西交计算方法总结
西南交大数值计算
西南交⼤数值计算1.秦九韶算法利⽤秦九韶算法简化求多项式1110n n n n x a x a y x a a --=++++ 的值的运算式，并写程序计算多项式42352x y x x =--+在1x =-点处的值。
1.2秦九韶算法简化多项式计算多项式1110n n n n x a x a y x a a --=++++ 的值：1.直接计算i i x a ，逐项相加，共需要加法和乘法的次数为n 次、2)1(+n n 次； 2.⽤秦九韶算法简化，则y=(…0121)...))(a x a x a x a x a n n n +++++--，从内到外逐步计算⼀次多项式的值，共需要加法和乘法的次数各为n 次。
2.⽜顿法及基于⽜顿算法下的Steffensen 加速法分别⽤⽜顿法，及基于⽜顿算法下的Steffensen 加速法(1) 求ln(x +sin x )=0的根。
初值x0分别取0.1, 1,1.5, 2, 4进⾏计算。
(2) 求sin x =0的根。
初值x0分别取1，1.4，1.6, 1.8，3进⾏计算。
分析其中遇到的现象与问题。
2.1 问题分析⽜顿法是⼀种迭代法，是求⽅程根的重要⽅法之⼀，通过使⽤函数f(x)在近似根0x 附近的⼀阶泰勒多项式近似表⽰来寻找⽅程的根，在⽅程f(x) = 0的单根附近具有平⽅收敛。
其迭代公式为：)()(1k k k k x f x f x x '-=+ Steffensen 加速法公式：)()()(x f x f x x '-=? )(n n x y ?= )(n n y z ?=nn n n n n n x y z x y x x +---=+2)(212.2求ln(x+sinx)=0的根 2.2.1⽜顿法kk k k k k k x x x x x x x sin cos 1)sin ln(1+++-=+2.2.2 Steffensen 加速法 2.2.3 结果及分析初值⽜顿法结果（循环次数） Steffensen 加速法结果（循环次数）0.1 0.5109734294（7） -2.118746196 0.2 0.5109734294（6） 0.5109734294（5） 0.5 0.5109734294（4）0.5109734294（3） 1 0.5109734294（6）0.5109734294（5）1.5 溢出 1.5 2 溢出 2 4溢出4（误差限为20-e ）2.3求sinx=0的根 2.3.1 ⽜顿法kkk k x x x x cos sin 1-=+ 2.3.2 Steffensen 加速法 2.3.3 结果及分析初值⽜顿法结果（循环次数） Steffensen 加速法结果（循环次数）1 溢出 01.43.1415926535898（7） -3.141592651（4）1.6 31.4159265358965（8） 25.13274123（6） 1.8 6.28318530141765（4） 6.283185307（3） 33.14159265330048（3） 3.141592654（3）3.数值积分（1）实际验证梯形求积公式、Simpson 求积公式、Newton-Cotes 求积公式的代数精度。
计算方法第7章／《数值分析》／清华大学／上海交通大学／西安交通大学
Euler-Maclaurin 公式
å ò Tn - I =
k
c2 j [ f (2 j-1) (b) - f (2 j-1) (a)]h2 j +
b a
P2k ( x) f (2k ) (x)dx
j =1
8
å c2 j
=
(-1)
j +1
1
(2p )2
j
¥ k =1
1 k2j
，|
P2k (x) |£ c2k h2k
同上
ò RS =
b f (4) (x ) (x - a)(x - c)2 (x - b)dx a 4!
=- b - a (b - a )4 f (4) (h) 180 2
5
复化公式及误差分析
由上述误差表达式可知，区间越小，绝对误差越小，复化梯形公式：
将积分区间
n
等分，节点是
xi
=
a
+ ih, h
=
值公式
pn (xk ) = f (xk ) = yk
利用 Lagrange 插
1
å Õ pn (x) =
nn
(
k=0 j=0 j¹k
x xk
- xj - xj
)yk
¬ 做代换 x = a + th,t
=
x-a
å Õ n n t - j
=
(
k =0
j=0
k
-
j )yk
h
j¹k
以 pn (x) 代 f (x) 得
k -1
<e
停止
输出 Tk(k )
»
I
。否则 h
Ü
h 2
西安交大计算方法A考点总结【1-9章】
x* xk 0
计算方法 A 知识点总结 仅供参考[2014 级化机]
矩阵收敛的充要条件是 lim
k
A* Ak 0
lim Bk 0 谱半径 B 1
k
2、迭代法的一般格式 3、雅克比迭代
xk 1 Bxk g （注：B 是个对角元素均为 0 的方阵）
i 1 n bi aij xjk 1 aij xjk ） j 1 j i
SOR 迭代格式（加松弛因子 w） ： xi 变形为 xSOR
k 1 k 1 1 xk xG S
k 1
xik rik 1 / aii
改进平方根法：A=LU=LDLT 比平方根法多了 5、追赶法（三对角方程组） 本质是三对角矩阵的 LU 分解。 6、向量范数
x
非负性；齐性；三角不等式。
x1 x
2
元素绝对值之和； 元素平方和的平方根； 元素绝对值的最大值；
x
7、矩阵范数
A
非负性；齐性；三角不等式；相容性。
A1 A2
列范数（第 1 到第 n 列元素绝对值之和的最大值） 谱范数（ AT A 的特征值的最大值的平方根） 行范数（第 1 行到第 n 行元素绝对值之和之和的最大值）
Dxk 1 1 Dxk Exk 1 Fxk b
1）迭代法收敛的充分条件：迭代矩阵 B 的范数 2）迭代法收敛的充要条件： lim B
k k
B 1
0 谱半径 B 1
3）超松弛迭代法收敛的必要条件是： 0 2
计算方法 A 知识点总结 仅供参考[2014 级化机]
第一章 1、误差的来源与分类：模型误差、观测误差、截断误差、舍入误差。 2、准确到 n 位小数：
西安交通大学算法上机实验报告
《计算机算法设计与分析》上机实验报告姓名：班级：学号：日期：2016年12月23日算法实现题3-14 最少费用购物问题★问题描述：商店中每种商品都有标价。
例如，一朵花的价格是2元，一个花瓶的价格是5元。
为了吸引顾客，商店提供了一组优惠商品价。
优惠商品是把一种或多种商品分成一组，并降价销售。
例如，3朵花的价格不是6元而是5元。
2个花瓶加1朵花的优惠价格是10元。
试设计一个算法，计算出某一顾客所购商品应付的最少费用。
★算法设计：对于给定欲购商品的价格和数量，以及优惠价格，计算所购商品应付的最少费用。
★数据输入：由文件input.txt提供欲购商品数据。
文件的第1行中有1个整数B（0≤B≤5），表示所购商品种类数。
在接下来的B行中，每行有3个数C,K和P。
C表示商品的编码（每种商品有唯一编码），1≤C≤999；K表示购买该种商品总数，1≤K≤5；P是该种商品的正常单价（每件商品的价格），1≤P≤999。
请注意，一次最多可购买5*5=25件商品。
由文件offer.txt提供优惠商品价数据。
文件的第1行中有1个整数S（0≤S≤99），表示共有S种优惠商品组合。
接下来的S行，每行的第1个数描述优惠商品组合中商品的种类数j。
接着是j个数字对（C，K），其中C是商品编码，1≤C≤999；K表示该种商品在此组合中的数量，1≤K≤5。
每行最后一个数字P （1≤P≤9999）表示此商品组合的优惠价。
★结果输出：将计算出的所购商品应付的最少费用输出到文件output.txt。
输入文件示例输出文件示例Input.txt offer.txt output.txt2 2 147 3 2 1 7 3 58 2 5 2 7 1 8 2 10解：设cost（a，b，c，d，e）表示购买商品组合（a，b，c，d，e）需要的最少费用。
A[k]，B[k]，C[k]，D[k]，E[k]表示第k种优惠方案的商品组合。
offer （m）是第m种优惠方案的价格。
西安交通大学计算方法B进度表
周次
内容
备注
2
第一章绪论
第二章§1 Gauss消去法（1）
9.8
3
§1 Gauss消去法（2），
§2矩阵分解
9.15
4
§3解的可靠性，§4迭代法（1）
§4迭代法（2）
9.22Байду номын сангаас
5
第三章§1多项式插值（1），Lagrange，Newton插值
§1多项式插值（2）余项
9.29
6
§2分段插值（1）
10.6
7
§3最小二乘近似（1）
§3最小二乘近似（2）
10.13
8
第四章§1内插求积（1）：Cotes公式、复化求积、
§1内插求积（2）：待定系数法、§2 Romberg方法
10.20
9
§3自适应积分，§4 Gauss型求积公式（1）
§4 Gauss型求积公式（1）
10.27
10
§5数值微分
第五章§1一元方程迭代法
11.3
11
§2收敛性问题
§3非线性方程组
11.10
12
第六章§1初值问题（1）Eular法，多步法
§1初值问题（2）性态与稳定性
11.17
13
§1初值问题（3）误差、预估-校正法
§1初值问题（4）Runge-Kutta方法
11.24
14
第六章§2边值问题
第七章§1最优化问题
12.1
15
§2无约束优化方法
§3约束优化方法简解
12.8
注：1.讲课进度根据具体情况可能略有调整。
2.课堂教学54学时，上机另行安排。
西安交大计算方法上机报告
从而得到计算的公式：
j 1, 2,..., n 1 j 1 j l i1 i 2,3,..., n i1 11 i 1 lik ukj j i , i 1,..., n, i 2,3,.., n ij ij k 1 i 1 1 l ( lkt ti ) k i 1,..., n, i 2,3,.., n ki ki t 1 ii
计算方法 上机实习题目报告
班级：材料 s3076 班 姓名：丁明帅 学号：3113305029
1：计算 S
100000
k 1
1 ,要求误差小于 106 ,给出实现算法。 k2
【实现思路】
设当 k 值为 i 时 S-Si<10-6,则只需要
S Si
100000 1
k i
1
2
1 l32 ln 2 1 ln 3 1
4 / 46
12 22
1n 2 n
nn
因此有
1 j 2 j 0 jj 0 0
ij li1
li 2
li ,i -1
根据定义知道 L 矩阵的斜对角线上的值都为 1，且 L 矩阵的第一行与原矩阵 A 的第一行 相同，因此可以根据公式先计算 U 的第一行，然后计算 L 的第一列；以后的第 i 步先计算 U 的第 i 行， 然后计算 L 的第 i 列 （U 的第 n 行不作计算） 。 然后把最后的 U 的第 n 行计算出来。
【算法依据】
列主元高斯消元法的过程可以将方程组系数简化为系数矩阵与 b 矩阵， 从而利用方程组 对系数扩展矩阵进行消元。 在消元的过程中矩阵的行向量之间可以变换， 但列向量不能变化。 在进行压缩矩阵的求解中还需要人为的将因调整行向量所导致的列向量的变化调整回来。 Matlab 对于矩阵的处理非常容易，结合 for 循环语句可以实验本题大规模方程组的求解。
西安交大线代复习提纲
《线性代数》复习提纲第一部分：基本要求（计算方面）四阶行列式的计算；N阶特殊行列式的计算（如有行和、列和相等）；矩阵的运算（包括加、减、数乘、乘法、转置、逆等的混合运算）；求矩阵的秩、逆（两种方法）；解矩阵方程；含参数的线性方程组解的情况的讨论；齐次、非齐次线性方程组的求解（包括唯一、无穷多解）；讨论一个向量能否用和向量组线性表示；讨论或证明向量组的相关性；求向量组的极大无关组，并将多余向量用极大无关组线性表示；将无关组正交化、单位化；求方阵的特征值和特征向量；讨论方阵能否对角化，如能，要能写出相似变换的矩阵及对角阵；通过正交相似变换（正交矩阵）将对称矩阵对角化；写出二次型的矩阵，并将二次型标准化，写出变换矩阵；判定二次型或对称矩阵的正定性。
第二部分：基本知识一、行列式1．行列式的定义用n^2个元素aij组成的记号称为n阶行列式。
（1）它表示所有可能的取自不同行不同列的n个元素乘积的代数和；（2）展开式共有n!项，其中符号正负各半；2．行列式的计算一阶|α|=α行列式，二、三阶行列式有对角线法则；N阶（n>=3）行列式的计算：降阶法定理：n阶行列式的值等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积的和。
方法：选取比较简单的一行（列），保保留一个非零元素，其余元素化为0，利用定理展开降阶。
特殊情况上、下三角形行列式、对角形行列式的值等于主对角线上元素的乘积；（2）行列式值为0的几种情况：Ⅰ行列式某行（列）元素全为0；Ⅱ行列式某行（列）的对应元素相同；Ⅲ行列式某行（列）的元素对应成比例；Ⅳ奇数阶的反对称行列式。
二．矩阵1．矩阵的基本概念（表示符号、一些特殊矩阵――如单位矩阵、对角、对称矩阵等）；2．矩阵的运算（1）加减、数乘、乘法运算的条件、结果；（2）关于乘法的几个结论：①矩阵乘法一般不满足交换律（若AB＝BA，称A、B是可交换矩阵）；②矩阵乘法一般不满足消去律、零因式不存在；③若A、B为同阶方阵，则|AB|=|A|*|B|；④|kA|=k^n|A|3．矩阵的秩（1）定义非零子式的最大阶数称为矩阵的秩；（2）秩的求法一般不用定义求，而用下面结论：矩阵的初等变换不改变矩阵的秩；阶梯形矩阵的秩等于非零行的个数（每行的第一个非零元所在列，从此元开始往下全为0的矩阵称为行阶梯阵）。
西安交通大学《计算方法》课件-第六章
当f (t , y)在区域a t b c y d 中连续 ,且对变量y
满足Lipschitz条件 :对t [a, b] , y1 , y2 [c, d ] , 都有
f (t , y1 ) f (t , y2 ) L y1 y2 (6-2)
其中L为常数 则初值问题(6-1)的解存在且唯一
y(t ) f (t , y (t ))确定了函数y (t )在平面 上的方向场
yi 1 yi hf (ti , yi )是y(ti 1 )的一个近似,即由(ti , yi )到(ti 1 , yi 1 )的 直线段局部近似代替了由(ti , y(ti ))到(ti 1 , y(ti 1 ))的曲线
( 3)可以看出后退Euler方法比Euler方法的结果更好一些
显式方法:由yi直接计算yi 1的算法 隐式方法:不能直接由yi直接计算yi 1,而需要从方程中求解yi 1的算法
第6章 常微分方程数值解法 6.1 常微分方程初值问题的数值方法 6.1.2 多步法
对于微分方程 y f ( t , y( t ))
条件下是
h h2 (b a) y( ) O(h), a b y (i ) 2 i 1 2
N
若初值问题(6-1)通过某一种数值方法得到yN ,则最终误差 E ( y(b), h) y(b) - yN
称为总体截断误差 简记为 EN
第6章 常微分方程数值解法 6.1 常微分方程初值问题的数值方法 6.1.1 Euler方法及其变形
令t0 0, y0 1 yi 1 yi h( yi 2sin ti )进行计算,得到数值解.
程序演示
第6章 常微分方程数值解法
例.用Euler法求解初值问题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1
t
l
1 lt
2
由于1
d1
,有
x
1
l
x fl( x) 1 1t
x
2
第1章 绪论
例.为了使计算y 10 3 4 6 的乘除法次数尽可
x -1 x -12 x -13
能少,应该式如何计算:_______
例.在浮点数系下,计算x2 16x 1 0的两个根,应如何 计算才能使精度较高？
例: 设x ( x1 , x2 , x3 )T ,则 x1 2x2 3x3 是否是范数, x1 2x2 3x3 是否是范数
条件数:当输入数据具有 x的误差,引起问题的结果误差为 f (x) 则cond( f ) sup f (x) x
5.方法的稳定性
数值稳定:若初始误差导致最终解的误差能被有效地控制 数值不稳定:若初始误差导致最终解的误差不能被有效地控制
6.算法 由有限个无二义性法则组成的一个计算过程
算法的特点,描述
第2章 线性代数方程组
1
-
1
1
2
例:矩阵A= 1
3
01
,则A1 _______, A ___, A ___
1
1 4
0 0 1
P36, P37
2 1
例:
若矩阵A
1
2
a
可以分解为GGT的形式,
其中G为下三角阵,
a 1
且对角元均为正,问a的取值范围,并请按此要求将此a分解
第2章 线性代数方程组
3
6
8,
1 6 ,19601 6930
3 8
8,
1
19601 6930
8
第1章 绪论
例.证明在浮点数系F ( ,t, L,U )中,浮点数的相对误差
(x) x - fl(x) 满足 (x) 1 1-t
x
2
设x
(d1
d2
2
d3
3
d t 1
t1
)
l,
若d t 1
1 2
其中1 d1 ,0 d j ( j 2,3,...)
列主元Gauss消去法 :消去的时间复杂度o(n3),回代 : o(n2 )
LU分解:L : 单位下三角阵,U : 上三角阵,时间复杂度o(n3)
LDU分解:L : 单位下三角阵, D : 对角阵,U : 单位上三角阵,时间复杂度o( GG分解:针对对称正定矩阵,o(n3 / 6),加n个开方运算
带状矩阵分解:三对角阵分解,追赶法
第2章 线性代数方程组
范数:定义,性质.向量与矩阵范数的相容性,等价性
方程组的条件数:m cond(A) A A-1
(1)当右端向量有扰动b
x x* A A1
b
x*
b
(2)当系数矩阵有扰动A
x* x%
x% A
Cond(A)
x*
x* A
(3)当系数矩阵有扰动A, 右端向量有扰动b
计算方法总结
目录
第1章 绪论 第2章 线性代数方程组 第3章 数据近似 第4章 数值微积分 第5章 非线性方程求解 第6章 常微分方程数值解法 第7章 最优化方法简介
(误差分析基础)
(基本工具)
(计算方法应用)
第1章 绪论
1.误差:近似值与真正值之差
分为模型误差、数据误差、截断误差、舍入误差
fl
(
x y
)
(1
-
3
)(
x y
)
浮点运算的注意事项
(1)避免产生大结果的运算，尤其是避免小数作为除数 参加运算；
(2)避免“大”“小”数相加减； (3)避免相近数相减，防止大量有效数字损失； (4)尽可能简化运算步骤，减少运算次数。
第1章 绪论
4.问题的性态:问题的解对原始数据扰动的敏感性
病态问题:数据相对小的扰动引起解的相对大的变化 良态问题:数据相对小的扰动不会引起解的相对大的变化
x x%
k
x
A 1 k
b b
A A
A
其中k cond (A) A1 A
第2章 线性代数方程组
迭代算法:构造x(k1) Gx(k) d,判断收敛
Jacobi:G d
D -1 ( E D1b
F
)
I
D1
A
Gauss-Seidel:G d
(D (D
E)-1 F E)1b
收敛性判定定理 TH2.6 G 1,则迭代格式收敛 TH2.7 A为严格对角占优, Jacobi格式收敛 TH2.8 A为严格对角占优,Gauss - Seidel格式收敛 TH2.9 A对称正定,Gauss - Seidel收敛; 2D - A对称正定, Jacobi收敛 TH2.10 迭代格式x(k1) Gx(k) d收敛的充要条件为(G) 1 TH2.11 迭代格式的误差估计
有fl( x)
(d1
d2
2
d3
3
dt
t
) l
此时x
fl( x)
d t 1
t1
l
1 2
1
t
l
1 lt
2
由于1
d1
,有x
1
l
x fl( x) 1 1t
x
2
第1章 绪论
同理，
若d t 1
1 2
有fl( x)
(d1
d2
2
d3
3
dt
t
1)
l
x
fl( x)
dt1 t1
l
1 2
2.数制表示
实数x可以表示以下形式的 进制t位有效数字
x
( d1
d2
2
L
dt
t
)
பைடு நூலகம்
l
,1
d1
,0
d
j
,
j 2,3,L ,t
有效数字: 指一个近似数的有意义的数字的位数 若 x 0.d1d2 L dt L 10l , x% 0.d1d2 L d%t 10l , 如果 x x% 0.510lt ,则称x%有t位有效数字
例.对于函数f (x)在某个区间上连续可微,则求f (x)的近似条件数
第2章 线性代数方程组
Gauss解法
线性方程组解法
数值解法
列主元Gauss解法 矩阵分解法:LU分解, LDU分解,
GG分解, 追赶法
迭代解法
Jacobi迭代法 Gauss-Seidel迭代法
Gauss消去法 :消去的时间复杂度o(n3),回代 : o(n2 )
数系:表示为F ( ,t, L,U ), 个数:2( 1) t1(U L 1) 1
上溢:l U
下溢:l L
第1章 绪论
3.舍入误差:对数进行舍入，得到有t位尾数的浮点数 fl( x)
相对舍入误差: (x) x fl(x)
x
(x) 1 1t
2
性质 : fl(x y) (1-1)(x y) fl(xy) (1-2)(xy)
第1章 绪论
例.x 2.718281828, x1 2.71828325,则x1的有 6 位有效位数 若fl(x) 2.71828225,则有7位有效位数
例.在F(10,5, -2,3)中有多少个数?
3
例.下列各式均与
33+
8 8
等价,在浮点数系F(10,5,-10,10)中
哪个公式能获得最准确的结果:(17-6 8)3, 1 , (17+6 8)3