2017湘教版九年级数学下册2.2.2《圆周角(第2课时)》课件
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湘教版数学九年级下册 2.2.2 圆周角 课件 (共18张PPT)
探究新知
在四边形 ABCD 中，两组对角∠A 与∠C，∠B
与∠D 有什么关系？
D
A
连接 OB，OD，
∵ ∠A 所对的弧为BCD ， ∠C 所对的弧为BAD，
又 BCD与BAD所对的圆心角之和是周角，
∴ ∠A + ∠C = × 360°= 180°
O
B
C
知识要点
由此可得到以下结论：
圆内接四边形的对角互补．
＝ × 180°= 90°.
探究新知
如图，A，B，C为圆周上三点，若已知∠C=90°，它
所对的弦AB是不是直径？
C
因为圆周角∠ACB所对弧上的圆心
角是∠AOB， ∠ACB =90º，利用圆
周角定理，求可以求出∠AOB
=180º ．所以弦AB经过圆心O ．
A
O
B
知识要点
直径所对的圆周角是直角；
又∠ABC = 60°，
∴ ∠C = 30°.
又∵ ∠ADB与∠C都是AB所对的圆周角，
∴ ∠ADB =∠C = 30°.
当堂练习
1.如图，⊙O的直径AB=10cm,弦AC为6cm,∠ACB的平分线交⊙0于D,求
BC,AD,BD的长
解 ∵ AB为直径，
∴ ∠ACB =∠ADB=90°.
又CD平分∠ACB
第二章 圆
2.2.2 圆周角2
复习导入
圆周角定理
圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半．
即∠ = ∠ .
A
A
A
O
O
O
C
C
B
B
B
C
在同圆（或等圆）中，同弧或等弧所对的圆周角相等；
(新)湘教版九年级数学下册2.2《圆心角、圆周角》课件(共3课时)
P P B P O A B
O A
探究点二 圆周角定理
如图是一个圆柱形的海洋馆的横截面示意图,人们可以通 过其中的圆弧形玻璃窗观看窗内的海洋动物,同学甲站在 圆心O的位置，同学乙站在正对着玻璃窗的靠墙的位置C，
他们的视角(∠AOB和∠ACB)有什么关系?如果同学丙、丁
分别站在其他靠墙的位置D和E，他们的视角（ ∠ADB和 ∠AEB）和同学乙的视角相同吗？
E
D
C
解ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
CD DE BC
BOC=COD=DOE=35
B
A
O
·
AOE 180 3 35
75
例3：如图，已知AB、CD为圆O的两条弦，
.求证:AB＝CD. AD BC
C B O D A
， 证明： AD BC = BC BD ， AD BD ， 即 AB CD AB=CD
O
.
顶点在圆上 两边都与圆相交
A
B
这样的角叫圆周角.
首页
圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边与圆相交的 角叫做圆周角. 下列各图中的∠APB是否是圆周角? 哪圆你 A P A 几心认 P A O 种的为 O o(p) 类位圆 B B B 型置周 A A A ？关角 O 系相 P B O O P B 有对 B
⌒
⌒
5.如图，BC为⊙O的直径，OA是⊙O的半径，弦
⌒ ⌒ BE∥OA,求证：AC=AE.
C
A
O
E
B
课堂小结
同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条 弦中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也 相等．
O A
探究点二 圆周角定理
如图是一个圆柱形的海洋馆的横截面示意图,人们可以通 过其中的圆弧形玻璃窗观看窗内的海洋动物,同学甲站在 圆心O的位置，同学乙站在正对着玻璃窗的靠墙的位置C，
他们的视角(∠AOB和∠ACB)有什么关系?如果同学丙、丁
分别站在其他靠墙的位置D和E，他们的视角（ ∠ADB和 ∠AEB）和同学乙的视角相同吗？
E
D
C
解ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
CD DE BC
BOC=COD=DOE=35
B
A
O
·
AOE 180 3 35
75
例3：如图，已知AB、CD为圆O的两条弦，
.求证:AB＝CD. AD BC
C B O D A
， 证明： AD BC = BC BD ， AD BD ， 即 AB CD AB=CD
O
.
顶点在圆上 两边都与圆相交
A
B
这样的角叫圆周角.
首页
圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边与圆相交的 角叫做圆周角. 下列各图中的∠APB是否是圆周角? 哪圆你 A P A 几心认 P A O 种的为 O o(p) 类位圆 B B B 型置周 A A A ？关角 O 系相 P B O O P B 有对 B
⌒
⌒
5.如图，BC为⊙O的直径，OA是⊙O的半径，弦
⌒ ⌒ BE∥OA,求证：AC=AE.
C
A
O
E
B
课堂小结
同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条 弦中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也 相等．
【最新】湘教版九年级数学下册第二章《圆心角、圆周角(第2课时)》精品课件.ppt
证明：∵∠ABC和∠APC 都是A⌒C所对的圆周角。
∴∠ABC=∠APC=60°
A P
· O
C
(同弧所对的圆周角相等） B
同理，∵∴∠∠BBAACC和=∠∠CCPPBB=都60是°⌒。B所C 对的圆周角，
∴△ABC等边三角形。
做一做
船在航行过程中,船长常常通过测定角度来确定是否 会遇到暗礁.如图所示,A,B表示灯塔,暗礁分布在经 过A,B两点的一个圆形区域内,C表示一个危险临界点 ∠ACB就是“危险角”,当船与两个灯塔的夹角大于 “危险角”时,就有可能触礁.
同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。
2、圆周角定理的推论2： 半圆（或直径）所对的圆周角是直角；用于找相等的
角 90°的圆周角所对的弦是直径。
用用于于判判断断某某个
圆条周线角是是否否过是 圆直心角
例1 已知：如图，在△ABC中，AB=AC,
以AB为直径的圆交BC于D,交AC于E, 求证：B⌒D=D⌒E
2
A
A
A
C
C
C●O●OFra bibliotek●OB
B B
n老师提示:圆周角定理是承上启下的知识点,要予以重视.
问题讨论
问题1、如图1,在⊙O中,∠B,∠D,∠E的大小有什么关
系?为什么?
∠B = ∠D= ∠E
问题2.如图2,在⊙O中,若弧AB等于弧EF.能否
得到∠C =∠G呢？ ∠C =∠G
D
B E
●O
A
C G
O
A
C
图1
(1)当船与两个灯塔的夹角∠α大于 “危险角”时,船位于哪个区域?为什 C 么(2)?当船与两个灯塔的夹角∠α小 于“危险角”时,船位于哪个区域? 为什么?
湘教版九年级数学下2.2.2圆周角(第2课时)课件
C
O
B
AC
D
问题1、如图，在⊙O中,∠B、∠D、∠E的
大小有什么关系?为什么? ∠B= 21∠AOC ∠D= 21∠AOC ∠E= 21∠AOC ∠B=∠D=∠E
B
A
·O
E C
同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；
反之，相等的圆周角所对的弧也相等。
问题2、如图，BC是⊙O的直径，A是⊙O上任一点，
1、在同圆和等圆中，相等的弧所对的圆周角相 推论： 等；相等的圆周角所对的弧相等。
2、直径或半圆所对的圆周角是直角；90º的圆周 角的所对的弦是直径。
二、体现的数学思想：由特殊到一般和分类讨论的思想。
三、方法思考：1、证明题的思路寻找方法； 2、等积式的证明方法； 3、添辅助线的方法。
（2）AC = BC，∠CAB = ∠ABC = ∠D，
∠ACE =∠BCE =∠DAB （3）BC2 = AC2 = CE ·CD，AD2
=
DE
A
·DC
BE2 = AE2 = DE ·CE
O
EB D
一、知识点：
圆周角
顶点在圆上 两边都和圆相交
圆周角性 一条弧所对的圆周角，等于该弧所对的圆心角 质定理 的一半。
A
· B ∴AD=BD=√22AB=5√2cm
D
3.如图，你能设法确定一个圆形纸片的 圆心吗？你有多少种方法？与同学交流一下．
4、在⊙O中，∠CBD=30° ,∠BDC=20°,求
∠A A
∠BAC=∠BDC
A ∠BOD=100
∠DAC=∠DBC ·O ∠A=∠BAC+∠DAC
·O ° ∠A=50°
B
D =∠BDC+∠DBC B
第2课时 圆周角定理推论2及圆内接四边形-九年级数学下册教材配套教学课件(湘教版)
O
为圆内接四边形.
这个圆叫作这个四边形的外接圆.
D
C
M
探究性质
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
∠ A+ ∠ C=180º，
1)当ABCD为矩形时，∠A与∠C, ∠B与∠D之间的关系∠B+∠D=180º.
(2)当ABCD为一般四边形时，猜想：∠A与∠C, ∠B与∠D之间的关系 为 ∠A+∠C=180º，∠B+∠D=180º.
证一证
证明1：连结BE
A
∵AE是⊙O的直径
∴∠ABE＝900 ∵AD⊥BC
∴∠ADC＝900
O
B
D
C
∴∠ABE＝∠ADC＝900
E
∵∠E＝∠C
∴∆ABE∽∆ADC AB AE AB AC AE AD
AD AC
8、如图，AD是△ABC的高，AE是△ABC的外接圆直径．
求证：AB·AC＝AE·AD．
证明2：连结CE
A
∵AE是⊙O的直径
∴∠ACE＝900 ∵AD⊥BC
∴∠ADB＝900
O
B
D
C
∴∠ADB＝∠ACE＝900
E
∵∠B＝∠E
∴∆ADB∽∆ACE
AB AD AE AC
AB AC AE AD
4 课堂小结
圆周角定理推论2 直径（半圆）所对圆周角等于直角（900） 900的圆周角所的弦是直径，所对的弧是半圆
圆内接四边形的性质 ①圆内接四边形的对角互补. ②圆内接四边形的一外角等于它的内对角.
证明：圆内接四边形的对角互补. 已知，如图，四边形ABCD为☉O的内接四边形，☉O为四边形ABCD的 外接圆. 求证∠BAD+∠BCD=180°.
初三下数学课件(湘教版)-圆心角、圆周角(第二课时)
(3)如图，圆周角∠ABC 的两边 AB、AC 在一条直径 OD 的同侧，
那么∠ABC＝12∠AOC 吗？请同学们独立完成证明．
从(1)、(2)、(3)，我们可以总结归纳出圆周角定理：在同圆或 等圆中，同弧等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆 心角一半．
进一步，我们还可以得到下面的推导． 半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦 是直径． 圆内接四边形的对角互补．
3．教师利用几何画板演示验证学生的猜想和结论．
4．引导学生进行推理证明“同弧所对的圆周角的度数没有变 化，并且它的度数恰好等于这条弧所对的圆心角的度数的一半 ．”
(1)设圆周角∠ABC的一边BC是⊙O的直径，如图所示．
(2)如图，圆周角∠ABC 的两边 AB、AC 在一条直径 OD 的两侧， 那么∠ABC＝12∠AOC 吗？请同学们独立完成这道题的说明过程．
四、点点对接
【例1】如图OA、OB、OC都是⊙O的半径，∠AOB＝50° ，∠BOC＝70°，求∠ACB和∠BAC的度数．
︵ 【解】圆心角∠AOB 与圆周角∠ACB 所对的弧为AB. ∴∠ACB＝12∠AOB＝25° 同理，∠BAC＝12∠BOC＝35°.
【例2】如图，BC是⊙O的直径，∠ABC＝60°，点D在⊙O
上，求∠ADB的度数．
【解】∵BC是直径
∴∠BAC＝90°
又∠ABC＝60°
∴∠C＝30°
︵
又∵∠ADB 与∠C 都是AB所对的圆周角
∴∠ADB＝∠C＝30°.
【 例 3 】 四 边 形 ABCD 为 ⊙O 的 内 接 四 边 形 ， 已 知 ∠BOD ＝ 100°，求∠BAD与∠BCD的度数．
︵ 【解】圆心角∠BOD 与圆周角∠BAD 所对的弧为AD，∠BOD＝100°
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一、知识点： 圆周角 顶点在圆上 两边都和圆相交
圆周角性 一条弧所对的圆周角，等于该弧所对的圆心角 质定理 的一半。 1、在同圆和等圆中，相等的弧所对的圆周角相 推论：等；相等的圆周角所对的弧相等。 2、直径或半圆所对的圆周角是直角；90º 的圆周 角的所对的弦是直径。 二、体现的数学思想： 由特殊到一般和分类讨论的思想。 三、方法思考：1、证明题的思路寻找方法；
D
3.如图，你能设法确定一个圆形纸片的 圆心吗？你有多少种方法？与同学交流一下．
4、在⊙O中，∠CBD=30° ,∠BDC=20°,求 ∠BAC=∠BDC A ∠BOD=100 ∠A A ∠DAC=∠DBC ° ∠ A=50 ° O O ∠ A= ∠ BAC+ ∠ DAC · · D =∠BDC+∠DBC D B B C =30°+20°=50° C 5、已知：如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直 ⌒ ⌒ 径的圆交BC于D，交AC于E，求证：BD=DE A 证明：连结AD. ∵AB是圆的直径 ∴∠ADB=90°， ∴AD⊥BC ∵AB=AC， ∴AD平分∠BAC，即∠BAD=∠CAD， B D ∴⌒ ⌒ （同圆或等圆中，相等的圆周角所 BD= DE 对弧相等）。
湘教版SHUXUE九年级下
本节内容
2.2.2
1、圆周角定义。 顶点在圆上,并且两边都和圆相交的角叫圆周角. 特征：① 角的顶点在圆上. ② 角的两边都与圆相交. 2、圆周角定理及其定理应用。 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 1.如图，在⊙O中，∠BAC=32º ， 64º 。 则∠BOC=________ 2、如图，⊙O中，∠ACB = 115º ， 则∠AOB=______ 130º。
EHale Waihona Puke C⌒ 1.如图1， ⊙O中，弦AB、CD相交于⊙O外点P，且 ⌒ AC、BD度数分别为80°和20°，则如何求∠APC的度 A A 数？ C P
D O A B P
B O C D
图2 图1 图3 2、如图2，A、B、C、D是⊙O上的四个点，且 ∠BCD=100°，求∠BOD和∠BAD的大小。 3、如图3，⊙O经过△ABC的三个顶点，P是圆上一点， ∠APC=∠CPB=60°。求证：△ABC是等边三角形。 4、半径为R的圆中，有一弦分圆周成1:2两部分， 则弦所对的圆周角的度数是 60°或 。 120°
A O C A B
O
B C
D
问题1、如图，在⊙O中,∠B、∠D、∠E的 B 大小有什么关系?为什么? 1 1 1 ∠B= 2∠AOC ∠D= 2∠AOC ∠E= 2∠AOC
O ·
E
∠B=∠D=∠E 同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等； 反之，相等的圆周角所对的弧也相等。 问题2、如图，BC是⊙O的直径，A是⊙O上任一点， A 你能确定∠BAC的度数吗? 1 ∠BOC=180º ∠BAC= 2∠BOC=90º O C B · 问题3、如图，圆周角∠BAC =90º ， 弦BC经过圆心O吗？为什么？ 直径（或半圆）所对的圆周角是直角； 90°的圆周角所对的弦是直径。
B
· O
C
5. 如图在圆O中,弦AB与CD相交于点M. C ⑴∠ACD与∠ABD相等吗?为什么? ∠ACD=∠ABD(同弧所对的圆周角相等.) A ⑵ ∠CAB与∠CDB相等吗?为什么? ∠CAB=∠CDB(同弧所对的圆周角相等.) ⑶ △ACM与△DBM相似吗?为什么? 由(1)、(2)得：△ACM∽△DBM
M
B D
· O
6、如图，AD是△ABC的高，过△ABC的三个顶点作 ⊙O，AE是⊙O直径。 A 求证：AB · AC = AE · AD O 可证△ADC∽ △ABE 或△ACE∽ △ADB
B E D C
1、如图，点A、B、C在⊙O上，点D在圆外，CD、 BD分别交⊙O于E、F，比较∠BAC与∠BDC的大小， D A 并说明理由。 F 连结CF， ∠BFC是△CDF的一个外角。 E ∴∠BFC>∠BDC，又∠BAC=∠BFC O · ∴∠BAC>∠BDC， C B 也可连结FC，证法相同 2、如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD C 于E，那么你能得到什么结论？ （1）AE = BE，AC = BC，AD = BD O （2）AC = BC，∠CAB = ∠ABC = ∠D， ∠ACE =∠BCE =∠DAB B A E （3）BC2 = AC2 = CE ·CD，AD2 = DE ·DC D BE2 = AE2 = DE ·CE
2、等积式的证明方法；
3、添辅助线的方法。
A
C
1、如图，点A、B、C、D在同一个圆上，四边形的对 角线把４个内角分成８个角，这些角中哪些是相等的角？ ∠2=∠7 ∠1=∠4 ∠3=∠6 ∠5=∠8
A 1 87
2
D
· 6 2、如图，⊙O直径AB为10cm，弦AC为 34 5 C 6cm，∠ACB的平分线交⊙O于D，求BC、 B AD、BD的长．∵AB是直径，∴ ∠ACB= ∠ADB=90°． C 在Rt△ABC中，由勾股定理BC=8cm ∵CD平分∠ACB，∠ACD= ∠BCD O A · B ∴AD=BD=√2 2 AB=5√2cm