2021年中考数学试题及解析：重庆 -解析版

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2021重庆中考复习数学第26题专题训练五(含答案解析)(1) (1)

2021重庆中考复习数学第26题专题训练五1、如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E为AC边的一点，F为AB边上一点，连接CF，交BE于点D且∠ACF＝∠CBE，CG平分∠ACB交BD于点G，（1）求证：CF＝BG；（2）延长CG交AB于H，连接AG，过点C作CP∥AG交BE的延长线于点P，求证：PB＝CP+CF；（3）在（2）问的条件下，当∠GAC＝2∠FCH时，若S△AEG＝3，BG＝6，求AC的长．2、[问题背景]如图1所示，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，点D为直线BC上的一个动点（不与B、C重合），连结AD，将线段AD绕点D按顺时针方向旋转90°，使点A旋转到点E，连结EC．[问题初探]如果点D在线段BC上运动，通过观察、交流，小明形成了以下的解题思路：过点E作EF⊥BC 交直线BC于F，如图2所示，通过证明△DEF≌△，可推证△CEF是三角形，从而求得∠DCE＝．[继续探究]如果点D在线段CB的延长线上运动，如图3所示，求出∠DCE的度数．[拓展延伸]连接BE，当点D在直线BC上运动时，若AB＝，请直接写出BE的最小值．3、（2019秋•锦江区校级期末）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BD是△ABC的角平分线．（1）如图1，求证：AD＝2DC．（2）如图2，作∠CBD的角平分线交线段CD于点M，若CM＝1，求△DBM的面积；（3）如图3，过点D作DE⊥AB于点E，点N是线段AC上一点（不与C、D重合），以BN为一边，在BN的下方作∠BNG＝60°，NG交DE延长线于点G，试探究线段ND，DG与AD之间的数量关系，并说明理由．4、（2019•镇平县三模）如图1，已知直角三角形ABC，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，点D是AC边上一点，过D作DE⊥AB于点E，连接BD，点F是BD中点，连接EF，CF．（1）发现问题：线段EF，CF之间的数量关系为；∠EFC的度数为；（2）拓展与探究：若将△AED绕点A按顺时针方向旋转α角（0°＜α＜30°），如图2所示，（1）中的结论还成立吗？请说明理由；（3）拓展与运用：如图3所示，若△AED绕点A旋转的过程中，当点D落到AB边上时，AB边上另有一点G，AD＝DG＝GB，BC＝3，连接EG，请直接写出EG的长度．5、（2017春•西城区校级期末）如图1，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝a，点P是线段AB的中点，点E是线段CB延长线上一点，且PE＝PC，将线段PC绕点P顺时针旋转α得到PD，连接BD．（1）如图2，若α＝60°，其他条件不变，先补全图形，然后探究线段BD和BC之间的数量关系，并说明理由．（2）如图3，若α＝90°，其他条件不变，探究线段BP、BD和BC之间的等量关系，并说明理由．6、【发现问题】如图1，已知△ABC，以点A为直角顶点、AB为腰向△ABC外作等腰直角△ABE．请你以A为直角顶点、AC为腰，向△ABC外作等腰直角△ACD（不写作法，保留作图痕迹）．连接BD、CE．那么BD与CE的数量关系是BD＝CE．【拓展探究】如图2，已知△ABC，以AB、AC为边向外作正方形AEFB和正方形ACGD，连接BD、CE，试判断BD与CE之间的数量关系，并说明理由．【解决问题】如图3，有一个四边形场地ABCD，∠ADC＝60°，BC＝15，AB＝8，AD＝CD，求BD的最大值．7、（1）如图1，点C为线段AB外一个动点，已知AB＝a，AC＝b．当点C位于BA的延长线上时，线段BC取得最大值，则最大值为（用含a，b的式子表示）；（2）如图2，点C为线段AB外一个动点，若AB＝10，AC＝3，分别以AC，BC为边，作等边三角形ACD和等边三角形BCE，连接AE，DB．①求证：AE＝DB；②请直接写出线段AE的最大值；（3）如图3，AB＝6，点M为线段AB外一个动点，且AM＝2，MB＝MN，∠BMN＝90°，请直接写出线段AN的最大值．8、【初步探索】（1）如图1：在四边形ABC中，AB＝AD，∠B＝∠ADC＝90°，E、F分别是BC、CD上的点，且EF ＝BE+FD，探究图中∠BAE、∠F AD、∠EAF之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G，使DG＝BE．连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是；【灵活运用】（2）如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°．E、F分别是BC、CD上的点，且EF＝BE+FD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；【拓展延伸】（3）如图3，已知在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC＝180°AB＝AD，若点E在CB的延长线上，点F在CD的延长线上，如图3所示，仍然满足EF＝BE+FD，请写出∠EAF与∠DAB的数量关系，并给出证明过程．9、（2018•大东区一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，点O为AB中点，点P为直线BC上的动点（不与点B、点C重合），连接OC、OP，将线段OP绕点P逆时针旋转60°，得到线段PQ，连接BQ．（1）如图1，当点P在线段BC上时，请直接写出线段BQ与CP的数量关系．（2）如图2，当点P在CB延长线上时，（1）中结论是否成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由；（3）如图3，当点P在BC延长线上时，若∠BPO＝45°，AC＝，请直接写出BQ的长．10、模型发现：同学们知道，三角形的两边之和大于第三边，即如图1，在△ABC中，AB+AC＞BC．对于图1，若把点C看作是线段AB外一动点，且AB＝c，AC＝b，则线段BC的长会因为点C的位置的不同而发生变化．因为AB、AC的长度固定，所以当∠BAC越大时，BC边越长．特别的，当点C位于时，线段BC的长取得最大值，且最大值为（用含b，c的式子表示）（直接填空）.模型应用：点C为线段AB外一动点，且AB＝3，AC＝2，如图2所示，分别以AC，BC为边，作等边三角形ACD 和等边三角形BCE，连接BD，AE．（1）求证：BD＝AE．（2）线段AE长的最大值为．模型拓展：如图3，在平面直角坐标系中，点A是y轴正半轴上的一动点，点B是x轴正半轴上的一动点，且AB ＝8．若AC⊥AB，AC＝3，试求OC长的最大值．11、已知：△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC．（1）如图1，点D在BC的延长线上，连AD，过B作BE⊥AD于E，交AC于点F．求证：AD＝BF；（2）如图2，点D在线段BC上，连AD，过A作AE⊥AD，且AE＝AD，连BE交AC于F，连DE，问BD与CF有何数量关系，并加以证明；（3）如图3，点D在CB延长线上，AE＝AD且AE⊥AD，连接BE、AC的延长线交BE于点M，若AC ＝3MC，请直接写出的值．12、已知在△ABC中，AB＝AC，射线BM、BN在∠ABC内部，分别交线段AC于点G、H．（1）如图1，若∠ABC＝60°，∠MBN＝30°，作AE⊥BN于点D，分别交BC、BM于点E、F．①求证：∠1＝∠2；②如图2，若BF＝2AF，连接CF，求证：BF⊥CF；（2）如图3，点E为BC上一点，AE交BM于点F，连接CF，若∠BFE＝∠BAC＝2∠CFE，求的值．13、已知，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，E为边AC任意一点，连接BE．（1）如图1，若∠ABE＝15°，O为BE中点，连接AO，且AO＝1，求BC的长；（2）如图2，F也为AC上一点，且满足AE＝CF，过A作AD⊥BE交BE于点H，交BC于点D，连接DF交BE于点G，连接AG；①若AG平分∠CAD，求证：AH＝AC；②如图3，当G落在△ABC外时，若将△EFG沿EF边翻折，点G刚好落在AB边上点P，直接写出AG与EF的数量关系．14、如图所示，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，E为AC中点，作ED⊥AC交AB于D，连接CD；（1）如图1，求证：AB＝2CD；（2）如图2，作CF⊥AB交AB于F，点G为CF上一点，点H为DE延长线上一点，分别连接AH、GH，若∠AHG＝2∠B，求证：AH＝GH；（3）如图3，在（2）的条件下，连接DG，且有DE＝BF，∠EDG＝90°，若AC＝6，求AH的长度．15、【问题情境】一节数学课后，老师布置了一道课后练习题：如图：已知在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，点E、F分别在A和BC上，∠1＝∠2，FG⊥AB于点G，求证：△CDE≌△EGF．（1）阅读理解，完成解答本题证明的思路可用下列框图表示：根据上述思路，请你完整地书写这道练习题的证明过程；（2）特殊位置，证明结论若CE平分∠ACD，其余条件不变，求证：AE＝BF；（3）知识迁移，探究发现如图，已知在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，若点E是DB的中点，点F在直线CB上且满足EC＝EF，请直接写出AE与BF的数量关系．（不必写解答过程）16、在正方形ABCD和等腰直角△BGF中，∠BGF＝90°，P是DF的中点，连接PG、PC．（1）如图1，当点G在BC边上时，延长GP交DC于点E．求证：PG＝PC；（2）如图2，当点F在AB的延长线上时，（1）中的结论是否成立？请证明你的结论；（3）如图3，若四边形ABCD为菱形，且∠ABC＝60°，△BGF为等边三角形，点F在CB的延长线上时，线段PC、PG又有怎样的数量关系，请直接写出你的结论，并画出论证过程中需要添加的辅助线．17、在△ABC中，∠BAC＝60°，点D、E分别在边AC、AB上，AD＝AE，连接CE、BD相交于点F，且∠BEC＝∠ADF，连接AF．（1）如图1，连接ED，求证：∠ABD＝∠CED；（2）如图2，求证：EF+FD＝AF；（3）如图3，取BC的中点G，连接AG交BD于点H，若∠GAC＝3∠ABD，BH＝7，求△ABH的面积．18、点D，E分别在△ABC的边AC，BD上，BD，CE交于点F，连接AF，∠F AE＝∠F AD，FE＝FD．（1）如图1，若∠AEF＝∠ADF，求证：AE＝AD；（2）如图2，若∠AEF≠∠ADF，FB平分∠ABC，求∠BAC的度数；（3）在（2）的条件下，如图3，点G在BE上，∠CFG＝∠AFB若AG＝6，△ABC的周长为20，求BC长．2020重庆中考复习数学第26题专题训练五参考答案1、（2019秋•天桥区期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E为AC边的一点，F为AB边上一点，连接CF，交BE于点D且∠ACF＝∠CBE，CG平分∠ACB交BD于点G，（1）求证：CF＝BG；（2）延长CG交AB于H，连接AG，过点C作CP∥AG交BE的延长线于点P，求证：PB＝CP+CF；（3）在（2）问的条件下，当∠GAC＝2∠FCH时，若S△AEG＝3，BG＝6，求AC的长．证明：（1）如图1，∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠A＝45°，∵CG平分∠ACB，∴∠ACG＝∠BCG＝45°，∴∠A＝∠BCG，在△BCG和△CAF中，∵，∴△BCG≌△CAF（ASA），∴CF＝BG；（2）如图2，∵PC∥AG，∴∠PCA＝∠CAG，∵AC＝BC，∠ACG＝∠BCG，CG＝CG，∴△ACG≌△BCG，∴∠CAG＝∠CBE，∵∠PCG＝∠PCA+∠ACG＝∠CAG+45°＝∠CBE+45°，∠PGC＝∠GCB+∠CBE＝∠CBE+45°，∴∠PCG＝∠PGC，∴PC＝PG，∵PB＝BG+PG，BG＝CF，∴PB＝CF+CP；（3）解法一：如图3，过E作EM⊥AG，交AG于M，∵S△AEG＝AG•EM＝3，由（2）得：△ACG≌△BCG，∴BG＝AG＝6，∴×6×EM＝3，EM＝，设∠FCH＝x°，则∠GAC＝2x°，∴∠ACF＝∠EBC＝∠GAC＝2x°，∵∠ACH＝45°，∴2x+x＝45，x＝15，∴∠ACF＝∠GAC＝30°，在Rt△AEM中，AE＝2EM＝2，AM＝＝3，∴M是AG的中点，∴AE＝EG＝2，∴BE＝BG+EG＝6+2，在Rt△ECB中，∠EBC＝30°，∴CE＝BE＝3+，∴AC＝AE+EC＝2+3+＝3+3．解法二：同理得：∠CAG＝30°，AG＝BG＝6，如图4，过G作GM⊥AC于M，在Rt△AGM中，GM＝3，AM＝＝＝3，∵∠ACG＝45°，∠MGC＝90°，∴GM＝CM＝3，∴AC＝AM+CM＝3+3．2、（2019秋•淮安期末）[问题背景]如图1所示，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，点D为直线BC上的一个动点（不与B、C重合），连结AD，将线段AD绕点D按顺时针方向旋转90°，使点A旋转到点E，连结EC．[问题初探]如果点D在线段BC上运动，通过观察、交流，小明形成了以下的解题思路：过点E作EF⊥BC 交直线BC于F，如图2所示，通过证明△DEF≌△ADB，可推证△CEF是等腰直角三角形，从而求得∠DCE＝135°．[继续探究]如果点D在线段CB的延长线上运动，如图3所示，求出∠DCE的度数．[拓展延伸]连接BE，当点D在直线BC上运动时，若AB＝，请直接写出BE的最小值．解：[问题初探]如图2，过点E作EF⊥BC交直线BC于F，∴∠DFE＝90°＝∠ABD，∴∠EDF+∠DEF＝90°，由旋转知，AD＝DE，∠ADE＝90°，∴∠ADB+∠EDF＝90°，∴∠ADB＝∠DEF，∴△ABD≌△DFE（AAS），∴BD＝EF，DF＝AB，∵AB＝BC，∴BC＝DF，∴BD＝CF，∴EF＝CF，∴△CEG是等腰直角三角形，∴∠ECF＝45°，∴∠DCE＝135°，故答案为：ADB，等腰直角，135；[继续探究]如图3，过点E作EF⊥BC于F，∴∠DFE＝90°＝∠ABD，∴∠EDF+∠DEF＝90°，由旋转知，AD＝DE，∠ADE＝90°，∴∠ADB+∠EDF＝90°，∴∠ADB＝∠DEF，∴△ABD≌△DFE（AAS），∴BD＝EF，DF＝AB，∵AB＝BC，∴BC＝DF，∴BD＝CF，∴EF＝CF，∴△CEG是等腰直角三角形，∴∠ECF＝45°，∴∠DCE＝45°；[拓展延伸]如图4，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝，∴∠ACB＝45°当点D在射线BC上时，由[问题初探]知，∠BCM＝135°，∴∠ACM＝∠BCM﹣∠ACB＝90°，当点D在线段CB的延长线上时，由[继续探究]知，∠BCE＝45°，∴∠ACN＝∠ACB+∠BCM＝90°，∴点E是过点C垂直于AC的直线上的点，∴当BE⊥MN时，BE最小，∵∠BCE＝45°，∴∠CBE＝45°＝∠BCE，∴BE＝CE，∴BE最小＝BC＝，即：BE的最小值为．3、（2019秋•锦江区校级期末）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BD是△ABC的角平分线．（1）如图1，求证：AD＝2DC．（2）如图2，作∠CBD的角平分线交线段CD于点M，若CM＝1，求△DBM的面积；（3）如图3，过点D作DE⊥AB于点E，点N是线段AC上一点（不与C、D重合），以BN为一边，在BN的下方作∠BNG＝60°，NG交DE延长线于点G，试探究线段ND，DG与AD之间的数量关系，并说明理由．证明：（1）如图1，过点D作DE⊥AB，∵BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，∠ACB＝90°，∴DC＝DE，∵∠A＝30°，DE⊥AB，∴AD＝2DE，∴AD＝2DC；（2）如图2，过点M作ME∥BD，∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，∴∠ABC＝60°，∵BD是△ABC的角平分线，∴∠ABD＝∠DBC＝30°，∵BM平分∠CBD，∴∠CBM＝15°＝∠DBM，∵ME∥BD，∴∠MEC＝∠CBD＝30°，∠EMB＝∠DBM＝∠MBE，∴ME＝BE，∵∠MEC＝30°，∠C＝90°∴CE＝MC＝，ME＝2MC＝2＝BE，∴BC＝+2，∵∠CBD＝30°，∠C＝90°，∴BC＝CD，∴CD＝1+，∴DM＝，∴△DBM的面积＝××（+2）＝1+；（3）若点N在CD上时，AD＝DG+DN，理由如下：如图3所示：延长ED使得DW＝DN，连接NW，∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，∴∠ADE＝∠BDE＝60°，AD＝BD，∵DN＝DW，且∠WDN＝60°∴△WDN是等边三角形，∴NW＝DN，∠W＝∠WND＝∠BNG＝∠BDN＝60°，∴∠WNG＝∠BND，在△WGN和△DBN中，∴△WGN≌△DBN（SAS），∴BD＝WG＝DG+DN，∴AD＝DG+DN．（3）若点N在AD上时，AD＝DG﹣DN，理由如下：如图4，延长BD至H，使得DH＝DN，连接HN，由（1）得DA＝DB，∠A＝30°．∵DE⊥AB于点E．∴∠2＝∠3＝60°．∴∠4＝∠5＝60°．∴△NDH是等边三角形．∴NH＝ND，∠H＝∠6＝60°．∴∠H＝∠2．∵∠BNG＝60°，∴∠BNG+∠7＝∠6+∠7．即∠DNG＝∠HNB．在△DNG和△HNB中，∴△DNG≌△HNB（ASA）．∴DG＝HB．∵HB＝HD+DB＝ND+AD，∴DG＝ND+AD．∴AD＝DG﹣ND．4、（2019•镇平县三模）如图1，已知直角三角形ABC，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，点D是AC边上一点，过D作DE⊥AB于点E，连接BD，点F是BD中点，连接EF，CF．（1）发现问题：线段EF，CF之间的数量关系为EF＝CF；∠EFC的度数为120°；（2）拓展与探究：若将△AED绕点A按顺时针方向旋转α角（0°＜α＜30°），如图2所示，（1）中的结论还成立吗？请说明理由；（3）拓展与运用：如图3所示，若△AED绕点A旋转的过程中，当点D落到AB边上时，AB边上另有一点G，AD＝DG＝GB，BC＝3，连接EG，请直接写出EG的长度．解：（1）如图1中，∵DE⊥AB，∴∠BED＝90°，∵∠BCD＝90°，BF＝DF，∴FE＝FB＝FD＝CF，∴∠FBE＝∠FEB，∠FBC＝∠FCB，∴∠EFC＝∠EFD+∠CFD＝∠FBE+∠FEB+∠FBC+∠FCB＝2（∠FBE+∠FBC）＝2∠ABC＝120°，故答案为：EF＝CF，120°．（2）结论成立．理由：如图2中，取AB的中点M，AD的中点N，连接MC，MF，ED，EN，FN．∵BM＝MA，BF＝FD，∴MF∥AD，MF＝AD，∵AN＝ND，∴MF＝AN，MF∥AN，∴四边形MFNA是平行四边形，∴NF＝AM，∠FMA＝∠ANF，在Rt△ADE中，∵AN＝ND，∠AED＝90°，∴EN＝AD＝AN＝ND，同理CM＝AB＝AM＝MB，在△AEN和△ACM中，∠AEN＝∠EAN，∠MCA＝∠MAC，∵∠MAC＝∠EAN，∴∠AMC＝∠ANE，又∵∠FMA＝∠ANF，∴∠ENF＝∠FMC，在△MFC和△NEF中，，∴△MFC≌△NEF（SAS），∴FE＝FC，∠NFE＝∠MCF，∵NF∥AB，∴∠NFD＝∠ABD，∵∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，∴∠ABC＝60°，△BMC是等边三角形，∠MCB＝60°∴∠EFC＝∠EFN+∠NFD+∠DFC＝∠MCF+∠ABD+∠FBC+∠FCB＝∠ABC+∠MCB＝60°+60°＝120°．（3）如图3中，作EH⊥AB于H．在Rt△ABC中，∵∠BAC＝30°，BC＝3，∴AB＝2BC＝6，在Rt△AED中，∠DAE＝30°，AD＝2，∴DE＝AD＝1，在Rt△DEH中，∵∠EDH＝60°，DE＝1，∴EH＝ED•sin60°＝，DH＝ED•cos60°＝，在Rt△EHG中，EG＝＝．5、（2017春•西城区校级期末）如图1，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝a，点P是线段AB的中点，点E是线段CB延长线上一点，且PE＝PC，将线段PC绕点P顺时针旋转α得到PD，连接BD．（1）如图2，若α＝60°，其他条件不变，先补全图形，然后探究线段BD和BC之间的数量关系，并说明理由．（2）如图3，若α＝90°，其他条件不变，探究线段BP、BD和BC之间的等量关系，并说明理由．解：（1）BC＝2BD，理由：如图2，连接CD，由旋转可得，CP＝DP，∠CPD＝60°，∴△CDP是等边三角形，∴∠CDP＝60°＝∠PCD，又∵P是AB的中点，AB＝AC，∠A＝60°，∴等边三角形ABC中，∠PCB＝30°，CP⊥AB，∴∠BCD＝30°，即BC平分∠PCD，∴BC垂直平分PD，∴∠BDC＝∠BPC＝90°，∴Rt△BCD中，BC＝2BD．（2）如图3，取BC中点F，连接PF，∵∠A＝90°，AB＝AC，∴△ABC是等腰直角三角形，∵P是AB的中点，F是BC的中点，∴PF是△ABC的中位线，∴PF∥AC，∴∠PFB＝∠ACB＝45°，∠BPF＝∠A＝90°，∴△BPF是等腰直角三角形，∴BF＝BP，BP＝PF，∵∠DPC＝∠BPF＝90°，∴∠BPD＝∠FPC，又∵PD＝PC，∴△BDP≌△FCP，∴BD＝CF，∵BC＝BF+FC，∴BC＝BD+BP．6、（2019春•碑林区校级月考）【发现问题】如图1，已知△ABC，以点A为直角顶点、AB为腰向△ABC外作等腰直角△ABE．请你以A 为直角顶点、AC为腰，向△ABC外作等腰直角△ACD（不写作法，保留作图痕迹）．连接BD、CE．那么BD与CE的数量关系是BD＝CE．【拓展探究】如图2，已知△ABC，以AB、AC为边向外作正方形AEFB和正方形ACGD，连接BD、CE，试判断BD与CE之间的数量关系，并说明理由．【解决问题】如图3，有一个四边形场地ABCD，∠ADC＝60°，BC＝15，AB＝8，AD＝CD，求BD的最大值．【发现问题】解：延长CA到M，作∠MAC的平分线AN，在AN上截取AD＝AC，连接CD，即可得到等腰直角△ACD；连接BD、CE，如图1所示：∵△ABE与△ACD都是等腰直角三角形，∴AB＝AE，AD＝AC，∠BAE＝∠CAD＝90°，∴∠BAD＝∠EAC，在△BAD和△EAC中，，∴△BAD≌△EAC（SAS），∴BD＝CE，【拓展探究】解：BD＝CE；理由如下：∵四边形AEFB与四边形ACGD都是正方形，∴AB＝AE，AD＝AC，∠BAE＝∠CAD＝90°，∴∠BAD＝∠EAC，在△BAD和△EAC中，，∴△BAD≌△EAC（SAS），∴BD＝CE；【解决问题】解：以AB为边向外作等边三角形ABE，连接CE，如图3所示：则∠BAE＝60°，BE＝AB＝AE＝8，∵AD＝CD，∠ADC＝60°，∴△ACD是等边三角形，∴∠CAD＝60°，AC＝AD，∴∠CAD+∠BAC＝∠BAE+∠BAC，即∠BAD＝∠EAC，在△BAD和△EAC中，，∴△BAD≌△EAC（SAS），∴BD＝CE；当C、B、E三点共线时，CE最大＝BC+BE＝15+8＝23，∴BD的最大值为23．7、（2018春•铁西区期中）（1）如图1，点C为线段AB外一个动点，已知AB＝a，AC＝b．当点C位于BA的延长线上时，线段BC取得最大值，则最大值为a+b（用含a，b的式子表示）；（2）如图2，点C为线段AB外一个动点，若AB＝10，AC＝3，分别以AC，BC为边，作等边三角形ACD和等边三角形BCE，连接AE，DB．①求证：AE＝DB；②请直接写出线段AE的最大值；（3）如图3，AB＝6，点M为线段AB外一个动点，且AM＝2，MB＝MN，∠BMN＝90°，请直接写出线段AN的最大值．（1）解：∵点C为线段AB外一动点，且AC＝b，AB＝a，∴当点C位于BA的延长线上时，线段BC的长取得最大值，且最大值为AC+AB＝a+b，（2）①证明：如图2中，∵△ACD与△BCE是等边三角形，∴CD＝AC，CB＝CE，∠ACD＝∠BCE＝60°，∴∠DCB＝∠ACE，在△CAD与△EAB中，，∴△CAD≌△EAB（SAS），∴AE＝BD．②∵线段AE长的最大值＝线段BD的最大值，由（1）知，当线段BD的长取得最大值时，点D在BA的延长线上，∴最大值为AD+AB＝3+10＝13；（3）如图3中，连接BN，∵将△AMN绕着点M顺时针旋转90°得到△PBM，连接AP，则△APM是等腰直角三角形，∴MA＝MP＝2，BP＝AN，∴P A＝2，∵AB＝6，∴线段AN长的最大值＝线段BP长的最大值，∴当P在线段BA的延长线时，线段BP取得最大值最大值＝AB+AP＝6+2．8、（2019秋•武冈市期中）【初步探索】（1）如图1：在四边形ABC中，AB＝AD，∠B＝∠ADC＝90°，E、F分别是BC、CD上的点，且EF ＝BE+FD，探究图中∠BAE、∠F AD、∠EAF之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G，使DG＝BE．连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是∠BAE+∠F AD＝∠EAF；【灵活运用】（2）如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°．E、F分别是BC、CD上的点，且EF＝BE+FD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；【拓展延伸】（3）如图3，已知在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC＝180°AB＝AD，若点E在CB的延长线上，点F在CD的延长线上，如图3所示，仍然满足EF＝BE+FD，请写出∠EAF与∠DAB的数量关系，并给出证明过程．解：（1）∠BAE+∠F AD＝∠EAF．理由：如图1，延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，根据SAS可判定△ABE≌△ADG，进而得出∠BAE＝∠DAG，AE＝AG，再根据SSS可判定△AEF≌△AGF，可得出∠EAF＝∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF．故答案为：∠BAE+∠F AD＝∠EAF；（2）仍成立，理由：如图2，延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，∵∠B+∠ADF＝180°，∠ADG+∠ADF＝180°，∴∠B＝∠ADG，又∵AB＝AD，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴∠BAE＝∠DAG，AE＝AG，∵EF＝BE+FD＝DG+FD＝GF，AF＝AF，∴△AEF≌△AGF（SSS），∴∠EAF＝∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF；（3）∠EAF＝180°﹣∠DAB．证明：如图3，在DC延长线上取一点G，使得DG＝BE，连接AG，∵∠ABC+∠ADC＝180°，∠ABC+∠ABE＝180°，∴∠ADC＝∠ABE，又∵AB＝AD，∴△ADG≌△ABE（SAS），∴AG＝AE，∠DAG＝∠BAE，∵EF＝BE+FD＝DG+FD＝GF，AF＝AF，∴△AEF≌△AGF（SSS），∴∠F AE＝∠F AG，∵∠F AE+∠F AG+∠GAE＝360°，∴2∠F AE+（∠GAB+∠BAE）＝360°，∴2∠F AE+（∠GAB+∠DAG）＝360°，即2∠F AE+∠DAB＝360°，∴∠EAF＝180°﹣∠DAB．9、（2018•大东区一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，点O为AB中点，点P为直线BC上的动点（不与点B、点C重合），连接OC、OP，将线段OP绕点P逆时针旋转60°，得到线段PQ，连接BQ．（1）如图1，当点P在线段BC上时，请直接写出线段BQ与CP的数量关系．（2）如图2，当点P在CB延长线上时，（1）中结论是否成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由；（3）如图3，当点P在BC延长线上时，若∠BPO＝45°，AC＝，请直接写出BQ的长．解：（1）CP＝BQ，理由：如图1，连接OQ，由旋转知，PQ＝OP，∠OPQ＝60°⊅∴△POQ是等边三角形，∴OP＝OQ，∠POQ＝60°，在Rt△ABC中，O是AB中点，∴OC＝OA＝OB，∴∠BOC＝2∠A＝60°＝∠POQ，∴∠COP＝∠BOQ，在△COP和△BOQ中，，∴△COP≌△BOQ（SAS），∴CP＝BQ，（2）CP＝BQ，理由：如图2，连接OQ，由旋转知，PQ＝OP，∠OPQ＝60°∴△POQ是等边三角形，∴OP＝OQ，∠POQ＝60°，在Rt△ABC中，O是AB中点，∴OC＝OA＝OB，∴∠BOC＝2∠A＝60°＝∠POQ，∴∠COP＝∠BOQ，在△COP和△BOQ中，，∴△COP≌△BOQ（SAS），∴CP＝BQ，（3）如图3，在Rt△ABC中，∠A＝30°，AC＝，∴BC＝AC•tan∠A＝，过点O作OH⊥BC，∴∠OHB＝90°＝∠BCA，∴OH∥AB，∵O是AB中点，∴CH＝BC＝，OH＝AC＝，∵∠BPQ＝45°，∠OHP＝90°，∴∠BPQ＝∠PQH，∴PH＝OH＝，∴CP＝PH﹣CH＝﹣＝，连接BQ，同（1）的方法得，BQ＝CP＝．10、（2018秋•东海县期末）模型发现：同学们知道，三角形的两边之和大于第三边，即如图1，在△ABC中，AB+AC＞BC．对于图1，若把点C看作是线段AB外一动点，且AB＝c，AC＝b，则线段BC的长会因为点C的位置的不同而发生变化．因为AB、AC的长度固定，所以当∠BAC越大时，BC边越长．特别的，当点C位于线段BA的延长线上时，线段BC的长取得最大值，且最大值为b+c（用含b，c的式子表示）（直接填空）模型应用：点C为线段AB外一动点，且AB＝3，AC＝2，如图2所示，分别以AC，BC为边，作等边三角形ACD 和等边三角形BCE，连接BD，AE．（1）求证：BD＝AE．（2）线段AE长的最大值为5．模型拓展：如图3，在平面直角坐标系中，点A是y轴正半轴上的一动点，点B是x轴正半轴上的一动点，且AB ＝8．若AC⊥AB，AC＝3，试求OC长的最大值．解：当点C位于线段BA的延长线上时，线段BC的长取得最大值，最大值为b+c，故答案为：线段BA的延长线上；b+c；模型应用：（1）证明：∵△ACD、△BCE都是等边三角形，∴CD＝CA＝AD，CB＝CE，∠ACD＝60°，∠BCE＝60°，∴∠DCB＝∠ACE，在△DCB和△ACE中，，∴△DCB≌△ACE（SAS）∴BD＝AE；（2）当点D位于线段BA的延长线上时，线段BD的长取得最大值，最大值为AB+AD＝AB+AC＝3+2＝5，∵AE＝BD，∴线段AE长的最大值为5，模型拓展：取AB的中点G，连接OG、CG，在Rt△AOB中，G为AB的中点，∴OG＝AB＝4，在Rt△CAG中，CG＝＝＝5，当点O、G、C在同一条直线上时，OC最大，最大值为4+5＝9．11、已知：△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC．（1）如图1，点D在BC的延长线上，连AD，过B作BE⊥AD于E，交AC于点F．求证：AD＝BF；（2）如图2，点D在线段BC上，连AD，过A作AE⊥AD，且AE＝AD，连BE交AC于F，连DE，问BD与CF有何数量关系，并加以证明；（3）如图3，点D在CB延长线上，AE＝AD且AE⊥AD，连接BE、AC的延长线交BE于点M，若AC ＝3MC，请直接写出的值．（1）证明：如图1中，∵BE⊥AD于E，∴∠AEF＝∠BCF＝90°，∵∠AFE＝∠CFB，∴∠DAC＝∠CBF，∵BC＝CA，∴△BCF≌△ACD，∴BF＝AD．（2）结论：BD＝2CF．理由：如图2中，作EH⊥AC于H．∵∠AHE＝∠ACD＝∠DAE＝90°，∴∠DAC+∠ADC＝90°，∠DAC+∠EAH＝90°，∴∠DAC＝∠AEH，∵AD＝AE，∴△ACD≌△EHA，∴CD＝AH，EH＝AC＝BC，∵CB＝CA，∴BD＝CH，∵∠EHF＝∠BCF＝90°，∠EFH＝∠BFC，EH＝BC，∴△EHF≌△BCF，∴FH＝CF，∴BD＝CH＝2CF．（3）如图3中，同法可证BD＝2CM．∵AC＝3CM，设CM＝a，则AC＝CB＝3a，BD＝2a，∴＝＝．12、（2019秋•松北区期末）已知在△ABC中，AB＝AC，射线BM、BN在∠ABC内部，分别交线段AC于点G、H．（1）如图1，若∠ABC＝60°，∠MBN＝30°，作AE⊥BN于点D，分别交BC、BM于点E、F．①求证：∠1＝∠2；②如图2，若BF＝2AF，连接CF，求证：BF⊥CF；（2）如图3，点E为BC上一点，AE交BM于点F，连接CF，若∠BFE＝∠BAC＝2∠CFE，求的值．（1）①证明：如图1中，∵AB＝AC，∠ABC＝60°∴△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝60°，∵AD⊥BN，∴∠ADB＝90°，∵∠MBN＝30°，∠BFD＝60°＝∠1+∠BAF＝∠2+∠BAF，∴∠1＝∠2②证明：如图2中，在Rt△BFD中，∵∠FBD＝30°，∴BF＝2DF，∵BF＝2AF，∴BF＝AD，∵∠BAE＝∠FBC，AB＝BC，∴△BFC≌△ADB，∴∠BFC＝∠ADB＝90°，∴BF⊥CF（2）在BF上截取BK＝AF，连接AK．∵∠BFE＝∠2+∠BAF，∠CFE＝∠4+∠1，∴∠CFB＝∠2+∠4+∠BAC，∵∠BFE＝∠BAC＝2∠EFC，∴∠1+∠4＝∠2+∠4∴∠1＝∠2，∵AB＝AC，∴△ABK≌CAF，∴∠3＝∠4，S△ABK＝S△AFC，∵∠1+∠3＝∠2+∠3＝∠CFE＝∠AKB，∠BAC＝2∠CEF，∴∠KAF＝∠1+∠3＝∠AKF，∴AF＝FK＝BK，∴S△ABK＝S△AFK，∴＝2．13、（2017春•合肥期末）已知，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，E为边AC任意一点，连接BE．（1）如图1，若∠ABE＝15°，O为BE中点，连接AO，且AO＝1，求BC的长；（2）如图2，F也为AC上一点，且满足AE＝CF，过A作AD⊥BE交BE于点H，交BC于点D，连接DF交BE于点G，连接AG；①若AG平分∠CAD，求证：AH＝AC；②如图3，当G落在△ABC外时，若将△EFG沿EF边翻折，点G刚好落在AB边上点P，直接写出AG与EF的数量关系．（1）解：如图1中，在AB上取一点M，使得BM＝ME，连接ME．在Rt△ABE中，∵OB＝OE，∴BE＝2OA＝2，∵MB＝ME，∴∠MBE＝∠MEB＝15°，∴∠AME＝∠MBE+∠MEB＝30°，设AE＝x，则ME＝BM＝2x，AM＝x，∵AB2+AE2＝BE2，∴（2x+x）2+x2＝22，∴x＝（负根已经舍弃），∴AB＝AC＝（2+）•，∴BC＝AB＝+1．方法二：作EH⊥BC于H，求出BH，CH即可解决问题．（2）证明：如图2中，作CP⊥AC，交AD的延长线于P，GM⊥AC于M．∵BE⊥AP，∴∠AHB＝90°，∴∠ABH+∠BAH＝90°，∵∠BAH+∠P AC＝90°，∴∠ABE＝∠P AC，在△ABE和△CAP中，，∴△ABE≌△CAP，∴AE＝CP＝CF，∠AEB＝∠P，在△DCF和△DCP中，，∴△DCF≌△DCP，∴∠DFC＝∠P，∴∠GFE＝∠GEF，∴GE＝GF，∵GM⊥EF，∴FM＝ME，∵AE＝CF，∴AF＝CE，∴AM＝CM，在△GAH和△GAM中，，∴△AGH≌△AGM，∴AH＝AM＝CM＝AC（3）解：结论：AG＝EF．理由：如图3中，作CM⊥AC交AD的延长线于M，连接PG交AC于点O．由（2）可知△ACM≌△BAE，△CDF≌△CDM，∴∠AEB＝∠M＝∠GEF，∠M＝∠CFD＝∠GFE，AE＝CM＝CF，∴∠GEF＝∠GFE，∴GE＝GF，∵△EFP是由△EFG翻折得到，∴EG＝EP＝GF＝PF，∴四边形EGFP是菱形，∴PG⊥AC，OE＝OF，∵AE＝CF，∴AO＝OC，∵AB∥OP，∴BP＝PC，∵PF∥BE，∴EF＝CF＝AE，∵PB＝PC，AO＝OC，∴PO＝OG＝AB，∴AB＝PG，AB∥PG，∴四边形ABPG是平行四边形，∴AG∥BC，∴∠GAO＝∠ACB＝45°，设EO＝OF＝a，则OA＝OG＝3a，AG＝3a，∴＝＝，∴AG＝EF14、（2017春•南岗区校级月考）如图所示，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，E为AC中点，作ED⊥AC交AB于D，连接CD；（1）如图1，求证：AB＝2CD；（2）如图2，作CF⊥AB交AB于F，点G为CF上一点，点H为DE延长线上一点，分别连接AH、GH，若∠AHG＝2∠B，求证：AH＝GH；（3）如图3，在（2）的条件下，连接DG，且有DE＝BF，∠EDG＝90°，若AC＝6，求AH的长度．解：（1）∵E为AC中点，作ED⊥AC交AB于D，∴AD＝CD，∵∠ACB＝90°，∴BC∥DE，∴AD＝BD，∴CD＝BD，∴AB＝2CD；（2）如图2，连接CH，∵点E是AC的中点，∴AE＝CE，∵DE⊥AC，∴CH＝AH，∴∠ACH＝∠CAH，∵∠ACB＝90°，∴∠B+∠BAC＝90°，∵CF⊥AB，∴∠BAC+∠ACF＝90°，∴∠ACF＝∠B，∴∠HCG＝∠ACH+∠ACF＝∠CAH+∠B，∠AHG＝2∠B∴在四边形AHGF中，∠AFG+∠FGH+∠AHG+∠F AH＝360°，∴∠FGH＝360°﹣（∠AFG+∠AHG+∠F AH）＝360°﹣（90°+2∠B+∠CAH+∠BAC）＝360°﹣（90°+2∠B+∠CAH+90°﹣∠B）＝360°﹣（180°+∠B+∠CAH）＝180°﹣（∠B+∠CAH），∵∠CGH＝180°﹣∠FGH＝∠B+∠CAH＝∠HCG，∴CH＝GH，∵CH＝AH，∴AH＝GH；（3）如图3，由（1）知，DE∥BC，∴∠B＝∠ADE，在△BFC和△DEA中，，∴△BFC≌△DEA，∴BC＝AD，∵AD＝BD＝CD，∴BC＝BD＝CD，∴△BCD是等边三角形，∴∠B＝60°，在Rt△ABC中，AC＝6，∴BC＝2，AB＝4，∵CF⊥BD，∴DF＝，CF＝3，∵∠BAC＝30°，∴∠ADE＝60°，∵∠EDG＝90°，∠FDG＝30°，在Rt△DFG中，DF＝，∴FG＝1，DG＝2，∴CG＝CF﹣FG＝2过点H作HN⊥CF，由（2）知，CH＝GH，∴NG＝CG＝1，∴FN＝NG+FG＝2，过点H作HM⊥AB，∴∠FMH＝∠NFM＝∠HNF＝90°，∴四边形NFMH是矩形，∴HM＝FN＝2，在Rt△DMH中，∠ADE＝60°，HM＝2，∴DH＝，在Rt△HDG中，根据勾股定理得，HG＝＝．15、【问题情境】一节数学课后，老师布置了一道课后练习题：如图：已知在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，点E、F分别在A和BC上，∠1＝∠2，FG⊥AB于点G，求证：△CDE≌△EGF．（1）阅读理解，完成解答本题证明的思路可用下列框图表示：根据上述思路，请你完整地书写这道练习题的证明过程；（2）特殊位置，证明结论若CE平分∠ACD，其余条件不变，求证：AE＝BF；（3）知识迁移，探究发现如图，已知在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，若点E是DB的中点，点F在直线CB上且满足EC＝EF，请直接写出AE与BF的数量关系．（不必写解答过程）（1）证明：∵AC＝BC，∠ACB＝90°，∴∠A＝∠B＝45°，∵CD⊥AB，∴∠CDB＝90°，∴∠DCB＝45°，∵∠ECF＝∠DCB+∠1＝45°+∠1，∠EFC＝∠B+∠2＝45°+∠2，∠1＝∠2，∴∠ECF＝∠EFC，∴CE＝EF，∵CD⊥AB，FG⊥AB，∴∠CDE＝∠EGF＝90°，在△CDE和△EGF中，，∴△CDE≌△EGF（AAS）；（2）证明：由（1）得：CE＝EF，∠A＝∠B，∵CE平分∠ACD，∴∠ACE＝∠1，∵∠1＝∠2，∴∠ACE＝∠2，在△ACE和△BEF中，，∴△ACE≌△BEF（AAS），∴AE＝BF；（3）AE＝BF，作EH⊥BC与H，如图3所示：设DE＝x，根据题意得：BE＝DE＝x，AD＝BD＝2x，CD＝AD＝2x，AE＝3x，根据勾股定理得：BC＝AC＝2x，∵∠ABC＝45°，EH⊥BC，∴BH＝x，∴CH＝BC﹣BH＝x，∵EC＝EF，∴FH＝CH＝x，∴BF＝x﹣x＝x，∴＝，∴AE＝．16、（2019秋•丹东期末）在正方形ABCD和等腰直角△BGF中，∠BGF＝90°，P是DF的中点，连接PG、PC．（1）如图1，当点G在BC边上时，延长GP交DC于点E．求证：PG＝PC；（2）如图2，当点F在AB的延长线上时，（1）中的结论是否成立？请证明你的结论；（3）如图3，若四边形ABCD为菱形，且∠ABC＝60°，△BGF为等边三角形，点F在CB的延长线上时，线段PC、PG又有怎样的数量关系，请直接写出你的结论，并画出论证过程中需要添加的辅助线．证明：（1）∵∠DCB＝∠FGB＝∠FGC＝90°，∴CD∥GF，∴∠EDP＝∠GFP，且DP＝PF，∠DPE＝∠FPG，∴△DPE≌△FPG（ASA）∴PE＝PG，DE＝GF，∵BC＝CD，∴EC＝GC，且∠DCG＝90°，PE＝PG，∴CP＝PG；（2）延长GP到E，使PE＝PG，连接DE，CE，CG，∵DP＝PF，∠DPE＝∠FPG，PE＝PG，∴△DPE≌△FPG（SAS）∴PE＝PG，DE＝GF，∠EDP＝∠GFP，∵GF＝GB，∴DE＝BG，∵DC∥BF，。

2021年重庆市中考数学真题与答案解析

重庆市2021年初中学业水平暨高中招生考试数学试题（A 卷）一、选择题：（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号A 、B 、C 、D 的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑.1.2的相反数是A.﹣2B.2C.D. 1212-2.计算的结果是63a a ÷A.B.C.D. 63a 52a 62a 53a 3.不等式在数轴上表示正确的是2x ≤A B C D4.如图，△ABC 与△BEF 位似，点O 是它们的位似中心，其中OE=2OB ，则△ABC 与△DEF 的周长之比是A.1：2B.1:4C.1:3D.1:95.如图，四边形ABCD 内接于☉O ，若∠A=80°，则∠C 的度数是A.80° B.100° C.110° D.120°6.-A.7B.C. D. 7.如图，点B ，F ，C ，E 共线，∠B=∠E ，BF=EC ，添加一个条件，不等判断△ABC ≌△DEF 的是A.AB=DEB.∠A=∠DC.AC=DFD.AC ∥FD8.甲无人机从地面起飞，乙无人机从距离地面20m 高的楼顶起飞，两架无人机同时匀速上升10s 。

甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度y （单位：m ）与无人机上升的时间x （单位：s ）之间的关系如图所示.下列说法正确的是A.5s 时，两架无人机都上升了40mB.10s 时，两架无人机的高度差为20mC.乙无人机上升的速度为8m/sD.10s 时，甲无人机距离地面的高度是60m9.如图，正方形ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O ，M 是边AD 上一点，连接OM ，多点O 做ON ⊥OM ，交CD 于点N.若四边形MOND 的面积是1，则AB 的长为A.1 C.2 D. 10.如图，相邻两个山坡上，分别有垂直于水平面的通信基站MA 和ND.甲在山脚点C 处测得通信基站顶端M 的仰角为60°，测得点C 距离通信基站MA 的水平距离CB 为30m ；乙在另一座山脚点F处测得点F 距离通信基站ND 的水平距离FE 为50m ，测得山坡DF 的坡度i=1：1.25.若，58ND DE =点C ，B ，E ，F 在同一水平线上，则两个通信基站顶端M 与顶端N 的高度差为（参考数据：）1.73≈≈A.9.0m B.12.8m C.13.1m D.22.7m11.若关于x 的一元一次不等式组的解集为，且关于y 的分式方程()322225x x a x -≥+⎧⎪⎨-<-⎪⎩6x ≥的解是正整数，则所有满足条件的整数a 的值之和是238211y a y y y+-+=--A.5 B.8 C.12 D.1512.如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD 的顶点D 在第二象限，其余顶点都在第一象限，AB ∥X 轴，AO ⊥AD ，AO=AD.过点A 作AE ⊥CD,垂足为E ，DE=4CE.反比例函数的()0ky x x=>图象经过点E ，与边AB 交于点F ，连接OE ，OF ，EF.若，则k 的值为118EOF S = A. B. C.7 D. 73214212二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上.13.计算：。

重庆市a卷2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题(基础题)知识点分类

重庆市A卷2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（基础题）知识点分类一．分式的混合运算（共3小题）1．（2022•重庆）计算：（1）（x+2）2+x（x﹣4）；（2）（﹣1）÷．2．（2023•重庆）计算：（1）a（2﹣a）+（a+1）（a﹣1）；（2）÷（x﹣）．3．（2021•重庆）计算：（1）（x﹣y）2+x（x+2y）；（2）（1﹣）÷．二．一元一次方程的应用（共1小题）4．（2022•重庆）在全民健身运动中，骑行运动颇受市民青睐，甲、乙两骑行爱好者约定从A 地沿相同路线骑行去距A地30千米的B地，已知甲骑行的速度是乙的1.2倍．（1）若乙先骑行2千米，甲才开始从A地出发，则甲出发半小时恰好追上乙，求甲骑行的速度；（2）若乙先骑行20分钟，甲才开始从A地出发，则甲、乙恰好同时到达B地，求甲骑行的速度．三．二元一次方程组的应用（共1小题）5．（2023•重庆）某公司不定期为员工购买某预制食品厂生产的杂酱面、牛肉面两种食品．（1）该公司花费3000元一次性购买了杂酱面、牛肉面共170份，此时杂酱面、牛肉面的价格分别为15元、20元，求购买两种食品各多少份？（2）由于公司员工人数和食品价格有所调整，现该公司分别花费1260元、1200元一次性购买杂酱面、牛肉面两种食品，已知购买杂酱面的份数比牛肉面的份数多50%，每份杂酱面比每份牛肉面的价格少6元，求购买牛肉面多少份？四．一元二次方程的应用（共1小题）6．（2021•重庆）某工厂有甲、乙两个车间，甲车间生产A产品，乙车间生产B产品，去年两个车间生产产品的数量相同且全部售出．已知A产品的销售单价比B产品的销售单价高100元，1件A产品与1件B产品售价和为500元．（1）A、B两种产品的销售单价分别是多少元？（2）随着5G时代的到来，工业互联网进入了快速发展时期．今年，该工厂计划依托工业互联网将乙车间改造为专供用户定制B产品的生产车间．预计A产品在售价不变的情况下产量将在去年的基础上增加a%；B产品产量将在去年的基础上减少a%，但B产品的销售单价将提高3a%．则今年A、B两种产品全部售出后总销售额将在去年的基础上增加a%．求a的值．五．一次函数与一元一次不等式（共1小题）7．（2021•重庆）在初中阶段的函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，并结合图象研究函数性质及其应用的过程．以下是我们研究函数y＝的性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题．（1）请把下表补充完整，并在给出的图中补全该函数的大致图象；x…﹣5﹣4﹣3﹣2﹣1012345…y＝…﹣﹣﹣04　0 …（2）请根据这个函数的图象，写出该函数的―条性质；（3）已知函数y＝﹣x+3的图象如图所示．根据函数图象，直接写出不等式﹣x+3＞的解集．（近似值保留一位小数，误差不超过0.2）六．三角形综合题（共1小题）8．（2023•重庆）如图，△ABC是边长为4的等边三角形，动点E，F分别以每秒1个单位长度的速度同时从点A出发，点E沿折线A→B→C方向运动，点F沿折线A→C→B方向运动，当两者相遇时停止运动．设运动时间为t秒，点E，F的距离为y．（1）请直接写出y关于t的函数表达式并注明自变量t的取值范围；（2）在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；（3）结合函数图象，写出点E，F相距3个单位长度时t的值．七．作图—复杂作图（共1小题）9．（2021•重庆）如图，在▱ABCD中，AB＞AD．（1）用尺规完成以下基本作图：在AB上截取AE，使AE＝AD；作∠BCD的平分线交AB 于点F．（保留作图痕迹，不写作法）（2）在（1）所作的图形中，连接DE交CF于点P，猜想△CDP按角分类的类型，并证明你的结论．八．命题与定理（共1小题）10．（2023•重庆）学习了平行四边形后，小虹进行了拓展性研究．她发现，如果作平行四边形一条对角线的垂直平分线，那么这个平行四边形的一组对边截垂直平分线所得的线段被垂足平分．她的解决思路是通过证明对应线段所在的两个三角形全等得出结论．请根据她的思路完成以下作图与填空：用直尺和圆规，作AC的垂直平分线交DC于点E，交AB于点F，垂足为点O．（只保留作图痕迹）已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，AC是对角线，EF垂直平分AC，垂足为点O．求证：OE＝OF．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AB．∴∠ECO＝．∵EF垂直平分AC，∴ ．又∠EOC＝，∴△COE≌△AOF（ASA）．∴OE＝OF．小虹再进一步研究发现，过平行四边形对角线AC中点的直线与平行四边形一组对边相交形成的线段均有此特征．请你依照题意完成下面命题：过平行四边形对角线中点的直线．九．解直角三角形的应用-方向角问题（共1小题）11．（2022•重庆）如图，三角形花园ABC紧邻湖泊，四边形ABDE是沿湖泊修建的人行步道．经测量，点C在点A的正东方向，AC＝200米．点E在点A的正北方向．点B，D 在点C的正北方向，BD＝100米．点B在点A的北偏东30°，点D在点E的北偏东45°．（1）求步道DE的长度（精确到个位）；（2）点D处有直饮水，小红从A出发沿人行步道去取水，可以经过点B到达点D，也可以经过点E到达点D．请计算说明他走哪一条路较近？（参考数据：≈1.414，≈1.732）一十．方差（共2小题）12．（2022•重庆）公司生产A、B两种型号的扫地机器人，为了解它们的扫地质量，工作人员从某月生产的A、B型扫地机器人中各随机抽取10台，在完全相同条件下试验，记录下它们的除尘量的数据（单位：g），并进行整理、描述和分析（除尘量用x表示，共分为三个等级：合格80≤x＜85，良好85≤x＜95，优秀x≥95），下面给出了部分信息：10台A型扫地机器人的除尘量：83，84，84，88，89，89，95，95，95，98．10台B型扫地机器人中“良好”等级包含的所有数据为：85，90，90，90，94抽取的A、B型扫地机器人除尘量统计表型号平均数中位数众数方差“优秀”等级所占百分比A9089a26.640%B90b903030%根据以上信息，解答下列问题：（1）填空：a＝，b＝，m＝；（2）这个月公司可生产B型扫地机器人共3000台，估计该月B型扫地机器人“优秀”等级的台数；（3）根据以上数据，你认为该公司生产的哪种型号的扫地机器人扫地质量更好？请说明理由（写出一条理由即可）．13．（2021•重庆）“惜餐为荣，殄物为耻”，为了解落实“光盘行动”的情况，某校数学兴趣小组的同学调研了七、八年级部分班级某一天的餐厨垃圾质量．从七、八年级中各随机抽取10个班的餐厨垃圾质量的数据（单位：kg），进行整理和分析（餐厨垃圾质量用x 表示，共分为四个等级：A．x＜1，B.1≤x＜1.5，C.1.5≤x＜2，D．x≥2），下面给出了部分信息．七年级10个班的餐厨垃圾质量：0.8，0.8，0.8，0.9，1.1，1.1，1.6，1.7，1.9，2.3．八年级10个班的餐厨垃圾质量中B等级包含的所有数据为：1.0，1.0，1.0，1.0，1.2．七、八年级抽取的班级餐厨垃圾质量统计表年级平均数中位数众数方差A等级所占百分比七年级 1.3 1.1a0.2640%八年级 1.3b 1.00.23m%根据以上信息，解答下列问题：（1）直接写出上述表中a，b，m的值；（2）该校八年级共30个班，估计八年级这一天餐厨垃圾质量符合A等级的班级数；（3）根据以上数据，你认为该校七、八年级的“光盘行动”，哪个年级落实得更好？请说明理由（写出一条理由即可）．重庆市A卷2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（基础题）知识点分类参考答案与试题解析一．分式的混合运算（共3小题）1．（2022•重庆）计算：（1）（x+2）2+x（x﹣4）；（2）（﹣1）÷．【答案】（1）2x2+4；（2）．【解答】解：（1）原式＝x2+4x+4+x2﹣4x＝2x2+4；（2）原式＝（﹣）÷＝•＝．2．（2023•重庆）计算：（1）a（2﹣a）+（a+1）（a﹣1）；（2）÷（x﹣）．【答案】（1）2a﹣1；（2）．【解答】解：（1）a（2﹣a）+（a+1）（a﹣1）＝2a﹣a2+a2﹣1＝2a﹣1．（2）÷（x﹣）＝＝＝．3．（2021•重庆）计算：（1）（x﹣y）2+x（x+2y）；（2）（1﹣）÷．【答案】（1）2x2+y2；（2）．【解答】解：（1）（x﹣y）2+x（x+2y）＝x2﹣2xy+y2+x2+2xy＝2x2+y2；（2）（1﹣）÷＝（）＝＝＝．二．一元一次方程的应用（共1小题）4．（2022•重庆）在全民健身运动中，骑行运动颇受市民青睐，甲、乙两骑行爱好者约定从A 地沿相同路线骑行去距A地30千米的B地，已知甲骑行的速度是乙的1.2倍．（1）若乙先骑行2千米，甲才开始从A地出发，则甲出发半小时恰好追上乙，求甲骑行的速度；（2）若乙先骑行20分钟，甲才开始从A地出发，则甲、乙恰好同时到达B地，求甲骑行的速度．【答案】（1）24千米/时；（2）18千米/时．【解答】解：（1）设乙骑行的速度为x千米/时，则甲骑行的速度为1.2x千米/时，依题意得：×1.2x＝2+x，解得：x＝20，∴1.2x＝1.2×20＝24．答：甲骑行的速度为24千米/时．（2）设乙骑行的速度为y千米/时，则甲骑行的速度为1.2y千米/时，依题意得：﹣＝，解得：y＝15，经检验，y＝15是原方程的解，且符合题意，∴1.2y＝1.2×15＝18．答：甲骑行的速度为18千米/时．三．二元一次方程组的应用（共1小题）5．（2023•重庆）某公司不定期为员工购买某预制食品厂生产的杂酱面、牛肉面两种食品．（1）该公司花费3000元一次性购买了杂酱面、牛肉面共170份，此时杂酱面、牛肉面的价格分别为15元、20元，求购买两种食品各多少份？（2）由于公司员工人数和食品价格有所调整，现该公司分别花费1260元、1200元一次性购买杂酱面、牛肉面两种食品，已知购买杂酱面的份数比牛肉面的份数多50%，每份杂酱面比每份牛肉面的价格少6元，求购买牛肉面多少份？【答案】（1）购买炸酱面80份，牛肉面90份；（2）购买牛肉面60份．【解答】解：（1）设购买炸酱面x份，牛肉面y份，根据题意得：，解得：．答：购买炸酱面80份，牛肉面90份；（2）设购买牛肉面m份，则购买炸酱面（1+50%）m份，根据题意得：﹣＝6，解得：m＝60，经检验，m＝60是所列方程的解，且符合题意．答：购买牛肉面60份．四．一元二次方程的应用（共1小题）6．（2021•重庆）某工厂有甲、乙两个车间，甲车间生产A产品，乙车间生产B产品，去年两个车间生产产品的数量相同且全部售出．已知A产品的销售单价比B产品的销售单价高100元，1件A产品与1件B产品售价和为500元．（1）A、B两种产品的销售单价分别是多少元？（2）随着5G时代的到来，工业互联网进入了快速发展时期．今年，该工厂计划依托工业互联网将乙车间改造为专供用户定制B产品的生产车间．预计A产品在售价不变的情况下产量将在去年的基础上增加a%；B产品产量将在去年的基础上减少a%，但B产品的销售单价将提高3a%．则今年A、B两种产品全部售出后总销售额将在去年的基础上增加a%．求a的值．【答案】（1）A产品的销售单价为300元，B产品的销售单价为200元；（2）a＝20．【解答】解：（1）设B产品的销售单价为x元，则A产品的销售单价为（x+100）元，依题意得：x+100+x＝500，解得：x＝200，∴x+100＝300．答：A产品的销售单价为300元，B产品的销售单价为200元．（2）设去年每个车间生产产品的数量为t件，依题意得：300（1+a%）t+200（1+3a%）（1﹣a%）t＝500t（1+a%），设a%＝m，则原方程可化简为5m2﹣m＝0，解得：m1＝，m2＝0（不合题意，舍去），∴a＝20．答：a的值为20．五．一次函数与一元一次不等式（共1小题）7．（2021•重庆）在初中阶段的函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，并结合图象研究函数性质及其应用的过程．以下是我们研究函数y＝的性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题．（1）请把下表补充完整，并在给出的图中补全该函数的大致图象；x…﹣5﹣4﹣3﹣2﹣1012345…y＝…﹣﹣﹣04 0　﹣ ﹣ ﹣　…（2）请根据这个函数的图象，写出该函数的―条性质；（3）已知函数y＝﹣x+3的图象如图所示．根据函数图象，直接写出不等式﹣x+3＞的解集．（近似值保留一位小数，误差不超过0.2）【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）把下表补充完整如下：x…﹣5﹣4﹣3﹣2﹣1012345…y＝…﹣﹣﹣040﹣﹣﹣…函数y＝的图象如图所示：（2）①该函数图象是轴对称图形，对称轴是y轴；②该函数在自变量的取值范围内，有最大值，当x＝0时，函数取得最大值4；③当x＜0时，y随x的增大而增大：当x＞0时，y随x的增大而减小（以上三条性质写出一条即可）；（3）由图象可知，不等式﹣x+3＞的解集为x＜﹣0.3或1＜x＜2．六．三角形综合题（共1小题）8．（2023•重庆）如图，△ABC是边长为4的等边三角形，动点E，F分别以每秒1个单位长度的速度同时从点A出发，点E沿折线A→B→C方向运动，点F沿折线A→C→B方向运动，当两者相遇时停止运动．设运动时间为t秒，点E，F的距离为y．（1）请直接写出y关于t的函数表达式并注明自变量t的取值范围；（2）在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；（3）结合函数图象，写出点E，F相距3个单位长度时t的值．【答案】（1）；（2）图象及函数的性质见解答过程；（3）3或4.5．【解答】解：（1）当点E、F分别在AB、AC上运动时，△AEF为边长等于t的等边三角形，∴点E，F的距离等于AE、AF的长，∴当0≤t≤4时，y关于t的函数表达式为y＝t，当点E、F都在BC上运动时，点E，F的距离等于4﹣2（t﹣4），∴当4＜t≤6时，y关于t的函数表达式为y＝4﹣2（t﹣4）＝12﹣2t，∴y关于t的函数表达式为；（2）由（1）中得到的函数表达式可知：当t＝0时，y＝0；当t＝4时，y＝4；当t＝6时，y＝0，分别描出三个点（0，0），（4，4），（6，0），然后顺次连线，如图：该函数的其中一个性质：当0≤t≤4时，y随t的增大而增大．（答案不唯一，正确即可）（3）把y＝3分别代入y＝t和y＝12﹣2t中，得：3＝t，3＝12﹣2t，解得：t＝3或t＝4.5，∴点E，F相距3个单位长度时t的值为3或4.5．七．作图—复杂作图（共1小题）9．（2021•重庆）如图，在▱ABCD中，AB＞AD．（1）用尺规完成以下基本作图：在AB上截取AE，使AE＝AD；作∠BCD的平分线交AB 于点F．（保留作图痕迹，不写作法）（2）在（1）所作的图形中，连接DE交CF于点P，猜想△CDP按角分类的类型，并证明你的结论．【解答】解：（1）如图，AE、CF为所作；（2）△CDP为直角三角形．证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC，∴∠CDE＝∠AED，∠ADC+∠BCD＝180°，∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED，∴∠ADE＝∠CDE，∴∠CDE＝∠ADE＝∠ADC，∵CF平分∠BCD，∴∠FCD＝∠BCD，∴∠CDE+∠FCD＝90°，∴∠CPD＝90°，∴△CDP为直角三角形．八．命题与定理（共1小题）10．（2023•重庆）学习了平行四边形后，小虹进行了拓展性研究．她发现，如果作平行四边形一条对角线的垂直平分线，那么这个平行四边形的一组对边截垂直平分线所得的线段被垂足平分．她的解决思路是通过证明对应线段所在的两个三角形全等得出结论．请根据她的思路完成以下作图与填空：用直尺和圆规，作AC的垂直平分线交DC于点E，交AB于点F，垂足为点O．（只保留作图痕迹）已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，AC是对角线，EF垂直平分AC，垂足为点O．求证：OE＝OF．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AB．∴∠ECO＝　∠FAO　．∵EF垂直平分AC，∴　OA＝OC　．又∠EOC＝　∠FOA　，∴△COE≌△AOF（ASA）．∴OE＝OF．小虹再进一步研究发现，过平行四边形对角线AC中点的直线与平行四边形一组对边相交形成的线段均有此特征．请你依照题意完成下面命题：过平行四边形对角线中点的直线　被一组对边截得的线段被对角线的中点平分　．【答案】∠FAO；OA＝OC；∠FOA；被一组对边截得的线段被对角线的中点平分．【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AB．∴∠ECO＝∠FAO．∵EF垂直平分AC，∴OA＝OC．又∠EOC＝∠FOA，∴△COE≌△AOF（ASA）．∴OE＝OF；过平行四边形对角线中点的直线被一组对边截得的线段被对角线的中点平分，故答案为：∠FAO；OA＝OC；∠FOA；被一组对边截得的线段被对角线的中点平分．九．解直角三角形的应用-方向角问题（共1小题）11．（2022•重庆）如图，三角形花园ABC紧邻湖泊，四边形ABDE是沿湖泊修建的人行步道．经测量，点C在点A的正东方向，AC＝200米．点E在点A的正北方向．点B，D 在点C的正北方向，BD＝100米．点B在点A的北偏东30°，点D在点E的北偏东45°．（1）求步道DE的长度（精确到个位）；（2）点D处有直饮水，小红从A出发沿人行步道去取水，可以经过点B到达点D，也可以经过点E到达点D．请计算说明他走哪一条路较近？（参考数据：≈1.414，≈1.732）【答案】（1）DE的长度约为283米；（2）经过点B到达点D较近．【解答】解：（1）过D作DF⊥AE于F，如图：由已知可得四边形ACDF是矩形，∴DF＝AC＝200米，∵点D在点E的北偏东45°，即∠DEF＝45°，∴△DEF是等腰直角三角形，∴DE＝DF＝200≈283（米）；（2）由（1）知△DEF是等腰直角三角形，DE＝283米，∴EF＝DF＝200米，∵点B在点A的北偏东30°，即∠EAB＝30°，∴∠ABC＝30°，∵AC＝200米，∴AB＝2AC＝400米，BC＝＝200米，∵BD＝100米，∴经过点B到达点D路程为AB+BD＝400+100＝500米，CD＝BC+BD＝（200+100）米，∴AF＝CD＝（200+100）米，∴AE＝AF﹣EF＝（200+100）﹣200＝（200﹣100）米，∴经过点E到达点D路程为AE+DE＝200﹣100+200≈529米，∵529＞500，∴经过点B到达点D较近．一十．方差（共2小题）12．（2022•重庆）公司生产A、B两种型号的扫地机器人，为了解它们的扫地质量，工作人员从某月生产的A、B型扫地机器人中各随机抽取10台，在完全相同条件下试验，记录下它们的除尘量的数据（单位：g），并进行整理、描述和分析（除尘量用x表示，共分为三个等级：合格80≤x＜85，良好85≤x＜95，优秀x≥95），下面给出了部分信息：10台A型扫地机器人的除尘量：83，84，84，88，89，89，95，95，95，98．10台B型扫地机器人中“良好”等级包含的所有数据为：85，90，90，90，94抽取的A、B型扫地机器人除尘量统计表型号平均数中位数众数方差“优秀”等级所占百分比A9089a26.640%B90b903030%根据以上信息，解答下列问题：（1）填空：a＝　95　，b＝　90　，m＝　20　；（2）这个月公司可生产B型扫地机器人共3000台，估计该月B型扫地机器人“优秀”等级的台数；（3）根据以上数据，你认为该公司生产的哪种型号的扫地机器人扫地质量更好？请说明理由（写出一条理由即可）．【答案】（1）95，90，20；（2）估计该月B型扫地机器人“优秀”等级的台数900台；（3）A型号的扫地机器人扫地质量更好，理由是在平均除尘量都是90的情况下，A型号的扫地机器人除尘量的众数＞B型号的扫地机器人除尘量的众数（理由不唯一）．【解答】解：（1）在83，84，84，88，89，89，95，95，95，98中，出现次数最多的是95，∴众数a＝95，10台B型扫地机器人中“良好”等级有5台，占50%，“优秀”等级所占百分比为30%，∴“合格”等级占1﹣50%﹣30%＝20%，即m＝20，把B型扫地机器人的除尘量从小到大排列后，第5个和第6个数都是90，∴b＝90，故答案为：95，90，20；（2）估计该月B型扫地机器人“优秀”等级的台数3000×30%＝900（台）；（3）A型号的扫地机器人扫地质量更好，理由是在平均除尘量都是90的情况下，A型号的扫地机器人除尘量的众数＞B型号的扫地机器人除尘量的众数（理由不唯一）．13．（2021•重庆）“惜餐为荣，殄物为耻”，为了解落实“光盘行动”的情况，某校数学兴趣小组的同学调研了七、八年级部分班级某一天的餐厨垃圾质量．从七、八年级中各随机抽取10个班的餐厨垃圾质量的数据（单位：kg），进行整理和分析（餐厨垃圾质量用x 表示，共分为四个等级：A．x＜1，B.1≤x＜1.5，C.1.5≤x＜2，D．x≥2），下面给出了部分信息．七年级10个班的餐厨垃圾质量：0.8，0.8，0.8，0.9，1.1，1.1，1.6，1.7，1.9，2.3．八年级10个班的餐厨垃圾质量中B等级包含的所有数据为：1.0，1.0，1.0，1.0，1.2．七、八年级抽取的班级餐厨垃圾质量统计表年级平均数中位数众数方差A等级所占百分比七年级 1.3 1.1a0.2640%八年级 1.3b 1.00.23m%根据以上信息，解答下列问题：（1）直接写出上述表中a，b，m的值；（2）该校八年级共30个班，估计八年级这一天餐厨垃圾质量符合A等级的班级数；（3）根据以上数据，你认为该校七、八年级的“光盘行动”，哪个年级落实得更好？请说明理由（写出一条理由即可）．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）由题可知：a＝0.8，b＝1.0，m＝20．（2）∵八年级抽测的10个班级中，A等级的百分比是20%．∴估计该校八年级共30个班这一天餐厨垃圾质量符合A等级的班级数为：30×20%＝6（个）．答：该校八年级共30个班，估计八年级这一天餐厨垃圾质量符合A等级的班级数为6个．（3）七年级各班落实“光盘行动”更好，因为：①七年级各班餐厨垃圾质量众数0.8，低于八年级各班餐厨质量垃圾的众数1.0．②七年级各班餐厨垃圾质量A等级的40%高于八年级各班餐厨质量垃圾质量A等级的20%．八年级各班落实“光盘行动”更好，因为：“①八年级各班餐厨垃圾质量的中位数1.0低于七年级各班餐厨垃圾质量的中位数1.1．②八年级各班餐厨垃圾质量的方差0.23低于七年级各班餐厨垃圾质量的方差0.26，更稳定．”。

重庆市b卷2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题(提升题)知识点分类

重庆市B卷2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类一．因式分解的应用（共2小题）1．（2022•重庆）对于一个各数位上的数字均不为0的三位自然数N，若N能被它的各数位上的数字之和m整除，则称N是m的“和倍数”．例如：∵247÷（2+4+7）＝247÷13＝19，∴247是13的“和倍数”．又如：∵214÷（2+1+4）＝214÷7＝30……4，∴214不是“和倍数”．（1）判断357，441是否是“和倍数”？说明理由；（2）三位数A是12的“和倍数”，a，b，c分别是数A其中一个数位上的数字，且a＞b ＞c．在a，b，c中任选两个组成两位数，其中最大的两位数记为F（A），最小的两位数记为G（A），若为整数，求出满足条件的所有数A．2．（2021•重庆）对于任意一个四位数m，若千位上的数字与个位上的数字之和是百位上的数字与十位上的数字之和的2倍，则称这个四位数m为“共生数”．例如：m＝3507，因为3+7＝2×（5+0），所以3507是“共生数”；m＝4135，因为4+5≠2×（1+3），所以4135不是“共生数”．（1）判断5313，6437是否为“共生数”？并说明理由；（2）对于“共生数”n，当十位上的数字是千位上的数字的2倍，百位上的数字与个位上的数字之和能被9整除时，记F（n）＝．求满足F（n）各数位上的数字之和是偶数的所有n．二．一元二次方程的应用（共1小题）3．（2021•重庆）重庆小面是重庆美食的名片之一，深受外地游客和本地民众欢迎．某面馆向食客推出经典特色重庆小面，顾客可到店食用（简称“堂食”小面），也可购买搭配佐料的袋装生面（简称“生食”小面）．已知3份“堂食”小面和2份“生食”小面的总售价为31元，4份“堂食”小面和1份“生食”小面的总售价为33元．（1）求每份“堂食”小面和“生食”小面的价格分别是多少元？（2）该面馆在4月共卖出“堂食”小面4500份，“生食”小面2500份．为回馈广大食客，该面馆从5月1日起每份“堂食”小面的价格保持不变，每份“生食”小面的价格降低a%．统计5月的销量和销售额发现：“堂食”小面的销量与4月相同，“生食”小面的销量在4月的基础上增加a%，这两种小面的总销售额在4月的基础上增加a%．求a的值．三．分式方程的应用（共1小题）4．（2022•重庆）为保障蔬菜基地种植用水，需要修建灌溉水渠．（1）计划修建灌溉水渠600米，甲施工队施工5天后，增加施工人员，每天比原来多修建20米，再施工2天完成任务，求甲施工队增加人员后每天修建灌溉水渠多少米？（2）因基地面积扩大，现还需修建另一条灌溉水渠1800米，为早日完成任务，决定派乙施工队与甲施工队同时开工合作修建这条水渠，直至完工．甲施工队按（1）中增加人员后的修建速度进行施工．乙施工队修建360米后，通过技术更新，每天比原来多修建20%，灌溉水渠完工时，两施工队修建的长度恰好相同．求乙施工队原来每天修建灌溉水渠多少米？四．反比例函数与一次函数的交点问题（共1小题）5．（2021•重庆）探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程．以下是我们研究函数y＝x+|﹣2x+6|+m性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题．x…﹣2﹣1012345…y…654a21b7…（1）写出函数关系式中m及表格中a，b的值：m＝，a＝，b＝；（2）根据表格中的数据在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象，并根据图象写出该函数的一条性质：；（3）已知函数y＝的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式x+|﹣2x+6|+m＞的解集．五．二次函数综合题（共3小题）6．（2023•重庆）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，其中B（3，0），C（0，﹣3）．（1）求该抛物线的表达式；（2）点P是直线AC下方抛物线上一动点，过点P作PD⊥AC于点D，求PD的最大值及此时点P的坐标；（3）在（2）的条件下，将该抛物线向右平移5个单位，点E为点P的对应点，平移后的抛物线与y轴交于点F，Q为平移后的抛物线的对称轴上任意一点．写出所有使得以QF为腰的△QEF是等腰三角形的点Q的坐标，并把求其中一个点Q的坐标的过程写出来．7．（2022•重庆）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B（0，3）．（1）求抛物线的函数表达式；（2）点P为直线AB上方抛物线上一动点，过点P作PQ⊥x轴于点Q，交AB于点M，求PM+AM的最大值及此时点P的坐标；（3）在（2）的条件下，点P′与点P关于抛物线y＝﹣x2+bx+c的对称轴对称．将抛物线y＝﹣x2+bx+c向右平移，使新抛物线的对称轴l经过点A．点C在新抛物线上，点D在l上，直接写出所有使得以点A、P′、C、D为顶点的四边形是平行四边形的点D 的坐标，并把求其中一个点D的坐标的过程写出来．8．（2021•重庆）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣4（a≠0）与x轴交于点A （﹣1，0），B（4，0），与y轴交于点C．（1）求该抛物线的解析式；（2）直线l为该抛物线的对称轴，点D与点C关于直线l对称，点P为直线AD下方抛物线上一动点，连接PA，PD，求△PAD面积的最大值．（3）在（2）的条件下，将抛物线y＝ax2+bx﹣4（a≠0）沿射线AD平移4个单位，得到新的抛物线y1，点E为点P的对应点，点F为y1的对称轴上任意一点，在y1上确定一点G，使得以点D，E，F，G为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点G的坐标，并任选其中一个点的坐标，写出求解过程．六．作图—基本作图（共1小题）9．（2022•重庆）我们知道，矩形的面积等于这个矩形的长乘宽，小明想用其验证一个底为a，高为h的三角形的面积公式为S＝ah．想法是：以BC为边作矩形BCFE，点A在边FE上，再过点A作BC的垂线，将其转化为证三角形全等，由全等图形面积相等来得到验证．按以上思路完成下面的作图与填空：证明：用直尺和圆规过点A作BC的垂线AD交BC于点D．（只保留作图痕迹）在△ADC和△CFA中，∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°．∵∠F＝90°，∴① ．∵EF∥BC，∴② ．又∵③ ，∴△ADC≌△CFA（AAS）．同理可得：④ ．S△ABC＝S△ADC+S△ABD＝S矩形ADCF+S矩形AEBD＝S矩形BCFE＝ah．七．几何变换综合题（共3小题）10．（2023•重庆）如图，在等边△ABC中，AD⊥BC于点D，E为线段AD上一动点（不与A，D重合），连接BE，CE，将CE绕点C顺时针旋转60°得到线段CF，连接AF．（1）如图1，求证：∠CBE＝∠CAF；（2）如图2，连接BF交AC于点G，连接DG，EF，EF与DG所在直线交于点H，求证：EH＝FH；（3）如图3，连接BF交AC于点G，连接DG，EG，将△AEG沿AG所在直线翻折至△ABC所在平面内，得到△APG，将△DEG沿DG所在直线翻折至△ABC所在平面内，得到△DQG，连接PQ，QF．若AB＝4，直接写出PQ+QF的最小值．11．（2022•重庆）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，D为BC的中点，E，F分别为AC，AD上任意一点，连接EF，将线段EF绕点E顺时针旋转90°得到线段EG，连接FG，AG．（1）如图1，点E与点C重合，且GF的延长线过点B，若点P为FG的中点，连接PD，求PD的长；（2）如图2，EF的延长线交AB于点M，点N在AC上，∠AGN＝∠AEG且GN＝MF，求证：AM+AF＝AE；（3）如图3，F为线段AD上一动点，E为AC的中点，连接BE，H为直线BC上一动点，连接EH，将△BEH沿EH翻折至△ABC所在平面内，得到△B′EH，连接B′G，直接写出线段B′G的长度的最小值．12．（2021•重庆）在等边△ABC中，AB＝6，BD⊥AC，垂足为D，点E为AB边上一点，点F为直线BD上一点，连接EF．（1）将线段EF绕点E逆时针旋转60°得到线段EG，连接FG．①如图1，当点E与点B重合，且GF的延长线过点C时，连接DG，求线段DG的长；②如图2，点E不与点A，B重合，GF的延长线交BC边于点H，连接EH，求证：BE+BH＝BF；（2）如图3，当点E为AB中点时，点M为BE中点，点N在边AC上，且DN＝2NC，点F从BD中点Q沿射线QD运动，将线段EF绕点E顺时针旋转60°得到线段EP，连接FP，当NP+MP最小时，直接写出△DPN的面积．13．（2022•重庆）湖中小岛上码头C处一名游客突发疾病，需要救援．位于湖面B点处的快艇和湖岸A处的救援船接到通知后立刻同时出发前往救援．计划由快艇赶到码头C接该游客，再沿CA方向行驶，与救援船相遇后将该游客转运到救援船上．已知C在A的北偏东30°方向上，B在A的北偏东60°方向上，且在C的正南方向900米处．（1）求湖岸A与码头C的距离（结果精确到1米，参考数据：≈1.732）；（2）救援船的平均速度为150米/分，快艇的平均速度为400米/分，在接到通知后，快艇能否在5分钟内将该游客送上救援船？请说明理由．（接送游客上下船的时间忽略不计）重庆市B卷2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类参考答案与试题解析一．因式分解的应用（共2小题）1．（2022•重庆）对于一个各数位上的数字均不为0的三位自然数N，若N能被它的各数位上的数字之和m整除，则称N是m的“和倍数”．例如：∵247÷（2+4+7）＝247÷13＝19，∴247是13的“和倍数”．又如：∵214÷（2+1+4）＝214÷7＝30……4，∴214不是“和倍数”．（1）判断357，441是否是“和倍数”？说明理由；（2）三位数A是12的“和倍数”，a，b，c分别是数A其中一个数位上的数字，且a＞b ＞c．在a，b，c中任选两个组成两位数，其中最大的两位数记为F（A），最小的两位数记为G（A），若为整数，求出满足条件的所有数A．【答案】（1）357不是“和倍数”；441是9的“和倍数”；（2）732或372或516或156．【解答】解：（1）∵357÷（3+5+7）＝357÷15＝23……12，∴357不是“和倍数”；∵441÷（4+4+1）＝441÷9＝49，∴441是9的“和倍数”；（2）由题意得：a+b+c＝12，a＞b＞c，由题意得：F（A）＝，G（A）＝，∴＝＝＝，∵a+c＝12﹣b，为整数，∴＝＝＝＝7+（1﹣b），∵1＜b＜9，∴b＝3，5，7，∴a+c＝9，7，5，①当b＝3，a+c＝9时，（舍），，则A＝732或372；②当b＝5，a+c＝7时，，则A＝516或156；③当b＝7，a+c＝5时，此种情况没有符合的值；综上，满足条件的所有数A为：732或372或516或156．2．（2021•重庆）对于任意一个四位数m，若千位上的数字与个位上的数字之和是百位上的数字与十位上的数字之和的2倍，则称这个四位数m为“共生数”．例如：m＝3507，因为3+7＝2×（5+0），所以3507是“共生数”；m＝4135，因为4+5≠2×（1+3），所以4135不是“共生数”．（1）判断5313，6437是否为“共生数”？并说明理由；（2）对于“共生数”n，当十位上的数字是千位上的数字的2倍，百位上的数字与个位上的数字之和能被9整除时，记F（n）＝．求满足F（n）各数位上的数字之和是偶数的所有n．【答案】（1）5313是“共生数”，6437不是“共生数”；（2）2148或3069．【解答】解：（1）5313是“共生数”，6437不是“共生数”，∵5+3＝2×（3+1），∴5313是“共生数”，∵6+7≠2×（3+4），∴6437不是“共生数”；（2）∵n是“共生数”，根据题意，个位上的数字要大于百位上的数字，设n的千位上的数字为a，则十位上的数字为2a，（1≤a≤4），设n的百位上的数字为b，∵个位和百位都是0﹣9的数字，∴个位上的数字为9﹣b，且9﹣b＞b，∴0≤b≤4，∴n＝1000a+100b+20a+9﹣b，∴F（n）＝＝340a+33b+3，由于n是“共生数”，∴a+9﹣b＝2×（2a+b），即a+b＝3，可能的情况有：，当a＝1，b＝2时，n的值为1227，则F（n）的值为409，各数位上数字之和不是偶数，舍去，当a＝2，b＝1时，n的值为2148，则F（n）的值为716，各数位上数字之和是偶数，当a＝3，b＝0时，n的值为3069，则F（n）的值为1023，各数位上数字之和是偶数，∴n的值是2148或3069．二．一元二次方程的应用（共1小题）3．（2021•重庆）重庆小面是重庆美食的名片之一，深受外地游客和本地民众欢迎．某面馆向食客推出经典特色重庆小面，顾客可到店食用（简称“堂食”小面），也可购买搭配佐料的袋装生面（简称“生食”小面）．已知3份“堂食”小面和2份“生食”小面的总售价为31元，4份“堂食”小面和1份“生食”小面的总售价为33元．（1）求每份“堂食”小面和“生食”小面的价格分别是多少元？（2）该面馆在4月共卖出“堂食”小面4500份，“生食”小面2500份．为回馈广大食客，该面馆从5月1日起每份“堂食”小面的价格保持不变，每份“生食”小面的价格降低a%．统计5月的销量和销售额发现：“堂食”小面的销量与4月相同，“生食”小面的销量在4月的基础上增加a%，这两种小面的总销售额在4月的基础上增加a%．求a的值．【答案】（1）每份“堂食”小面的价格为7元，每份“生食”小面的价格为5元；（2）a＝8．【解答】解：（1）设每份“堂食”小面的价格为x元，每份“生食”小面的价格为y元，根据题意得：，解得：，答：每份“堂食”小面的价格为7元，每份“生食”小面的价格为5元；（2）由题意得：4500×7+2500（1+a%）×5（1﹣a%）＝（4500×7+2500×5）（1+ a%），设a%＝m，则方程可化为：9×7+25（1+m）（1﹣m）＝（9×7+25）（1+m），375m2﹣30m＝0，m（25m﹣2）＝0，解得：m1＝0（舍），m2＝，∴a＝8．三．分式方程的应用（共1小题）4．（2022•重庆）为保障蔬菜基地种植用水，需要修建灌溉水渠．（1）计划修建灌溉水渠600米，甲施工队施工5天后，增加施工人员，每天比原来多修建20米，再施工2天完成任务，求甲施工队增加人员后每天修建灌溉水渠多少米？（2）因基地面积扩大，现还需修建另一条灌溉水渠1800米，为早日完成任务，决定派乙施工队与甲施工队同时开工合作修建这条水渠，直至完工．甲施工队按（1）中增加人员后的修建速度进行施工．乙施工队修建360米后，通过技术更新，每天比原来多修建20%，灌溉水渠完工时，两施工队修建的长度恰好相同．求乙施工队原来每天修建灌溉水渠多少米？【答案】（1）甲施工队增加人员后每天修建灌溉水渠100米；（2）乙施工队原来每天修建灌溉水渠90米．【解答】解：（1）设甲施工队增加人员后每天修建灌溉水渠x米，则原计划每天施工（x ﹣20）米，由题意可得：5（x﹣20）+2x＝600，解得x＝100，答：甲施工队增加人员后每天修建灌溉水渠100米；（2）设乙施工队原来每天修建灌溉水渠m米，则技术更新后每天修建水渠m（1+20%）＝1.2m米，由题意可得：，解得m＝90，经检验，m＝90是原分式方程的解，答：乙施工队原来每天修建灌溉水渠90米．四．反比例函数与一次函数的交点问题（共1小题）5．（2021•重庆）探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程．以下是我们研究函数y＝x+|﹣2x+6|+m性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题．x…﹣2﹣1012345…y…654a21b7…（1）写出函数关系式中m及表格中a，b的值：m＝　﹣2　，a＝　3　，b＝　4　；（2）根据表格中的数据在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象，并根据图象写出该函数的一条性质：　当x＝3时函数有最小值y＝1　；（3）已知函数y＝的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式x+|﹣2x+6|+m＞的解集．【答案】（1）﹣2，3，4；（2）图象见解答过程，当x＝3时函数有最小值y＝1（答案不唯一）；（3）x＜0或x＞4．【解答】解：（1）当x＝0时，|6|+m＝4，解得：m＝﹣2，即函数解析式为：y＝x+|﹣2x+6|﹣2，当x＝1时，a＝1+|﹣2+6|﹣2＝3，当x＝4时，b＝4+|﹣2×4+6|﹣2＝4，故答案为：﹣2，3，4；（2）图象如右图，根据图象可知当x＝3时函数有最小值y＝1；（3）根据当y＝x+|﹣2x+6|﹣2的函数图象在函数y＝的图象上方时，不等式x+|﹣2x+6|﹣2＞成立，∴x＜0或x＞4．五．二次函数综合题（共3小题）6．（2023•重庆）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，其中B（3，0），C（0，﹣3）．（1）求该抛物线的表达式；（2）点P是直线AC下方抛物线上一动点，过点P作PD⊥AC于点D，求PD的最大值及此时点P的坐标；（3）在（2）的条件下，将该抛物线向右平移5个单位，点E为点P的对应点，平移后的抛物线与y轴交于点F，Q为平移后的抛物线的对称轴上任意一点．写出所有使得以QF为腰的△QEF是等腰三角形的点Q的坐标，并把求其中一个点Q的坐标的过程写出来．【答案】（1）y＝x2+x﹣3；（2）PD的最大值为：，此时点P（﹣2，﹣）；（3）点Q的坐标为：（，）或（，5）或（，﹣1）．【解答】解：（1）由题意得：，解得：，则抛物线的表达式为：y＝x2+x﹣3；（2）令y＝x2+x﹣3＝0，则x＝﹣4或3，则点A（﹣4，0），由点A、C知，直线AC的表达式为：y＝﹣x﹣3，过点P作y轴的平行线交AC于点H，则∠PHC＝∠ACO，则tan∠PHC＝tan∠ACO＝，则sin∠PHC＝，则PD＝PH•sin∠PHC＝PH，设点H（x，﹣x﹣3），则点P（x，x2+x﹣3），则PD＝PH＝（﹣x﹣3﹣x2﹣x+3）＝﹣（x+2）2+，即PD的最大值为：，此时点P（﹣2，﹣）；（3）平移后的抛物线的表达式为：y＝（x﹣5）2+（x﹣5）﹣3＝x2﹣x+2，则点F（0，2），设点Q（，m），则QF2＝（）2+（m﹣2）2，QE2＝+（m+）2，EF2＝9+，当QE＝QF时，则（）2+（m﹣2）2＝+（m+）2，解得：m＝，则点Q的坐标为（，）；当QF＝EF时，则（）2+（m﹣2）2＝9+，解得：m＝5或﹣1，则点Q的坐标为：（，5）或（，﹣1）；综上，点Q的坐标为：（，）或（，5）或（，﹣1）．7．（2022•重庆）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B（0，3）．（1）求抛物线的函数表达式；（2）点P为直线AB上方抛物线上一动点，过点P作PQ⊥x轴于点Q，交AB于点M，求PM+AM的最大值及此时点P的坐标；（3）在（2）的条件下，点P′与点P关于抛物线y＝﹣x2+bx+c的对称轴对称．将抛物线y＝﹣x2+bx+c向右平移，使新抛物线的对称轴l经过点A．点C在新抛物线上，点D在l上，直接写出所有使得以点A、P′、C、D为顶点的四边形是平行四边形的点D 的坐标，并把求其中一个点D的坐标的过程写出来．【答案】（1）y＝﹣；（2）最大值为，此时P（1，）；（3）D（4，）或（4，﹣）或（4，）．【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B （0，3）．∴，∴．∴抛物线的函数表达式为y＝﹣；（2）∵A（4，0），B（0，3），∴OA＝4，OB＝3，由勾股定理得，AB＝5，∵PQ⊥OA，∴PQ∥OB，∴△AQM∽△AOB，∴MQ：AQ：AM＝3：4：5，∴AM＝，，∴PM+，∵B（0，3），A（4，0），∴l AB：y＝﹣，∴设P（m，﹣），M（m，﹣），Q（m，0），∴PM+2MQ＝﹣＝﹣，∵﹣，∴开口向下，0＜m＜4，∴当m＝1时，PM+的最大值为，此时P（1，）；（3）由y＝﹣知，对称轴x＝，∴P'（2，），∵直线l：x＝4，∴抛物线向右平移个单位，∴平移后抛物线解析式为y'＝﹣，设D（4，t），C（c，﹣），①AP'与DC为对角线时，，∴，∴D（4，），②P'D与AC为对角线时，，∴，∴D（4，﹣），③AD与P'C为对角线时，，∴，∴D（4，），综上：D（4，）或（4，﹣）或（4，）．8．（2021•重庆）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣4（a≠0）与x轴交于点A （﹣1，0），B（4，0），与y轴交于点C．（1）求该抛物线的解析式；（2）直线l为该抛物线的对称轴，点D与点C关于直线l对称，点P为直线AD下方抛物线上一动点，连接PA，PD，求△PAD面积的最大值．（3）在（2）的条件下，将抛物线y＝ax2+bx﹣4（a≠0）沿射线AD平移4个单位，得到新的抛物线y1，点E为点P的对应点，点F为y1的对称轴上任意一点，在y1上确定一点G，使得以点D，E，F，G为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点G的坐标，并任选其中一个点的坐标，写出求解过程．【答案】（1）y＝x2﹣3x﹣4；（2）8；（3）G（）或G（）或G（）．【解答】解：（1）将A（﹣1，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx﹣4得，∴，∴y＝x2﹣3x﹣4，（2）当x＝0时，y＝﹣4，∴点C（0，﹣4），∵点D与点C关于直线l对称，且对称轴为直线x＝，∴D（3，﹣4），∵A（﹣1，0），∴直线AD的函数关系式为：y＝﹣x﹣1，设P（m，m2﹣3m﹣4），作PH∥y轴交直线AD于H，∴H（m，﹣m﹣1），∴PH＝﹣m﹣1﹣（m2﹣3m﹣4）＝﹣m2+2m+3，∴S△APD＝S△APH+S△DPH＝＝2（﹣m2+2m+3）＝﹣2m2+4m+6，当m＝﹣＝1时，S△APD最大为8，（3）∵直线AD与x轴正方向夹角为45°，∴沿AD方向平移，实际可看成向右平移4个单位，再向下平移4个单位，∵P（1，﹣6），∴E（5，﹣10），抛物线y＝x2﹣3x﹣4平移后y1＝x2﹣11x+20，∴抛物线y1的对称轴为：直线x＝，当DE为平行四边形的边时：若D平移到对称轴上F点，则G的横坐标为，代入y1＝x2﹣11x+20得y＝﹣，∴，若E平移到对称轴上F点，则G的横坐标为，代入y1＝x2﹣11x+20得y＝，∴，若DE为平行四边形的对角线时，若E平移到对称轴上F点，则G平移到D点，∴G的横坐标为，代入y1＝x2﹣11x+20得y＝﹣，∴∴G（）或G（）或G（），六．作图—基本作图（共1小题）9．（2022•重庆）我们知道，矩形的面积等于这个矩形的长乘宽，小明想用其验证一个底为a，高为h的三角形的面积公式为S＝ah．想法是：以BC为边作矩形BCFE，点A在边FE上，再过点A作BC的垂线，将其转化为证三角形全等，由全等图形面积相等来得到验证．按以上思路完成下面的作图与填空：证明：用直尺和圆规过点A作BC的垂线AD交BC于点D．（只保留作图痕迹）在△ADC和△CFA中，∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°．∵∠F＝90°，∴①　∠ADC＝∠F　．∵EF∥BC，∴②　∠1＝∠2　．又∵③　AC＝AC　，∴△ADC≌△CFA（AAS）．同理可得：④　△ADB≌△BEA（AAS）　．S△ABC＝S△ADC+S△ABD＝S矩形ADCF+S矩形AEBD＝S矩形BCFE＝ah．【答案】①∠ADC＝∠F，②∠1＝∠2，③AC＝AC，④△ADB≌△BEA（AAS）．【解答】证明：∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°．∵∠F＝90°，∴∠ADC＝∠F，∵EF∥BC，∴∠1＝∠2，∵AC＝AC，在△ADC与△CFA中，∴△ADC≌△CFA（AAS）．同理可得：④△ADB≌△BEA（AAS），∴S△ABC＝S△ADC+S△ABD＝S矩形ADCF+S矩形AEBD＝S矩形BCFE＝ah．故答案为：①∠ADC＝∠F，②∠1＝∠2，③AC＝AC，④△ADB≌△BEA（AAS）．七．几何变换综合题（共3小题）10．（2023•重庆）如图，在等边△ABC中，AD⊥BC于点D，E为线段AD上一动点（不与A，D重合），连接BE，CE，将CE绕点C顺时针旋转60°得到线段CF，连接AF．（1）如图1，求证：∠CBE＝∠CAF；（2）如图2，连接BF交AC于点G，连接DG，EF，EF与DG所在直线交于点H，求证：EH＝FH；（3）如图3，连接BF交AC于点G，连接DG，EG，将△AEG沿AG所在直线翻折至△ABC所在平面内，得到△APG，将△DEG沿DG所在直线翻折至△ABC所在平面内，得到△DQG，连接PQ，QF．若AB＝4，直接写出PQ+QF的最小值．【答案】（1）证明过程见解析；（2）证明过程见解析；（3）+2．【解答】（1）证明：∵△ABC为等边三角形，∴∠ACB＝60°，AC＝BC，∵将CE绕点C顺时针旋转60°得到线段CF，∴CE＝CF，∠ECF＝60°，∵△ABC是等边三角形，∴∠BCA＝∠ECF，∴∠BCE＝∠ACF，∴△BCE≌△ACF（SAS），∴∠CBE＝∠CAF；（2）证明：如图所示，过点F作FK∥AD，交DH点的延长线于点K，连接EK，FD，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC＝BC，∵AD⊥BC，∴BD＝CD，∴AD垂直平分BC，∴EB＝EC，又∵△BCE≌△ACF，∴AF＝BE，CF＝CE，∴AF＝CF，∴F在AC的垂直平分线上，∵AB＝BC，∴B在AC的垂直平分线上，∴BF垂直平分AC，∴AC⊥BF，AG＝CG＝AC，∴∠AGF＝90°，又∵DG＝AC＝CG，∠ACD＝60°，∴△DCG是等边三角形，∴∠CGD＝∠CDG＝60°，∴∠AGH＝∠DGC＝60°，∴∠KGF＝∠AGF﹣∠AGH＝90°﹣60°＝30°，又∵∠ADK＝∠ADC﹣∠GDC＝90°﹣60＝30°，KF∥AD，∴∠HKF＝∠ADK＝30°，∴∠FKG＝∠KGF＝30°，∴FG＝FK，在Rt△CED与Rt△CGF中，，∴Rt△CED≌Rt△CFG，∴GF＝ED，∴ED＝FK，∴四边形EDFK是平行四边形，∴EH＝HF；解法二：连接CH，证明∠CHE＝90°，可得结论．（3）解：依题意，如图所示，延长AP，DQ交于点R，由（2）可知△DCG是等边三角形，∴∠EDG＝30°，∵将△AEG沿AG所在直线翻折至△ABC所在平面内，得到△APG，将△DEG沿DG所在直线翻折至△ABC所在平面内，得到△DQG，∴∠PAG＝∠EAG＝30°，∠QDG＝∠EDG＝30°，∴∠PAE＝∠QDE＝60°，∴△ADR是等边三角形，∴∠QDC＝∠ADC﹣∠ADQ＝90°﹣60°＝30°，由（2）可得Rt△CED≌Rt△CFG，∴DE＝GF，∴DE＝DQ，∴GF＝DQ，∵∠GBC＝∠QDC＝30°，∴GF∥DQ，∴四边形GDQF是平行四边形，∴QF＝DG＝AC＝2，由（2）可知G是AC的中点，则GA＝GD，∴∠GAD＝∠GDA＝30°，∴∠AGD＝120°，∵折叠，∴∠AGP+∠DGQ＝∠AGE+∠DGE＝∠AGD＝120°，∴∠PGQ＝360°﹣2∠AGD＝120°，又PG＝GE＝GQ，∴PQ＝PG＝GQ，∴当GQ取得最小值时，即GQ⊥DR时，PQ取得最小值，此时如图所示，∴GQ＝GC＝DC＝1，∴PQ＝，∴PQ+QF＝+2．解法二：由两次翻折，推得∠PGQ＝360°﹣240°＝120°，则PQ＝PG＝EG，由QF＝DG＝2，推出PQ1+QF的最小值，只需要求出EG的最小值，当EG⊥AD时，EG的值最小，最小值为1，∴PQ+QF的最小值为+2．11．（2022•重庆）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，D为BC的中点，E，F分别为AC，AD上任意一点，连接EF，将线段EF绕点E顺时针旋转90°得到线段EG，连接FG，AG．（1）如图1，点E与点C重合，且GF的延长线过点B，若点P为FG的中点，连接PD，求PD的长；（2）如图2，EF的延长线交AB于点M，点N在AC上，∠AGN＝∠AEG且GN＝MF，求证：AM+AF＝AE；（3）如图3，F为线段AD上一动点，E为AC的中点，连接BE，H为直线BC上一动点，连接EH，将△BEH沿EH翻折至△ABC所在平面内，得到△B′EH，连接B′G，直接写出线段B′G的长度的最小值．【答案】（1）2；（2）证明见解答；（3）﹣．【解答】（1）解：如图1，连接CP，由旋转知，CF＝CG，∠FCG＝90°，∴△FCG为等腰直角三角形，∵点P是FG的中点，∴CP⊥FG，∵点D是BC的中点，∴DP＝BC，在Rt△ABC中，AB＝AC＝2，∴BC＝AB＝4，∴DP＝2；（2）证明：如图2，过点E作EH⊥AE交AD的延长线于H，∴∠AEH＝90°，由旋转知，EG＝EF，∠FEG＝90°，∴∠FEG＝∠AEH，∴∠AEG＝∠HEF，∵AB＝AC，点D是BC的中点，∴∠BAD＝∠CAD＝∠BAC＝45°，∴∠H＝90°﹣∠CAD＝45°＝∠CAD，∴AE＝HE，∴△EGA≌△EFH（SAS），∴AG＝FH，∠EAG＝∠H＝45°，∴∠EAG＝∠BAD＝45°，∵AB⊥AC，HE⊥AC，∴AB∥HE，∴∠AMF＝∠HEF，∵△EGA≌△EFH，∴∠AEG＝∠HEF，∵∠AGN＝∠AEG，∴∠AGN＝∠HEF，∴∠AGN＝∠AMF，∵GN＝MF，∴△AGN≌△AMF（AAS），∴AG＝AM，∵AG＝FH，∴AM＝FH，∴AF+AM＝AF+FH＝AH＝AE；（3）解：∵点E是AC的中点，∴AE＝AC＝，根据勾股定理得，BE＝＝，由折叠知，BE＝B'E＝，∴点B'是以点E为圆心，为半径的圆上，由旋转知，EF＝EG，∴点G在点A右侧过点A与AD垂直且等长的线段上，∴B'G的最小值为B'E﹣EG，要B'G最小，则EG最大，即EF最大，∵点F在AD上，∴点F在点A或点D时，EF最大，最大值为，∴线段B′G的长度的最小值﹣．12．（2021•重庆）在等边△ABC中，AB＝6，BD⊥AC，垂足为D，点E为AB边上一点，点F为直线BD上一点，连接EF．（1）将线段EF绕点E逆时针旋转60°得到线段EG，连接FG．①如图1，当点E与点B重合，且GF的延长线过点C时，连接DG，求线段DG的长；②如图2，点E不与点A，B重合，GF的延长线交BC边于点H，连接EH，求证：BE+BH＝BF；（2）如图3，当点E为AB中点时，点M为BE中点，点N在边AC上，且DN＝2NC，点F从BD中点Q沿射线QD运动，将线段EF绕点E顺时针旋转60°得到线段EP，连接FP，当NP+MP最小时，直接写出△DPN的面积．【答案】（1）①；②证明见解答过程；（2）．【解答】解：（1）①过D作DH⊥GC于H，如图：∵线段EF绕点E逆时针旋转60°得到线段EG，点E与点B重合，且GF的延长线过点C，∴BG＝BF，∠FBG＝60°，∴△BGF是等边三角形，∴∠BFG＝∠DFC＝60°，BF＝GF，∵等边△ABC，AB＝6，BD⊥AC，∴∠DCF＝180°﹣∠BDC﹣∠DFC＝30°，∠DBC＝∠ABC＝30°，CD＝AC＝AB ＝3，∴∠BCG＝∠ACB﹣∠DCF＝30°，∴∠BCG＝∠DBC，∴BF＝CF，∴GF＝CF，Rt△FDC中，CF＝＝＝2，∴GF＝2，Rt△CDH中，DH＝CD•sin30°＝，CH＝CD•cos30°＝，∴FH＝CF﹣CH＝，∴GH＝GF+FH＝，Rt△GHD中，DG＝＝；②过E作EP⊥AB交BD于P，过H作MH⊥BC交BD于M，连接PG，作BP中点N，连接EN，如图：∵EF绕点E逆时针旋转60°得到线段EG，∴△EGF是等边三角形，∴∠EFG＝∠EGF＝∠GEF＝60°，∠EFH＝120°，EF＝GF，∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝60°，∴∠ABC+∠EFH＝180°，∴B、E、F、H共圆，∴∠FBH＝∠FEH，而△ABC是等边三角形，BD⊥AC，∴∠DBC＝∠ABD＝30°，即∠FBH＝30°，∴∠FEH＝30°，∴∠FHE＝180°﹣∠EFH﹣∠FEH＝30°，∴EF＝HF＝GF①，∵EP⊥AB，∠ABD＝30°，∴∠EPB＝60°，∠EPF＝120°，∴∠EPF+∠EGF＝180°，∴E、P、F、G共圆，∴∠GPF＝∠GEF＝60°，∵MH⊥BC，∠DBC＝30°，∴∠BMH＝60°，∴∠BMH＝∠GPF②，而∠GFP＝∠HFM③，由①②③得△GFP≌△HFM（AAS），∴PF＝FM，∵EP⊥AB，BP中点N，∠ABD＝30°，∴EP＝BP＝BN＝NP，∴PF+NP＝FM+BN，∴NF＝BM，Rt△MHB中，MH＝BM，∴NF＝MH，∴NF+BN＝MH+EP，即BF＝MH+EP，Rt△BEP中，EP＝BE•tan30°＝BE，Rt△MHB中，MH＝BH•tan30°＝BH，∴BF＝BE+BH，∴BE+BH＝BF；补充方法：构造等腰△BFM，使∠BFM＝∠EFH＝120°，且BF＝MF，如图：∴∠FBM＝∠FBH＝30°，∴BM与BH共线，可证△BEF≌△MHF（SAS），∴BE+BH＝HM+BH＝BM，而∠BFM＝120°，且BF＝MF，可得BM＝BF，∴BE+BH＝BF；（2）以M为顶点，MP为一边，作∠PML＝30°，ML交BD于G，过P作PH⊥ML于H，设MP交BD于K，如图：Rt△PMH中，HP＝MP，∴NP+MP最小即是NP+HP最小，此时N、P、H共线，∵将线段EF绕点E顺时针旋转60°得到线段EP，∴F在射线QF上运动，则P在射线MP上运动，根据“瓜豆原理”，F为主动点，P是从动点，E为定点，∠FEP＝60°，则F、P轨迹的夹角∠QKP＝∠FEP＝60°，∴∠BKM＝60°，∵∠ABD＝30°，∴∠BMK＝90°，∵∠PML＝30°，∴∠BML＝60°，∴∠BML＝∠A，∴ML∥AC，∴∠HNA＝180°﹣∠PHM＝90°，而BD⊥AC，∴∠BDC＝∠HNA＝∠PHM＝90°，∴四边形GHND是矩形，∵等边△ABC中，AB＝6，BD⊥AC，∴CD＝3，又DN＝2NC，∴DN＝GH＝2，∵等边△ABC中，AB＝6，点E为AB中点时，点M为BE中点，∴BM＝，BD＝AB•sin A＝6×sin60°＝3，Rt△BGM中，MG＝BM＝，BG＝BM•cos30°＝，∴MH＝MG+GH＝，GD＝BD﹣BG＝，Rt△MHP中，HP＝MH•tan30°＝，∴PN＝HN﹣HP＝GD﹣HP＝，∴S△DPN＝PN•DN＝．八．解直角三角形的应用-方向角问题（共1小题）13．（2022•重庆）湖中小岛上码头C处一名游客突发疾病，需要救援．位于湖面B点处的快艇和湖岸A处的救援船接到通知后立刻同时出发前往救援．计划由快艇赶到码头C接该游客，再沿CA方向行驶，与救援船相遇后将该游客转运到救援船上．已知C在A的北偏东30°方向上，B在A的北偏东60°方向上，且在C的正南方向900米处．（1）求湖岸A与码头C的距离（结果精确到1米，参考数据：≈1.732）；（2）救援船的平均速度为150米/分，快艇的平均速度为400米/分，在接到通知后，快艇能否在5分钟内将该游客送上救援船？请说明理由．（接送游客上下船的时间忽略不计）【答案】（1）1559米；（2）快艇能在5分钟内将该游客送上救援船．【解答】解：（1）如图，延长CB到D，则CD⊥AD于点D，根据题意可知：∠NAC＝∠CAB＝30°，BC＝900米，BC∥AN，∴∠C＝∠NAC＝30°＝∠BAD，∴AB＝BC＝900米，∵∠BAD＝30°，∴BD＝450米，∴AD＝BD＝450（米），∴AC＝2AD＝900≈1559（米）答：湖岸A与码头C的距离约为1559米；（2）设快艇在x分钟内将该游客送上救援船，∵救援船的平均速度为150米/分，快艇的平均速度为400米/分，∴150x+（400x﹣900）＝1559，∴x≈4.5，答：快艇能在5分钟内将该游客送上救援船．。

2021重庆中考复习数学第18题专题训练一(含答案解析) (1)(1)

2021 重庆中考复习数学第 18 题专题训练一（含答案解析）一、线段最小值问题例1、（2016•内乡县二模）如图，边长为6 的等边三角形ABC 中，E 是对称轴AD 上的一个动点，连接EC，将线段EC 绕点C 逆时针转60°得到FC，连接DF．则在点E 运动过程中，DF 的最小值是练习：如图，在△ABC 中，∠BAC＝90°，D 是BC 的中点，E 是直线AD 上的一个动点，连接EC，将线段EC 绕点 C 逆时针旋转45°得到FC，连接DF，则在点 E 运动过程中，DF 的最小值是．例2、如图，边长为8 的正方形ABCD 中，动点P 在CD 边上，以AP 为直角边向上作等腰Rt△APE，边PE 与BC 交于点F，连接BE.则线段BE 在运动过程的最小值为.练习：如图，正方形ABCD 的边长为2，点E、F 分别是边AB、CD 上的动点，且AE＝CF，连接EF，将线段EF 绕点E 逆时针旋转90°得到线段EG，连接DG，则线段DG 长的最小值为．例3、（2019 春•鄞州区期末）如图，矩形ABCD 中，AB＝2，BC＝4，点E 是矩形ABCD 的边AD 上的一动点，以CE 为边，在CE 的右侧构造正方形CEFG，连结AF，则AF 的最小值为．练习：（2019 春•梁溪区期末）如图，正方形ABCD 中，AB＝4，点E 为边AD 上一动点，连接CE，以CE 为边，作正方形CEFG（点D、F 在CE 所在直线的同侧），H 为CD 中点，连接FH．点E 在运动过程中，HF 的最小值为．AGE DH例4、（2019•惠山区一模）如图，正方形ABCD 中，O 是BC 边的中点，点 E 是正方形内一动点，OE＝2，连接DE，将线段DE 绕点D 逆时针旋转90°得DF，连接AE，CF，OF．则线段OF 长的最小值练习：（2019•南充模拟）如图，正方形ABCD 的边长为，O 是BC 边的中点，P 是正方形内一动点，且OP ＝2，连接DP，将线段DP 绕点D 逆时针旋转90°到DQ，连接AP，CQ，PQ，则线段PQ 的最小值为．例5、（2019•宿迁）如图，正方形ABCD 的边长为4，E 为BC 上一点，且BE＝1，F 为AB 边上的一个动点，连接EF，以EF 为边向右侧作等边△EFG，连接CG，则CG 的最小值为．练习：1、（2019 秋•东台市期中）如图，正方形ABCD 中边长为6，E 为BC 上一点，且BE＝1.5，F 为AB 边上的一个动点，连接EF，以EF 为边向右侧作等边△EFG，连接CG，则CG 的最小值为．2、如图，长方形ABCD 中，AB=6，BC=8，E 为BC 上一点，且BE＝2，F 为AB 边上的一个动点，连接EF，将EF 绕着点 E 顺时针旋转45˚到EG 的位置，连接FG 和CG，则CG的最小值为．例6、（2019•锡山区一模）在平面直角坐标系中，已知A（2，4）、P（1，0），B 为y 轴上的动点，以AB 为边构造△ABC，使点C 在x 轴上，∠BAC＝90°．M 为BC 的中点，则PM 的最小值为．练习：在平面直角坐标系中，已知A（4，8）、P（2，0），B 为y 轴上的动点，以AB 为边构造△ABC，使点C 在x 轴上，∠BAC＝90°．M 为BC 的中点，则PM 的最小值为．例7、（2017 秋•上虞区期末）如图，矩形ABCD 中，已知AB＝6，BC＝8，点E 是边AD 上一点，以CE 为直角边在与点D 的同侧作等腰直角△CEG，连结BG，当点E 在边AD 上运动时，线段BG 长度的最小值是练习：（2017•龙华区二模）如图，在平面直角坐标系中，已知矩形OABC 的顶点A 在x 轴上，OA＝4，OC＝3，点D 为BC 边上一点，以AD 为一边在与点B 的同侧作正方形ADEF，连接OE．当点D 在边BC 上运动时，OE 的长度的最小值是．例8、如图，线段AB＝8，D 为AB 的中点，点E 是平面内一动点，且满足DE＝2，连接BE，将BE 绕点E 逆时针旋转90°得到EC，连接AC、BC，则线段AC 长度的最大值为．二、线段和最小值问题例1、如图，在正方形ABCD 中，AB＝6，E 是BC 边的中点，F 是CD 边上的一点，且DF＝2，若M、N 分别是线段AD、AE 上的动点，则MN+MF 的最小值为．练习：如图，矩形ABCD 中，AB＝4，AD＝6，点E，F 分别是AB，BC 边上的两动点，且EF＝2，点G 为EF 的中点，点H 为AD 边上一动点，连接CH，GH，则GH+CH 的最小值为9 .例2、（2016 春•青山区期中）如图，在矩形ABCD 中，AB＝2，BC＝4，点E 和点F 分别是AC 和BC 上的动点，在点E 和点F 运动的过程中，BE+EF 的最小值为练习：1、（2017 春•东西湖区期中）如图，在▱ABCD 中，AB＝2，AB AC ，∠D＝60°，点P、Q 分别是AC和BC 上的动点，在点P 和点Q 运动的过程中，PB+PQ 的最小值2、如图，矩形ABCD 中，AB＝3，BC＝4，点M、点N 分别在BD、BC 上，则CM+MN 的最小值为．例3、（2019 春•新吴区期末）如图，菱形ABCD 的边长为4，∠A＝60°，E 是边AD 的中点，F 是边AB 上的一个动点将线段EF 绕着点E 逆时针旋转60°得到EG，连接BG、CG，则BG+CG 的最小值为.练习：如图，在平行四边形ABCD 中，M 是AD 边的中点，N 是AB 边上一动点，将线段MN 绕点M 逆时针旋转90 至MN′，连接N′B，N′C，则N′B+N′C 的最小值是．例4、（2015•石家庄模拟）如图，已知在矩形ABCD 中，AB＝4，BC＝2，点M，E 在AD 上，点F 在边AB 上，并且DM＝1，现将△AEF 沿着直线EF 折叠，使点A 落在边CD 上的点P 处，则当PB+PM 最小时，ME 的长度为例5、（2019 春•张家港市期末）如图，矩形ABCD 中，AB＝8，BC＝4，P，Q 分别是直线AB，AD 上的两个动点，点E 在边CD 上，DE＝2，将△DEQ 沿EQ 翻折得到△FEQ，连接PF，PC，则PF+PC 的最小值为练习：（2019 春•邗江区校级月考）如图，矩形ABCD 中，AB＝2，BC＝4，P，Q 分别是BC，AB 上的两个动点，AE＝1，△AEQ 沿EQ 翻折形成△FEQ，连接PF，PD，则PF+PD 的最小值是．例6、（2018•朝阳区二模）如图，在矩形ABCD 中，AB＝1，AD＝2，E 是边AD 的中点，F 是边AB 上的一个动点，连结EF，过点E 作EG⊥EF 交BC 于点G．则AF+EF+CG 的最小值为 2 ．练习：如图，在矩形ABCD 中，AB＝4，AD＝8，E 是边AD 的中点，F 是边AB 上的一个动点，连结EF，过点E 作EG⊥EF 交BC 于点G．则AF+EF+CG 的最小值为．例7、如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知点A（1，0），点C 是y 轴上的动点，线段CA 绕着点C 按逆时针方向旋转90°至线段CB，CA＝CB，连接BO、BA，则BO+BA 的最小值是．例8、如图，矩形ABCD 中，AB＝3，AD＝4，点E、F 分别是边BC 和对角线BD 上的动点，且BE＝DF，则AE+AF 的最小值是．例1、（2018 秋•成都期末）如图，在矩形ABCD 中，AB＝6，AD＝3，M 是AD 边的中点，N 是AB 边上的一动点，将△AMN 沿MN 所在直线翻折得到△A'MN，连接A'C．在MN 上存在一动点P．连接A'P、CP，则△A'PC 周长的最小值是．例2、（2019 春•雨花区校级期中）如图，在平行四边形ABCD 中，AB＝10，AD＝16，∠A＝60°，P 是射线AD 上一点，连接PB，沿PB 将△APB 折叠，得△A'PB．当点P 为AD 中点时，点F 是边AB 上不与点A，B 重合的一个动点，将△APF 沿PF 折叠，得到△A'PF，连接BA'，则△BA'F 周长的最小值为．练习：如图，在平行四边形ABCD 中，AB＝8，AD＝12，∠A＝60°，P 是射线AD 上一点，连接PB，沿PB 将△APB 折叠，得△A'PB．当点P 为AD 中点时，点F 是边AB 上不与点A，B 重合的一个动点，将△APF 沿PF 折叠，得到△A'PF，连接BA'，则△BA'F 周长的最小值为．例1、如图，已知，在矩形ABCD 中，AD＝2，AB＝4，点E，F 是边CD 上的动点（点F 在点E 右侧），且EF＝1，则四边形ABFE 周长的最小值为．练习：1、（2018 秋•金牛区校级月考）在矩形ABCD 中，AB＝8，BC＝10，G 为AD 边的中点．如图，若E、F为边AB 上的两个动点，且EF＝4，当四边形CGEF 的周长最小时，则求AF 的长为．G例2、（2019•长丰县二模）如图，矩形ABCD 中，AB＝5，AD＝10，点E，F，G，H 分别在矩形各边上，点F，H 为不动点，点E，G 为动点，若要使得AF＝CH，BE＝DG，则四边形EFGH 周长的最小值为练习：（2018•保定一模）如图，矩形ABCD 中，AB＝8，BC＝6，点E，F，G，H 分别在矩形ABCD 各边上，且AE＝CG，BF＝DH，则四边形EFGH 周长的最小值为五、三角形面积最小值问题例1、（2018•无锡）如图，矩形ABCD 中，AB＝4，AD＝2，E 为边AD 上一个动点，连结BE，取BE 的中点G，点G 绕点E 逆时针旋转90°得到点F，连结CF，则△CEF 面积的最小值是例2、（2016•江东区一模）如图，点E 为正方形ABCD 中AD 边上的动点，AB＝2，以BE 为边画正方形BEFG，连结CF 和CE，则△CEF 面积的最小值为．例3、（八中定时练习六18 题2019•无锡）如图,在△ABC 中，AB =AC = 5, BC = 4 ，D 为边AB 上一动点(B 点除外),以CD 为一边作正方形CDEF，连接BE，则∆BDE 面积的最大值为.例4、（2019 秋•青山区期中）如图，在△ABC 中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝6，D 为边AB 上一动点（不与B 点重合），连接CD，将线段CD 绕着点D 逆时针旋转90°得到DE，连接BE，则△BDE 的面积的最大值为．5例5、（2018 秋•西安期末）如图，△ABC 中，点 D 是边AB 上任意一点，以CD 为边在AD 的右侧作等边△DCE，连接BE，则△BDE 面积的最大值为．例6、（2013 春•建湖县期中）如图，在△ABC 中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D 为射线BC 上一动点，以AD 为边作正方形ADEF，连接CF．当点D 在线段BC 上时，若BC＝2，CF 交DE 于点P，连接AP，则△ACP 的面积的最大值为．六、四边形面积最小值问题例1、如图，已知在菱形ABCD 中，AB＝1，且∠A＝30°，E、F、G、H 分别时AB、BC、CD、DA 上的点，且AE＝BF＝CG＝DH．设AE＝x（0≤x≤1）．则四边形EFGH 的面积的最小值为练习：如图，已知在菱形ABCD 中，AB＝4，且∠A＝30°，E、F、G、H 分别时AB、BC、CD、DA 上的点，且AE＝BF＝CG＝DH．设AE＝x（0≤x≤1）．则四边形EFGH 的面积的最小值为例2、如图．矩形ABCD 中，AB＝6，BC＝8，点E 是AB 边上一点，且AE＝4，点F 是EC 边上的任意一点，把△BEF 沿EF 翻折，点B 的对应点为G，连接AG、CG，当四边形AGCD 的面积有最小值时，BF 的长度为．练习：1、（2019•龙泉驿区模拟）如图，矩形ABCD 中，AB＝3，BC＝4，点E 是AB 边上一点，且AE＝2，点F是边BC 上的任意一点，把△BEF 沿EF 翻折，点B 的对应点为G，连接AG，CG，则四边形AGCD 的面积的最小值为．2、如图，矩形ABCD 中，AB＝3，BC＝4，点E 是AB 边上一点，且AE＝2，点F 是BC 边上的任意一点，把△BEF 沿EF 翻折，点B 的对应点为G，连接AG、CG，当四边形AGCD 的面积最小时，BF 的长度为．2020 重庆中考复习数学第 18 题专题训练一（含答案解析）一、线段最小值问题例1、（2016•内乡县二模）如图，边长为6 的等边三角形ABC 中，E 是对称轴AD 上的一个动点，连接EC，将线段EC 绕点C 逆时针转60°得到FC，连接DF．则在点E 运动过程中，DF 的最小值是解：取线段AC 的中点G，连接EG，如图所示．∵△ABC 为等边三角形，且AD 为△ABC 的对称轴，∴CD＝CG＝AB＝3，∠ACD＝60°，∵∠ECF＝60°，∴∠FCD＝∠ECG．在△FCD 和△ECG 中，，∴△FCD≌△ECG（SAS），∴DF＝GE．当EG∥BC 时，EG 最小，∵点G 为AC 的中点，∴此时CD＝．练习：如图，在△ABC 中，∠BAC＝90°，D 是BC 的中点，E 是直线AD 上的一个动点，连接EC，将线段EC 绕点C 逆时针旋转45°得到FC，连接DF，则在点E 运动过程中，DF 的最小值是2﹣．解：如图，在AC 上取一点G，使CG＝CD，连接EG，∵AB＝AC＝2，∠BAC＝90°∴∠ACB＝45°，∴CD＝2•cos45°＝2，∵旋转角为45°，∴∠ECD+∠DCF＝45°，又∵∠ECD+∠GCE＝∠ACB＝45°，∴∠DCF＝∠GCE，∵AD 是等腰直角△ABC 的对称轴BC，∵CD＝CG，又∵CE 旋转到CF，∴CE＝CF，在△DCF 和△GCE 中，，∴△DCF≌△GCE（SAS），∴DF＝EG，根据垂线段最短，EG⊥AD 时，EG 最短，即DF 最短，EN 2 +NB2(8 -x)2 +x22(x - 4)2 ) + 32∵∠CAD＝×90°＝45°，AG＝AC﹣CG＝2 ﹣2，∴EG＝AG•sin45°＝（2 ＝2﹣，∴DF＝2﹣．例2、如图，边长为8 的正方形ABCD 中，动点P 在CD 边上，以AP 为直角边向上作等腰Rt△APE，边PE 与BC 交于点F，连接BE.则线段BE 在运动过程的最小值为.MN解：如图，过点E 作EM⊥CD 于M，过点E 作EN⊥CB 于N．设CP＝x，则EN＝MC=8﹣x，NB＝x，∴BE ===，∴当x = 4 时，BE 的值最小，最小值为．练习：如图，正方形ABCD 的边长为2，点E、F 分别是边AB、CD 上的动点，且AE＝CF，连接EF，将线段EF 绕点E 逆时针旋转90°得到线段EG，连接DG，则线段DG 长的最小值为．解：如图，过点F 作FM⊥AB 于M，过点G 作GH⊥AD 于H，GN⊥AB 于N，∵四边形ABCD 是正方形，∴AB＝BC＝AD＝CD＝2，∠B＝∠C＝∠BAD＝90°，且FM⊥AB，GH⊥AD，GN⊥AB，∴四边形BCFM，四边形AHGN 是矩形，∴BM＝CF，NG＝AH，AN＝GH，MF＝BC＝2，∵将线段 EF 绕点 E 逆时针旋转 90°得到线段 EG ，∴EG ＝EF ，∠GEF ＝90°，∴∠NEG +∠FEM ＝90°，且∠NGE +∠NEG ＝90°，∴∠FEM ＝∠NGE ，且∠N ＝∠FME ＝90°，EF ＝EG ，∴△EGN ≌△EFM （AAS ）∴NE ＝MF ＝2，EM ＝NG ，设 AE ＝CF ＝a ，∴EM ＝2﹣2a ＝NG ＝AH ，AN ＝2﹣a ＝GH ，∴HD ＝AD ﹣AH ＝2﹣（2﹣2a ）＝2a ， ∵GD ＝∴当时，GD 有最小值，例 3、（2019 春•鄞州区期末）如图，矩形 ABCD 中，AB ＝2，BC ＝4，点 E 是矩形 ABCD 的边 AD 上的一动点，以 CE 为边，在 CE 的右侧构造正方形 CEFG ，连结 AF ，则 AF的最小值为 3．解：过 F 作 FH ⊥ED ，∵正方形 CEFG ，∴EF ＝EC ，∠FEC ＝∠FED +∠DEC ＝90°，∵FH ⊥ED ，∴∠FED +∠EFH ＝90°，∴∠DEC ＝∠EFH ，且 EF ＝EC ，∠FHE ＝∠EDC ＝90°，∴△EFH ≌△EDC （AAS ），∴EH ＝DC ＝2，FH ＝ED ，＝＝∴当 AE ＝1 时，AF 的最小值为 3练习：（2019 春•梁溪区期末）如图，正方形 ABCD 中，AB ＝4，点 E 为边 AD 上一动点，连接 CE ，以 CE 为边，作正方形 CEFG （点 D 、F 在 CE 所在直线的同侧），H 为 CD 中点，连接 FH ．点 E 在运动过程中， HF 的最小值为．A GBC图 1EDH解：如图1，连接DF，过点F 作FM⊥AD，交AD 延长线于点M，过点F 作FN⊥CD 的延长线于点N，∵△EFM≌△CED，∴CD＝EM，DE＝FM，∴CD＝AD＝EM，∴AE＝DM，设AE＝x＝DM，则DE＝4﹣x＝FM，∵FN⊥CD，FM⊥AD，ND⊥AD，∴四边形FNDM 是矩形，∴FN＝DM＝x，FM＝DN＝4﹣x∴NH＝4﹣x+2＝6﹣x，在Rt△NFH 中＝＝∴当x＝3 时，HF 有最小值＝3.例4、（2019•惠山区一模）如图，正方形ABCD 中，O 是BC 边的中点，点 E 是正方形内一动点，OE＝2，连接DE，将线段DE 绕点D 逆时针旋转90°得DF，连接AE，CF，OF．则线段OF 长的最小值解法一：如图，连接DO，将线段DO 绕点D 逆时针旋转90°得DM，连接OF，FM，OM，∵∠EDF＝∠ODM＝90°，∴∠EDO＝∠FDM，∵DE＝DF，DO＝DM，∴△EDO≌△FDM（SAS），∴FM＝OE＝2，∵正方形ABCD 中，AB＝2 ，O 是BC 边的中点，∴OC＝，∴OM＝，∵OF+MF≥OM，∴OF≥．故选：D．解法二：如图，由于OE＝2，所以E 点可以看作是以O 为圆心，2 为半径的半圆上运动，延长BA 到P 点，使得AP＝OC，连接PE，∵AE＝CF，∠PAE＝∠OCF，∴△PAE≌△OCF，∴PE＝OF，当O、E、P 三点共线时，PE 最小＝＝5 ，∴PE＝OF＝OP﹣OE＝5﹣2，∴OF 的最小值是﹣2．练习：（2019•南充模拟）如图，正方形ABCD 的边长为，O 是BC 边的中点，P 是正方形内一动点，且OP ＝2，连接DP，将线段DP 绕点D 逆时针旋转90°到DQ，连接AP，CQ，PQ，则线段PQ 的最小值为．解：连接OD，如图所示DP，OD＝＝＝5，∵OP+DP≥OD，∴DP≥OD﹣OP＝5﹣2＝3，∴PQ≥3，∴线段PQ 的最小值为．例5、（2019•宿迁）如图，正方形ABCD 的边长为4，E 为BC 上一点，且BE＝1，F 为AB 边上的一个动点，连接EF，以EF 为边向右侧作等边△EFG，连接CG，则CG 的最小值为．解：由题意可知，点F 是主动点，点G 是从动点，点F 在线段上运动，点G 也一定在直线轨迹上运动将△EFB 绕点E 旋转60°，使EF 与EG 重合，得到△EFB≌△EHG，从而可知△EBH 为等边三角形，点G 在垂直于HE 的直线HN 上，作CM⊥HN，则CM 即为CG 的最小值，作EP⊥CM，可知四边形HEPM 为矩形，则EC＝1+＝，CG 的最小值．练习：1、（2019 秋•东台市期中）如图，正方形ABCD 中边长为6，E 为BC 上一点，且BE＝1.5，F 为AB 边上的一个动点，连接EF，以EF 为边向右侧作等边△EFG，连接CG，则CG 的最小值为．解：由题意可知，点F 是主动点，点G 是从动点，点F 在线段上运动，点G 也一定在直线轨迹上运动将△EFB 绕点E 旋转60°，使EF 与EG 重合，得到△EFB≌△EHG，从而可知△EBH 为等边三角形，点G 在垂直于HE 的直线HN 上，作CM⊥HN，则CM 即为CG 的最小值，作EP⊥CM，可知四边形HEPM 为矩形，则CM＝MP+CP＝HE+ EC＝＝，故CG 的最小值为：．2、如图，长方形ABCD 中，AB=6，BC=8，E 为BC 上一点，且BE＝2，F 为AB 边上的一个动点，连接EF，将EF 绕着点 E 顺时针旋转45˚到EG 的位置，连接FG 和CG，则CG的最小值为．解析：例6、（2019•锡山区一模）在平面直角坐标系中，已知A（2，4）、P（1，0），B 为y 轴上的动点，以AB 为边构造△ABC，使点C 在x 轴上，∠BAC＝90°．M 为BC 的中点，则PM 的最小值为．解：如图，作AH⊥y 轴于H，CE⊥AH 于E．则四边形CEHO 是矩形，OH＝CE＝4，∵∠BAC＝∠AHB＝∠AEC＝90°，∴∠ABH+∠HAB＝90°，∠HAB+∠EAC＝90°，∴∠ABH＝∠EAC，∴△AHB∽△CEA，∴＝，∴＝，∴AE＝2BH，设BH＝x 则AE＝2x，∴OC＝HE＝2+2x，OB＝4﹣x，∴B（0，4﹣x），C（2+2x，0）∵BM＝CM，∴M（1+x，），∵P（1，0），∴PM＝＝，∴当x＝时，PM 有最小值，最小值为．x 2+ (8-x )2 25 x 2 - 4x + 16 4 练习：在平面直角坐标系中，已知 A （4，8）、P （2，0），B 为 y 轴上的动点，以 AB 为边构造△ABC ，使点 C在 x 轴上，∠BAC ＝90°．M 为 BC 的中点，则 PM 的最小值为．解：如图，作 AH ⊥y 轴于 H ，CE ⊥AH 于 E ．则四边形 CEHO 是矩形，OH ＝CE ＝8，∵∠BAC ＝∠AHB ＝∠AEC ＝90°，∴∠ABH +∠HAB ＝90°，∠HAB +∠EAC ＝90°， ∴∠ABH ＝∠EAC ，∴△AHB ∽△CEA ，∴ ＝，∴ 4 = BH ，8 AE ∴AE ＝2BH ，设 BH ＝x 则 AE ＝2x ，∴OC ＝HE ＝4+2x ，OB ＝8﹣x ，∴B （0，8﹣x ），C （4+2x ，0）∵BM ＝CM ，∴M （2+x ， 8 - x），∵P （2，0），2∴ PM = = =∴当 x = 8 时，PM 有最小值 4 30．5 5例 7、（2017 秋•上虞区期末）如图，矩形 ABCD 中，已知 AB ＝6，BC ＝8，点 E 是边 AD 上一点，以 CE 为直角边在与点 D 的同侧作等腰直角△CEG ，连结 BG ，当点 E 在边 AD 上运动时，线段 BG 长度的最小值是解：如图作 GH ⊥BA 交 BA 的延长线于 H ，EM ⊥HG 于 M ，交 BC 于 N ．则 MN ⊥BC ．设 AE ＝m ．∵∠EMG ＝∠ENC ＝∠CEG ＝90°，∴∠MEG +∠CEN ＝90°，∠CEN +∠ECN ＝90°，∴∠MEG ＝∠ECN ，∵EG ＝EC ，∴△MEG ≌△NCE （AAS ），∴EM ＝CN ＝AH ＝8﹣m ，MG ＝EN ＝6，在 Rt △BHG 中＝＝，∴当 m ＝4 时，BG 有最大值，最大值为．5 (x - 8)2 + 96 4 5 5练习：（2017•龙华区二模）如图，在平面直角坐标系中，已知矩形OABC 的顶点A 在x 轴上，OA＝4，OC＝3，点D 为BC 边上一点，以AD 为一边在与点B 的同侧作正方形ADEF，连接OE．当点D 在边BC 上运动时，OE 的长度的最小值是 5 ．解：如图所示：过点D 作DG⊥OA，过点E 作HE⊥DG．∵DG⊥OA，HE⊥DG，∴∠EHD＝∠DGA＝90°．∴∠GDA+∠DAG＝90°．∵四边形ADEF 为正方形，∴DE＝AD，∠HDE+∠GDA＝90°．∴∠HDE＝∠GAD．在△HED 和△GDA 中，∴△HED≌△GDA．∴HE＝DG＝3，HD＝AG．设D（a，3），则DC＝a，DH＝AG＝4﹣a．∴E（a+3，7﹣a）．∴OE＝＝．当a＝2 时，OE 有最小值，最小值为．例8、如图，线段AB＝8，D 为AB 的中点，点E 是平面内一动点，且满足DE＝2，连接BE，将BE 绕点E 逆时针旋转90°得到EC，连接AC、BC，则线段AC 长度的最大值为 6 ．解：以BD 为直角边在BD 上方作等腰直角三角形BOD，如图，连接CO、AO．则，又．∵E 点运动轨迹是以E 为圆心，DE＝2 为半径的圆，∴C 点运动的轨迹是以O 为圆心为半径的圆．∵AC≤AO+OC，AO＝4，OC＝2．∴AC 最大值为+2＝6．二、线段和最小值问题例1、如图，在正方形ABCD 中，AB＝6，E 是BC 边的中点，F 是CD 边上的一点，且DF＝2，若M、N 分别是线段AD、AE 上的动点，则MN+MF 的最小值为．解：作点F 关于AD 的对称点G，过G 作GN⊥AE 与N，交AD 于M，则GN 的长度等于MN+MF 的最小值，∵△DGM≌△DGF，∴∠DMF＝∠GMD，∵∠GMD＝∠AMN，∠AMN+∠MAN＝∠MAN+∠BAE＝90°，∴∠FMD＝∠BAE＝∠AMN，∴△ABE∽△DMF∽△AMN，∴，∵AB＝6，∴BE＝3，∵DF＝2，∴DM＝4，∴AM＝2，∵，∴MN＝，∵GM＝2 ，∴GN＝GM+MN＝MN+MF＝+2 ．∴MN+MF 的最小值．练习：如图，矩形ABCD 中，AB＝4，AD＝6，点E，F 分别是AB，BC 边上的两动点，且EF＝2，点G 为EF 的中点，点H 为AD 边上一动点，连接CH，GH，则GH+CH 的最小值为9.解：由已知，点G 在以B 圆心，1 为半径的圆在与长方形重合的弧上运动．作C 关于AD 的对称点C′，连接C′B，交AD 于H，交以D 为圆心，以1 为半径的圆于G 由两点之间线段最短，此时C′B 的值最小，则GH+CH 的最小值C′G＝10﹣1＝9．例2、（2016 春•青山区期中）如图，在矩形ABCD 中，AB＝2，BC＝4，点E 和点F 分别是AC 和BC 上的动点，在点E 和点F 运动的过程中，BE+EF 的最小值为AP解：如图，作点B 关于 AC 的对称点 B ′，过点 B ′作 B ′F ⊥BC 于 F ，交 AC 于 E ，连接 CB ′交 AD于 P ，连接 BE ，∵四边形 ABCD 是矩形，∴AD ∥BC ，∴∠BCA ＝∠PAC ，∵点 B 关于 AC 的对称点是 B ′，∴∠PCA ＝∠BCA ，∴∠PAC ＝∠PCA ，∴PA ＝PC ．令 P A ＝x ，则 PC ＝x ，PD ＝4﹣x ．在 Rt △CDP 中，∵PC 2＝PD 2+CD 2，∴x 2＝（4﹣x ）2+22，∴x ＝2.5， ∵co s ∠B ′CF ＝co s ∠CP D ，∴CF ：B ′C ＝DP ：CP ，∴CF ：4＝1.5：2.5，∴CF ＝，∴B ′F ＝＝，∴BE +EF 的最小值为．练习：1、（2017 春•东西湖区期中）如图，在▱ABCD 中，AB ＝2， AB ⊥ AC ，∠D ＝60°，点 P 、Q 分别是 AC 和 BC 上的动点，在点 P 和点 Q 运动的过程中，PB +PQ 的最小值FDBC解：作点 B 关于 AC 的对称点 F ，连接 CF ，作 FQ ⊥ BC 交 AC 于点P ，则 FQ 的长即为 PB +PQ 的最小值（垂线段最短），易知 △BCF 是等边三角形，∴BP +PQ 的最小值为． 2 、如图，矩形 ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4，点 M 、点 N 分别在 BD 、BC 上，则 CM +MN 的最小值为．解：如图，作出点C 关于BD 的对称点E，过点E 作EN⊥BC 于N，交BD 于M，连接CM，此时CM+MN ＝EN 最小；∵四边形ABCD 是矩形，∴∠BCD＝90°，CD＝AB＝3，根据勾股定理得，BD＝5，∵CE⊥BC，∴BD×CF＝BC×CD，∴CF＝＝，由对称得，在Rt△BCF 中＝，∴sin∠BCF＝，在Rt△CEN 中＝；即：CM+MN 的最小值；例3、（2019 春•新吴区期末）如图，菱形ABCD 的边长为4，∠A＝60°，E 是边AD 的中点，F 是边AB 上的一个动点将线段EF 绕着点E 逆时针旋转60°得到EG，连接BG、CG，则BG+CG 的最小值为.解：如图，取AB 的中点N．连接EN，EC，GN，作EH⊥CD 交CD 的延长线于H．∵四边形ABCD 是菱形，∴AD＝BD，∵AE＝ED，AN＝NB，∴AE＝AN，∵∠A＝60°，∴△AEN 是等边三角形，∴∠AEN＝∠FEG＝60°，∴∠AEF＝∠NEG，∵EA＝EN，EF＝EG，∴△AEF≌△NEG（SAS），∴∠ENG＝∠A＝60°，∵∠ANE＝60°，∴∠GNB＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∴点G 的运动轨迹是射线NG，易知B，E 关于射线NG 对称，∴GB＝GE，∴GB+GC＝GE+GC≥EC，在Rt△DEH 中，∵∠H＝90°，DE＝2，∠EDH＝60°，∴DH＝DE＝1，EH＝，在Rt△ECH 中＝2 ，∴GB+GC≥2 ，∴GB+GC 的最小值为．练习：如图，在平行四边形ABCD 中，M 是AD 边的中点，N 是AB 边上一动点，将线段MN 绕点M 逆时针旋转90 至MN′，连接N′B，N′C，则N′B+N′C 的最小值是2 ．解：如图，作ME⊥AD 交AB 于E，连接EN′、AC、作CF⊥AB 于F．∵∠MAE＝45°，∴△MAE 是等腰直角三角形，∴MA＝ME，∵∠AME＝∠NMN′＝90°，∴∠AMN＝∠EMN′，∵MN＝MN′，∴△AMN≌△EMN′，∴∠MAN＝∠MEN′＝45°，∴∠AEN′＝90°，∴EN′⊥AB，∵AM＝DM＝，AB＝4，∴AE＝2，EB＝2，∴AE＝EB，∴N′B＝N′A，∴N′B+N′C＝N′A+N′C，∴当A、N′、C 共线时，N′B+N′C 的值最小，最小值＝AC，在Rt△BCF 中，∠CBF＝∠DAB＝45°，∴CF＝BF＝2，在Rt△ACF 中＝2例4、（2015•石家庄模拟）如图，已知在矩形ABCD 中，AB＝4，BC＝2，点M，E 在AD 上，点F 在边AB 上，并且DM＝1，现将△AEF 沿着直线EF 折叠，使点A 落在边CD 上的点P 处，则当PB+PM 最小时，ME 的长度为解：延长AD 到M′，使得DM′＝DM＝1，连接PM′，如图．当PB+PM 的和最小时，M′、P、B 三点共线．∵四边形ABCD 是矩形，AB＝4，BC＝2，∴DC＝AB＝4，AD＝BC＝2，AD∥BC，∴△DPM′∽△CPB，∴＝＝，∴DP＝PC，∴DP＝DC＝．设AE＝x，则PE＝x，DE＝2﹣x，在Rt△PDE 中）2＝x2，解得，∴ME＝AE﹣AM＝﹣1＝．故选：B．例5、（2019 春•张家港市期末）如图，矩形ABCD 中，AB＝8，BC＝4，P，Q 分别是直线AB，AD 上的两个动点，点E 在边CD 上，DE＝2，将△DEQ 沿EQ 翻折得到△FEQ，连接PF，PC，则PF+PC 的最小值为解：作点C 关于AB 的对称点H，连接PH，EH，如图所示：∵矩形ABCD 中，AB＝8，BC＝4，DE＝2，∴CE＝CD﹣DE＝AB﹣DE＝6，CH＝2BC＝8，∴EH＝＝＝10，∵点C 与点P 关于AB 对称，∴CP＝PH，∴PF+PC＝PF+PH，∵EF＝DE＝2 是定值，∴当E、F、P、H 四点共线时，PF+PH 值最小，最小值＝10﹣2＝8，∴PF+PC 的最小值为8．练习：（2019 春•邗江区校级月考）如图，矩形ABCD 中，AB＝2，BC＝4，P，Q 分别是BC，AB 上的两个动点，AE＝1，△AEQ 沿EQ 翻折形成△FEQ，连接PF，PD，则PF+PD 的最小值是 4 ．解：如图作点D 关于BC 的对称点D′，连接PD′，ED′．在Rt△EDD′中，∵DP＝PD′，∴PD+PF＝PD′+PF，∵EF＝EA＝1 是定值，∴当E、F、P、D′共线时，PF+PD′定值最小，最小值＝5﹣1＝4，∴PF+PD 的最小值为4，例6、（2018•朝阳区二模）如图，在矩形ABCD 中，AB＝1，AD＝2，E 是边AD 的中点，F 是边AB 上的一个动点，连结EF，过点E 作EG⊥EF 交BC 于点G．则AF+EF+CG 的最小值为 2 ．解：如图，过点E 作EH⊥BC 于点H．∵四边形ABCD 是矩形，∴AB∥BC，∠A＝90°．∴AB＝EH，∠A＝∠EHG＝∠AEH＝90°．∴∠FEH+∠AEF＝90°．∵EG⊥EF，∴∠FEH+∠HEG＝90°．∴∠AEF＝∠HEG．∵AD＝2AB，AD＝2AE，∴AE＝AB．∴AE＝HE 且∠AEF＝∠HEG，∠A＝∠EHG ∴△AEF≌△HEG．∴EF＝GE．∵AB＝1，AD＝2，∴AE＝DE＝1∵∠D＝∠C＝90°，EH⊥BC∴DCHE 是矩形∴DE＝CH＝1∵△AEF≌△EHG∴AF＝HG，EF＝EG，EH＝AE＝1∴AF+EF+CG＝HG+CG+EG＝CH+EG＝1+EG由两平行线之间垂线段最短，当EG⊥BC 时，AF+EF+CG 的值最小，即EG＝1 时，AF+EF+CG 的最小值为2练习：如图，在矩形ABCD 中，AB＝4，AD＝8，E 是边AD 的中点，F 是边AB 上的一个动点，连结EF，过点E 作EG⊥EF 交BC 于点G．则AF+EF+CG 的最小值为．例7、如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知点A（1，0），点C 是y 轴上的动点，线段CA 绕着点C 按逆时针方向旋转90°至线段CB，CA＝CB，连接BO、BA，则BO+BA 的最小值是．如图作BH⊥OH 于H．设点C 的坐标为（0，m），由（1）知：OC＝HB＝m，OA＝HC＝1，则点B（m，1+m），则+，BO+BA 的值，相当于求点P（m，m）到点M（1，﹣1）和点N（0，﹣1）的最小值，相当于在直线y＝x 上寻找一点P（m，m），使得点P 到M（0，﹣1），到N（1，﹣1）的距离和最小，作M 关于直线y＝x 的对称点M′（﹣1，0），易知PM+PN＝PM′+PN≥NM′，M′N＝，故：BO+BA 的最小值．例8、如图，矩形ABCD 中，AB＝3，AD＝4，点E、F 分别是边BC 和对角线BD 上的动点，且BE＝DF，则AE+AF 的最小值是．解法一：如图，作点D 关于BC 的对称点G，连接BG，在BG 上截取BH，使得BH＝AD，连接AH．作HM⊥AB 交AB 的延长线于M．∵四边形ABCD 是矩形，∴AB＝CD＝3，BC＝AD＝4，AD∥BC，∴∠ADF＝∠DBC，∵DC＝CG，BC⊥DG，∴BD＝BG，∴∠DBC＝∠CBG，∴∠ADF＝∠HBE，∵DA＝BH，DF＝BE，∴△ADF≌△HBE（SAS），∴AF＝EH，∴AE+AF＝AE+EH≥AH，在Rt△BCD 中＝5，由△BHM∽△DBC，可＝＝，∴＝＝，∴BM＝，MH＝，∴AM＝3+＝，在Rt△AMH 中，AH＝，∴AE+AF≥，∴AE+AF 的最小值．解法二：如图，作FG⊥AD于G．∵BE＝DF，∴设BE＝DF＝x，∵矩形ABCD，AB＝3，AD＝4，∴∠BAD＝∠ABC＝90°根据勾股定理得，∵FG⊥AD，∴∠FGD＝90°，∴∠BAD＝∠FGD＝90°∵∠ADB＝∠GDF，∴△BAD∽△FGD，∴即∴GF＝x，GD＝x，AG＝4﹣x在Rt△ABE 中，∠ABE＝90°，根据勾股定理得AE＝在Rt△AGF 中，∠AGF＝90°，根据勾股定理得AF＝＝，AE+AF＝+可以看成是在平面直角坐标系里点（x，0）和点（0，3）的距离与点（x，0）和点，﹣）的距离之和.，当点（0，3）、（x，0）、，﹣）三点共线时，AE+AF 值最小，就是点（0，3）、，﹣）之间的距离，＝．三、三角形周长最小值问题例1、（2018 秋•成都期末）如图，在矩形ABCD 中，AB＝6，AD＝3，M 是AD 边的中点，N 是AB 边上的一动点，将△AMN 沿MN 所在直线翻折得到△A'MN，连接A'C．在MN 上存在一动点P．连接A'P、CP，则△A'PC 周长的最小值是﹣+3 ．解：分两步：①连接AP，则AP＝AP′，∴△A'PC 周长＝A′P+PC+A′C＝AP+PC+A′C，∵A′P+PC≥AC，当A、P、C 三点共线时，A′P+PC 有最小值，是AC 的长，∴AC 与MN 的交点就是点P，由勾股定理得＝3，②连接CM，∵A′C≥CM﹣A′M，∴当M、A′、C 三点共线时，A′C 有最小值，此时，∵M 是AD 的中点＝，由折叠得：AM＝A′M＝1.5，∴A′C＝MC﹣A′M＝﹣1.5，∴△A'PC 周长的最小值是：+3 ，例2、（2019 春•雨花区校级期中）如图，在平行四边形ABCD 中，AB＝10，AD＝16，∠A＝60°，P 是射线AD 上一点，连接PB，沿PB 将△APB 折叠，得△A'PB．当点P 为AD 中点时，点F 是边AB 上不与点A，B 重合的一个动点，将△APF 沿PF 折叠，得到△A'PF，连接BA'，则△BA'F 周长的最小值为．解：如图，作BH⊥AD 于H，连接，∴PB＝＝，由翻折可知：PA＝PA′＝8，FA＝FA′，∴△BFA′的周长＝22 + (4 3)2 E F32 +42FA ′+BF +BA ′＝AF +BF +BA ′＝AB +BA ′＝10+BA ′，∴当 BA ′的周长最小时，△BFA ′的周长最小 ﹣8，∴BA ′的最小值为 ﹣8，∴△BFA ′的周长的最小值为 ﹣8＝2+2．练习：如图，在平行四边形 ABCD 中，AB ＝8，AD ＝12，∠A ＝60°，P 是射线 AD 上一点，连接 PB ，沿 PB 将△APB 折叠，得△A 'PB ．当点 P 为 AD 中点时，点 F 是边 AB 上不与点 A ，B 重合的一个动点，将△APF 沿 PF 折叠，得到△A 'PF ，连接 BA '，则△BA 'F 周长的最小值为．解：如图，作 BH ⊥AD 于 H ，连接，∴ PB = = = 2 ，由翻折可知：PA ＝PA ′＝6，FA ＝FA ′，∴△BFA ′的周长＝FA ′+BF +BA ′＝AF +BF +BA ′＝AB +BA ′＝8+BA ′，∴当 BA ′的最小时，△BFA′的周长最小，∵BA ′≥PB ﹣PA ′，∴BA ′≥ 2 ﹣6，∴BA ′的最小值为2 ﹣6，∴△BFA ′的周长的最小值为 8+ 2 ﹣6＝ 2 +2．四、四边形周长最小值问题例 1、如图，已知，在矩形 ABCD 中，AD ＝2，AB ＝4，点 E ，F 是边 CD 上的动点（点 F 在点 E 右侧），且 EF ＝1，则四边形 ABFE 周长的最小值为 10 ．AMBDCN解：在 AB 上截取 AM ＝EF ，作点 M 关于直线 DC 的对称点 N ，连接 BN 交 CD 于 F ，此时四边形 AEFB的周长最小．四边形 AEFB 的周长的最小值＝AB +EF +AE +BF ＝AB +EF +MF +BF ＝AB +EF +NF +BF ＝AB +EF +NB ＝4+1+ ＝10，PH 2 + BH 2 13 13 13 13 13练习：1、（2018 秋•金牛区校级月考）在矩形ABCD 中，AB＝8，BC＝10，G 为AD 边的中点．如图，若E、F为边AB 上的两个动点，且EF＝4，当四边形CGEF 的周长最小时，则求AF 的长为．G解：∵E 为AB 上的一个动点，∴如图，作G 关于AB 的对称点M，在CD 上截取CH＝4，然后连接HM 交AB 于E，接着在EB 上截取EF＝4，那么E、F 两点即可满足使四边形CGEF 的周长最小．∵在矩形ABCD 中，AB＝8，BC＝10，G 为边AD 的中点，∴AG＝AM＝5，MD＝15，而CH＝4，∴DH＝4，而AE∥CD，∴△AEM∽△DHM，∴AE：HD＝MA：MD，∴AE＝＝＝，∴AF＝4+＝．例2、（2019•长丰县二模）如图，矩形ABCD 中，AB＝5，AD＝10，点E，F，G，H 分别在矩形各边上，点F，H 为不动点，点E，G 为动点，若要使得AF＝CH，BE＝DG，则四边形EFGH 周长的最小值为解：作点F 关于CD 的对称点F′，连接F′H 交CD 于点G，此时四边形EFGH 周长取最小值，过点H 作HH′⊥AD 于点H′，如图所示．∵AF＝CH，DF＝DF′，∴H′F′＝AD＝10，∵HH′＝AB＝5，∴F′H＝＝5，∴C 四边形．练习：（2018•保定一模）如图，矩形ABCD 中，AB＝8，BC＝6，点E，F，G，H 分别在矩形ABCD 各边上，且AE＝CG，BF＝DH，则四边形EFGH 周长的最小值为解：作点E 关于BC 的对称点E′，连接E′G 交BC 于点F，此时四边形EFGH 周长取最小值，EF＝E'F，过点G 作GG′⊥AB 于点G′，如图所示．∵AE＝CG，BE＝BE′，∴E′G′＝AB＝8，∵GG′＝AD＝6，∴E′G＝＝10，∴C 四边形EFGH＝2（GF+EF）＝2E′G＝20．五、三角形面积最小值问题例1、（2018•无锡）如图，矩形ABCD 中，AB＝4，AD＝2，E 为边AD 上一个动点，连结BE，取BE 的中点G，点G 绕点E 逆时针旋转90°得到点F，连结CF，则△CEF 面积的最小值是解：过点F 作AD 的垂线交AD 的延长线于点H，∵∠A＝∠H＝90°，∠FEB＝90°，∴∠FEH＝90°﹣∠BEA＝∠EBA，∴△FEH∽△EBA，∴，设x，EH＝2，DH＝x，∴△CEF 面积＝，∴当x＝1 时，△CEF 面积的最小值．例2、（2016•江东区一模）如图，点E 为正方形ABCD 中AD 边上的动点，AB＝2，以BE 为边画正方形BEFG，连结CF 和CE，则△CEF 面积的最小值为．解：（方法一）过点 F 作FM⊥AD 延长线于点M，令EF 与CD 的交点为N 点，如图所示．则CN•ME．∵四边形ABCD 为正方形，四边形BEFG 为正方形，∴∠A＝90°，∠BEF＝90°，BE＝EF，∴∠AEB+∠ABE＝90°，∠MEF+∠MFE＝90°，∠AEB+∠BEF+∠MEF＝180°，∴∠AEB＝∠MFE，∠ABE＝∠MEF．在△ABE 和△MEF 中，，∴△ABE≌△MEF（ASA）．∴MF＝AE，ME＝AB．∵CD⊥AD，FM⊥AD，∴ND∥FM，∴△EDN∽△EMF，∴．设AE＝x，则ED＝AD﹣AE＝2﹣x，EM＝AB＝2，MF＝AE＝x，∴DN＝＝﹣x2+x＝﹣（x﹣1）2+≤．∴CN＝CD﹣DN≥2﹣≥．∴△CEF 面积的最小值CN•ME＝××2＝．（方法二）连接CG，如图所示．在△ABE 和△CBG 中，，∴△ABE≌△CBG（SAS）．设AE＝x，则BE2＝AB2+AE2＝4+x2，∴S 正方形BEFG＝BE2＝4+x2．∴S△CEF+S BCG＝S 正方形x2，∴S△CEF＝S 正方形x2﹣S△ABE＝2+x2﹣x＝（x﹣1）2+，当x＝1 时，△CEF 面积最小，最小值为．例3、（八中定时练习六18 题2019•无锡）如图,在△ABC 中，AB =AC = 5, BC = 4 ，D 为边AB 上一动点(B 点除外),以CD 为一边作正方形CDEF，连接BE，则∆BDE面积的最大值为.解：过点C 作CG⊥BA 于点G，作EH⊥AB 于点H，作AM⊥BC 于点M．∵AB＝AC＝5，BC＝4 ，∴BM＝CM＝2 ，易证，∴，∴GB＝8，设BD＝x，则DG＝8﹣x，易证△EDH≌△DCG（AAS），∴EH＝DG＝8﹣x，∴S△BDE＝＝＝，当x＝4 时，△BDE 面积的最大值为8．5。

重庆市a卷2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题(提升题)知识点分类

重庆市A卷2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类一．因式分解的应用（共1小题）1．（2021•重庆）如果一个自然数M的个位数字不为0，且能分解成A×B，其中A与B都是两位数，A与B的十位数字相同，个位数字之和为10，则称数M为“合和数”，并把数M分解成M＝A×B的过程，称为“合分解”．例如∵609＝21×29，21和29的十位数字相同，个位数字之和为10，∴609是“合和数”．又如∵234＝18×13，18和13的十位数字相同，但个位数字之和不等于10，∴234不是“合和数”．（1）判断168，621是否是“合和数”？并说明理由；（2）把一个四位“合和数”M进行“合分解”，即M＝A×B．A的各个数位数字之和与B 的各个数位数字之和的和记为P（M）；A的各个数位数字之和与B的各个数位数字之和的差的绝对值记为Q（M）．令G（M）＝，当G（M）能被4整除时，求出所有满足条件的M．二．反比例函数与一次函数的交点问题（共1小题）2．（2022•重庆）已知一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y＝的图象相交于点A（1，m），B（n，﹣2）．（1）求一次函数的表达式，并在图中画出这个一次函数的图象；（2）根据函数图象，直接写出不等式kx+b＞的解集；（3）若点C是点B关于y轴的对称点，连接AC，BC，求△ABC的面积．三．二次函数综合题（共3小题）3．（2021•重庆）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c经过A（0，﹣1），B（4，1）．直线AB交x轴于点C，P是直线AB下方抛物线上的一个动点．过点P作PD⊥AB，垂足为D，PE∥x轴，交AB于点E．（1）求抛物线的函数表达式；（2）当△PDE的周长取得最大值时，求点P的坐标和△PDE周长的最大值；（3）把抛物线y＝x2+bx+c平移，使得新抛物线的顶点为（2）中求得的点P．M是新抛物线上一点，N是新抛物线对称轴上一点，直接写出所有使得以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形的点M的坐标，并把求其中一个点M的坐标的过程写出来．4．（2023•重庆）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+2过点（1，3），且交x轴于点A（﹣1，0），B两点，交y轴于点C．（1）求抛物线的表达式；（2）点P是直线BC上方抛物线上的一动点，过点P作PD⊥BC于点D，过点P作y轴的平行线交直线BC于点E，求△PDE周长的最大值及此时点P的坐标；（3）在（2）中△PDE周长取得最大值的条件下，将该抛物线沿射线CB方向平移个单位长度，点M为平移后的抛物线的对称轴上一点．在平面内确定一点N，使得以点A，P，M，N为顶点的四边形是菱形，写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程．5．（2022•重庆）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c与直线AB交于点A （0，﹣4），B（4，0）．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）点P是直线AB下方抛物线上的一动点，过点P作x轴的平行线交AB于点C，过点P作y轴的平行线交x轴于点D，求PC+PD的最大值及此时点P的坐标；（3）在（2）中PC+PD取得最大值的条件下，将该抛物线沿水平方向向左平移5个单位，点E为点P的对应点，平移后的抛物线与y轴交于点F，M为平移后的抛物线的对称轴上一点．在平移后的抛物线上确定一点N，使得以点E，F，M，N为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程．Ⅷ四．作图—复杂作图（共1小题）6．（2022•重庆）在学习矩形的过程中，小明遇到了一个问题：在矩形ABCD中，E是AD 边上的一点，试说明△BCE的面积与矩形ABCD的面积之间的关系．他的思路是：首先过点E作BC的垂线，将其转化为证明三角形全等，然后根据全等三角形的面积相等使问题得到解决．请根据小明的思路完成下面的作图与填空：证明：用直尺和圆规，过点E作BC的垂线EF，垂足为F（只保留作图痕迹）．在△BAE和△EFB中，∵EF⊥BC，∴∠EFB＝90°．又∠A＝90°，∴ ①∵AD∥BC，∴ ②又 ③∴△BAE≌△EFB（AAS）．同理可得 ④∴S△BCE＝S△EFB+S△EFC＝S矩形ABFE+S矩形EFCD＝S矩形ABCD．五．几何变换综合题（共2小题）7．（2022•重庆）如图，在锐角△ABC中，∠A＝60°，点D，E分别是边AB，AC上一动点，连接BE交直线CD于点F．（1）如图1，若AB＞AC，且BD＝CE，∠BCD＝∠CBE，求∠CFE的度数；（2）如图2，若AB＝AC，且BD＝AE，在平面内将线段AC绕点C顺时针方向旋转60°得到线段CM，连接MF，点N是MF的中点，连接CN．在点D，E运动过程中，猜想线段BF，CF，CN之间存在的数量关系，并证明你的猜想；（3）若AB＝AC，且BD＝AE，将△ABC沿直线AB翻折至△ABC所在平面内得到△ABP，点H是AP的中点，点K是线段PF上一点，将△PHK沿直线HK翻折至△PHK 所在平面内得到△QHK，连接PQ．在点D，E运动过程中，当线段PF取得最小值，且QK⊥PF时，请直接写出的值．8．（2021•重庆）在△ABC中，AB＝AC，D是边BC上一动点，连接AD，将AD绕点A逆时针旋转至AE的位置，使得∠DAE+∠BAC＝180°．（1）如图1，当∠BAC＝90°时，连接BE，交AC于点F．若BE平分∠ABC，BD＝2，求AF的长；（2）如图2，连接BE，取BE的中点G，连接AG．猜想AG与CD存在的数量关系，并证明你的猜想；（3）如图3，在（2）的条件下，连接DG，CE．若∠BAC＝120°，当BD＞CD，∠AEC＝150°时，请直接写出的值．六．相似形综合题（共1小题）9．（2023•重庆）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，点D为线段AB上一动点，连接CD．（1）如图1，若AC＝9，BD＝，求线段AD的长；（2）如图2，以CD为边在CD上方作等边△CDE，点F是DE的中点，连接BF并延长，交CD的延长线于点G．若∠G＝∠BCE，求证：GF＝BF+BE；（3）在CD取得最小值的条件下，以CD为边在CD右侧作等边△CDE．点M为CD所在直线上一点，将△BEM沿BM所在直线翻折至△ABC所在平面内得到△BNM．连接AN，点P为AN的中点，连接CP，当CP取最大值时，连接BP，将△BCP沿BC所在直线翻折至△ABC所在平面内得到△BCQ，请直接写出此时的值．七．解直角三角形的应用-方向角问题（共1小题）10．（2023•重庆）为了满足市民的需求，我市在一条小河AB两侧开辟了两条长跑锻炼线路，如图：①A﹣D﹣C﹣B；②A﹣E﹣B．经勘测，点B在点A的正东方，点C在点B的正北方10千米处，点D在点C的正西方14千米处，点D在点A的北偏东45°方向，点E 在点A的正南方，点E在点B的南偏西60°方向．（参考数据：≈1.41，≈1.73）（1）求AD的长度．（结果精确到1千米）（2）由于时间原因，小明决定选择一条较短线路进行锻炼，请计算说明他应该选择线路①还是线路②？八．频数（率）分布直方图（共1小题）11．（2023•重庆）为了解A、B两款品质相近的智能玩具飞机在一次充满电后运行的最长时间，有关人员分别随机调查了A、B两款智能玩具飞机各10架，记录下它们运行的最长时间（分钟），并对数据进行整理、描述和分析（运行最长时间用x表示，共分为三组：合格60≤x＜70，中等70≤x＜80，优等x≥80），下面给出了部分信息：A款智能玩具飞机10架一次充满电后运行最长时间是：60，64，67，69，71，71，72，72，72，82．B款智能玩具飞机10架一次充满电后运行最长时间属于中等的数据是：70，71，72，72，73．两款智能玩具飞机运行最长时间统计表类别A B平均数7070中位数71b众数a67方差30.426.6根据以上信息，解答下列问题：（1）上述图表中a＝，b＝，m＝；（2）根据以上数据，你认为哪款智能玩具飞机运行性能更好？请说明理由（写出一条理由即可）；（3）若某玩具仓库有A款智能玩具飞机200架、B款智能玩具飞机120架，估计两款智能玩具飞机运行性能在中等及以上的共有多少架？九．整数问题的综合运用（共1小题）12．（2022•重庆）若一个四位数M的个位数字与十位数字的平方和恰好是M去掉个位与十位数字后得到的两位数，则这个四位数M为“勾股和数”．例如：M＝2543，∵32+42＝25，∴2543是“勾股和数”；又如：M＝4325，∵52+22＝29，29≠43，∴4325不是“勾股和数”．（1）判断2022，5055是否是“勾股和数”，并说明理由；（2）一个“勾股和数”M的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为数时，求出所有满足条件的M．重庆市A卷2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类参考答案与试题解析一．因式分解的应用（共1小题）1．（2021•重庆）如果一个自然数M的个位数字不为0，且能分解成A×B，其中A与B都是两位数，A与B的十位数字相同，个位数字之和为10，则称数M为“合和数”，并把数M分解成M＝A×B的过程，称为“合分解”．例如∵609＝21×29，21和29的十位数字相同，个位数字之和为10，∴609是“合和数”．又如∵234＝18×13，18和13的十位数字相同，但个位数字之和不等于10，∴234不是“合和数”．（1）判断168，621是否是“合和数”？并说明理由；（2）把一个四位“合和数”M进行“合分解”，即M＝A×B．A的各个数位数字之和与B 的各个数位数字之和的和记为P（M）；A的各个数位数字之和与B的各个数位数字之和的差的绝对值记为Q（M）．令G（M）＝，当G（M）能被4整除时，求出所有满足条件的M．【答案】（1）168不是“合和数”，621是“合和数”．（2）1224，1221，5624，5616．【解答】解：（1）∵168＝12×14，∵12和14十位数字相同，但个位数字2+4≠10，∴168不是“合和数”．∵621＝23×27，23和27十位数字相同，且个位数字3+7＝10，∴621是“合和数”．（2）设A的十位数字为m，个位数字为n，∵M的个位数字不为0，且M是一个四位“和合数”，∴3≤m≤9，1≤n≤9，则A＝10m+n，B＝10m+10﹣n，∴P（M）＝m+n+m+10﹣n＝2m+10，Q（M）＝|（m+n）﹣（m+10﹣n）|＝|2n﹣10|．∴G（M）＝＝＝＝4k（k是整数）．∵3≤m≤9，∴8≤m+5≤14，∵k是整数，∴m+5＝8或m+5＝12，①当m+5＝8时，或，∴当m＝3时，n＝6或4，当m＝3时，n＝7或3，∴M＝A×B＝（10m+n）（10m+10﹣n）＝36×34＝1224或M＝A×B＝（10m+n）（10m+10﹣n）＝37×33＝1221，②当m+5＝12时，或，∴当m＝7时，n＝6或4，当m＝7时，n＝8或2，∴M＝A×B＝（10m+n）（10m+10﹣n）＝76×74＝5624或M＝A×B＝（10m+n）（10m+10﹣n）＝78×72＝5616．综上，满足条件的M有：1224，1221，5624，5616．二．反比例函数与一次函数的交点问题（共1小题）2．（2022•重庆）已知一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y＝的图象相交于点A（1，m），B（n，﹣2）．（1）求一次函数的表达式，并在图中画出这个一次函数的图象；（2）根据函数图象，直接写出不等式kx+b＞的解集；（3）若点C是点B关于y轴的对称点，连接AC，BC，求△ABC的面积．【答案】（1）y＝2x+2，作图见解答过程；（2）﹣2＜x＜0或x＞1；（3）12．【解答】解：（1）∵反比例函数y＝的图象过点A（1，m），B（n，﹣2），∴，n＝，解得m＝4，n＝﹣2，∴A（1，4），B（﹣2，﹣2），∵一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象过A点和B点，∴，解得，∴一次函数的表达式为y＝2x+2，描点作图如下：（2）由（1）中的图象可得，不等式kx+b＞的解集为：﹣2＜x＜0或x＞1；（3）由题意作图如下：由图知△ABC中BC边上的高为6，BC＝4，∴S△ABC＝＝12．三．二次函数综合题（共3小题）3．（2021•重庆）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c经过A（0，﹣1），B（4，1）．直线AB交x轴于点C，P是直线AB下方抛物线上的一个动点．过点P作PD⊥AB，垂足为D，PE∥x轴，交AB于点E．（1）求抛物线的函数表达式；（2）当△PDE的周长取得最大值时，求点P的坐标和△PDE周长的最大值；（3）把抛物线y＝x2+bx+c平移，使得新抛物线的顶点为（2）中求得的点P．M是新抛物线上一点，N是新抛物线对称轴上一点，直接写出所有使得以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形的点M的坐标，并把求其中一个点M的坐标的过程写出来．【答案】（1）y＝x2﹣x﹣1；（2）点P的坐标为（2，﹣4），△PDE周长最大值为+8．（3）点M的坐标为（2，﹣4）或（﹣2，12）或（6，12）．【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c经过A（0，﹣1），B（4，1），∴，解得：，∴该抛物线的函数表达式为y＝x2﹣x﹣1；（2）如图1，设直线AB的函数表达式为y＝kx+n，∵A（0，﹣1），B（4，1），∴，解得：，∴直线AB的函数表达式为y＝x﹣1，令y＝0，得x﹣1＝0，解得：x＝2，∴C（2，0），设P（t，t2﹣t﹣1），其中0＜t＜4，∵点E在直线y＝x﹣1上，PE∥x轴，∴t2﹣t﹣1＝x﹣1，∴x＝2t2﹣7t，∴E（2t2﹣7t，t2﹣t﹣1），∴PE＝t﹣（2t2﹣7t）＝﹣2t2+8t＝﹣2（t﹣2）2+8，∵PD⊥AB，∴∠AOC＝∠PDE＝90°，又∵PE∥x轴，∴∠OCA＝∠PED，∴△PDE∽△AOC，∵AO＝1，OC＝2，∴AC＝，∴△AOC的周长为3+，令△PDE的周长为l，则＝，∴l＝•[﹣2（t﹣2）2+8]＝﹣（t﹣2）2++8，∴当t＝2时，△PDE周长取得最大值，最大值为+8．此时，点P的坐标为（2，﹣4）．（3）如图2，满足条件的点M坐标为（2，﹣4），（6，12），（﹣2，12）．由题意可知，平移后抛物线的函数表达式为y＝x2﹣4x，对称轴为直线x＝2，①若AB是平行四边形的对角线，当MN与AB互相平分时，四边形ANBM是平行四边形，即MN经过AB的中点C（2，0），∵点N的横坐标为2，∴点M的横坐标为2，∴点M的坐标为（2，﹣4），②若AB是平行四边形的边，Ⅰ．当MN∥AB且MN＝AB时，四边形ABNM是平行四边形，∵A（0，﹣1），B（4，1），点N的横坐标为2，∴点M的横坐标为2﹣4＝﹣2，∴点M的坐标为（﹣2，12）；Ⅱ．当NM∥AB且NM＝AB时，四边形ABMN是平行四边形，∵A（0，﹣1），B（4，1），点N的横坐标为2，∴点M的横坐标为2+4＝6，∴点M的坐标为（6，12）；综上所述，点M的坐标为（2，﹣4）或（﹣2，12）或（6，12）．4．（2023•重庆）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+2过点（1，3），且交x轴于点A（﹣1，0），B两点，交y轴于点C．（1）求抛物线的表达式；（2）点P是直线BC上方抛物线上的一动点，过点P作PD⊥BC于点D，过点P作y轴的平行线交直线BC于点E，求△PDE周长的最大值及此时点P的坐标；（3）在（2）中△PDE周长取得最大值的条件下，将该抛物线沿射线CB方向平移个单位长度，点M为平移后的抛物线的对称轴上一点．在平面内确定一点N，使得以点A，P，M，N为顶点的四边形是菱形，写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程．【答案】（1）y＝﹣x2+x+2；（2）△PDE周长的最大值为，点P（2，3）；（3）点N的坐标为：（，﹣）或（，）或（﹣，）．【解答】解：（1）由题意得：，解得：，则抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x+2；（2）令y＝﹣x2+x+2＝0，解得：x＝4或﹣1，即点B（4，0），∵PE∥y轴，则∠PED＝∠OCB，则tan∠PED＝tan∠OCB＝2，则sin∠PED＝，cos∠PED＝，由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为：y＝﹣x+2，则PE＝﹣x2+x+2+x﹣2＝﹣（x﹣2）2+2≤2，即PE的最大值为2，此时，点P（2，3），则△PDE周长的最大值＝PE（1+sin∠PED+cos∠PED）＝（1++）PE＝，即△PDE周长的最大值为，点P（2，3）；（3）抛物线沿射线CB方向平移个单位长度，相当于向右平移2个单位向下平移1个单位，则平移后抛物线的对称轴为x＝，设点M（，m），点N（s，t），由点A、P的坐标得，AP2＝18，当AP是对角线时，由中点坐标公式和AM＝AN得：，解得：，即点N的坐标为：（﹣，）；当AM或AN是对角线时，由中点坐标公式和AN＝AP或AM＝AP得：或，解得：（不合题意的值已舍去），即点N的坐标为：（，）；综上，点N的坐标为：（，﹣）或（，）或（﹣，）．5．（2022•重庆）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c与直线AB交于点A（0，﹣4），B（4，0）．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）点P是直线AB下方抛物线上的一动点，过点P作x轴的平行线交AB于点C，过点P作y轴的平行线交x轴于点D，求PC+PD的最大值及此时点P的坐标；（3）在（2）中PC+PD取得最大值的条件下，将该抛物线沿水平方向向左平移5个单位，点E为点P的对应点，平移后的抛物线与y轴交于点F，M为平移后的抛物线的对称轴上一点．在平移后的抛物线上确定一点N，使得以点E，F，M，N为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程．Ⅷ【答案】（1）y＝x2﹣x﹣4；（2）PC+PD的最大值为，此时点P的坐标是（，﹣）；（3）N的坐标为：（，）或（﹣，）或（﹣，）．【解答】解：（1）把A（0，﹣4），B（4，0）代入y＝x2+bx+c得：，解得，∴抛物线的函数表达式为y＝x2﹣x﹣4；（2）设直线AB解析式为y＝kx+t，把A（0，﹣4），B（4，0）代入得：，∴直线AB解析式为y＝x﹣4，设P（m，m2﹣m﹣4），则PD＝﹣m2+m+4，在y＝x﹣4中，令y＝m2﹣m﹣4得x＝m2﹣m，∴C（m2﹣m，m2﹣m﹣4），∴PC＝m﹣（m2﹣m）＝﹣m2+2m，∴PC+PD＝﹣m2+2m﹣m2+m+4＝﹣m2+3m+4＝﹣（m﹣）2+，∵﹣1＜0，∴当m＝时，PC+PD取最大值，此时m2﹣m﹣4＝×（）2﹣﹣4＝﹣，∴P（，﹣）；答：PC+PD的最大值为，此时点P的坐标是（，﹣）；（3）∵将抛物线y＝x2﹣x﹣4向左平移5个单位得抛物线y＝（x+5）2﹣（x+5）﹣4＝x2+4x+，∴新抛物线对称轴是直线x＝﹣＝﹣4，在y＝x2+4x+中，令x＝0得y＝，∴F（0，），将P（，﹣）向左平移5个单位得E（﹣，﹣），设M（﹣4，n），N（r，r2+4r+），①当EF、MN为对角线时，EF、MN的中点重合，∴，∴r2+4r+＝×（）2+4×+＝，∴N（，）；②当FM、EN为对角线时，FM、EN的中点重合，∴，解得r＝﹣，∴r2+4r+＝×（﹣）2+4×（﹣）+＝，∴N（﹣，）；③当FN、EM为对角线时，FN、EM的中点重合，∴，解得r＝﹣，∴r2+4r+＝×（﹣）2+4×（﹣）+＝，∴N（﹣，）；综上所述，N的坐标为：（，）或（﹣，）或（﹣，）．四．作图—复杂作图（共1小题）6．（2022•重庆）在学习矩形的过程中，小明遇到了一个问题：在矩形ABCD中，E是AD 边上的一点，试说明△BCE的面积与矩形ABCD的面积之间的关系．他的思路是：首先过点E作BC的垂线，将其转化为证明三角形全等，然后根据全等三角形的面积相等使问题得到解决．请根据小明的思路完成下面的作图与填空：证明：用直尺和圆规，过点E作BC的垂线EF，垂足为F（只保留作图痕迹）．在△BAE和△EFB中，∵EF⊥BC，∴∠EFB＝90°．又∠A＝90°，∴　∠A＝∠EFB，　①∵AD∥BC，∴　∠AEB＝∠FBE，　②又　BE＝EB，　③∴△BAE≌△EFB（AAS）．同理可得　△EDC≌△CFE（AAS），　④∴S△BCE＝S△EFB+S△EFC＝S矩形ABFE+S矩形EFCD＝S矩形ABCD．【答案】①∠A＝∠EFB，②∠AEB＝∠FBE，③BE＝EB，④△EDC≌△CFE（AAS）．【解答】解：根据题意作图如下：由题知，在△BAE和△EFB中，∵EF⊥BC，∴∠EFB＝90°．又∠A＝90°，∴∠A＝∠EFB，①∵AD∥BC，∴∠AEB＝∠FBE，②又BE＝EB，③∴△BAE≌△EFB（AAS）．同理可得△EDC≌△CFE（AAS），④∴S△BCE＝S△EFB+S△EFC＝S矩形ABFE+S矩形EFCD＝S矩形ABCD，故答案为：①∠A＝∠EFB，②∠AEB＝∠FBE，③BE＝EB，④△EDC≌△CFE （AAS）．五．几何变换综合题（共2小题）7．（2022•重庆）如图，在锐角△ABC中，∠A＝60°，点D，E分别是边AB，AC上一动点，连接BE交直线CD于点F．（1）如图1，若AB＞AC，且BD＝CE，∠BCD＝∠CBE，求∠CFE的度数；（2）如图2，若AB＝AC，且BD＝AE，在平面内将线段AC绕点C顺时针方向旋转60°得到线段CM，连接MF，点N是MF的中点，连接CN．在点D，E运动过程中，猜想线段BF，CF，CN之间存在的数量关系，并证明你的猜想；（3）若AB＝AC，且BD＝AE，将△ABC沿直线AB翻折至△ABC所在平面内得到△ABP，点H是AP的中点，点K是线段PF上一点，将△PHK沿直线HK翻折至△PHK 所在平面内得到△QHK，连接PQ．在点D，E运动过程中，当线段PF取得最小值，且QK⊥PF时，请直接写出的值．【答案】（1）60°；（2）结论：BF+CF＝2CN．（3）．【解答】解：（1）如图1中，在射线CD上取一点K，使得CK＝BE，在△BCE和△CBK中，，∴△BCE≌△CBK（SAS），∴BK＝CE，∠BEC＝∠BKD，∵CE＝BD，∴BD＝BK，∴∠BKD＝∠BDK＝∠ADC＝∠CEB，∵∠BEC+∠AEF＝180°，∴∠ADF+∠AEF＝180°，∴∠A+∠EFD＝180°，∵∠A＝60°，∴∠EFD＝120°，∴∠CFE＝180°﹣120°＝60°；（2）结论：BF+CF＝2CN．理由：如图2中，∵AB＝AC，∠A＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴AB＝CB，∠A＝∠CBD＝60°，∵AE＝BD，∴△ABE≌△BCD（SAS），∴∠BCF＝∠ABE，∴∠FBC+∠BCF＝60°，∴∠BFC＝120°，如图2﹣1中，延长CN到Q，使得NQ＝CN，连接FQ，∵NM＝NF，∠CNM＝∠FNQ，CN＝NQ，∴△CNM≌△QNF（SAS），∴FQ＝CM＝BC，延长CF到P，使得PF＝BF，则△PBF是等边三角形，∴∠PBC+∠PCB＝∠PCB+∠FCM＝120°，∴∠PFQ＝∠FCM＝∠PBC，∵PB＝PF，∴△PFQ≌△PBC（SAS），∴PQ＝PC，∠CPB＝∠QPF＝60°，∴△PCQ是等边三角形，∴BF+CF＝PC＝QC＝2CN．证法二：延长MC到P，使得CP＝CM，连接PB，PF，延长FC到Q，使得CQ＝BF．∵FN＝MN，CP＝CM，∴PF＝2CN，∵CB＝CM＝CP，∠BCP＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∴△BCP是等边三角形，∴∠BPC+∠BFC＝180°，∴∠PBF+∠PCF＝180°，∵∠PCQ+∠PCF＝180°，∴∠PBF＝∠PCQ，∴PB＝PC，BF＝CQ，∴△PBF≌△PCQ（SAS），∴PF＝PQ，∠BPF＝∠QPC，∴∠QPF＝∠BPC＝60°，∴△PQF是等边三角形，∴FQ＝CF+CQ＝CF+BF＝2CN；（3）由（2）可知∠BFC＝120°，∴点F的运动轨迹为红色圆弧（如图3﹣1中），∴P，F，O三点共线时，PF的值最小，此时tan∠APK＝＝，∴∠HPK＞45°，∵QK⊥PF，∴∠PKH＝∠QKH＝45°，如图3﹣2中，过点H作HL⊥PK于点L，设PQ交KH题意点J，设HL＝LK＝2，PL＝，PH＝，KH＝2，∵S△PHK＝•PK•HL＝•KH•PJ，∴PQ＝2PJ＝2×＝2+∴＝＝．8．（2021•重庆）在△ABC中，AB＝AC，D是边BC上一动点，连接AD，将AD绕点A逆时针旋转至AE的位置，使得∠DAE+∠BAC＝180°．（1）如图1，当∠BAC＝90°时，连接BE，交AC于点F．若BE平分∠ABC，BD＝2，求AF的长；（2）如图2，连接BE，取BE的中点G，连接AG．猜想AG与CD存在的数量关系，并证明你的猜想；（3）如图3，在（2）的条件下，连接DG，CE．若∠BAC＝120°，当BD＞CD，∠AEC＝150°时，请直接写出的值．【答案】（1）；（2）AG＝CD，证明过程见解答部分；（3）．【解答】解：（1）连接CE，过点F作FQ⊥BC于Q，∵BE平分∠ABC，∠BAC＝90°，∴FA＝FQ，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，∴FQ＝CF，∵∠BAC+∠DAE＝180°，∴∠DAE＝∠BAC＝90°，∴∠BAD＝∠CAE，由旋转知，AD＝AE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD＝CE＝2，∠ABD＝∠ACE＝45°，∴∠BCE＝90°，∴∠CBF+∠BEC＝90°，∵BE平分∠ABC，∴∠ABF＝∠CBF，∴∠ABF+∠BEC＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠ABF+∠AFB＝90°，∴∠AFB＝∠BEC，∵∠AFB＝∠CFE，∴∠BEC＝∠CFE，∴CF＝CE＝2，∴AF＝FQ＝CF＝；（2）AG＝CD，理由：延长BA至点M，使AM＝AB，连接EM，∵G是BE的中点，∴AG＝ME，∵∠BAC+∠DAE＝∠BAC+∠CAM＝180°，∴∠DAE＝∠CAM，∴∠DAC＝∠EAM，∵AB＝AM，AB＝AC，∴AC＝AM，∵AD＝AE，∴△ADC≌△AEM（SAS），∴CD＝EM，∴AG＝CD；（3）如图3，连接DE，AD与BE的交点记作点N，∵∠BAC+∠DAE＝180°，∠BAC＝120°，∴∠DAE＝60°，∵AD＝AE，∴△ADE是等边三角形，∴AE＝DE，∠ADE＝∠AED＝60°，∵∠AEC＝150°，∴∠DEC＝∠AEC﹣∠AED＝90°，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠ACB＝∠ABC＝30°，∵∠AEC＝150°，∴∠ABC+∠AEC＝180°，∴点A，B，C，E四点共圆，∴∠BEC＝∠BAC＝120°，∴∠BED＝∠BEC﹣∠DEC＝30°，∴∠DNE＝180°﹣∠BED﹣∠ADE＝90°，∵AE＝DE，∴AN＝DN，∴BE是AD的垂直平分线，∴AG＝DG，BA＝BD＝AC，∴∠ABE＝∠DBE＝∠ABC＝15°，∴∠ACE＝∠ABE＝15°，∴∠DCE＝45°，∵∠DEC＝90°，∴∠EDC＝45°＝∠DCE，∴DE＝CE，∴AD＝DE，设AG＝a，则DG＝a，由（2）知，AG＝CD，∴CD＝2AG＝2a，∴CE＝DE＝CD＝a，∴AD＝a，∴DN＝AD＝a，过点D作DH⊥AC于H，在Rt△DHC中，∠ACB＝30°，CD＝2a，∴DH＝a，根据勾股定理得，CH＝a，在Rt△AHD中，根据勾股定理得，AH＝＝a，∴AC＝AH+CH＝a+a，∴BD＝a+a，∴＝＝．六．相似形综合题（共1小题）9．（2023•重庆）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，点D为线段AB上一动点，连接CD．（1）如图1，若AC＝9，BD＝，求线段AD的长；（2）如图2，以CD为边在CD上方作等边△CDE，点F是DE的中点，连接BF并延长，交CD的延长线于点G．若∠G＝∠BCE，求证：GF＝BF+BE；（3）在CD取得最小值的条件下，以CD为边在CD右侧作等边△CDE．点M为CD所在直线上一点，将△BEM沿BM所在直线翻折至△ABC所在平面内得到△BNM．连接AN，点P为AN的中点，连接CP，当CP取最大值时，连接BP，将△BCP沿BC所在直线翻折至△ABC所在平面内得到△BCQ，请直接写出此时的值．【答案】（1）AD＝5；（2）证明见解答过程；（3）．【解答】（1）解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∵∠B＝60°，AC＝9，∴BC＝＝3，AB＝2BC＝6∵BD＝，∴AD＝AB﹣BD＝5；（2）证明：取AB的中点O，连接OC，如图：在Rt△ABC中，点O为斜边AB的中点，∴OC＝OB，∵∠ABC＝60°，∴△BOC为等边三角形，∴CO＝CB，∠OCB＝∠BOC＝60°，∴∠DOC＝120°，∵△CDE为等边三角形，∴CD＝CE，∠DCE＝60°，∴∠DCE＝∠OCB＝60°，即∠OCD+∠OCE＝∠OCE+∠BCE，∴∠OCD＝∠BCE，在△OCD和△BCE中，，∴△OCD≌△BCE（SAS），∴∠EBC＝∠DOC＝120°，∴∠OCB+∠EBC＝180°，∴OC∥BE，在GF上截取HF＝BF，连接DH，∵点F是DE的中点，∴FE＝FD．在△BEF和△HDF中，，∴△BEF≌△HDF（SAS），∴BE＝HD，∠BEF＝∠HDF，∴DH∥BE，∴DH∥OC，∴∠HDG＝∠OCD，又∠G＝∠BCE，∴∠G＝∠HDG，∴HG＝HD，∴HG＝BE，∴GF＝HG+FH＝BE+BF；（3）解：取AB的中点S，连接PS，如图：在CD取得最小值时，CD⊥AB，设AB＝4a，则BC＝2a，AC＝2a，∵2S△ABC＝AC•BC＝AB•CD，∴CD＝＝a，BD＝BC＝a，∵△CDE是等边三角形，∴∠DCE＝60°，CD＝CE，∴∠BCE＝∠DCE﹣∠DCB＝60°﹣30°＝30°＝∠DCB，∵BC＝BC，∴△BCD≌△BCE（SAS），∴BD＝BE＝a，∵将△BEM沿BM所在直线翻折至△ABC所在平面内得到△BNM，∴BE＝BN＝a，∴N的运动轨迹是以B为圆心，a为半径的圆，∵点P为AN的中点，S为AB的中点，∴PS＝BN＝a，∴P的运动轨迹是以S为圆心，a为半径的圆，当CP最大时，C，P，S三点共线，过P作PT⊥AC于T，过N作NR⊥AC于R，如图：∵S是AB中点，∴BS＝AS＝CS＝AB＝2a，∵∠ABC＝60°，∴△BSC是等边三角形，∴∠PCB＝60°，BC＝CS＝2a，∴∠PCA＝30°，∵CP＝CS+PS＝2a+a＝a，∴PT＝CP＝a，CT＝PT＝a，∴AT＝AC﹣CT＝a，连接PQ交NR于W，如图：∵将△BCP沿BC所在直线翻折至△ABC所在平面内得到△BCQ，∴PQ⊥BC，∵AC⊥BC，∴PQ∥AC，即PW∥AR，∵P为AN中点，∴PW是△ANR的中位线，∴NW＝RW＝NR，同理可得PT是△ANR的中位线，∴PT＝NR，∴PT＝NW＝RW＝a，PW＝AR＝AT＝a，∵将△BCP沿BC所在直线翻折至△ABC所在平面内得到△BCQ，∴∠QCB＝∠PCB＝60°，CP＝CQ，∴∠QCP＝120°，∴PQ＝CP＝a，∴WQ＝PQ﹣PW＝a﹣a＝a，∴NQ＝＝＝a，∴＝＝．七．解直角三角形的应用-方向角问题（共1小题）10．（2023•重庆）为了满足市民的需求，我市在一条小河AB两侧开辟了两条长跑锻炼线路，如图：①A﹣D﹣C﹣B；②A﹣E﹣B．经勘测，点B在点A的正东方，点C在点B的正北方10千米处，点D在点C的正西方14千米处，点D在点A的北偏东45°方向，点E在点A的正南方，点E在点B的南偏西60°方向．（参考数据：≈1.41，≈1.73）（1）求AD的长度．（结果精确到1千米）（2）由于时间原因，小明决定选择一条较短线路进行锻炼，请计算说明他应该选择线路①还是线路②？【答案】（1）AD的长度约为14千米；（2）小明应该选择线路①，理由见解析．【解答】解：（1）过D作DF⊥AE，垂足为F，由题意得：四边形ABCF是矩形，∴AF＝BC＝10千米，在Rt△ADF中，∠DAF＝45°，∴AD＝＝＝10≈10×1.41≈14（千米）．∴AD的长度约为14千米；（2）小明应该选择线路①，理由：在Rt△ADF中，∠DAF＝45°，AF＝10千米，∴∠ADF＝45°＝∠DAF，∴DF＝AF＝10千米，在Rt△ABE中，∠ABE＝90°﹣60°＝30°，AB＝DF+CD＝24千米，∴AE＝AB•tan30°＝24×＝8（千米），EB＝2AE＝16千米，按路线①A﹣D﹣C﹣B走的路程为AD+DC+CB＝14+14+10＝38（千米）按路线②A﹣E﹣B走的路程为AE+EB＝8+16≈24×1.73＝41.52（千米）∵38千米＜41.52千米，∴小明应该选择线路①．八．频数（率）分布直方图（共1小题）11．（2023•重庆）为了解A、B两款品质相近的智能玩具飞机在一次充满电后运行的最长时间，有关人员分别随机调查了A、B两款智能玩具飞机各10架，记录下它们运行的最长时间（分钟），并对数据进行整理、描述和分析（运行最长时间用x表示，共分为三组：合格60≤x＜70，中等70≤x＜80，优等x≥80），下面给出了部分信息：A款智能玩具飞机10架一次充满电后运行最长时间是：60，64，67，69，71，71，72，72，72，82．B款智能玩具飞机10架一次充满电后运行最长时间属于中等的数据是：70，71，72，72，73．两款智能玩具飞机运行最长时间统计表类别A B平均数7070中位数71b众数a67方差30.426.6根据以上信息，解答下列问题：（1）上述图表中a＝　72　，b＝　70.5　，m＝　10　；（2）根据以上数据，你认为哪款智能玩具飞机运行性能更好？请说明理由（写出一条理由即可）；（3）若某玩具仓库有A款智能玩具飞机200架、B款智能玩具飞机120架，估计两款智能玩具飞机运行性能在中等及以上的共有多少架？【答案】（1）72，70.5，10；（2）A款智能玩具飞机运行性能更好，理由见解答（答案不唯一）；（3）192架．【解答】解：（1）A款智能玩具飞机10架一次充满电后运行最长时间中，72出现的次数最多，故众数a＝72，把B款智能玩具飞机10架一次充满电后运行最长时间从小到大排列，排在中间的两个数是70和71，故中位数b＝＝70.5，m%＝1﹣50%﹣40%＝10%，即m＝10．故答案为：72，70.5，10；（2）A款智能玩具飞机运行性能更好，理由如下：虽然两款智能玩具飞机运行最长时间的平均数相同，但A款智能玩具飞机运行最长时间的中位数和众数均高于B款智能玩具飞机，所以A款智能玩具飞机运行性能更好；（答案不唯一）；（3）200×+120×（1﹣40%）＝120+72＝192（架），答：估计两款智能玩具飞机运行性能在中等及以上的大约共有192架．九．整数问题的综合运用（共1小题）12．（2022•重庆）若一个四位数M的个位数字与十位数字的平方和恰好是M去掉个位与十位数字后得到的两位数，则这个四位数M为“勾股和数”．例如：M＝2543，∵32+42＝25，∴2543是“勾股和数”；又如：M＝4325，∵52+22＝29，29≠43，∴4325不是“勾股和数”．（1）判断2022，5055是否是“勾股和数”，并说明理由；（2）一个“勾股和数”M的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，记G（M）＝，P（M）＝．当G（M），P（M）均是整数时，求出所有满足条件的M．【答案】（1）2022 不是“勾股和数”，5055 是“勾股和数”；（2）8109或8190或4536或4563．【解答】解：（1）∵22+22＝8，8≠20，∴2022 不是“勾股和数”，∵52+52＝50，∴5055 是“勾股和数”；（2）∵M为“勾股和数”，∴10a+b＝c2+d2，∴0＜c2+d2＜100，∵G（M）为整数，为整数，∴c+d＝9，∴P（M）＝＝为整数，∴c2+d2＝81﹣2cd为3的倍数，∴cd为3的倍数．∴①c＝0，d＝9或c＝9，d＝0，此时M＝8109或8190；②c＝3，d＝6或c＝6，d＝3，此时M＝4536或4563．。

2021年九年级数学重庆中考23题阅读理解材料题专题(2)(无答案)

2021重庆年中考23阅读理解题材料题专题（2）1（巴蜀2021级初三上第一次月考）对于各位数字都不为0 的两位数m 和三位数n ，将m 中的任意一个数字作为一个新的两位数的十位数字，将n 的任意一个数字作为新的两位数的个位数字，按照这个方式产生的所有新的两位数的和几位F （m,n ），例如：F （12,345）=13+14+15+23+24+25=114.（1）填空：F （13,579）=（2）求证：当n 能被3整除，F （m ，n ）一定能被6整除;2（重庆两江育才2021级九上第一次月考）对任意一个四位数n ，将这个四位数n 千位数字与十位数字对调，百位上数字与个位上数字对调后可以得到新的四位数m ，记F （n ）=99n m -，例如n=1423，对调千位数字与十位数字及百位上数字与个位数字得到2314，所以F （n ）=14232314=-999-，如果四位数n 满足千位数字与百位数字的和等于十位数字与个位数字的和，则称这个数为“平衡数”，例如：1423，因为1+4=2+3，多以1423是一个平衡数.（1）请计算F （8062），并证明：对于任意一个四位数n ，都有F （n ）为整数；（2）若一个“平衡数”N 的十位数比百位数字的2倍少1，且这个“平衡数”能被同时被3和11整除，求F （N ）的最小值。

3（重庆育才2021级九上第二次定时训练）中国古贤常说万物皆自然，而古希腊学者说万物皆数，小学我们就接触了自然数，在数得学习过程中，我们会对其中一些具有某些特性的自然数进行研究，比如奇数、偶数、质数、合数等，今天我们来研究另外一种特殊的自然数——“欢喜数”定义：对于一个各位不为0的自然数，如果它正好等于各个数为数字的和的整数倍，我们就说这个自然数是一个“欢喜数”，例如：24是一个欢喜数，因为24=4×（2+4）；125不是一个“欢喜数”因为1+2+5=8,125不是8的整数倍.（1）判断28和135是否是“欢喜数”？请说明理由；（2）有一类“欢喜数”，它等于各位数数字之和的4倍，求所有这种“欢喜数”。

2021年重庆八中中考数学第10题三角函数实际应用综合试题集

2021年重庆八中中考数学第10题三角函数实际应用综合试题集数学试题1（八中2020级初三下定时训练九）中考结束后，小明和好朋友一起前往三亚旅游．他们租住的宾馆AB坐落在坡度为i＝1：2.4的斜坡上．宾馆AB高为129米．某天，小明在宾馆顶楼的海景房A 处向外看风景，发现宾馆前有一座雕像C（雕像的高度忽略不计），已知雕像C距离海岸线D的距离CD为260米，与宾馆AB的水平距离为36米，远处海面上一艘即将靠岸的轮船E的俯角为27°．则轮船E距离海岸线D的距离ED的长为（）米（参考数据：tan27°≈0.5，sin27°≈0.45）A．262B．212C．244D．2762（八中2020级初三下定时训练五）冬季，武隆仙女山迎来滑雪季，如图为滑雪场某段赛道示意图，AB段为助滑段，长为12米，坡角α为16°，一个曲面平台BCD连接了助滑坡AB与着陆坡DE，已知着陆坡DE的坡度为i＝1：2.4，DE长度为19.5米，B、D之间的垂直距离为5.5米，则一人从A出发到E处下降的垂直距离为（）米（参考数据：sin16°≈0.28，cos16°≈0.96，tan16°≈0.29，结果保留一位小数）A．15.9B．16.4C．24.5D．16.03（八中2020级初三下定时训练八）在课外实践中，小明为了测量江中信号塔A离河边的距离AB，采取了如下措施：如图在江边D处，测得信号塔A的俯角为40°，若DE＝55米，DE⊥CE，CE ＝36米，CE平行于AB，BC的坡度为i＝1：0.75，坡长BC＝140米，则AB的长为（）（精确到0.1米，参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）A．78.6米B．78.7米C．78.8米D．78.9米4（八中2021级初三上第一次月考模拟）如图，为了测量旗杆AB的高度，小明在点C处放置了高度为2米的测角仪CD，测得旗杆顶端点A的仰角∠ADE＝50.2°，然后他沿着坡度为i＝的斜坡CF走了20米到达点F，再沿水平方向走8米就到达了旗杆底端点B．则旗杆AB的高度约为（）米．（参考数据：sin50.2°≈0.77，cos50.2°≈0.64，tan50.2°≈1.2）．A．8.48B．14C．18.8D．30.85（八中2020级初三上定时练习十四）小明为了测量一楼房AB的高度，如图，小明从楼底B出发走了10米到达一坡角(即∠DCM )为30°的斜坡的底部，再走12米到达一观最平台测得测得楼顶A的仰角∠ADH为︒37.0tan=︒，3=1.7）3737.则楼房AB的高度为（）（参考数据：80︒，75.0cos=A.15B. 21C.22D.166（八中2020级初三上定时练习十一）如图，某大楼DE楼顶挂着“众志成城，抗击疫情”的大型宣传牌，为了测量宣传牌的高度CD，小江从楼底点E向前行走30米到达点A，在A处测得宣传牌下端D的仰角为60º.小江再沿斜坡AB行走26米到达点B，在点B测得宣传牌的上端C的仰角为43º，已知斜坡AB的坡度i=1:2.4，点A、B、C、D、E在同一平面内，CD⊥AE，宣传牌CD的高度约为（参考数据：sin43º≈0.68，cos43º≈0.73，tan43º≈0.93，√3≈1.73）（）A．8.3米 B.8.5米 C.8.7米 D.8.9米7（八中2020级初三上期末试卷）自行车因其便捷环保深受人们喜爱，成为日常短途代步与健身运动首选．如图1是某品牌自行车的实物图，图2是它的简化示意图．经测量，车轮的直径为66cm，中轴轴心C到地面的距离CF为33cm，后轮中心A与中轴轴心C连线与车架中立管BC所成夹角∠ACB ＝72°，后轮切地面l 于点D ．为了使得车座B 到地面的距离BE 为90cm ，应当将车架中立管BC 的长设置为 cm ．（参考数据：sin72°≈0.95，cos72°≈0.31，tan72°≈3.1）8（八中2020级初三下期末试卷）某同学利用数学知识测量建筑物DEFG 的高度.他从点A 出发沿着坡度为1:2.4i =的斜坡AB 步行26米到达点B 处，用测角仪测得建筑物顶端D 的仰角为37︒，建筑物底端E 的俯角为30.若AF 为水平的地面，侧角仪竖直放置，其高度 1.6BC =米，则此建筑物的高度DE约为(精确到0.1米，参考数据 1.73370.60sin ≈︒≈,，370.80370.75cos tan ︒≈︒≈,)（）A ．23.0米B ．23.6米C ．26.7米D ．28.9米9（八中2021级初三上入学测试试卷）如图，在距某居民楼AB 楼底B 点左侧水平距离60米的C 点处有一个山坡，山坡CD 的坡度（坡比）i=1:0.75，山坡坡底C 到坡顶D 点的距离CD=45m ，在坡顶D 处测得居民楼楼顶A 点羊角为28，居民楼AB 与山坡CD 的侧面在同一平面内，则居民楼AB 的高度约为（参考数据：sin 28=0.47,cos 280.88,tan 280.53==）A. 76.9B.82.1C.94.8D.112.610（重庆八中2020级九下定时练习一）如图，小刚在甲楼，他想利用最近所学知识测量对面的乙楼的高度，小刚在甲楼楼底B 点测得乙楼楼顶C 点的仰角为45︒，当他爬上楼顶，在A 点处测得乙楼D 点的仰角为30︒，若10AB m =，6CD m =，则乙楼的高度CE 为（）m .（参考数据：2 1.41,3 1.73≈≈，精确到0.1m ）A .21.8B .37.6C .37.8D .38.211（重庆八中2020级九下定时练习八）如图，某数学活动小组为测量学校旗杆AB的高度，从旗杆正前方2m处的点C出发，沿坡度l＝1：2的斜坡CD前进5m到达点D，在点D处安置测角仪，测得旗杆顶部A的仰角为37°，量得仪器的高DE为1.5m，已知A，B，C，D，E在同一平面内，AB⊥BC，AB∥DE，则旗杆AB的高度是（）（参考数据：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈，≈1.732，≈2.236，结果保留一位小数）A．8.2B．8.4C．8.6D．8.812（重庆八中2020级九下中考模拟）小林在放学路上，看到隧道上方有一块宣传“重庆﹣﹣行千里，致广大”竖直标语牌CD．他在A点测得标语牌顶端D处的仰角为42°，由A点沿斜坡AB下到隧道底端B处（B，C，D在同一条直线上），AB＝10m，坡度为i＝1：，则标语牌CD的长为（）m（结果保留小数点后一位）．（参考数据：sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90，≈1.73）A．4.3B．4.5C．6.3D．7.813（重庆八中2021级九上定时训练一）数学实践活动课中小明同学测量某建筑物CD的高度，如图，已知斜坡AE的坡度为1:2.4i ，小明在坡底点E处测得建筑物顶端C处的仰角45，他沿着斜坡行走13米到达F处，在F处测得建筑物顶端C处的仰角35，小明和建筑物的剖面在同一平面内，小明的身高忽略不计，则建筑物CD的高约为A.28.0B.28.7C.39.7D.44.714（重庆八中2021级九上入学测试）如图，大坝横截面的迎水坡AB 的坡度为1:2，即:1:2BC AC =，若坡面AB 的水平宽度AC 为12米，则斜坡AC 的长为（）A ．B ．米C ．米D ．24米15（重庆八中2020级九下中考全真模拟）小明在某个斜坡AB 上，看到对面某高楼BC 上方有一块宜传“中国国际进口博览会”的竖直标语牌CD .小明在A 点测得标语牌顶端D 处的仰角为 42，并且测得斜坡AB 的坡度为3:1=i （D C B 、、在同一条直线上），已知斜坡AB 长20米，高楼高19米（即19=BC 米），则标语牌CD 的长是（）米.（结果保留小数点后一位）（参考数据：0.6742sin ≈ ， 0.7442 cos ≈ ， 0.9tan42≈ ，73.13≈）A．3.2B．8.3C．5.6D．6.616（重庆八中2020级九下定时训练十）如图是某轻轨站入口扶梯建设示意图．起初工程师计划修建一段坡度为3∶2的扶梯AB，扶梯总长为但这样坡度太陡，扶梯太长容易引发安全事故．工程师修改方案：修建AC、DE两段扶梯．并减缓各扶梯的坡度．其中扶梯AC和平台CD形成的ACD∠为135°．从E点D看点的仰角为36.5°，AC段扶梯长DE段扶梯长度约为（）米（参考数据：3sin36.55︒≈，4cos36.55︒≈，3tan36.54︒≈）A．43B．45C．47D．49。

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重庆市2021年中考数学试卷—解析版一．选择题:(本大题10个小题，每小题4分，共40分)在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D 的四个答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案的代号填入答题卷中对应的表格内．1、(2021•重庆)在﹣6，0，3，8这四个数中，最小的数是()A、﹣6B、0C、3D、8考点:有理数大小比较。

专题:计算题。

分析:根据正数大于0，0大于负数，正数大于负数，两负数绝对值大的反而小，解答即可．解答:解:∵8＞3＞0＞﹣6，∴最小的数是﹣6．故选A．点评:本题考查了有理数大小的比较，熟记:正数大于0，0大于负数，正数大于负数，两负数绝对值大的反而小．2、(2021•重庆)计算(a3)2的结果是()A、aB、a5C、a6D、a9考点:幂的乘方与积的乘方。

专题:计算题。

分析:根据幂的乘方法则:底数不变，指数相乘．(a m)n=a mn(m，n是正整数)计算即可．解答:解:(a3)2=a3×2=a6．故选C．点评:本题考查了幂的乘方，注意:①幂的乘方的底数指的是幂的底数；②性质中“指数相乘”指的是幂的指数与乘方的指数相乘，这里注意与同底数幂的乘法中“指数相加”的区别．3、(2021•重庆)下列图形中，是中心对称图形的是()A、B、C、D、考点:中心对称图形。

专题:数形结合。

分析:根据中心对称图形的定义来判断:把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．解答:解:A、将此图形绕任一点旋转180度都不能与原来的图形重合，所以这个图形不是中心对称图形；B、将此图形绕某一点旋转180度正好与原来的图形重合，所以这个图形是中心对称图形；C、将此图形绕任一点旋转180度都不能与原来的图形重合，所以这个图形不是中心对称图形；D、将此图形绕任一点旋转180度都不能与原来的图形重合，所以这个图形不是中心对称图形．故选B．点评:本题主要考查中心对称图形的定义:把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．4、(2021•重庆)如图，AB∥CD，∠C=80°，∠CAD=60°，则∠BAD的度数等于()A、60°B、50°C、45°D、40°考点:平行线的性质。

分析:根据三角形的内角和为180°，即可求出∠D的度数，再根据两直线平行，内错角相等即可知道∠BAD 的度数．解答:解:∵∠C=80°，∠CAD=60°，∴∠D=180°﹣80°﹣60°=40°，∵AB∥CD，∴∠BAD=∠D=40°．故选D．点评:本题考查了三角形的内角和为180°，以及两直线平行，内错角相等的性质，难度适中．5、(2021•重庆)下列调查中，适宜采用抽样方式的是()A、调查我市中学生每天体育锻炼的时间B、调查某班学生对“五个重庆”的知晓率C、调查一架“歼20”隐形战机各零部件的质量D、调查广州亚运会100米参赛运动员兴奋剂的使用情况考点:全面调查与抽样调查。

专题:应用题。

分析:调查方式的选择需要将普查的局限性和抽样调查的必要性结合起来，具体问题具体分析．普查结果准确，所以在要求精确、难度相对不大，实验无破坏性的情况下应选择普查方式；当考查的对象很多或考查会给被调查对象带来损伤破坏，以及考查经费和时间都非常有限时，普查就受到限制，这时就应选择抽样调查．解答:解:A、调查我市中学生每天体育锻炼的时间，适合抽样调查，B、调查某班学生对“五个重庆”的知晓率，采用全面调查，C、调查一架“歼20”隐形战机各零部件的质量，采用全面调查，D、调查广州亚运会100米参赛运动员兴奋剂的使用情况，采用全面调查，故选A．点评:本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大时，应选择抽样调查；对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查，比较简单．6、(2021•重庆)如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠OCB=40°，则∠A的度数等于()A、60°B、50°C、40°D、30°考点:圆周角定理。

分析:在等腰三角形OCB中，求得两个底角∠OBC、∠0CB的度数，然后根据三角形的内角和求得∠COB=100°；最后由圆周角定理求得∠A的度数并作出选择．解答:解:在△OCB中，OB=OC(⊙O的半径)，∴∠OBC=∠0CB(等边对等角)；∵∠OCB=40°，∠C0B=180°﹣∠OBC﹣∠0CB，∴∠COB=100°；又∵∠A=∠C0B(同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半)，∴∠A=50°，故选B．点评:本题考查了圆周角定理:同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半．解题时，借用了等腰三角形的两个底角相等和三角形的内角和定理．7、(2021•重庆)已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)在平面直角坐标系中的位置如图所示，则下列结论中，正确的是()A、a＞0B、b＜0C、c＜0D、a+b+c＞0考点:二次函数图象与系数的关系。

专题:数形结合。

分析:根据抛物线的开口方向判断a的正负；根据对称轴在y轴的右侧，得到a，b异号，可判断b的正负；根据抛物线与y轴的交点为(0，c)，判断c的正负；由自变量x=1得到对应的函数值为正，判断a+b+c的正负．解答:解:∵抛物线的开口向下，∴a＜0；又∵抛物线的对称轴在y轴的右侧，∴a，b异号，∴b＞0；又∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴c＞0，又x=1，对应的函数值在x轴上方，即x=1，y=ax2+bx+c=a+b+c＞0；所以A，B，C选项都错，D选项正确．故选D．点评:本题考查了抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)中各系数的作用:a＞0，开口向上，a＜0，开口向下；对称轴为x=﹣，a，b同号，对称轴在y轴的左侧；a，b异号，对称轴在y轴的右侧；抛物线与y轴的交点为(0，c)，c＞0，与y轴正半轴相交；c＜0，与y轴负半轴相交；c=0，过原点．8、(2021•重庆)为了建设社会主义新农村，我市积极推进“行政村通畅工程”．张村和王村之间的道路需要进行改造，施工队在工作了一段时间后，因暴雨被迫停工几天，不过施工队随后加快了施工进度，按时完成了两村之间的道路改造．下面能反映该工程尚未改造的道路里程y(公里)与时间x(天)的函数关系的大致图象是()A、B、C、D、考点:函数的图象。

专题:数形结合。

分析:根据y随x的增大而减小，即可判断选项A错误；根据施工队在工作了一段时间后，因暴雨被迫停工几天，即可判断选项B错误；根据施工队随后加快了施工进度得出y随x的增大减小得比开始的快，即可判断选项C、D的正误．解答:解:∵y随x的增大而减小，∴选项A错误；∵施工队在工作了一段时间后，因暴雨被迫停工几天，∴选项B错误；∵施工队随后加快了施工进度，∴y随x的增大减小得比开始的快，∴选项C错误；选项D正确；故选D．点评:本题主要考查对函数图象的理解和掌握，能根据实际问题所反映的内容来观察与理解图象是解答此题的关键．9、(2021•重庆)下列图形都是由同样大小的平行四边形按一定的规律组成，其中，第①个图形中一共有1个平行四边形，第②个图形中一共有5个平行四边形，第③个图形中一共有11个平行四边形，…则第⑥个图形中平行四边形的个数为()A、55B、42C、41D、29考点:规律型:图形的变化类。

专题:规律型。

分析:由于图②5个=1+2+2，图③11个=1+2+3+2+3，图④19=1+2+3+4+2+3+4，由此即可得到第⑥个图形中平行四边形的个数．解答:解:∵图②平行四边形有5个=1+2+2，图③平行四边形有11个=1+2+3+2+3，图④平行四边形有19=1+2+3+4+2+3+4，∴图⑥的平行四边形的个数为1+2+3+4+5+6+2+3+4+5+6=41．故选C．点评:本题是一道根据图形进行数字猜想的问题，关键是通过归纳与总结，得到其中的规律，然后利用规律解决一般问题．10、(2021•重庆)如图，正方形ABCD中，AB=6，点E在边CD上，且CD=3DE．将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG、CF．下列结论:①△ABG≌△AFG；②BG=GC；③AG∥CF；④S△FGC=3．其中正确结论的个数是()A、1B、2C、3D、4考点:翻折变换(折叠问题)；全等三角形的判定与性质；勾股定理。

专题:几何综合题。

分析:根据翻折变换的性质和正方形的性质可证△ABG≌△AFG；在直角△ECG中，根据勾股定理可证BG=GC；通过证明∠AGB=∠AGF=∠GFC=∠GCF，由平行线的判定可得AG∥CF；由于S△FGC=S△GCE﹣S△FEC，求得面积比较即可．解答:解:①正确．因为AB=AD=AF，AG=AG，∠B=∠AFG=90°，∴△ABG≌△AFG；②正确．因为:EF=DE=CD=2，设BG=FG=x，则CG=6﹣x．在直角△ECG中，根据勾股定理，得(6﹣x)2+42=(x+2)2，解得x=3．所以BG=3=6﹣3=GC；③正确．因为CG=BG=GF，所以△FGC是等腰三角形，∠GFC=∠GCF．又∠AGB=∠AGF，∠AGB+∠AGF=180°﹣∠FGC=∠GFC+∠GCF，∴∠AGB=∠AGF=∠GFC=∠GCF，∴AG∥CF；④错误．过F作FH⊥DC，∵BC⊥DH，∴FH∥GC，∴△EFH∽△EGC，∴=，EF=DE=2，GF=3，∴EG=5，∴==，∴S△FGC=S△GCE﹣S△FEC=×3×4﹣×4×(×3)=≠3．故选C．点评:本题综合性较强，考查了翻折变换的性质和正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，平行线的判定，三角形的面积计算，有一定的难度．二．填空题:(本大题6个小题，每小题4分，共24分)11、(2021•重庆)据第六次全国人口普查结果显示，重庆常住人口约为2880万人．将数2880万用科学记数法表示为 2.88×103万．考点:科学记数法—表示较大的数。

专题:数字问题。

分析:科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．解答:解:将2880万用科学记数法表示为2.88×103．故答案是:2.88×103．点评:此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．12、(2021•重庆)如图，△ABC中，DE∥BC，DE分别交边AB、AB于D、E两点，若AD:AB=1:3，则△ADE 与△ABC的面积比为1:9．考点:相似三角形的判定与性质。