2019_2020学年新教材高中数学第5章三角函数5.4.1正弦函数、余弦函数的图象讲义新人教A版必修第一册
5.4.1 正弦函数、余弦函数的图象(课件)高一数学(人教A版2019必修第一册) (2)
图象向左平移
2
2
个单位长度而得到, 所以, 将正弦函数的图象向左平移
个单位长度, 就得到余弦函数的图象.
余弦函数y=cosx(x ∈R)的图象
sin(
x+ 2
)= cosx
y
余弦曲线 正弦曲线
x
-2
-
o
2
3
2
3
4
2
余弦函数的图象可以通过将正弦曲线向左
平行移动/2个单位长度而得到
足够多的点T ( x0 ,sin x0 ), 将这些点用光滑的曲线连接起来 , 可得到比
较精确的函数y sin x , x [0, 2 ]的图象(图5.4 3)
2
3
5
6
2
3
6
7
6
y
1
2
4
3
3
2
5
3
y=sinx ( x ∈ [0, 2 ] )
●
1
●
0
6
7 4 3 5 11
【变式 2】
求函数 f(x)＝lg sin x＋ 16－x2的定义域.
sin x>0，
解析：由题意，得 x 满足不等式组
2
16－x ≥0，
－4≤x≤4，
即
作出 y＝sin x 的图象，如图所示.
sin x>0，
结合图象可得：x∈[－4，－π)∪(0，π).
【变式3】若函数f(x)＝sin x－2m－1，x∈[0,2π]有两个零点，求m的取值范围.
图．这种近似的“五点（画图〉法”是非常实用的．
正弦函数的“五点画图法”
2019-2020学年新教材高中数学第五章三角函数5.5.1.4二倍角的正弦余弦正切公式
(4)原式＝
2sin20°
2sin40°·cos40°·cos80° 2sin80°·cos80°
＝
4sin20°
＝ 8sin20°
sin160° 1 ＝8sin20°＝8.
(1)记住公式的推导过程及公式特征以便于应用． (2)与公式不符，但是适当变形后就可套用公式的，要先变形化简再求值．
[针对训练] 1．求下列各式的值．
( ) ( ) 12
5 120
－
－
因此，sin2α＝2sinαcosα＝2× 13 × 13 ＝169.
故选 D.
[答案] D
2．cos275°＋cos215°＋cos75°cos15°的值等于( )
635
3
A. 2 B.2 C.4 D．1＋ 4
[解析] 原式＝sin215°＋cos215°＋sin15°cos15°
[针对训练] 3．化简：(1) 1＋sin20°＋ 1－sin20°；
1＋sin4α＋cos4α (2)1＋sin4α－cos4α. [解] (1)原式＝ sin210°＋cos210°＋2sin10°cos10°＋
sin210°＋cos210°－2sin10°cos10°
＝ sin10°＋cos10°2＋ sin10°－cos10°2 ＝|sin10°＋cos10°|＋|sin10°－cos10°|
[答案] B
π
π
2．sin412－cos4 12等于( )
1
31 3
A．－2 B．－ 2 C.2 D. 2
( )( ) π
π
π
π
sin2 ＋cos2 sin2 －cos2
[解析] 原式＝ 12
12
12
2019_2020学年新教材高中数学第5章三角函数-两角和与差的正弦、余弦公式讲义新人教A版必修第一册
第2课时 两角和与差的正弦、余弦公式学 习 目标核 心 素 养1.掌握两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式及两角和与差的正弦公式． 2．会用两角和与差的正弦、余弦公式进行简单的三角函数的求值、化简、计算等． 3．熟悉两角和与差的正弦、余弦公式的灵活运用，了解公式的正用、逆用以及角的变换的常用方法.1.借助公式的推导过程，培养数学运算素养．2. 通过公式的灵活运用，提升逻辑推理素养.1．两角和与差的余弦公式 名称 简记符号 公式使用条件两角差的余弦公式 C (α－β)cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_βα，β∈R两角和的余弦公式C (α＋β) cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_βα，β∈R名称 简记符号 公式使用条件两角和的正弦S (α＋β)sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_βα，β∈R两角差的正弦 S (α－β) sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_βα，β∈Ry ＝a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋θ)(a ，b 不同时为0)，其中cos θ＝a a 2＋b 2，sinθ＝b a 2＋b 2.1．cos 57°cos 3°－sin 57°sin 3°的值为( ) A ．0 B.12 C.32D ．cos 54°B [原式＝cos(57°＋3°)＝cos 60°＝12.]2．sin 245°sin 125°＋sin 155°sin 35°的值是( ) A ．－32B ．－12C.12D.32B [∵sin 245°＝sin(155°＋90°)＝cos 155°， sin 125°＝sin(90°＋35°)＝cos 35°，∴原式＝cos 155°cos 35°＋sin 155°sin 35°＝cos(155°－35°)＝cos 120°＝－12.] 3．若cos α＝－35，α是第三象限的角，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝______. －210 [∵cos α＝－35，α是第三象限的角， ∴sin α＝－1－cos 2α＝－45，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝22sin α－22cos α＝22×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45－22×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝－210.],给角求值问题【例1】 (1)cos70°sin 50°－cos 200°sin 40°的值为( )A ．－32 B ．－12 C.12 D.32(2)若θ是第二象限角且sin θ＝513，则cos(θ＋60°)＝________.(3)求值：(tan 10°－3)cos 10°sin 50°.(1)D (2)－12＋5326 [(1)∵cos 200°＝cos(180°＋20°)＝－cos 20°＝－sin70°，sin 40°＝cos 50°，∴原式＝cos 70°sin 50°－(－sin 70°)cos 50° ＝sin(50°＋70°)＝sin 120°＝32.(2)∵θ是第二象限角且sin θ＝513，∴cos θ＝－1－sin 2θ＝－1213，∴cos(θ＋60°)＝12cos θ－32sin θ＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1213－32×513＝－12＋5326.] (3)[解] 原式＝(tan 10°－tan 60°)cos 10°sin 50°＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 10°cos 10°－sin 60°cos 60°cos 10°sin 50°＝sin (－50°)cos 10°cos 60°·cos 10°sin 50°＝－2.]解决给角求值问题的策略(1)对于非特殊角的三角函数式求值问题，一定要本着先整体后局部的基本原则，如果整体符合三角公式的形式，则整体变形，否则进行各局部的变形．(2)一般途径有将非特殊角化为特殊角的和或差的形式，化为正负相消的项并消项求值，化分子、分母形式进行约分，解题时要逆用或变用公式．提醒：在逆用两角的和与差的正弦和余弦公式时，首先要注意结构是否符合公式特点，其次注意角是否满足要求．1．化简求值：(1)sin 50°－sin 20°cos 30°cos 20°；(2)sin(θ＋75°)＋cos(θ＋45°)－3cos(θ＋15°)． [解] (1)原式＝sin (20°＋30°)－sin 20°cos 30°cos 20°＝sin 20°cos 30°＋cos 20°sin 30°－sin 20°cos 30°cos 20°＝cos 20°sin 30°cos 20°＝sin 30°＝12.(2)设α＝θ＋15°，则原式＝sin(α＋60°)＋cos(α＋30°)－3cos α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin α＋32cos α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos α－12sin α－3cos α＝0.给值求值、求角问题【例2】 (1)已知P ，Q 是圆心在坐标原点O 的单位圆上的两点，且分别位于第一象限和第四象限，点P 的横坐标为45，点Q 的横坐标为513，则cos∠POQ ＝________.(2)已知cos α＝55，sin(α－β)＝1010，且α，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2.求：①cos(2α－β)的值；②β的值．[思路点拨] (1)先由任意角三角函数的定义求∠xOP 和∠xOQ 的正弦、余弦值，再依据∠POQ ＝∠xOP ＋∠xOQ 及两角和的余弦公式求值．(2)先求sin α，cos(α－β)，依据2α－β＝α＋(α－β)求cos(2α－β)．依据β＝α－(α－β)求cos β再求β.(1)5665 [由题意可得，cos∠xOP ＝45， 所以sin∠xOP ＝35.再根据cos∠xOQ ＝513，可得sin∠xOQ ＝－1213，所以cos∠POQ ＝cos(∠xOP ＋∠xOQ )＝cos∠xOP ·cos∠xOQ －sin∠xOP ·sin∠xOQ ＝45×513－35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1213＝5665.] (2)[解] ①因为α，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以α－β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，又sin(α－β)＝1010＞0，所以0＜α－β＜π2，所以sin α＝1－cos 2α＝255，cos(α－β)＝1－sin 2(α－β)＝31010，cos(2α－β)＝cos[α＋(α－β)]＝cos αcos(α－β)－sin αsin(α－β) ＝55×31010－255×1010＝210. ②cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝55×31010＋255×1010＝22， 又因为β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以β＝π4.给值求值问题的解题策略在解决此类题目时，一定要注意已知角与所求角之间的关系，恰当地运用拆角、拼角技巧，同时分析角之间的关系，利用角的代换化异角为同角，具体做法是：(1)当条件中有两角时，一般把“所求角”表示为已知两角的和或差. (2)当已知角有一个时，可利用诱导公式把所求角转化为已知角.2．已知锐角α，β满足cos α＝255，sin(α－β)＝－35，求sin β的值．[解] 因为α，β是锐角，即0＜α＜π2，0＜β＜π2，所以－π2＜α－β＜π2，因为sin(α－β)＝－35＜0，所以cos(α－β)＝45，因为cos α＝255，所以sin α＝55，所以sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)＝55×45＋255×35＝255. 辅助角公式的应用[探究问题]1．能否将函数y ＝sin x ＋cos x (x ∈R )化为y ＝A sin(x ＋φ)的形式⎝ ⎛⎭⎪⎫|φ|∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2？提示：能．y ＝sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4.2．如何推导a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫tan φ＝b a 公式． 提示：a sin x ＋b cos x＝a 2＋b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫a a 2＋b 2sin x ＋b a 2＋b 2cos x ，令cos φ＝a a 2＋b2，sin φ＝b a 2＋b 2，则a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2(sin x cos φ＋cos x sin φ)＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)(其中φ角所在象限由a ，b 的符号确定，φ角的值由tan φ＝ba确定，或由sin φ＝ba 2＋b2和cos φ＝a a 2＋b 2共同确定)．【例3】 (1)sin π12－3cos π12＝________.(2)已知f (x )＝3sin x －cos x ，求函数f (x )的周期，值域，单调递增区间．[思路点拨] 解答此类问题的关键是巧妙构建公式C (α－β)、C (α＋β)、S (α－β)、S (α＋β)的右侧，逆用公式化成一个角的一种三角函数值．(1)－2 [原式＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin π12－32cos π12.法一：(化正弦)原式＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π3sin π12－sin π3cos π12＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π12cos π3－cos π12sin π3＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π12－π3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝－ 2. 法二：(化余弦)原式＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π6sin π12－cos π6cos π12＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π6cos π12－sin π6sin π12＝－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋π12＝－2cos π4＝－ 2.](2)[解] f (x )＝3sin x －cos x＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x ·32－cos x ·12 ＝2⎝⎛⎭⎪⎫sin x cos π6－cos x sin π6 ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6， ∴T ＝2πω＝2π，值域[－2,2]．由－π2＋2k π≤x －π6≤π2＋2k π，得递增区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3＋2k π，2π3＋2k π，k ∈Z .1．若将例3(2)中函数改为f (x )＝－sin x ＋3cos x ，其他条件不变如何解答？ [解] f (x )＝－sin x ＋3cos x ＝232cos x －12sin x ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6，∴T ＝2π，值域为[－2,2]，由－π＋2k π≤x ＋π6≤2k π，得递增区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－7π6＋2k π，－π6＋2k π，k ∈Z .2．若将例3(2)中函数改为f (x )＝m sin x ＋m cos x ，其中m ＞0，其他条件不变，应如何解答？[解] f (x )＝m sin x ＋m cos x ＝2m sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4，∴T ＝2π，值域为[－2m ，2m ]，由－π2＋2k π≤x ＋π4≤π2＋2k π，得递增区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π4＋2k π，π4＋2k π，k ∈Z .辅助角公式及其运用(1)公式形式：公式a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2sin (α＋φ)(或a sin α＋b cos α＝a 2＋b2cos (α－φ))将形如a sin α＋b cos α(a ，b 不同时为零)的三角函数式收缩为同一个角的一种三角函数式.(2)形式选择：化为正弦还是余弦，要看具体条件而定，一般要求变形后角α的系数为正，这样更有利于研究函数的性质.提醒：在使用辅助角公式时常因把辅助角求错而致误.1．两角和与差公式可以看成是诱导公式的推广，诱导公式可以看成两角和差公式的特例，例如：sin ⎝⎛⎭⎪⎫3π2－α＝sin 3π2·cos α－cos 3π2sin α＝－cos α.2．使用和差公式时不仅要会正用，还要能够逆用公式，如化简sin βcos(α＋β)－cosβsin(α＋β)时，不要将cos(α＋β)和sin(α＋β)展开，而应采用整体思想，作如下变形：sin βcos(α＋β)－cos βsin(α＋β)＝sin[β－(α＋β)]＝sin(－α)＝－sin α. 3．运用和差公式求值、化简、证明时要注意灵活进行三角变换，有效地沟通条件中的角与问题结论中的角之间的联系，选用恰当的公式快捷求解．1．思考辨析(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的．( ) (2)存在α，β∈R ，使得sin(α－β)＝sin α－sin β成立．( ) (3)对于任意α，β∈R ，sin(α＋β)＝sin α＋sin β都不成立．( ) (4)sin 54°cos 24°－sin 36°sin 24°＝sin 30°.( ) [提示] (1)正确．根据公式的推导过程可得．(2)正确．当α＝45°，β＝0°时，sin(α－β)＝sin α－sin β.(3)错误．当α＝30°，β＝－30°时，sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立． (4)正确．因为sin 54°cos 24°－sin 36°sin 24° ＝sin 54°cos 24°－cos 54°sin 24°＝sin(54°－24°) ＝sin 30°，故原式正确．[答案] (1)√ (2)√ (3)× (4)√ 2．化简2cos x －6sin x 等于( )A ．22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋xB ．22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－xC ．22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x D ．22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋x D [2cos x －6sin x ＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos x －32sin x＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π3cos x －sin π3sin x＝22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋x .] 3．cos βcos(α－β)－sin βsin(α－β)＝________.cos α [cos βcos(α－β)－sin βsin(α－β)＝cos[β＋(α－β)]＝cos α.] 4．已知α，β均为锐角，sin α＝55，cos β＝1010，求α－β. [解] ∵α，β均为锐角，sin α＝55，cos β＝1010， ∴sin β＝31010，cos α＝255.∵sin α<sin β，∴α<β，∴－π2<α－β<0，∴sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β ＝55×1010－255×31010＝－22， ∴α－β＝－π4.。
5.4.1 正弦函数、余弦函数的图象(课件)高一数学(人教A版2019必修第一册)
则 = sin + 2|sin | = 3sin ；
当 ∈ [π, 2π]时，sin ≤ 0，
则 = sin + 2|sin | = −sin ，
在同一坐标系中画出 = sin + 2|sin |, ∈ [0,2π]
个．
1
与 = 2 的图象，如图所示，
可的在[0,2π]范围内两者有 4个交点．
必修第一册 第五章
三角函数
第五章 三角函数
5.4.1 正弦函数、余弦函数的图象
正弦函数、余弦函数的定义
将角的弧度视为自变量x，角的三角函数值为y，则
函数y=sin x叫做正弦函数，
弧 唯一确定
函数y=cos x叫做余弦函数，
度
二者的定义域均为R。
角
单位圆上任意一点在圆周上旋转一周就回到原来的位置:
故答案为：4．
典型例题
题型四：与三角函数有关的零点问题
【对点训练5】若函数 ( ) = 4sin −
范围是
6
+ 2, ∈ [0, ]的图象与直线 = 恰有两个不同交点，则 的取值
．
【答案】[4,6)
【解析】因为 ∈ [0, ]，所以 −
6
5
]，
6
∈ [− 6 ,
（2） = 2cos ， ∈ 0,2 ．
【解析】（1）按五个关键点列表：
0
π
2
π
3π
2
2π
sin
0
1
0
−1
0
1 + sin
1
2
1
0
1
描点，并将这些点依次连成一条光滑曲线，即得所求图象，如图，
5.4.1正弦函数、余弦函数的图象课件-2023-2024学年高一上学期版
(3 ,0)
2
2
y
1
(2 ,1)
O π
-1
2
2π x
2
知识梳理
1.正弦函数的图象叫做正弦曲线.
函数
y＝sin x，x∈R
图象
y＝cos x，x∈R
[例 1] 如图，利用几何作图法作出正弦函数图象时，当 坐标为_(_34_π_，__2_2_)．
x0
取34π时，T
点
分析：根据正弦函数的定义以及 sin 34π＝ 22得出结论．
问题3 绘制函数图象，首先要准确绘制其上一点，对于正弦函数，我 们在[0,2π]上任取一个角的值x0，如何利用正弦函数的定义，确定正弦 函数值sin x0，并画出点T(x0, sin x0)？
P
sin x0
x0
H
T(x0, sin x0)
x0
问题4 我们已经学会绘制函数图象上的点，接下来，如何画函数y＝ sin x，x∈[0,2π]的图象？你能想到什么方法？
sin(x±2π) =sin x，cos(x±2π) =cos x
来表示.这说明，自变量每增加（减少） 2π，正弦函数值、余弦函数值将重复
出现.
y
P(x,y)
y =sin x，x∈[0,2π]
α O
A(1,0) x
y =sin x，x∈R
利用这一特性，就可以简化正弦函数、余弦函数的图象与性质的研究过程.
(2)点 M(53π，m)在函数 y＝sin x 的图象上，则 m 等于_－___2_3___．
解析：(2)m＝sin
53π＝－
3 2.
“五点(画图)法”
画作正弦函数的图
02
内容索引 一、正弦函数、余弦函数图象的初步认识 二、“五点(画图)法”画函数的图象 三、正弦函数、余弦函数图象的应用 随堂演练 课时对点练Biblioteka 正弦函数、余弦函01
新教材高中数学第5章三角函数5.4.1正弦函数余弦函数的图象课件
正弦函数、余弦函数的图象
课标定位
素养阐释
1.了解利用三角函数的定义画正弦曲线的方法.
2.能用“五点法”画正弦函数和余弦函数的图象.
3.理解正弦曲线与余弦曲线之间的联系.
4.体会直观想象的过程,加强直观想象能力和逻
辑推理能力的培养.
自主预习·新知导学
合作探究·释疑解惑
易 错 辨 析
随 堂 练 习
【问题思考】
1.在确定正弦函数的图象时,哪些点是关键点?
提示:作 y=sin x,x∈[0,2π]的图象时,所取的关键点是(0,0),
, ,(π,0),
,- 和(2π,0).
2.“五点法”作正弦函数图象的一般步骤是什么?
提示:列表⇒描点⇒连线.
3.利用五点法作正弦函数图象的关键是什么?
(2)y=2+cos x,x∈[0,2π].
分析:在区间[0,2π]上找出五个关键点,用光滑的曲线连接即可.
解:(1)列表:
x
0
sin x
1+2sin x
0
1
1
3
在平面直角坐标系中描出五点(0,1),
π
0
1
-1
-1
, ,(π,1),
2π
0
1
,- ,(2π,1),
然后用光滑曲线顺次连接起来,就得到 y=1+2sin x,x∈[0,2π]的
(3)余弦函数y=cos x的图象与x轴有无数个交点.( √ )
(4)余弦函数y=cos x的图象与y=sin x的图象形状和位置都不
一样.( × )
2020_2021学年新教材高中数学第五章三角函数5.4.1正弦函数余弦函数的图象
题型二 正、余弦函数图象的简单应用 [学透用活]
[典例 2] 函数 f(x)＝sin x＋2|sin x|，x∈[0,2π]的图象与直 线 y＝k 有且仅有两个不同的交点，求 k 的取值范围．
[解] f(x)＝sin x＋2|sin x|＝－3sisninx，x，x∈x∈[0，π，π]2，π]. 图象如 图所示．
若使 f(x)的图象与直线 y＝k 有仅有两个不同的交点， 则由图象可得 k 的取值范围是(1,3)．
[方法技巧] (1)三角函数的图象是研究函数的重要工具，通过图象 可较简便地解决问题，这正是数形结合思想方法的应用． (2)判断方程解的个数，或由方程解的个数确定参数的 取值范围，可利用图象解题，当方程含有正、余弦函数时， 可借助正、余弦曲线探究问题的解法．
x
－56π －π2 0
π 2
π
7π 6
sin x
－12 －1 0
1 0 －12
12＋sin x
0
－12
1 2
31 22
0
(2)描点，并用光滑曲线连接可得其图象，如图所示：
2．利用正弦或余弦函数图象作出 y＝sinx＋32π的图象． 解：由于 y＝sinx＋32π＝|cos x|，因此只需作出 y＝|cos x| 的图象即可，而 y＝|cos x|可由 y＝cos x 将 x 轴下方的图象折 到 x 轴上方，图象如图所示：
[对点练清]
1．[解不等式]使不等式 2－2sin x≥0 成立的 x 的取值集合是
()
A.x2kπ＋π4≤x≤2kπ＋34π，k∈Z
B.x2kπ＋π4≤x≤2kπ＋74π，k∈Z
C.x2kπ－54π≤x≤2kπ＋π4，k∈Z
D.x2kπ＋54π≤x≤2kπ＋74π，k∈Z
2019_2020学年新教材高中数学第五章三角函数5.4.1正弦函数、余弦函数的图象讲义新人教A版必修第一册
5.4 三角函数的图象与性质最新课程标准：(1)借助单位圆理解三角函数(正弦、余弦、正切)的定义，能画出这些三角函数的图象，了解三角函数的周期性、单调性、奇偶性、最大(小)值．(2)借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]上，正切函数在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上的性质． 5.4.1 正弦函数、余弦函数的图象知识点 正弦曲线与余弦曲线及其画法状元随笔 1.关于正弦函数y ＝sin x 的图象(1)正弦函数y ＝sin x ，x∈[2k π，2(k ＋1)π]，k∈Z 的图象与x ∈[0,2π]上的图形一致，因为终边相同角的同名三角函数值相等．(2)正弦函数的图象向左、右无限延伸，可以由y ＝sin x ，x ∈[0,2π]图象向左右平移得到(每次平移2π个单位)．2．“几何法”和“五点法”画正、余弦函数的比较(1)“几何法”就是利用单位圆中正弦线和余弦线作出正、余弦函数图象的方法. 该方法作图较精确，但较为烦琐．(2)“五点法”是画三角函数图象的基本方法，在要求精度不高的情况下常用此法． 提醒：作图象时，函数自变量要用弧度制，自变量与函数值均为实数，因此在x 轴、y 轴上可以统一单位，这样作出的图象正规便于应用．[教材解难]1．教材P 196思考如图，在直角坐标系中画出以原点O 为圆心的单位圆，⊙O 与x 轴正半轴的交点为A (1,0)．在单位圆上，将点A 绕着点O 旋转x 0弧度至点B ，根据正弦函数的定义，点B 的纵坐标y 0＝sin x 0.由此，以x 0为横坐标，y 0为纵坐标画点，即得到函数图象上的点T (x 0，sinx 0)．2．教材P 197思考由诱导公式一可知，函数y ＝sin x ，x ∈[2k π，2(k ＋1)π]，k ∈Z 且k ≠0的图象与y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象形状完全一致．因此将函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象不断向左、向右平移(每次移动2π个单位长度)，就可以得到正弦函数y ＝sin x ，x ∈R 的图象．3．教材P 198思考在函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象上，以下五个点：(0,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1，(π，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，－1，(2π，0)4．教材P 198思考对于函数y ＝cos x ，由诱导公式cos x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2得，y ＝cos x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2，x ∈R .而函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2，x ∈R 的图象可以通过正弦函数y ＝sinx ，x ∈R 的图象向左平移π2个单位长度而得到．所以，将正弦函数的图象向左平移π2个单位长度，就得到余弦函数的图象．5．教材P 200思考能．以函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象为基础，将图象上的每一个点都向上平移一个单位长度，所得图象即函数y ＝1＋sin x ，x ∈[0,2π]的图象．能．以函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象为基础，作它关于x 轴对称的图象，所得图象即函数y ＝－cos x ，x ∈[0,2π]的图象．[基础自测]1．以下对正弦函数y ＝sin x 的图象描述不正确的是( )A ．在x ∈[2k π，2(k ＋1)π](k ∈Z )上的图象形状相同，只是位置不同B ．介于直线y ＝1与直线y ＝－1之间C ．关于x 轴对称D ．与y 轴仅有一个交点解析：画出y ＝sin x 的图象，根据图象可知A ，B ，D 三项都正确． 答案：C2．不等式sin x >0，x ∈[0,2π]的解集为( ) A ．[0，π] B ．(0，π) C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，3π2 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2解析：由y ＝sin x 在[0,2π]的图象可得． 答案：B3．下列图象中，是y ＝－sin x 在[0,2π]上的图象的是( )解析：函数y ＝－sin x 的图象与函数y ＝sin x 的图象关于x 轴对称，故选D. 答案：D4．用“五点法”作函数y ＝cos 2x ，x ∈R 的图象时，首先应描出的五个点的横坐标是________．解析：令2x ＝0，π2，π，3π2和2π，得x ＝0，π4，π2，34π，π.答案：0，π4，π2，34π，π题型一 用“五点法”作三角函数图象[教材P 199例1] 例1 画出下列函数的简图： (1)y ＝1＋sin x ，x ∈[0,2π]； (2)y ＝－cos x ，x ∈[0,2π]． 解析：(1)按五个关键点列表：(2)按五个关键点列表：用五点法作图关键先找出5个关键点，再用平滑的曲线连接．教材反思作形如y＝a sin x＋b(或y＝a cos x＋b)，x∈[0,2π]的图象的三个步骤跟踪训练1 画出函数y＝3＋2cos x的简图．解析：(1)列表，如下表所示(2)利用五点作图法画简图．题型二 正、余弦函数曲线的简单应用[经典例题] 例2 根据正弦曲线求满足sin x ≥－32在[0,2π]上的x 的取值范围． 【解析】 在同一坐标系内作出函数y ＝sin x 与y ＝－32的图象，如图所示．观察在一个闭区间[0,2π]内的情形，满足sin x ≥－32的x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，43π∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤53π，2π，所以满足sin x ≥－32在[0,2π]上的x 的范围是{x 0≤x ≤43π或5π3≤x ≤2π}.(或⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，43π∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤53π，2π)在同一坐标系内作y ＝sin x 与y ＝－32的图象，利用图象求x 的范围. 方法归纳利用三角函数图象解sin x >a (或cos x >a )的三个步骤 (1)作出直线y ＝a ，y ＝sin x (或y ＝cos x )的图象． (2)确定sin x ＝a (或cos x ＝a )的x 值．(3)确定sin x >a (或cos x >a )的解集．[注意] 解三角不等式sin x >a ，如果不限定范围时，一般先利用图象求出x ∈[0,2π]范围内x 的取值范围，然后根据终边相同角的同名三角函数值相等，写出原不等式的解集．跟踪训练2 根据余弦曲线求满足cos x ≤12的x 的取值范围．解析：作出余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象，如图所示，由图象可以得到满足条件的x 的集合为π3＋2k π，5π3＋2k π，k ∈Z .在同一坐标内作y ＝cos x 与y ＝12的图象，利用图象求x 的范围.课时作业 33 一、选择题1．下列对函数y ＝cos x 的图象描述错误的是( ) A ．在[0,2π]和[4π，6π]上的图象形状相同，只是位置不同 B ．介于直线y ＝1与直线y ＝－1之间 C ．关于x 轴对称 D ．与y 轴只有一个交点解析：观察余弦函数的图象知：y ＝cos x 关于y 轴对称，故C 错误． 答案：C2．下列各点中，不在y ＝sin x 图象上的是( )A ．(0,0) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1 C.⎝⎛⎭⎪⎫3π2，－1 D ．(π，1) 解析：y ＝sin x 图象上的点是(π，0)，而不是(π，1)． 答案：D3．点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，－m 在函数y ＝sin x 的图象上，则m 等于( ) A ．0 B ．1 C ．－1 D ．2解析：点M 在y ＝sin x 的图象上，代入得－m ＝sin π2＝1，∴m ＝－1. 答案：C4．在同一平面直角坐标系内，函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]与y ＝sin x ，x ∈[2π，4π]的图象( )A ．重合B ．形状相同，位置不同C ．关于y 轴对称D ．形状不同，位置不同解析：根据正弦曲线的作法过程，可知函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]与y ＝sin x ，x ∈[2π，4π]的图象位置不同，但形状相同．答案：B 二、填空题5．下列叙述正确的有________．(1)y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象关于点P (π，0)成中心对称； (2)y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象关于直线x ＝π成轴对称； (3)正弦、余弦函数的图象不超过直线y ＝1和y ＝－1所夹的范围．解析：分别画出函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]和y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象，由图象观察可知(1)(2)(3)均正确．答案：(1)(2)(3)6．关于三角函数的图象，有下列说法： (1)y ＝sin|x |与y ＝sin x 的图象关于y 轴对称； (2)y ＝cos(－x )与y ＝cos|x |的图象相同；(3)y ＝|sin x |与y ＝sin(－x )的图象关于x 轴对称； (4)y ＝cos x 与y ＝cos(－x )的图象关于y 轴对称． 其中正确的序号是________．解析：对(2)，y ＝cos(－x )＝cos x ，y ＝cos|x |＝cos x ，故其图象相同； 对(4)，y ＝cos(－x )＝cos x ，故其图象关于y 轴对称，由作图可知(1)(3)均不正确． 答案：(2)(4)7．直线y ＝12与函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的交点坐标是________．解析：令sin x ＝12，则x ＝2k π＋π6或x ＝2k π＋56π(k ∈Z )，又∵x ∈[0,2π]，故x＝π6或56π. 答案：⎝⎛⎭⎪⎫π6，12，⎝ ⎛⎭⎪⎫56π，12三、解答题8．利用“五点法”作出函数y ＝1－sin x (0≤x ≤2π)的简图． 解析：(1)取值列表：(2)9．根据y ＝cos x 的图象解不等式：－32≤cos x ≤12，x ∈[0,2π]． 解析：函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象如图所示：根据图象可得不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪π3≤x ≤5π6或7π6≤x ≤5π3.[尖子生题库]10．利用图象变换作出下列函数的简图： (1)y ＝1－cos x ，x ∈[0,2π]； (2)y ＝|sin x |，x ∈[0,4π]．解析：(1)首先用“五点法”作出函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的简图，再作出y ＝cos x ，x∈[0,2π]关于x轴对称的简图，即y＝－cos x，x∈[0,2π]的简图，将y＝－cos x，x∈[0,2π]的简图向上平移1个单位即可得到y＝1－cos x，x∈[0,2π]的简图，如图1所示．(2)首先用“五点法”作出函数y＝sin x，x∈ [0,4π]的简图，再将该简图在x轴下方的部分翻折到x轴的上方，即得到y＝|sin x|，x∈[0,4π]的简图，如图2所示．。
2020学年新教材高中数学第5章三角函数5.4三角函数的图象与性质5.4.2正弦函数、余弦函数的性
2019-2020学年新教材高中数学第5章三角函数5.4 三角函数的图象与性质5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质第2课时正弦函数、余弦函数的单调性与最值课后课时精练新人教A版必修第一册编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2019-2020学年新教材高中数学第5章三角函数5.4 三角函数的图象与性质5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质第2课时正弦函数、余弦函数的单调性与最值课后课时精练新人教A版必修第一册）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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第2课时正弦函数、余弦函数的单调性与最值A级:“四基”巩固训练一、选择题1．函数y＝|sin x｜＋sin x的值域为( )A．［－1,1] B．[－2，2]C．［－2，0] D．[0,2]答案D解析当sin x≥0时，2kπ≤x≤π＋2kπ,k∈Z；y＝2sin x,0≤y≤2。
当sin x<0时，2kπ＋π<x<2π＋2kπ，k∈Z，y＝0.综合可知，函数的值域为[0，2]．2．函数f（x)＝2sin错误!，x∈[－π，0］的单调递增区间是（)A.错误!B。
错误!C.错误!D。
错误!答案D解析令2kπ－错误!≤x－错误!≤2kπ＋错误!,k∈Z，解得2kπ－错误!≤x≤2kπ＋错误!，k∈Z,又－π≤x≤0，所以－错误!≤x≤0.3．下列函数中，周期为π，且在错误!上单调递减的是( )A．y＝sin错误!B．y＝cos错误!C．y＝sin错误!D．y＝cos错误!答案A解析因为函数周期为π，所以排除C，D。
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新教材高中数学第5章三角函数5.4三角函数的图象与性质5.4.2正弦函数、余弦函数的性质第2课时正弦函数、余弦函数的单调性与最值教学案新人教A版必修第一册第2课时正弦函数、余弦函数的单调性与最值(教师独具内容)课程标准：1.掌握正弦函数、余弦函数的最大值与最小值，并会求简单三角函数的值域和最值.2.掌握正弦函数、余弦函数的单调性，并能利用单调性比较大小.3.会求函数y＝A sin(ωx＋φ)及y＝A cos(ωx＋φ)的单调区间．教学重点：正弦函数、余弦函数的单调性和最值．教学难点：利用正弦函数、余弦函数的周期性来研究它们的单调性及最值.【知识导学】知识点正弦函数、余弦函数的性质【新知拓展】(1)正弦函数、余弦函数有单调区间，但都不是定义域上的单调函数，即正弦函数、余弦函数在整个定义域内不单调．(2)正弦曲线(余弦曲线)的对称轴一定过正弦曲线(余弦曲线)的最高点或最低点，即此时的正弦值(余弦值)取最大值或最小值．(3)正弦曲线(余弦曲线)的对称中心一定是正弦曲线(余弦曲线)与x轴的交点，即此时的正弦值(余弦值)为0.1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)正弦函数、余弦函数在定义域内都是单调函数．( )(2)存在x∈R满足sin x＝ 2.( )(3)在区间[0,2π]上，函数y ＝cos x 仅当x ＝0时取得最大值1.( ) 答案 (1)× (2)× (3)× 2．做一做(1)在下列区间中，函数y ＝sin x 单调递增的是( ) A ．[0，π]B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，3π2C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2D ．[π，2π](2)函数y ＝2－sin x 的最大值及取最大值时x 的值为( )A ．y max ＝3，x ＝π2B.y max ＝1，x ＝π2＋2k π(k ∈Z )C ．y max ＝3，x ＝－π2＋2k π(k ∈Z )D ．y max ＝3，x ＝π2＋2k π(k ∈Z )(3)函数y ＝13sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x (x ∈[0，π])的单调递增区间为________． 答案 (1)C (2)C (3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，π题型一 正弦函数、余弦函数的单调区间 例1 求下列函数的单调递增区间： (1)y ＝1－sin x 2；(2)y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x ＋π3；(3)y ＝log 12sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4；(4)y ＝cos2x .[解] (1)由题意可知函数y ＝sin x 2的单调递减区间即为y ＝1－sin x2的单调递增区间，由2k π＋π2≤x 2≤2k π＋3π2(k ∈Z )，得4k π＋π≤x ≤4k π＋3π(k ∈Z )，所以函数y ＝1－sin x2的单调递增区间为[4k π＋π，4k π＋3π](k ∈Z )．(2)y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x ＋π3＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3.由π2＋2k π≤2x －π3≤3π2＋2k π(k ∈Z )， 解得5π12＋k π≤x ≤11π12＋k π(k ∈Z )，故函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫－2x ＋π3的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π12＋k π，11π12＋k π(k ∈Z )．(3)由对数函数的定义域和复合函数的单调性，可知⎩⎪⎨⎪⎧sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4>0，2k π＋π2≤2x ＋π4≤2k π＋3π2(k ∈Z )，解得2k π＋π2≤2x ＋π4<2k π＋π(k ∈Z )，即k π＋π8≤x <k π＋3π8(k ∈Z )，故所求单调递增区间为⎣⎢⎡⎭⎪⎫k π＋π8，k π＋3π8(k ∈Z )．(4)函数y ＝cos2x 的单调递增区间由下面的不等式确定： 2k π－π≤2x ≤2k π，k ∈Z ，∴k π－π2≤x ≤k π，k ∈Z ，∴函数y ＝cos2x 的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π2，k π，k ∈Z . 金版点睛求正弦函数、余弦函数单调区间的技巧求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)的函数的单调区间时，若ω为负数，则要先把ω化为正数．当A >0时，把ωx ＋φ整体放入y ＝sin x 或y ＝cos x 的单调增区间内，求得的x 的范围即函数的增区间；整体放入y ＝sin x 或y ＝cos x 的单调减区间内，可求得函数的单调减区间．当A <0时，上述方法求出的区间是其单调性相反的区间． 最后，需将最终结果写成区间形式．[跟踪训练1] 求下列函数的单调区间：(1)y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π3；(2)y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2x . 解 (1)当2k π－π≤x 2＋π3≤2k π，k ∈Z 时，函数单调递增，故函数的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤4k π－8π3，4k π－2π3，k ∈Z . 当2k π≤x 2＋π3≤2k π＋π，k ∈Z 时，函数单调递减，故函数的单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤4k π－2π3，4k π＋4π3，k ∈Z . (2)y ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫π4－2x ＝－3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4，令z ＝2x －π4，则y ＝－3sin z .要取y ＝－3sin z 的增区间即取y ＝sin z 的减区间， 即2k π＋π2≤2x －π4≤2k π＋3π2(k ∈Z )，∴k π＋3π8≤x ≤k π＋7π8(k ∈Z )，∴函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫π4－2x 的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋3π8，k π＋7π8(k ∈Z )．要取y ＝－3sin z 的减区间即取y ＝sin z 的增区间， 即2k π－π2≤2x －π4≤2k π＋π2(k ∈Z )，∴k π－π8≤x ≤k π＋3π8(k ∈Z )．∴函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2x 的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π8，k π＋3π8(k ∈Z )．题型二 比较三角函数值的大小 例2 比较下列各组数的大小：(1)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π5与cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－17π4；(2)sin194°与cos160°；(3)sin1，sin2，sin3.[解] (1)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π5＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－6π＋7π5＝cos 7π5， cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－17π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－6π＋7π4＝cos 7π4，∵π<7π5<7π4<2π，∴cos 7π5<cos 7π4，即cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π5<cos ⎝⎛⎭⎪⎫－17π4. (2)sin194°＝sin(180°＋14°)＝－sin14°， cos160°＝cos(180°－20°)＝－cos20°＝－sin70°. ∵0°<14°<70°<90°，∴sin14°<sin70°. 从而－sin14°>－sin70°，即sin194°>cos160°. (3)∵1<π2<2<3<π，又sin(π－2)＝sin2，sin(π－3)＝sin3. 0<π－3<1<π－2<π2，而y ＝sin x 在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递增，∴sin(π－3)<sin1<sin(π－2)，即sin3<sin1<sin2. 金版点睛比较三角函数值大小的方法(1)比较两个同名三角函数值的大小，先利用诱导公式把两个角化为同一单调区间内的角，再利用函数的单调性比较．(2)比较两个不同名的三角函数值的大小，一般应先化为同名的三角函数，后面步骤同上．[跟踪训练2] (1)两个数cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－7π8和cos 7π6的大小关系是________；(2)按由小到大的顺序排列下列数：cos 32，sin 110，－cos 74.写在横线上为________________．答案 (1)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－7π8<cos 7π6(2)cos 32<sin 110<－cos 74解析 (1)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－7π8＝cos 7π8＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫π－π8＝－cos π8，而cos 7π6＝－cos π6，∵0<π8<π6<π2，∴cos π8>cos π6，∴－cos π8<－cos π6，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－7π8<cos 7π6. (2)sin 110＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－110≈cos1.47， －cos 74＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－74≈cos1.39，而y ＝cos x 在[0，π]上单调递减， ∴cos1.5<cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－110<cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－74，即cos 32<sin 110<－cos 74.题型三 正弦函数、余弦函数的最值问题 例3 求下列函数的值域：(1)y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2；(2)y ＝cos 2x －4cos x ＋5.[解] (1)由y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，可得x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3，函数y ＝cos x 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3上单调递减，所以函数的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，32. (2)令t ＝cos x ，则－1≤t ≤1. ∴y ＝t 2－4t ＋5＝(t －2)2＋1， ∴当t ＝－1时，y 取得最大值10， 当t ＝1时，y 取得最小值2.所以y ＝cos 2x －4cos x ＋5的值域为[2,10]．[条件探究] (1)将本例(1)改为y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，再求值域；(2)若将本例(1)改为y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，值域又如何？解 (1)y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6，∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3，由余弦函数的图象及其单调性可知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1. ∴所求函数的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1.(2)y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3，由正弦函数的图象及其单调性可知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1，∴所求函数的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1.金版点睛三角函数最值问题的三种常见类型及求解方法(1)形如y ＝a sin x (或y ＝a cos x )型，可利用正弦函数，余弦函数的有界性，注意对a 正负的讨论．(2)形如y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (或y ＝A cos(ωx ＋φ)＋b )型，可先由定义域求得ωx ＋φ的范围，然后求得sin(ωx ＋φ)(或cos(ωx ＋φ))的范围，最后求得最值．(3)形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c (a ≠0)型，可利用换元思想，设t ＝sin x ，转化为二次函数y ＝at 2＋bt ＋c 求最值．t 的范围需要根据定义域来确定．附：形如y ＝A sin x ＋BC sin x ＋D 或y ＝A cos x ＋B C cos x ＋D(A 2＋C 2≠0)的最大值最小值可解出sin x 或cos x 后利用其有界性来求．[跟踪训练3] (1)已知函数f (x )＝2a sin x ＋b 的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3，函数的最大值为1，最小值为－5，求a 和b 的值；(2)求函数y ＝cos 2x －sin x 在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上的最大值和最小值．解 (1)因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3，所以sin x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1. ⎩⎪⎨⎪⎧2a ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＋b ＝－5，2a ＋b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝－5，2a ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＋b ＝1，解得⎩⎨⎧a ＝12－63，b ＝－23＋123或⎩⎨⎧a ＝－12＋63，b ＝19－12 3.(2)y ＝cos 2x －sin x ＝1－sin 2x －sin x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x ＋122＋54.因为－π4≤x ≤π4，－22≤sin x ≤22， 所以当x ＝－π6，即sin x ＝－12时，函数取得最大值，y max ＝54；当x ＝π4，即sin x ＝22时，函数取得最小值，y min ＝12－22.1．函数y ＝sin 2x ＋sin x －1的值域为( ) A ．[－1,1]B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－54，－1C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－54，1D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，54答案 C解析 y ＝sin 2x ＋sin x －1＝⎝⎛⎭⎪⎫sin x ＋122－54，当sin x ＝－12时，y min ＝－54；当sin x ＝1时，y max ＝1，故选C.2．下列关系式中正确的是( ) A ．sin11°<cos10°<sin168° B ．sin168°<sin11°<cos10° C ．sin11°<sin168°<cos10° D ．sin168°<cos10°<sin11°答案 C解析 ∵sin168°＝sin(180°－12°)＝sin12°，cos10°＝sin(90°－10°)＝sin80°，由函数y ＝sin x 的单调性，得sin11°<sin12°<sin80°，即sin11°<sin168°<cos10°.3．函数y ＝|sin x |的一个单调递增区间是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，π4 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4C.⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2D.⎝⎛⎭⎪⎫3π2，2π 答案 C解析 由y ＝|sin x |的图象，易得函数y ＝|sin x |的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π，k π＋π2，k∈Z .当k ＝1时，得⎝⎛⎭⎪⎫π，3π2为函数y ＝|sin x |的一个单调递增区间．4．函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6≤x ≤π6的值域是________． 答案 [0,2]解析 ∵－π6≤x ≤π6，∴0≤2x ＋π3≤2π3，∴0≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3≤1，∴y ∈[0,2]． 5．若f (x )＝2sin ωx (0<ω<1)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上的最大值为2，求ω的值．解 由题意可知f (x )＝2sin ωx (0<ω<1)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上单调递增且2sin π3ω＝2，即sin π3ω＝22，所以有π3ω＝2k π＋π4(k ∈Z )，即ω＝6k ＋34(k ∈Z )，因为0<ω<1，所以ω＝34.。
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5.4.1 正弦函数、余弦函数的图象
1．正弦曲线
正弦函数y ＝sin x ，x ∈R 的图象叫正弦曲线．
2．正弦函数图象的画法 (1)几何法：
①利用单位圆画出y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象； ②将图象向左、右平行移动(每次2π个单位长度)． (2)五点法：
①画出正弦曲线在[0,2π
]上的图象的五个关键点(0,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1，(π，0)，⎝ ⎛⎭
⎪⎫3π2，－1，
(2π，0)，用光滑的曲线连接；
②将所得图象向左、右平行移动(每次2π个单位长度)． 3．余弦曲线
余弦函数y ＝cos x ，x ∈R 的图象叫余弦曲线．
4．余弦函数图象的画法
(1)要得到y ＝cos x 的图象，只需把y ＝sin x 的图象向左平移π
2个单位长度即可．
(2)用“五点法”画余弦曲线y ＝cos x 在[0,2π]上的图象时，所取的五个关键点分别为
(0,1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0，(π，－1)，⎝ ⎛⎭
⎪
⎫3π2，0，(2π，1)，再用光滑的曲线连接．
思考：y ＝cos x (x ∈R )的图象可由y ＝sin x (x ∈R )的图象平移得到的原因是什么？ 提示：因为cos x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2，所以y ＝sin x (x ∈R )的图象向左平移π2个单位可得y ＝
cos x (x ∈R )的图象．
1．用五点法画y ＝3sin x ，x ∈[0,2π]的图象时，下列哪个点不是关键点( ) A.⎝
⎛⎭
⎪⎫π6，32
B.⎝
⎛⎭
⎪⎫π2，3
C ．(π，0)
D ．(2π，0)
A [五个关键点的横坐标依次是0，π2，π，3π
2，2π.]
2．函数y ＝cos x 与函数y ＝－cos x 的图象( ) A ．关于直线x ＝1对称 B ．关于原点对称 C ．关于x 轴对称
D ．关于y 轴对称
C [由解析式可知y ＝cos x 的图象过点(a ，b )，则y ＝－cos x 的图象必过点(a ，－b )，由此推断两个函数的图象关于x 轴对称．]
3．请补充完整下面用“五点法”作出y ＝－sin x (0≤x ≤2π)的图象时的列表．
π 0 1 [用“五点法”作y ＝－sin x (0≤x ≤2π)的图象的五个关键点为(0,0)，
⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，－1，(π，0)，⎝ ⎛⎭
⎪⎫3π2，1，(2π，0)故①为π，②为0，③为1.] 4．函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象与直线y ＝－1
2的交点有________个．
2 [由图象可知：函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象与直线y ＝－1
2
有两个交点．]
正弦函数、余弦函数图象的初步认识
【例1】 (1)下列叙述正确的是( )
①y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象关于点P (π，0)成中心对称； ②y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象关于直线x ＝π成轴对称； ③正、余弦函数的图象不超过直线y ＝1和y ＝－1所夹的范围． A ．0 B ．1个 C ．2个 D ．3个
(2)函数y ＝sin|x |的图象是( )
(1)D (2)B [(1)分别画出函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]和y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象，由图象(略)观察可知①②③均正确．
(2)y ＝sin|x |＝⎩
⎪⎨
⎪⎧
sin x ，x ≥0，－sin x ，x ＜0，
结合选项可知选B.]
1．解决正、余弦函数的图象问题，关键是要正确的画出正、余弦曲线．
2．正、余弦曲线的形状相同，只是在坐标系中的位置不同，可以通过相互平移得到． 3．正、余弦曲线的对称性
1．关于三角函数的图象，有下列说法：
①y ＝sin x ＋1.1的图象与x 轴有无限多个公共点； ②y ＝cos(－x )与y ＝cos |x |的图象相同；
③y ＝|sin x |与y ＝sin(－x )的图象关于x 轴对称； ④y ＝cos x 与y ＝cos(－x )的图象关于y 轴对称． 其中正确的序号是________．。