(精华)函数的奇偶性经典题型归纳总结讲义学生版(无答案)
函数的奇偶性(精辟讲解)
[难点正本 疑点清源] 1．函数奇偶性的判断
判断函数的奇偶性主要根据定义：一般地，如果对于 函数 f(x)的定义域内任意一个 x，都有 f(－x)＝f(x)(或 f(－x)＝－f(x))，那么函数 f(x)就叫做偶函数(或奇函 数)．其中包含两个必备条件： ①定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要 不充分条件，所以首先考虑定义域有利于准确简捷地 解决问题； ②判断 f(x)与 f(－x)是否具有等量关系．在判断奇偶 性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价关系式 (f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或 f(x)－f(－x)＝0(偶函数)) 是否成立．
2．函数奇偶性的性质 (1)奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单 调性完全相同；偶函数在关于原点对称的区间上若有单 调性，则其单调性恰恰相反． (2)若 f(x)为偶函数，则 f(－x)＝f(x)＝f(|x|)． (3)若奇函数 f(x)定义域中含有 0，则必有 f(0)＝0. f(0)＝0 是 f(x)为奇函数的既不充分也不必要条件． (4)定义在关于原点对称区间上的任意一个函数，都可表 示成“一个奇函数与一个偶函数的和(或差)”． (5)复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”． (6)既奇又偶的函数有无穷多个(如 f(x)＝0，定义域是关 于原点对称的任意一个数集)．
∴f(x)为偶函数．
题型二 函数的奇偶性与单调性
例 2 (1)已知 f(x)是 R 上的奇函数，且当 x>0 时，f(x) ＝x2－x－1，求 f(x)的解析式； (2)设 a>0，f(x)＝eax＋eax是 R 上的偶函数，求实数 a 的值；
(3)已知奇函数 f(x)的定义域为[－2,2]，且在区间 [－2,0]内递减，求满足 f(1－m)＋f(1－m2)<0 的实 数 m 的取值范围． 思维启迪 (1)f(x)是一个分段函数，当 x<0 时，转化为
函数的奇偶性的经典总结归纳
函数的奇偶性的经典总结归纳1.奇函数：若函数f(-x)=-f(x)，则称函数f(x)为奇函数。
奇函数具有以下性质：-奇函数关于坐标原点对称；-在自变量为0的点上，奇函数的函数值为0；-若函数在定义域内两点x1和x2关于坐标原点对称，则这两点的函数值也对称。
常见的奇函数有：正弦函数sin(x)、正切函数tan(x)、多项式函数f(x) = x^3等。
2.偶函数：若函数f(-x)=f(x)，则称函数f(x)为偶函数。
偶函数具有以下性质：-偶函数关于y轴对称；-在自变量为0的点上，偶函数的函数值为常数；-若函数在定义域内两点x1和x2关于y轴对称，则这两点的函数值也对称。
常见的偶函数有：余弦函数cos(x)、正切函数sec(x)、多项式函数f(x) = x^2等。
3.奇偶性的判断：-对于多项式函数：奇次幂项的系数为0，则函数是偶函数，偶次幂项的系数为0，则函数是奇函数；-对于周期函数：若函数的周期为T，则对于任意x，f(x+T)=f(x)。
若f(x)是奇函数，则T必须为2nπ（n为整数）；若f(x)是偶函数，则T必须为nπ（n为整数）；-对于一般函数：可通过函数定义或函数的性质来判断奇偶性。
4.常见函数的奇偶性：-指数函数、对数函数：既不是奇函数也不是偶函数；-幂函数：偶次幂为偶函数，奇次幂为奇函数；-三角函数：正弦函数为奇函数，余弦函数为偶函数，正切函数为奇函数；-反三角函数：正弦函数和正切函数为奇函数，余弦函数为偶函数；-双曲函数：正弦双曲函数为奇函数，余弦双曲函数为偶函数，正切双曲函数为奇函数。
通过了解函数的奇偶性，可以方便地推导出函数的性质，进行函数的分析和计算。
在求函数的积分、奇偶拆分和简化复杂表达式等问题中，奇偶性的运用会使得计算更加简便和直观。
注意：当定义域存在上下对称时，函数的奇偶性不再成立，此时不能简单地根据函数表达式判断奇偶性。
在这种情况下，应根据函数的性质和定义进行判断。
总结起来，函数的奇偶性是函数在定义域内点的函数值关于坐标轴对称的性质。
(完整版)函数奇偶性知识点和经典题型归纳
函数奇偶性知识梳理1.奇函数、偶函数的定义（ 1）奇函数：设函数y f ( x) 的定义域为D，若是对D内的任意一个 x ，都有 f ( x) f (x) ，则这个函数叫奇函数 .（ 2）偶函数：设函数y f ( x) 的定义域为D，若是对D内的任意一个 x ，都有 f ( x) f ( x) ，则这个函数叫做偶函数 .（3）奇偶性：若是函数 f ( x)是奇函数或偶函数，那么我们就说函数 f ( x)拥有奇偶性 .（4）非奇非偶函数：无奇偶性的函数是非奇非偶函数 .注意：（ 1）奇函数若在 x 0 时有定义，则 f (0)0 ．（ 2）若f ( x)0 且 f ( x) 的定义域关于原点对称，则 f (x) 既是奇函数又是偶函数．2．奇 ( 偶 ) 函数的基本性质(1)对称性：奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于 y 轴对称．(2)单调性：奇函数在其对称区间上的单调性相同，偶函数在其对称区间上的单调性相反．3.判断函数奇偶性的方法（ 1）图像法（ 2）定义法○1第一确定函数的定义域，并判断其定义域可否关于原点对称；○2确定f(－x)与f(x)的关系；○3作出相应结论：若 f(－ x) = f(x)或f(－x)－f(x) = 0，则f(x)是偶函数；若f(－ x) = －f(x) 或 f(－x)＋f(x) = 0 ，则 f(x) 是奇函数．例题精讲2【例 1】若函数 f ( x)ax bx 是偶函数，求b的值.∴f(－x)＝ f(x)．∴ ax2＋bx= ax2-bx.∴2bx=0. ∴ b＝ 0.【例 3】已知函数 f (x)12在y轴左边的图象以以下列图所示，画出它右边的图象. x题型一判断函数的奇偶性【例 4】判断以下函数的奇偶性. （ 1）f ( x)| x |( x21) ；（ 2）f ( x)x 1 ；x（ 3） f ( x) | x 1| | x 1| ； （ 4） f (x) x 22 x ；（ 5） f ( x) 1 x 2x 2 1（ 6） f ( x)x 2 x , x0 xx 2 , x解：（ 1） f ( x) | x | ( x 2 1) 的定义域为 R ，关于原点对称．∵ f ( x) | x |[( x)2 1] | x | ( x 2 1) f ( x)∴ f ( x)f (x) ，即 f ( x) 是偶函数． （2） f ( x)x1的定义域为 { x | x 0}x由于定义域关于原点不对称故 f ( x) 既不是奇函数也不是偶函数．（3） f ( x)| x 1| | x 1| 的定义域为 R ，关于原点对称．∵ f(－ x)＝|－ x ＋1|－ |－x －1|＝|x － 1|－ |x ＋1|＝－ (|x ＋1|－|x －1|)＝－ f(x)，∴ f(x)＝ |x ＋ 1|－|x －1|是奇函数．（4） f ( x)x 22 x 的定义域为 {2} ，由于定义域关于原点不对称， 故 f ( x) 既不是奇函数也不是偶函数．（5） f ( x)1 x 2x 2 1 的定义域为 {1 ，－ 1} ，由 f (1) 0 且 f ( 1) 0 ，所以 f ( x) 0所以 f ( x) 图象既关于原点对称，又关于 y 轴对称故 f (x) 既是奇函数又是偶函数．（6）显然定义域关于原点对称．当 x>0 时，－ x<0，f(－x)＝x 2－x ＝－ (x －x 2)；当 x<0 时，－ x>0，f(－x)＝－ x － x 2＝－ (x 2＋x)．即 f ( x)( x 2 x) , x 0 ( x x 2 ) , x 0即 f ( x)f ( x)∴ f ( x) 为奇函数．题型二 利用函数的奇偶性求函数值【例 2】若 f(x)是定义在 R 上的奇函数， f(3)＝ 2，求 f(－ 3)和 f(0)的值 .解：∵ f(x)是定义在 R 上的奇函数，∴ f (－3)＝－ f(3)＝－ 2，f(0)＝0.【例 5】已知 f(x)是奇函数， g(x)是偶函数，且 f(－ 1)＋g(1)＝ 2，f(1)＋ g(－1)＝4，求 g(1).解：由 f(x)是奇函数， g(x)是偶函数得 f ( x)f (x) ， g( x) g( x)所以 － f(1)＋ g(1)＝2 ①f(1)＋ g(1)＝4 ②由①②消掉 f(1)，得 g(1)＝3.题型三 利用函数的奇偶性求函数剖析式【例 6】已知函数 f (x) 是定义在 R 上的偶函数，当x ≤0时， f(x)＝x 3－x 2，当 x>0 时，求 f(x)的剖析式 .解：当 x 0 时，有 x所以 f ( x) ( x)3 ( x)2 x 3 x 2又由于 f (x) 在 R 上为偶函数所以 f ( x)f ( x)x 3 x 2所以当 x 0 时， f ( x)x 3 x 2 .【例 7】若定义在 R 上的偶函数 f ( x) 和奇函数 g( x) 满足 f ( x) g( x) e x ，求 g ( x) .解：由于 f (x) 为偶函数， g( x) 为奇函数所以 f ( x)f ( x) ，g ( x)g(x)由于 f ( x) g( x) e x①所以 f ( x) g ( x) e x所以 f ( x)g (x)e x②由①②式消去 f (x) ，得 g( x)e x e x.2课堂练习仔细读题，必然要选择最正确答案哟！1. 函数 f (x)x 11 x 是（ ）A. 奇函数B. 偶函数C.既是奇函数又是偶函数D. 非奇非偶函数2. 已知函数 f (x) 为奇函数，且当 x0 时， f ( x) x21，则 f ( 1) （）x3. f(x)为偶函数，且当 x ≥0 时， f(x) ≥2，则当 x ≤0时，有（ ）A ．f(x) ≤ 2B ．f(x) ≥ 2C ．f(x) ≤－2D.f(x) ∈R4. 已知函数 y=f （x ）是偶函数， y=f （x －2）在［ 0，2］上是单调减函数，则（）（0）＜ f （－ 1）＜ f （ 2） （－ 1）＜ f （ 0）＜ f （ 2）（－ 1）＜ f （2）＜ f （0） （2）＜ f （－ 1）＜ f （0）5. 已知函数 f （ x ） =ax 2＋ bx ＋c （a ≠0）是偶函数，那么 g （x ）=ax 3＋ bx 2＋ cx 是（）A.奇函数B.偶函数C.既奇且偶函数D.非奇非偶函数6. 定义在 R 上的奇函数 f （x ）在（ 0， +∞）上是增函数，又 f （－ 3）=0，则不等式 xf （x ）＜0 的解集为（）A.（－ 3，0）∪（0，3）B.（－ ∞，－ 3）∪（3，+∞）C.（－ 3，0）∪（3，+∞）D.（－ ∞，－ 3）∪（ 0， 3）7. 若 f(x) 在[ －5,5] 上是奇函数，且f(3)<f(1) ，则以下各式中必然成立的是()A ．f( － 1)<f( － 3)B ． f(0)>f(1)C ．f(2)>f(3)D ． f( －3)<f(5)8. 设 f(x) 在[ －2，－ 1] 上为减函数，最小值为 3，且 f(x)为偶函数，则 f(x) 在[1,2] 上( )A ．为减函数，最大值为 3B ．为减函数，最小值为－ 3C ．为增函数，最大值为－ 3D ．为增函数，最小值为 39. 以下四个函数中，既是偶函数又在 (0 ，＋ ∞)上为增函数的是 ()A ．y ＝x^3B ．y ＝－ x^2 ＋ 1C ．y ＝|x| ＋1D ．y ＝2－|x|10. 若函数 f(x) ＝(x ＋1)(x ＋a)为偶函数，则 a ＝( )A ．1B ．－ 1C ．0D ．不存在11. 偶函数 y ＝ f(x)的图象与 x 轴有三个交点，则方程 f(x)＝ 0 的所有根之和为 ．12. 如图，给出了偶函数 y = f (x) 的局部图象，试比较 f (1) 与 f (3)的大小 .y13. 已知函数 f ( x) xp2m( p 0) 是奇函数，求 m 的值 .x14. 已知 f(x) 是偶函数， g(x) 是奇函数，且 f(x) ＋g(x)＝ x 2＋x －2，求 f(x) ，g(x)的表达式．–3–1x215. 定义在 ( －1,1) 上的奇函数 f(x)是减函数，且 f(1 －a)＋ f(1－ a )<0 ，求实O 数 a 的取值范围．1216. 函数 f(x)＝ 1＋ x 2 是定义在 (－ 1,1)上的奇函数，且 f 2 ＝5，求函数 f(x)的剖析式ax ＋b17. 判断函数 f (x)(1 x)1x的奇偶性.1 x。
函数奇偶性知识点与经典题型归纳
函数奇偶性知识点与经典题型归纳函数奇偶性是解析函数的性质之一，它在函数的图像对称性、定义域及值的关系等方面具有重要作用。
本文将介绍函数奇偶性的基本概念、性质以及一些经典的奇偶函数题型。
一、函数奇偶性的基本概念1. 奇函数和偶函数的定义在解析函数中，如果对于函数f(x)成立f(-x) = -f(x)，则该函数称为奇函数；如果对于函数f(x)成立f(-x) = f(x)，则该函数称为偶函数。
2. 奇函数和偶函数的图像特点奇函数的图像关于原点对称，即当点(x, y)在函数图像上时，点(-x, -y)也在函数图像上；偶函数的图像关于y轴对称，即当点(x, y)在函数图像上时，点(-x, y)也在函数图像上。
3. 奇偶函数的性质（1）奇函数的定义域可以是关于原点对称的任意区间，而值域为关于y=0对称的区间；（2）偶函数的定义域可以是关于y轴对称的任意区间，而值域为x 轴正半轴；（3）奇函数与偶函数的和，可以是一个任意的解析函数。
二、函数奇偶性的经典题型归纳题型描述：已知函数的解析式，判断该函数是奇函数还是偶函数。
解题思路：通过函数是否满足奇函数或偶函数的定义来进行判断。
如果满足奇函数定义，则判断为奇函数；如果满足偶函数定义，则判断为偶函数；如果都不满足，则为一般函数。
2. 函数与奇偶函数的四则运算题型题型描述：已知两个函数的奇偶性，求它们的和、差、积或商的奇偶性。
解题思路：根据奇函数与奇函数、奇函数与偶函数、偶函数与偶函数的运算法则可得出结论：（1）奇函数与奇函数的和为偶函数，差为奇函数，积为奇函数，商为一般函数；（2）奇函数与偶函数的和、差、积均为一般函数，商为奇函数；（3）偶函数与偶函数的和为偶函数，差、积为偶函数，商为一般函数。
3. 函数奇函数或偶函数的求解题型题型描述：已知函数满足一定的条件，求证函数的奇偶性。
解题思路：根据已知条件对函数的解析式进行转化或变形，判断奇函数或偶函数的定义是否满足，从而得出结论。
根据指数函数的奇偶性知识点及题型归纳总结
根据指数函数的奇偶性知识点及题型归纳总结1. 知识点概述指数函数是数学中常见且重要的函数之一。
在研究指数函数时，了解其奇偶性质十分重要。
奇偶性是指函数在定义域内的对称性质，通过判断函数的奇偶性，可以简化对函数性质的分析和推导。
2. 奇函数和偶函数- 奇函数：当函数满足$f(-x)=-f(x)$时，称之为奇函数。
奇函数关于原点对称，即函数图像关于原点对称。
- 偶函数：当函数满足$f(-x)=f(x)$时，称之为偶函数。
偶函数关于y轴对称，即函数图像关于y轴对称。
3. 奇偶性的性质及应用- 奇函数的特点：- 当$x$为正数时，$f(x)$的值与$-x$对应的$f(-x)$的值相等；- 若$f(x)$在定义域内某一点有定义，那么$-f(x)$在定义域内对应的点也有定义；- 若$f(x)$为奇函数，那么$f'(x)$为偶函数，即奇函数的导数为偶函数。
- 偶函数的特点：- 当$x$为正数时，$f(x)$的值与$-x$对应的$f(-x)$的值相等；- 若$f(x)$在定义域内某一点有定义，那么$f(-x)$在定义域内对应的点也有定义；- 若$f(x)$为偶函数，那么$f'(x)$为奇函数，即偶函数的导数为奇函数。
- 通过判断函数的奇偶性，可以进行以下应用：- 确定函数图像关于哪个轴对称，从而简化图像的绘制；- 判断函数的导数的奇偶性，从而简化导数计算。
4. 提示题型- 判断题型：给定一个函数，判断该函数是奇函数、偶函数还是既不是奇函数也不是偶函数；- 求导题型：已知一个函数为奇函数或偶函数，求其导数的奇偶性；- 求对称轴题型：给定一个函数，求其对称轴是x轴还是y轴。
5. 总结了解指数函数的奇偶性质对于分析和推导函数性质起到重要的作用。
通过判断函数的奇偶性，可以简化图像的绘制和导数的计算，为求解问题提供便利。
以上就是根据指数函数的奇偶性知识点及题型的归纳总结。
(文字总数：230字)。
函数奇偶性的归纳总结
函数奇偶性的归纳总结函数的奇偶性是指函数图像关于一些点或一些线对称的性质。
具体来说，对于函数f(x)，如果对于所有的x，都有f(x)=f(-x)，则称该函数为偶函数；如果对于所有的x，都有f(x)=-f(-x)，则称该函数为奇函数；如果既不满足偶函数的性质，也不满足奇函数的性质，则称该函数为非奇非偶函数。
奇偶性是函数的一个重要特征，它可以帮助我们更好地理解和分析函数的性质。
下面将对函数奇偶性的归纳总结进行详细介绍。
1.偶函数的特点：对于任意的x，都有f(x)=f(-x)。
即关于y轴对称。
具体来说，偶函数的图像关于y轴对称，即将y轴作为对称轴进行对称，对称后的图像与原图像完全重合。
偶函数可以表达为f(x)=f(-x)的形式，其中x和-x的取值范围相同。
2.奇函数的特点：对于任意的x，都有f(x)=-f(-x)。
即关于原点对称。
具体来说，奇函数的图像关于原点对称，即将原点作为对称点进行对称，对称后的图像与原图像完全重合。
奇函数可以表达为f(x)=-f(-x)的形式，其中x和-x的取值范围相同。
3.非奇非偶函数的特点：即既不满足偶函数的性质，也不满足奇函数的性质。
对于非奇非偶函数，其图像既不关于y轴对称，也不关于原点对称。
它可能存在对称轴，但不是y轴；也可能存在对称点，但不是原点。
非奇非偶函数的图像可以是任意形状，没有特定的对称性。
4.奇偶函数的性质：（1）偶函数与偶函数之和、差仍然是偶函数；（2）奇函数与奇函数之和、差仍然是奇函数；（3）偶函数与奇函数之积仍然是奇函数；（4）奇函数与偶函数之积仍然是偶函数。
以上是根据函数的定义对奇偶性进行的总结，接下来将从数学的角度对函数的奇偶性进行归纳推理。
首先，我们知道任意一个函数f(x)可以表示为其奇部分和偶部分的和或差。
偶函数可以表示为f(x)=g(x)+h(x)，其中g(x)是偶函数，h(x)也是偶函数；奇函数可以表示为f(x)=g(x)-h(x)，其中g(x)是奇函数，h(x)也是奇函数。
函数的奇偶性十大题型归类总结-高一数学(人教A版2019必修第一册)
（7）定义域：
x2 1
1
x2
0 0
，解得
x
1 ，所以
f
x
0 ，所以
f
x
既是奇函数又为偶函数
（8）定义域： 1 x 0 ，即 x 1 x 1 ，所以 f x 为非奇非偶函数 1 x
【例
2】判断函数
f
(x)
x2
x
2
(x (x
0) 0)
的奇偶性。
【答案】奇函数
【解析】法一：当 x 0 时， x 0，所以 f x x2 x2 f x
1 x2 , x [1, 0) ，
1 x2 , x (0,1]
当 x1，0 时， 0 f x 1;
当 x0，1时， 1 f x 0 ，
故 f x 的值域为 1，1 ，故 B 正确．
由 f 1 f 1 0 可得 f x 不是定义域上的增函数，故 C 错误．
故选：C． 【题型专练】 1.设函数 f(x)，g(x)的定义域都为 R，且 f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是( )
奇函数对 B 当 x 0 时， x 0，所以 f x x2 x x2 x f x
当 x 0 时， x 0，所以 f x x2 x x2 x f x ，所以为偶函数
对 C 定义域：1 x2 0 ，即 x 1 x 1 ，所以 x 2 2 x 2 2 x
对 C 定义域： x x 0 ，奇函数除奇函数=偶函数 对 D 定义域： x x 0 ，所以 f x 为非奇非偶函数
5.（2022·全国·高一课时练习）下列函数既是偶函数，又在 (0, ) 上单调递增的是（ ）
A． y x 【答案】C
B． y x2
C． y x
函数的奇偶性与周期性知识点与经典例题
函数的奇偶性与周期性知识点与经典例题函数的奇偶性与周期性知识点和经典试题本节知识点详解：1.函数的奇偶性奇偶性定义：如果对于函数f(x)的定义域内任意一个偶函数x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数。
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个奇函数x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数。
2.函数的周期性1) 周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期。
2) 最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期。
重要结论：1.函数奇偶性的四个重要结论1) 如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0.2) 如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)。
3) 奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性。
4) 奇函数的图像在对称的区间上单调性相同，偶函数在对称的区间上单调性相反。
5) 运算性质：①“奇＋奇”是奇，“奇－奇”是奇，“XXX”是偶，“奇÷奇”是偶；②“偶＋偶”是偶，“偶－偶”是偶，“偶·偶”是偶，“偶÷偶”是偶；③“奇·偶”是奇，“奇÷偶”是奇。
2.函数周期性的三个常用结论对f(x)定义域内任一自变量的值x：1) 若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a；2) 若f(x＋a)＝f(x)，则T＝2a；3) 若f(x＋a)＝－1/f(x)，则T＝2a.(a>0)3.函数对称性的三个常用结论1) 若函数y＝f(x＋a)是偶函数，即f(a－x)＝f(a＋x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称；2) 若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称；3) 若函数y＝f(x＋b)是奇函数，即f(－x＋b)＋f(x＋b)＝0，则函数y＝f(x)关于点(b,0)中心对称。
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课时二：函数的奇偶性
一、奇偶性定义
1、图形描述：
函数()f x 的图像关于y 轴对称⇔()f x 为偶函数；
函数()f x 的图像关于原点轴对称⇔()f x 为奇函数
2、定量描述
一般地，如果对于函数()f x 的定义域内任意一个x ，都有__________则称()f x 为____________；如果都有_______________则称()f x 为______________；
如果()()f x f x -=与()()--f x f x =同时成立，那么函数()f x 既是奇函数又是偶函数；（常常只有一类：0)(=x f ）
如果()()f x f x -=与()()--f x f x =都不能成立，那么函数()f x 既不是奇函数又不是偶函数，称为非奇非偶函数。
如果函数()f x 是奇函数或偶函数，则称函数()y f x =具有奇偶性。
二、隐藏含义
（1）讨论奇偶性的前提是：定义域关于原点对称。
（如果不对称，没有奇偶性讨论）
（2）所有的函数分为四类：奇函数，偶函数，既是奇函数又是偶函数，非奇非偶函数。
（3）若函数时奇函数，且在原点处有定义，则有：0)0(=f 。
（4）偶函数在定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同。
三、常用性质
（1）、()(),f x g x 是定义域为12,D D 且1
2D D 要关于原点对称，那么就有以下结论：
奇±奇=奇 偶±偶=偶 奇⨯奇=偶 偶⨯偶=偶 奇⨯偶=奇
（2）、 复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”。
四、判断、证明函数的奇偶性
类型一 函数奇偶性的判断
练习1：判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝x 2
＋1；
(2)f (x )＝|x ＋1|－|x －1|；
练习2：(2014～2015学年度山东枣庄第八中学高一上学期期中测试)下列函数中，既是奇函数又是增函数的是( )
A ．y ＝x ＋1
B ．y ＝－x 2
C ．y ＝1x
D ．y ＝x |x |
五、分段函数的奇偶性
类型二 分段函数奇偶性的判定
例2：用定义判断函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧
－x 2
＋x x 2
－
x
的奇偶性．
类型三利用奇(偶)函数图象的对称特征，求关于原点对称的区间上的解析式
例3：若f(x)是定义在R上的奇函数，当x<0时，f(x)＝x(1－x)，求：当x≥0时，函数f(x)的解析式．
练习1：(2014～2015学年度安徽宿州市十三校高一上学期期中测试)已知函数f(x)是R 上的奇函数，当x>0时，f(x)＝2x＋1，则函数f(x)的解析式为________________．
六、几类特殊函数的奇偶性判断、证明
类型四抽象函数奇偶性的证明
例4：已知函数y＝f(x)(x∈R)，若对于任意实数a、b都有f(a＋b)＝f(a)＋f(b)，求证：f(x)为奇函数．
练习1：已知函数y＝f(x)(x∈R)，若对于任意实数x1、x2，都有f(x1＋x2)＋f(x1－x2)
＝2f (x 1)·f (x 2)，求证： f (x )为偶函数．
类型五 含有参数的函数的奇偶性的判断
例5：设a 为实数，讨论函数f(x)＝2
x ＋|x －a|＋1的奇偶性．
练习1：(2014～2015学年度河南省实验中学高一月考)已知函数f (x )＝x 2
＋a x
，常数a ∈R ，讨论函数f (x )的奇偶性，并说明理由．
七、奇偶性的应用
类型六 利用奇偶性确定函数中字母的值
例6: 已知函数f (x )＝ax 2＋23x ＋b 是奇函数，且f (2)＝5
3.求实数a 、b 的值；
练习1：已知定义域为R 的函数f (x )＝b －2x
2x ＋a
是奇函数．
(1)求a 、b 的值；
类型八 利用奇偶性求函数值
例8：已知函数f(x)与g(x)满足f(x)＝2g(x)＋1，且g(x)为R 上的奇函数，f(－1)＝8，求f(1)．
练习2: (2014～2015学年度广东肇庆市高一上学期期中测试)设函数f (x )(x ∈R )为奇函数，f (1)＝1
2
，f (x ＋2)＝f (x )＋f (2)，则f (5)等于( )
A ．0
B ．1
C ．5
2 D ．5
课时八：单调性和奇偶性的综合应用
一、回顾
（1）单调性:同号增，异号减。
（2）单调性与区间相关。
（3）单调区间不能用并集表示。
如x
x f 1
)(=，在),0(+∞、)0,(-∞上递增。
（4）奇偶性的前提是定义域关于原点对称。
（5）既是奇函数又是偶函数的函数只有一个：0)(=x f 二、典型例题
例1：已知定义在R 上的偶函数)(x f 在区间上是单调递增，则)2(-f 、)1(f 、)3(-f 的大小关系是：_____________________。
例2：)(x f 是定义在)1,1(-上的偶函数，且在)1,0(上为增函数，若0)4()2(2
<---a f a f ，试确定a 的取值范围。
例3：奇函数的定义域为：),0()0,(+∞⋃-∞，且在),0(+∞上单调递增，0)1(=f ，解不等式0)]2
1([<-x x f 。
例4：已知函数f(x)是定义在(－2,2)上的奇函数且是减函数，若f(m －1)＋f(1－2m)≥0，求实数m 的取值范围．
练习2：(2014～2015学年度河南省实验中学高一上学期月考)已知偶函数f (x )在区间(－∞，0]上单调递减，则满足f (2x －1)<f (1
3
)的x 的取值范围是( )
A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23
B ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，23
C ．⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，23 D ．⎣⎢⎡⎭
⎪⎫12，23。