半变异函数(第一部分)
克里金(kriging)插值的原理与公式推导
克里金(kriging)插值的原理与公式推导
克里金插值是一种空间插值方法，用于估计未知区域的数值，其
原理是基于空间数据的空间相关性来进行插值。
具体来说，克里金插
值假设空间数据在不同位置之间具有一定的相关性，即在空间上相邻
的点具有相似的数值。
克里金插值利用这种相关性来进行插值，从而
可以更准确地估计未知位置的数值。
克里金插值的公式推导涉及到半变异函数的定义，通常使用高斯
模型、指数模型或球形模型来描述数据的空间相关性。
在推导过程中，会利用已知数据点的数值和位置信息，以及半变异函数的参数来构建
插值模型，进而估计未知位置的数值。
克里金插值的公式可以表示为：
\[Z(u) = \sum_{i=1}^{n} \lambda_i \cdot Z(u_i)\]
其中，\(Z(u)\)为未知位置的数值，\(Z(u_i)\)为已知数据点的
数值，\(\lambda_i\)为插值权重，通过半变异函数及数据点之间的空
间距离计算得出。
除了基本的克里金插值方法外，还有一些相关的扩展方法，如普通克里金、泛克里金等，这些方法在建模和插值的过程中考虑了更多的因素，如均值趋势、空间方向等，使得插值结果更加准确和可靠。
总的来说，克里金插值是一种常用的空间插值方法，适用于各种地学环境下的数据分析与建模。
在实际应用中，需要根据具体数据的特点选择合适的插值方法和模型参数，以获得准确的插值结果。
探索性空间数据分析
地统计方法
• 变异函数
基台值：反映最大变异情 况，越高表明空间异质性越 高； 变程：空间相关性的作用 范围，超出变程则空间相关 性不存在； 块金值：反映随机变化， 受不确定性因素影响部分。
60.37 55.
地统计方法
表4 预测点（1，4）的g向量计算结果
(1,5) (3,4) (1,3) (4,5) (5,1)
距离 1 2 1
3.162 5
g向量 13.5 27 13.5 42.69 67.5
1
(1.5) (3,4) (1,3) (4,5) (5,1) (1,4)
• 直方图 • Normal QQ Plot • 趋势分析 • Voronoi Map • 半变异/协方差云图 • General QQ Plot • 正交协方差云图
直方图
• 将数据分为若干区 间，统计每个区间 内的要素个数
• 给出一组统计量 • 检验数据是否符合
正态分布以及发现 离群值
Normal QQ Plot
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表1 半变异值计算结果
半变异值 12.5 12.5 0 112.5 0 12.5 112.5 12.5 50 112.5
距离计算 Sqrt[(1-3)2+(5-4)2] Sqrt[(1-1)2+(5-3)2] Sqrt[(1-4)2+(5-5)2] Sqrt[(1-5)2+(5-1)2] Sqrt[(3-1)2+(4-3)2] Sqrt[(3-4)2+(4-5)2] Sqrt[(3-5)2+(4-1)2] Sqrt[(1-4)2+(3-5)2] Sqrt[(1-5)2+(3-1)2] Sqrt[(4-5)2+(5-1)2]
GS+使用
1，建议你认真学习地统计学知识，有效滞后距（active lag distance）是指半方差计算采用的最大的距离，一般取采样点最大距离的1/2. lag distance interval 与 n 的乘积就是 active lag distance。
如果你不懂的话，就不要修改。
不过有时候选取合适的n，会得到精确度不一样的结果。
间距（lag distance interval）不同，变异函数代表的尺度就不一样，比如你取50m时能反映50m内的空间变异，而取100m时能反映100m的空间变异。
2，一般来说，软件选择的是最优的。
不过在很多情况下软件会自动选择线性，特别是数据不太适合半变异函数分析的时候。
会出现一些逻辑错误，比如计算出来的变程很大，10000m以上，而实际上最大滞后距才1800m，这显然是逻辑错误。
需要手动调节参数，将变程等有效指标调到合适的范围，当然，可能会使得RSS值有所降低。
但这是最优的。
3，地统计学要求样本符合正态分布，也就是说必须对数据进行转化，常见的转换方法有average + - 3 * S, 对数转化，BOX-COX转化。
在SPSS里用非参数检验，K-S检验，得sig值大于0.05为正态分布。
有时候数据实在无法转换为正态分布，可以将就着用。
你会发现，数据转化与未转化的半变异函数是差不多的。
我一般用GS+软件计算半方差，它的模型拟合能力很强。
但是它的作图就差强人意啦。
如果你EXCEL水平很高的话，可以把GS+计算的lag 和semivariance值复制到excel中，然后自己编写模型函数，这样作图就很好了。
ARCGIS里的kriging插值做得很好，但是由于其半变异函数的模型拟合无法看出拟合效果，我建议你根据GS+里面算的模型结果到ARCGIS里进行kriging插值，不然插值出来没有物理意义，就只有纯粹的数字意义了。
4，不建议在GS+里作图。
不过GS+软件本身是可以导出图片的，你仔细看看每个按钮，如果不懂英文就查一查吧。
几种克里金温度插值的比较
几种克里金温度插值的比较1克里金插值法克里金法类型分常规克里金插值(常规克里金模型/克里金点模型)和块克里金插值。
常规克里金插值，其内插值与原始样本的容量有关，当样本数量较少的情况下，采用简单的常规克里金模型内插的结果图会出现明显的凹凸现象；块克里金插值是通过修改克里金方程以估计子块B内的平均值来克服克里金点模型的缺点，对估算给定面积实验小区的平均值或对给定格网大小的规则格网进行插值比较适用。
克里金插值有多种方式，可分为简单克里金插值、普通克里金插值、泛克里金插值等线性插值法，指示克里金插值、析取克里金插值等非线性插值法和概率克里金插值、贝叶斯克里金插值等。
克里金法提供了一个在有限区域内对空间变量进行无偏最优估计的方法。
1.1简单克里金插值图1 未经数值变换的简单克里金插值（作图：曹源飞）图2 数值变换后的简单克里金插值（作图：曹源飞）采用简单克里金插值时，由于原温度数据不满足正态分布，故进行数值转换，即在Transformation Type中选择Normal Score，Order of trend removal 中选择Second得到图2.simple kriging很少直接用于估计，因为它假设空间过程的均值依赖于空间位置，并且是已知的，但在实际中均值一般很难得到。
它可以用于其它形式的克立格法中例如指示和析取克立格法，在这些方法中数据进行了转换，平均值是已知的。
1.2 普通克里金插值图3 普通克里金插值（作图：杨敏）Ordinary kriging是单个变量的局部线形最优无偏估计方法，也是最稳健常用的一种方法。
普通克里金(Ordinary Kriging)提供了一个在有限区域内对空间变量进行无偏最优估计的方法，是根据样本空间位置不同、样本间相关程度不同，对每个样品赋予了不同的权，进行滑动加权平均，以估计待测点的值。
普通克里金法为一种广泛使用的地理统计的插值方法，但一般都只依据经验使用一个变异函数来计算插值结果。
探索性空间数据分析
研究生课程探索性空间数据分析杜世宏北京大学遥感与GIS研究所提纲一、地统计基础二、探索性数据分析•地统计（Geostatistics）又称地质统计，是在法国著名统计学家Matheron大量理论研究的基础上逐渐形成的一门新的统计学分支。
它是以区域化变量为基础，借助变异函数，研究既具有随机性又具有结构性，或空间相关性和依赖性的自然现象的一门科学。
凡是与空间数据的结构性和随机性，或空间相关性和依赖性，或空间格局与变异有关的研究，并对这些数据进行最优无偏内插估计，或模拟这些数据的离散性、波动性时，皆可应用地统计学的理论与方法。
•地统计学与经典统计学的共同之处在于：它们都是在大量采样的基础上，通过对样本属性值的频率分布或均值、方差关系及其相应规则的分析，确定其空间分布格局与相关关系。
但地统计学区别于经典统计学的最大特点是：地统计学既考虑到样本值的大小，又重视样本空间位置及样本间的距离，弥补了经典统计学忽略空间方位的缺陷。
•地统计分析理论基础包括前提假设、区域化变量、变异分析和空间估值。
• 1. 前提假设–⑴随机过程。
与经典统计学相同的是，地统计学也是在大量样本的基础上，通过分析样本间的规律，探索其分布规律，并进行预测。
地统计学认为研究区域中的所有样本值都是随机过程的结果，即所有样本值都不是相互独立的，它们是遵循一定的内在规律的。
因此地统计学就是要揭示这种内在规律，并进行预测。
–⑵正态分布。
在统计学分析中，假设大量样本是服从正态分布的，地统计学也不例外。
在获得数据后首先应对数据进行分析，若不符合正态分布的假设，应对数据进行变换，转为符合正态分布的形式，并尽量选取可逆的变换形式。
• 1. 前提假设–（3）平稳性。
对于统计学而言，重复的观点是其理论基础。
统计学认为，从大量重复的观察中可以进行预测和估计，并可以了解估计的变化性和不确定性。
–对于大部分的空间数据而言，平稳性的假设是合理的。
其中包括两种平稳性：•一是均值平稳，即假设均值是不变的并且与位置无关；•另一类是与协方差函数有关的二阶平稳和与半变异函数有关的内蕴平稳。
克立格估值法在SURPAC块体建模中的应用
［２］罗周全，刘晓明，吴亚斌，等．地质统计学在多金属矿床储量计 算中的应用研究［Ｊ］．地质与勘探，２００７，４３（３）：８３－８７．
［３］冯超东，杨鹏。胡乃联．克立格法在ＳＵＲＰＡＣ软件中的实现 及应用［Ｊ］．金属矿山，２００７（４）：５５－５８．
１克立格法基本原理 地质统计学【ｌ ３是２０世纪６０年代初期出现的一
个新兴应用数学分支，在过去的几十年中，地质统计 学不仅在理论上得到发展与完善，而且在实践中得 到日益广泛的应用。其基本思想是由南非的Ｄａｎｉｅ Ｋｒｉｇｅ在金矿的品位估算实践中提出来的，后来由法 国的Ｇｅｏｒｇｅｓ Ｍａｔｈｅｒｏｎ经过数学加工，形成一套完整 的理论体系。应用地质统计学进行估值的方法被称 为克里格法。
地质统计学理论体系的核心是区域化变量，用 于描述区域化变量变化规律的基本函数是协变异函 数和半变异函数。 １．１协变异函数
协变异函数主要反映２个随机变量的相关关 系。
设：ｘ（ｚ）表示区域化变量ｘ在矿体Ｑ中２点的 取值；ｘ（ｚ＋ｈ）表示区域化变量ｘ在矿体Ｑ中距ｚ点 ｈ处的取值。则Ｘ（ｚ）与Ｘ（ｚ＋ｈ）在矿体Ｑ中的协方 差为
关键词地质统计学克里格法ＳＵＲＰＡＣ软件块体模型
Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ ｏｆ Ｋｒｌｇｉｎｇ Ｅｓｔｉｍａｔｉｏｎ Ｍｅｔｈｏｄ ｉｎ ＳＵＲＰＡＣ Ｂｌｏｃｋ Ｍｏｄｅｌ
Ｃｈｅｎ Ｘｉａｏｗｅｎ Ｓｏｎｇ Ｇｅｗｅｎ （Ｍｅｉｓｈａｎ Ｍｉｎｉｎｇ Ｃｏｍｐａｎｙ）
Ａｂｓｔｒａｃｔ Ｋｒｉｇｉｎｇ ｍｅｔｈｏｄ ｉｓ ｔｈｅ ｍｏｓｔ ｉｍｐｏｒｔａｎｔ ａｎｄ ｂａｓｉｃ ｅｓｔｉｍａｔｉｏｎ ｍｅｔｈｏｄ ｉｎ ｇｅｏ－ｓｔａｔｉｓｔｉｃｓ．Ｔｈｅ ｂａｓｉｃ ｐｒｉｎｃｉｐｌｅｓ ｏｆ Ｋｒｉｇｉｎｇ ａｎｄ ｔｈｅ ｂｌｏｃｋ ｍｏｄｅｌ ｂａｓｅｄ ｏｎ ＳＵＲＰＡＣ ｓｏｆｔｗａｒｅ ａｒｅ ｏｖｅｒｖｉｅｗｅｄ．Ａｎｄ ｔｈｅ ｅｓｔｉｍａｔｉｏｎ ｖａｌｕｅｓ ｆｏｒ ｂｌｏｃｋ ｍｏｄｅｌ ｂｙ ｋｒｉｇ—
第十章 地统计学
§10 地统计学
区域化变量的的数字特征
区域化变量的一阶矩（数学期望）
E Z ( x)＝( x)
区域化变量的二阶矩 ➢ 方差函数 ➢ 协方差函数 ➢ 变差函数（半方差函数）
方差函数 Var Z(x)＝EZ(x) (x)2 E Z(x)2 2(x)
§10 地统计学
区域化变量的的数字特征－协方差函数
h 的一对点(xi , xi h)上测定的值，则定义Z(x)的实验半方 差函数为
ˆ(h)
1 N(h) 2N (h) i1
Z (xi h) Z (xi )
2
实验半方差是总体半方差的一个无偏估计量。
§10 地统计学
半方差实际计算中的几个问题
缺值情况 各向同性（isotropic) 取样不规则情况 实测数据量
Var Z (x) Z (x h) E Z (x) Z (x h)2 E Z (x)Z (x h)2
E Z (x) Z (x h)2
(h) 1 E Z (x) Z (x h)2 Var Z (x) Z (x h) 2 (h)
2
有了本征假设，在进行变异函数估计时，对同一个h，可以 得到无数个增量值，从而可以根据实际测定来估计变异函 数（半方差函数）。
§10 地统计学
地统计学与经典统计学的区别
经典统计学研究的变量是随机变量，该随机变量的取 值按某种概率分布而变化。地统计学研究的变量是区 域化变量，该区域化变量根据其在一个域内的空间位 置取不同的值，它是随机变量与位置有关的随机函数。 因此，地统计学中的区域化变量既有随机性又有结构 性。
§10 地统计学
§10 地统计学
C0/ ( C0 + C) 指标
块金方差与基台值之比C0/ ( C0 + C)反映的是随机因 素引起的空间异质性占总空间异质性的百分比。如果这 个值较大,相应块金效应就较小,说明在小尺度空间中被 研究对象变化较小,亦说明当前的采样密度对于所进行 的研究是足够的。 如果比例< 25 % ,说明变量具有强烈的空间相关性; 比例在25 %~75 %之间,变量具有中等的空间相关性； 比例> 75 %时,变量空间相关性很弱。
克里格空间插值法ppt课件
4．高斯模型（Gaussian model） 变程为 。
1.9 理论变异函数模型
图是球状模型、指数模型和高斯模型的比较，可以看出，球状模型的变程最小，指数的模型变程最大，高斯模型的变程介于二者之间。球状模型和指数模型过原点存在切线，高斯模型则没有。
1.9 理论变异函数模型
3．指数模型(Exponential model) 其中，d是控制方程空间范围的距离参数。这里，仅在无穷远处相关性完全消失。变程为3d。指数模型在统计理论中地位重要，它表示了空间随机性的要素，是一阶自回归和马尔可夫过程的半方差函数。作为自相关函数，它们是采样设计有效性的理论基础。
1.4邻域函数的统计函数及其意义
摄影测量得到的正射航片或卫星影象； 卫星或航天飞机的扫描影象； 野外测量采样数据，采样点随机分布或有规律的线性分布（沿剖面线或沿等高线； 数字化的多边形图、等值线图；
1.5 空间插值的数据源
图1 各种不同的采样布置方式
1.6 采样布置方式
1.8 方差变异函数
2）曲线从较低的方差值升高，到一定的间隔值时到达基台值，这一间隔称为变程（range）。在理论函数模型中，变程用a表示。 变程是半方差函数中最重要的参数，它描述了该间隔内样点的空间相关特征。在变程内，样点越接近，两点之间相似性、即空间上的相关性越强。很明显，如果某点与已知点距离大于变程，那么该点数据不能用于数据内插（或外推），因为空间上的自相关性不复存在。 变程的高低取决于观测的尺度，说明了相互作用所影响的范围。不同的属性，其变程值可以变化很大。
1.2.2局部插值方法 分类
1.4邻域函数的统计函数及其意义
众数（majority)：邻域中出现频率最高的数值 最大值(max)：邻域中最大的数值 最小值(min)：邻域中最小的数值 中位数(median)：邻域中数值从小到大排列后位于中间的数 平均值(mean)：邻域中数值的算术平均 频率最小数(minority)：邻域中出现频率最小的数值 范围(range)：邻域中数值的范围，最大值与最小值之差 标准差(std)：邻域中数值的标准差 和(sum)：邻域中数值的和 变异度(varity)：邻域中不同数值的个数
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半变异函数(第一部分)
半变异函数是概率论中一种重要的概率分布。
它属于正态分布的一种变形，属于一类非对称性的分布。
半变异函数的形式是：y = (2/σ√2π) (1+x2/σ2) -1/2 α，其中σ代表标准差，α 代表偏度参数。
4个参数的半变异函数关系性更加紧密，根据参数的不同，它的几何形状形可能会发生改变，这也是其它变异函数的不同之处。
半变异函数有若干重要的特点。
其中，分布的峰值与基线均出现在分布的中心位置，与正态分布在两端出现最大值不同。
并且，它还具有较宽的左右两侧分布，使得半变异性分布在极端情况下也更具有延展性。
此外，半变异函数可用来选择特定的观测值，可应用于差异分析，还能够表征观测值的非线性特征，从而能够更准确地反映数据中存在的模式。
半变异函数经过长期发展，已经成为统计分析中重要的工具，它不仅可以应用于波动分析、风险分析，同时还可以作为进行统计计算和模型构建的重要基础。
通过灵活运用半变异函数，研究人员以及经济相关的决策者可以从不同的层面深入研究问题的解决方案，为社会发展注入新的动力，推动社会经济的发展。