Ku二分图最大权匹配(KM算法)hn
最大权重匹配算法
最大权重匹配算法
最大权重匹配算法也叫做二分图匹配，它是解决二分图中最大匹配问题的一种常见算法。
二分图，顾名思义，就是可以分成两部分的图，即将所有节点分成两部分，使得同一
部分内的节点不连通。
下文中，我们以左侧节点为一部分，右侧节点为一部分。
最大权重匹配算法的目的是，在二分图中找到一种最大匹配方式，并且每条匹配边的
权重之和最大。
在实际问题中，这种算法经常用于任务分配、物流运输、职工配对等方
面。
算法过程：
1. 初始化所有匹配边的权重为0，同时记录每个节点是否被匹配过。
2. 从左侧部分的未匹配节点开始，遍历所有未匹配节点，将其标记为当前选中节
点。
3. 查找与当前选中节点有连通边的所有右侧节点，对于每个右侧节点，都计算出它
和当前选中节点形成的匹配边的权重。
如果该权重比之前已存在的匹配边权重要大，则更
新该匹配边权重，并将当前选中节点和右侧节点确定为一条新的匹配边。
如果需要更新匹
配边，则需要将之前的匹配边删除，统计删除边后，继续查找新的匹配边。
4. 如果当前选中节点不能形成新的匹配边，则回溯到上一个节点，并标记该节点为
已匹配。
5. 重复第2、3、4步操作，直到找出全部最大匹配边。
该算法的时间复杂度为O(n^3)，属于多项式时间内可解决问题的范围，而且是一种较为高效的匹配算法。
但是需要注意的是，该算法必须满足是一个二分图才可以使用。
同时，算法并不能保证是一个最小顶标和、最优匹配的算法，但在大多数情况下，都可以得到较
好的匹配效果。
二分图匹最大配与最佳匹配
二分图：二分图是这样的一个图，它的顶点可以分为两个集合X和Y。
所有的边关联的两个顶点中，恰好一个属于集合X，一个属于集合Y。
二分图的匹配：给定一个二分图G，M为G边集的一个子集，如果M满足当中的任意两条边都不依附于同一个顶点，则称M是一个匹配。
二分图的最大匹配:二分图的所有匹配中包含边数最多的匹配称为图的最大匹配。
完美（完备）匹配：如果所有点都在匹配边上，称这个最大匹配是完美匹配。
最佳匹配：如果边上带权的话，找出权和最大的匹配叫做求最佳匹配。
增广路径：也称增广轨或交错轨。
若P是图G中一条连通两个未匹配顶点的路径，并且属最大匹配边集M的边和不属M的边(即已匹配和待匹配的边)在P上交替出现，则称P为相对于M的一条增广轨。
定义总是抽象的下面通过图来理解它。
图中的线段（2->3, 3->1, 1->4）便是上面所说的p路径，我们假定边（1,3）是以匹配的边，（2,3）（1,4）是未匹配的边，则边（4,1）边（1,3）和边（3,2）在路径p上交替的出现啦，那么p就是相对于M的一条增广轨，这样我们就可以用边1,4 和边2,3 来替换边1,3 那么以匹配的边集数量就可以加1,。
下面给出关于二分图最大匹配的三个定理1:最大匹配数+ 最大独立集= n + m2:二分图的最小覆盖数= 最大匹配数3:最小路径覆盖= 最大独立集最大独立集是指求一个二分图中最大的一个点集，该点集内的点互不相连。
最小顶点覆盖是指在二分图中，用最少的点，让所有的边至少和一个点有关联。
最小路径覆盖是指一个不含圈的有向图G 中，G的一个路径覆盖是一个其结点不相交的路径集合P，图中的每一个结点仅包含于P 中的某一条路径。
路径可以从任意结点开始和结束，且长度也为任意值，包括0.1求解二分图最大匹配的方法：●匈牙利算法（时间复杂度O(nm)）其思想是是通过不断的寻找增广轨实现最大匹配。
●转化为单位容量简单网络的最大流问题(本文不介绍)在二分图的基础上，加入源点s和汇点t，让s与每个X结点连一条边，每个Y结点和t连一条边，所有弧的容量为1。
最大权匹配KM算法
最大权匹配KM算法
KM算法（Kuhn–Munkres算法，也称为匈牙利算法）是由Kuhn于
1955年和Munkres于1957年分别提出的，用于解决二分图最大匹配问题。
该算法的核心思想是基于匈牙利算法的增广路径，通过构建一个增广路径
来不断更新匹配，直到无法找到增广路径为止。
算法流程如下：
2.从G的每个未匹配顶点开始，通过增广路径将其标记为可增广点；
3.当存在增广路径时，将匹配的边进行反向操作，直到不存在增广路径；
4. 利用增广路径的反向操作可以修改lx和ly的值，使其满足特定
约束条件；
5.通过相等子图的扩展来实现增广路径的；
6.重复步骤3-5，直到不存在更多的增广路径；
7.返回找到的最大匹配。
具体实现时，对于增广路径的可以利用DFS或BFS等方法进行，当找
到一个增广路径时，通过反向操作修改匹配情况，并更新lx和ly的值。
同时，算法还可以使用增广路径来调整优化标号，以减少匹配时间。
KM算法是一种高效的解决最大权匹配问题的方法，其时间复杂度为
O(V^3)，其中V为图的顶点数。
算法的核心思想是利用二分图中的相等子
图来查找增广路径，并通过修改顶点的标号来实现最大匹配。
总之，最大权匹配KM算法是一个解决带权无向二分图最大匹配问题
的高效算法，通过不断寻找增广路径并调整顶点的标号来实现最大权匹配。
它的思想简单而有效，可以广泛应用于各种实际问题中。
[算法]二分图最大匹配
![[算法]二分图最大匹配](https://img.taocdn.com/s3/m/48a643060a4e767f5acfa1c7aa00b52acfc79cad.png)
[算法]⼆分图最⼤匹配前⾔具体什么是⼆分图，如何判定，可以参考。
定义简单来说，就是⼆分图中有满⾜任意两条边没有相同的点的边的集合，称为⼀组匹配，⽽边数最多的⼀组匹配称为该⼆分图的最⼤匹配。
在⼀组匹配中，属于这组边的称为匹配边，不属于的称为⾮匹配边，属于这组匹配的点称为匹配点，不属于的称为⾮匹配点。
匈⽛利算法⼜称增⼴路算法。
对于⼀组匹配 \(M\) ，若存在⼀条路径连接两个⾮匹配点，且使得匹配边与⾮匹配边交替出现，则称这条路径为增⼴路。
如上图，已匹配的边为红⾊，未匹配的边为绿⾊，则可以找到⼀组增⼴路 \(8\) ~ \(2\) ~ \(7\) ~ \(4\) 。
不难发现增⼴路具有以下特点：以⾮匹配边开始，在以⾮匹配边结尾，那么长度必为奇数。
路径上第⼀条边因为第⼀个点为奇数，则该路径上的第⼀个点为⾮匹配边，按照匹配边与⾮匹配边交替出现的性质可以得出，该路径的第奇数条边必为⾮匹配边，已经匹配的边必为第偶数条边，则有⾮匹配边的边数⽐匹配边的边数多⼀。
最⼤匹配中不会有增⼴路。
证明：假设最⼤匹配中存在增⼴路，则可以将增⼴路中的所有边的状态取反（即把⾮匹配边转换为匹配边，将匹配边转换为⾮匹配边），得到另⼀组匹配，⽽这组匹配的匹配边肯定会⽐之前的⼀组匹配的边数多⼀，则之前的这组匹配就不是最⼤匹配，与假设⽭盾，证毕。
在⼀张⼆分图中，若最⼤匹配为 \(S\) ，当且仅当 \(S\) 中不存在增⼴路。
其确性基于 \(hall\) 定理，⽐较复杂就不在详讲，主要讲找⼆分图最⼤匹配的⽅法。
⼤体思想就是枚举左部点，找到增⼴路后将这条路上的所有边的状态取反，得到边数更⼤的⼀组匹配。
在匹配过程中，有两种情况会改变当前左部点 \(u\) 的匹配情况。
1. 与之对应的右部点 \(v\) 是⾮匹配点，则可以将其的连边变为匹配边。
2. 与之对应的右部点 \(v\) 是匹配点，但与 \(v\) 已经匹配的点 \(u'\) 可以找到另⼀个未匹配的右部点 \(v'\) ，则 \(u\) ~ \(v\) ~ \(u'\) ~ \(v'\) 为⼀条增⼴路，则将其状态取反。
改进的 km 算法流程 -回复
改进的km 算法流程-回复改进的KM算法流程引言KM算法，即Kuhn-Munkres算法，也被称为匈牙利算法，是一种用于解决二分图最大权匹配问题的经典算法。
它在应用中被广泛使用，例如在任务分配、资源分配、航线规划等领域。
然而，KM算法在处理大规模问题时存在效率低下的问题。
为了提高算法的性能，学者们不断进行改进和优化。
本文将介绍改进后的KM算法的流程，并逐步解释每个步骤的具体操作。
一、问题描述在介绍改进的KM算法之前，首先需要明确问题的描述。
给定一个二分图，其中左侧顶点集合为X，右侧顶点集合为Y，边权重矩阵为C。
目标是找到一个匹配M，使得M中所有边的权重之和最大。
二、改进算法的基本思路改进的KM算法主要通过两个步骤来提高效率：启发式初始化和优化的增广路径寻找。
1. 启发式初始化：将初始标号设置为最小权重值2. 优化的增广路径寻找：通过DFS（深度优先搜索）和BFS（广度优先搜索）寻找增广路径下面将详细介绍这两个步骤。
三、启发式初始化启发式初始化的目的是在算法初始阶段就为每个顶点设置一个初始标号，以便减少后续迭代中的计算量。
具体步骤如下：1. 初始化顶点集合X和Y的标号为0。
2. 对于每个左侧顶点x∈X，找到该顶点对应的最大权重，将该权重作为左侧顶点x的初始标号。
3. 更新右侧顶点y∈Y的标号为与它相连的左侧顶点的初始标号中的最大值。
四、优化的增广路径寻找优化的增广路径寻找是通过DFS和BFS结合的方式来寻找增广路径，其中DFS用于尽可能延伸已有的匹配集，而BFS用于寻找未被匹配的顶点。
1. 初始化路径集合P为空。
2. 对于每个未匹配的左侧顶点x∈X，将x添加到路径集合P中。
3. 对于路径集合P中的每个顶点u，如果u是未匹配的左侧顶点，则将u的相邻未匹配右侧顶点v添加到路径集合P中，并将v的前驱节点设置为u。
4. 如果路径集合P中存在一条从未匹配的左侧顶点x开始，以交替的形式经过已匹配的边和未匹配的边，并最终达到未匹配的右侧顶点y的路径，那么就找到了一条增广路径。
二分图匹配算法及其应用【文献综述】
二分图匹配算法及其应用【文献综述】文献综述数学与应用数学二分图匹配算法及其应用图的匹配理论简单的说就是使得图G 中每两个点之间都有联系. 匹配理论是图论中的一个重要内容, 它在运筹学、系统工程中都有着广泛的应用, 近几十年来, 随着组合数学的迅速发展, 匹配理论成为许多重要理论的基础和源泉. 二分图的最大匹配算法是匹配理论研究的热点之一. KM 算法是求最大匹配的经典算法, 它是在匈牙利算法的进一步提高, 它是解决数学中一类存在性问题的基本工具, 广泛应用于社会、经济、科技、自然等各个领域中. 本文主要研究KM 算法的具体原理, 步骤, 以及它一些实际问题中的应用.图的匹配问题起源于1935年霍尔的“婚姻问题”. KM 算法是Kuhn 和Munkras 分别于1955年和1957年独立提出来的, 他们在研究图论中最大权匹配问题时很巧妙运用KM 算法去解决问题.定义1 图G 有三部分所组成(1) 非空集合)(G V , 称为G 的结点集, 其成员称为结点或顶点.(2) 集合)(G E , 称为G 的边集, 其成员称为边.(3) 函数))(),(()(:G V G V G E G →ψ,称为边和顶点的关联映射. 这里))(),((G V G V 称为)(G V 的偶对集, 其成员偶对形如),(v u , u ,v 为结点, 它们未必不同. 当),()(v u e G =ψ时, 称边e 关联端点u ,v . 当),(v u 用作序偶时)()())(),((G V G V G V G V ?=,e 称为有向边, e 以u 为起点, 以v 为终点, 图G 称为有向图; 当),(v u 用作无序偶对时, ),(),(u v v u =, 称e 为无向边(或边), 图G 称为无向图(或图). 定义2 无向图?ψ?=,,E V G 称为二分图, 如果有非空集合X ,Y 使V Y X =Y ,X Y =?I ,且对每一E e ∈, ),()(y x e =ψ, X x ∈,Y y ∈. 此时常用?ψ?,,E V 表示二分图G . 若对X 中任一x 及Y 中的任一y 恰有一边E e ∈, 使),()(y x e =ψ, 则称G 为完全二分图. 当m X =, n Y =时, 完全二分图G 记为n m K ,.定义3 图G 的顶点1v 到顶点l v 的拟路径是指如下顶点与边的序列:l l l v e v v e v e v ,,,,,,,1132211--Λ其中l l v v v v v ,,,,,1321-Λ为G 的顶点, 121,,,-l e e e Λ为G 的边, 且)1,,2,1(-=l i e i Λ以i v 及1+i v 为端点(对有向图G , i e 以i v 为起点, 以1+i v 为终点). 当)1,,2,1(-=l i e i Λ各不相同时, 该拟路径称为路径.定义4 若M 是二分图),(E V G =的一个匹配. 设从图G 中的一个顶点到另一个顶点存在一条路径, 这条路是由属于M 的边和不属于M 的边P 交替出现组成的, 则称这条路为增广路(或称交互树或交错树). 如果增广路的首尾两个顶点不属于M , 则称这条路为可增广路.定义 5 设?ψ?=,,E V G 为二分图, 当给G 赋予映射W V f →:或W E g →:, W 为任意集合、常用实数集及其子集, 此时G 为赋权图, 常用?ψ?f E V ,,,或?ψ?g E V ,,,或?ψ?g f E V ,,,,表示之. )(v f 称为结点v 的权, )(e g 称为e 的权.定义6 设??=Y E X G ,,为二分图, E M ?. 称M 为G 的一个匹配, 如果M 中任何两条边都没有公共端点. G 的所有匹配中边数最多的匹配称为最大匹配, 其边数称为匹配数. 如果X (Y )中任一顶点均为匹配M 中边的端点, 那么称M 为X (Y )—完全匹配. 若M 既是X —完全匹配又是Y —完全匹配, 则称M 为G 的完全匹配.定义7 设二分图??=Y E X G ,,, 其中X =Y =匹配数, E 中每条边),(j i Y X 有权0,≥j i W , 若能找到一个匹配M (M =匹配数), 满足所有匹配的边权和最大(或最小), 则称M 为G 的一个最大(或最小)权匹配.定义8 称图中顶点u 到v 是可达的, 如果v u =, 或者有一条u 到v 的路径. 如果G 的任何两个顶点都是互相可达的, 称无向图G 是连通的. 如果G '是G 的子图,G '是连通的, 并且不存在G 的真子图G '', 使G ''是连通的, 且G ''以G '为真子图, 则图G '称为图G 的连通分支.定理1(霍尔定理) 设图??=Y E X G ,,. G 有X —完全匹配的充分必要条件是: 对每一X S ?, 其中)(S N 为S 的邻域, 即Y S v ii v N S N ∈=)()(, 则有S S N ≥)(.定理2(Tutte 定理) 一个图G 有完全匹配当且仅当对图G 的任意顶点子集S 有图S G -的奇分支数不大于S 中的顶点数, 其中S G -表示从图G 中删去顶点集S 及其关联的边所得的图, 图的奇分支是指奇数个顶点的连通分支.定理3 若由二分图中所有满足j i j i W Y X ,=+的边(,)i j 构成的子图(称做相等子图)有完全匹配, 那么这个完全匹配就是二分图的最大权匹配.Kuhn －Munkras 算法(即KM 算法)流程(1) 初始化可行顶标的值;(2) 用匈牙利算法寻找完备匹配;(3) 若未找到完全匹配则修改可行顶标的值;(4) 重复(2)(3)直到找到相等子图的完全匹配为止.KM 算法是通过给每个顶点一个标号(我们有时称之为顶标)来把求最大权匹配的问题转化为不断地寻找增广路以使二分图的匹配数达到最大的完全匹配的问题. 我们令二分图中X 部的节点的顶标为i X . Y 部的节点的顶标为j Y . X 部与Y 部节点之间的权值为j i W ,. 要求在算法执行过程中的任一时刻，对于任一条边(,)i j , 使得j i j i W Y X ,≥+始终成立. 在初始时, 令i X 为所有与顶点i X 关联的边的权值的最大值, 令0=i Y . 如果当前的相等子图没有完全匹配, 就需要修改顶标以使扩大相等子图, 直到相等子图具有完全匹配为止(这样就可以求出最大权匹配).如果当前相等子图找不到完全匹配, 那么是因为对于某个X 顶点, 我们找不到一条从它出发的增广路. 这时为了获得了一条增广路, 现在我们把增广路中X 的顶点的顶标全都减小某个值d , Y 的顶点的顶标全都增加d , 就可以使得至少有一条新边进入相等子图. 那么我们会发现:(1) 两端都在增广路中的边(,)i j , j i Y X +的值没有变化. 也就是说, 它原来属于相等子图, 现在仍属于相等子图.(2) 两端都不在增广路中的边(,)i j , i X 和j Y 都没有变化. 也就是说, 它原来属于(或不属于)相等子图, 现在仍属于(或不属于)相等子图.(3) X 端不在增广路中, Y 端在增广路中的边(,)i j , 它的j i Y X +的值有所增大. 它原来不属于相等子图, 现在仍不属于相等子图.(4) X 端在增广路中, Y 端不在增广路中的边(,)i j , 它的j i Y X +的值有所减小. 也就说, 它原来不属于相等子图, 现在可能进入了相等子图, 因而使相等子图得到了扩大.现在的问题就是求d 值了. 为了使j i j i W Y X ,≥+始终成立, 且至少有一条边进入相等子图, 则}min{,j i j i W Y X d -+=, 而且i X 在增广路中, j Y 不在增广路中.刘桂真[1]对二分图最大权匹配开讨论, 介绍了二分图最大权匹配并将匹配问题从“婚姻问题”推广到工作分派问题.耿素云[2]通过对二分图的匹配及带权图的应用进行了讨论也将其运用到实际中, 并以此解决了最短路径的问题、关键路径问题以及中国邮递员问题.杨胜超、张瑞军[3]在介绍毕业论文选题系统的系统用例、功能模块、和流程图的基础上, 针对学生选题不均衡这一突出问题, 引出了二分图最大权匹配的经典算法—KM 算法, 该算法能够根据学生的题目预选、自命题、未定题等多种情况, 完成题目与学生的智能匹配, 使最终题目的整体满意度最高, 从而提高学生毕业论文选题质量. 该系统在武汉科技大学管理学院04级毕业论文选题中实施.谢政、程浩光[4]利用赋双权的二分图中求关于第一个权最大的限制下、第二个权最小的完美匹配的网络模型, 给出了这一模型的有效性, 并用此算法解决了企业的优化组合分工中的挖潜问题.彭宇新, Ngo Chong-Wah, 肖建国[5]利用尝试将二分图的最大权匹配用于镜头检索. 把两个镜头的相似度度量建模为一个带权的二分图: 镜头中的每一帧看成二分图的一个结点, 两个镜头之间任意帧的相似值作为边的权值. 在一一对应的前提下, 利用最大权匹配的KM 算法求出该二分图的最大权, 以此作为两个镜头的相似度. 考虑到检索的速度的问题, 提出了两个改进算法.对于二分图最大权匹配的算法有不少, 如: 顶点标记法等. 但KM 算法是求解二分图最大权匹配的经典算法. 本文主要研究用KM 算法解决二分图最大权匹配的步骤过程及二分图最大权匹配算法的应用. 特别是在解决工作分派问题上以及其他实际问题中的应用.。
km算法原理
km算法原理KM算法原理：带权二分图最大权完美匹配KM算法全称为Kuhn-Munkres算法，是一种求解带权二分图最大权完美匹配的算法。
该算法的时间复杂度为O(n^3)，相较于暴力枚举的O(n!)和网络流的O(n^4)，其效率更高。
我们来了解一下什么是带权二分图。
带权二分图是指一个无向图G=(V, E)，其中V可以划分为两个集合X和Y，使得X和Y内部的点没有边相连，而X和Y之间的点有边相连，并且每条边都有一个权值。
我们的目标是找到X到Y的最大权匹配。
KM算法的思路是不断尝试寻找增广路，并将其加入当前匹配中。
增广路是指从未匹配的点开始，经过一系列已匹配的点，最终到达另一个未匹配的点的路径。
如果当前匹配中不存在增广路，那么我们就找到了最大权匹配。
具体实现时，我们需要使用两个数组：lx和ly。
lx[i]表示左边第i个点的最大权值，ly[j]表示右边第j个点的最大权值。
初始时，我们将lx[i]=max{w[i][j]}，其中w[i][j]表示左边第i个点到右边第j个点的边权值，ly[j]=0。
然后我们不断进行匹配，直到没有增广路为止。
匹配的过程中，我们需要使用一个vis数组记录右边第j个点是否被访问过。
如果右边第j个点未被访问，我们就尝试匹配左边第i个点和右边第j个点，如果匹配成功，就更新lx[i]和ly[j]的值。
如果匹配失败，我们就需要尝试将当前匹配中的某个点切换到另一个点上，以获得更大的权值。
这个过程可以通过递归实现。
我们得到的匹配就是带权二分图的最大权完美匹配。
KM算法的时间复杂度为O(n^3)，空间复杂度为O(n^2)。
KM算法是一种高效的求解带权二分图最大权完美匹配的算法。
它的思路简单，实现也不难，但需要注意细节和边界条件。
在实际应用中，KM算法可以用于匹配问题、优化问题等方面。
图论二分图匹配算法详细分析总结
二分图匹配算法总结 (by phoenixinter, Aug 2006)最近下决心要把二分图匹配部分的算法都搞搞清楚，努力了几天之后基本上搞定了，下面做一个这个专题的总结。
一、二分图最大匹配二分图最大匹配的经典匈牙利算法是由Edmonds在1965年提出的，算法的核心就是根据一个初始匹配不停的找增广路，直到没有增广路为止。
匈牙利算法的本质实际上和基于增广路特性的最大流算法还是相似的，只需要注意两点：（一）每个X节点都最多做一次增广路的起点；（二）如果一个Y节点已经匹配了，那么增广路到这儿的时候唯一的路径是走到Y节点的匹配点（可以回忆最大流算法中的后向边，这个时候后向边是可以增流的）。
找增广路的时候既可以采用dfs也可以采用bfs，两者都可以保证O(nm)的复杂度，因为每找一条增广路的复杂度是O(m)，而最多增广n次，dfs在实际实现中更加简短。
二、Hopcroft-Karp算法SRbGa很早就介绍过这个算法，它可以做到O(sqrt(n)*e)的时间复杂度，并且在实际使用中效果不错而且算法本身并不复杂。
Hopcroft-Karp算法是Hopcroft和Karp在1972年提出的，该算法的主要思想是在每次增广的时候不是找一条增广路而是同时找几条点不相交的最短增广路，形成极大增广路集，随后可以沿着这几条增广路同时进行增广。
可以证明在寻找增广路集的每一个阶段所寻找到的最短增广路都具有相等的长度，并且随着算法的进行最短增广路的长度是越来越长的，更进一步的分析可以证明最多只需要增广ceil(sqrt(n))次就可以得到最大匹配（证明在这里略去）。
因此现在的主要难度就是在O(e)的时间复杂度内找到极大最短增广路集，思路并不复杂，首先从所有X的未盖点进行BFS，BFS之后对每个X节点和Y节点维护距离标号，如果Y节点是未盖点那么就找到了一条最短增广路，BFS完之后就找到了最短增广路集，随后可以直接用DFS对所有允许弧(dist[y]=dist[x]+ 1，可以参见高流推进HLPP的实现)进行类似于匈牙利中寻找增广路的操作，这样就可以做到O(m)的复杂度。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
Maigo的KM算法讲解(的确精彩)顶点Ｙｉ的顶标为B［i]，顶点Xi与Yj之间的边权为w[ｉ,j]。
在算法执行过程中的任一时刻，对于任一条边(ｉ,j),A［i]+B[j]>=w［i,ｊ]始终成立。
KM 算法的正确性基于以下定理：* 若由二分图中所有满足A［i］+B[j]=ｗ[ｉ,ｊ］的边（i，ｊ)构成的子图（称做相等子图）有完备匹配,那么这个完备匹配就是二分图的最大权匹配。
这个定理是显然的。
因为对于二分图的任意一个匹配，如果它包含于相等子图,那么它的边权和等于所有顶点的顶标和；如果它有的边不包含于相等子图,那么它的边权和小于所有顶点的顶标和。
所以相等子图的完备匹配一定是二分图的最大权匹配。
初始时为了使A［ｉ]＋B[j]>=w[i,j]恒成立,令A[i]为所有与顶点Xi关联的边的最大权，Ｂ[ｊ］＝0。
如果当前的相等子图没有完备匹配,就按下面的方法修改顶标以使扩大相等子图，直到相等子图具有完备匹配为止。
我们求当前相等子图的完备匹配失败了,是因为对于某个Ｘ顶点,我们找不到一条从它出发的交错路。
这时我们获得了一棵交错树,它的叶子结点全部是X顶点。
现在我们把交错树中X顶点的顶标全都减小某个值ｄ,Y顶点的顶标全都增加同一个值d，那么我们会发现：两端都在交错树中的边(i，j）,A［i]+B[j]的值没有变化。
也就是说,它原来属于相等子图，现在仍属于相等子图。
两端都不在交错树中的边(ｉ，ｊ)，A[i］和B[j]都没有变化。
也就是说,它原来属于(或不属于)相等子图，现在仍属于(或不属于)相等子图。
X端不在交错树中，Y端在交错树中的边(i，ｊ)，它的Ａ［ｉ]+B[j]的值有所增大。
它原来不属于相等子图,现在仍不属于相等子图。
X端在交错树中,Ｙ端不在交错树中的边（i,j),它的A［ｉ]+B[j]的值有所减小。
也就说,它原来不属于相等子图，现在可能进入了相等子图,因而使相等子图得到了扩大。
现在的问题就是求d值了。
为了使Ａ[i]+Ｂ[j］>=w［i,ｊ]始终成立,且至少有一条边进入相等子图,d应该等于mｉｎ{Ａ[i]+B[ｊ]-w[ｉ,j]｜Xｉ在交错树中,Ｙi不在交错树中｝。
以上就是KＭ算法的基本思路。
但是朴素的实现方法，时间复杂度为O(n4)——需要找O(n)次增广路,每次增广最多需要修改Ｏ(n)次顶标,每次修改顶标时由于要枚举边来求d值,复杂度为O(ｎ2)。
实际上KＭ算法的复杂度是可以做到O(n3)的。
我们给每个Ｙ顶点一个“松弛量”函数slaｃk，每次开始找增广路时初始化为无穷大。
在寻找增广路的过程中,检查边(i,j)时，如果它不在相等子图中，则让ｓlaｃk[j]变成原值与A[i］+B[ｊ］-w[i,j]的较小值。
这样,在修改顶标时，取所有不在交错树中的Y顶点的slacｋ值中的最小值作为ｄ值即可。
但还要注意一点：修改顶标后，要把所有的ｓｌａｃk值都减去d。
二分图最大权完美匹配KM算法好吧,这弄点正经的。
这次就写写大家肯定很久以前就搞出来的KＭ。
我写这个是因为前几天整理模板的时候居然发现我的ＫM还是O（n＾4)的,虽然实际运行效果大部分和Ｏ(n＾3)差不多,但是理论的上界仍然让我不爽，就像ｎetwｏrｋｓｉmplex alｇorｉtｈｍ一样。
先说一下KM的适用范围。
据我分析KM实际上可以对任意带权（无论正负权)二分图求最大/最小权完美匹配,唯一的一个,也是最重要的一个要求就是这个匹配必须是完美匹配,否则KM的正确性将无法得到保证。
这个当了解了ＫM的正确性证明之后自然就会知道。
非完美的匹配的似乎必须祭出ｍｉn ｃｏｓt maｘflow了。
然后就是KM的时间界。
这里略去KＭ的步骤不谈。
众所周知，KM弄不好就会写出Ｏ(n^4）的算法，而实际上是存在O(n^3）的实现的。
那么O(n^4)究竟是慢在什么地方呢？这个就需要搞清楚O（ｎ＾4)的4究竟是怎么来的。
每个点都需要作一次增广,所以有一个ｎ的循环。
每个循环内部,每次可能无法得到一条增广路,需要新加入一个y顶点，然后重新寻找增广路。
一次最少加进1个点,所以最多加入n次。
每次重新找一遍增广路n^2,更新距离标号需要扫描每一条边n^2，所以迭加起来O(n)*O(n）＊O(n^2)，结果自然就是O(n^4）。
第一层和第二层循环似乎没有很好的方法可以把它搞掉，所以我们只能从第三层,也就是每次的O（n＾2)入手。
这一层包括两个部分,一个是增广路的ｎ^2,一个是更新标号的n^2，需要将二者同时搞掉才能降低总共的复杂度。
注意更新标号之后有一个最重要的性质,那就是原来存在的合法边仍然合法,更新只是将不合法的边变得合法。
所以当我们找到一次交错树，没有增广路之后，下次再寻找的时候完全没有必要重新开始，因为原先有的边更新之后还有，所以完全可以接着上一次得到的交错树继续寻找。
那么应该从什么地方继续号、开始搜索呢？很明显是那些新加进的点,也就是新进入的那些ｙ点。
这样虽然不知道每次更新标号会又扫描多少次，但是每条边最多也就被扫描一次,然后被添加进交错树一次。
所以这一块,n层循环总的复杂度是O(n^2)。
按照这样描述的话，用dfs似乎没有可以接着上一次找的方法,所以只能用bfs来写增广路的搜索了。
然后就是重标号。
这一段实际上是由重新扫了一次边，然后对ｘ在树中而y不在的边进行侦测，然后重新标号。
想把这个搞掉似乎是有些困难,但是我们先做的是增广路搜索然后才是标号，增广路搜索的时候不也是要扫边么？要是能在bfs的时候记录一下什么信息,到时候直接取用不就好了？所以，做法就是在bfs的时候，对于每个扫到的这种边,更新一下对应的ｙ顶点的标号,这个标号的意义就是y点连接的所有这种边当中可松弛的最小值,定义为sla ｃk[y]。
然后每次更新的时候扫一下所有的y,对于所有没在交错树中的ｙ,找到最小ｓｌack[ｙ],然后更新就可以了。
注意由于我们要接着上一次进行ｂfs，所以上一次算出来的标号也要留下来。
别忘了重标号之后每个ｙ点的slack[y]也要同样更新,这样每次寻找标号并更新的复杂度就是O（n）了，ｎ层重标号最多也就是O(n^2)，然后bfs的O(n^2),增广的Ｏ（n),所以对于每个点,想对匹配进行增广，复杂度就是Ｏ(ｎ^2),n个点每个点来一次自然就是O(n＾３）了。
CODE:另附Ｏ(N＾3)的算法代码:二分图匹配----基于匈牙利算法和ＫM算法２０07-09－１9 16:54设G=(V,{R})是一个无向图。
如顶点集V可分割为两个互不相交的子集,并且图中每条边依附的两个顶点都分属两个不同的子集。
则称图G为二分图。
v选择这样的边数最大的子集称为图的最大匹配问题（mａximal maｔcｈi ｎg proｂlem)v 如果一个匹配中,图中的每个顶点都和图中某条边相关联,则称此匹配为完全匹配，也称作完备匹配。
最大匹配在实际中有广泛的用处,求最大匹配的一种显而易见的算法是:先找出全部匹配，然后保留匹配数最多的。
但是这个算法的复杂度为边数的指数级函数。
因此,需要寻求一种更加高效的算法。
匈牙利算法是求解最大匹配的有效算法，该算法用到了增广路的定义(也称增广轨或交错轨）：若P是图G中一条连通两个未匹配顶点的路径，并且属M的边和不属Ｍ的边（即已匹配和待匹配的边）在Ｐ上交替出现,则称Ｐ为相对于M的一条增广路径。
由增广路径的定义可以推出下述三个结论：v １．P的路径长度必定为奇数，第一条边和最后一条边都不属于Ｍ。
v 2. P经过取反操作（即非M中的边变为M中的边,原来Ｍ中的边去掉）可以得到一个更大的匹配Ｍ’。
v ３.M为G的最大匹配当且仅当不存在相对于M的增广路径。
从而可以得到求解最大匹配的匈牙利算法:ｖ(1)置M为空ｖ(2)找出一条增广路径P,通过取反操作获得更大的匹配Ｍ’代替Mv (3）重复(2）操作直到找不出增广路径为止根据该算法,我选用ｄfs (深度优先搜索)实现。
程序清单如下:二分图最优匹配：对于二分图的每条边都有一个权（非负)，要求一种完备匹配方案,使得所有匹配边的权和最大，记做最优完备匹配。
（特殊的，当所有边的权为1时,就是最大完备匹配问题)解二分图最优匹配问题可用穷举的方法，但穷举的效率=n！,所以我们需要更加优秀的算法。
先说一个定理：设M是一个带权完全二分图G的一个完备匹配，给每个顶点一个可行顶标(第i个x顶点的可行标用lx[i]表示，第j个ｙ顶点的可行标用ly[j］表示)，如果对所有的边(i,j)iｎG,都有lx[ｉ]＋ｌｙ[j]>=w[i，j］成立(w［i，j］表示边的权),且对所有的边(ｉ,j) in M,都有ｌx[i]+ly[j]=w[ｉ,ｊ］成立，则M是图G的一个最优匹配。
Kuhn-Ｍunkras算法（即KM算法)流程:v(１)初始化可行顶标的值v (2)用匈牙利算法寻找完备匹配v (3)若未找到完备匹配则修改可行顶标的值ｖ（4)重复(２)(３)直到找到相等子图的完备匹配为止ＫM算法主要就是控制怎样修改可行顶标的策略使得最终可以达到一个完美匹配,首先任意设置可行顶标(如每个X节点的可行顶标设为它出发的所有弧的最大权，Y节点的可行顶标设为0)，然后在相等子图中寻找增广路,找到增广路就沿着增广路增广。
而如果没有找到增广路呢,那么就考虑所有现在在匈牙利树中的X节点（记为Ｓ集合)，所有现在在匈牙利树中的Ｙ节点(记为Ｔ集合）,考察所有一段在S集合,一段在ｎｏｔT集合中的弧，取delta =m ｉｎ｛l(xi)+l(yj)-w(xi,yｊ) , ｜xiｉｎS, yj iｎnot Ｔ｝。
明显的，当我们把所有S集合中的l（ｘi)减少ｄelta之后,一定会有至少一条属于（S，n ｏt T)的边进入相等子图,进而可以继续扩展匈牙利树,为了保证原来属于(Ｓ，Ｔ)的边不退出相等子图，把所有在T集合中的点的可行顶标增加deltａ。
随后匈牙利树继续扩展,如果新加入匈牙利树的Y节点是未盖点,那么找到增广路，否则把该节点的对应的X匹配点加入匈牙利树继续尝试增广。
复杂度分析:由于在不扩大匹配的情况下每次匈牙利树做如上调整之后至少增加一个元素，因此最多执行n次就可以找到一条增广路,最多需要找n条增广路,故最多执行n^２次修改顶标的操作，而每次修改顶标需要扫描所有弧，这样修改顶标的复杂度就是Ｏ(n^2)的，总的复杂度是O(n＾４)的。
ｄelｔa = mｉn｛sｌacｋ(yj), | yj in not Ｔ},每次增广之后用O(n^2)的时间计算所有点的初始slack,由于生长匈牙利树的时候每条弧的顶标增量相同,因此修改每个sｌａｃk需要常数时间（注意在修改顶标后和把已盖Y节点对应的X节点加入匈牙利树的时候是需要修改slack的)。
这样修改所有slaｃk值时间是O(n)的，每次增广后最多修改n次顶标,那么修改顶标的总时间降为O(n^２),ｎ次增广的总时间复杂度降为O(n^3）。