4-3平面向量的数量积及向量的应用教案

第4章 第3节平面向量的数量积及向量的应用一、选择题1．(文)(2012·哈师大附中联考)已知|a |＝6，|b |＝3，a ·b ＝－12，则向量a 在向量b 方向上的投影是( )A ．－4B ．4C ．－2D ．2[答案] A[解析] a 在b 方向上的投影为a ·b |b |＝－4. (理)(2012·浙江绍兴调研)设a ·b ＝4，若a 在b 方向上的投影为2，且b 在a 方向上的投影为1，则a 与b 的夹角等于( ) A.π6 B.π3 C.2π3 D.π3或2π3[答案] B[解析] 由条件知，a ·b |b |＝2，a ·b |a |＝1，a ·b ＝4，∴|a |＝4，|b |＝2， ∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a |·|b |＝44×2＝12，∴〈a ，b 〉＝π3. 2．(文)(2012·山东东营质检)已知向量a ，b 均为单位向量，若它们的夹角60°，则|a －3b |等于( ) A.7 B.10 C.13 D ．4[答案] A[解析] 由条件知，a ·b ＝|a |·|b |·cos60°＝12，∴|a －3b |2＝|a |2＋9|b |2－6a ·b ＝7，∴|a －3b |＝7. (理)若向量a 与b 的夹角为60°，|b |＝4，(a ＋2b )·(a －3b )＝－72，则向量a 的模为( )A ．2B ．4C ．6D ．12[答案] C[解析] ∵a ·b ＝|a |·|b |·cos60°＝2|a |，∴(a ＋2b )·(a －3b )＝|a |2－6|b |2－a ·b ＝|a |2－2|a |－96＝－72.∴|a |＝6.3．(文)已知向量a ＝(1,2)，向量b ＝(x ，－2)，且a ⊥(a －b )，则实数x 等于( )A ．9B ．4C ．0D ．－4[答案] A[解析] a －b ＝(1－x,4)，∵a ⊥(a －b )，∴a ·(a －b )＝(1,2)·(1－x,4)＝1－x ＋8＝0，∴x ＝9.(理)(2012·湖南考试院)如图，在△ABC 中，AB ＝5，BC ＝3，CA ＝4，且O 是△ABC 的外心，则OC →·CA →＝( )A ．6B ．－6C ．8D ．－8[答案] D[解析] ∵AB 2＝AC 2＋BC 2，∴∠ACB 为直角，∵O 为△ABC 外心，∴OC →·CA →＝－CO →·CA →＝－12(CA →＋CB →)·CA →＝－12|CA →|2－12CB →·CA →＝－8. 4．已知OA →＝(3,1)，OB →＝(2,4)，|BC →|＝1，点C 在直线OA 上的射影为点D ，则|OD →|的最大值为( )A ．10＋10B ．10－10 C.10＋1 D.10－1[答案] C[解析] ∵|BC →|＝1，∴C 在以B 为圆心，1为半径的圆上，设C (cos α＋2，sin α＋4)．又∵|OD →|＝|OC →·OA →||OA →|＝|3(cos α＋2)＋sin α＋4|10＝|10sin(α＋φ)＋10|10≤10＋1010＝10＋1. 5．(文)(2012·甘肃省质检)已知|a |＝1，|b |＝6，a ·(b －a )＝2，则向量a 与向量b 的夹角是( )A.π2B.π3C.π4D.π6[答案] B[解析] ∵a ·(b －a )＝2，∴a ·b －|a |2＝2，∴1×6cos 〈a ，b 〉－1＝2，∴cos 〈a ，b 〉＝12， ∵〈a ，b 〉∈(0，π)，∴〈a ，b 〉＝π3. (理)(2012·广东罗湖区调研)在边长为1的等边△ABC 中，设BC →＝a ，CA →＝b ，AB →＝c ，则a ·b ＋b ·c ＋c ·a ＝( )A ．－32B ．0 C.32 D ．3[答案] A[解析] |a |＝|b |＝|c |＝1，〈a ，b 〉＝〈b ，c 〉＝〈c ，a 〉＝120°，∴a ·b ＝b ·c ＝c ·a ＝1×1×cos120°＝－12，∴a ·b ＋b ·c ＋c ·a ＝－32. 6．(文)(2012·安徽合肥市质检)在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AD ⊥AB ，∠B ＝45°，AB ＝2CD ＝2，M 为腰BC 的中点，则MA →·MD →＝( )A ．1B ．2C ．3D ．4[答案] B[解析] 由条件知AB ＝2，CD ＝1，BC ＝2，∴MB ＝MC ＝22，∴MC →·BA →＝|MC →|·|BA →|·cos45°＝22×2×22＝1， MB →·CD →＝|MB →|·|CD →|·cos135°＝22×1×⎝⎛⎭⎫－22＝－12， ∴MA →·MD →＝(MB →＋BA →)·(MC →＋CD →)＝MB →·MC →＋MB →·CD →＋BA →·MC →＋BA →·CD →＝－⎝⎛⎭⎫222＋⎝⎛⎭⎫－12＋1＋2×1＝2，故选B. (理)如图，△ABC 的外接圆的圆心为O ，AB ＝2，AC ＝3，BC ＝7，则AO →·BC →等于( )A.32B.52 C ．2 D ．3[答案] B[解析] AO →·BC →＝AO →·(AC →－AB →)＝AO →·AC →－AO →·AB →，因为OA ＝OB .所以AO →在AB →上的投影为12|AB →|，所以AO →·AB →＝12|AB →|·|AB →|＝2，同理AO →·AC →＝12|AC →|·|AC →|＝92，故AO →·BC →＝92－2＝52. 7．(文)(09·全国Ⅰ)设非零向量a 、b 、c 满足|a |＝|b |＝|c |，a ＋b ＝c ，则〈a ，b 〉＝( )A ．150°B ．120°C ．60°D ．30°[答案] B[解析] 如图所示，∵|a |＝|b |＝|c |，∴△OAB 是正三角形．∴〈a ，b 〉＝120°.(理)(2012·山东省实验中学模考)已知A 、B 、C 是锐角△ABC 的三个内角，向量p ＝(sin A,1)，q ＝(1，－cos B )，则p 与q 的夹角是( )A ．锐角B ．钝角C ．直角D ．不确定[答案] A[解析] p ·q ＝sin A －cos B ，若p 与q 夹角为直角，则p ·q ＝0，∴sin A ＝cos B ，∵A 、B ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴A ＝B ＝π4，则C ＝π2，与条件矛盾；若p 与q 夹角为钝角，则p ·q <0，∴sin A <cos B ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－B ， ∵sin x 在⎝⎛⎭⎫0，π2上为增函数，∴A <π2－B ，∴A ＋B <π2，∴C >π2这与条件矛盾，∴p 与q 的夹角为锐角． 8．(文)(2012·广西南宁二中模考)在△ABC 中，a 、b 、c 分别是∠A ，∠B ，∠C 所对的边，设向量m ＝(b －c ，c －a )，n ＝(b ，c ＋a )，若m ⊥n ，则∠A 的大小为( )A.2π3B.π3C.π2D.π4 [答案] B[解析] m ·n ＝b (b －c )＋c 2－a 2＝c 2＋b 2－a 2－bc ＝0，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，∵0<A <π，∴A ＝π3. (理)(·山东)已知a 、b 、c 为△ABC 的三个内角A 、B 、C 的对边，向量m ＝(3，－1)，n ＝(cos A ，sin A )．若m ⊥n ，且a cos B ＋b cos A ＝c sin C ，则角A 、B 的大小分别为( )A.π6，π3B.2π3，π6C.π3，π6D.π3，π3[答案] C[解析] 解法1：∵m ⊥n ，∴3cos A －sin A ＝0，∴cos ⎝⎛⎭⎫A ＋π6＝0，又∵0<A <π，∴A ＋π6＝π2，∴A ＝π3. 在△ABC 中，由正弦定理得sin A cos B ＋sin B cos A ＝sin 2C ，∴sin(A ＋B )＝sin 2C ，又sin(A ＋B )＝sin C ≠0，∴sin C ＝1，∴C ＝π2，故B ＝π6. 解法2：接解法1中，A ＝π3，在△ABC 中，由余弦定理得a ·a 2＋c 2－b 22ac ＋b ·b 2＋c 2－a 22bc＝c sin C ， ∴2c 22c ＝c ＝c sin C ，∴sin C ＝1，∴C ＝π2，故B ＝π6. 9．(文)已知△ABC 中，AB →＝a ，AC →＝b ，a ·b <0，S △ABC ＝154，|a |＝3，|b |＝5，则∠BAC 等于( ) A ．30° B ．120° C ．150° D ．30°或150°[答案] C[解析] S △ABC ＝12|a ||b |sin ∠BAC ＝154，∴sin ∠BAC ＝12.又a ·b <0，∴∠BAC 为钝角，∴∠BAC ＝150°，选C.(理)(2012·福建莆田一中)设O 为坐标原点，A (1,1)，若点B (x ，y )满足⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2－2x －2y ＋1≥01≤x ≤21≤y ≤2，则OA →·OB →取得最小值时，点B 的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．无数个 [答案] B[解析] ∵x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0，即(x －1)2＋(y －1)2＝1.∴可行域为图中阴影部分，∵OA →·OB →＝|OA →|·|OB →|·cos 〈OA →，OB →〉，又|OA →|为定值，∴当OB →·cos 〈OA →，OB →〉取最小值时，OA →·OB →取最小值，∵y ＝cos x 在⎝⎛⎭⎫0，π2上为减函数，∴由图可知，当点B 在E 、F 位置时，∠AOB 最大，|OB →|最小，从而OA →·OB →取最小值，故选B.[点评] 可用数量积的坐标表示求解，设B (x ，y )，令OA →·OB →＝x ＋y ＝t ，则y ＝－x ＋t ，当直线y ＝－x ＋t 过B 1、B 2两点时，t 最小，即t min ＝3.∴当OA →·OB →取得最小值时，点B 的个数为2.10．(文)设F 1、F 2为椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点，过椭圆中心任作一直线与椭圆交于P 、Q 两点，当四边形PF 1QF 2面积最大时，PF 1→·PF 2→的值等于( )A ．0B ．2C ．4D ．－2[答案] D[解析] 由题意得c ＝a 2－b 2＝3，又S 四边形PF 1QF 2＝2S △PF 1F 2＝2×12×F 1F 2·h (h 为F 1F 2边上的高)，所以当h ＝b ＝1时，S 四边形PF 1QF 2取最大值，此时∠F 1PF 2＝120°.所以PF 1→·PF 2→＝|PF 1→|·|PF 2→|·cos120°＝2×2×(－12)＝－2. (理)(2012·云南省统考)如果A 是抛物线x 2＝4y 的顶点，过点D (0,4)的直线l 交抛物线x 2＝4y 于B 、C 两点，那么AB →·AC →等于( ) A.34 B ．0 C ．－3 D ．－34[答案] B[解析] 由题意知A (0,0)，设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，直线l ：y ＝kx ＋4，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4y y ＝kx ＋4消去y 得，x 2－4kx －16＝0，∴x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－16， ∴y 1·y 2＝(kx 1＋4)(kx 2＋4)＝k 2x 1x 2＋4k (x 1＋x 2)＋16＝－16k 2＋16k 2＋16＝16，∴AB →·AC →＝x 1x 2＋y 1y 2＝0.二、填空题11．(文)(2012·浙江文)已知平面向量α，β，|α|＝1，|β|＝2，α⊥(α－2β)，则|2α＋β|的值是________．[答案] 10[解析] ∵α⊥(α－2β)，∴α·(α－2β)＝α2－2α·β＝0∴2α·β＝α2∴|2α＋β|＝4α2＋4α·β＋β2＝6α2＋β2＝6|α|2＋|β|2＝6＋4＝10.(理)(2012·江西文)已知向量a ，b 满足|b |＝2，a 与b 的夹角为60°，则b 在a 上的投影是____________．[答案] 1[解析] 向量b 在a 上的投影为l ＝b·a |a|＝|b|·cos60°＝1. 12．(文)已知a ＝(1,2)，b ＝(1,1)，且a 与a ＋λb 的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是________．[答案] λ>－53且λ≠0[解析] ∵a 与a ＋λb 均不是零向量，夹角为锐角，∴a ·(a ＋λb )>0，∴5＋3λ>0，∴λ>－53.当a 与a ＋λb 共线时，a ＋λb ＝m a ，即(1＋λ，2＋λ)＝(m,2m )．∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋λ＝m 2＋λ＝2m ，得λ＝0，即当λ＝0时，a 与a ＋λb 共线，∴λ≠0.即λ>－53且λ≠0. (理)已知OA →＝(3，－4)，OB →＝(6，－3)，OC →＝(5－m ，－3－m )．(1)若点A 、B 、C 能构成三角形，则实数m 应满足的条件为________．(2)若△ABC 为Rt △，且∠A 为直角，则m ＝______.[答案] m ∈R 且m ≠12；74[解析] (1)若点A 、B 、C 能构成三角形，则这三点不共线． ∵AB →＝(3,1)，AC →＝(2－m,1－m )，∴3(1－m )≠2－m ，∴m ≠12.即实数m ≠12，满足条件． (2)若△ABC 为直角三角形，且∠A 为直角，则AB →⊥AC →，∴3(2－m )＋(1－m )＝0，解得m ＝74. 13．(文)已知直线ax ＋by ＋c ＝0与圆O ：x 2＋y 2＝4相交于A 、B 两点，且|AB |＝23，则OA →·OB →＝________.[答案] －2[解析] ∵|AB |＝23，|OA |＝|OB |＝2，∴∠AOB ＝120°.∴OA →·OB →＝|OA →|·|OB →|·cos120°＝－2.(理)(2012·安徽巢湖市质检)已知A 1，A 2分别是椭圆x 225＋y 216＝1的左、右顶点，P 是过左焦点F 且垂直于A 1A 2的直线l 上的一点，则P A 1→·A 1A 2→＝________.[答案] －20[解析] 由条件知A 1(－5,0)，A 2(5,0)，F (－3,0)，设P (－3，y 0)，则A 1A 2→＝(10,0)，P A 1→＝(－2，－y 0)，∴P A 1→·A 1A 2→＝－20.14．(2012·广东茂名市)O 是平面α上一点，A 、B 、C 是平面α上不共线的三点，平面α内的动点P 满足OP →＝OA →＋λ(AB →＋AC →)，则λ＝12时，P A →·(PB →＋PC →)的值为________． [答案] 0[解析] 由已知得OP →－OA →＝λ(AB →＋AC →)，即AP →＝λ(AB →＋AC →)，当λ＝12时，得AP →＝12(AB →＋AC →)， ∴2AP →＝AB →＋AC →，即AP →－AB →＝AC →－AP →，∴BP →＝PC →，∴PB →＋PC →＝PB →＋BP →＝0，∴P A →·(PB →＋PC →)＝P A →·0＝0，故填0.三、解答题15．(文)(2010·江苏)在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (－1，－2)，B (2,3)，C (－2，－1)(1)求以线段AB 、AC 为邻边的平行四边形的两条对角线的长；(2)设实数t 满足(AB →－tOC →)·OC →＝0，求t 的值．[解析] (1)由题设知AB →＝(3,5)，AC →＝(－1,1)，则AB →＋AC →＝(2,6)，AB →－AC →＝(4,4)．所以|AB →＋AC →|＝210，|AB →－AC →|＝4 2.故所求的两条对角线长分别为42，210.(2)由题设知OC →＝(－2，－1)，AB →－tOC →＝(3＋2t,5＋t )．由(AB →－tOC →)·OC →＝0，得(3＋2t,5＋t )·(－2，－1)＝0，所以t ＝－115. (理)(09·江苏)设向量a ＝(4cos α，sin α)，b ＝(sin β，4cos β)，c ＝(cos β，－4sin β)(1)若a 与b －2c 垂直，求tan(α＋β)的值；(2)求|b ＋c |的最大值；(3)若tan αtan β＝16，求证：a ∥b .[解析] (1)由a 与b －2c 垂直．a ·(b －2c )＝a ·b －2a ·c ＝0，即4sin(α＋β)－8cos(α＋β)＝0，tan(α＋β)＝2.(2)b ＋c ＝(sin β＋cos β，4cos β－4sin β)，|b ＋c |2＝sin 2β＋2sin βcos β＋cos 2β＋16cos 2β－32cos βsin β＋16sin 2β＝17－30sin βcos β＝17－15sin2β最大值为32，∴|b ＋c |的最大值为4 2.(3)由tan αtan β＝16得sin αsin β＝16cos αcos β即4cos α·4cos β－sin αsin β＝0∴a ∥b .16．(文)(2012·河北正定中学模拟)已知向量a ＝1sin x ，－1sin x，b ＝(2，cos2x )，其中x ∈⎝⎛⎦⎤0，π2. (1)试判断向量a 与b 能否平行，并说明理由？(2)求函数f (x )＝a ·b 的最小值．[解析] (1)若a ∥b ，则有1sin x ·cos2x ＋1sin x·2＝0.∵x ∈⎝⎛⎦⎤0，π2，∴cos2x ＝－2，这与|cos2x |≤1矛盾， ∴a 与b 不能平行．(2)∵f (x )＝a ·b ＝2sin x －cos2x sin x ＝2－cos2x sin x ＝1＋2sin 2x sin x ＝2sin x ＋1sin x ， ∵x ∈⎝⎛⎦⎤0，π2，∴sin x ∈(0,1]，∴f (x )＝2sin x ＋1sin x ≥22sin x ·1sin x＝2 2. 当2sin x ＝1sin x ，即sin x ＝22时取等号，故函数f (x )的最小值为2 2. (理)点D 是三角形ABC 内一点，并且满足AB 2＋CD 2＝AC 2＋BD 2，求证：AD ⊥BC .[分析] 要证明AD ⊥BC ，则只需要证明AD →·BC →＝0，可设AD →＝m ，AB →＝c ，AC →＝b ，将BC →用m ，b ，c 线性表示，然后通过向量的运算解决．[证明] 设AB →＝c ，AC →＝b ，AD →＝m ，则BD →＝AD →－AB →＝m －c ，CD →＝AD →－AC →＝m －b .∵AB 2＋CD 2＝AC 2＋BD 2，∴c 2＋(m －b )2＝b 2＋(m －c )2，即c 2＋m 2－2m ·b ＋b 2＝b 2＋m 2－2m ·c ＋c 2，∴m ·(c －b )＝0，即AD →·(AB →－AC →)＝0，∴AD →·CB →＝0，∴AD ⊥BC .17．(文)(2012·潍坊市模拟)已知钝角△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且(2a －c )cos B ＝b cos C .(1)求角B 的大小；(2)设向量m ＝(cos2A ＋1，cos A )，n ＝⎝⎛⎭⎫1，－85，且m ⊥n ，求tan ⎝⎛⎭⎫π4＋A 的值． [解析] (1)∵(2a －c )cos B ＝b cos C ，∴(2sin A －sin C )cos B ＝sin B cos C ，∴2sin A cos B ＝sin(B ＋C )，∵sin A ≠0，sin(B ＋C )＝sin A ，∴cos B ＝22，∵B 为三角内角，∴B ＝π4. (2)∵m ⊥n ，∴m ·n ＝cos2A ＋1－85cos A ＝2cos 2A －85cos A ＝0，∵△ABC 为钝角三角形，∴cos A ≠0，∴cos A ＝45，∴sin A ＝35，∴tan A ＝34，∴tan ⎝⎛⎭⎫π4＋A ＝1＋tan A 1－tan A ＝1＋341－34＝7. (理)(2012安徽巢湖质检)已知A (－3，0)，B (3，0)，动点P 满足|P A →|＋|PB →|＝4.(1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)过点(1,0)作直线l 与曲线C 交于M 、N 两点，求OM →·ON →的取值范围．[解析] (1)动点P 的轨迹C 的方程为x 24＋y 2＝1； (2)解法一：①当直线l 的斜率不存在时，M (1，32)，N (1，－32)，OM →·ON →＝14； ②当直线l 的斜率存在时，设过(1,0)的直线l ：y ＝k (x －1)，代入曲线C 的方程得(1＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4(k 2－1)＝0.设M (x 1，y 1)、N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝8k 21＋4k 2，x 1x 2＝4(k 2－1)1＋4k 2. OM →·ON →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋k 2(x 1－1)(x 2－1)＝(1＋k 2)x 1x 2－k 2(x 1＋x 2)＋k 2＝k 2－41＋4k 2＝14－1741＋4k 2<14. 又当k ＝0时，OM →·ON →取最小值－4，∴－4≤OM →·ON →<14.根据①、②得OM →·ON →的取值范围为[－4，14]． 解法二：当直线l 为x 轴时，M (－2,0)，N (2,0)，OM →·ON →＝－4.当直线l 不为x 轴时，设过(1,0)的直线l ：x ＝λy ＋1，代入曲线C 的方程得(4＋λ2)y 2＋2λy －3＝0.设M (x 1，y 1)、N (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝－2λ4＋λ2，y 1y 2＝－34＋λ2. OM →·ON →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(λ2＋1)y 1y 2＋λ(y 1＋y 2)＋1＝－4λ2＋14＋λ2＝－4＋174＋λ2∈(－4，14]． ∴－4≤OM →·ON →≤14.∴OM →·ON →的取值范围为[－4，14]．。