2007年高考试题——数学文(宁夏卷)

2007年普通高等学校招生全国统一考试文科数学（宁夏、 海南卷）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分．第II 卷第22题为选考题，其他题为必考题．考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的准考证号、姓名，并将条形码粘贴在指定位置上．2．选择题答案使用2Ｂ铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂基他答案标号，非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或炭素笔书写，字体工整、笔迹清楚．3．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效． 4．保持卡面清洁，不折叠，不破损．5．作选考题时，考生按照题目要求作答，并用2Ｂ铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑． 参考公式：样本数据1x ，2x ， ，n x 的标准差锥体体积公式s =13V Sh =其中x 为标本平均数 其中S 为底面面积，h 为高 柱体体积公式 球的表面积、体积公式V Sh =24πS R =，34π3V R =其中S 为底面面积，h 为高其中R 为球的半径第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{}{}|1|22A x x B x x =>-=-<<，，则A B = （ ） Ａ．{}|2x x >-Ｂ．{}1x x >-|Ｃ．{}|21x x -<<-Ｄ．{}|12x x -<<【解析】由{}{}|1|22A x x B x x =>-=-<<，,可得A B = {}|2x x >-. 答案：A2．已知命题:p x ∀∈R ，sin 1x ≤，则（ ） Ａ．:p x ⌝∃∈R ，sin 1x ≥Ｂ．:p x ⌝∀∈R ，sin 1x ≥Ｃ．:p x ⌝∃∈R ，sin 1x >Ｄ．:p x ⌝∀∈R ，sin 1x >【解析】p ⌝是对p 的否定，故有：,x ∃∈R sin 1.x > 答案：C3．函数πsin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间ππ2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，的简图是（ ）【解析】π()sin 23f ππ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭排除Ｂ、Ｄ，π()sin 20,663f ππ⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭排除Ｃ。

也可由五点法作图验证。

答案：A4．已知平面向量(11)(11)==-，，，a b ，则向量1322-=a b （ ） Ａ．(21)--，Ｂ．(21)-，Ｃ．(10)-，Ｄ．(12)-， 【解析】1322-=a b (12).-， 答案：D5．如果执行右面的程序框图，那么输出的S =（ ） Ａ．2450 Ｂ．2500 Ｃ．2550 Ｄ．2652 【解析】由程序知，15021222502502550.2S +=⨯+⨯++⨯=⨯⨯= 答案：C6．已知a b c d ，，，成等比数列，且曲线223y x x =-+的顶点是()b c ，，则ad 等于（ ） Ａ．3Ｂ．2 Ｃ．1Ｄ．2-xＡ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．PBA【解析】曲线223y x x =-+的顶点是(12)，，则：1, 2.b c ==由a b c d ，，，成等比数列知，12 2.ad bc ==⨯=答案：B7．已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，点111222()()P x y P x y ，，，，333()P x y ， 在抛物线上，且2132x x x =+，则有（ ） Ａ．123FP FP FP +=Ｂ．222123FP FP FP +=Ｃ．2132FP FP FP =+ Ｄ．2213FP FP FP =· 【解析】由抛物线定义，2132()()(),222p p px x x +=+++即：2132FP FP FP =+． 答案：C8．已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm ）， 可得这个几何体的体积是（ ） Ａ．34000cm 3Ｂ．38000cm 3Ｃ．32000cmＤ．34000cm【解析】如图，18000202020.33V =⨯⨯⨯=答案：B9．若cos 2π2sin 4αα=-⎛⎫- ⎪⎝⎭cos sinαα+的值为（ ） Ａ．Ｂ．12-Ｃ．12【解析】22cos 2cos )π2sin 4αααα==+=-⎛⎫-⎪⎝⎭正视图侧视图俯视图ASCB1cos sin .2αα⇒+= 答案：C10．曲线x y e =在点2(2)e ，处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ）Ａ．294eＢ．22eＣ．2eＤ．22e【解析】：(),x x y e e ''⇒==曲线在点2(2)e ，处的切线斜率为2e ，因此切线方程为22(2),y e e x -=-则切线与坐标轴交点为2(1,0),(0,),A B e -所以：2211.22AOBe S e ∆=⨯⨯= 答案：D11．已知三棱锥S ABC -的各顶点都在一个半径为r 的球面上，球心O 在AB 上，SO ⊥底面ABC ，AC =，则球的体积与三棱锥体积之比是（ ） Ａ．π Ｂ．2π Ｃ．3πＤ．4π【解析】如图，2,90,,AB r ACB BC ⇒=∠==31111,3323ABC V SO S r r ∆∴=⨯⨯=⋅⋅=三棱锥333441,::4.333V r V V r r πππ=∴==球球三棱锥答案：D123s s s ，，分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的标准差，则有（ ）Ａ．312s s s >> Ｂ．213s s s >> Ｃ．123s s s >> Ｄ．213s s s >>【解析】(78910)58.5,20x +++⨯== 甲2222215[(78.5)(88.5)(98.5)(108.5)]1.25,20s ⨯-+-+-+-== (710)6(89)48.5,20x +⨯++⨯==乙 2222226[(78.5)(108.5)]4[(88.5)(98.5)]1.45,20s ⨯-+-+⨯-+-==yx(710)4(89)68.5,20x +⨯++⨯==丙2222234[(78.5)(108.5)]6[(88.5)(98.5)]1.05,20s ⨯-+-+⨯-+-== 22213213.s s s s s s >>>>2由得答案：B第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知双曲线的顶点到渐近线的距离为2，焦点到渐近线的距离为6，则该双曲线的离心率为 ．【解析】如图，过双曲线的顶点A 、焦点F 则：||||6 3.||||2OF FC c OA AB a =⇒==答案：314．设函数()(1)()f x x x a =++为偶函数，则a = ． 【解析】(1)(1)2(1)0, 1.f f a a =-⇒+=∴=- 答案：-115．i 是虚数单位，238i 2i 3i 8i ++++= ．（用i a b +的形式表示，a b ∈R ，） 【解析】238i 2i 3i 8i i -2-3i +4+5i -6+7i +8=4-4i.++++= 答案：44i -16．已知{}n a 是等差数列，466a a +=，其前5项和510S =，则其公差d = ． 【解析】46563,a a a +=⇒=1515135510 1.22a a a S a ++=⨯=⨯=⇒= 511.512a a d -∴==- 答案：12三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分） 如图，测量河对岸的塔高AB 时，可以选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与D ．现测得BCD BDC CD s αβ∠=∠==，，，并在点C 测得塔顶A 的仰角为θ，求塔高AB ．【解析】在BCD △中，πCBD αβ∠=--．由正弦定理得sin sin BC CDBDC CBD=∠∠．所以sin sin sin sin()CD BDC s BC CBD βαβ∠==∠+·． 在ABC Rt △中，tan sin tan sin()s AB BC ACB θβαβ=∠=+·．18．（本小题满分12分）如图，AB C D ，，，为空间四点．在ABC △中，2AB AC BC ===， 等边三角形ADB 以AB 为轴运动．（Ⅰ）当平面ADB ⊥平面ABC 时，求CD ； （Ⅱ）当ADB △转动时，是否总有AB CD ⊥？证明你的结论．【解析】（Ⅰ）取AB 的中点E ，连结DE CE ，， 因为ADB 是等边三角形，所以DE AB ⊥． 当平面ADB ⊥平面ABC 时，因为平面ADB 平面ABC AB =， 所以DE ⊥平面ABC ， 可知DE CE ⊥由已知可得1DE EC ==，在DEC Rt △中，2CD =．（Ⅱ）当ADB △以AB 为轴转动时，总有AB CD ⊥． 证明：（ⅰ）当D 在平面ABC 内时，因为AC BC AD BD ==，，所以C D ，都在线段AB 的垂直平分线上，即AB CD ⊥．（ⅱ）当D 不在平面ABC 内时，由（Ⅰ）知AB DE ⊥．又因AC BC =，所以AB CE ⊥．又DE CE ，为相交直线，所以AB ⊥平面CDE ，由CD ⊂平面CDE ，得AB CD ⊥．综上所述，总有AB CD ⊥．19．（本小题满分12分）设函数2()ln(23)f x x x =++ （Ⅰ）讨论()f x 的单调性；DBACEDBCA（Ⅱ）求()f x 在区间3144⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，的最大值和最小值．【解析】()f x 的定义域为32⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，∞．（Ⅰ）224622(21)(1)()2232323x x x x f x x x x x ++++'=+==+++． 当312x -<<-时，()0f x '>；当112x -<<-时，()0f x '<；当12x >-时，()0f x '>． 从而，()f x 分别在区间312⎛⎫-- ⎪⎝⎭，，12⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，∞单调增加，在区间112⎛⎫--⎪⎝⎭，单调减少． （Ⅱ）由（Ⅰ）知()f x 在区间3144⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，的最小值为11ln 224f ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭．又31397131149lnln ln 1ln 442162167226f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=+--=+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭0<． 所以()f x 在区间3144⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，的最大值为117ln 4162f ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．20．（本小题满分12分）设有关于x 的一元二次方程2220x ax b ++=．（Ⅰ）若a 是从0123，，，四个数中任取的一个数，b 是从012，，三个数中任取的一个数， 求上述方程有实根的概率．（Ⅱ）若a 是从区间[03]，任取的一个数，b 是从区间[02]，任取的一个数， 求上述方程有实根的概率．【解析】设事件A 为“方程2220a ax b ++=有实根”．当0a >，0b >时，方程2220x ax b ++=有实根的充要条件为a b ≥．（Ⅰ）基本事件共12个：(00)(01)(02)(10)(11)(12)(20)(21)(22)(30)(31)(32)，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，．其中第一个数表示a 的取值，第二个数表示b 的取值． 事件A 中包含9个基本事件，事件A 发生的概率为93()124P A ==． （Ⅱ）试验的全部结束所构成的区域为{}()|0302a b a b ，，≤≤≤≤． 构成事件A 的区域为{}()|0302a b a b a b ，，，≤≤≤≤≥．A所以所求的概率为2132222323⨯-⨯==⨯．21．（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆2212320x y x +-+=的圆心为Q ，过点(02)P ， 且斜率为k 的直线与圆Q 相交于不同的两点A B ，． （Ⅰ）求k 的取值范围；（Ⅱ）是否存在常数k ，使得向量OA OB + 与PQ共线？如果存在，求k 值；如果不存在，请说明理由．【解析】（Ⅰ）圆的方程可写成22(6)4x y -+=，所以圆心为(60)Q ，，过(02)P ， 且斜率为k 的直线方程为2y kx =+． 代入圆方程得22(2)12320x kx x ++-+=， 整理得22(1)4(3)360k x k x ++-+=． ① 直线与圆交于两个不同的点A B ，等价于2222[4(3)]436(1)4(86)0k k k k ∆=--⨯+=-->，解得304k -<<，即k 的取值范围为304⎛⎫- ⎪⎝⎭，． （Ⅱ）设1122()()A x y B x y ，，，，则1212()OA OB x x y y +=++，，由方程①，1224(3)1k x x k -+=-+ ②又1212()4y y k x x +=++． ③而(02)(60)(62)P Q PQ =-，，，，，．所以OA OB + 与PQ共线等价于1212()6()x x y y +=+，将②③代入上式，解得34k =-． 由（Ⅰ）知304k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，故没有符合题意的常数k ．22．请考生在Ａ、Ｂ两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑． 22．Ａ（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲如图，已知AP 是O 的切线，P 为切点，AC 是O 的割线，与O交于B C ，两点，圆心O 在PAC ∠的内部，点M 是BC 的中点．（Ⅰ）证明AP O M ，，，四点共圆； （Ⅱ）求OAM APM ∠+∠的大小．【解析】（Ⅰ）证明：连结OP OM ，．因为AP 与O 相切于点P ，所以OP AP ⊥． 因为M 是O 的弦BC 的中点，所以OM BC ⊥．于是180OPA OMA ∠+∠=°．由圆心O 在PAC ∠的内部，可知四边形APOM 的对角互补，所以AP O M ，，，四点共圆． （Ⅱ）解：由（Ⅰ）得AP O M ，，，四点共圆，所以OAM OPM ∠=∠． 由（Ⅰ）得OP AP ⊥．由圆心O 在PAC ∠的内部，可知90OPM APM ∠+∠=°． 所以90OAM APM ∠+∠=°．22．Ｂ（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程1O 和2O 的极坐标方程分别为4cos 4sin ρθρθ==-，．（Ⅰ）把1O 和2O 的极坐标方程化为直角坐标方程； （Ⅱ）求经过1O ，2O 交点的直线的直角坐标方程．【解析】以有点为原点，极轴为x 轴正半轴，建立平面直角坐标系，两坐标系中取相同的长度单位． （Ⅰ）cos x ρθ=，sin y ρθ=，由4cos ρθ=得24cos ρρθ=．所以224x y x +=．即2240x y x +-=为1O 的直角坐标方程． 同理2240x y y ++=为2O 的直角坐标方程．（Ⅱ）由22224040x y x x y y ⎧+-=⎪⎨++=⎪⎩ 解得1100x y =⎧⎨=⎩，，2222x y =⎧⎨=-⎩． 即1O ，2O 交于点(00)，和(22)-，． 过交点的直线的直角坐标方程为y x =-．A。