湖北省武汉市—高一数学上学期期末联考
2022-2023学年湖北省武汉市江岸区高一年级上册学期期末数学试题【含答案】
2022-2023学年湖北省武汉市江岸区高一上学期期末数学试题一、单选题1．已知集合{}11A x x =-<，{}B x x a =<，若A B ⊆，则a 的取值范围（ ） A ．0a ≤ B ．2a ≥ C ．2a > D ．2a ≤【答案】B【分析】根据集合间的包含关系求参数的取值范围. 【详解】由11x -<解得111x -<-<即02x <<， 所以{}02A x x =<<， 因为A B ⊆，所以2a ≥， 故选:B.2．命题“x +∀∈R ，都有x e +∈R ”的否定是（ ） A ．x +∃∈R ，使得x e +∉R B ．x +∃∉R ，使得x e +∉R C ．x +∃∈R ，使得x e +∈R D ．x +∃∉R ，使得x e +∈R【答案】A【分析】全称改存在，再否定结论即可.【详解】命题“x +∀∈R ，都有x e +∈R ”的否定是“x +∃∈R ，使得x e +∉R ”. 故选：A3．已知cos140m ︒=，则tan50︒等于（ ）AB C D 【答案】B【分析】利用诱导公式化简，求出sin50,cos50︒︒，然后利用同角三角函数的商数关系即可求得. 【详解】()cos140cos 9050sin500m ︒=︒+︒=-︒=<，则sin50m ︒=-，cos50∴︒sin 50tan 50cos50︒∴︒==︒.故选：B.4．已知函数()tan 4(,R)f x a x a b =+∈且3(lg log 10)5f =，则(lglg3)f =（ ）A ．-5B ．-3C ．3D ．随,a b 的值而定【答案】C【分析】先推导()()8f x f x +-=，再根据3lg log 10lg lg 30+=求解即可【详解】由题意，()()()tan 4tan 48f x a x a x f x =+++-+=-，又3lg10lg log 10lg lg3lg lg3lg10lg3⎛⎫+=⋅== ⎪⎝⎭，故3(lg log 10)(lg lg3)8f f +=.又3(lg log 10)5f =，故(lg lg3)853f =-= 故选：C5．已知函数()21,14log 1,1a ax x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨⎪->⎩是R 上的单调函数，则实数a 的取值范围为（ ）A ．11,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B【分析】分函数()f x 在R 上的单调递减和单调递增求解.【详解】当函数()21,14log 1,1a ax x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨⎪->⎩是R 上的单调递减函数，所以01112514a aa ⎧⎪<<⎪⎪≥⎨⎪⎪-≥-⎪⎩，解得1142a ≤≤，因为0a >且1a ≠，所以当1x ≤时，()f x 不可能是增函数， 所以函数()f x 在R 上不可能是增函数， 综上：实数a 的取值范围为11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故选：B6．已知m 为正实数，且22tan 15sin m x x +≥对任意的实数ππ,2x x k k ⎛⎫≠+∈ ⎪⎝⎭Z 均成立，则m 的最小值为（ ） A ．1B ．4C ．8D ．9【答案】D 【分析】()22222max tan 1515sin tan sin sin ≥mx m x x x x+⇒≥-，后利用同角三角函数关系及基本不等式可得答案. 【详解】由22tan 15sin m x x +≥对任意的实数ππ,2x x k k ⎛⎫≠+∈ ⎪⎝⎭Z 均成立， 可得()222max 15sin tan sin m x x x ≥-.()()()22422222221cos sin 15sin tan sin 151cos 151cos cos cos x xx x x x x xx--=--=--2211716179cos cos x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭=-+≤-=，当且仅当22116cos cos x x=，即21cos 4x =时取等号.则9m ≥.故选：D7．设sin7a =，则（ ）A ．222log aa a <<B ．22log 2a a a <<C ．22log 2aa a << D ．22log 2aa a <<【答案】D【分析】分别判断出21142a <<2a <211log 2a -<<-，即可得到答案. 【详解】()sin7sin 72a π==-.因为7264πππ<-<，所以12a <<所以21142a <<；因为2x y =在R 1222a =<<因为2log y x =在()0,∞+上为增函数，且12a <<2221log log log 2a <<211log 2a -<<-；所以22log 2aa a <<.故选：D8．设函数()()()cos cos f x m x n x αβ=+++，其中m ，n ，α，β为已知实常数，x ∈R ，若()π002f f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，则（ ）A ．对任意实数x ，()0f x =B ．存在实数x ，()0f x ≠C ．对任意实数x ，()0f x >D ．存在实数x ，()0f x <【答案】A【分析】根据π(0)()02f f ==，可推出cos cos ,sin sin m n m n αβαβ=-=-，整理化简后可得m n =或m n =-，分类讨论，结合三角函数诱导公式化简，即可判断答案.【详解】由题意知π(0)()02f f == ，即cos cos sin sin 0m n m n αβαβ+=--= ，即cos cos ,sin sin m n m n αβαβ=-=- ，两式两边平方后可得 22m n =，故m n =或m n =-，若0m n =≠ ，则cos cos sin sin αβαβ=-=-， ，故π2π,Z k k αβ=++∈， 此时()cos(π2π)cos()cos()cos()0f x m x k m x m x m x ββββ=++++=-++=++ ， 若0m n =-≠ ，则cos cos ,sin sin αβαβ== ，故2π,Z k k αβ=+∈ ， 此时()cos(2π)cos()0f x m x k m x ββ=++-+= ，若0m n == 或0m n =-= ，则()0f x = ，故对任意实数x ，()0f x =， 则A 正确，B,C,D 错误， 故选：A【点睛】关键点点睛：解答本题的关键在于根据已知等式化简得到m 和n 之间的关系，然后分类讨论，化简即可解决问题.二、多选题9．下列三角函数值为负数．．的是（ ） A ．3tan 4π⎛⎫-⎪⎝⎭B ．tan505︒C ．sin7.6πD ．sin186︒【答案】BCD【分析】根据诱导公式，逐个选项进行计算，即可判断答案. 【详解】对于A ，33tan tan (1)144ππ⎛⎫-=-=--= ⎪⎝⎭，故A 为正数； 对于B ，tan505tan(360)tan145tan350145+︒︒=︒=︒=-︒<，故B 为负数； 对于C ，sin7.6π2sin(80.4)sin05πππ=-=-<，故C 为负数；对于D ，sin186sin(1806)sin 60︒=︒+︒=-︒<，故D 为负数； 故选：BCD10．下列计算或化简结果正确的是（ ） A ．若1sin cos 2θθ⋅=，cos tan 2sin θθθ+= B ．若1tan 2x =，则2sin 2cos sin x x x =- C ．若25sin 5α=，则tan 2α= D ．若α为第二象限角，则22cos sin 21sin 1cos αααα+=-- 【答案】AB【分析】利用22sin sin cos 1,tan cos ααααα+==，结合三角函数在各个象限的符号，逐项进行化简、求值即得.【详解】对于A 选项：1sin cos 2θθ=，cos sin cos 1tan 2sin cos sin sin cos θθθθθθθθθ∴+=+==，故A 正确； 对于B 选项：1tan 2x =，则122sin 2tan 221cos sin 1tan 12x x x x x ⨯===---，故B 正确； 对于C 选项：∵α范围不确定，∴tan α的符号不确定，故C 错误； 对于D 选项：α为第二象限角， sin 0,cos 0αα∴><,22cos sin cos sin cos sin =0cos sin cos sin 1sin 1cos αααααααααααα∴++=-+=--,故D 错误. 故选：AB.11．定义域和值域均为[],a a -的函数()y f x =和()y g x =的图象如图所示，其中0a c b >>>，下列四个结论中正确的有（ ）A ．方程()0f g x =⎡⎤⎣⎦有且仅有三个解B ．方程()0g f x =⎡⎤⎣⎦有且仅有三个解C ．方程()0f f x =⎡⎤⎣⎦有且仅有八个解D ．方程()0g g x =⎡⎤⎣⎦有且仅有一个解【答案】ABD【解析】通过利用()t f x =和()t g x =，结合函数()y f x =和()y g x =的图象，分析每个选项中外层函数的零点，再分析内层函数的图象，即可得出结论.【详解】由图象可知，对于方程()y f x =，当a y c -≤<-或c y a <≤，方程()y f x =只有一解； 当y c =±时，方程()y f x =只有两解；当c y c -<<时，方程()y f x =有三解； 对于方程()y g x =，当a y a -≤≤时，方程()y g x =只有唯一解. 对于A 选项，令()t x g =，则方程()0f t =有三个根1t b =-，20t =，3t b =，方程()g x b =-、()0g x =、()g x b =均只有一解， 所以，方程()0f g x =⎡⎤⎣⎦有且仅有三个解，A 选项正确； 对于B 选项，令()t f x =，方程()0g t =只有一解1t b =，方程()f x b =只有三解，所以，方程()0g f x =⎡⎤⎣⎦有且仅有三个解，B 选项正确； 对于C 选项，设()t f x =，方程()0f t =有三个根1t b =-，20t =，3t b =，方程()f x b =-有三解，方程()0f x =有三解，方程()f x b =有三解， 所以，方程()0f f x =⎡⎤⎣⎦有且仅有九个解，C 选项错误；对于D 选项，令()t x g =，方程()0g t =只有一解1t b =，方程()g x b =只有一解， 所以，方程()0g g x =⎡⎤⎣⎦有且仅有一个解，D 选项正确. 故选：ABD.【点睛】思路点睛：对于复合函数()y f g x ⎡⎤=⎣⎦的零点个数问题，求解思路如下： （1）确定内层函数()u g x =和外层函数()y f u =； （2）确定外层函数()y f u =的零点()1,2,3,,i u u i n ==；（3）确定直线()1,2,3,,i u u i n ==与内层函数()u g x =图象的交点个数分别为1a 、2a 、3a 、、n a ，则函数()y f g x ⎡⎤=⎣⎦的零点个数为123n a a a a ++++.12．已知函数()()211x x f x x x =->-，()()2log 11xg x x x x =->-的零点分别为α，β，给出以下结论正确的是（ ） A ．1αβ+= B ．αββα=+C ．32αβ-<-D ．2αβ->-【答案】BD【分析】先说明,11xy x x =≠-的图象关于直线y x =对称，由题意可得2log ,2ααββ==，且21ααβα=-=，化简可得αββα=+，判断B;写出αβ+的表达式，利用基本不等式可判断4αβ+>，判断A;利用零点存在定理判断出322α<<，写出αβ-的表达式，由此设函数13,(2)1()12x h x x x <<-=--，根据其单调性可判断C,D . 【详解】对于函数,11xy x x =≠- ，有,11y x y y =≠-， 即函数,11xy x x =≠-的图象关于直线y x =对称， 由题意函数()()211x x f x x x =->-，()()2log 11x g x x x x =->-的零点分别为α，β， 可知α为(),21,1x xy y x x ==>-的图象的交点的横坐标， β为()2,log ,11xy y x x x ==>-的图象的交点的横坐标， 如图示，可得2(,2),(,log )A B ααββ，且,A B 关于直线y x =对称，则2log ,2ααββ==，且21ααβα=-=， 故1)(0ααβ--=，即αββα=+，故B 正确； 由题意可知1,10αα>∴-> ， 所以11(111122241)11ααααβαααα+=-+=-+-++≥-⋅≥--， 由于()22221220,2f α=-≠-∴-≠=，即4αβ+>，A 错误； 因为32332232123220f ⎛⎫=- ⎪⎝=-->⎭，()22202221f =-=-<-， 且()()21111x f x x x =-+>-为单调减函数， 故()()211x x f x x x =->-在3(,2)2上存在唯一的零点 ，即322α<< ，故13,(2)1112αβαααααα-=-=--<<--， 设13,(2)1()12x h x x x <<-=--，则该函数为单调递增函数， 故3311()122322212()h h x >=--=->--，且1(2)211()02h h x =--=-<，故3202αβ-<-<-<， 故C 错误，D 正确， 故选：BD【点睛】关键点点睛：解答本题要注意到函数图象的特点，即对称性的应用，解答的关键在于根据题意推得2(,2),(,log )A B ααββ，且,A B 关于直线y x =对称，从而可得2log ,2ααββ==，且21ααβα=-=，然后写出αβ+以及αβ-的表达式，问题可解.三、填空题13．已知()()()()π3πsin cos tan π22tan πsin πf θθθθθθ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=---.若π163f θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则5π6f θ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为_________. 【答案】13-【分析】利用三角函数的诱导公式化简()f θ，结果为cos θ，结合π163f θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭可得π1cos()63θ-=，再利用诱导公式化简5π6f θ⎛⎫+ ⎪⎝⎭为πcos()6θ--，即得答案.【详解】由题意()()()()π3πsin cos tan π(cos )sin (tan )22cos tan πsin π(tan )(sin )f θθθθθθθθθθθθ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭===-----， 由π163f θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭可得π1cos()63θ-=，故5π5πππ1cos cos[π()]cos()66663f θθθθ⎛⎫⎛⎫+=+=--=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故答案为：13-14．若正数a ，b 满足24log log 8a b +=，48log log 2a b +=，则82log log a b +的值为__________. 【答案】523-【分析】根据对数的运算性质列出方程组求出22log 20log 24a b =⎧⎨=-⎩即可求解.【详解】因为24log log 8a b +=，所以221log log 82a b +=，又因为48log log 2a b +=，所以2211log log 223a b +=，联立22221log log 8211log log 223a b a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得22log 20log 24a b =⎧⎨=-⎩，所以8222152log log log log 33a b a b +=+=-，故答案为：523-. 15．已知实数,[0,2]a b ∈，且844a b +=，则22b a -的最大值是_______________． 【答案】2【分析】由已知可得22b a-=，令2a x =，构造函数()[1,4]f x x =∈，根据函数的单调性，即可求出最大值. 【详解】解：由844a b +=，可知()()()()22844222222b a b a b a b a =-=-=+-， 则82222b a b a -=+，且有2b =22b a ∴-=，令2a x =，[0,2]a ∈()[1,4]f x x =∈，可知()f x 在[1,4]上单调递减，max 8()(1)24f x f ∴====，即22b a -的最大值是2， 故答案为：2.16．某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P （单位：mg/L ）与时间t （单位：h ）间的关系为0ektP P -=，其中0P ，k 是正的常数.如果在前5h 消除了10%的污染物，那么经过_______h 污染物减少50%（精确到1h ）？取lg 0.50.3=-，lg 0.90.045=- 【答案】33【分析】代入给定的公式即可求解. 【详解】由题知， 当0=t 时，解得0P P =，当5t =时，()500110%ekP P P -=-=，解得：1ln 0.95k =-， 所以500.9t P P =， 当050%P P =时，则有：50000.950%0.5tP P P ==， 即50.90.5t=，解得：0.9lg 0.50.35log 0.55533lg 0.90.45t -==⨯=⨯≈-. 故答案为：33.四、解答题17．若α，π0,2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且()21sin sin sin cos cos αβααβ+=.(1)解关于x 的不等式2tan cos tan 0x x βαβ-+<的解集（解集用α的三角值表示）； (2)求tan β的最大值.【答案】(1)1|sin sin x x αα⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭【分析】(1)根据题意2sin cos tan 1sin ααβα=+，用α的三角函数值替换β的三角函数值，从而解一元二次不等式即可； (2)利用基本不等式求解. 【详解】（1）2sin cos tan 1sin ααβα=+，∴()22sin 1sin sin 0x x ααα-++<， ()()sin 1sin 0x x αα⋅--<，因为1sin sin αα<所以1sin sin x αα<<， ∴原不等式解集1|sin sin x x αα⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭；（2）222sin cos tan tan 2sin cos 2tan 1αααβααα===++当且仅当22tan 1α=即tan α=时取得等号.18．中国最早用土和石片刻制成“土主”与“日暑”两种计时工具，成为世界上最早发明计时工具的国家之一.铜器时代，使用青铜制的“漏壶”，东汉元初四年张衡发明了世界第一架“水运浑象”，元初郭守敬、明初詹希元创制“大明灯漏”与“五轮沙漏”，一直到现代的钟表、手表等.现在有人研究钟的时针和分针一天内重合的次数，从午夜零时算起，假设分针走了min t 会与时针重合，一天内分针和时针重合n 次.(1)建立t 关于n 的函数关系；(2)求一天内分针和时针重合的次数n .【答案】(1)72011t n =. (2)22次. 【分析】（1）计算出分针以及时针的旋转的角速度，由题意列出等式，求得答案；（2）根据时针旋转一天所需的时间，结合（1）的结果，列出不等式，求得答案. 【详解】（1）设经过min t 分针就与时针重合，n 为两针一天内重合的次数.因为分针旋转的角速度为()2ππrad/min 6030=， 时针旋转的角速度为()2ππrad/min 1260360=⨯，所以ππ2π30360t n ⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 即72011t n =. （2）因为时针旋转一天所需的时间为24601440⨯=（min ），所以720144011n ≤，于是22≤n , 故时针与分针一天内只重合22次.19．在平面直角坐标系xOy 中，O 是坐标原点，角α的终边OA 与单位圆的交点坐标为()1,02A m m ⎛⎫-< ⎪⎝⎭，射线OA 绕点O 按逆时针方向旋转θ弧度．．后交单位圆于点B ，点B 的纵坐标y 关于θ的函数为()y f θ=.(1)求函数()y f θ=的解析式，并求π3f ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值；(2)若()f θ=()0,πθ∈，求4πtan 3θ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值. 【答案】(1)()7πsin 6f θθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，12(2) 【分析】（1）根据特殊值对应的特殊角及三角函数的定义，结合函数值的定义即可求解；（1）根据（1）的结论及诱导公式，利用同角三角函数的平方关系及商数关系即可求解.【详解】（1）因为1sin 2α=-，且0m <，所以7π6α=，由此得()7πsin 6f θθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ ππ7π5π1sin sin 33662f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. （2）由()f θ=知7ππsin sin 664θθ⎛⎫⎛⎫+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即πsin 6θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ 由于()0,πθ∈，得ππ7π,666θ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，与此同时πsin 06θ⎛⎫+< ⎪⎝⎭，所以πcos 06θ⎛⎫+< ⎪⎝⎭由平方关系解得：πcos 6θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ππsin cos 4π36tan tan ππ33cos sin 36θθπθθθθ⎛⎫⎛⎫---+ ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭⎝⎭-=-=== ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭⎝⎭-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭20．已知函数()lg 52lg 52x x x x f x a --=-++（a 为常数）.(1)当1a =，求12f ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值；（参考数据：lg30.5=，lg50.7=） (2)若函数()f x 为偶函数，求()f x 在区间[]2,1--上的值域.【答案】(1)0.3 (2)999lg ,lg 11101⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】(1)结合指数和对数运算公式计算；(2)根据偶函数的性质列方程求a ，判断函数的单调性，利用单调性求值域.【详解】（1）当1a =时，()lg 254x x f x -=-，此时1122119lg 254lg 2lg 2lg3lg510.70.3255f -⎛⎫-=-=-==-=-= ⎪⎝⎭（2）函数()lg 52lg 52x x x x f x a --=-++的定义域为()(),00,∞-+∞，()110110lg 52lg 52lg lg 55x xx x x x x x f x a a ---+-=-++=+()lg 110lg5lg 110lg5x x x x a =--++- ()101101lg 52lg 52lg lg 22x x x x x x x xf x a a ---+=-++=+ ()lg 101lg2lg 110lg2x x x x a =--++-由偶函数的定义得恒有()()=f x f x -即：lg5lg5lg 2lg 2x x x x a a --=--也就是恒有()lg2lg5lg5lg2x x x xa -=-,所以1a =-当[]2,1x ∈--时，()()()1102lg 25lg 52lg lg 1101101x x x x x x x f x ---⎛⎫=--+==-+ ⎪++⎝⎭， 因为函数101x y =+为[]2,1--上的增函数，所以()f x 在[]2,1--单调递减，∴[]2,1x ∈--，()999lg ,lg 11101f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦故()f x 在[]2,1--上值域999lg ,lg 11101⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 21．武汉城市圈城际铁路，实现了武汉城市圈内半小时经济圈体系.据悉一辆城际列车满载时约为550人，人均票价为4元，十分适合城市间的运营.城际铁路运营公司通过一段时间的营业发现，每辆列车的单程营业额Y （元）与发车时间间隔t （分钟）相关；当间隔时间到达或超过12分钟后，列车均为满载状态；当812t ≤≤时，单程营业额Y 与60412t t-+成正比；当58t ≤≤时，单程营业额会在8t =时的基础上减少，减少的数量为()2408t -.(1)求当512t ≤≤时，单程营业额Y 关于发车间隔时间t 的函数表达式；(2)由于工作日和节假日的日运营时长不同，据统计每辆车日均120t 次单程运营.为体现节能减排，发车间隔时间[]8,12t ∈，则当发车时间间隔为多少分钟时，每辆列车的日均营业总额R 最大？求出该最大值.【答案】(1)2151603,812406401100,58t t Y t t t t ⎧⎛⎫-+≤≤⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪-+-≤≤⎩. (2)10t =时，max 22080R =,【分析】（1）由题意设当812t ≤≤时的函数表达式，由12t =时满载求得比例系数，进而求得当58t ≤≤时表达式，写为分段函数形式，即得答案；（2）由题意可得6012040412R t t t ⎛⎫=-+⋅ ⎪⎝⎭，[]8,12t ∈，采用换元并结合二次函数性质,求得答案. 【详解】（1）当812t ≤≤时，设60412Y a t t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，a 为比例系数， 由12t =时满载可知55042200Y =⨯=， 即6041212220012a ⎛⎫⨯-+= ⎪⎝⎭，则40a =， 当8a =时，6040481214608Y ⎛⎫=⨯-+= ⎪⎝⎭， 故当58t ≤≤时，()221460408406401100Y t t t -+=--=-, 故2151603,812406401100,58t t Y t t t t ⎧⎛⎫-+≤≤⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪-+-≤≤⎩. （2）由题意可得6012040412R t t t⎛⎫=-+⋅ ⎪⎝⎭，[]8,12t ∈， 化简得211192001531R t t ⎛⎫=-⋅+⋅+ ⎪⎝⎭，[]8,12t ∈， 令111,,812u u t ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，则()2192001531R u u =-++， 当312(15)10u =-=-，即10t =时，[]108,12∈符合题意，此时max 22080R =. 22．已知函数()32x a f x x =+，1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，a 是常数. (1)若()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围；(2)设函数()()2log g x f x a x =-，试问，函数()g x 是否有零点，若有，求a 的取值范围；若没有，说明理由.【答案】(1)⎡⎫+∞⎪⎢⎪⎣⎭(2)答案见解析【分析】（1）利用分离参数法解决函数恒成立问题，结合定义法证明函数的单调性及单调性与最值的关系即可求解；（2）根据已知条件及函数零点的定义，结合函数最值即可求解.【详解】（1）若()0f x ≥恒成立，即恒有32x a x ≥-⋅设()2x h x x =-⋅，任取121,,22x x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，且满足12x x <，由于1222x x <，由不等式性质可得121222x x x x -⋅>-⋅，即()()12h x h x >， 所以函数()g x 在1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上单调递减,所以()max 12h x h ⎛⎫== ⎪⎝⎭,所以3a ≥a ≥；所以a 的取值范围为⎡⎫+∞⎪⎢⎪⎣⎭. （2）由题意可知232log 0x a a x x +-=，即232log 0x a x x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭， 当1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数2x y =单调递增，23log y x x =-单调递减， 所以231log ,72x x ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，当0a ≥时，232log 0x a x x ⎛⎫+-> ⎪⎝⎭； 当a<0时，2312log ,,22x y a x x x ⎛⎫⎡⎤=+-∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦单调递增，2312log 7,42x y a x a a x ⎛⎫⎤=+-∈+ ⎪⎥⎝⎭⎦，70a >或1402a +<即07a <<或8a <-时，()g x 没有零点；当8a -≤≤()g x 有一个零点.综上，a >8a <-时，()g x 没有零点；当8a -≤≤()g x 有一个零点.。
2019-2020学年湖北省武汉市(第二十三中学、第十二中学、汉铁高中)高一上学期期末联考数学试题(解析版)
湖北省武汉市高一上学期期末联考数学试题一、单选题1．已知角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点(1,2)P -，则sin α的值为（ ）A B ．C D ． 【答案】D【解析】由三角函数的定义求解即可. 【详解】解：由三角函数的定义有：sin α==. 故选：D. 【点睛】本题考查了三角函数的定义，属基础题.2．若幂函数()a f x x =的图像过点(8,4)，则()f x =（ ） A ．32x B ．23xC ．32x -D ．23x -【答案】B【解析】将已知条件代入函数解析式求解即可. 【详解】解：将点(8,4)代入函数解析式中可得48a =，解得23a =. 即23()f x x =， 故选：B. 【点睛】本题考查了幂函数解析式的求法，属基础题.3．下列函数中，在区间(0,)+∞上是增函数的是（ ） A ．22y x e =- B ．2cos y x e =+C ．2log (1)y x =-D ．tan y x =【答案】A【解析】结合函数的单调性逐一判断即可得解. 【详解】解：函数22y x e =-对称轴为y 轴，开口朝上，所以(0,)+∞上为增函数. 函数2log (1)y x =-在(0,)+∞为减函数，函数2cos y x e =+与函数tan y x =在(0,)+∞不具有单调性，故选：A. 【点睛】本题考查了函数的单调性，重点考查了函数的性质，属基础题.4．y a =（a 为常数）与tan 3y x =图像相交时，相邻两交点间的距离为（ ） A ．π B ．23π C ．3π D ．3a π 【答案】C【解析】由y a =（a 为常数）与tan 3y x =图像相交时，相邻两交点间的距离为函数tan 3y x =的一个周期，再结合函数周期的求法即可得解.【详解】解：tan 3y x =的周期为3π，所以y a =（a 为常数）与tan 3y x =图像相交时，相邻两交点间的距离为3π. 故选：C. 【点睛】本题考查了正切函数的周期，重点考查了函数的性质，属基础题.5．若23a =，sin 2b =，3log c = ） A ．a b c >> B ．c a b >> C ．c b a >> D ．c a b >>【答案】A【解析】由23313)1sin 2log 2>>>=即可得解. 【详解】解：23313)1sin 2sin(2)sin log 62ππ>>=->==， 故选：A. 【点睛】本题考查了对数值，指数幂及三角函数值的运算，属基础题.6．扇形周长为6cm ，面积为2cm 2，则其圆心角的弧度数是（ ）A ．1或5B ．1或2C ．2或4D ．1或4【答案】D【解析】利用扇形弧长和面积计算公式完成求解. 【详解】设扇形的半径为r cm ，圆心角为(02)ααπ<<，则2261 2.2r r r αα+=⎧⎪⎨=⎪⎩解得14r α=⎧⎨=⎩或21.r α=⎧⎨=⎩，故选D. 【点睛】扇形的弧长和面积计算公式： 弧长公式：l r α=；面积公式：21122S lr r α==，其中α是扇形圆心角弧度数，r是扇形的半径. 7．已知cos 3πθ⎛⎫-=⎪⎝⎭，(0,)θπ∈，则sin 6πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ） A．B．C．3D．【答案】C 【解析】由sin sin cos 6233ππππθθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦即可求值. 【详解】因为362πππθθ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以由诱导公式知sin sin cos 6233ππππθθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=--=-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 故选：C. 【点睛】本题主要考查诱导公式sin cos 2παα⎛⎫-=⎪⎝⎭的灵活应用，属基础题. 8．已知函数()tan 1f x x x =++，若()3f a =-，则()f a -的值为（ ） A ．3B ．4C ．5D ．与a 有关【答案】C【解析】由函数()()1tan g x f x x x =-=+为奇函数，再求解即可. 【详解】解：根据题意，函数()()1tan g x f x x x =-=+，则函数()g x 为奇函数，则()()()1()10g a g a f a f a +-=-+--=， 又由()3f a =-，则()5f a -=， 故选：C. 【点睛】本题考查了函数的性质的应用，属基础题.9．函数()f x 的图象如图所示，为了得到函数2sin y x =的图象，可以把函数()f x 的图象 （ ）A ．每个点的横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变），再向左平移π3个单位 B ．每个点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移π6个单位C ．先向左平移π6个单位，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）D ．先向左平移π3个单位，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变）【答案】C【解析】根据函数()f x 的图象，设f x Asin x ωϕ=+（）（），可得12222236A ，，．πππωω=⋅=-∴=再根据五点法作图可得2022633f x sin x πππϕϕ⨯+=∴=-=-，，（）（），故可以把函数()f x 的图象先向左平移6π个单位，得到222233y sin x sin x ππ=+-=（）的图象，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），即可得到2y sinx = 函数的图象， 故选C ．10．函数()sin(2)||2f x x πϕϕ⎛⎫=+<⎪⎝⎭的图象向左平移6π个单位后关于原点对称，则函数()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为（ ）A ．12-B ．12C D ．1【答案】D【解析】先由函数的奇偶性求出ϕ，再利用三角函数值域的求法求出最大值即可. 【详解】解：函数图象向左平移6π个单位得sin 2sin 263y x x ππϕϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 由于函数图象关于原点对称，∴函数为奇函数，又||2ϕπ<， 03πϕ∴+=，得3πϕ=-，()sin 23f x x π⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭，由于02x π≤≤，02x π∴≤≤，22333x πππ∴-≤-≤， 当232x ππ-=，max ()1f x =，故选：D. 【点睛】本题考查了利用函数的奇偶性的应用，重点考查了三角函数值域的求法，属中档题. 11．中国古代近似计算方法源远流长，早在八世纪，我国著名数学家、天文学家张隧（法号：一行）为编制《大衍历》发明了一种近似计算的方法一二次插值算法（又称一行算法，牛顿也创造了此算法，但是比我国张隧晚了上千年）：函数()y f x =在1x x =，2x x =，()3123x x x x x =<<处的函数值分别为()11y f x =，()22y f x =，()33y f x =则在区间[]3,i x x 上()f x 可以用二次函数来近似代替：()()()111212()f x y k x x k x x x x =+-+--，其中21121y y k x x -=-，3232y y k x x -=-，1231k k k x x -=-，若令10x =，22x π=，3x π=，请依据上述算法，估算2sin 5π是（ ）A ．35 B ．1625C ．1725D ．2425【答案】D【解析】先阅读题意，再结合过两点的直线的斜率公式求解即可. 【详解】解：函数()sin y f x x ==在0x =，2x π=，x π=处的函数值分别为1(0)0y f ==，212y f π⎛⎫== ⎪⎝⎭，3()0y f π==，故211212y y k x x π-==-，32322y y k x x π-==--，122314k k k x x π-==--.故2222444()2f x x x x x x πππππ⎛⎫=--=-+ ⎪⎝⎭， 即2244sin x x x ππ≈-+，22224(2)4224sin 55525πππππ≈-⨯+⨯=， 故选：D. 【点睛】本题考查了斜率公式，重点考查了阅读理解能力，属中档题. 12．已知定义在区间30,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的函数()y f x =满足3344f x f x ππ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当34x π≥时，()cos f x x =，如果关于x 的方程()f x a =有解，记所有解的和为S ，则S 不可能为（ ） A ．54π B ．32π C ．94π D ．3π【答案】A【解析】讨论直线y a =与函数()y f x =的图象的位置关系，结合函数()f x 的对称性求解即可. 【详解】解：依题意作出在区间30,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的简图，当直线y a =与函数()y f x =的图象有交点时，则可得10a -≤≤，①当202a -<≤，()f x a =有2个解，此时32S π=； ②当2a =-时，()f x a =有3个解，此时94π=S ；③当212a -<<-时，()f x a =有4个交点，此时3S π=； ④1a =-时，()f x a =有2个交点，此时32S π=. 故S 不可能为54π， 故选：A.【点睛】本题考查了方程的根与函数图像交点的关系，重点考查了数形结合的数学思想方法，属中档题.二、填空题13．已知函数sin (0)()4(0)3xx x f x x π>⎧⎪=⎨⎛⎫≤ ⎪⎪⎝⎭⎩，则((1))f f -的值为________.【解析】结合分段函数解析式求解即可. 【详解】解：由分段函数解析式可得：1433((1))sin 3442f f f f πππ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫-==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故答案为：2. 【点睛】本题考查了分段函数求值问题，属基础题.14．求值：sin14cos16sin 76cos74︒︒︒︒+=________. 【答案】12【解析】由三角函数的诱导公式结合两角和的正弦公式求解即可. 【详解】解：由两角和的正弦公式可得：sin14cos16sin 76cos74︒︒︒︒+sin14cos16cos14sin16︒︒︒︒=+()sin 1416︒︒=+1sin302︒==， 故答案为：12. 【点睛】本题考查了三角函数的诱导公式，重点考查了两角和的正弦公式，属基础题.15．下面是一半径为2米的水轮，水轮的圆心O 距离水面1米，已知水轮自点M 开始以1分钟旋转4圈的速度顺时针旋转，点M 距水面的高度d （米）（在水平面下d 为负数）与时间t （秒）满足函数关系式sin()1d A t ωϕ=++0,0,||2A πωϕ⎛⎫>>< ⎪⎝⎭，则函数关系式为________.【答案】22sin 1156d t ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭【解析】先阅读题意，再求出,,A ωϕ即可得解. 【详解】解：Q 水轮的半径为2，水轮圆心O 距离水面1，2A ∴=. 又Q 水轮每分钟旋转4圈，故转一圈需要15秒，215T πω∴==，215ωπ∴=. 顺时针旋转0t =Q 时，26t k πωϕπ+=-，2()6k k Z πϕπ∴=-∈，||2πϕ<Q ，6πϕ∴=-.22sin 1156d t ππ⎛⎫∴=-+ ⎪⎝⎭，故答案为：22sin 1156d t ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查了三角函数解析式的求法，重点考查了对数据的处理能力，属中档题. 16．定义在R 上的奇函数()f x 满足(2)()f x f x +=-，且当[1,1]x ∈-时，()tan4f x x π=，则下列四个命题：①(2020)0f =；②()f x 的最小正周期为2：③[2020,2020]x ∈-时，方程1()2f x =有2020个根：④5()log ||f x x =有4个根，正确命题序号为________. 【答案】①③【解析】先由函数的奇偶性、对称性推出周期性，再结合函数的周期性及方程的解的个数与函数图像的交点个数的关系逐一判断即可得解. 【详解】解：(2)()f x f x +=-Q ，则(4)(2)f x f x +=-+，可得(4)()f x f x +=.4T ∴=，则每个选项判断如下：对于①4T =Q ，(2020)(0)tan 00f f ∴===，正确. 对于②最小正周期为4，错误. ③当[3,1]x ∈--时，2[1,1]x +∈-，则1(2)tan (2)4tan 4fx x x ππ⎡⎤+=+=-⎢⎥⎛⎫⎣⎦⎪⎝⎭， 1()tan 4f x x π∴=⎛⎫ ⎪⎝⎭. [1,1]x ∴∈-时，1()tan42f x x π==有1个根； [3,1]x ∈--时，11()2tan 4f x x π∴==⎛⎫ ⎪⎝⎭有1个根，由于4T =，说明每个周期内1()2f x =都有2个根， 故[2020,2020]x ∈-，一共有404010104=个周期，则有2020个根，正确. ④图像如下：由图可得有5个交点，错误. 故答案为：①③.【点睛】本题考查了函数的奇偶性、对称性及周期性，主要考查了方程的解的个数与函数图像的交点个数的关系，重点考查了数形结合的数学思想方法，属中档题.三、解答题17．已知2tan 3α=，求下列式子的值： （1）sin()4cos 2sin cos παααα-++；（2）sin cos αα. 【答案】（1）2；（2）613. 【解析】（1）将分子分母同时除以cos α即可得解； （2）将分子分母同时除以2cos α即可得解. 【详解】解：（1）原式sin 4cos tan 42sin cos 2tan 1αααααα++==++. 2tan 3α=Q ，∴原式24322213+==⨯+. （2）原式22222sin cos tan 63sin cos tan 113213αααααα⋅====++⎛⎫+ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查了齐次式的求法，重点考查了诱导公式及同角三角函数的关系，属基础题. 18．已知集合1|282x A x ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭，{|B x y =. （1）求()R A B ⋂ð；（2）当()R x A B ∈I ð时，求函数2()2xf x -=的值域.【答案】（1）{|21}x x -<≤-；（2）[8,16).【解析】（1）解指数不等式及对数不等式可得集合,A B ,再求解即可； （2）利用指数函数的单调性求函数值域即可. 【详解】 解：（1）由1282x <<，知{|13}A x x =-<<， 由22log (2)020x x -+≥⎧⎨+>⎩，知{|22}B x x =-<≤， }{|13R C A x x x ∴=≤-≥或，{|21}R C A B x x ∴=-<≤-I .（2）由（1）知(2,1]x ∈--任取1,x 2,x 1221x x -<<≤-， 则()()21121212221211222244222x x x x x x x x f x f x --+-⎛⎫-=-=-=⋅ ⎪⎝⎭，12x x <Q ，2122x x ∴>，21220x x∴->，()()120f x f x ∴->，()()12f x f x ∴>()f x ∴在(2,1]--上单调递减，(1)()(2)f f x f ∴-≤<-，即8()16f x ≤<，函数2()2xf x -=在(2,1]x ∈--时的值域是[8,16).【点睛】本题考查了指数不等式及对数不等式的解法，重点考查了指数型函数值域的求法，属中档题.19．已知函数44()cos sin 2sin cos 1f x x x x x =---. （1）求()f x 的最小正周期，并求出()f x 的单调递减区间； （2）求函数()y f x =的零点.【答案】（1）π，3,,88k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦k Z ∈；（2）x k π=或()4x k k Z ππ=-+∈.【解析】（1）先利用降幂公式化简可得()f x 214x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，再求函数最小正周期及单调递减区间即可；（2）解三角方程cos 24x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭. 【详解】解：（1）由题意知：44()cos sin 2sin cos 1f x x x x x =---()()2222cos sin cos sin sin 21x x x x x =-+--cos2sin 21x x =--214x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭22w Tπ==Q ，T π∴=， 令222,4k x k ππππ≤+≤+k Z ∈，3,88k x k ππππ∴-≤≤+k Z ∈，()f x ∴的单调减区间为3,,88k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦k Z ∈.（2）令()2104f x x π⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭，则cos 242x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，2244x k πππ+=+或2()4k k Z ππ-+∈， 即函数零点为x k π=或()4k k Z ππ-+∈.【点睛】本题考查了三角恒等变换及辅助角公式，重点考查了三角方程的解法，属中档题. 20．王久良导演的纪录片《垃圾围城》真实地反映了城市垃圾污染问题，目前中国668个城市中有超过23的城市处于垃圾的包围之中，且城市垃圾中的快递行业产生的包装垃圾正在逐年攀升，有关数据显示，某城市从2016年到2019年产生的包装垃圾量如下表：（1）有下列函数模型：①2016x y a b-=⋅；②sin2016xy a b π=+；③lg()y a x b =+.(0,1)a b >>试从以上函数模型中，选择模型________（填模型序号），近似反映该城市近几年包装垃圾生产量y （万吨）与年份x 的函数关系，并直接写出所选函数模型解析式；（2）若不加以控制，任由包装垃圾如此增长下去，从哪年开始，该城市的包装垃圾将超过40万吨？（参考数据：lg 20.3010,=lg30.4771=）【答案】（1）①，2016342x y -⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭；（2）2022年【解析】（1）由题意可得函数单调递增，且增长速度越来越快，则选模型①，再结合题设数据求解即可；（2）由题意有201634402x -⎛⎫⋅≥ ⎪⎝⎭，再两边同时取对数求解即可.【详解】解：（1）依题意，函数单调递增，且增长速度越来越快，故模型①符合， 设2016x y a b -=⋅，将2016x =，4y =和2017x =，6y =代入得201620162017201646a b a b --⎧=⋅⎨=⋅⎩；解得432a b =⎧⎪⎨=⎪⎩. 故函数模型解析式为：2016342x y -⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭.经检验，2018x =和2019x =也符合.综上：2016342x y -⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭；（2）令201634402x -⎛⎫⋅≥ ⎪⎝⎭，解得20163102x -⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，两边同时取对数得：20163lg lg102x -⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，3(2016)lg 12x ⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭，11(2016)3lg 3lg 2lg 2x -≥=-⎛⎫ ⎪⎝⎭， 120162021.7lg3lg 2x ∴≥+≈-.综上：从2022年开始，该城市的包装垃圾将超过40万吨. 【点睛】本题考查了函数的综合应用，重点考查了阅读能力及对数据的处理能力，属中档题. 21．已知函数1()2sin cos 62f x x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭. （1）已知1(),3f α=5,612ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求cos2α的值； （2）已知0>ω，函数()212x g x f ωπ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，若函数()g x 在区间2,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数，求ω的最大值. 【答案】（1（2）1【解析】（1）由三角恒等变换可得()f x sin 26x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，再结合1()3f α=求值即可；（2）由函数()sin 3g x x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭在区间2,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数，可得52266k k x ππππωωωω-+≤≤+，再求解即可. 【详解】解：（1）1()2sin cos 62f x x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭ 12sin cos cos sin cos 662x x x ππ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭21cos cos 2x x x =+-12cos 22x x =+ sin 26x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.1(),3f α=Q 5,612ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，1sin 2,63πα⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭2,62ππαπ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，cos 263πα⎛⎫∴+=-⎪⎝⎭， cos 2cos 266ππαα⎡⎤⎛⎫∴=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦cos 2cos sin 2sin 6666ππππαα⎛⎫⎛⎫=+++=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2）由（1）()sin 2123x g x f x ωππω⎛⎫⎛⎫=+=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()g x 在R 上的单增区间有：22232k x k ππππωπ-+≤+≤+，0ω>Q ，52266k k x ππππωωωω∴-+≤≤+. 因为函数()g x 在区间2,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数，所以21126322T πππω⎛⎫--≤= ⎪⎝⎭，52,6366ππππωω-≤-≥，所以1ω≤. 即ω的最大值为1. 【点睛】本题考查了三角恒等变换及给值求值问题，重点考查了函数单调性的应用，属中档题.22．已知函数()x xk f x a ka -=+，（k Z ∈，0a >且1a ≠）.（1）若1132f ⎛⎫=⎪⎝⎭，求1(2)f 的值； （2）若()k f x 为定义在R 上的奇函数，且01a <<，是否存在实数λ，使得(cos 2)(2sin 5)0k k f x f x λ+->对任意的20,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立若存在，请写出实数λ的取值范围；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）47；（2）存在，3λ< 【解析】（1）由指数幂的运算求解即可.（2）由函数()k f x 的性质可将问题转化为cos252sin x x λ<-对任意的20,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，分离变量后利用均值不等式求最值即可得解. 【详解】解：（1）由已知11221132f a a -⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，21112229a a a a --⎛⎫∴+=++= ⎪⎝⎭，17a a -∴+=， ()2122249a aa a --∴+=++=，2247a a -∴+=，即221(2)47f a a -=+=.（2）若()k f x 为定义在R 上的奇函数， 则(0)10k f k =+=，解得1k =-，01a <<Q ，()x xk f x a a -∴=-，在R 上为减函数，则(cos 2)(2sin 5)0k k f x f x λ+->，可化为(cos 2)(2sin 5)(52sin )k k k f x f x f x λλ>--=-， 即cos252sin x x λ<-对任意的20,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立， 即25cos 22sin 42sin 2sin 2sin sin x x x x x xλ-+<==+，对任意的20,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立， 令sin ,t x =[0,1]t ∈，则2y t t=+为减函数， 当1t =时，y 取最小值为3， 所以3λ<. 【点睛】本题考查了不等式恒成立问题，重点考查了均值不等式，属中档题.。
湖北省武汉市第二中学2023-2024学年高一上学期期末数学试卷
湖北省武汉市第二中学2023-2024学年高一上学期期末数
学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
二、多选题
9．下列说法正确的是（）
三、填空题
故()()()()g h x f h x >恒成立，只需()2h x >恒成立，
即()()221123224432
H k k H k k ì=-+-+>ïí=-+-+>ïî，解得12k <<，综上所述：存在实数k ，使得()()()()g h x f h x >恒成立，k 的取值范围为()1,2．
【点睛】难点点睛：本题考查了二次函数以及指对数函数的应用问题，涉及到函数的单调性以及零点和不等式恒成立问题，综合性强，解答的难点在于（2）中求解是否存在的问题；解答时要根据()g x 的定义域，得到()g x 在()0,¥+是增函数，若()()()()g h x f h x >恒成立，则首先要满足()0h x >恒成立，然后利用换元法结合()g t 在(]0,3上是增函数，()f t 在(]0,3上是减函数，进行求解．。
湖北省武汉市洪山2024-2025学年高一上学期9月考试数学试卷(解析版)
武汉市洪山2027届高一第一学期9月考试数学试卷（答案在最后）命题人：试题分值：150分考试时长：120分钟2024.09.19一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知命题p ：x ∀∈R ，2430x x -++>，则命题p 的否定为（）A.x ∀∈R ，2430x x -++≤B.x ∀∈R ，2430x x -++<C.x ∃∈R ，2430x x -++≤D.x ∃∈R ，2430x x -++<【答案】C 【解析】【分析】根据全称量词命题的否定求得结果.【详解】根据命题的否定，任意变存在，范围不变，结论相反，则命题p 的否定为“x ∃∈R ，2430x x -++≤”.故选：C .2.下列各组函数是同一个函数的是（）A.321x x y x +=+与y x= B.y =1y x =-C.2x y x=与y x= D.x y x=与1y =【答案】A 【解析】【分析】根据相同函数的定义，依次判断选项即可.【详解】A ：函数3222(1)11x x x x y x x x ++===++和y x =的定义域为R ，解析式一样，故A 符合题意；B ：函数1y x ==-与1y x =-的定义域为R ，解析式不一样，故B 不符合题意；C ：函数2x y x x==的定义域为{}0x x ≠，y x =的定义域为R ，解析式一样，故C 不符合题意；D ：函数1x y x==±的定义域为{}0x x ≠，1y =的定义域为R ，解析式不一样，故D 不符合题意.3.“a b >”是“1ba<”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】D 【解析】【分析】根据充分必要条件的定义分别判断即可．【详解】解：0a >时，由1ba<，解得：a b >，0a <时，解得：a b <，不是必要条件，反之a b >也推不出1ba<，比如0,1a b ==-，不是充分条件，故“a b >”是“1ba<”的既不充分也不必要条件．故选：D ．4.若a b >，d c >，且()()0c a c b --<，()()0d a d b -->，则（）A.b a c d <<<B.b c a d <<<C.c d b a <<<D.b c d a<<<【答案】B 【解析】【分析】解一元二次不等式，求出b c a <<，d a >或d b <，结合d c >，得到正确答案.【详解】因为a b >，()()0c a c b --<，所以b c a <<，又因为()()0d a d b -->，所以d a >或d b <，因为d c >，所以d b <不合要求，所以d a >，综上：b c a d <<<.故选：B5.已知集合12,Z 3A x x k k ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭，21,Z 3k B x x k ⎧⎫+==∈⎨⎬⎩⎭，则（）A.A B⊆ B.A B =∅C.A B= D.A B⊇【解析】【分析】由集合A ，B 中的元素特征判断可得.【详解】1612,Z ,Z 33k A x x k k x x k ⎧⎫⎧⎫+==+∈==∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭，当Z k ∈时，21k +表示2的整数倍与1的和，61k +表示6的整数倍与1的和，故A B ⊆，故选：A6.不等式20ax bx c -+>的解集为{}21x x -<<，则函数2y ax bx c =-+的图象大致为（）A.B.C.D.【答案】A 【解析】【分析】根据题意，可得方程20ax bx c -+=的两个根为2x =-和=1x ，且0a <，结合二次方程根与系数的关系得到a 、b 、c 的关系，再结合二次函数的性质判断即可．【详解】因为20ax bx c -+>的解集为{}21x x -<<，所以方程20ax bx c -+=的两根分别为2-和1，且0a <，则()21,21,b ac a ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-⨯=⎪⎩变形可得,2,b a c a =-⎧⎨=-⎩故函数()()22221y ax bx c ax ax a a x x =-+=+-=+-的图象开口向下，且与x 轴的交点坐标为()1,0和()2,0-，故A 选项的图象符合.故选：A7.关于x 的不等式()21220x a x a -++<的解集中恰有2个整数，则实数a 的取值范围是（）A.{}2134a a a -≤<-<≤或 B.{}2134a a a -≤≤-≤≤或C.131222a a a ⎧⎫-≤<-<≤⎨⎬⎩⎭或 D.131222a a a ⎧⎫-≤≤-≤≤⎨⎬⎩⎭或【答案】C 【解析】【分析】分类讨论12a =，12a >与12a <三种情况下原不等式的解集，结合题意可得该整数，列不等式即可得到a 的取值范围．【详解】由()21220x a x a -++<可得(1)(2)0x x a --<，当12a =时，2(1)(2)(1)0x x a x --=-≥，即原不等式无解，不满足题意；当12a >时，原不等式解得12x a <<，由于解集中恰有2个整数，所以该整数解为2和3，因此可得324a <≤，即322a <≤；当12a <时，原不等式解得21a x <<，由于解集中恰有2个整数，所以该整数解为1-和0，因此由数轴法可得221a -≤<-，即112a -≤<-；综上：112a -≤<-或322a <≤，所以实数a 的取值范围为1{|12a a -≤<-或32}2a <≤．故选：C ．8.已知[]x 表示不超过x 的最大整数，集合[]{}03A x x =∈<<Z ，()(){}2220B x x axxx b =+++=，且 R A B ⋂=∅ð，则集合B 的子集个数为（）．A.4B.8C.16D.32【答案】C 【解析】【分析】由新定义及集合的概念可化简集合{}1,2A =，再由()A B ⋂=∅R ð可知A B ⊆，分类讨论1,2的归属，从而得到集合B 的元素个数，由此利用子集个数公式即可求得集合B 的子集的个数.【详解】由题设可知，[]{}{}Z |031,2A x x =∈<<=，又因为()A B ⋂=∅R ð，所以A B ⊆，而()(){}22|20B x x axxx b =+++=，因为20x ax +=的解为=0x 或x a =-，220x x b ++=的两根12,x x 满足122x x +=-，所以1,2分属方程20x ax +=与220x x b ++=的根，若1是20x ax +=的根，2是220x x b ++=的根，则有221+1=02+22+=0a b ⎧⨯⎨⨯⎩，解得=1=8a b -⎧⎨-⎩，代入20x ax +=与220x x b ++=，解得=0x 或=1x 与=2x 或4x =-，故{}0,1,2,4B =-；若2是20x ax +=的根，1是220x x b ++=的根，则有222+2=01+21+=0a b ⎧⨯⎨⨯⎩，解得=2=3a b -⎧⎨-⎩，代入20x ax +=与220x x b ++=，解得=0x 或=2x 与=1x 或3x =-，故{}0,1,2,3B =-；所以不管1,2如何归属方程20x ax +=与220x x b ++=，集合B 总是有4个元素，故由子集个数公式可得集合B 的子集的个数为42=16.故选：C二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有错选得0分．9.已知非空集合,,A B C 都是R 的子集，满足B A ⊆，A C ⋂=∅，则（）A.A B A =B.()A C A ⋂=R ðC.B C B =D.()R B C B⋂=ð【答案】ABD 【解析】【分析】根据交集、并集、补集的定义及性质判断各选项.【详解】对于A ，由B A ⊆可得A B A = ，故A 正确；对于B ，由A C ⋂=∅，可得A C ⊆R ð，从而()A C A ⋂=Rð，故B 正确；对于C 、D ，结合B A ⊆与A C ⋂=∅，可知B C =∅ ，又B A C ⊆⊆R ð，所以()RB C B ⋂=ð，故C错误，D 正确.10.已知函数22,1()1,12x x f x x x +≤-⎧=⎨+-<<⎩，下列关于函数()f x 的结论正确的是（）A.()f x 的定义域是RB.()f x 的值域是(),5-∞C.若()3f x =，则x = D.()f x 的图象与直线2y =有一个交点【答案】BCD 【解析】【分析】根据函数的定义域、值域、由函数值求自变量、函数图象等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】A 选项，()f x 的定义域是(),2∞-，所以A 选项错误.B 选项，当1x ≤-时，21x +≤，当12x -<<时，2204,115x x ≤<≤+<，所以()f x 的值域是(),5∞-，所以B 选项正确.C 选项，由B 选项的分析可知，若()3f x =，则21213x x -<<⎧⎨+=⎩，解得x =C 选项正确.D 选项，画出()f x 的图象如下图所示，由图可知，D 选项正确.故选：BCD11.已知()0,0,214a b ab a b >>++=，则下列正确的是（）A.ab 的最大值为11-B.3322a b +++C.()1a b +最大值为8D.2a b +的最大值为6【答案】BC【分析】根据基本不等式对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】依题意，()0,0,214a b ab a b >>++=，A 选项，()2142ab a b ab ++=≥+⨯2140+≤，解得02<≤-+当且仅当()214a bab a b =⎧⎨++=⎩，即2a b ==-+时等号成立，所以(20222ab <≤-+=-，所以A 选项错误.B 选项，()214ab a b ++=，()()()422218ab a b a b +++=++=，()()()3322132222226a b a b a b a b ++++=⨯=+++++++1163≥⨯==，当且仅当22,2a b a b +=+==-+时等号成立，所以B 选项正确.D 选项，()()211221422222222b a ab a b b a b a b a ++⎛⎫=++=+++≤++ ⎪⎝⎭，整理得()()221221080b a b a +++-≥，()()218260,26b a b a b a +++-≥+≥，当且仅当224b a =+=时等号成立，所以D 选项错误.C 选项，()()142212ab a b ab b a b b a a b =++=+++=+++，由D 选项的分析可知：()()11421468b a a b +=-+≤-=，所以C 选项正确.故选：BC【点睛】方法点睛：用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：“一正，二定，三相等”.（1）“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方，注意多次运用不等式，等号成立条件是否一致.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知集合{|1}A x x =>，{|}B x x a =>，若A B ⊆，则实数a 的取值范围是______.【答案】(,1]-∞【解析】【分析】在数轴上画出两个集合对应的范围，利用A B ⊆可得实数a 的取值范围.【详解】如图，在数轴表示,A B ，因为A B ⊆，故1a ≤，填(],1-∞.【点睛】含参数的集合之间的包含关系，应借助于数轴、韦恩图等几何工具直观地讨论参数的取值范围，解决此类问题时，还应注意区间端点处的值是否可取.13.函数1()f x x=+的定义域是_________．【答案】()(],00,1-∞⋃【解析】【分析】根据偶次方根的被开方数非负、分母不为零得到方程组，解得即可；【详解】解：因为()1f x x =+100x x -≥⎧⎨≠⎩，解得1x ≤且0x ≠，故函数的定义域为()(],00,1-∞⋃；故答案为：()(],00,1-∞⋃14.定义集合{|}P x a x b =≤≤的“长度”是b a -，其中a ，b ∈R ．已如集合1{|}2M x m x m =≤≤+，3{|}5N x n x n =-≤≤，且M ，N 都是集合{|12}x x ≤≤的子集，则集合M N ⋂的“长度”的最小值是_____；若65m =，集合M N ⋃的“长度”大于35，则n 的取值范围是__________.【答案】①.110##0.1②.8179,,25105⎡⎫⎛⎤⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦【解析】【分析】空1：根据区间长度定义得到关于,m n 的不等式组，再分类讨论即可；空2：代入65m =得到617510M x x ⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭，再根据区间长度大于35，得到关于n 的不等式组，解出即可.【详解】集合1{|}2M x m x m =≤≤+，3{|}5N x n x n =-≤≤，且M ，N 都是集合{|12}x x ≤≤的子集，由1122m m ≥⎧⎪⎨+≤⎪⎩，可得312m ≤≤，由3152n n ⎧-≥⎪⎨⎪≤⎩，可得825n ≤≤．要使M N ⋂的“长度”最小，只有当m 取最小值、n 取最大或m 取最大、n 取最小时才成立.当1m =，2n =，7352M N x x ⎧⎫⋂=≤≤⎨⎬⎩⎭，“长度”为3712510-=，当32m =，85n =，3825M N x x ⎧⎫⋂=≤≤⎨⎩⎭，“长度”为8315210-=，故集合M N ⋂的“长度”的最小值是110；若65m =，617510M x x ⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭，要使集合M N ⋃的“长度”大于35，故31735105n -<-或63,55n >+即1710n <或9,5n >又825n ≤≤，故8179,,25105n ⎡⎫⎛⎤∈⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦.故答案为：110；8179,,25105⎡⎫⎛⎤⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦.【点睛】关键点点睛：本题的关键是充分理解区间长度的定义，再根据交并集的含义得到不等式组，结合分类讨论的思想即可.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.已知R 为全集，集合21|1,R 1x A x x x -⎧⎫=≤∈⎨⎬+⎩⎭，集合{}11B x a x a =-≤≤+．（1）求集合A ；（2）若R B A B ⋂=ð，求实数a 的取值范围．【答案】（1）{}12A x x =-<≤（2）{2a a ≤-或}3a >【解析】【分析】（1）将分式不等式化为()()21010x x x ⎧-+≤⎨+≠⎩，解出解集，得到集合A ；（2）由（1）得到R A ð，根据R B A B ⋂=ð得到R B A ⊆ð，从而列出不等式，求出实数a 的取值范围.【小问1详解】因为2111x x -≤+，即21101x x --≤+，即021x x ≤-+，所以()()21010x x x ⎧-+≤⎨+≠⎩，解得：12x -<≤，故{}12A x x =-<≤；【小问2详解】由（1）得：{}12A x x =-<≤，所以{R 1A x x =≤-ð或}2x >，因为R B A B ⋂=ð，所以R B A ⊆ð，又{}11B x a x a =-≤≤+，因为11a a -<+，故B ≠∅，则11a ≤-+或12a ->，解得：2a ≤-或3a >，综上：实数a 的取值范围为{2a a ≤-或}3a >.16.已知集合{}2560A x x x =--<，{}121B x m x m =+<<-且B ≠∅.（1）若“命题:p x A ∃∈，x B ∈”是真命题，求实数m 的取值范围；（2）若:s x B ∈是:t x A ∈的充分不必要条件，求实数m 的取值范围.【答案】（1）{}|25m m <<（2）7|22m m ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭【解析】【分析】（1）由命题:,p x A x B ∃∈∈是真命题，可知A B ≠∅ ，又B ≠∅，可得m 的取值范围；（2）由:s x B ∈是:t x A ∈的充分不必要条件,得B 是A 的真子集，又B ≠∅，可得m 的取值范围.【小问1详解】因为B ≠∅，所以2112m m m ->+⇒>命题:,p x A x B ∃∈∈是真命题，可知A B ≠∅ ，因为{}|16A x x =-<<，{}|121B x m x m =+<<-，2116m m >⎧⎨-<+<⎩，25m ∴<<,故m 的取值范围是{}|25m m <<.【小问2详解】若:s x B ∈是:t x A ∈的充分不必要条件,得B 是A 的真子集，B ≠∅，21111216m m m m ->+⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩，解得722<≤m ，故m 的取值范围是7|22m m ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭.17.已知0a b c >,,，且234a b c ++=．（1）证明:222(23)(3)(2)82233b c a c a b a b b c a c+++++≥+++．（2）若23b c =，求11212333a abc -++++的最小值．【答案】（1）证明见解析（2）13【解析】【分析】（1）利用基本不等式可得()2(23)22232b c a b b c a b +++≥++，()2(3)232323a c b c a c b c+++≥++，()2(2)3223a b a c a b a c+++≥++，求和即可证明；（2）原不等式可化为111922123332123a abc a b -+=+-+++++，且()()2142321a b +++=，利用基本不等式可求得11212333a abc -++++的最小值.【小问1详解】()2(23)22232b c a b b c a b +++≥++，①()2(3)232323a c b c a c b c +++≥++②()2(2)3223a b a c a b a c +++≥++③①+②+③得()()222(23)(3)(2)2234232233b c a c a b a b c a b c a b b c a c++++++++≥+++++，即()222(23)(3)(2)22382233b c a c a b a b c a b b c a c+++++≥++=+++，当且仅当4233a b c ===时，等号成立．【小问2详解】由23b c =，得44a b +=，即44a b =-，所以111144114610212333212323212323a b b a b c a b b a b b ---+-+=-+=-++++++++++1922123a b =+-++由44a b +=，得288a b +=，得()()2142321a b +++=，即()()121423121a b ⎡⎤+++=⎣⎦，所以()()()()42392119119121423372123212123212123b a a b a b a b a b ⎡⎤++⎛⎫⎡⎤+=++++=++⎢⎥ ⎪⎣⎦++++++⎝⎭⎣⎦17[37213≥+=．所以11212333a a b c -++++的最小值为71233-=，当且仅当()()4239212123b a a b ++=++，即31,4a b ==时，等号成立．18.LED 灯具有节能环保的作用，且使用寿命长．经过市场调查，可知生产某种LED 灯需投入的年固定成本为4万元每生产x 万件该产品，需另投入变动成本()W x 万元，在年产量不足6万件时，()212W x x x =+，在年产量不小于6万件时，()100739W x x x =+-．每件产品售价为6元．假设该产品每年的销量等于当年的产量．（1）写出年利润()L x (万元)关于年产量x (万件)的函数解析式．(注：年利润＝年销售收入－固定成本－变动成本)（2）年产量为多少万件时，年利润最大？最大年利润是多少？【答案】（1）()2154,06,210035, 6.x x x L x x x x ⎧-+-<<⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩（2）当年产量为10万件时，年利润最大，最大年利润为15万元．【解析】【分析】(1)根据“年利润＝年销售收入－固定成本－变动成本”，分06x <<和6x ≥即可求出L (x )的解析式；(2)根据二次函数和基本不等式分别求出L (x )在06x <<和6x ≥时的最大值，比较即可得到答案．【小问1详解】∵每件产品售价为6元，∴x 万件产品的销售收入为6x 万元，依题意得，当06x <<时，()2211645422L x x x x x x ⎛⎫=-+-=-+- ⎪⎝⎭，当6x ≥时，()1001006739435L x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-+--=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．∴()2154,06,210035, 6.x x x L x x x x ⎧-+-<<⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩【小问2详解】当06x <<时，()()2117522L x x =--+，当5x =时，()L x 取得最大值172．当6x ≥时，()1003535352015L x x x ⎛⎫=-+≤--= ⎪⎝⎭，当且仅当100x x =，即10x =时，()L x 取得最大值15．∵17152<，∴当年产量为10万件时，年利润最大，最大年利润为15万元．19.问题：正实数a ，b 满足1a b +=，求12a b +的最小值.其中一种解法是：()12121b a b a b a b a ⎛⎫+=++=+ ⎪⎝⎭223a b+++≥，当且仅当2b a a b =且1a b +=时，即1a =且2b =.学习上述解法并解决下列问题：（1）若正实数x ，y 满足1x y +=，求23x y+的最小值；（2）若实数a ，b ，x ，y 满足22221x y a b-=，求证：()222a b x y -≤-；（3）求代数式M =的最小值，并求出使得M 最小的m 的值.【答案】（1）5+（2）证明见解析（3）136m =时，M 取得最小值63．【解析】【分析】（1）利用“1”的代换凑配出积为定值，从而求得和的最小值；（2）利用已知，222222222222222222()1()()()x y b x a y a b a b a b x y a b a b -=-⨯=--=+-，然后由基本不等式进行放缩：2222222b x a y xy a b+≥，再利用不等式的性质得出大小．并得出等号成立的条件．（3）令x =y =22221x y a b -=，即以2231x y -=，即221113x y -=，然后利用（2）的结论可得．【小问1详解】因为0,0x y >>,1x y +=，所以32()()5552323x y x y y x x x y y =+=++≥++++，当且仅当32x y y x=，即2,3x y ==-所以x y +的最小值是5+【小问2详解】222222222222222222()1()()()x y b x a y a b a b a b x y a b a b -=-⨯=--=+-，又2222222b x a y xy a b +≥=，当且仅当222222b x a y a b =时等号成立，所以22222222(b x a y x y a b +-+2222222()x y xy x y xy x y ≤+-≤+-=-，所以222()a b x y -≤-，当且仅当222222b x a y a b =且,x y 同号时等号成立．此时,x y 满足22221x y a b -=.【小问3详解】令x =y =，由35020m m -≥⎧⎨-≥⎩得2m ≥，()()22352230x y m m m -=---=->，又0,0x y >>，所以x y >，构造22221x y a b-=，由2231x y -=，可得221113x y -=，因此2211,3a b ==，由（2）知M =3x y =-≥==，取等号时，22133x y =且,x y 同正，结合2231x y -=，解得,26x y ==2=，136m =．所以136m =时，M 取得最小值63．。
2022-2023学年湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学高一年级上册学期期末数学试题【含答案】
华中师大一附中2022—2023学年度上学期高一期末检测数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1. 如图，是全集，，，是的子集，则阴影部分表示的集合是（）U M N P UA. B. ()M N P ⋂⋂()M N P ⋃⋂C.D.()()U M N P ⋂⋂ ()()UM N P ⋃⋂ 【答案】C 【解析】【分析】根据文氏图的意义，阴影部分为集合的外部与集合集合交集内部的公共部分，求解即可.M N P 【详解】根据题意，阴影部分为集合的外部与集合集合交集内部的公共部分，M N P 即.()()UM N P ⋂⋂ 故选：C.2. 若，均为实数，则“”是“”的（ ）a b 22a b >a b >A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】通过不等式的性质一一验证其充分性与必要性即可.【详解】若，则，则或，故充分性不成立；22a b >a b >a b >a b<-若，则，故必要性成立；a b>22a b >故“”是“”的必要不充分条件.22a b >a b >故选：B.3. 下列坐标所表示的点不是函数图象的对称中心的是（ ）tan 34y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭A. B. C. D. 5,012π⎛⎫⎪⎝⎭3,012π⎛⎫ ⎪⎝⎭,06π⎛⎫ ⎪⎝⎭,012π⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】【分析】根据正切函数的性质即可求得对称中心.【详解】由已知，令()3,Z 42612k k x x k ππππ-=⇒=+∈当时，，ABD 均符合题意，0,1,2k =35,,121212x πππ=故选：C4. 尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解.例如，地震时释放出的能量（单位：焦耳）与地震级数之间的关系式为.2022年9月18日14时44分在中E M lg 4.8 1.5E M =+国台湾花莲发生的6.9级地震所释放出来的能量是2020年12月30日8时35分在日本本州东海岸发生的5.1级地震的倍，则下列各数中最接近的值为（ ）m m A. 100 B. 310C. 500D. 1000【答案】C 【解析】【分析】根据地震释放出的能量与地震级数之间的关系式，将两次地震等级分别代E M lg 4.8 1.5E M =+入，利用对数运算法则可得两次能量的比值，近似计算可确定选项.E 【详解】设6.9级地震所释放出来的能量是，日本5.1级地震所释放出来的能量是，1E 2E 则，；1lg 4.8 1.5 6.9E =+⨯2lg 4.8 1.5 5.1E =+⨯可得，所以1122lg lg lg2.7E E E E -==()2.7 2.53121010,10E m E ==∈而，即.52.521010316==≈()316,1000m ∈故选：C5. 函数的部分图象形状大致是（ ）()21sin 1πxf x x ⎛⎫=-⋅ ⎪+⎝⎭A. B.C. D.【答案】A 【解析】【分析】首先根据函数解析式可判断函数为偶函数，再利用特殊值的符号通过排除法即可得出结果.()f x 【详解】根据题意可知，定义域为，()2π11sin sin 1ππ1x xxf x x x -⎛⎫=-⋅=⋅ ⎪++⎝⎭x ∈R 而，()()π11ππ1sin()sin sin ()π1π1π1x x x x x x f x x x x f x ------=⋅-=⋅-=⋅=+++所以函数为偶函数，图像关于轴对称，可排除CD ；()f x y 根据图象可利用可排除B.()2221sin 201πf ⎛⎫=-⋅ ⎪+⎝⎭>故选：A6. 若扇形的周长为定值，圆心角为，则当扇形的面积取得最大值时，该扇形的圆心角l ()02παα<<的值为（ ）αA. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】B 【解析】【分析】根据扇形的弧长公式和面积公式，将面积写成关于的表达式，再利用二次函数性质即可求得S l 结果.【详解】设扇形的半径为，弧长为，r L 因此，22L r r r l α+=+=扇形的面积，2111(2)222S Lr l r r r lr ==-=-+由二次函数性质可知，当时，扇形面积取到最大值；4lr =此时，.2lr α=2α=故选：B 7. 设，，，则（ ）3log 2a =6log 4b =135log 40c =A. B. C. D. c b a <<a b c<<b a c<<a c b<<【答案】D 【解析】【分析】利用换底公式将表示成分式形式，再利用加糖不等式和对数函数单调性即可判断出大小.,,a b c 【详解】由题意可知，，3lg 2log 2lg 3a ==，6lg 42lg 2lg 2lg 2lg 6lg 3lg 2lg 3lg 2log 4b =+=++==利用加糖不等式可知；(0,0)m m k m n k n n k +<<+a b <又13135131lg 2lg 5lg 40lg 5lg83lg 2lg 5lg 2lg 53log 401lg135lg 5lg 273lg 3lg 5lg 3lg 5lg 3lg 53c ++++======++++又因为，1358,lg 5lg 2<<同理根据加糖不等式，，即.1313lg 2lg 2lg 5lg 2lg 2lg 3lg 3lg 2lg 3lg 5++++<<a c b <<故选：D8. 定义在上的偶函数满足，且当时，R ()f x ()()22f x f x -=+[]0,2x ∈，若关于的方程至少有8个实数解，则实数的取值范()21,012sin 1,122x x f x x x π⎧-≤≤⎪=⎨-<≤⎪⎩x ()ln x f x λ=λ围是（）A. B. 11,ln 6ln 5⎡⎤-⎢⎥⎣⎦11,ln 6ln 5⎛⎤- ⎥⎝⎦C.D. 11,,ln 6ln 5⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭11,00,ln 6ln 5⎡⎫⎛⎤-⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦【答案】A 【解析】【分析】根据函数的周期性画出函数的图像，利用对称性判断轴两个函数图像交点个数列出不等式，解y 不等式即可得到范围.【详解】由已知满足， 且函数为偶函数，()f x ()()22f x f x -=+()f x 所以，()()()()2222f x f x f x f x +=-=--=-⎡⎤⎣⎦令，()2(4)t x f t f t =-⇒+=所以函数是周期为的周期函数.()f x 4又因为与函数都是偶函数，由对称性可知()f x ln xλ由于关于的方程至少有8个实数解，x ()ln x f x λ=故当时，与至少有个交点.0x >()y f x =ln y x λ=4函数与图像如图所示.()y fx =ln y x λ=由图可知：当时，只需，解得0λ>ln 51λ≤10ln 5λ<≤当时，只需，解得0λ<ln 61λ≥-1ln 6λ-≤<当时，显然符合题意.0λ=综上所述：.11,ln 6ln 5λ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦故选：A二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的.全选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.9. 若，则下列说法中正确的是（ ）()*0,1,N n a b a n n =>>∈A. 当为奇数时，的次方根为 B. 当为奇数时，的次方根为n b n a n a n b C. 当为偶数时，的次方根为 D. 当为偶数时，的次方根为n a n b ±n b n a±【答案】AD 【解析】【分析】根据，讨论为奇数和偶数两种情况，求出的次方根即可判断得()*0,1,N n a b a n n =>>∈n b n 出结果.【详解】当为奇数时，可知的次方根只有一个，为，n b n a 当为偶数时，由于，所以的次方根有两个，为;n ()n na ab ±==b n a ±所以只有AD 正确.故选：AD10. 已知，则下列不等式正确的是（）1m n >>A.B.22n nm m +<+11m n m n +>+C. D.3322+>m n m n 11+>+m n n m【答案】BD 【解析】【分析】通过对选项利用不等式性质进行拆解，在通过已知条件反证一一推导即可.【详解】对于选项A ：，1m n >> ，22m n ∴>，22mn m mn n ∴+>+，()()22m n n m ∴+>+都大于零,m n ，22n nm m +∴>+故选项A 错误；对于选项B ：，1m n >> ，且，1mn >∴1m n ->，()mn m n m n∴->-，22m n mn m n ∴->-，22m n n mn m ∴+>+，11m n m n +>+∴故选项B 正确；对于选项C ：当，时，3m =2n =，33227835236m n m n +=+=<=故选项C 错误；对于选项D ：，1m n >> ，110n m ∴>>，11m n n m +>+∴故选项D 正确.故选：BD11. 已知，，则下列结论正确的是（ ）()0,θπ∈7sin cos 5θθ-=A.B.C.D. ,2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭4cos 5θ=-3tan 4θ=-2tan 121tan 25θθ=-+【答案】AD 【解析】【分析】由已知得，，确定的范围判断A ，求解与值判断B 与C ，把sin 0θ>cos 0θ<θcos θtan θ代入，化简判断D.tan θ2tan 1tan θθ+【详解】对于A ：由，，两边平方得：，()0,πθ∈7sin cos 5θθ-=4912sin cos 25θθ-=则,得，，则,故A 正确；242sin cos 025θθ=-<sin 0θ>cos 0θ<π,π2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭对于B 、C 、D ：∵，则，π,π2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ππ3π,444θ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭∴，(πsin cos 4θθθ⎛⎫-=-∈ ⎪⎝⎭又，1sin cos 5θθ+====±当时，联立，解得，，1sin cos 5θθ+=1sin cos 57sin cos 5θθθθ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩4sin 5θ=3cos 5θ=-∴，；sin 4tan cos 3θθθ==-24tan 123161tan 2519θθ-==-++当时，联立，解得，，1sin cos 5θθ+=-1sin cos 57sin cos 5θθθθ⎧+=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩3sin 5θ=4cos 5θ=-∴，.sin 3tan cos 4θθθ==-23tan 12491tan 25116θθ-==-++故B 、C 错误，D 正确.故选：AD.12. 设函数是定义在上的减函数，并且同时满足下列两个条件：①对，都()f x ()0,∞+(),0,x y ∀∈+∞有；②；则下列结论正确的是（）()()x f f x f y y⎛⎫=- ⎪⎝⎭()21f =-A.()10f =B. 不等式的解集为()()21f x f x +-<01x x ⎧⎪<<+⎨⎪⎩C.()42f =-D. 使关于的不等式有解的所有正数的集合为x ()()22f kx f x +-<k 14k k ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭【答案】ACD 【解析】【分析】利用赋值法判断选项A ，C ，根据函数的单调性化简不等式，求其解，即可判断B ，根据函数的单调性化简不等式，根据不等式有解列不等式求的范围判断D ．k 【详解】因为对，都有，(),0,x y ∀∈+∞()()x f f x f y y⎛⎫=- ⎪⎝⎭令，即，则，故选项A 正确；1x y ==(1)(1)(1)f f f =-(1)0f =令，则，又，所以，故选项C 正确；4,2x y ==(2)(4)(2)f f f =-()21f =-()42f =-令，则，所以，12,2x y ==()()1422f f f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭112f ⎛⎫= ⎪⎝⎭所以，，可化为，()()21f x f x +-<(0,2)x ∈()()122f x f x f ⎛⎫+-< ⎪⎝⎭故，所以()()()1122f x f f f x ⎛⎫-<-- ⎪⎝⎭()122f x f x ⎛⎫< ⎪-⎝⎭因为函数在上单调递减，所以，且，()f x ()0+∞，122x x >-02x <<解得：，所以的取值范围为，故选项B错误；11x <<+x 11x x ⎧⎪-<<+⎨⎪⎩不等式可化为，()()22f kx f x +-<()()11222f kx f f f x ⎛⎫⎛⎫-<-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故，所以且，，()1242f kx f x ⎛⎫< ⎪-⎝⎭1242kx x >-02x <<0k >得，此不等式有解，等价于，14(2)k x x >-min 14(2)k x x ⎡⎤>⎢⎥-⎣⎦在的范围内，由基本不等式，当且仅当，即时等号成02x <<22(2)12x x x x +-⎛⎫-≤= ⎪⎝⎭2x x =-1x =立，，，故即为所求范围，故选项D 正确，4(2)4x x -≤114(2)4x x ≥-14k >故选：ACD ．【点睛】问题解决的关键在于通过赋值法求函数值，利用已知关系及函数单调性化简不等式.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.第16题第一小问2分，第二小问3分.13. 函数的单调递增区间是______.()()213log 65f x x x =-+-【答案】##(3,5)[3,5)【解析】【分析】由对数函数的真数大于零可得的定义域，根据复合函数单调性同增异减原则，即求()f x 的单调递减区间即可.265u x x =-+-【详解】由有意义可得，所以，故函数()()213log 65f x x x =-+-2650x x -+->15x <<的定义域为，()()213log 65f x x x =-+-()1,5令， ，265u x x =-+-15x <<又根据二次函数的图象与性质可知，函数在区间上单调递增，265u x x =-+-(1,3]在区间上单调递减，[3,5)又由函数为单调递减函数，13log y u=根据复合函数同增异减可得，函数的单调递增区间为.()f x [3,5)故答案为：.[3,5)14.______.())21lg122log 392lg 5lg 2·lg 5014-⎛⎫++-+-=⎪⎝⎭【答案】133【解析】【分析】通过指对运算一步一步运算即可得出答案.【详解】())21lg122log 392lg 5lg 2·lg 5014-⎛⎫++-+- ⎪⎝⎭()())102243lg 5lg 2·lg 5lg1019⎛⎫=+++-+⎪⎝⎭()()223lg 5lg 2·lg 5113=+++-+()210lg 5lg 2·lg 5lg 23=+++()10lg 5·lg 5lg 2lg 23=+++()10lg 5·lg10lg 23=++10lg 5lg 23=++1013=+133=故答案为：.13315. 在中，为它的三个内角，且满足，，则ABC ,,A B C 3sin 4cos 6A B +=3cos 4sin 1A B +=______.C =【答案】##π630【解析】【分析】将题目中的两个式子平方后相加，可得，再利用诱导公式和三角函数单调性即可1sin()2A B +=求得结果.【详解】由题意可知，将两边同时平方得3sin 4cos 63cos 4sin 1A B A B +=⎧⎨+=⎩将两式相加得22229sin 16cos 24sin cos 369cos 16sin 24cos sin 1A B A B A B A B ⎧++=⎨++=⎩，即，所以24(sin cos cos sin )12A B A B +=1sin()2A B +=1sin 2C =可得或；π6C =5π6C =又因为，得，13cos 4sin 0A B -=>11cos 32A <<由余弦函数单调性可得，所以不合题意；π3A >5π6C =因此.π6C =故答案为：π616. 已知函数的图象是一个中心对称图形，它的对称中心为______；函数()1117122f x x x x =+++--的图象与函数图象的交点分别为，，，…，（为正整()f x ()132121x x g x -⋅+=+()11,x y ()22,x y (),m m x y m 数），则______.()()()()112233m m x y x y x y x y ++++++++= 【答案】 ①.②. 712⎛⎫ ⎪⎝⎭，92m 【解析】【分析】证明函数为奇函数，由此确定函数的对称中心，证明与的对称中()712f x +-()f x ()g x ()f x 心重合，结合对称性及加法的运算律求值.【详解】因为，所以，()1117122f x x x x =+++--()7111212f x x x x -=++--设，则函数的定义域为，()()71111211h x f x x x x =+-=+++-()h x ()()()(),11,00,11,-∞-⋃-⋃⋃+∞且，()()1111111111h x h x x x x x x x ⎛⎫-=++=-++=- ⎪-+----+⎝⎭所以函数为奇函数，故函数的图象关于原点对称，即函数的图象关于原点对称，()h x ()h x ()712f x +-所以函数的图象关于对称，()f x 712⎛⎫ ⎪⎝⎭，因为，所以，()132121xx g x -⋅+=+()()17321752512212212x x xxg x +⋅+⋅-+-=-=++所以，()()()()()()521512771122221212xx x x g x g x ----⎡⎤-+-===-+-⎢⎥++⎣⎦所以函数为奇函数，故函数的图象关于对称，()712g x +-()g x 712⎛⎫ ⎪⎝⎭，又函数的图象与函数图象的交点分别为，，…，，()f x ()132121x x g x -⋅+=+()11,x y ()22,x y (),m m x y ，点不在函数图象上，所以为偶数，设，()712g =71,2⎛⎫ ⎪⎝⎭()f x m 2m k =不妨设，则，122k x x x <<⋅⋅⋅<1222112k k k k x x x x x x -++=+=⋅⋅⋅=+=，1222117k k k k y y y y y y -++=+=⋅⋅⋅=+=所以，()()()1212121222112k k k k k k k k x x x x x x x x x x x x k m+--+++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++=++++⋅⋅⋅++==同理，121212772k k k k m y y y y y y k +-++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++==.()()()()()()11223312212292m m k k m x y x y x y x y x x x y y y ++++++++=++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+=【点睛】本题解决的关键在于通过证明，为奇函数，确定其对称性，结合对称()712f x +-()712g x +-性求解问题.四、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 设全集，集合，非空集合，其中.U =R 12324x A x ⎧⎫=≤<⎨⎬⎩⎭{}232B x a x a =-≤≤+a ∈R （1）若，求；1a =()U A B ∩ （2）从下列三个条件中任选一个作为已知条件，求的取值范围.①；②a ()()UUUA B B ⋃= ；③的一个充分条件是.注：如果选择多个条件分别作答，按第一个条件的解()U B A =∅x A ∈x B ∈答计分.【答案】（1）{}21x x -≤<（2）113a -≤<【解析】【分析】（1）将代入，求出集合，再求出集合，进一步求解即可；1a =B A （2）三个条件都说明，所以利用子集关系及非空集合列不等式计算即可.B A ⊆B 【小问1详解】当时，，或，又，1a ={}15B x x =≤≤{1U B x x =< }5x >{}25A x x =-≤<则.(){}21U A B x x ⋂=-≤< 【小问2详解】选择条件①：因为，所以，()()UUUA B B ⋃= ()()UUA B Í 即，又已知非空集合，BA ⊆{}232B x a x a =-≤≤+所以，23222325a aa a -≤+⎧⎪-≥-⎨⎪+<⎩所以.113a -≤<选择条件②：因为，则，()U B A =∅B A ⊆又已知非空集合，{}232B x a x a =-≤≤+所以，23222325a aa a -≤+⎧⎪-≥-⎨⎪+<⎩所以.113a -≤<选择条件③：的一个充分条件是，则，x A ∈x B ∈B A ⊆又已知非空集合，{}232B x a x a =-≤≤+所以，23222325a a a a -≤+⎧⎪-≥-⎨⎪+<⎩所以.113a -≤<18. 已知函数.()2f x mx nx=-（1）若的解集为，求不等式的解集；()f x t≥{}21x x -≤≤20nxmx t ++≤（2）若，且，求的最小值.0m >0n >()10f >14m m n n ++-【答案】（1） {|12}x x -≤≤（2）6【解析】【分析】(1)根据题意可得：和方程的两根，利用韦达定理得出2-120(0)mx nx t m --=<，，将要解的不等式化简整理即可求解；n m =-2t m =(2)由可得，然后利用基本不等式即可求解.()10f >0m n ->【小问1详解】因为的解集为，()f x t≥{}21x x -≤≤所以和方程的两根，由韦达定理可知：，2-120(0)mx nx t m --=<12nm t m ⎧=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩则有，，所以不等式可化为，n m =-2t m =20nx mx t ++≤220mx mx m -++≤因为，所以不等式可化为，解得：，0m <220x x --≤12x -≤≤所以不等式的解集为.20nx mx t ++≤{|12}x x -≤≤【小问2详解】因为，也即，又因为，，()10f >0m n ->0m >0n >所以，1414()6m m n n m n n m n n ++=-+++≥=--（当且仅当和同时成立时取等，也即时取等）1m n m n -=-4n n =3,2m n ==所以的最小值为.14m m n n ++-619. 已知函数（其中，）的最小正周期为，当时，取()()sin 2f x x ωϕ=+0ω>ϕπ<23π4xπ=()f x 到最大值.（1）求函数的单调递增区间；()f x （2）当时，若函数在区间上的值域为，求实数，的值.0a >()()g x af x b =+,363ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦[]1,3a b 【答案】（1）， 22,12343k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦k ∈Z （2），43a =53b =【解析】【分析】（1）根据已知条件，结合三角函数的周期公式，求出，再结合当时，取到最大值，ω4x π=()f x 推出的解析式，再结合三角函数的单调性即可得出答案；()f x （2）结合（1）的结论，的取值范围，得出的范围，即可得出的值域，根据已知条件列出方x ()f x ()g x 程组求解即可得出答案.【小问1详解】函数（其中，）的最小正周期为，()()sin 2f x x ωϕ=+0ω>ϕπ<23π，则，3223πωπ∴==()()sin 3f x x ϕ=+又当时，取到最大值，4x π=()f x ，，3242k ππϕπ∴⨯+=+k ∈Z解得，，24k πϕπ=-k ∈Z ，，则，ϕπ< 4πϕ∴=-()sin 34f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭令，，232242k x k πππππ-+≤-≤+k ∈Z 解得，，2212343k x k ππππ-+≤≤+k ∈Z 故函数的单调递增区间为，；()f x 22,12343k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦k ∈Z 【小问2详解】，，,363x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ 33,464x πππ⎡⎤∴-∈-⎢⎥⎣⎦，1sin 3,142x π⎛⎫⎡⎤∴-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，()12a b g x a b∴-+≤≤+函数在区间上的值域为， ()()g x af x b =+,363ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦[]1,3，解得，.1123a b a b ⎧-+=⎪∴⎨⎪+=⎩43a =53b =20. 两社区和相距2km ，现计划在两社区外以为直径的半圆弧（不含，两点）上选择一A B ABAB A B 点建造口袋公园（如图所示），其对社区的噪音影响度与所选地点到社区的距离有关.口袋公园对社区C 的噪音影响度是所选地点到社区的距离的平方的反比例函数，比例系数为0.01；对社区的噪音影响A A B 度是所选地点到社区的距离的平方的反比例函数，比例系数为，对社区和社区的总噪音影响度为B K A B 对社区和社区的噪音影响度之和.记点到社区的距离为，建在处的口袋公园对社区和社A B C A km x C A 区的总噪音影响度为.统计调查表明：当口袋公园建在半圆弧的中点时，对社区和社区的总噪B yAB A B 音影响度为0.05.（1）将表示成的函数；y x （2）判断半圆弧上是否存在一点，使得建在此处的口袋公园对社区和社区的总噪音影响度最小？AB A B 若存在，求出该点到社区的距离；若不存在，说明理由.A 【答案】（1）22119(02)1004y x x x ⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭<<（2）存在，当该点到社区的距离时，袋公园对社区和社区的总噪音影响度最小.A 1x =A B 【解析】【分析】（1）利用勾股定理即可得出，再根据反比例函数定义和已知条件可解得，224BC x =-0.09K =即可写出关于的函数；（2）利用整体代换和基本不等式确定的最小值，验证等号成立时的取值是y x y x 否符合题意，即可判断得出结论并确定位置.【小问1详解】由为直径可得，所以AB ACBC ⊥224BC x =-由题意可知，220.01(02)4Ky x x x =+-<<又当口袋公园建在半圆弧的中点时，对社区和社区的总噪音影响度为0.05，AB A B 即时，，代入得，x =0.05y =0.09K =所以，220.010.09(02)4y x x x =+-<<即关于的函数为y x 22119(02)1004y x x x ⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭<<【小问2详解】口袋公园对社区和社区的总噪音影响度最小，即的取值最小，A B y 由（1）知2222222211984211004100(4)25(4)x x y x x x x x x ++⎛⎫=+== ⎪---⎝⎭22242222211222122192542525119551222442x x x x x x x x ++=⨯=⨯=⨯-+⎛⎫⎛⎫⎛⎫-++--+++- ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎝⎭+ ⎪⎝⎭令，则可得2119,222x t ⎛⎫+=∈ ⎪⎝⎭2192554y t t=⨯-+-，当且仅当时，等号成立；99555244t t t t ⎛⎫-+-=-++≤-+= ⎪⎝⎭32t =且，所以，9504t t -+->212119252522554y t t =⨯≥⨯=-+-即，此时，即，解得.min 125y =32t =21322x +=1x =因此，半圆弧上存在一点，且该点到社区的距离满足时，建在此处的口袋公园对社区和社AB A 1x =A 区的总噪音影响度最小.B 21. 已知函数（且）为奇函数.()412x f x a a =-+0a >1a ≠（1）求实数的值及函数的值域；a ()f x （2）若函数在区间上有两个不同的零点，求实数的取值范围.()()()12x g x mmf x =+-(],2-∞m 【答案】（1），的值域为2a =()f x ()1,1-（2）2017⎤-⎥⎦【解析】【分析】（1）根据函数解析式可判断定义域，再根据奇函数性质利用可计算的值，将代入根()00f =a a 据指数型函数值域得求法即可求得函数的值域；（2）将函数在区间上有两个不同的()f x ()g x (],2-∞零点转化成方程在上有两个不相等的实数根，利用换元法根据二次函数根()20212x x m m +++=(],2-∞的分布情况即可求得实数的取值范围.m 【小问1详解】由题意可知，函数的定义域为，()f x x ∈R 由奇函数性质可知，，得；()044011022f a a a =-=-=++2a =所以，；()411222221x x f x =-=-⨯++又因为，所以()211,x+∈+∞()20,221x ∈+因此()()211,121x f x =-∈-+即函数的值域为.()f x ()1,1-【小问2详解】由得，，()()()12xg x m mf x =+-()()212121x x g x m m ⎛⎫=+- ⎪⎝+⎭-又函数在区间上有两个不同的零点，()g x (],2-∞即方程在区间上有两个不同的实数根；()0112122x x m m ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭-+(],2-∞整理得，()20212x x m m +++=令，由得，2xt =(],2x ∈-∞(]0,4∈t 即在上有两个不相等的实数根；()210m t t m +++=(]0,4∈t 所以，且或10m +≠14(1)0m m ∆=-+>1m -<1m -<时，需满足，解得1m -<()()22100014401042(1)m m m m m ⎧⎪+⨯++<⎪⎪+⨯++≤⎨⎪⎪<-<+⎪⎩0201798m m m ⎧⎪<⎪⎪≤-⎨⎪⎪<-⎪⎩2017m ≤-当时，需满足，该不等式组无解；1m -<()()22100014401042(1)m m m m m ⎧⎪+⨯++>⎪⎪+⨯++≥⎨⎪⎪<-<+⎪⎩综上可知，实数，m 2017m≤-即2017m ⎤∈-⎥⎦22. 欧拉对函数的发展做出了巨大贡献，除特殊符号、概念名称的界定外，欧拉还基于初等函数研究了抽象函数的性质.例如，欧拉引入了“倒函数”的定义：对于函数，如果对于其定义域中任意给定()y f x =D 的实数，都有，并且，就称函数为“倒函数”.x x D -∈()()1f x f x ⋅-=()y f x =（1）已知，，判断和是不是倒函数，并说明理由；()10xf x =()22xg x x -=+()y f x =()y g x =（2）若是定义在上的倒函数，当时，，方程是否有整数解？()f x R 0x ≤()413x f x x -=+()2023f x =并说明理由；（3）若是定义在上的倒函数，其函数值恒大于0，且在上单调递增.记，()f x R R ()()()21f x F x f x ⎡⎤-⎣⎦=证明：是的充要条件.120x x +>()()120F x F x +>【答案】（1）函数为倒函数，函数不是倒函数，理由见解析；()f x ()g x （2）方程没有整数解，理由见解析；()2023f x =（3）证明见解析.【解析】【分析】（1）利用“倒函数”的定义判断函数、，可得出结论；()f x ()g x （2）分析可知当时，，则方程若存在整数解，则，构造函数0x <()()0,1f x ∈()2023f x =0x 00x >，利用零点存在定理可得出结论；()()2023h x f x =-（3）推导出函数的奇偶性、单调性，再利用函数的单调性、奇偶性结合充分条件、必要条件()F x ()F x 的定义证明可得结论.【小问1详解】函数的定义域为，对任意的，，()f x R x ∈R ()()10101x x f x f x -⋅-=⋅=所以，函数为倒函数，()f x 函数的定义域为，该函数的定义域不关于原点对称，()22xg x x -=+{}2x x ≠-故函数不是倒函数；()g x 【小问2详解】当时，则，由倒函数的定义可得，0x >0x -<()()413x f x x f x ==+-由满足倒函数的定义，()01f =当时，函数、均为增函数，故函数在上为增函数，0x >3x y =4y x =()f x ()0,∞+当时，，，，当时，，0x >31x >40x >()1f x >0x <()()()10,1f x f x =∈-若函数有整数解，则，()2023f x =0x ()00,x ∈+∞设，则函数在上单调递增，()()2023h x f x =-()h x ()0,∞+因为，，()5453520230h =+-<()6463620230h =+->故方程无整数解，()2023f x =【小问3详解】因为函数是上的倒函数，其函数值恒大于，且在上是严格增函数，()y f x =R 0R 所以，，()()()()()()()211f x F x f x f x f x f x f x ⎡⎤-⎣⎦==-=--任取、且，则，所以，，，m n ∈R m n >m <n --()()f m f n >()()f n f m ->-所以，()()()()()()F m F n f m f m f n f n -=-----⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，()()()()0f m f n f n f m =-+--->⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦所以，函数为上的增函数，()F x R 因为，故函数为上的奇函数.()()()()F x f x f x F x -=--=-()F x R当时，即，则，所以，，120x x +>12x x >-()()()122F x F x F x >-=-()()120F x F x +>即“”“”；120x x +>⇒()()120F x F x +>若，则，所以，，即.()()120F x F x +>()()()122F x F x F x >-=-12x x >-120x x +>所以，“”“”.120x x +>⇐()()120F x F x +>因此，是的充要条件.120x x +>()()120F x F x +>【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.。
数学理卷·2016届湖北省武汉市部分重点中学高一上学期期末联考(2014.01)
小正方形拼成的一大正方形，若直角三角形中较小的锐角为q ，大正方形的面积是1 ，小正
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方形的面积是
1 25
,则sin 2
q
-
cos 2
q
的值等于
A．1
B．
-
7 25
C． 7 25
D． -高考 24 25
8.函数
f
(x)
=
Asin(wx + f)( A >
0,w
>
0,| f
|<
p 2
)
的部分图象如图示，则将
∴ f (x) 在 (-¥, a] 上单调递减，又 a > 1，∴ f (x) 在[1, a] 上单调递减，
∴
ì í î
f f
(1) = a (a) = 1
，
∴
ì1 íîa2
- 2a + - 2a2
5 +
= 5
a =1
，
∴a = 2
4分
（Ⅱ）∵ f (x) 在区间 (-¥, 2] 上是减函数， ∴ (-¥, 2] Í (-¥, a] ∴ a ³ 2
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湖北省武汉市 2013-2014 学年度上学期高一期末考试
数 学 试 卷 （理）
一、选择题
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
C
C
A
C
A
A
B
D
D
D
二.填空题
11、 -
3 2
12、 -2 2
三、解答题
、13、
1 2
14、
y
=
sin(-
湖北省高一上学期期末数学试题(解析版)
一、单选题1．已知集合，则（ ）{}{}20,1,2,3,8A B x x ==≤A B = A ． B ． {}0,1,2{}1,0,1-C ． D ．{}0,1,2,3{}2,1,0,1,2--【答案】A【解析】先解出集合B,再求.A B ⋂【详解】∵，而{}{282B x x x x =≤=-≤≤{}0,1,2,3A =∴ A B = {}0,1,2故选：A【点睛】集合的交并运算： (1)离散型的数集用韦恩图； (2) 连续型的数集用数轴． 2．已知，，则“”是“”的（ ） a b ∈R a b >1>abA ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】D 【分析】由或，即可判断出结论. 1ab>⇔0a b >>0a b <<【详解】当时，成立，当时，，故充分性不成立，0a b >>1>a b0b <1ab <当时，若则，若，则，则必要性不成立. 1>ab0,b >a b >0b <a b <所以“”是“”的既不充分又不必要条件. a b >1>ab故选：D3．已知函数的定义域为（ ） ()ln(3)f x x =++()f x A ． B ．C ．D ．(3,)+∞()3,3-(,3)-∞-(,3)-∞【答案】A【解析】要使函数，解出即可. ()ln(3)f x x =+3030x x +>⎧⎨->⎩【详解】要使函数 ()ln(3)f x x =+3030x x +>⎧⎨->⎩解得3x >所以函数的定义域为 ()f x (3,)+∞故选：A4．中国的5G 技术领先世界，5G 技术的数学原理之一便是著名的香农公式：，2log 1S C W N ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率C 取决于信道带宽W ､信道内信号的平均功率S ､信道内部的高斯噪声功率N 的大小，其中叫做信噪比.当信噪比比较大时，公式中真数中的1SN可以忽略不计，按照香农公式，若不改变带宽W ，而将信噪比从1000提升至5000，则C 大约SN增加了（ ）（附：） lg 20.3010≈A ．20% B ．23%C ．28%D ．50%【答案】B【分析】根据题意写出算式，再利用对数的换底公式及题中的数据可求解. 【详解】将信噪比从1000提升至5000时，C 大约增加了SN()()()222log 15000log 11000log 11000W W W +-++.222lg 5000lg1000log 5001log 1001lg 51lg 2lg 2lg 20.2323%lg1000log 100133lg 2---=≈==≈=故选：B.5．已知函数（且）的图像经过定点，且点在角的终边上，则26()3x f x a -=+0a >1a ≠A A θ（ ）sin cos sin cos θθθθ-=+A ．B ．0C ．7D ．17-17【答案】D【分析】由题知,进而根据三角函数定义结合齐次式求解即可. ()3,4A 【详解】解:令得,故定点为, 260x -=3x =A ()3,4A 所以由三角函数定义得，4tan 3θ=所以41sin cos tan 1134sin cos tan 1713θθθθθθ---===+++故选：D6．函数的图像大致为（ ）()2x xe ef x x --=A ． B ．C ．D ．【答案】B【分析】通过函数的奇偶性，变化趋势，特殊值排除答案. 【详解】函数的定义域为，关于原点对称()f x {}0x x ≠，函数是奇函数，图像关于原点对称，故排除A 选()()()22x xx x e e e e f x f x x x -----===-- ∴()f x 项；又，故排除D 选项；()1121101e e f e e--==-> ，当时，，即在()()()()()243222xx x x x x ee x e e xx e x e f x xx---+--⋅-++'==2x >()0f x ¢>()f x 上单调递增，故排除C 选项. ()2+∞，故选：B.7．已知偶函数在上是增函数，若，，，则，()g x ()0,+¥()2log5.1a g =-()0.82b g =()3c g =a b，的大小关系为（ ） c A ． B ． C ． D ．a b c <<c b a <<b a c <<b<c<a 【答案】C【解析】由于为偶函数，所以，然后利用对数函数和指数函数的()g x 22(log 5.1)(log 5.1)a g g =-=性质比较大小，再利用在上是增函数，可比较，，的大小0.82log 5.1,2,3()g x ()0,+¥a b c 【详解】解；由题意为偶函数，且在上单调递增，()g x ()0,+¥所以，22(log 5.1)(log 5.1)a g g =-=又，， 2222log 4log 5.1log 83=<<=0.8122<<所以，故，0.822log 5.13<<b a c <<故选：C.8．若函数y =f （x ）图象上存在不同的两点A ，B 关于y 轴对称，则称点对[A ，B ]是函数y =f （x ）的一对“黄金点对”（注：点对[A ，B ]与[B ，A ]可看作同一对“黄金点对”）．已知函数f （x ）=，则此函数的“黄金点对“有（ ） 222040412324x x x x x x x x ，＜，，＞⎧⎪-+≤≤⎨⎪-+⎩A ．0对 B ．1对C ．2对D ．3对【答案】D【分析】根据“黄金点对“，只需要先求出当x ＜0时函数f （x ）关于y 轴对称的函数的解析式，再作出函数的图象，利用两个图象交点个数进行求解即可．【详解】由题意知函数f （x ）=2x ，x ＜0关于y 轴对称的函数为，x ＞0， 122xxy -⎛⎫== ⎪⎝⎭作出函数f （x ）和，x ＞0的图象，12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭由图象知当x ＞0时，f （x ）和y=（）x，x ＞0的图象有3个交点． 12所以函数f （x ）的““黄金点对“有3对． 故选D ．【点睛】本题主要考查分段函数的应用，结合“黄金点对“的定义，求出当x ＜0时函数f （x ）关于y 轴对称的函数的解析式，作出函数的图象，利用数形结合是解决本题的关键．二、多选题9．下列结论正确的是（ ） A ．是第二象限角 43π-B ．若为锐角，则为钝角 α2αC ．若，则 αβ=tan tan αβ=D ．若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形的面积为6ππ3π【答案】AD【分析】为锐角时，为不一定为钝角；α2α 时，没有意义.2παβ==tan α【详解】对于A ：， 42233πππ-=-+是第二象限角，所以A 正确； ∴43π-对于B ：时，并不是钝角，所以B 错误； 10α= 220α= 对于C ： 时，没有意义，所以C 错误；2παβ==tan α对于D ：，， l rα=∴66l r ππα===，D 正确.∴116322S lr ππ==⨯⨯=扇∴故选：AD.10．已知，且，则下列不等式恒成立的有（ ）>>c a b 0ac <A ． B ．C ．D ．<0c b a ->b c a a 11>a c22>b a c c【答案】BC【解析】根据不等式的性质判断．错误的可举反例． 【详解】，且，则，>>c a b c<0a 0,0a c ><，，A 错误； 0b a -<0b ac->，则，B 正确； ,0b c a >>b ca a>，则，C 正确； 0a c >>110a c>>与不能比较大小．如，此时，，D 错误． 2a 2b 2,3,4a bc ==-=-21a c =-2914b c =-<-故选：BC ．11．对于实数x ，符号表示不超过x 的最大整数，例如，，定义函数[]x []3π=[]1.082-=-，则下列命题中正确的是（ ）()[]f x x x =-A ．函数的最大值为1 B ．函数的最小值为0 ()f x ()f x C ．方程有无数个根 D ．函数是增函数()102f x -=()f x 【答案】BC【分析】首先根据题意画出函数的图像，再依次判断选项即可. ()f x 【详解】画出函数的图象，如下图所示：()[]f x x x =-，对选项A ，由图象得，函数无最大值，故A 不正确； ()f x 对选项B ，由图知：函数的最小值为0，故B 正确； ()f x 对选项C ，函数每隔一个单位重复一次， ()f x 所以函数与函数有无数个交点， ()y f x =12y =即方程有无数个根，故C 正确； ()102f x -=对选项D ，图象可知函数不是单调递增，故D 不正确. ()f x 故选：BC .12．已知函数，若方程有三个实数根，，，且12log ,04()10,4x x f x x x ⎧<≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩()f x a =1x 2x 3x 123x x x <<，则下列结论正确的为（ ）A ．121=x x B ．的取值范围为 a 50,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．的取值范围为 312x x x [)5,+∞D ．不等式的解集为 ()2f x >()10,4,54⎛⎫⋃ ⎪⎝⎭【答案】ACD【分析】分析给定函数的性质，作出函数的图象，数形结合逐一分析各选项判断作答. ()f x 【详解】函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，()f x (0,1](1,4](4,)+∞方程的三个实数根分别是直线与函数图象交点的横坐标，如图，()f x a =y a =()y f x =123,,x x x由，必有，而，则，即，解得12()()f x f x =111222|log ||log |x x =12x x <111222log log 0x x +=1122log 0x x =，A 正确；121=x x 因在上单调递增，，当时，直线与函数的图象只有两个()f x (1,4](4)2f =2<a <52y a =()y f x =公共点，因此，方程有三个实数根，当且仅当，B 不正确； ()f x a =02a <≤在中，当时，，而函数在上单调递减，则当时，10(4)y x x=>2y =5x =()f x (4,)+∞02a <≤35x ≥，，C 正确； 3312[5,)x x x x =∈+∞当时，因当时，，于是得，且，解得04x <≤14x ≤≤12|log |2x ≤01x <<11221log 2log 4x >=， 104x <<当时，，解得，所以不等式的解集为，D 正确. >4x 102x >45x <<()2f x >()10,4,54⎛⎫⋃ ⎪⎝⎭故选：ACD三、填空题13．已知集合，集合，若，则实数__________． {}0,1M ={}0,2,1N m =-M N ⊆m =【答案】0【分析】依题意可得，即可得到，解得即可；1N ∈11m -=【详解】解：由题意知，又集合，因此，即．故． M N ⊆{}0,1M =1N ∈11m -=0m =故答案为：. 014．已知，则______． ()7sin cos 0π13ααα+=<<tan α=【答案】 125-【分析】由同角三角函数的平方关系和商数关系，并分析三角函数值的正负即可求解. 【详解】解：已知①，则， 7sin cos 13αα+=()2sin cos 12sin cos 69491αααα+=+=， 60sin cos 0169αα=-<，，则，，0πα<< sin 0α∴>cos 0α<sin cos 0αα->②， 17sin cos 13αα∴-===联立①②，得，12sin 13α=5cos 13α=-， 12tan 5α∴=-故答案为：. 125-15．已知定义在上的函数满足，且当时，，若的R ()f x ()()1f x f x -=-12x >1()f x x m x =++()f x 值域为，则实数的取值范围为________． R m 【答案】(],2-∞-【分析】由可得关于对称，再分析得当时，的值域包含()()1f x f x -=-()f x 1,02⎛⎫⎪⎝⎭12x >()f x 即可()0,∞+【详解】当时，，当且仅当，即时等号成立，12x >1()2f x x m m m x =++≥=+1x x =1x =故当时，，又由可得关于对称，且由12x >()[)2,f x m ∈++∞()()1f x f x -=-()f x 1,02⎛⎫⎪⎝⎭可得， 11122f f ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭102f ⎛⎫= ⎪⎝⎭故只需包含区间即可，故，[)2,m ++∞()0,∞+20m +≤故 (],2m ∈-∞-故答案为：(],2-∞-四、双空题16．设函数，.①的值为_______；②若函11,0()2(2),0xx f x f x x ⎧⎛⎫-≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪->⎩()log (1)a g x x =-(1)a >(2019)f 数恰有个零点，则实数的取值范围是___________. ()()()h x f x g x =-3a 【答案】 1【解析】①根据分段函数的解析式，求得的值. ②求得的部分解析式，由此画()f x ()2019f ()f x 出和两个函数图象，根据两个函数图象有个交点，确定的取值范围. ()f x ()g x 3a 【详解】①.()()()11201920171112f f f -⎛⎫===-=-= ⎪⎝⎭②当时，，所以.02x <≤220x -<-≤()()21212x f x f x -⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭当时，，所以.24x <≤022x <-≤()()41212x f x f x -⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭当时，，所以.46x <≤224x <-≤()()61212x f x f x -⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭当时，，所以.68x <≤426x <-≤()()81212x f x f x -⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭画出和两个函数图象如下图所示，由，由.由()f x ()g x ()log 413,a a -==()log 613,a a -==图可知，当两个函数图象有个交点，也即函数恰有个零点时，的取值范围是3()()()h x f x g x =-3a故答案为：（1）；（2）1【点睛】本小题主要考查分段函数求函数值，考查分段函数解析式的求法，考查分段函数的图象与性质，考查函数零点问题的求解策略，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.五、解答题 17．计算：(1) ()()1201980.54-⎛⎫-- ⎪⎝⎭(2) 2log 3491lg2log 27log 8100--⋅【答案】(1)32(2)74-【分析】（1）由指数的运算以及指数幂与根式的互相转化即可求解； （2）由对数的运算以及指数幂与根式的互相转化，并利用换底公式即可求解.【详解】（1）解：原式.11331122222-⎛⎫=-+=-+= ⎪⎝⎭（2）原式. 1332222lg 27lg81lg 3lg 2197lg10ln e 323lg 4lg 92lg 2lg 3244-=-+-⋅=--+-⋅=-=-18．已知正数满足；,x y 82xy x y =+（1）求的最小值，并求出取得最小值时的的值；xy ,x y （2）求的最小值.42x y +【答案】（1）最小值为64，；（2）xy 4,16x y ==24+【分析】（1）对等式右边直接使用基本不等式，转化为求关于xy 的不等式；（2）把条件转化为，再进行求解. 82xy x y =+281x y+=【详解】解：（1）因为是正数，所以,x y 82xy x y =+≥=即8≥64xy ≥当且仅当即，时取等号82x y =4x =16y =所以最小值为64 xy （2）即为 82xy x y =+281x y+=所以 2843242(42)()2424y x x y x y x y x y+=++=++≥+当且仅当即 432y x x y=2x =+8y =+19．（1）求函数，的值域； ()222log log x x =+1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦（2）解关于的不等式：（，且）． x ()2log (1)log 3a a x x +>-0a >1a ≠【答案】（1）；（2）时，原不等式的解集为；时，原不等式的1,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦1a >{1x x -<<∣01a <<解集为． {11}xx -<<∣【分析】（1）令，，，然后利用二次函数的知识求解即2log t x =[1,1]t ∈-221124y t t t ⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭可；（2）分、两种情况，结合对数函数的单调性解出不等式即可.1a >01a <<【详解】（1）令，由于，则． 2log t x =1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦[1,1]t ∈-于是原函数变为， 221124y t t t ⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭图象为开口向上的抛物线，对称轴，且， ()y t 12t =-11(1)122⎛⎫⎛⎫---<-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故当，取最小值；当时，取最大值2． 12t =-y 14-1t =y 所以原函数的值域为． 1,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦（2）当时，原不等式可化为：1a >， 223013x x x ⎧->⎨+>-⎩即 12x x x ⎧<⎪⎨><-⎪⎩或1x <<故时，原不等式的解集为．1a >{1x x -<<∣当时，原不等式可化为：01a <<， 21013x x x+>⎧⎨+<-⎩即，解得． 121x x >-⎧⎨-<<⎩11x -<<故时，原不等式的解集为． 01a <<{11}xx -<<∣综上：时，原不等式的解集为；时，原不等式的解集为. 1a >{1x x -<<∣01a <<{11}xx -<<∣20．我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称的充要条件是函数为奇函()y f x =()y f x =数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称的充要条件是函数()y f x =(),P a b 为奇函数.()y f x a b =+-（1）若.32()3f x x x =-①求此函数图象的对称中心；②求的值；()()()()2018201920202021f f f f -+-++（2）类比上述推广结论，写出“函数的图象关于轴成轴对称的充要条件是函数()y f x =y ()y f x =为偶函数”的一个推广结论.【答案】（1）①；②；（2）函数的图象关于直线成轴对称的充要条件是()1,2-8-()y f x =x a =函数为偶函数.()y f x a =+【解析】（1）①设函数图象的对称中心为，根据题意可知函数()323f x x x =-(),P a b 为奇函数，利用奇函数的定义可得出，可得出关于、()()g x f x a b =+-()()2f x a f x a b -+++=a 的方程组，解出、的值，即可得出函数的对称中心的坐标；b a b ()y f x =②推导出，由此可计算得出所求代数式的值；()()114f x f x -+++=-（2）根据题中结论可写出“函数的图象关于轴成轴对称的充要条件是函数为偶()y f x =y ()y f x =函数”的一个推广结论.【详解】解：（1）①设函数图象的对称中心为，，()323f x x x =-(),P a b ()()g x f x a b =+-则为奇函数，故，故，()g x ()()g x g x -=-()()f x a b f x a b -+-=-++即，()()2f x a f x a b -+++=即. ()()()()3232332x a x a x a x a b ⎡⎤⎡⎤-+--+++-+=⎣⎦⎣⎦整理得，故，解得， ()2323330a x a a b -+--=3233030a a a b -=⎧⎨--=⎩12a b =⎧⎨=-⎩所以函数图象的对称中心为；()323f x x x =-()1,2-②因为函数图象的对称中心为，32()3f x x x =-()1,2-所以，，()()114f x f x -+++=-故()()()()2018201920202021f f f f -+-++()()()()2018202020192021f f f f =-++-+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()()()20191201912020120201f f f f =-++++-+++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦；428=-⨯=-（2）推论：函数的图象关于直线成轴对称的充要条件是函数为偶函数.()y f x =x a =()y f x a =+【点睛】结论点睛：本题考查利用函数的对称性及其应用，可利用以下结论来转化：①函数的图象关于点对称，则；()f x (),a b ()()22f x f a x b +-=②函数的图象关于直线对称，则.()f x x a =()()2f x f a x =-21．已知函数.(),(0,1,)x f x a a a x R =>≠∈（1）当时，2a =①若函数满足求的表达式，直接写出的递增区间； ()g x (())g f x =()g x ()g x ②若存在实数使得成立，求实数的取值范围； []0,1x ∈1()()()()1f x mf x f x f x +<+--m （2）若函数满足当时，恒有，试确定a 的()g x (()),g f x x =[]2,3x a a ∈++(3)()1g x a g x a -+-≤取值范围.【答案】（1）①，增区间为；②；（2）. 221log ,02()log 1,2x x g x x x -<<⎧=⎨-≥⎩(2,)+∞4(,)3+∞【分析】（1）①应用换元法，令即可求的表达式，根据含对数的复合函数单调性可写出2x t =()g x 的递增区间；②由参变分离得，根据在闭区间存在使不等式成立，即()g x 211(2)21x x m >+-+x 即可求的取值范围； min 21[1(2)21x x m >+-+m （2）由题设求得，利用对数函数的性质可知，再由不等式恒成立，结合二次()log a g x x =01a <<函数的性质列不等式组求a 的取值范围.【详解】解：（1）①由题意知：，若，则，(2)1x g x ==-2x t =21og x t =∴，即， 2()log 1(0)g t t t =->221log ,02()log 1,2x x g x x x -<<⎧=⎨-≥⎩∴函数单调递增区间为.[2,)+∞②由题设有，，即有， 122221x x x x m -+<⋅+-[]0,1x ∈211(2)21x x m >+-+，则，即，[]0,1x ∈ []21,2x ∈[]2(2)211,3x x -+∈∴由使不等式成立知：当时，即可. []0,1x ∃∈2(2)213x x -+=43m >∴m 取值范围是 4(,)3+∞（2）由题意知：，令，则，即，()x g a x =x t a =()log a g t t =()log a g x x =∴由题设不等式中可知：，而(3),()g x a g x a --230a a +->0,1a a >≠，又，01a ∴<<(3)()1g x a g x a -+-≤∴，即有，对恒成立，若令221log (43)1a x ax a -≤-+≤22143a x ax a a≤-+≤[]2,3a a a ∀∈++，其对称轴为且开口向上，而，2243()x h x ax a -+=2x a =22a a <+∴在区间上递增，()h x []2,3a a ++∴上式等价于，解得0119644a a a a a<<⎧⎪⎪-≤⎨⎪-≥⎪⎩0a <≤【点睛】关键点点睛：（1）应用换元思想求函数解析式，结合对数型复合函数的单调性确定单调区间；由参变分离法有，根据存在使不等式能成立，即在对应区间内只需求参数范围；()m f x >min ()m f x >（2）根据对数函数的性质，结合不等式在闭区间内恒成立，列不等式组求参数范围.22．已知函数()，且满足. ()x a f x x -=0a >112f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（1）求a 的值；（2）设函数，()，若存在，，使得成立，()()g x xf x =()2x h x t t =-1t >1x 21,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()()12h x g x =求实数t 的取值范围；（3）若存在实数m ，使得关于x 的方程恰有4个不同的正根，求实数()22220x a x x a mx ---+=m 的取值范围.【答案】（1）1；（2）；（3） 2t ≥10,16⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】（1）根据题意，代入函数值，即可求解；（2）根据题意，求解函数和值域，若存在，，使得成立，转()g x ()f x 1x 21,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()()12h x g x =化为值域有交集，即可求解参数取值范围；（3）由（1）分析函数的值域，可知时，有两根；再观察方程，同除后方程可()f x ()()0,1f x ∈x 2x 化简为，只需使方程在上有两根，即可求解.()()2220f x f x m -+=()()0,1f x ∈【详解】（1）由，得或0. 1121122a f -⎛⎫== ⎪⎝⎭1a =因为，所以，所以. 0a >1a =()1x f x x -=（2）， ()()1,1211,12x x g x xf x x x -≤≤⎧⎪==⎨-≤<⎪⎩所以;故的值域为()01g x ≤≤()g x []0,1A =因为时，在， 1t >()2x h x t t =-1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦()222t h x t t ≤≤-所以的值域为，由题意， ()hx 22,2B t t t ⎤=-⎦A B φ⋂≠，所以，解得;20t <220t t -≥2t ≥综上:实数t 的取值范围是2t ≥（3）当时，，在上为增函数; 1x >()111x f x x x-==-()f x ()1,+∞当时，. ()1,x ∈+∞()()110,1f x x=-∈可得在上为减函数，当时，. ()f x ()0,1()0,1x ∈()()110,f x x =-∈+∞方程可化为， ()2221120x x x mx ---+=2211220x x m x x ---+=即.()()2220f x f x m -+=设，方程可化为.()s f x =2220s s m -+=要使原方程有4个不同的正根，则关于s 方程在有两个不等的根，，2220s s m -+=()0,11s 2s 则有，解得， 211602021120m m m ->⎧⎪>⎨⎪⨯-+>⎩1016m <<所以实数m 的取值范围为. 10,16⎛⎫ ⎪⎝⎭【点睛】（1）考查计算能力，基础题；（2）转化与化归思想解题，考查求函数值域，交集不空的参数范围，属于中等题；（3）转化方程与已知函数关联，考查函数与方程思想，转化与化归思想，一元二次方程根的限定条件，综合性较强，属于难题.。
湖北省武汉市重点中学4G联合体2022-2023学年高一上学期期末联考数学试题
湖北省武汉市重点中学4G 联合体2022-2023学年高一上学期期末联考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合(){}ln 2A x y x ==-，集合{}220B x x x =-<，则A B =（ ）A ．{}0x x <B ．{}2x x <C ．{}02x x <<D ．∅2．命题p ：x ∃∈R ，210x x ++>，则命题p 的否定是（ ） A ．x ∃∈R ，210x x ++≤ B ．x ∃∉R ，210x x ++≤ C ．x ∀∈R ，210x x ++≤D ．x ∀∉R ，210x x ++>3．已知函数()2f x +的定义域为()1,1-，则函数()21y f x =-的定义域为（ ） A ．()1,1-B ．()3,1-C ．()0,1D ．()1,24．设函数()()22211x f x x -=+的最大值为M ，最小值为m ，则M m +=（ ） A ．0B ．1C ．2D ．45．已知函数(),0(2)3,0x a x f x a x a x ⎧<=⎨-+≥⎩，满足对任意12x x ≠，都有()()12120f x f x x x ->-成立，则a 的取值范围是（ ） A ．()0,1a ∈B ．()2,a ∈+∞C ．10,3a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦D ．3,24a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭6．已知1ln 2a =，sin 6b π=，122c - =，则,,a b c 的大小关系为（ ）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b a c <<D ．b<c<a7．已知0x >，0y >，且211x y +=，则22yx y x++的最小值为（ ）A ．5+B ．3+C ．9D ．78．已知满足()()e ln 4e 3xf f x x --+=-，则函数()f x 的零点所在区间为（ ）A ．210,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．211,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．()1,e二、多选题9．设, , a b c R ∈，a b <，则下列不等式一定成立的是（ ）A ．a c b c +<+B ．a b e e -->C ．22ac bc <D ．11a b> 10．下列说法正确的是（ ） A ．7π6是第三象限角 B ．若圆心角为π3的扇形的弧长为π，则该扇形的面积为3π2C ．若角α的终边过点()3,4P -，则3cos 5α=-D ．若角α为锐角，则2α为钝角．11．已知函数()()2ln 1f x x bx b =--+，下列说法正确的有（ ）A ．当0b =时，函数()f x 的定义域为RB ．当0b =时，函数()f x 的值域为RC ．函数()f x 有最小值的充要条件为：2440b b +-<D ．若()f x 在区间[)2,+∞上单调递增，则实数b 的取值范围是5,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭12．若函数()f x 在其定义域内是奇函数或偶函数，则称()f x 具有奇偶性.以下函数中，具有奇偶性的函数是（ ） A ．()(11f x x =-B ．()2f x =C ．()311212x f x =+- D ．411()0,111,1x x f x x x x +<-⎧⎪=-≤≤⎨⎪-+>⎩，三、填空题13．已知函数31log ,0()23,0x x x f x x ->⎧=⎨+≤⎩，则1()9f f ⎛⎫= ⎪⎝⎭________． 14．已知cos sin 2cos sin αααα+=-，则2sin 2sin cos ααα-=______．15．已知函数23y x x a =-+-与1y x =+的图像上存在关于x 轴对称的点，则a 的取值范围是______．16．已知函数()2211212x x f x x =-++，若[]1,4m ∃∈，使得不等式()()2432f ma f m m -++≤成立，则实数a 的最大值是______．四、解答题 17．（1）已知sin α=，且α为第二象限角，求cos α，tan α的值； （2）化简求值：()()13483964log 3log 3log 2log 227-⎛⎫+⋅++ ⎪⎝⎭ 18．已知2:560p x x --<，:13q m x m -≤≤+． (1)若p 是q 的充分条件，求实数m 的取值范围； (2)若p 是q 的必要条件，求实数m 的取值范围．19．2022年某企业整合资金投入研发高科技产品，并面向全球发布了首批17项科技创新重大技术需求榜单，吸引清华大学、北京大学等60余家高校院所参与，实现企业创新需求与国内知名科技创新团队的精准对接，最终该公司产品研发部决定将某项高新技术应用到某高科技产品的生产中，计划该技术全年需投入固定成本6200万元，每生产x 千件该产品，需另投入成本()F x 万元，且()210100,060810090121980,60x x x F x x x x ⎧+<<⎪=⎨+-≥⎪⎩，假设该产品对外销售单价定为每件0.9万元，且全年内生产的该产品当年能全部售完． (1)求出全年的利润()G x 万元关于年产量x 千件的函数关系式；(2)试求该企业全年产量为多少千件时，所获利润最大，并求出最大利润． 20．已知函数()xf x ax b=+（a ，b 为常数，且220a b +≠），满足()21f =，方程()f x x =有唯一解．(1)求函数()y f x =的解析式(2)如果()f x 不是奇偶函数，证明：函数()f x 在区间()2,-+∞上是增函数． 21．我们知道，函数()y f x =的图像关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数()y f x =为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数()y f x =的图像关于点(),P a b 成中心对称图形的充要条件是函数()y f x a b =+-为奇函数，(1)求函数()1xf x x =-的对称中心； (2)已知()1xf x x =-，()12g x mx m =+-，若对任意的[]12,3x ∈，总存在[]22,3x ∈，使()()12f x g x =成立，求实数m 的取值范围．22．已知1x =是函数()232g x ax ax =-+的零点，()()g x f x x=． (1)求实数a 的值；(2)若方程()3213021xxf k k ⎛⎫⎪-+-= ⎪-⎝⎭有三个不同的实数解，求实数k 的取值范围．参考答案：1．C【分析】先化简集合A 、B ，进而利用交集定义求得A B ⋂.【详解】(){}{}ln 22A x y x x x ==-=<，{}{}22002B x x x x x =-<=<<，则{}{}{}20202A B x x x x x x ⋂=<⋂<<=<<. 故选：C 2．C【分析】根据特称命题的否定可直接得到结果.【详解】由特称命题的否定知：命题p 的否定为x ∀∈R ，210x x ++≤. 故选：C. 3．D【分析】求抽象函数的定义域，只需要牢记对应法则括号中的式子取值范围相同即可. 【详解】设2x t +=，则()()2f x f t +=，因为函数()2f x +的定义域为()1,1-，所以当11x -<<时，()2f x +有意义， 所以123x <+<，故当且仅当13t <<时，函数()f t 有意义， 所以函数()f t 的定义域为()1,3，由函数()21f x -有意义可得1213x <-<，所以12x <<， 所以函数()21f x -的定义域为(1,2)， 故选：D. 4．D【分析】将()f x 整理为()2421xf x x =-+，令()()2g x f x =-，由奇偶性定义可证得()g x 为奇函数，则()()max min 0g x g x +=，由此可求得M m +的值. 【详解】()()()222222142142111x x x x f x x x x +--===-+++，∴可令()()2421x g x f x x =-=-+，则()()224411x xg x g x x x --=-==-++， ()g x ∴为定义在R 上的奇函数，()()max min 0g x g x ∴+=，则220M m -+-=，4M m ∴+=. 故选：D. 5．B【分析】根据不等式可以确定函数的单调性，根据分段函数的单调性的性质进行求解即可. 【详解】不妨设12x x >，由()()()()()()1212121200f x f x f x f x f x f x x x ->⇒->⇒>-，因此该函数是实数集上的增函数， 于是有01202(2)03a a a a a a >⎧⎪->⇒>⎨⎪≤-⋅+⎩， 故选：B 6．A【解析】分别将,,a b c 与0,1进行比较，然后可判断.【详解】1ln ln102a =<=，1sin 62b π==，122- ==c a b c <<.故选：A. 7．A【分析】根据()222221y yx y x y x xx y ⎛++=+⎫+⎝+ ⎪⎭，化简后利用基本不等式求解即可. 【详解】因为0x >，0y >，且211x y+=，所以()222221y y x y x y x xx y ⎛++=+⎫+⎝+ ⎪⎭45525x y x y =++≥+=+当2x =1y = 所以22yx y x++的最小值为5+ 故选：A. 8．D【分析】先利用题给条件求得函数()f x 的解析式，再利用零点存在定理即可求得函数()f x的零点所在区间.【详解】设()e ln 4x f x x t --+=，则()e ln 4xf x t x =++-，()e 3f t =-则()11e ln14e 4f t t =++-=+-，()1e 3f =-又()f x 是定义在()0,∞+上的单调函数，则e 4e 3t +-=-，解之得1t =，则()e ln 3xf x x =+-则()1e 30f =-<，()e ee e lne 3e 2e 20f =+-=->->()222e 2e e e ln e 3e 5e 50f ----=+-=-<-<()111e 1e e e ln e 3e 4e 40f ----=+-=-<-<则函数()f x 的零点所在区间为()1,e . 故选：D 9．AB【解析】由不等式的性质，x y e =的单调性及特殊值法，即可判断选项的正误.【详解】A ：由不等式性质：不等式两边同时加上或减去同一个数，不等式符号不变，即a c b c +<+，正确；B ：因为x y e =在定义域内为增函数，由题意知a b ->-，故有a b e e -->，正确；C ：当0c 时，22ac bc =，故错误；D ：当0a b <<时，11a b <，故错误；故选：AB. 10．ABC【分析】根据象限角定义、扇形弧长和面积公式、任意角三角函数的定义和锐角、钝角的定义依次判断各个选项即可. 【详解】对于A ，7π6终边位于第三象限，7π6∴为第三象限角，A 正确； 对于B ，设扇形的半径为r ，则ππ3r =，解得：3r =，∴扇形面积21π3π232S r =⨯=，B 正确；对于C ，α终边过点()3,4P -，3cos 5α∴==-，C 正确；对于D ，当π04α<<时，π022α<<，此时2α是锐角，D 错误. 故选：ABC. 11．ACD【分析】求得当0b =时函数()f x 的定义域判断选项A ；求得当0b =时函数()f x 的值域判断选项B ；求得函数()f x 有最小值的充要条件判断选项C ；求得实数b 的取值范围判断选项D.【详解】选项A ：当0b =时，函数()()2ln 1f x x =+，()f x 的定义域为R.判断正确； 选项B ：当0b =时，函数()()2ln 1f x x =+，211x +≥,故函数()f x 的值域为[)0,∞+.判断错误；选项C ：若函数()()2ln 1f x x bx b =--+有最小值，则21u x bx b =--+有最小正值，则()()2410b b ---+<，即2440b b +-<. 又当2440b b +-<时，21u x bx b =--+有最小正值，则函数()()2ln 1f x x bx b =--+有最小值.则函数()f x 有最小值的充要条件为：2440b b +-<.判断正确；选项D ：若()()2ln 1f x x bx b =--+在区间[)2,+∞上单调递增，则2222210bb b ⎧≤⎪⎨⎪--+>⎩，解之得53b <.则实数b 的取值范围是5,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭.判断正确.故选：ACD 12．BCD【分析】选项A ，因为定义域不关于原点对称，所以很容易识别；选项B 、C ，先看看函数定义域是否关于原点对称，然后再求解()f x -与()f x 的关系，选项D ，可以根据图像来识别.【详解】选项A ，令101xx +≥-，则(1)(1)010x x x +-≥⎧⎨-≠⎩，解得1<1x -≤. 所以函数()1f x 的定义域是[)1,1-，定义域不关于原点对称，故不具有奇偶性； 选项B ，为使函数()2f x的分子有意义，x ⎡∈⎣，于是30x -<恒成立， 故())(2f x x ⎡==∈⋃⎣， 因为()()22f x f x -==-， 故()2f x 是奇函数；选项C ，函数()3f x 的定义域是{}0x x ≠∣，()()311221121212221221x x x x x f x +-+=+==⋅---，()()33121112221212x xx xf x f x --++-=⋅=⋅=---，故()3f x 为奇函数；选项D ，画出411()0,111,1x x f x x x x +<-⎧⎪=-≤≤⎨⎪-+>⎩，的图象，如图，图象关于y 轴对称，故()4f x 为偶函数. 故选：BCD ． 13．11【解析】根据分段函数的解析式，先计算1()9f ，然后计算1()9f f ⎛⎫⎪⎝⎭即可. 【详解】由题可知：31log ,0()23,0xx x f x x ->⎧=⎨+≤⎩ 所以23311()log log 3299f -===-，则()()121()223119f f f --⎛⎫=-=+= ⎪⎝⎭故答案为：11 14．12-##0.5-.【分析】由题意求出1tan 3α=，将要求的式子化简为22tan 2tan tan 1ααα-+，求解即可.【详解】cos sin 2cos sin αααα+=-分子分母同除cos α得，1tan 21tan αα+=-， 解得：1tan 3α=，所以22222212sin 2sin cos tan 2tan 193sin 2sin cos 1sin cos tan 1219ααααααααααα----====-+++. 故答案为：12-15．5a ≤【分析】根据题意，点(),m n 关于x 轴对称点为(),m n -，即对于任意的点(),m n 在23y x x a =-+-上，则点(),m n -在1y x =+上，列出方程即可得到结果.【详解】设点(),m n 在函数23y x x a =-+-上，则23n m m a =-+- 则点(),m n -在函数1y x =+上，即1n m -=+所以()213m m m a -+=-+-，化简可得2410m m a -+-=即()()24410a ∆=--⨯-≥，解得5a ≤ 故答案为: 5a ≤ 16．8【分析】根据不等式的形式构造新函数，利用新函数的单调性、奇偶性，结合对钩函数的单调性、存在性的性质进行求解即可.【详解】构造函数()()222111111()212212xx x g x f x x x =-=-+-=-++， 因为()()222111112()()102122122121x xx x x g x g x x x x -⎛⎫+-=-+-=+-= ⎪++++⎝⎭， 所以函数()g x 是奇函数，当210x x >>时，21212121111111112212121200212122212212x x x x x x x x >>⇒+>+>⇒<<<⇒-<-<-<++++ 2111110212212x x ⎛⎫⎛⎫-->--> ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭， 因为210x x >>，所以22210x x >>， 因此有21222111110212212x x x x ⎛⎫⎛⎫-->--< ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭， 所以有()()()210,g x g x g x <<，因此此时函数()g x 单调递减，而()00g =，函数()g x 是奇函数，所以函数()g x 是实数集上的减函数，()()()()2243241[31]f ma f m m f ma f m m -++≤⇒--≤-+-()()()22243343g ma g m m g m m ma m m ⇒-≤-+=--⇒-≥--，因为[]1,4m ∈，所以由224334m m a m m m a m -≥--⇒++≥，43a m m ≤++， 令[]4()3,1,4,g m m m m=++∈ 当12m ≤<时， ()g m 单调递减，当24m <≤时，()g m 单调递增，因为(2)7g =，()(1)48g g ==∴()g m 在[2,4]上的最大值为8，要想[]1,4m ∃∈，使得不等式()()2432f ma f m m -++≤成立，只需 8a ≤，则实数a 的最大值是8故答案为：8【点睛】关键点睛：构造新函数，利用新函数的奇偶性和单调性，结合对钩函数的单调性是解题的关键.17．（1）1cos 2α=-，tan α=（2）2． 【分析】（1）利用同角三角函数的关系即可求得cos α，tan α的值；（2）利用指对数运算规则即可求得该代数式的值.【详解】（1）由sin α，且α为第二象限角，可得1cos 2α=-，sin 2tan 1cos 2ααα===-； （2）()()13483964log 3log 3log 2log 227-⎛⎫+⋅++ ⎪⎝⎭ 133********log 3log 3log 2log 22323-⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⋅++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦ 12353453log 3log 2262344-⎛⎫=⨯+=+= ⎪⎝⎭ 18．(1)[)3,+∞；(2)(),2-∞【分析】（1）先化简条件p ，再利用p 是q 的充分条件列出关于实数m 的不等式，解之即可求得实数m 的取值范围；（2）按实数m 分类讨论，利用p 是q 的必要条件列出关于实数m 的不等式，解之即可求得实数m 的取值范围.【详解】（1）由2560x x --<，可得16x -<<，则:16p x -<<又:13q m x m -≤≤+，且p 是q 的充分条件，可得1163m m -≤-⎧⎨≤+⎩，解之得3m ≥，则实数m 的取值范围为[)3,+∞； （2）由（1）得:16p x -<<，:13q m x m -≤≤+当1m <-时，13m m ->+ ，:q x ∈∅，此时，p 是q 的必要条件，符合要求； 当1m ≥-时，由p 是q 的必要条件，可得11631m m m ->-⎧⎪>+⎨⎪≥-⎩，解之得12m -≤<，综上，实数m 的取值范围为(),2-∞.19．(1)()2108006200,060810015780,60x x x G x x x x ⎧-+-<<⎪=⎨⎛⎫-++≥ ⎪⎪⎝⎭⎩；(2)该企业全年产量为90千件时，所获利润最大为15600万元【分析】（1）利用分段函数即可求得全年的利润()G x 万元关于年产量x 千件的函数关系式；（2）利用二次函数求值域和均值定理求值域即可求得该企业全年产量为90千件时，所获利润最大为15600万元.【详解】（1）当060x <<时，()()22900101006200108006200G x x x x x x =-+-=-+-，当60x ≥时，()8100810090090121980620015780G x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-+--=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以()2108006200,060810015780,60x x x G x x x x ⎧-+-<<⎪=⎨⎛⎫-++≥ ⎪⎪⎝⎭⎩． （2）若060x <<，则()()210409800G x x =--+，当40x =时，()max 9800G x =； 若60x ≥，()8100157801578015600G x x x ⎛⎫=-++≤-= ⎪⎝⎭， 当且仅当8100x x=，即90x =时，等号成立，此时()max 15600G x =． 因为156009800>，所以该企业全年产量为90千件时，所获利润最大为15600万元． 20．(1)()2x f x =或()()10f x x =≠或()()222x f x x x =≠-+； (2)证明见解析.【分析】（1）根据a ，b 的正负性，结合代入法进行求解即可；（2）根据函数奇偶性的定义，结合函数单调性的定义进行证明即可.【详解】（1）由()f x x =，得到x x ax b =+， ∴0a =，0b ≠，则()x f x b=，由()21f =得2b =，即()2x f x =； ∴若0a ≠，0b =，则()()10f x x a =≠，由()21f =得1a =，即()()10f x x =≠； ∴0a ≠，0b ≠，由x x ax b =+得()210ax b x +-=，由Δ0=得1b =， 又由()21f =得12a =，即()()222x f x x x =≠-+． ∴函数的解析式为()2x f x =或()()10f x x =≠或()()222x f x x x =≠-+；（2）因为()()2x f x f x -=-=-，所以函数()2x f x =是奇函数， 因为()()()10f x f x x -==≠，所以函数()()10f x x =≠是偶函数，若()f x 不是奇、偶函数，由（1）知()()222x f x x x =≠-+ 任取1x ，()22,x ∈-+∞，且12x x < ()()()()()121212121242202222x x x x f x f x x x x x --=-=<++++，即()()12f x f x <， ∴()f x 在区间()2,-+∞是增函数．21．(1)()1,1(2)m 1≥【分析】（1）求出()11111x y f x x x+=+-=-=，判断1y x =为奇函数，即可证明； （2）若对任意的[]12,3x ∈，总存在[]22,3x ∈，使()()12f x g x =成立，只需函数()y f x =的值域为函数()y g x =的值域的子集．分别求出()y f x =和()y g x =的值域，即可得出答案.【详解】（1）因为()11111x y f x x x+=+-=-=，而1y x =为奇函数， 所以()y f x =的图象是关于点()1,1成中心对称.（2）若对任意的[]12,3x ∈，总存在[]22,3x ∈，使()()12f x g x =成立，只需函数()y f x =的值域为函数()y g x =的值域的子集．∴函数()111f x x =+-,易得函数()f x 在[]2,3上单调递减，求出函数()f x 的值域为3,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦，下讨论()12g x mx m =+-的值域．∴当0m =时，()g x 为常数，不符合题意舍去；∴当0m >时，()g x 的值域为[]1,1m +，只需12m +≥，解得m 1≥；∴当0m <时，()g x 的值域为[]1,1m +，不符合题意舍去，综上，m 的取值范围为m 1≥.22．(1)1a =(2)2133k -<<-【分析】（1）依据题给条件列出关于实数a 的方程，解之即可求得实数a 的值；（2）先将题给方程化简整理，利用换元法转化为二次方程有二根，再利用指数函数列出关于实数k 的不等式，解之即可求得实数k 的取值范围．【详解】（1）∴1x =是函数()232g x ax ax =-+的零点∴()132220g a a a =-+=-=，解之得1a =；（2）由（1）得()232g x x x =-+，则()23f x x x=-+， 则方程()3213021x x f k k ⎛⎫ ⎪-+-= ⎪-⎝⎭ 可化为23213302121x x x k k -+-+-=--， ∴0x ≠，∴两边同乘21x -得：()2213321320x x k k --+-++=，则此方程有三个不同的实数解. 令21x t =-则0t >，则()233320t k t k -+++=，解之得1t =或32t k =+， 当1t =时，211x -=，得1x =；当32t k =+时，2132x k -=+，则此方程有两个不同的实数解，则0321k <+<，解之得2133k -<<-． 则实数k 的取值范围为2133k -<<-．。
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QPCBA2012——2013学年上学期期末联考高一年级期末考试数 学 试 卷一、选择题.(本大题共10小题, 每小题5分, 共50分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.)1、已知集合2{|23,},{|3,},A x x x Z B y y x x A C A B =-≤≤∈==-∈=⋂, 则集合C 的子集共有( )A ．1个B ．3个C ．4个D ．8个2、已知角α的终边在函数23y x =-的图象上, 则212sin cos 3cos ααα--的值为( )A ．213-B ．213±C ．－2D ．2±3、设1sin()43πθ+=, 则sin2θ＝( ) A ．79- B ．19-C ．19 D ．79 4、已知平面内不共线的四点O, A, B, C 满足1233OB OA OC =+, 则||:||AB BC =( )A ．1：3B ．3：1C ．1：2D ．2：15、为了得到函数2sin(),36x y x R π=+∈的图象, 只需把函数2sin ,y x x R =∈的图象上所有的点( )A ．向左平移6π个单位长度, 再把所得各点的横坐标缩短到原来的13倍(纵坐标不变)B ．向右平移6π个单位长度, 再把所得各点的横坐标缩短到原来的13倍(纵坐标不变)C ．向左平移6π个单位长度, 再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)D ．向右平移6π个单位长度, 再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)6、已知||23,||2a b ==, 向量,a b 的夹角为30°, 则以向量,a b 为邻边的平行四边形的一条对角线的长度为( ) A ．10BC ．2D ．227、设P, Q 为△ABC 内的两点, 且2121,5534AP AB AC AQ AB AC =+=+, 则△ABP 的面积与△ABQ 的面积之比为( )A ．15 B ．45 C ．14D ．138、设1235,log 2,ln 2a b c -===, 则( )A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b c a <<D ．c a b <<9、已知函数sin()y A x m ωϕ=++的最大值为4, 最小值为0, 最小正周期为2π, 直线3x π=是其图象的一条对称轴, 则下面各式中符合条件的解析式是( ) A ．4sin(4)6y x π=+ B ．2sin(2)23y x π=++ C ．2sin(4)23y x π=++D ．2sin(4)26y x π=++10、函数1()2sin (13)1f x x x xπ=--≤≤-的所有零点之和为( ) A ．2 B ．4 C ．6 D ．8二、填空题.(本大题共5小题, 每小题5分, 共25分) 11、sin15cos15︒⋅︒= .12、设函数1221,0(),0x x f x x x --≤⎧⎪=⎨⎪>⎩, 若0()1f x >, 则0x 的取值范围是 .13、已知223sin 2sin 2sin x y x +=, 则22sin sin x y +的取值范围是 . 14、函数()f x 的定义域为[0,1], 且满足以下三个条件：①(0)0f =；②1()()32xf f x =；③(1)1()f x f x -=-, 则11()()69f f += .15、下列命题中：①//a b ⇔存在唯一的实数R λ∈, 使得b a λ=； ②e 为单位向量, 且//a e , 则||a a e =±；③3||||a a a a ⋅⋅=；④a b 与共线, b c 与共线, 则a c 与共线； ⑤若a b b c ⋅=⋅且0b ≠, 则a c =.其中正确命题的序号是 .三、解答题.(本大题共6小题, 共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 16、(本小题满分12分)已知3sin ,(0,)52παα=∈.(1)求cos α的值；(2)求sin2cos2αα+的值.E RDCBA17、(本小题满分12分)已知(1,2),(1,1)a b ==-.(1)若θ为2a b +与a b -的夹角, 求θ的值； (2)若2a b +与ka b -垂直, 求k 的值.18、(本小题满分12分)在△ABC 中, 点D 和E 分别在BC 上, 且11,33BD BC CE CA ==, AD 与BE 交于R, 证明：1.7RD AD =19、(本小题满分12分)已知向量25(cos ,sin ),(cos ,sin ),||5a b a b ααββ==-=. (1)求cos()αβ-的值； (2)若50,0,sin 213πβαβπβ-<<<-<=-, 求sin α的值.20、(本小题满分13分)已知函数())cos()(0,0)f x x x ωϕωϕϕπω+-+<<>为偶函数,且函数()y f x =图象的两相邻对称轴间的距离为2π. (1)当5[,]66x ππ∈时, 求()f x 的取值范围；(2)将函数()y f x =的图象按向量(,0)6a π=平移后, 再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍, 纵坐标不变, 得到函数()y g x =的图象, 求()g x 的单调递减区间.21、(本小题满分14分)已知定义域为R 的函数12()2x x bf x a+-+=+是奇函数.(1)求()f x 的解析式；(2)用定义证明()f x 为R 上的减函数；(3)若对任意的[1,1]t ∈-, 不等式(24)(321)0t t f k f k -+⋅--<恒成立, 求k 的取值范围.2012——2013学年上学期期末联考 高一年级期末考试数学试卷（参考答案）一、选择题.(本大题共10小题, 每小题5分, 共50分.在每小题给出的四个选项中, 只有一二、填空题.(本大题共5小题, 每小题5分, 共25分) 11、1412、01x <-或01x >13、4[0,]914、1215、②③三、解答题.(本大题共6小题, 共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 16、（1）∵3sin ,(0,)52παα=∈。
∴4cos 5α=== ………………（6分） （2）sin2cos2αα+22sin cos 2cos 1ααα=+-34162215525=⨯⨯+⨯-3125=………………（12分）17、（1）∵(1,2),(1,1)a b ==-∴2(3,3),(0,3)a b a b +=-=∴(2)()9cos 2|2|||318a b a b a b a b θ+⋅-===+⋅-。
∵0[0,]π∈ ∴4πθ=………………（6分）（2）(1,21)ka b k k -=-+，依题意(3,3)(1,21)0k k ⋅-+= ∴33630k k -++=∴0k = ………………（12分）18、证明：由A 、D 、R 三点共线，可得(1)CR CD CA λλ=+-2(1)3CB CA λλ=+-。
由B 、E 、R 三点共线，可得(1)CR CB CE μμ=+-仙桃中学 麻城一中 新洲一中 武汉二中1(1)3CB CA μμ=+-。
∴2311(1)3λμλμ⎧=⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩ ∴6747λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩………………（6分） ∴4177CR CB CA =+∴23AD CD CA CB CA =-=-241()377RD CD CR CB CB CA =-=-+21217CB CA =-121()737CB CA AD =-= ………………（12分）19、解：（1）∵(cos ,sin ),(cos ,sin )a b ααββ==∴(cos cos ,sin sin )a b αβαβ-=--∵25||5a b-=即422cos()5αβ--= ∴3cos()5αβ-= ………………（6分）（2）∵30,cos()5αβπαβ<-<-= ∴4sin()5αβ-=又∵50,sin 213πββ-<<=- ∴12cos 13β=∴sin sin[()]sin()cos cos()sin ααββαββαββ=-+=-+-41235()513513=⨯+⨯- 3365= ………………………………………………（12分）20、解：（1）())cos()f x x x ωϕωϕ=+-+2sin()6x πωϕ=+-∵()f x 为偶函数，∴对,()()x R f x f x ∈-=恒成立∴sin()sin()66x x ππωϕωϕ-+-=+-即sin cos()cos sin()66x x ππωϕωϕ--+-sin cos()cos sin()66x x ππωϕωϕ=-+-∴sin cos()06x πωϕ-=∵0x R ω>∈且 ∴cos()06πϕ-=，又∵0ϕπ<<∴62ππϕ-=∴()2sin()2cos 2f x x x πωϕω=++=依题意222ππω=⋅ ∴2ω= ∴()2cos2f x x = ………………（4分）∵5[,]66x ππ∈ ∴52[,]33x ππ∈ ∴1cos2[1,]2x ∈- ∴()[2,1]f x ∈- …………（7分）（2）依题意()()2cos[2()]2cos()464623x x x g x f πππ=-=-=-由22()23x k k k Z ππππ≤-≤+∈得2844()33k x k k Z ππππ+≤≤+∈∴()g x 的单调减区间为28[4,4]()33k k k Z ππππ++∈ ………………（13分）21、解：（1）由(0)0f =得1b =，由(1)(1)f f -=-得2a =。
∴121()22x x f x +-+=+ ………………（4分）（2）设12x x <，则121212112121()()2222x x x x f x f x ++-+-+==-++ ＝121111()()212212x x ---++＝211212112202121(21)(21)x xxx x x --=>++++ ∴12()()f x f x > ∴()f x 为R 上的减函数 ………………（8分） （3）(24)(321)0t t f k f k -+⋅--< (24)(132)t t f k f k ⇔-<+-⋅ ∵()f x 为R 上的减函数 ∴24132t t k k ->+-⋅∴2354321(2)24t t t k >-⋅+=-- ……………………（12分） ∵[1,1]t ∈- ∴12[,2]2t ∈∴2354321(2)24t t t -⋅+=--的最大值为14- ∴14k >- ……………………（14分）。