湖北省黄冈中学2020届高三四月份理科数学试题参考答案

19．【解析】 （1）证明：取 AB 的中点 O ，连结 EO,OF , AC ，由题意知 EO AB ．
又因为平面 ABCD 平面 ABE ，所以 EO 平面 ABCD ．（2 分） 因为 BD 平面 ABCD ，所以 EO BD , 因为四边形 ABCD 为菱形，所以 BD AC ，
，而函数
y tan x 在 (0, ) 上不是单调函数，所以“ sin A sin B ”是“ tan A tan B ”的既不充分也不必要条件，
故选 D.
S1
S113
6．【答案】D【解析】执行程序框图，可得 S=0，n=2，满足条件， 2 ，n＝4，满足条件， 2 4 4 ，
S 1 1 1 11
SO 2
OC 2
SC 2
，又内切圆半径
r
1 2
(3
4
5)
1
，所
以 OC 2 ， SO2 SC 2 OC 2 3 2 1 ， 故 SO 1 ， 三 棱 锥 S ABC 的 体 积 为
V
1 3
S△ABC
SO
1 3
1 2
3
4 1
2
，③正确；对于④， 若
SA
3
，
SA
平面
ABC
，则直线
PS
其中 A(2,6) ，直线 x my 1 0 过定点 D(1,0) ，
当 m 0 时，不等式 x 1≤0 表示直线 x 1 0 及其左边的区域，不满足题意；
当
m
0
时，直线
x
my
1
0
的斜率
1 m
0
，不等式
x
my
1≤0
表示直线
x
my
1
0
下方的区域，
不满足题意；
当
m
0
时，直线
x
my
1
0
的斜率
1 m
与
平面
SBC
所成的最大角时，
P
点与
A
点重合，在
Rt△SCA 中，
tan ASC
3 5
1 ，ASC
45
，即直
线 PS 与平面 SBC 所成的最大角为 45 ，④不正确，故答案为①②③．
17．【解析】 （1）设数列 an 的公差为 d，a4 a6 2a5 18 ，a5 9 ，
S11
11(a1 2
2Tn 2 23 3 24 4 25 n2 n1 (n 1)2 n2 ，
两式作差，得 Tn 2 22 23 24 2 n1 (n 1)2 n2
·9·
8
8(1 2n1) 1 2
(n 1)2n2
8 2n2
8 (n 1)2n2
n2n2
，
Tn n2n2 .（12 分）
16 84 50 50
，（4 分）
由于 4.762＞3.841，
所以在犯错误的概率不超过 5%的前提下，可以认为“书虫”与性别有关．（6 分）
（2）由频率分布直方图可得女生“书虫”的人数为 4， X 的所有可能取值为 0，1，2，
P( X
则
0)
C246 C520
207 245
P( X
,
1)
F '(x) 0 ， F (x) 在 (x1,e) 上是减函数．
因为 x0 0,e ，方程 ln x x2 ax 1 f (x0) 在 0,e 内有两个不同的根 ，所以 F(x)max F(x1) 1 ，且
F
(e)≤0
．由
F
(e)≤0
，即
ln
e
e2
ae
1≤0
，解得
a≤e
2 e
．
由 F(x)max F(x1) 1 ，即 ln x1 x12 ax1 1 1 ，所以 ln x1 x12 ax1 0 ．
则
|
z |2 z
z2
2 1
i
2i
2(1 i) (1 i)(1 i)
2i
1i
2i
1
i
，故选
A．
3．【答案】D【解析】全称命题的否定是特称命题，所以命题“ x (0,1) , ex ln x ”的否定是：
x0 (0,1) , ex0 ≤ln x0 ．故选 D．
4．【答案】B【解析】 a (a b) ,a (a b) a2 a b = 3 a b = 0 ,a b 3 ，
·10·
又因为 OF //AC ，所以 BD OF ，所以 BD 平面 EOF .（4 分） 又 EF 平面 EOF ，所以 BD EF ．（6 分） （2）连结 DO ，由题意知 EO AB ， DO AB . 又因为平面 ABCD 平面 ABE ，所以 DO 平面 ABE ， 以 O 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系 O xyz .
| a + b | cos a + b,b (a + b) b a b + b2 3 4 7
向量 a + b 在向量 b 方向的投影为
|b|
|b|
2 2 ．故选 B．
sin A sin B a b a b A B
5．【答案】D【解析】由正弦定理及大边对大角可得：
2R 2R
1 a2
1 b2
1
，又 c
1 ，c2
a2
b2 ，可解得
a
5 1
e c a
2 ，故双曲线的离心率是
1 5 1 2
5 1 2
，故选
B．
12．【答案】D【解析】函数 g(x) ln x x2 ax f (x0) 1 在 0,e 内都有两个不同的零点，等价于方程
ln x x2 ax 1 f (x0) 在 0,e 内都有两个不同的根．
2x)
2sin(2x
)
6
6
，由
2k≤2x ≤3 2k , k Z
k≤x≤ 5 k ,k Z
2
62
，解得 3
6
，即函数的增区间为
[
k , 5
k ], k Z
[, ]
3
6
，所以当 k 0 时，增区间为 3 2 ，选 D.
9．【答案】B【解析】作出不等式对应的平面区域，如图所示：
由
a
2 x1
1 x1
在
(1, e)
1
上是增函数，得
a
2e
1 e
1
．综上所述
a≤e
2 e
，故选
D.
13．【答案】3【解析】 (1 2x)(1 x)6 的展开式中 x2 的系数为 C62 (2)C16 3 .
3
14．【答案】
15
4
tan
【解析】
ACB
tan(ACD
BCD)
tan ACD tan BCD 1 tan ACD tan BCD
的面积 S 2S△MBC ，若四边形 MACB 的最小面积 S [
3,
7 ] ，所以 S△MBC 的最小值为 S△MBC [
3, 2
7]
2，
S△MBC
而
1r 2
MB
，即
MB
的最小值 MB min [
3,
7] ，此时 MC
最小为圆心到直线的距离，此时
d 1 7 [ 12 ( 3)2 , 12 ( 7)2 ]
a11)
11a6
121 ，a6
11
，
d a6 a5 11 9 2 ，an a5 (n 5)d 9 2(n 5) 2n 1 .（6 分）
（2）由（1）可知 bn (an 3)2n (2n 1 3)2n (n 1)2n 1 ，
数列 bn 的前 n 项和为 Tn 2 22 3 23 4 24 (n 1)2 n1 ，
AC 4, BC 4, SC 4 ，SC 平面 ABC ，三棱锥 S ABC 的外接球可以看作棱长为 4 的正方体的外接
球， 2R
42 42 42 4
3 ，R 2
V 4 (2
3 ，体积为 3
3)3 32
3
，②正确；对于③，设 △ABC
内心是
O，则
SO
平面
ABC
，连接
OC，则有
ax x
1
，
若 F '(x) 0 在 (0,e) 无解，则 F (x) 在 0,e 上是单调函数，不合题意；所以 F '(x) 0 在 (0,e) 有解，且易
知只能有一个解．设其解为 x1 ，当 x (0, x1) 时 F '(x) 0 ， F (x) 在 (0, x1) 上是增函数；当 x (x1,e) 时
一的零点为 m 1 ，所以 1 n ≤1 ，0≤n≤2 ，问题转化为：使方程 x2 ax a 3 0 在区间[0,2]上有解，
a x2 3 (x 1)2 2(x 1) 4 x 1 4 2
即 x1
x 1
x 1
y x 1 4 2
在区间[0,2]上有解，而根据“对勾函数”可知函数
15 7
k2 1
，因为 k 0 ，所以 k [ 7, 15] ，所以 k [1, 4] 的概率为 3 ．
16．【答案】①②③【解析】对于①，因为 SA 平面 ABC ，所以 SA AC ，SA AB ，SA BC ，又 BC AC ，
所 以 BC 平 面 SAC ， 所 以 BC SC ， 故 四 个 面 都 是 直 角 三 角 形 ， ① 正 确 ； 对 于 ② ， 若
f '(x) e1x xe1x (1 x)e1x ，所以当 x (0,1) 时， f '(x) 0 ， f (x) 是增函数；
当 x (1,e) 时， f '(x) 0 ， f (x) 是减函数．因此 0 f (x)≤1 .