40cm,它的一条对角线长10cm,那么菱形相邻的两个角度数分别是—.17. 如图19-2-2-21, P为菱形ABCD的对角线上一点，PE丄AB于点E, PF丄AD于点F, PF=3cm，那么P点到AB的距离是cm.图19-2-2-2118. 菱形的一个内角为60° 一条对角线的长为2舘，那么另一条对角线的长为19. 菱形的周长为40，—条对角线长为12,那么这个菱形的面积为—.20. 如图19-2-2-22, 一活动菱形衣架中，菱形的边长均为16cm 假设墙上钉子间的距离AB=BC=16cm,那么/仁—度.图19-2-2-2221 .如图19-2-2-23,在菱形ABCD 中，/ ADC=72° AD 的垂直平分线交对角线BD于点P,垂足为E,连接CP，那么卍口円? = ________ 度.图19-2-2-2322. _____________________________________ 如图19-2-2-24,在菱形ABCD中，AC、BD相交于点O, DE丄BC 于点E, 且DE=OC, OD=2，那么AC= _____________________ .三. 解答题 23. 〔本小题总分值 5分〕如图19-2-2-25,菱形ABCD 中，BE 丄AD , BF 丄CD , E 、F 为垂足，AE=ED ，求/ EBF 的度数.24. 〔本小题总分值 5分〕：如图19-2-2-26，矩形ABCD 中,DE // AC , CE // BD .试说明四边形 OCED 是菱形的理由.25. 〔本小题总分值5分〕如图19-2-2-27,^ABC 中，AC 的垂 直平分线MN 交AB 于点D ,交AC 于点O , CE / AB 交MN 于E ,连 结 AE 、CD .〔1〕求证：AD=CE ;图 19-2-2-24C图 19-2-2-25E〔2〕填空：四边形ADCE的形状是图19-2-2-2726. 〔本小题总分值5分〕如图19-2-2-28,将矩形ABCD沿对角线AC剪开，再把△ ACD沿CA方向平移得到△ A C .〔1〕证明：△ A AD^A CC B;〔2〕假设/ ACB=30°,试问当点C'在线段AC上的什么位置时，四边形ABC D是菱形，并请说明理由.图19-2-2-2827. 〔本小题总分值5分〕如图19-2-2-29, ABCD的对角线AC的垂直平分线与两边AB、CD的延长线分别相交于E、F，求证: 四边形AECF为菱形28. 〔本小题总分值5分〕如图19-2-2-30,在厶ABC中，/ BAC=90° AD 丄BC 于D, CE 平分/ ACB,交AD 于G,交AB 于E, EF丄BC于F，求证：四边形AEFG是菱形；29. 〔本小题总分值5分〕如图19-2-2-31，四边形ABCD是菱形，DE丄AB交BA的延长线于E, DF丄BC,交BC的延长线于F .请你猜测DE与DF的大小有什么关系？并证明你的猜测图19-2-2-3130. 〔本小题总分值6分〕如图19-2-2-32,矩形ABCD中，0 是AC 与BD的交点，过0点的直线EF与AB、CD的延长线分别交于E、F.〔1〕求证：△ BOE^A DOF;〔2〕当EF与AC满足什么关系时，以A、E、C、F为顶点的四边形是菱形？证明你的结论.FDCE图19-2-2-3231. 〔本小题总分值7分〕如图19-2-2-33,有一矩形纸片ABCD , AB=6, BC=8，将纸片沿EF 折叠，使B 与D 重合.〔1〕四边形BEDF 是菱形吗？为什么？ 〔2〕求EF 的长. 图 19-2-2-3332. 〔本小题总分值7分〕如图19-2-2-34,在四边形ABCD 中, E 为AB 上一点，△ ADE 和厶BCE 都是等边三角形，AB 、BC 、CD 、 DA 的中点分别为P 、Q 、M 、N ,试判断四边形PQMN 为怎样的四边 形，并证明你的结论.图 19-2-2-34参考答案 1. B 2. A 3. B4. B 5. A 6. D 7. D 8. D 9. A 10. B11. D 12. C 13. B 14. A 15. D16. 60 °120° 17.3 18.6 19 .96 20.12021. .72 22.4 323. 60° 24. ・・ DE // AC , CE // BD , 二四边形OCED 是平行四边形， 又T 四边形ABCD 是矩形，••• AC 与BD 互相平分且相等，即OC=OD,•••(■■ OCED 是菱形.25. 〔1〕证明：T MN是AC的垂直平分线•OA=OC ,Z AOD= / EOC=90°, T CE// AB,•/ DAO= / ECO,•△ADO^A CEO,•AD=CE,〔2〕四边形ADCE是菱形.26. 〔1〕由平移得AA=CC'AD二A D=BC,Z DAC= / D A =A ACB,• △A AD^ CC B;1〔2〕当AC = 2AC时，四边形ABC D是菱形, 由〔1〕可得BC =AD , AB=CD ,•四边形ABC D是平行四边形，T AC =2AC,Z ABC=90°1二BC =2AC,••• BC =AC ,vZ ACB=30°,•/ CAB=60°,•AB二BC ,•四边形ABC D是菱形.27. v四边形ABCD是平行四边形,•AB// CD,•Z EOA= Z CFO,又vZ EOA= Z COF, OA=OC,•△AOE^A COF,•OE=OF,即AC与EF互相垂直平分，•四边形AECF为菱形28. 如图19-2-2-35,v CE 平分Z ACB, EA丄CA, EF 丄BC,•AE=FE,vZ 仁Z 2,•△ AEC^^ FEC,•AC=FC,v CG=CG,•••△ACG^A FCG,•••/ 5 二/ 7 二/B,•GF // AE,v AD 丄BC, EF 丄BC,•AG/ EF,v AG=GF〔或AE=EF〕，•四边形AGFE 是菱形〔一组邻边相等的平行四边形是菱形〕29．DE=DF．证明如下：连结BD，v四边形ABCD是菱形，•/ CBD= / ABD〔菱形的对角线平分一组对角〕，v DF 丄BC, DE 丄AB,•DF=DE〔角平分线上的点到角两边的距离相等〕.30. 〔1〕证明：v四边形ABCD是矩形，•OB=OD〔矩形的对角线互相平分〕，AE / CF〔矩形的对边平行〕.•/ E=Z F，/ OBE二/ ODF .•△BOE^A DOF〔AAS〕.〔2〕当EF丄AC时，四边形AECF是菱形.证明：v四边形ABCD是矩形，•OA=OC〔矩形的对角线互相平分〕.又由〔〔〕△ BOE^A DOF 得，OE=OF,•四边形AECF 是平行四边形〔对角线互相平分的四边形是平行四边形〕 ,又EF丄AC,•四边形AECF 是菱形〔对角线互相垂直的平行四边形是菱形〕.31. 〔 1〕如图，四边形BEDF 是菱形.:沿EF 折叠，使B 与D 重合， ••• EF 垂直平分BD ,即 OB=OD ,Z BOF 二/DOE=90°. v AD // BC ,• / 仁/2.• △ BOF ^A DOE .• OE=OF ,即EF 与BD 互相垂直平分.•四边形BEDF 是菱形.〔2〕设 CF=x ,那么 BF=DF=8-x=DF ,32. 如图 19-2-2-36, x 解得 7 4 , DF 8x25•/ BD 62 82 10,• OD 1£BD 2 5在 Rt A DOF中，OF 2得 DF 2 OD 2 22516 .• OF 154 .• EF 2OF 2 154 7.5在 Rt A DCF 中,由CF 2 DC 2 DF 2得，x 2 62图19-2-2-36连结AC、BD.v PQ为仏ABC的中位线，••• PQ_ 2AC.同理MN仝2AC.•MN PQ,•四边形PQMN为平行四边形.在厶AEC和厶DEB中，AE=DE，EC=EB,Z AED=60°/ CEB, 即/ AEC= / DEB.•△ AEC^^ DEB.•AC=BD.1 1•PQ=2AC=2BD=PN,•. PQMN为菱形.。
22.3菱形的判定常考题(含有详细的答案解析)
菱形的判定2一、选择题1、在平面直角坐标系中，已知点 A (0, 2), B (- 恥,0) , C (0, - 2), D (2方,0),贝U 以这四个点为顶点的四边形ABCD 是( )A 、矩形B 菱形C 正方形D 、梯形2如图，下列条件之一能使平行四边形 ABCD 是菱形的为()① AC 丄 BD ;② / BAD=90°;③ AB=BC ;④ AC=BD .A 、①③B 、②③D 、①②③3、 能判定一个四边形是菱形的条件是()A 、对角线相等且互相垂直B 对角线相等且互相平分C 对角线互相垂直D 、对角线互相垂直平分4、 四边形的四边长顺次为a 、b 、c 、d ，且a 2+b 2+c 2+d 2=ab+bc+cd+ad ，则此四边形一定是( )A 、平行四边形B 、矩形C 菱形D 、正方形填空2、如图，平行四边形 ABCD 中，AF 、CE 分别是/ BAD 和/BCD 的角平分线，根据现有的图形，请添加一个条件,个即可，图中不能再添加别的 点”和 线”)3、在四边形 ABCD 中，对角线 AC BD 交于点 0，从(1) AB=CD (2) AB // CD; (3) OA=OC; (4) OB=OD; ( 5)AC 丄BD; (6) AC 平分/ BAD 这六个条件中，选取三个推出四边形 ABCD 是菱形.如(1) (2) ( 5) => ABCD 是菱形, 再写出符合要求的两个： __________________ => ABCD 是菱形； ________________ => ABCD 是菱形C ③④ ABCD 成为一个菱形，需要添加一个条件，那么你添加的条件是使四边形 AECF 为菱形，则添加的一个条件可以(只需写出1、如图，如果要使平行四边形 是D 是BC 的中点，连接AD ,在AD 的延长线上取一点E ,连接BE ,(1) 求证：△ ABEBA ACE(2)当AE 与AD 满足什么数量关系时，四边形 ABEC 是菱形？并说明理由.2、如图，在？ABCD 中，E, F 分别为边 AB , CD 的中点，连接 DE 、BF 、BD.(1) 求证：△ ADEBA CBF.(2) 若AD 丄BD ,则四边形BFDE 是什么特殊四边形？请证明你的结论.3、(2007?娄底)如图，已知点 D 在厶ABC 的BC 边上，DE// AC 交AB 于E , DF// AB 交AC于F .(1) 求证：AE=DF ;(2) 若AD 平分/ BAC,试判断四边形 AEDF 的形状，并说明理由.ABCD 中，AB// CD, BC=CD AD 丄 BD , E 为 AB 中点，求证：四边形 BCDE 是5、如图，在 △ ABC 和厶DCB 中，AB=DC AC=DB, AC 与DB 交于点 M .(1) 求证：△ ABCBA DCB;(2) 过点C 作CN// BD,过点B 作BN // AC, CN 与BN 交于点N ,试判断线段BN 与CN 的数量关系，并证明你的结 论.A三、解答题(共11小题)菱形.6如图，△ ABC中，AC的垂直平分线MN交AB于点D,交AC于点O, CE// AB交MN于E,连接AE、CD.(1)求证：AD=CE(2)_________________________________________ 填空：四边形ADCE的形状是 .7如图△ ABC与厶CDE都是等边三角形，点E、F分别在AC BC上，且EF// AB(1)求证：四边形EFCD是菱形；(2)设CD=4,求D、F两点间的距离.8 (2007?双柏县)如图，在梯形纸片ABCD中，AD// BC, AD>CD,将纸片沿过点D的直线折叠，使点C落在AD上的点C处，折痕DE 交BC于点E,连接C'.求证：四边形CDC E是菱形.9已知：如图，平行四边形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别相交于点E、F. 求证：四边形AFCE是菱形.A E D/A/B F C10、如图，等边△ ABC的边长为2, E是边BC上的动点，EF// AC交边AB于点F,在边AC上取一点P,使PE=EB 连接FP.(1)请直接写出图中与线段EF相等的两条线段；(不再另外添加辅助线)(2)探究：当点E在什么位置时，四边形EFPC是平行四边形？并判断四边形EFPC是什么特殊的平行四边形，请说明理由；(1)11若如图，在四边形ABCD中，点E、F分别是AD BC的中点，G H分别是BDAC的中点，AB CD满足什么条件时，四边形EGFH是菱形？请证明你的结论。
菱形的判定证明题（5篇）
菱形的判定证明题（5篇）第一篇：菱形的判定证明题菱形的判定证明题练习1如图，梯形ABCD中，AB∥CD，AC平分∠BAD，CE∥AD交AB 于点E．求证：四边形AECD是菱形．CBAE已知：如图，在ABCD中，AE是BC边上的高，将△ABE沿BC方向平移，使点E与点C重合，得△GFC．（1）求证：BE=DG；（2）若∠B=60°，当AB与BC满足什么数量关系时，四边形ABFG是菱形？证明你的结论． DBEF3如图，在四边形ABCD中，点E，F分别是AD，BC的中点，G，H分别是BD，AC的中点，AB，CD满足什么条件时，四边形EGFH是菱形？请证明你的结论．4如图，在□ABCD中，EF∥BD，分别交BC、CD于点P、Q，分别交AB、AD的延长线于点E、F．已知BE=BP．求证：（1）∠E=∠F．（2）□ABCD是菱形．BE平分∠ABC交AD于点E，DF平分∠ADC5.如图，在平行四边形ABCD中，交BC于点F.求证：（1）△ABE≌CDF；（2）若BD⊥EF，则判断四边形EBFD是什么特殊四边形，请证明你的结论.DEABCF6.如图，在△ABC中，D是BC边的中点，E、F分别在AD及其延长线上，CE∥BF，连接BE、CF．（1）求证：△BDF≌△CDE；（2）若AB＝AC，求证：四边形BFCE是菱形．7.如图，O为矩形ABCD对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD．（1）试判断四边形OCED的形状，并说明理由；（2）若AB=6，BC=8，求四边形OCED的面积．AOEB8.已知：如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，BC=CD，AD⊥BD，E为AB中点．求证：四边形BCDE是菱形．9.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线DE交BC于D，交AB于E，F在DE上，且AF=CE=AE．（1）说明四边形ACEF是平行四边形；（2）当∠B满足什么条件时，四边形ACEF是菱形，并说明理由．11.如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，过A点作AG∥DB交CB的延长线于点G.（1）求证：DE∥BF；（2）若∠G=90°，求证：四边形DEBF是菱形．k的图像经过点（1，x4），菱形OABC的顶点A在函数的图像上，对角线OB在x轴上.（1）求反比例函数的关系式；（2）直接写出菱形OABC的面积.12.如图，在平面直角坐标系中，点O为原点，反比例函数y=13.如图，在平行四边形ABCD中，点P是对角线AC上一点，PE⊥AB，PF⊥AD，垂足分别为点E、F，且PE=PF，平行四边形ABCD是菱形吗？为什么？F A B C E14.(2011 山东省济宁市)如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O作直线EF⊥BD，分别交AD、BC于点E 和F．求证：四边形BEDF是菱形．DC F15.(2011 山东省临沂市)如图，△ABC中，AB=AC，AD、CD分别是△ABC两个外角的平分线． F（1）求证：AC=AD；（2）若∠B=60°，求证：四边形ABCD是菱形．AB E C16.(2011 山东省青岛市)已知：□ABCD中，E、F分别是AB、CD 的中点，连接AF、CE．（1）求证：△BEC≌△DFA；（2）连接AC，当CA＝CB时，判断四边形AECF是什么特殊四边形？并证明你的结论．DEFC第二篇：菱形的判定证明题练习姓名1、如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O作直线EF⊥BD，分别交AD、BC于点E和F．求证：四边形BEDF是菱形．DFC2.已知：□ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，连接AF、CE．（1）求证：△BEC≌△DFA；（2）连接AC，当CA＝CB时，判断四边形AECF是什么特殊四边形？并证明你的结论．ED F C3、已知：如图，在ABCD中，AE是BC边上的高，将△ABE 沿BC方向平移，使点E与点C重合，得△GFC．（1）求证：BE=DG；（2）若∠B=60°，当AB与BC满足什么数量关系时，四边形ABFG是菱形？证明你的结论．DBEF4.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线DE交BC于D，交AB于E，F在DE上，且AF=CE=AE．（1）说明四边形ACEF是平行四边形；（2）当∠B满足什么条件时，四边形ACEF是菱形，并说明理由．5.如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，过A点作AG∥DB交CB的延长线于点G.（1）求证：DE∥BF；，（2）若∠G=90°求证：四边形DEBF是菱形．(提示：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半)第三篇：菱形的判定证明题练习菱形的判定证明题练习1如图，梯形ABCD中，AB∥CD，AC平分∠BAD，CE∥AD交AB 于点E．求证：四边形AECD是菱形．CBA E已知：如图，在ABCD中，AE是BC边上的高，将△ABE沿BC方向平移，使点E与点C重合，得△GFC．（1）求证：BE=DG；（2）若∠B=60°，当AB与BC满足什么数量关系时，四边形ABFG是菱形？证明你的结论． DψB EF3如图，在四边形ABCD中，点E，F分别是AD，BC的中点，G，H分别是BD，AC的中点，AB，CD满足什么条件时，四边形EGFH是菱形？请证明你的结论．4如图，在□ABCD中，EF∥BD，分别交BC、CD于点P、Q，分别交AB、AD的延长线于点E、F．已知BE=BP．求证：（1）∠E=∠F．（2）□ABCD是菱形．5.如图，在平行四边形ABCD中，BE平分∠ABC交AD于点E，DF平分∠ADC交BC于点F.求证：（1）△ABE≌CDF；（2）若BD⊥EF，则判断四边形EBFD是什么特殊四边形，请证明你的结论.接BE、CF．（1）求证：△BDF≌△CDE；（2）若AB＝AC，求证：四边形BFCE是菱形．7.如图，O为矩形ABCD对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD．AEDBFC6.如图，在△ABC中，D是BC边的中点，E、F分别在AD及其延长线上，CE∥BF，连（1）试判断四边形OCED的形状，并说明理由；（2）若AB=6，BC=8，求四边形OCED的面积．求证：四边形BCDE是菱形．AOBE8.已知：如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，BC=CD，AD⊥BD，E为AB中点．9.如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，DE∥CA，AE∥BD．（1）求证：四边形AODE是菱形；（2）若将题设中“矩形ABCD”这一条件改为“菱形ABCD”，其余条件不变，则四边形AODE是_____________．10.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线DE交BC 于D，交AB于E，F在DE上，且AF=CE=AE．（1）说明四边形ACEF是平行四边形；（2）当∠B满足什么条件时，四边形ACEF是菱形，并说明理由．11.如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，过A点作AG∥DB交CB的延长线于点G.（1）求证：DE∥BF；，（2）若∠G=90°求证：四边形DEBF是菱形．12.如图，在平面直角坐标系中，点O为原点，反比例函数y=k的图像经过点（1，4），菱形xOABC的顶点A在函数的图像上，对角线OB在x轴上.（1）求反比例函数的关系式；（2）直接写出菱形OABC的面积.13.如图，在平行四边形ABCD中，点P是对角线AC上一点，PE⊥AB，PF⊥AD，垂足分别为点E、F，且PE=PF，平行四边形ABCD是菱形吗？为什么？FABCEAC、BD相交于点O，过14.(2011 山东省济宁市)如图，在平行四边形ABCD中，对角线点O作直线EF⊥BD，分别交AD、BC于点E和F．求证：四边形BEDF是菱形．角的平分线．（1）求证：AC=AD；（2）若∠B=60°，求证：四边形ABCD是菱形．（1）求证：△BEC≌△DFA；DFC15.(2011 山东省临沂市)如图，△ABC中，AB=AC，AD、CD分别是△ABC两个外F ABCE16.(2011 山东省青岛市)已知：□ABCD中，E、F分别是AB、CD 的中点，连接AF、CE．（2）连接AC，当CA＝CB时，判断四边形AECF是什么特殊四边形？并证明你的结论．ED FC第四篇：证明题(旋转得到菱形)64363811、平行四边形ABCD中，AB⊥AC,AB=1，BC= 根号5，对角线AC,BD相交于点O,将直线AC绕点O顺时针旋转，分别交BC,AD于点E,F.(1)证明：当旋转角为90°时，四边形ABEF是平行四边形。
菱形判定练习题
菱形判定练习题一、选择题1. 下列哪个条件不能判定一个四边形是菱形？A. 对角线互相垂直平分B. 四边相等C. 一组邻边相等D. 对角线相等2. 如果一个四边形的对角线互相垂直，那么这个四边形可能是：A. 矩形B. 菱形C. 平行四边形D. 梯形3. 菱形的对角线长度之和是：A. 等于边长B. 等于对角线长度的两倍B. 不能确定D. 等于对角线长度的四倍4. 在菱形中，对角线将菱形分成四个部分，这四个部分的面积是：A. 相等B. 互为倍数关系C. 不能确定D. 互为倒数关系5. 一个四边形的对角线互相平分，且一组对边相等，这个四边形是：A. 矩形B. 菱形C. 平行四边形D. 梯形二、填空题6. 菱形的对角线互相________，并且每条对角线平分一组对角。
7. 如果一个四边形的四条边都相等，那么这个四边形是________形。
8. 菱形的面积可以通过________来计算，公式为S=d1*d2/2，其中d1和d2是两条对角线的长度。
9. 在菱形ABCD中，如果AC=6，BD=8，那么菱形的面积是________。
10. 菱形的对角线将菱形分成四个________形。
三、判断题11. 菱形的对角线一定相等。
（）12. 菱形的对角线相互垂直。
（）13. 菱形的对角线平分一组对角。
（）14. 菱形的面积可以通过边长和高来计算。
（）15. 菱形的对角线将菱形分成四个全等三角形。
（）四、简答题16. 请简述菱形的判定方法有哪些？17. 菱形的对角线有哪些性质？18. 为什么菱形的对角线将菱形分成四个全等的三角形？19. 如果已知菱形的边长，如何计算其面积？20. 菱形的对称性有哪些特点？五、计算题21. 已知菱形ABCD的边长为5cm，求其对角线AC和BD的长度。
22. 已知菱形ABCD的对角线AC=8cm，BD=6cm，求菱形的面积。
六、证明题23. 证明：菱形的对角线互相垂直。
24. 证明：菱形的对角线互相平分。
专项练习：菱形的判定
菱形的判定一、选择题1. 下列条件能判断四边形ABCD是菱形的条件是（）A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直C．邻边相等D．对角线互相垂直且平分2. 若平行四边形对角线的平方和等于它一边平方的四倍，则该平行四边形一定为（）A．矩形．B．菱形．C．矩形和菱形．D．正方形．3. 满足下列（）的是菱形．A．两对角线相等B．两对角线垂直C．两条对角线垂直且互相平分D．两条对角线相等且互相垂直4. 顺次连结四边形各边中点得到的四边形是一个菱形，则原来的四边形必是（）A．等腰梯形B．矩形C．对角线相等D．菱形5. 将一张矩形纸对折再对折（如图），然后沿着图中的虚线剪下，得到①、②两部分，将①展开后得到的平面图形是（）A．矩形B．三角形C．正方形D．菱形6. 已知四边形的两条对角线相等，那么顺次连结四边形各边中点，得到的四边形是（）A．梯形B．矩形C．菱形D．正方形7. 用两根等宽的木条交叉重叠在一起，则重叠部分的图形一定是（）A．矩形B．菱形C．正方形D．无法确定8. 已知四边形ABCD 是平行四边形，下列结论中不一定正确的是（ ） A ．AB CD = B ．AC BD =C ．AC BD ⊥时，它是菱形 D ．当90ABC ∠=时，它是矩形 二、填空题9. 依次连结等腰梯形各边中点所成的四边形是．10. 在四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，从（1）AB CD =；（2）AB CD ∥；（3）OA OC =；（4）OB OD =；（5）AC BD ⊥；（6）AC 平分BAD ∠这六个条件中，选取三个推出四边形ABCD 是菱形．如（1）（2）（5）⇒ABCD是菱形，再写出符合要求的两个： ⇒ABCD 是菱形；⇒ABCD 是菱形．11. 延长等腰ABC △顶角平分线AD 到E 使DE AD =，连结BE CE ，，则四边形ABEC 是_________形．12. 对角线__________的四边形是菱形．13. 将矩形ABCD 绕对角线交点逆时针方向旋转一角度后，使A 与B 重合，得矩形BFDE ，BF 交AD 于M ，DE 交BC 于N ，则四边形BMDN 是______（填特殊四边形的名称）． 三、证明题14. 已知，如图，从菱形ABCD 对角线的交点O 分别向各边引垂线，垂线分别是E ，F ，G ，H ．求证：四边形EFGH 是矩形．15. 已知四边形ABCD 的四边分别为a ，b ，c ，d ，且满足A DMBCE NFＡＢ44444a b c d abcd +++=，求证：四边形ABCD 是菱形．16. 已知ABCD 是对角线AC BD 、相交于O，如图，且6AD AC ==，4BD =，你能说明四边形ABCD 是菱形吗17. 如图所示，ABC Rt △中，90ACB ∠=，ABC ∠的角平分线BD 交AC 于点D ，CH AB ⊥交BD 于F ，DE AB ⊥于E ，四边形CDEF 是菱形吗18. 如图，在五边形ABCDE 中，AB BC CD DE EA ====，2ABC DBE ∠=∠．请说明：四边形ACDE 是菱形．ＡＯＤＢＡＤＣＢＨＥＦＡＢ19. 如图，在ABC △中，AD 是BAC ∠的平分线，EF 垂直平分AD 交AB 于E ，交AC 于F ，求证：四边形AEDF 是菱形．20. 如图，矩形ABCD 中，O 是两对角线的交点，AF 垂直平分线段OB ，垂足为E ，CH 垂直平分线段OD ，垂足为G ． 求证：（1）AOB △是等边三角形； （2）四边形AFCH 是菱形．21. 如图，矩形ABCD 中，O 是AC 与BD 的交点，过O 点的直线EF 与AB ，CD 的延长线分别交于E ，F ． （1）求证：BOE DOF △≌△；（2）当EF 与AC 满足什么条件时，四边形AECF 为菱形并证明你的结论．22. 如图所示，AD 是Rt△ABC 斜边BC 上的高，B ∠的平分线交AD 于M ，交AC 于E ，DAE ∠的平分线交CD 于N ．求证：四边形AMNE 为菱形．ＣＤＢＣＦＢＥＢ23. 如图所示，在四边形ABCD 中，对边AB CD =，M ，N ，P ，Q 分别是AD ，BC ，AC ，BD 的中点，求证：MN PQ ⊥．24. 如图，四边形ABCD 中，点E 在AB 上，且△ADE 与△BCE 都是正三角形，点P ，Q ，M ，N 分别为边AB ，BC ，CD ，DA 的中点．求证：四边形PQMN 为菱形．25. 如图，四边形ABCD 中，90ABC ADC ∠=∠=，M 为AC 中点，且MN BD ⊥与MD 的平行线BN 交于N ，求证：四边形BNDM 为菱形．ＣＮＤＢCNBAP ＥＢＱＣＭＤＮ26. 如图Rt△ABC 中，90BAC ∠=，AD BC ⊥于D ，CE 平分ACB ∠交AD 于G ，交AB 于E ，EF BC ⊥于F ，求证：四边形AEFG 为菱形． 27.ABCD 的对角线的垂直平分线与边AD BC ，分别交于E F ，，求证：四边形AFCE 是菱形．28. 已知：如图，过ABCD 的对角线交点O 作互相垂直的两条直线EG FH，与平行四边形ABCD 各边分别相交于点E F G H ，，，． 求证：四边形EFGH 是菱形．ＢＣＣＤＦ Ｂ29. 如图，在ABCD中，O是对角线AC的中点，过点O作AC的垂线与边A D，BC分别交于E，F．求证：四边形AFCE是菱形．四、应用题30. 如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，请添加一个条件，使四边形EFGH为菱形，并说明理由．AB C DOEGF H参考答案一、选择题 1. D 2. B 3. C 4. C 5. D 6. C 7. B 8. B 二、填空题 9. 菱形10. (1)(2)(6) (3)(4)(5)[或(3)(4)(6)] 11. 菱12. 互相平分且垂直 13. 菱形 三、证明题14. 先证四边形HEFG 为平行四边形，再证HF EG =．15. 解：因为44444a b c d abcd +++=，所以4444222280a b c d abcd +++-=，所以422442244224422422222222(2)(2)(2)(2)2(2)2(2)0a a b b b a c c c c d d d a d a a b abcd c d a d abcd b c -++-++-++-++-++-+=所以22222222222222()()()()2()2()0a b b c c d d a ab cd ad bc -+-+-+-+-+-=由非负数性质得，220a b -=，220b c -=，220c d -=，220d a -=，0ab cd -=，0ad bc -=．所以a b c d ===． 所以四边形ABCD 是菱形．16. 解：四边形ABCD 是平行四边形，64AC BD ==，．32OA OC OB OD ∴====，． 又13AD =．222.90AD OA OD AOD AC BD∴=+∴∠=即，:⊥∴ABCD 是菱形．17. 解：四边形CDEF 是菱形．理由如下： DE AB CH AB ⊥，⊥，DE CH ∴∥． 即：DE CF ∥． 又BD 是角平分线，DE DC ∴=， 且.BDE BDC ∠=∠....DE CH BDE CFD CDF DFC CD CF CF DE ∴∠=∠∴∠=∠∴=∴=∥， ∴四边形CDEF 是平行四边形，又因DC DE =． ∴四边形CDEF 是菱形．18. 提示：只需证四边形EACD 为平行四边形，只需证明AE CD ∥，过B 作BM AE ∥经证BM CD ∥即可．19. EF ∵垂直平分AD ，AE DE =∴，AF DF =，AD ∵平分BAC ∠，AED AFD ∴△≌△，AE AF =∴，AE DE AF DF ===∴，故四边形AEDF 是菱形． 20. （1）可证12OA AC =，12OB BD =，OA OB =∴．AF ∵垂直平分OB ，OA AB OB ==∴，故AOB △为等边三角形． （2）在等边AOB △中，AF OB ⊥，30OAE BAE ∠=∠=∴， 可证明FCA DAC ∠=∠，FCA EAO ∠=∠，AF CF =∴，可证明四边形AFCH 是平行四边形，而AF CF =，故四边形AFCH 是菱形． 21. （1）∵在矩形ABCD 中，AB CD ∥，E F ∠=∠∴，EBO FDO ∠=∠，又BO OD =，BOE DOF ∴△≌△．（2）当EF 与AC 垂直时，四边形AECF 为菱形． 证明：BOE DOF ∵△≌△，EO FO =∴． 又AO OC =，∴四边形AECF 为平行四边形． 又EF AC ⊥，∴四边形AECF 为菱形．22. 证明：设AN 与ME 交于点O ，因为AD 是Rt△ABC 斜边BC 上的高， 所以ABD CAD ∠=∠．又BE ，AN 分别平分ABD ∠和CAD ∠， 所以EAN ABE ∠=∠．所以在Rt△ABE 中，90AOB ∠=，△AME 是等腰三角形，AN 平分ME ， 又因为ABO NBO =∠∠，OB OB =，所以Rt△AOB ≌Rt△NOB ，AO ON =，即ME 垂直平分AN ，四边形AMNE 是菱形．23. 证明四边形MQNP 是菱形即可．24. 连结AC ，BD ，△ADE 与△BCE 都是正三角形，AE DE ∴=，CE BE =，60AED BEC ∠=∠=，60AEC DEC DEB ∴∠=+∠=∠证△AEC ≌△DEB（SAS ）AC DB ∴=，又P ，Q ，M ，N 分别为各边中点，得12PQ MN AC ==，12QM PN BD ==PQ QM MN NP ∴===.∴四边形PQMN 为菱形． 25. 设MN 与BD 交于O ，易证MB MD =，再证△DOM ≌△BON ，从而BN DM =，又由BN DM ∥，可证得四边形BNDM 为菱形．26. 易证AE FE =，而且AD EF ∥，AEG AGE ∠=∠AG EA EF ∴==又AG EF ∥AEFG ∴为菱形．27. 证明：EF 垂直平分AC ，AF FC ∴=，AE EC =，FAC FCA ∴∠=∠，EAC ECA ∠=∠．AD BC ∥，EAC FCA ∴∠=∠，ECA FCA ∴∠=∠．EF AC ⊥，CEF CFE ∴∠=∠，FC EC ∴=，AF FC CE AE ∴===，∴四边形AFCE 是菱形．28.略29. 先证明四边形AFCE 为平行四边形，再由AC ⊥EF 即可得证．四、应用题30. 添加的条件是：AC BD =．理由略．。
菱形地判定专项练习30题
菱形的判定专项练习 30 题（有答案）
1．如图，梯形 ABCD中， AD∥BC， BA=AD=DC=BC，点 E 为 BC的中点． （ 1）求证：四边形 ABED是菱形； （ 2）过 A 点作 AF⊥BC于点 F，若 BD=4cm，求 AF的长．
2．如图， 四边形 ABCD中，对角线 AC、BD相交于点 O，且 AC⊥ BD．点 M，N 分别在 BD、AC上，且 AO=ON=N，CBM=MO=O．D 求证： BC=2DN．
3．如图，在△ ABC中， AB=AC， D， E， F 分别是 BC， AB，AC的中点． （ 1）求证：四边形 AEDF是菱形； （ 2）若 AB=12cm，求菱形 AEDF的周长．
4．如图，在 ? ABCD中， EF∥BD，分别交 BC， CD于点 P，Q，交 AB， AD的延长线于点 求证：（ 1）∠ E=∠ F； （ 2） ? ABCD是菱形．
22．如图所示，在 ? ABCD中，点 E 在 BC上， AE平分∠ BAF，过点 E 作 EF∥AB．求证：四边形 ABEF为菱形．
23．已知，如图，矩形 ABCD中， AB=4cm， AD=8cm，作∠ CAE=∠ ACE交 BC于 E，作∠ ACF=∠ CAF交 AD于 F． （ 1）求证： AECF是菱形；（2）求四边形 AECF的面积．
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11．如图，在△ ABC中， AB=AC，点 D、E、 F 分别是△ ABC三边的中点． 求证：四边形 ADEF是菱形．
12．如图，在四边形 ABCD中， AB=CD，M、 N、 E、 F 分别为 AD、 BC、BD、 AC的中点，求证：四边形 MENF为菱形．
13．已知：如图，在梯形 ABCD中， AD∥ BC，AB=AD，∠ BAD的平分线 AE交 BC于点 E，连接 DE．求证：四边形 ABED 是菱形．
(完整版)菱形的判定专项练习30题.doc
菱形的判定专项练习30 题（有答案）1．如图，梯形ABCD 中， AD ∥ BC，BA=AD=DC=BC ，点 E 为 BC 的中点．（1）求证：四边形 ABED 是菱形；（2）过 A 点作 AF ⊥ BC 于点 F，若 BD=4cm ，求 AF 的长．2．如图，四边形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点O，且 AC ⊥ BD ．点 M ，N 分别在 BD 、AC 上，且 AO=ON=NC ，BM=MO=OD ．求证： BC=2DN ．3．如图，在△ ABC 中， AB=AC ，D ，E， F 分别是 BC ，AB ， AC 的中点．（1）求证：四边形 AEDF 是菱形；（2）若 AB=12cm ，求菱形 AEDF 的周长．4．如图，在 ?ABCD 中， EF∥ BD ，分别交 BC ， CD 于点 P， Q，交 AB ，AD 的延长线于点 E， F．已知 BE=BP ．求证：（ 1）∠ E= ∠F；（ 2） ?ABCD 是菱形．5．如图，在△ ABC 中， D 是 BC 的中点， E 是 AD 的中点，过点 A 作 AF ∥ BC ， AF 与 CE 的延长线相交于点 F，连接BF．（ 1）求证： AF=DC ；（ 2）若∠ BAC=90 °，求证：四边形AFBD 是菱形．6．已知平行四边形ABCD 中，对角线BD 平分∠ ABC ，求证：四边形ABCD 是菱形．7．如图，在一个含 30°的三角板 ABC 中，将三角板沿着 AB 所在直线翻转 180°得到△ ABF ，再将三角板绕点 C 顺时针方向旋转 60°得到△ DEC ，点 F 在 AC 上，连接 AE ．（1）求证：四边形 ADCE 是菱形．（2）连接 BF 并延长交 AE 于 G，连接 CG．请问：四边形 ABCG 是什么特殊平行四边形？为什么？8．如图，已知四边形ABCD 是平行四边形，DE ⊥ AB ， DF ⊥BC ，垂足分别是为E F，并且 DE=DF ．求证：四边形 ABCD 是菱形．9．如图，在△ ABC 中， DE∥ BC，分别交 AB ，AC 于点 D ， E，以 AD ， AE 为边作 ?ADFE 交 BC 于点 G， H，且EH=EC ．求证：（ 1）∠ B= ∠ C；（2） ?ADFE 是菱形．10．如图，在△ ABC 中，∠ACB=90 °， CD 是 AB 边上的高，∠BAC 的平分线AE 交 CD 于 F， EG⊥ AB 于 G．（1）求证：△ AEG ≌ △ AEC ；（2）△ CEF 是否为等腰三角形，请证明你的结论；（3）四边形 GECF 是否为菱形，请证明你的结论．11．如图，在△ ABC 中， AB=AC ，点 D 、E、 F 分别是△ABC 三边的中点．求证：四边形ADEF 是菱形．12．如图，在四边形 ABCD 中， AB=CD ， M 、 N、 E、 F 分别为 AD 、 BC 、BD 、 AC 的中点，求证：四边形 MENF 为菱形．13．已知：如图，在梯形 ABCD 中， AD ∥ BC， AB=AD ，∠BAD 的平分线 AE 交 BC 于点 E，连接 DE ．求证：四边形ABED 是菱形．14．如图，在△ ABC 中， AB=AC ， M 、 O、 N 分别是 AB 、 BC 、 CA 的中点．求证：四边形AMON 是菱形．15．如图：在△ ABC 中，∠BAC=90 °， AD ⊥ BC 于 D， CE 平分∠ ACB ，交 AD 于 G，交 AB 于 E， EF⊥ BC 于 F．求证：四边形AEFG 是菱形．16．如图，矩形ABCD 绕其对角线交点旋转后得矩形AECF ， AB 交 EC 于点 N ， CD 交 AF 于点 M ．求证：四边形ANCM 是菱形．17．如图，四边形 ABCD 、 DEBF 都是矩形， AB=BF ， AD 、BE 交于 M ， BC 、DF 交于 N，那么四边形 BMDN 是菱形吗？如果是，请写出证明过程；如果不是，说明理由．18．已知如图所示， AD 是△ ABC 的角平分线， DE ∥ AC 交 AB 于 E， DF∥AB 交 AC 于 F，四边形 AEDF 是菱形吗？说明理由．19．已知：如图所示，BD 是△ABC 的角平分线， EF 是 BD 的垂直平分线，且交AB 于 E，交 BC 于点 F．求证：四边形 BFDE 是菱形．20．如图，在平行四边形ABCD 中， O 是对角线AC 的中点，过点O 作 AC 的垂线与边AD 、 BC 分别交于E、 F．求证：四边形AFCE 是菱形．21．如图，在矩形ABCD 中， EF 垂直平分BD ．（1）判断四边形 BEDF 的形状，并说明理由．（2）已知 BD=20 ， EF=15 ，求矩形 ABCD 的周长．22．如图所示，在?ABCD 中，点 E 在 BC 上， AE 平分∠BAF ，过点 E 作 EF∥ AB ．求证：四边形ABEF 为菱形．23．已知，如图，矩形 ABCD 中， AB=4cm ， AD=8cm ，作∠ CAE= ∠ ACE 交 BC 于 E，作∠ ACF= ∠ CAF 交 AD 于F．（ 1）求证： AECF 是菱形；（ 2）求四边形AECF 的面积．24．如图，平行四边形 ABCD 的对角线 AC 的垂直平分线与边 AD 、BC 分别交于 E、F．问四边形 AFCE 是菱形吗？请说明理由．25．如图：在平行四边形 ABCD 中， E、F 分别是边 AB 、CD 的延长线上一点，且 BE=DF ，连接 EF 交 AC 于 O．（ 1） AC 与 EF 互相平分吗？为什么？（ 2）连接 CE、AF ，再添加一个什么条件，四边形AECF 是菱形？为什么？26．已知：如图，△ABC 和△ DBC 的顶点在 BC 边的同侧， AB=DC ，AC=BD 交于 E，∠ BEC 的平分线交 BC 于 O，延长EO 到 F，使 EO=OF ．求证：四边形 BFCE 是菱形．27．如图，在△ ABC 中， D 是 BC 边的中点， F， E 分别是 AD 及其延长线上的点，CF∥ BE．（1）求证：△ BDE ≌ △ CDF ；（2）请连接 BF， CE，试判断四边形 BECF 是何种特殊四边形，并说明理由；（3）在（ 2）下要使 BECF 是菱形，则△ABC 应满足何条件？并说明理由．28．如图，在△ ABC 中，∠ACB=90 °， BC 的垂直平分线 DE 交 BC 于 D ，交 AB 于 E， F 在 DE 上，并且AF=CE ．（ 1）求证：四边形 ACEF 是平行四边形；（ 2）当∠ B 的大小满足什么条件时，四边形ACEF 是菱形？请回答并证明你的结论．29．如图，在△ ABC 中， AD 是∠ BAC 的平分线， EF 垂直平分 AD 交 AB 于 E，交 AC 于 F．求证：四边形AEDF 是菱形．30．如图，△ ABC 中，点 O 是边 AC 上一个动点，过 O 作直线 MN ∥ BC，设 MN 交∠ BCA 的平分线于点 E，交∠BCA 的外角平分线于点 F．（ 1）探究：线段OE 与 OF 的数量关系并加以证明；（ 2）当点 O 运动到何处，且△ ABC满足什么条件时，四边形AECF 是正方形？（ 3）当点 O 在边 AC 上运动时，四边形BCFE 会是菱形吗？若是，请证明，若不是，则说明理由．矩形的判定专项练习30 题参考答案：1． 1）证明：∵点 E 为 BC 的中点，∴BE=CE= BC，∵BA=AD=DC= BC ，∴AB=BE=ED=AD ，∴四边形 ABED 是菱形；（ 2）解：过点 D 作 DH ⊥BC ，垂足为H ，∵CD=DE=CE ，∴ ∠ DEC=60 °，∴ ∠ DBE=30 °，在 Rt△ BDH 中， BD=4cm ，∴ DH=2cm ，∵AF=DH ，∴AF=2cm ．2．∵ AO=ON ，BM=MO ，∴ 四边形 AMND 是平行四边形，∵ AC ⊥ BD ，∴ 平行四边形 AMND 是菱形，∴ MN=DN ，∵ ON=NC ， BM=MO ，∴ MN= BC ，∴ BC=2DN3．（ 1）∵ D， E 分别是 BC ， AB 的中点，∴DE∥ AC 且 DE=AF= AC ．同理 DF∥ AB 且 DF=AE=AB ．又∵ AB=AC ，∴DE=DF=AF=AE ，∴四边形 AEDF 是菱形．（ 2）∵ E 是 AB 中点，∴ AE= AB=6cm ，因此菱形AEDF ∴∠1=∠2，在△AEF 和△DEC 中，∴ △ AFE ≌ △ DCE（ AAS ），∴AF=DC ；（2）证明：∵ D 是 BC 的中点，∴ DB=CD= BC，∵AF=CD ，∴ AF=DB ，∵AF ∥BD ，∴四边形AFBD 是平行四边形，∵∠ BAC=90 °， D 为 BC 中点，∴AD= CB=DB ，∴四边形 AFBD 是菱形．6．∵对角线 BD 平分∠ ABC ，∴∠1=∠2，∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴AB ∥DC ，∴∠ 3=∠ 1，∴∠ 3=∠ 2，∴DC=BC ，又∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴四边形 ABCD 是菱形．的周长为 4×6=24cm ．4．（ 1）∵ BE=BP ，∴∠ E=∠BPE，7．（ 1）∵三角板 ABC 中，将三角板沿着AB 所在直线∵BC∥AF ，翻转 180°得到△ ABF ，∴ ∠ BPE=∠ F，∴ ∠ E=∠ F．∴ △ ABC ≌ △ABF ，且∠BAC= ∠BAF=30 °，（2）∵EF∥BD ，∴ ∠ FAC=60 °，∴ ∠ E=∠ABD ，∠ F=∠ ADB ，∴ AD=DC=AC ，∴∠ABD= ∠ADB ，又∵ △ ABC ≌△ EFC，∴ AB=AD ，∴ CA=CE ，∵四边形 ABCD 是平行四边形，又∵ ∠ ECF=60 °，∴ □ABCD 是菱形．∴ AC=EC=AE ，（2）证明：由（ 1）可知：△ ACD ，△ AFC 是等边三角形，△ACB ≌△ AFB ，∴ ∠ EDC= ∠BAC=∠ FAC=30°，且△ ABC为直角三角形，∴BC= AC ，∵EC=CB ，∴EC= AC，∴E为AC 中点，∴DE⊥ AC ，∴AE=EC ，∵AG∥BC，∴ ∠ EAG= ∠ ECB ，∠AGE= ∠ EBC ，∴△AEG≌△CEB ，∴AG=BC ，（ 7 分）∴四边形 ABCG 是平行四边形，∵ ∠ ABC=90 °，∴四边形 ABCG 是矩形8．在△ ADE 和△CDF 中，∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴∠A=∠C，∵DE⊥ AB ， DF⊥ BC，∴ ∠ AED= ∠ CFD=90 °．又∵ DE=DF ，∴△ADE ≌△CDF（AAS ）∴DA=DC ，∴平行四边形 ABCD 是菱形9．（ 1）∵在 ?ADFE 中， AD ∥EF，∴ ∠ EHC= ∠B （两直线平行，同位角相等）．∵EH=EC （已知），∴ ∠ EHC= ∠C（等边对等角），∴ ∠ B=∠ C（等量代换）；（ 2）∵ DE ∥ BC （已知），∴∠AED= ∠C，∠ADE= ∠B．∵∠B=∠C，∴∠AED= ∠ADE ，∴AD=AE ，∴?ADFE 是菱形．10． 1）证明：∵ ∠ACB=90 °，在 Rt△AEG 与 Rt△ AEC 中，，∴Rt△AEG ≌ Rt△ AEC （HL ）；（ 2）解：△ CEF 是等腰三角形．理由如下：∵CD 是 AB 边上的高，∴CD⊥AB ．又∵ EG⊥AB ，∴EG∥ CD ，∴∠ CFE=∠ GEA ．又由（ 1）知， Rt△ AEG ≌ Rt△ AEC ，∴∠GEA= ∠ CEA，∴ ∠ CEA= ∠ CFE，即∠ CEF=∠ CFE，∴ CE=CF ，即△CEF 是等腰三角形；（ 3）解：四边形GECF 是菱形．理由如下：∵由（ 1）知，Rt△AEG ≌ Rt△ AEC ，则 GE=EC ；由（ 2）知， CE=CF ，∴GE=EC=FC ．又∵ EG∥CD ，即 GE∥ FC，∴四边形 GECFR 是菱形．11．∵ D、 E、F 分别是△ ABC 三边的中点，∴DE AC，EF AB ，∴四边形 ADEF 为平行四边形．又∵ AC=AB ，∴DE=EF ．∴四边形 ADEF 为菱形．12．∵ M 、 E、分别为AD 、 BD 、的中点，∴ME∥AB ，ME= AB ，同理： FH∥AB ， FH=AB ，∴四边形 MENF 是平行四边形，∵M．F 是 AD ，AC 中点，∴MF= DC，∵AB=CD ，∴MF=ME ，∴四边形 MENF 为菱形∴平行四边形 AEFG 是菱形．∵，证法二：∵ AD ⊥BC，∠ CAB=90 °， EF⊥ BC， CE 平分∴ △ BAE ≌△ DAE （ SAS）（ 2 分）∠ACB ，∴ BE=DE ，（ 3 分）∴ AD ∥EF，∠ 4=∠ 5，AE=EF ，∵AD ∥BC，∵ ∠ 1=180°﹣ 90°﹣∠ 4，∠ 2=180 °﹣ 90°﹣∠ 5，∴ ∠ DAE= ∠ AEB ，（ 4 分）∴∠1=∠2，∴ ∠ BAE= ∠AEB ，∵ AD ∥EF，∴ AB=BE ，（ 5 分）∴∠2=∠3，∴ AB=BE=DE=AD ，（6 分）∴∠1=∠3，∴四边形 ABED 是菱形．∴ AG=AE ，∵ AE=EF ，∴ AG=EF ，∵ AG ∥EF，∴四边形 AGFE 是平行四边形，14．∵ AB=AC ，M 、 O、 N 分别是 AB 、 BC、 CA 的中∵ AE=EF ，点，∴平行四边形 AGFE 是菱形．∴AM= AB= AC=AN ，M0 ∥ AC ， NO ∥AB ，且 MO= AC=AN ，NO= AB=AM （三角形中位线定理），16．∵ CD∥ AB ，∴ AM=MO=AN=NO ，∴∠FMC= ∠FAN，∴四边形 AMON 是菱形（四条边都相等的四边形是菱∴ ∠ NAE= ∠ MCF （等角的余角相等），形）在△ CFM 和△ AEN 中，15．证法一：∵ AD ⊥BC ，∴ ∠ ADB=90 °，，∵ ∠ BAC=90 °，∴ ∠ B+∠ BAD=90 °，∠ BAD+ ∠ CAD=90 °，∴ △ CFM ≌△ AEN （ASA ），∴∠B=∠CAD ，∴ CM=AN ，∵ CE 平分∠ ACB ， EF⊥ BC，∠ BAC=90 °（ EA ⊥CA ），∴四边形 ANCM 为平行四边形，∴ AE=EF （角平分线上的点到角两边的距离相等），在△ADM 和△CFM 中，∵ CE=CE ，∴由勾股定理得： AC=CF ，，∵△ACG 和△FCG 中∴△ADM ≌△CFM （AAS ），，∴ AM=CF ，∴四边形 ANCM 是菱形∴△ACG≌△FCG，17．四边形 BMDN 是菱形．∴ ∠ CAD= ∠ CFG，∵AM ∥BC，∵∠B=∠CAD ，∴∠AMB= ∠MBN ，∴ ∠ B=∠ CFG，∵BM ∥FN∴GF∥AB ，∴∠MBN= ∠BNF ，∵AD ⊥BC，EF⊥ BC，∴∠AMB= ∠BNF ，∴AD ∥EF，又∵ ∠ A= ∠ F=90°， AB=BF ，∴DM=DN ，∵ED=BF=AB ，∠ E=∠ A=90 °，∠ AMB=∠EMD ，∴△ABM ≌△ EDM，∴ BM=DM ，∴ MB=MD=DN=BN ，∴四边形 BMDN 是菱形18．如图，由于 DE ∥ AC ，DF∥ AB ，所以四边形 AEDF 为平行四边形．∵DE∥ AC ，∴ ∠3=∠ 2，又∠ 1=∠ 2，∴∠ 1=∠3，∴ AE=DE ，∴平行四边形 AEDF 为菱形．19．∵ EF 是 BD 的垂直平分线，∴EB=ED ，∴∠ EBD= ∠EDB ．∵BD 是△ ABC 的角平分线，∴ ∠ EBD= ∠FBD ．∴ ∠ FBD=∠EDB ，∴ED∥BF．同理， DF∥ BE ，∴四边形 BFDE 是平行四边形．又∵ EB=ED ，∴四边形 BFDE 是菱形．20．方法一：∵ AE ∥ FC．∴ ∠ EAC= ∠FCA ．（ 2 分）又∵ ∠ AOE= ∠ COF， AO=CO ，∴△AOE≌△COF．（5 分）∴EO=FO ．又 EF⊥AC ，∴AC 是 EF 的垂直平分线．（ 8 分）∴AF=AE ， CF=CE ，又∵ EA=EC ，∴AF=AE=CE=CF ．∴四边形 AFCE 为菱形．（ 10 分）方法二：同方法一，证得△ AOE ≌ △ COF．（ 5 分）∴AE=CF ．∴四边形 AFCE 是平行四边形．（ 8 分）方法三：同方法二，证得四边形 AFCE 是平行四边形．（ 8 分）又 EF⊥ AC ，（9 分）∴四边形 AFCE 为菱形21．（ 1）四边形 BEDF 是菱形．在△ DOF 和△BOE 中，∠FDO= ∠ EBO ，OD=OB ，∠ DOF=∠BOE=90 °，所以△ DOF ≌ △BOE ，所以 OE=OF ．又因为 EF⊥BD ， OD=OB ，所以四边形 BEDF 为菱形．（5 分）（2）如图，在菱形 EBFD 中， BD=20 ， EF=15，则 DO=10 ， EO=7.5 ．由勾股定理得 DE=EB=BF=FD=12.5 ．S 菱形EBFD= EF?BD=BE ?AD ，即所以得 AD=12 ．根据勾股定理可得AE=3.5 ，有 AB=AE+EB=16 ．由 2（AB+AD ） =2（ 16+12 ）=56 ，故矩形 ABCD 的周长为 5622．∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴AF ∥ BE，又∵EF∥AB ，∴四边形 ABEF 为平行四边形，∵AE 平分∠ BAF ，∴∠ BAE= ∠ FAE，∵∠FAE=∠BEA ，∴∠BAE= ∠ BEA ，∴BA=BE ，∴平行四边形 ABEF 为菱形23．（ 1）证明：在矩形ABCD 中，∵AB ∥CD ，∴∠BAC= ∠ DCA ，又∠CAE= ∠ ACE，∠ACF= ∠CAF，∴∠EAC= ∠ FCA．∴AE ∥ CF．∴四边形 AECF 为平行四边形，又∠CAE= ∠ ACE，∴AE=EC ．∴?AECF 为菱形．（2）设 BE=x ，则 EC=AE=8 ﹣ x，在 Rt△ABE 中，222菱形的判定 ---第10页共12页所以 EC=5 ，即 S 菱形AECF=EC ×AB=5 ×4=20．24．四边形 AFCE 是菱形，理由是：∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC，∴= ，∵AO=OC ，∴ OE=OF ，∴四边形 AFCE 是平行四边形，∵EF⊥AC ，∴平行四边形AFCE 是菱形25．（ 1） AC 与 EF 互相平分，连接CE，AF ，∵平行四边形ABCD ，∴AB ∥ CD ，AB=CD ，又∵BE=DF ，∴AB+BE=CD+DF ，∴AE=CF ，∴AE ∥ CF， AE=CF ，∴四边形 AECF 是平行四边形，∴AC 与 EF 互相平分；（ 2）条件： EF⊥ AC ，∵EF⊥AC ，又∵四边形 AECF 是平行四边形，∴平行四边形AECF 是菱形．26．∵ AB=DC AC=BD BC=CB，∴△ABC ≌△DCB ，∴∠DBC= ∠ACB ，∴BE=CE ，又∵ ∠ BEC 的平分线是EF，∴EO 是中线（三线合一），∴BO=CO ，∴四边形 BFCE 是平行四边形（对角线互相平分），又∵ BE=CE ，∴四边形 BFCE 是菱形．27．（ 1）证明：∵ CF∥BE ，∴∠ EBD= ∠ FCD ，D是 BC 边的中点，则 BD=CD ，∠BDE= ∠CDF ，∴△BDE ≌△CDF ．（ 2）如图所示，由（ 1）可得 CF=BE ，又 CF∥ BE ，所以四边形 BECF 是平行四边形；（ 3）△ ABC 是等腰三角形，即 AB=AC ，理由：当AB=AC 时，则有 AD ⊥ BC，又（ 2）中四边形为平行四边形，所以可判定其为菱形．28．（ 1）∵ DE 为 BC 的垂直平分线，∴ ∠ EDB=90 °， BD=DC ，又∵ ∠ ACB=90 °，∴DE∥AC ，∴E 为 AB 的中点，∴在 Rt△ ABC 中， CE=AE=BE ，∴∠ AEF= ∠ AFE ，且∠ BED= ∠AEF ，∠ DEC= ∠ DFA ，∴AF ∥ CE，又∵ AF=CE ，∴四边形 ACEF 为平行四边形；（ 2）要使得平行四边形ACEF 为菱形，则 AC=CE 即可，∵DE∥AC ，∴∠BED= ∠BAC ，∠DEC=∠ECA，又∵ ∠ BED= ∠ DEC，∴∠EAC= ∠ ECA，∴ AE=EC ，又 EB=EC ，∴ AE=EC=EB ，∵CE= AB ，∴AC= AB 即可，在 Rt△ABC 中，∠ ACB=90 °，∴当∠ B=30 °时， AB=2AC ，故∠ B=30 °时，四边形ACEF 为菱形．29．∵ AD 平分∠BAC∴ ∠ BAD= ∠CAD又∵EF⊥AD ，∴ ∠ AOE= ∠ AOF=90 °∵在△AEO 和△ AFO 中，∴ △ AEO ≌ △AFO （ ASA ），∴EO=FO即 EF、 AD 相互平分，∴四边形 AEDF 是平行四边形又 EF⊥AD ，∴平行四边形AEDF 为菱形30． 1）解： OE=OF ．理由如下：∵ CE 是∠ACB 的角平分线，∴ ∠ ACE= ∠BCE ，又∵ MN ∥BC，∴ ∠ NEC= ∠ECB ，∴ ∠ NEC= ∠ACE ，∴OE=OC ，∵ OF 是∠ BCA 的外角平分线，∴ ∠ OCF= ∠FCD ，又∵ MN ∥BC，∴ ∠ OFC= ∠ECD ，∴ ∠ OFC= ∠COF，∴OF=OC ，∴OE=OF ；（ 2）解：当∠ ACB=90 °，点 O 在 AC 的中点时，∵OE=OF ，∴四边形 AECF 是正方形；（ 3）答：不可能．解：如图所示，∵CE 平分∠ ACB ，CF 平分∠ ACD ，∴ ∠ ECF=∠ ACB+∠ ACD=（∠ACB+∠ACD）=90 °，若四边形BCFE 是菱形，则BF ⊥ EC，但在△ GFC 中，不可能存在两个角为 90°，所以不存在其为菱形．。
菱形的判定练习题
菱形的判定练习题菱形的判定（1）有一组邻边相等的平行四边形是菱形。
（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
（3）四条边都相等的四边形是菱形。
1．下列四边形中不一定为菱形的是（）A．对角线相等的平行四边形 B．每条对角线平分一组对角的四边形C．对角线互相垂直的平行四边形 D．用两个全等的等边三角形拼成的四边形2．四个点A，B，C，D在同一平面内，从①AB∥CD；②AB=CD；③AC⊥BD；④AD= BC； ⑤AD∥BC．这5个条件中任选三个，能使四边形ABCD是菱形的选法有（）．A．1种 B．2种 C．3种 D．4种3．菱形的周长为32cm，一个内角的度数是60°，则两条对角线的长分别是（）A．8cm和43cm B．4cm和83cm C．8cm和83cm D．4cm和43cm 4．如图1所示，已知□ABCD，AC，BD相交于点O，•添加一个条件使平行四边形为菱形，添加的条件为________．（只写出符合要求的一个即可）图1 图25．如图2所示，D，E，F分别是△ABC的边BC，CA，AB上的点，且DE∥AB，DF∥CA，要使四边形AFDE是菱形，则要增加的条件是________．（只写出符合要求的一个即可）6．菱形ABCD的周长为48cm，∠BAD： ∠ABC= 1：•2，•则BD=•_____，•菱形的面积是______．7．在菱形ABCD中，AB=4，AB边上的高DE垂直平分边AB，则BD=_____，AC=_____．8．如图所示，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB=CD=BC，四边形ABCD是菱形吗？•说明理由．DACFH E BKDACFHG EB9．如图，矩形ABCD 的对角线相交于点O ，PD∥AC，PC∥BD，PD ，PC 相交于点P ，四边形PCOD 是菱形吗？试说明理由．10．（一题多解题）如图所示，△ABC 中，∠ACB=90°，∠ABC 的平分线BD•交AC 于点D ，CH⊥AB 于H ，且交BD 于点F ，DE⊥AB 于E ，四边形CDEF 是菱形吗？请说明理由．11．如图所示，已知△ABC 中，AB=AC ，D 是BC 的中点，过点D•作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E ，F ，再过E ，F 作EG⊥AC，FH⊥AB，垂足分别为G ，H ，且EG ，•FH 相交于点K ，试说明EF 和DK 之间的关系．D A CFH GEB12．菱形以其特殊的对称美而备受人们喜爱，在生产生活中有极其广泛的应用．如图所示是一块长30cm ，宽20cm 的长方形的瓷砖，E ，F ，G ，H 分别是边BC ，CD ，DA ，•AB 的中点，涂黑部分为淡蓝色花纹，中间部分为白色．现有一面长4.2m ，宽2.8m•的墙壁准备贴这种瓷砖，试问： （1）这面墙壁最少要贴这种瓷砖多少块？（2）全部贴满瓷砖后，这面墙壁最多会出现多少个面积相等的菱形？•其中有花纹的菱形有多少个？13．（宜宾）已知：如图所示，菱形ABCD 中，E ，F 分别是CB ，CD 上的点，且BE=DF ． （1）试说明：AE =AF ；（2）若∠B=60°，点E ，F 分别为BC 和CD 的中点，试说明：△AEF 为等边三角形．参考答案1．A 2．D 3．C 4．AB=BC 还可添加AC⊥BD或∠ABD=∠CBD等．5．点D在∠BAC的平分线上（或AE=AF）6．12cm；723cm2 7．4；43 8．解：四边形ABCD是菱形，因为四边形ABCD中，AB∥CD，且AB=CD，所以四边形ABCD是平行四边形，又因为AB=BC，所以ABCD是菱形．9．解：四边形PCOD是菱形．四边形PCOD是平行四边形．又因为OC=OD，10．解法一：四边形CDEF是菱形．理由：如图所示，因为△CBD≌△EBD，所以CD=DE，因为∠1+∠4=90°，∠2+∠5=90°，∠1=∠2，∠3=∠5，•所以∠3=∠4．所以CF=CD．所以CF=DE．因为CF//DE．•所以四边形CDEF是平行四边形．又因为CF=CD，所以□CDEF是菱形．解法二：如答图20-3-4所示，连结CE交DF于点O．因为△BCD≌△BED．所以BC=BE．又因为∠1=∠2，所以BD⊥CE，且OC=OE．因为∠1+∠4=90°，∠2+∠5=90°，∠1=∠2，∠3=∠5，所以∠3= ∠4．所以CF=CD．又因为CE⊥DF，所以OF=OD．所以四边形CDEF是平行四边形，•又因为DF⊥CE，所以CDEF是菱形．点拨：解法一利用了菱形的定义，•解法二利用了“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”的方法，本题除以上两种解法外，还可利用“四条边都相等的四边形是菱形”的方法解决．11．解：EF与DK互相垂直平分．理由：因为DE⊥AB，FH⊥AB，所以DE∥FH．•因为DF⊥AC，EG⊥AC，所以DF∥EG．所以四边形DEKF是平行四边形．因为AB=AC，所以∠B=∠C．又因为BD=CD，∠BED=∠CFD=90°，所以△BDE≌△CDF，所以DE=DF．所以DEKF是菱形，•所以EF与DK互相垂直平分．点拨：要说明EF与DK互相垂直平分，只要说明四边形DEKF是菱形，•要说明四边形DEKF是菱形，可先说明四边形DEKF是平行四边形，再说明一组邻边相等即可．12．解：（1）因为墙壁的总面积为4.2×2.8=11.76（m2），每块瓷砖的面积为0.3×0.2=0.06（m2），所以最少需要贴这种瓷砖11.76÷0.06=196（块）．（2）因为每相邻4块瓷砖构成一个有花纹的菱形（如图），在长4.2m，宽2.8m的墙壁上贴长30cm，宽20cm的长方形瓷砖，可贴4.2÷0.3=14（列），2.8÷0.2=14（•行）．因此构成的有花纹的菱形共13列13行，所以有花纹的菱形共13×13=169（个）．同时，白色菱形的个数与瓷砖的块数相同，故有白色菱形196个．从而面积相等的菱形最多有169+196=365（个）．13．解：（1）因为四边形ABCD是菱形，所以AB=AD，∠B=∠D，又因为BE=DF，•所以△ABE≌△ADF，所以AE=AF．（2）连结AC．因为AB=BC，∠B=60°，所以△ABC 是等边三角形，因为E是BC的中点，所以AE⊥BC，所以∠BAE=90°-60°=30°，同理∠DAF=30°．因为∠BAD=180°-∠B=120°，所以∠EAF=∠BAD-∠BAE-∠DAF=60°．又因为AE=AF，•所以△AEF是等边三角形．。
完整版)菱形的性质和判定练习题
完整版)菱形的性质和判定练习题1.这个菱形的高为9cm。
2.较短对角线长为10cm。
3.边长为5cm。
4.各角分别为72°和108°。
5.添加的条件可以是AB=AD或BC=CD。
6.错误的说法是A，即两组对边分别平行。
7.对角线互相垂直。
8.菱形。
9.不正确的说法是B，即菱形的对角线平分各内角。
10.周长为40cm。
11.互相垂直且不平分。
12.AB长为8cm。
13.CD的长为4.14.对角线BD的长为2.15.边长为5.16.OH的长为7.17.若菱形的周长为20cm，则它的边长为4cm。
18.在菱形ABCD中，由对角线AC和BD相交于点O可知，菱形的对角线相等，即AC=BD。
又已知BD=6，则AC=6.设菱形ABCD的边长为a，则2a=20，即a=10.由菱形对角线的长度公式可得。
$AC=\sqrt{a^2+a^2}=a\sqrt{2}$，代入AC=6可得a=6/$\sqrt{2}$，因此菱形ABCD的面积为36.19.在菱形ABCD中，由$\angle ADC=120^\circ$可知，$\angle ADB=60^\circ$。
设$\angle ABD=\theta$，则$\angle ADB=120^\circ-\theta$。
由余弦定理可得，$BD^2=15^2+15^2-2\times15\times15\times\cos\theta$，化简可得$\cos\theta=1/2$，因此$\sin\theta=\sqrt{3}/2$。
由正弦定理可得，$BD/\sin\theta=2a$，其中a为菱形的边长。
又已知BD=15，代入可得$a=15\sqrt{3}/4$。
设B、D两点之间的距离为h，则$h=\sqrt{(15\sqrt{3}/4)^2-(15/2)^2}=15\sqrt{3}/4$，因此选项D 正确。
20.设菱形的较长对角线为2x，较短对角线为x，则菱形的面积为$x^2$。
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菱形的判定一、选择题1. 下列条件能判断四边形ABCD是菱形的条件是（）A．对角线互相平分B．对角线互相垂直C．邻边相等D．对角线互相垂直且平分2. 若平行四边形对角线的平方和等于它一边平方的四倍，则该平行四边形一定为（）A．矩形．B．菱形．C．矩形和菱形．D．正方形．3. 满足下列（）的是菱形．A．两对角线相等B．两对角线垂直C．两条对角线垂直且互相平分D．两条对角线相等且互相垂直4. 顺次连结四边形各边中点得到的四边形是一个菱形，则原来的四边形必是（）A．等腰梯形B．矩形C．对角线相等D．菱形5. 将一张矩形纸对折再对折（如图），然后沿着图中的虚线剪下，得到①、②两部分，将①展开后得到的平面图形是（）A．矩形B．三角形C．正方形D．菱形6. 已知四边形的两条对角线相等，那么顺次连结四边形各边中点，得到的四边形是（）A．梯形B．矩形C．菱形D．正方形7. 用两根等宽的木条交叉重叠在一起，则重叠部分的图形一定是（）A．矩形B．菱形C．正方形D．无法确定8. 已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不一定正确的是（）A．AB CD=B．AC BD=C ．AC BD ⊥时，它是菱形 D ．当90ABC ∠=o 时，它是矩形 二、填空题9. 依次连结等腰梯形各边中点所成的四边形是．10. 在四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，从（1）AB CD =；（2）AB CD ∥；（3）OA OC =；（4）OB OD =；（5）AC BD ⊥；（6）AC 平分BAD ∠这六个条件中，选取三个推出四边形ABCD 是菱形．如（1）（2）（5）⇒ABCD是菱形，再写出符合要求的两个： ⇒ABCD 是菱形；⇒ABCD 是菱形．11. 延长等腰ABC △顶角平分线AD 到E 使DE AD =，连结BE CE ，，则四边形ABEC 是_________形．12. 对角线__________的四边形是菱形．13. 将矩形ABCD 绕对角线交点逆时针方向旋转一角度后，使A 与B 重合，得矩形BFDE ，BF 交AD 于M ，DE 交BC 于N ，则四边形BMDN 是______（填特殊四边形的名称）． 三、证明题14. 已知，如图，从菱形ABCD 对角线的交点O 分别向各边引垂线，垂线分别是E ，F ，G ，H ．求证：四边形EFGH 是矩形．15. 已知四边形ABCD 的四边分别为a ，b ，c ，d ，且满足44444a b c d abcd +++=，求证：四边形ABCD 是菱形．A D MBCENFＡ16. 已知ABCD Y 是对角线AC BD 、相交于O，如图，且6AD AC ==，4BD =，你能说明四边形ABCD 是菱形吗？17. 如图所示，ABC Rt △中，90ACB ∠=o ，ABC ∠的角平分线BD 交AC 于点D ，CH AB ⊥交BD 于F ，DE AB ⊥于E ，四边形CDEF 是菱形吗？18. 如图，在五边形ABCDE 中，AB BC CD DE EA ====，2ABC DBE ∠=∠．请说明：四边形ACDE 是菱形．19. 如图，在ABC △中，AD 是BAC ∠的平分线，EF 垂直平分AD 交AB 于E ，交AC 于F ，求证：四边形AEDF 是菱形．ＡＯＤＢＡＤＣＢＨＥＦＡ20. 如图，矩形ABCD 中，O 是两对角线的交点，AF 垂直平分线段OB ，垂足为E ，CH 垂直平分线段OD ，垂足为G ． 求证：（1）AOB △是等边三角形； （2）四边形AFCH 是菱形．21. 如图，矩形ABCD 中，O 是AC 与BD 的交点，过O 点的直线EF 与AB ，CD 的延长线分别交于E ，F ． （1）求证：BOE DOF △≌△；（2）当EF 与AC 满足什么条件时，四边形AECF 为菱形？并证明你的结论．22. 如图所示，AD 是Rt △ABC 斜边BC 上的高，B ∠的平分线交AD 于M ，交AC 于E ，DAE ∠的平分线交CD 于N ．求证：四边形AMNE 为菱形．ＢＣＤＢ23. 如图所示，在四边形ABCD 中，对边AB CD =，M ，N ，P ，Q 分别是AD ，BC ，AC ，BD 的中点，求证：MN PQ ⊥．24. 如图，四边形ABCD 中，点E 在AB 上，且△ADE 与△BCE 都是正三角形，点P ，Q ，M ，N 分别为边AB ，BC ，CD ，DA 的中点．求证：四边形PQMN 为菱形．25. 如图，四边形ABCD 中，90ABC ADC ∠=∠=o ，M 为AC 中点，且MN BD ⊥与MD 的平行线BN 交于N ，求证：四边形BNDM 为菱形．AP ＥＢＱＣＭＤＮＢ26. 如图Rt △ABC 中，90BAC ∠=o ，AD BC ⊥于D ，CE 平分ACB ∠交AD 于G ，交AB 于E ，EF BC ⊥于F ，求证：四边形AEFG 为菱形． 27.ABCDY 的对角线的垂直平分线与边AD BC ，分别交于E F ，，求证：四边形AFCE 是菱形．28. 已知：如图，过ABCD Y 的对角线交点O 作互相垂直的两条直线EG FH ，与平行四边形ABCD 各边分别相交于点E F G H ，，，． 求证：四边形EFGH 是菱形．BDGY中，O是对角线AC的中点，过点O作AC的垂线与边A D，29. 如图，在ABCDBC分别交于E，F．求证：四边形AFCE是菱形．四、应用题30. 如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，请添加一个条件，使四边形EFGH为菱形，并说明理由．参考答案一、选择题 1. D 2. B 3. C 4. C 5. D 6. C 7. B 8. B 二、填空题 9. 菱形10. (1)(2)(6) (3)(4)(5)[或(3)(4)(6)] 11. 菱12. 互相平分且垂直 13. 菱形 三、证明题14. 先证四边形HEFG 为平行四边形，再证HF EG =．15. 解：因为44444a b c d abcd +++=，所以4444222280a b c d abcd +++-=，所以422442244224422422222222(2)(2)(2)(2)2(2)2(2)0a a b b b a c c c c d d d a d a a b abcd c d a d abcd b c -++-++-++-++-++-+=所以22222222222222()()()()2()2()0a b b c c d d a ab cd ad bc -+-+-+-+-+-=由非负数性质得，220a b -=，220b c -=，220c d -=，220d a -=，0ab cd -=，0ad bc -=．所以a b c d ===． 所以四边形ABCD 是菱形．16. 解：Q 四边形ABCD 是平行四边形，64AC BD ==，．32OA OC OB OD ∴====，．又AD =Q ．222.90AD OA OD AOD AC BD∴=+∴∠=o即，:⊥∴ABCD Y 是菱形．17. 解：四边形CDEF 是菱形．理由如下： DE AB CH AB Q ⊥，⊥，DE CH ∴∥． 即：DE CF ∥． 又BD Q 是角平分线，DE DC ∴=， 且.BDE BDC ∠=∠....DE CH BDE CFD CDF DFC CD CF CF DE ∴∠=∠∴∠=∠∴=∴=Q ∥，∴四边形CDEF 是平行四边形，又因DC DE =． ∴四边形CDEF 是菱形．18. 提示：只需证四边形EACD 为平行四边形，只需证明AE CD ∥，过B 作BM AE ∥经证BM CD ∥即可．19. EF ∵垂直平分AD ，AE DE =∴，AF DF =，AD ∵平分BAC ∠，AED AFD ∴△≌△，AE AF =∴，AE DE AF DF ===∴，故四边形AEDF 是菱形． 20. （1）可证12OA AC =，12OB BD =，OA OB =∴． AF ∵垂直平分OB ，OA AB OB ==∴，故AOB △为等边三角形． （2）在等边AOB △中，AF OB ⊥，30OAE BAE ∠=∠=o ∴， 可证明FCA DAC ∠=∠，FCA EAO ∠=∠，AF CF =∴，可证明四边形AFCH 是平行四边形，而AF CF =，故四边形AFCH 是菱形． 21. （1）∵在矩形ABCD 中，AB CD ∥，E F ∠=∠∴，EBO FDO ∠=∠，又BO OD =，BOE DOF ∴△≌△．（2）当EF 与AC 垂直时，四边形AECF 为菱形． 证明：BOE DOF ∵△≌△，EO FO =∴． 又AO OC =，∴四边形AECF 为平行四边形． 又EF AC ⊥，∴四边形AECF 为菱形．22. 证明：设AN 与ME 交于点O ，因为AD 是Rt △ABC 斜边BC 上的高， 所以ABD CAD ∠=∠．又BE ，AN 分别平分ABD ∠和CAD ∠， 所以EAN ABE ∠=∠．所以在Rt △ABE 中，90AOB ∠=o ，△AME 是等腰三角形，AN 平分ME ， 又因为ABO NBO =∠∠，OB OB =，所以Rt △AOB ≌Rt △NOB ，AO ON =，即ME 垂直平分AN ，四边形AMNE 是菱形．23. 证明四边形MQNP 是菱形即可．24. 连结AC ，BD ，Q △ADE 与△BCE 都是正三角形，AE DE ∴=，CE BE =，60AED BEC ∠=∠=o ，60AEC DEC DEB ∴∠=+∠=∠o 证△AEC ≌△DEB（SAS ）AC DB ∴=，又P ，Q ，M ，N 分别为各边中点，得12PQ MN AC ==，12QM PN BD ==PQ QM MN NP ∴===.∴四边形PQMN 为菱形． 25. 设MN 与BD 交于O ，易证MB MD =，再证△DOM ≌△BON ，从而BN DM =，又由BN DM ∥，可证得四边形BNDM 为菱形．26. 易证AE FE =，而且AD EF ∥，AEG AGE ∠=∠AG EA EF ∴==又AG EF ∥AEFG ∴为菱形．27. 证明：EF Q 垂直平分AC ，AF FC ∴=，AE EC =，FAC FCA ∴∠=∠，EAC ECA ∠=∠．AD BC Q ∥，EAC FCA ∴∠=∠，ECA FCA ∴∠=∠．EF AC Q ⊥，CEF CFE ∴∠=∠，FC EC ∴=，AF FC CE AE ∴===，∴四边形AFCE 是菱形．28.略29. 先证明四边形AFCE为平行四边形，再由AC⊥EF即可得证．四、应用题30. 添加的条件是：AC BD．理由略．１１/ 11。