陕西省西安市西工大附中2015届高考数学模拟试卷(文科)(5月份)

陕西省西安市西工大附中2015届高考数学模拟试卷（文科）（5月份）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）若复数z满足z（1+i）=1﹣i（i是虚数单位），则z的共轭复数的虚部是（）A．﹣i B．﹣1 C．i D．12．（5分）若x∈R，那么是正数的充要条件是（）A．x＞0 B．x＜﹣1 C．x＞0或x＜﹣1 D．﹣1＜x＜03．（5分）某工厂生产A，B，C三种不同型号的产品，产品数量之比依次为2：3：5．现用分层抽样方法抽出一个容量为n的样本，样本中A型号产品有16件，则此样本的容量为（）A．40 B．80 C．160 D．3204．（5分）已知tanθ=2，则sin2θ+sinθcosθ﹣2cos2θ=（）A．﹣B．C．﹣D．5．（5分）直线x=t（t＞0）与函数f（x）=x2+1，g（x）=lnx的图象分别交于A、B两点，当|AB|最小时，t值是（）A．1B．C．D．6．（5分）在同一平面直角坐标系中，函数y=g（x）的图象与y=e x的图象关于直线y=x对称．而函数y=f（x）的图象与y=g（x）的图象关于y轴对称，若f（m）=﹣1，则m的值是（）A．﹣e B．C．e D．7．（5分）某品牌香水瓶的三视图如图（单位：cm），则该几何体的表面积为（）A．（95﹣）cm2B．（94﹣）cm2C．（94+）cm2D．（95+）cm2 8．（5分）设x，y满足约束条件，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的值是最大值为12，则的最小值为（）A．B．C．D．49．（5分）甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为a，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b，其中a，b∈{1，2，3，4，5，6}，若|a﹣b|≤1，就称甲乙“心有灵犀”．现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为（）A．B．C．D．10．（5分）函数f（x）是定义域为R的可导函数，且对任意实数x都有f（x）=f（2﹣x）成立．若当x≠1时，不等式（x﹣1）•f′（x）＜0成立，设a=f（0.5），，c=f（3），则a，b，c的大小关系是（）A．b＞a＞c B．a＞b＞c C．c＞b＞a D．a＞c＞b11．（5分）已知I为△ABC所在平面上的一点，且AB=c，AC=b，BC=a．若a+b+c=，则I一定是△ABC的（）A．垂心B．内心C．外心D．重心12．（5分）已知双曲线的顶点与焦点分别是椭圆+=1（a＞b＞0）的焦点与顶点，若双曲线的两条渐近线与椭圆的交点构成的四边形恰为正方形，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）已知圆x2+y2﹣6x﹣7=0与抛物线y2=2px（p＞0）的准线相切，则此抛物线的焦点坐标是．14．（5分）若△ABC的三个内角A，B，C满足sin2A=sin2B+sinBsinC+sin2C，则∠A=．15．（5分）如图所示的程序运行后输出的结果是．16．（5分）五位同学围成一圈依序循环报数，规定：①第一位同学首次报出的数为1．第二位同学首次报出的数也为1，之后每位同学所报出的数都是前两位同学所报出的数之和；②若报出的是3的倍数，则报该数的同学需拍手一次，当第30个数被报出时，五位同学拍手的总次数为．三、解答题：本大题共5小题，满分60分.解答须写出文字说明，证明过程和演算步骤. 17．（12分）三人独立破译同一份密码．已知三人各自破译出密码的概率分别为，且他们是否破译出密码互不影响．（Ⅰ）求恰有二人破译出密码的概率；（Ⅱ）“密码被破译”与“密码未被破译”的概率哪个大？说明理由．18．（12分）已知公差不为零的等差数列{a n}的前4项和为10，且a2，a3，a7成等比数列．（Ⅰ）求通项公式a n；（Ⅱ）设b n=2，求数列{b n}的前n项和S n．19．（12分）如图1，∠ACB=45°，BC=3，过动点A作AD⊥BC，垂足D在线段BC上且异于点B，连接AB，沿AD将△ABD折起，使∠BDC=θ，且θ∈（0，π）（如图2所示）．（Ⅰ）求证：平面ABD⊥平面BDC；（Ⅱ）若θ=90°，当BD的长为多少时，三棱锥A﹣BCD的体积最大；并求出其体积的最大值．20．（12分）如图所示，点N在圆O：x2+y2=8上，点D是N在x轴上投影，M为DN上一点，且满足=．（Ⅰ）当点N在圆O上运动时，求点M的轨迹C的方程．（Ⅱ）过F（2，0）不与坐标轴垂直的直线交曲线C于P，Q两点，线段PQ的垂直平分线交x轴于点E，试判断是否为定值？若是定值，求此定值；若不是定值，请说明理由．21．（12分）已知函数f（x）=x2﹣8lnx，g（x）=﹣x2+14x．（Ⅰ）求函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）若函数f（x）与g（x）在区间（a，a+1）上均为增函数，求a的取值范围；（Ⅲ）设x≥1，讨论曲线y=f（x）与曲线y=g（x）+m公共点的个数．四、选做题请考生在第22，23，24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分【选修4-1：几何证明选讲】22．（10分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，D是的中点，BD交AC于E．（Ⅰ）若DE=2，BE=4，试求DC的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，O到AC的距离为1，求⊙O的半径r．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．平面直角坐标系中，直线l的方程是y=，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，又曲线C的极坐标方程为ρ2cos2θ+ρ2sin2θ﹣2ρsinθ﹣3=0（Ⅰ）求直线l的极坐标方程（Ⅱ）若直线l与曲线C相交于A、B两点，求|AB|【选修4-5：不等式选讲】24．已知函数f（x）=|x﹣2|﹣|x+1|．（Ⅰ）求f（x）的最值；（Ⅱ）解不等式f（x）≥x2﹣2x．陕西省西安市西工大附中2015届高考数学模拟试卷（文科）（5月份）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）若复数z满足z（1+i）=1﹣i（i是虚数单位），则z的共轭复数的虚部是（）A．﹣i B．﹣1 C．i D．1考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数的运算法则、共轭复数的定义、虚部的定义即可得出．解答：解：∵z（1+i）=1﹣i，∴z（1+i）（1﹣i）=（1﹣i）（1﹣i），∴2z=﹣2i，∴z=﹣i．则z的共轭复数=i的虚部是1．故选：D．点评：本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义、虚部的定义，属于基础题．2．（5分）若x∈R，那么是正数的充要条件是（）A．x＞0 B．x＜﹣1 C．x＞0或x＜﹣1 D．﹣1＜x＜0考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：根据不等式的性质，构造不等式，解不等式，利用充要条件的定义进行判断．解答：解：∵＞0，即x（x+1）＞0，解得x＞0，或x＜﹣1，故那么是正数的充要条件是x＞0，或x＜﹣1，故选：C．点评：本题主要考查充要条件的判断，利用不等式的解法是解决本题的关键．3．（5分）某工厂生产A，B，C三种不同型号的产品，产品数量之比依次为2：3：5．现用分层抽样方法抽出一个容量为n的样本，样本中A型号产品有16件，则此样本的容量为（）A．40 B．80 C．160 D．320考点：分层抽样方法．专题：概率与统计．分析：根据分层抽样的定义和方法可得=，解方程求得n的值，即为所求．解答：解：根据分层抽样的定义和方法可得=，解得n=80，故选B．点评：本题主要考查分层抽样的定义和方法，各层的个体数之比等于各层对应的样本数之比，属于基础题．4．（5分）已知tanθ=2，则sin2θ+sinθcosθ﹣2cos2θ=（）A．﹣B．C．﹣D．考点：三角函数中的恒等变换应用；同角三角函数基本关系的运用．专题：计算题．分析：利用sin2θ+cos2θ=1，令原式除以sin2θ+cos2θ，从而把原式转化成关于tanθ的式子，把tanθ=2代入即可．解答：解：sin2θ+sinθcosθ﹣2cos2θ====．故选D．点评：本题主要考查了三角函数的恒等变换应用．本题利用了sin2θ+cos2θ=1巧妙的完成弦切互化．5．（5分）直线x=t（t＞0）与函数f（x）=x2+1，g（x）=lnx的图象分别交于A、B两点，当|AB|最小时，t值是（）A．1B．C．D．考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；两点间距离公式的应用．专题：压轴题．分析：将两个函数作差，得到函数y=f（x）﹣g（x），再求此函数的最小值对应的自变量x 的值．解答：解：设函数y=f（x）﹣g（x）=x2﹣lnx+1，求导数得y′=2x﹣=当0＜x＜时，y′＜0，函数在（0，）上为单调减函数，当x＞时，y′＞0，函数在（，+∞）上为单调增函数所以当x=时，所设函数的最小值为+ln2，所求t的值为．故选B．点评：可以结合两个函数的草图，发现在（0，+∞）上x2＞lnx恒成立，问题转化为求两个函数差的最小值对应的自变量x的值．6．（5分）在同一平面直角坐标系中，函数y=g（x）的图象与y=e x的图象关于直线y=x对称．而函数y=f（x）的图象与y=g（x）的图象关于y轴对称，若f（m）=﹣1，则m的值是（）A．﹣e B．C．e D．考点：函数的图象与图象变化．专题：计算题．分析：由函数y=g（x）的图象与y=e x的图象关于直线y=x对称，则y=g（x）的图象与y=e x 互为反函数，易得y=g（x）的解析式，再由函数y=f（x）的图象与y=g（x）的图象关于y轴对称，进而可以得到函数y=f（x）的解析式，由函数y=f（x）的解析式构造方程f（m）=﹣1，解方程即可求得m的值．解答：解：∵函数y=g（x）的图象与y=e x的图象关于直线y=x对称∴函数y=g（x）与y=e x互为反函数则g（x）=lnx，又由y=f（x）的图象与y=g（x）的图象关于y轴对称∴f（x）=ln（﹣x），又∵f（m）=﹣1∴ln（﹣m）=﹣1，故选B．点评：互为反函数的两个函数图象关于线y=x对称，有f（x）的图象上有（a，b）点，则（b，a）点一定在其反函数的图象上；如果两个函数图象关于X轴对称，有f（x）的图象上有（a，b）点，则（a，﹣b）点一定在函数g（x）的图象上；如果两个函数图象关于Y轴对称，有f（x）的图象上有（a，b）点，则（﹣a，b）点一定在函数g（x）的图象上；如果两个函数图象关于原点对称，有f（x）的图象上有（a，b）点，则（﹣a，﹣b）点一定在函数g（x）的图象上．7．（5分）某品牌香水瓶的三视图如图（单位：cm），则该几何体的表面积为（）A．（95﹣）cm2B．（94﹣）cm2C．（94+）cm2D．（95+）cm2考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：由三视图可知：该几何体为一个组合体：最上面为一个长方体，中间是一个圆柱，最下面是一个长方体．即可得出．解答：解：由三视图可知：该几何体为一个组合体：最上面为一个长方体，中间是一个圆柱，最下面是一个长方体．∴该几何体的表面积S=3×3×2+4×3×1++4×4×2+4×4×2﹣=94+．故选：C．点评：本题考查了一个组合体的三视图的表面积计算方法，属于基础题．8．（5分）设x，y满足约束条件，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的值是最大值为12，则的最小值为（）A．B．C．D．4考点：基本不等式；二元一次不等式（组）与平面区域．专题：不等式的解法及应用．分析：已知2a+3b=6，求的最小值，可以作出不等式的平面区域，先用乘积进而用基本不等式解答．解答：解：不等式表示的平面区域如图所示阴影部分，当直线ax+by=z（a＞0，b＞0）过直线x﹣y+2=0与直线3x﹣y﹣6=0的交点（4，6）时，目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）取得最大12，即4a+6b=12，即2a+3b=6，而=，故选A．点评：本题综合地考查了线性规划问题和由基本不等式求函数的最值问题．要求能准确地画出不等式表示的平面区域，并且能够求得目标函数的最值．9．（5分）甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为a，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b，其中a，b∈{1，2，3，4，5，6}，若|a﹣b|≤1，就称甲乙“心有灵犀”．现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为（）A．B．C．D．考点：古典概型及其概率计算公式．专题：新定义．分析：本题是一个古典概型，试验包含的所有事件是任意找两人玩这个游戏，其中满足条件的满足|a﹣b|≤1的情形包括6种，列举出所有结果，根据计数原理得到共有的事件数，根据古典概型概率公式得到结果．解答：解：由题意知本题是一个古典概型，∵试验包含的所有事件是任意找两人玩这个游戏，共有6×6=36种猜字结果，其中满足|a﹣b|≤1的有如下情形：①若a=1，则b=1，2；②若a=2，则b=1，2，3；③若a=3，则b=2，3，4；④若a=4，则b=3，4，5；⑤若a=5，则b=4，5，6；⑥若a=6，则b=5，6，总共16种，∴他们“心有灵犀”的概率为．故选D．点评：本题是古典概型问题，属于2015届高考新增内容，解本题的关键是准确的分类，得到他们“心有灵犀”的各种情形．10．（5分）函数f（x）是定义域为R的可导函数，且对任意实数x都有f（x）=f（2﹣x）成立．若当x≠1时，不等式（x﹣1）•f′（x）＜0成立，设a=f（0.5），，c=f（3），则a，b，c的大小关系是（）A．b＞a＞c B．a＞b＞c C．c＞b＞a D．a＞c＞b考点：不等关系与不等式；导数的运算．专题：不等式的解法及应用．分析：由题意可得函数f（x）的图象关于直线x=1对称，f（x）在（1，+∞）上是减函数，在（﹣∞，1）上是增函数．再由|3﹣1|＞|0.5﹣1|＞|﹣1|，故f（）＞f（0.5）＞f（3），由此得出结论．解答：解：由f（x）=f（2﹣x）可得，函数f（x）的图象关于直线x=1对称．再由（x﹣1）•f′（x）＜0成立可得，当x＞1，f′（x）＜0，故函数f（x）在（1，+∞）上是减函数；当x＜1，f′（x）＞0，故函数f（x）在（﹣∞，1）上是增函数．由于|3﹣1|＞|0.5﹣1|＞|﹣1|，故f（）＞f（0.5）＞f（3），即b＞a＞c，故选：A．点评：本题主要考查函数的对称性和单调性的应用，不等式与不等关系，属于基础题．11．（5分）已知I为△ABC所在平面上的一点，且AB=c，AC=b，BC=a．若a+b+c=，则I一定是△ABC的（）A．垂心B．内心C．外心D．重心考点：平面向量的基本定理及其意义．专题：平面向量及应用．分析：由条件利用平面向量基本定理及其几何意义，求得=•（+），故点I在∠BAC的平分线上；同理可得点I在∠BCA的平分线上；再利用三角形的内心的性质，得出结论．解答：解：由题意可得=+，=+，∴a+b+c=a+b（+）+c （+）=（a+b+c）+b•c•=．又b•c•=||•+||•=||•||•（+），∴=•（+），故AI与∠BAC的平分线共线，故点I在∠BAC的平分线上．同理可证，点I在∠BCA的平分线上，故点I为△ABC的内心，故选：B．点评：本题主要考查平面向量基本定理及其几何意义，三角形的内心的性质，属于基础题．12．（5分）已知双曲线的顶点与焦点分别是椭圆+=1（a＞b＞0）的焦点与顶点，若双曲线的两条渐近线与椭圆的交点构成的四边形恰为正方形，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．考点：椭圆的简单性质．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据双曲线的顶点与焦点分别是椭圆+=1（a＞b＞0）的焦点与顶点，确定双曲线的顶点与焦点，再根据双曲线的两条渐近线与椭圆的交点构成的四边形恰为正方形，确定双曲线的渐近线，从而求出椭圆的离心率．解答：解：∵双曲线的顶点与焦点分别是椭圆+=1（a＞b＞0）的焦点与顶点，∴双曲线的顶点是（0，±），焦点是（0，±a），设双曲线方程为（m＞0，n＞0），∴双曲线的渐近线方程为y=±x，∵m=，n2=a2﹣m2=b2，∴n=b，∵双曲线的两条渐近线与椭圆的交点构成的四边形恰为正方形，∴双曲线的渐近线方程为y=±x，∴m=n，∴a2﹣b2=b2，∴c2=a2﹣c2，∴a2=2c2，∴a= c∴e==．故选：C．点评：本题以椭圆方程为载体，考查双曲线的几何性质，考查椭圆的离心率，正确运用几何量的关系是解题的关键．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）已知圆x2+y2﹣6x﹣7=0与抛物线y2=2px（p＞0）的准线相切，则此抛物线的焦点坐标是（1，0）．考点：抛物线的简单性质；圆的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：先根据抛物线y2=2px （p＞0）表示出准线方程，然后根据抛物线y2=2px（p＞0）的准线与圆x2+y2﹣6x﹣7=0相切，可以得到圆心到准线的距离等于半径从而得到p的值，则抛物线的焦点坐标可得．解答：解：圆方程：x2+y2﹣6x﹣7=0化为：（x﹣3）2+y2=16，垂直于x轴的切线为：x=﹣1，x=7．抛物线y2=2px（p＞0）的准线方程为x=﹣，因为抛物线y2=2px（p＞0）的准线与圆（x﹣3）2+y2=16相切，所以﹣=﹣1，解得p=2．∴抛物线的焦点坐标为（1，0）故答案为：（1，0）点评：本题考查抛物线的相关几何性质及直线与圆的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，注意应用直线与圆相切时圆心到直线的距离等于半径．14．（5分）若△ABC的三个内角A，B，C满足sin2A=sin2B+sinBsinC+sin2C，则∠A=120°．考点：余弦定理；正弦定理．专题：解三角形．分析：利用正弦定理化简已知的等式，得到关于a，b及c的关系式，再利用余弦定理表示出cosA，把得出的关系式变形后代入求出cosA的值，由A为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数．解答：解：根据正弦定理=2R，化简已知的等式得：a2=b2+bc+c2，即b2+c2﹣a2=﹣bc，∴根据余弦定理得：cosA==﹣，又∵A为三角形的内角，∴A=120°．故答案为：120°．点评：此题考查了正弦定理，余弦定理，以及特殊角的三角函数值，正弦、余弦定理很好的建立了三角形的边角关系，熟练掌握定理是解本题的关键，属于基础题．15．（5分）如图所示的程序运行后输出的结果是60．考点：选择结构．专题：算法和程序框图．分析：根据题意，模拟程序语言的运行过程，即可得出输出的结果．解答：解：模拟程序语言的运行过程，如下；x=2，y=20，x＜0不成立，x=3×20=60．故答案为：60．点评：本题考查了程序语言的应用问题，解题时应模拟程序语言的运行过程，从而得出正确的答案．16．（5分）五位同学围成一圈依序循环报数，规定：①第一位同学首次报出的数为1．第二位同学首次报出的数也为1，之后每位同学所报出的数都是前两位同学所报出的数之和；②若报出的是3的倍数，则报该数的同学需拍手一次，当第30个数被报出时，五位同学拍手的总次数为7次．考点：带余除法．专题：计算题；压轴题．分析：这样得到的数列这是历史上著名的数列，叫斐波那契数列．寻找规律是解决问题的根本，否则，费时费力．首先求出这个数列的每一项除以3所得余数的变化规律，再求所求就比较简单了．解答：解：这个数列的变化规律是：从第三个数开始递增，且是前两项之和，那么有1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144、233、377、610、987分别除以3得余数分别是1、1、2、0、2、2、1、0、1、1、2、0、2、2、1、0由此可见余数的变化规律是按1、1、2、0、2、2、1、0循环周期是8．在这一个周期内第四个数和第八个数都是3的倍数，所以在三个周期内共有6个报出的数是三的倍数，后面6个报出的数中余数是1、1、2、0、2、2，只有一个是3的倍数，故3的倍数总共有7个，也就是说拍手的总次数为7次．故答案为：7点评：本题考查的知识点是带余除法，由已知我们不难得到数列为斐波那契数列，然后分析数列各项除3的余数，易得余数成周期变化．三、解答题：本大题共5小题，满分60分.解答须写出文字说明，证明过程和演算步骤. 17．（12分）三人独立破译同一份密码．已知三人各自破译出密码的概率分别为，且他们是否破译出密码互不影响．（Ⅰ）求恰有二人破译出密码的概率；（Ⅱ）“密码被破译”与“密码未被破译”的概率哪个大？说明理由．考点：相互独立事件的概率乘法公式；互斥事件的概率加法公式．专题：计算题；应用题；分类讨论．分析：根据题意，记“第i个人破译出密码”为事件A1（i=1，2，3），分析可得三个事件的概率且三个事件相互独立；（Ⅰ）设“恰好二人破译出密码”为事件B，则B包括彼此互斥的A 1•A2••A1••A3+•A2•A3，由互斥事件的概率公式与独立事件的乘法公式计算可得答案；（Ⅱ）设“密码被破译”为事件C，“密码未被破译”为事件D，则D=••，由独立事件的乘法公式计算可得D的概率，再由对立事件的概率公式可得C的概率，比较可得答案．解答：解：记“第i个人破译出密码”为事件A1（i=1，2，3），依题意有，且A1，A2，A3相互独立．（Ⅰ）设“恰好二人破译出密码”为事件B，则有B=A 1•A2•+A1••A3+•A2•A3，且A 1•A2•，A1••A3，•A2•A3彼此互斥于是P（B）=P（A 1•A2•）+P（A1••A3）+P（•A2•A3）==．答：恰好二人破译出密码的概率为．（Ⅱ）设“密码被破译”为事件C，“密码未被破译”为事件D．D=••，且，，互相独立，则有P（D）=P（）•P（）•P（）==．而P（C）=1﹣P（D）=，故P（C）＞P（D）．答：密码被破译的概率比密码未被破译的概率大．点评：本题主要考查概率的基本知识与分类思想，考查运用数学知识分析问题、解决问题的能力，难点在于对于恰有二人破译出密码的事件分类不清．18．（12分）已知公差不为零的等差数列{a n}的前4项和为10，且a2，a3，a7成等比数列．（Ⅰ）求通项公式a n；（Ⅱ）设b n=2，求数列{b n}的前n项和S n．考点：数列的求和；等比数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，运用等差数列的通项和求和公式，解方程可得首项和公差d，即可得到通项；（Ⅱ）化简b n，运用错位相减法，结合等比数列的求和公式，计算即可得到．解答：解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，由题意知S4=10，a32=a2a7，即有，解得，所以a n=3n﹣5．（Ⅱ）∵b n=2=n•23n﹣3=n•8n﹣1，则S n=1+2•8+3•82+…+n•8n﹣1，所以8S n=8+2•82+3•83+…+n•8n，作差得﹣7S n=1+8+82+…+8n﹣1﹣n•8n=﹣n•8n，即有S n==．点评：本题考查等差数列和等比数列的通项和求和公式的运用，同时考查数列求和方法：错位相减法，考查运算能力，属于中档题．19．（12分）如图1，∠ACB=45°，BC=3，过动点A作AD⊥BC，垂足D在线段BC上且异于点B，连接AB，沿AD将△ABD折起，使∠BDC=θ，且θ∈（0，π）（如图2所示）．（Ⅰ）求证：平面ABD⊥平面BDC；（Ⅱ）若θ=90°，当BD的长为多少时，三棱锥A﹣BCD的体积最大；并求出其体积的最大值．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定．专题：综合题；空间位置关系与距离．分析：（Ⅰ）证明：AD⊥平面BCD，即可证明平面ABD⊥平面BDC；（Ⅱ）设BD=x，先利用线面垂直的判定定理证明AD即为三棱锥A﹣BCD的高，再将三棱锥的体积表示为x的函数，最后利用导数求函数的最大值即可．解答：（Ⅰ）证明：在如图1所示的△ABC中，由折起前AD⊥BC知，折起后（如图2），AD⊥DC，AD⊥BD，且BD∩DC=D，∴AD⊥平面BCD．又AD⊂平面ABD，∴面ABD⊥平面BDC．…（6分）（Ⅱ）解：在△ABC中，设BD=x，则CD=3﹣x∵∠ACB=45°，AD⊥BC，∴AD=CD=3﹣x∵折起前AD⊥BC，∴折起后AD⊥BD，AD⊥CD，BD∩DC=D∴AD⊥平面BCD∴V A﹣BCD=×AD×S△BCD=×（3﹣x）××x（3﹣x）=（x3﹣6x2+9x）设f（x）=（x3﹣6x2+9x）x∈（0，3），∵f′（x）=（x﹣1）（x﹣3），∴f（x）在（0，1）上为增函数，在（1，3）上为减函数∴当x=1时，函数f（x）取最大值∴当BD=1时，三棱锥A﹣BCD的体积最大．…（12分）点评：本题主要考查了面面垂直的判定，考查三棱锥A﹣BCD的体积的计算，考查折叠问题中的不变量，有一定的运算量，属中档题．20．（12分）如图所示，点N在圆O：x2+y2=8上，点D是N在x轴上投影，M为DN上一点，且满足=．（Ⅰ）当点N在圆O上运动时，求点M的轨迹C的方程．（Ⅱ）过F（2，0）不与坐标轴垂直的直线交曲线C于P，Q两点，线段PQ的垂直平分线交x轴于点E，试判断是否为定值？若是定值，求此定值；若不是定值，请说明理由．考点：直线和圆的方程的应用．专题：直线与圆．分析：（Ⅰ）分别设出M，N的坐标，根据题意表示出N的坐标，代入圆的方程即可求得C的轨迹方程．（Ⅱ）设出直线方程与圆的方程联立，利用韦达定理表示出y1+y2和y1y2，进而利用弦长公式表示出|PQ|，利用弦PQ的中点，表示出其垂直平分线的方程，把y=0带入求得横坐标的表达式，进而表示出|FE|，相除即可．解答：解：（Ⅰ）设M（x，y）、N（x0，y0），由于=和ND⊥x轴，所以代入圆方程得：x2+2y2=8，即+=1．所以，曲线C的轨迹方程为即+=1．（Ⅱ）是定值，值为．理由如下：由题设直线x=my+2（m≠0）交曲线C：x2+2y2=8于P（x1，y1），Q（x2，y2）联立得得（m2+2）y2+4my﹣4=0，则y1+y2=﹣，y1y2=，∴|PQ|=•=•=，弦PQ的中点为（，），∴直线x=my+2的垂直平分线方程为y﹣=﹣m（x﹣），令y=0，得x=，所以|FE|=2﹣=，∴=点评：本题主要考查了直线与圆的方程的综合运用问题．直线与圆的方程问题的解决常借助于韦达定理，利用设而不求的方法解决．21．（12分）已知函数f（x）=x2﹣8lnx，g（x）=﹣x2+14x．（Ⅰ）求函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）若函数f（x）与g（x）在区间（a，a+1）上均为增函数，求a的取值范围；（Ⅲ）设x≥1，讨论曲线y=f（x）与曲线y=g（x）+m公共点的个数．考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）因为f'（x）=2x﹣，求出切线的斜率．继而得到切线方程．（Ⅱ）因为f'（x）=，求出函数f（x）的单调区间，又由题意知有含参数的单调区间，继而求出参数范围．（Ⅲ）当x≥1时，曲线y=f（x）与曲线y=g（x）+m公共点的个数方程2x2﹣8lnx﹣14x=m根的个数．转化思路，对曲线y=f（x）与曲线y=g（x）+m公共点的个数讨论．解答：解：（Ⅰ）因为f'（x）=2x﹣，所以切线的斜率k=f'（1）=﹣6…（2分）又f（1）=1，故所求切线方程为y﹣1=﹣6（x﹣1），即y=﹣6x+7 …（4分）（Ⅱ）因为f'（x）=，又x＞0，所以当x＞2时，f'（x）＞0；当0＜x＜2时，f'（x）＜0．即f（x）在（2，+∞）上递增，在（0，2）上递减…（6分）又g（x）=﹣（x﹣7）2+49，所以g（x）在（﹣∞）上递增，在（7，+∞）上递减…（7分）欲f（x）与g（x）在区间（a，a+1）上均为增函数，则，解得2≤x≤6…（8分）（Ⅲ）当x≥1时，曲线y=f（x）与曲线y=g（x）+m公共点的个数方程2x2﹣8lnx﹣14x=m根的个数，令h（x）=2x2﹣8lnx﹣14x，方程即为h（x）=m．又，且x＞0，所以当x＞4时，h'（x）＞0；当0＜x＜4时，h'（x）＜0，即h（x）在（4，+∞）上递增，在（0，4）上递减．故h（x）在x=4处取得最小值，且h（1）=﹣12 …（10分）所以对曲线y=f（x）与曲线y=g（x）+m公共点的个数，讨论如下：当m∈（﹣∞，﹣16ln2﹣24）时，有0个公共点；当m=﹣16ln2﹣24或m∈（﹣12，+∞）时，有1个公共点；当m∈（﹣16ln2﹣24，﹣12]时，有2个公共点．…（12分）点评：本题主要考查导数的几何意义和利用导数求参数的取值范围等问题，属于难题，在2015届高考中常以压轴题出现．四、选做题请考生在第22，23，24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分【选修4-1：几何证明选讲】22．（10分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，D是的中点，BD交AC于E．（Ⅰ）若DE=2，BE=4，试求DC的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，O到AC的距离为1，求⊙O的半径r．考点：与圆有关的比例线段．专题：综合题；推理和证明．分析：（I）先证明△BCD∽△CED，可得，从而问题得证；（II）OD⊥AC，设垂足为F，求出CF2=r2﹣1，利用DC2=CF2+DF2，建立方程，即可求得⊙O 的半径．解答：（I）证明：连接OD，OC，由已知D是弧AC的中点，可得∠ABD=∠CBD．∵∠ABD=∠ECD∴∠CBD=∠ECD∵∠BDC=∠EDC∴△BCD∽△CED，∴，∴CD2=DE•DB，∵DE=2，BE=4，∴DC=2；…（5分）（Ⅱ）解：∵D是弧AC的中点，∴OD⊥AC，设垂足为F，OF=1，在Rt△COF中，OC2=CF2+OF2，即CF2=r2﹣1在Rt△CFD中，DC2=CF2+DF2，∴12=r2﹣1+（r﹣1）2，解得r=3 …（10分）点评：本题是选考题，考查几何证明选讲，考查三角形的相似与圆的性质，属于中档题．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．平面直角坐标系中，直线l的方程是y=，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，又曲线C的极坐标方程为ρ2cos2θ+ρ2sin2θ﹣2ρsinθ﹣3=0（Ⅰ）求直线l的极坐标方程（Ⅱ）若直线l与曲线C相交于A、B两点，求|AB|考点：简单曲线的极坐标方程．专题：坐标系和参数方程．分析：（Ⅰ）直接把直线的直角坐标形式通过直线的斜率转化成极坐标形式．（Ⅱ）首先把圆的极坐标方程转化成直角坐标方程，进一步把圆的一般式转化成标准式，再利用圆心到直线的距离公式，最后求出弦长．解答：解：（Ⅰ）直线l的方程是，则：tan转化成极坐标方程为：．（Ⅱ）又曲线C的极坐标方程为ρ2cos2θ+ρ2sin2θ﹣2ρsinθ﹣3=0，则转化成直角坐标方程为：x2+y2﹣2y﹣3=0转化成标准形式为：x2+（y﹣1）2=4方程为以（0，1）为圆心2为半径的圆．则：圆心（0，1）到直线的距离为：d=则：|AB|=2．点评：本题考查的知识要点：直角坐标方程与极坐标方程之间的转化，圆的一般式与标准式之间的转化，点到直线的距离的应用．【选修4-5：不等式选讲】24．已知函数f（x）=|x﹣2|﹣|x+1|．（Ⅰ）求f（x）的最值；（Ⅱ）解不等式f（x）≥x2﹣2x．考点：绝对值不等式的解法；分段函数的应用；绝对值三角不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：（1）分类讨论化简函数的解析式，再依据单调性求得函数的最值．（2）分类讨论去掉绝对值，分别求出不等式的解集，再取并集，即得所求．解答：解：（1）函数f（x）=|x﹣2|﹣|x+1|=，再结合函数的单调性可得函数f（x）的最大值为3，最小值为﹣3．（2）当x≤﹣1时，x2﹣2x≤3，求得x=1；当﹣1＜x＜2时，x2﹣2x≤﹣2x+1，求得﹣1＜x≤1；当x≥2时，x2﹣2x≤﹣3，求得x∈∅；综合上述，不等式的解集为：[﹣1，1]．点评：本题主要考查分式不等式的解法，体现了等价转化和分类讨论的数学思想，属于基础题．。