第四章变异函数的结构分析
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地学统计第四章.ppt
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无基台值模型——幂函数值模型
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无基台值模型——对数值模型
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套合模型
在实际中，有时区域化随机变量Z(x)的变化 相当复杂，往往包含各种尺度及各种层次 的变化，反映在变异函数r(h)上，就是单一 的模型结构不能将其合理表达，而是多层 次的结构相互叠加在一起，地统计学上称 为套合。所谓套合结构，就是把分别出现 在不同距离h上或不同方向上同时起作用的 变异性组合起来，对全部有效的结构信息， 作定量化的概括，以表示区域化变量的主 要特征。
表示，即：
n
r(h) r0 (h) r1(h) rn (h) ri (h)
i0
ri(h)可以是相同的或不同的理论模型
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套合模型
如，区域化变量Z(x)的变异性由r0(h),r1(h)和 r2(h)组成，其中
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a1=14 C2=0.6
a2=50
从图中可看出，理 论值与实际值差异 较大，尤其是在15 到40m之间，因此， 需进行反复修改
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套合模型实例
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C0=0.4 C1=1.15
a1=12 C2=1
a2=60
从图中可看出，理 论值与实际值差异 拟合较好
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r*(k )
1 2 N (h)
N (h)
[ z ( xi
变异函数及结构分折
型也称块金效应型。这种类型说明变异函数 (h) 连续性差。当 h 增大时， (h) 又可逐渐变 得比较连续。
3 变异函数的功能
（2） 变异函数在原点处的性状反映变量的空间连续性
（d） 随机型 当 h 0 时， (h) C0 ，当 h 增大时， | h | 时， (h) 仍是在 C0 附 近摆动，无论 h 多么小，区域化变量 Z ( x) 与 Z ( x h) 总是不相关。这种类型称随机型，也 称纯块金效应型。 它反映了区域化变量完全不存在空间相关的情况、 或者说反映了变量是普 通的随机变量。这时 C0 等于先验方差， Var[Z ( x)] C0 。 （e） 过渡型 当 h 0 时， (h) C0 ，当 h=a（a 为变程） ，
h 0 h 0
1. 变异函数图结构分析
块金方差：主要来源于远小于抽样间距的空间尺度上
存在的差异。块金方差的大小直接限制了空间内插的精
度，如果实际的样本方差图主要表现为块金效应，即随 的增加变异函数的变化近似于一水平线，说明了在最小 抽样间距以上的空间尺度上不存在自相关性，这种结果 也意味着可能存在一个比抽样间距更加小的空间自相关
3 变异函数的功能
（4） 块金常数 的大小可反映区域化变量的随机性大小
C (0) 0 ，即先验方差不小于零。 C (h) C (h) ，即 C (h) 是对 h=0 的直线对称。
| C (h) | C (0) ，协方差函数绝对值小于等于先验方差。
| h | 时， C (h) 0 ，或写作 C () 0 。 C (h) 必须是一个非负定函数 （即由 C ( xi x j ) 构成的协方差函数矩阵必须是一个非
负定矩阵） 。
2 变异函数的性质
变异函数的自动拟合研究
COMPARISON OF FG 5ABSOLUTE GRAVI METER SURVEY I NGXI NGLelin 1,2,3 LI U Dongzhi1,2 LI J iancheng 3 LI Hui1,2 SHE N Chongyang 1,2(1Institute of Seismology ,CE A ;2Crustal Movement Laboratory ,40H ongshan Road ,Wuhan 430071,China ;3School of Geodesy and Geomatics ,Wuhan University ,129Luoyu Road ,Wuhan 430079,China )ABS TRACT The comparison of absolute gravimeter in 2006is introdaced ,and the surveyingand comparing result is analyzed.It shows that there is no obvious system error between F G5/232and F G 5/214.F G5/232has the quite ability of anti 2jamming and repetition ,its inner sur 2veying accuracy is about 2～3μG al.KEYWORDS comparison ;absolute gravity surveying ;gravity change ;earthquake文章编号:100723817(2008)0120027203中图分类号:P208 文献标志码:B变异函数的自动拟合研究熊俊楠1 马洪滨2(1西南石油大学建筑工程学院,成都市新都大道8号,610500;2东北大学测绘工程系,沈阳市文化路3号,110004)摘 要 提出了初值限定的加权多项式回归方法,提高了各类地质统计学软件包的自动化程度,提供了地质统计学扩展GIS 空间分析功能的重要方法。
第4章 变异函数结构分析
( h ) 0 ( h) 1 ( h) 2 ( h)
三、变异函数的套合结构
2. 不同方向上的套合
( h)
(a)各向同性
h1=A*h 通过变换矩阵A， 改变不同方向上 的向量h 不同方向上的aαi进行 线性变换，乘以各向 异向比
(b)几何各向异性
(c)带状各向异性
结构模型 (h) 可以看成是由N个各向同性结构套合而成，即 (h) i ( hi )
一、变异函数的理论模型
二、变异函数理论模型的最优拟合
三、变异函数的套和结构
二、变异函数理论模型的最优拟合
模型参数的最优估计 模型拟合评价及类型确定 影响变异函数的主要因素
二、变异函数理论模型的最优拟合
1. 模型参数的最优估计—人工拟合 通过实验变异函数散点图确定曲线的大致类型； 通过对散点图走势的观察初步估计模型参数；
h x1 h 3 x2 C0 b0 3c b1 2a c b2 2a 3
变换后的线性模型：y b0 b1x1 b2 x2
二、变异函数理论模型的最优拟合
1. 模型参数的最优估计—自动拟合 优点：简单方便。 缺点：得到的变异函数模型的曲线有时并不十分满意，这是因 为对实验变异函数曲线中头几个点（在反映变量的空间自相关方 面极为重要）的重要性认识不足。 1）最小二乘法拟合
C0：块金值； A：常数， 表示直线斜 率
线性无基台模型
幂指数模型
θ ：幂指数
对数模型
不能描述点 支撑上的区 域化变量结 构
一、变异函数的理论模型
• 3、孔穴效应模型
模型名称 模型公式表示 模型曲线 备注
孔穴效应模 型
h大于一定的距 离后， (h) 非单 调递增，以一定 的周期b进行波 动，表现出“孔 穴效应”
地质统计学变异函数
5
6
变异函数的计算与拟合
• 设Z(x)是二维区域化变量满 足风蕴假设。有41个观测值 如图,网格边长为a。计算4个 方向变异函数
• 方向1：γ(a)=4.1；γ(2a)=8.84； γ(3a)=12.08；
• 方向2: γ(a)=4.25；γ(2a)=8.22； γ(3a)=10.9；
• 方向3：γ(1.414a)=5.03；
• 共180个变异计算 Ran Midr Mini Maxi Aver 10V0 aria
网格 ge ange mum mum age 80 nce
X 16 34.8 26.8 42.8 34.8 6022.4
Variogram
Coef. of Variation
Y 30 20
5
35
20 40 125
• 单一模型的拟合、多模型套合结构的拟合
变异函数的计算与拟合
• 变异函数的理论模型选择
• 任意有基台的模型都可用球状模型拟合
• 球状模型：单一模型的拟合
• 球 球状 状模 模型型的: 组合:多模型套合结构的拟合
0
,h 0
(h)
C0
C
(
3 2
(
h a
)
1 2
(
h a
)
3
)
,
0
h
变异函数的计算与拟合
• The Variogram Grid: • 有三个观测点位置{(50,50),
(100, 200), (500,100)}. • 三个点对: • A (50,50), (100,200) • B (50,50), (500,100) • C (100,200), (500,100) • 则三个点对在图中的位置 • A 71.57 158.11 • B 6.34 452.77 • C -14.04 412.31
地统计学知识点
地统计学知识点地统计学知识点第⼀章概论1.地统计学：以区域化变量理论为基础、以变异函数为主要⼯具，研究在空间分布上既有随机性和结构性，或空间相关和依赖性的⾃然现象的科学2.地统计学发展：1951年南⾮克⾥⾦和西舍尔提出克⾥⾦法20世纪60年代（1962年）法国马特隆提出地统计学概念出版《应⽤地统计学论》，该书中第⼀次阐明了地统计学原理，地统计学诞⽣1977年美国Parker博⼠将地统计学概念引⼊中国4.地统计学研究内容： P3-4空间估值（定义）、局部不确定性预测、随机模拟、多点地统计学（该⽅法产⽣于⽯油领域）5.地统计学适⽤范围6.地统计学应⽤领域（地质、⼟壤、⽣态、环境、⽓象）第⼆章地统计学基础1.总体抽取样本的四种⽅案（理解如何抽取样本）：随机抽样、机械抽样、分层抽样、分组抽样2.随机变量的数字特征（各定义） P15-21a)集中性度量（平均数）：算数平均值、中数、众数、数学期望b)离散性度量（离散数）：极差、离差、⽅差、协⽅差、矩、变异函数c)形态度量（形态数）：偏度、峰度期望：设C是常数，则有E(C)=C设X是⼀个随机变量，C是常数，则有E(CX)=CE(X)设X、Y为两个随机变量，则有E(X+Y)=E(X)+E(Y)设X,Y是相互独⽴的随机变量，则有E(XY)=E(X)E(Y)⽅差：设C是常数，则有D(C)=0设X是⼀个随机变量，C是常数，则有D(CX)=C2D(X) D(C+X)=D(X)设X、Y为两个随机变量，则有D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}若X,Y是相互独⽴的随机变量，则有D(X+Y)=D(X)+D(Y)协⽅差：3.相关关系：指事物之间的关系数值存在着⼀定的依存关系，即某⼀现象在其发展变化中，当数量上为⼀确定值时，与之有联系的其他现象可以有若⼲个数值与之对应，但这些值按某种规律在⼀定范围内进⾏波动。
4.特点：⼀个变量的取值不能由另⼀个变量唯⼀确定，也不能⽤函数形式给予描述，但并不是⽆规律可⾏的。
第四章 变异函数的结构分析
（4）变异函数计算
• 考虑数据的结构
等间距规则网格数据 非等间距不规则网格数据
（4）变异函数计算
• 1）扇区分组
– 以笛卡尔坐标原点为原点，如 图4-17所示虚线为样点对距离h ，利用扇形分区进行不规则格 网数据分组。
• 2）格网分组
– 扇区分组虽然合理，但不适宜 计算机表示，为此采用格网分 组。
2、模型拟合评价及类型确定
• 模型拟合评 • 最优曲线的检验 价包括： • 即理论模型的检验。由于把最优理论模型的求解转化为一
元和二元线性方程来求解，显然就需要对回归方程参数及 • 最优曲线的 方程本身进行显著性检验。 检验和模型 比较 • 模型比较
•
即是通过平均误差、均方根误差、平均标准误差等统计指 标对不同的理论模型比较，从中选出最优拟合模型。一般 来说，人们总是希望预测误差是无偏且最优的。
带状异向性：当区域化变量在 不同方向上变异性差异不能用 简单几何变换得到时，就称为 带状异向性。此时，实验变异 函数具有不同的基台值，而变 程可以相同也可以不同。
2、不同方向上的套合
• （2）变换矩阵
• 为了便于计算，在克里格估算中所用的变异函数或协方差函数的理论模式要 求区域化变量是各向同性。
2、不同方向上的套合
第四章 变异函数结构分析
提
纲
• 一、变异函数的理论模型 • 二、变异函数理论模型的最优拟合 • 三、变异函数的套合结构
一、变异函数的理论模型
纯块金效应模型 球状模型 有基台值模型 指数模型 高斯模型 线性有基台值模型 无基台值模型 线性无基台值模型 幂函数模型 对数模型 孔穴效应模型（可有有基台或无基台模型）
1、有基台值模型
• （1）纯块金效应模型
第四章 空间统计分析初步
Examples of Research Using SDA
Epidemiology (environmental exposure research)
Criminology (crime patterns)
Education (neighborhood effects on attainment) Diffusion/adoption (technologies)
与局部Moran指数相比，其重要的优势 在于能够进一步具体区分区域单元和其邻 居之间属于高值和高值、低值和低值、高 值和低值、低值和高值之中的哪种空间联 系形式。 并且，对应于 Moran 散点图的不同象 限，可识别出空间分布中存在着哪几种不 同的实体。 将Moran 散点图与 LISA显著性水平相结 合，也可以得到所谓的“Moran显著性水平 图”，图中显示出显著的 LISA 区域，并分 别标识出对应于Moran散点图中不同象限的 相应区域。
Social movements (trade unions, demonstrations)
Market analysis (housing and land price variation) Spillover effects (economic spillovers of universities) Regional studies (regional income variation & inequality) Demography (segregation patterns) Political science (election studies)
Z (I i ) I i E(I i ) VAR( I i )
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当 C0 0 时，C1 ，称为标准球状模型.
1、有基台值模型
• （3）指数模型
C 0 为块金常数。C0 C 为基台值。 C 为拱高。
指数模型的变程为3a。 当 C0 0 时，C1 ，称为标准指数模型。
1、有基台值模型
• （4）高斯模型
(h)C0C(10eh2a2)
h0 h0
C 0 为块金常数。C0 C 为基台值。 C 为拱高。
• 当变异函数 (h在) h大于一定的距离后，并非单调递增，而
在具有一定周期波动时就显示出一种“孔穴效应”。
二、变异函数理论模型的最优拟合
• 根据实验变异函数值，选择合适的理论模型来拟合一条最优的理论变异 函数曲线，最优拟合的过程实质是拟合最优模型的过程。
• 在变异函数理论模型中，除线性模型外，其余都是曲线模型，因此，可 以说地统计学中变异函数最优拟合主要是曲线拟合。
高斯模型的变程为 3 a 。 当 C0 0 时，C1 ，称为标准高斯函数模型。
1、有基台值模型
• （5）线性有基台值模型
C 0 为块金常数。C0 C 为基台值。 C 为拱高。 a为变程。 A 为常数，表示直线的斜率。
2、无基台值模型
• （1）线性无基台值模型
(h)Ac0h
h0 h0
➢基台值不存在，没有变程。
0(h) 表示微观上的变化
1(h) 表示变程为a1=10m时的球状模型
0
h0
1(h)
C1[23
h a1
1(h)3] 2 a1
0ha1
C1
ha1
2(h) 表示变程为a2=100m时的球状模型。
0
h0
2(h)C2[23ah2
1( h)3] 2 a2
0ha2
C2
ha2
(h ) 0 (h ) 1 (h ) 2 (h )
– 加权回归法拟合
对于指数和高斯模型（有基台）、幂函数和对数模型（无基台），可用一元加权回 归法拟合。
2、模型拟合评价及类型确定
• 模型拟合评 • 最优曲线的检验
价包括：
• 即理论模型的检验。由于把最优理论模型的求解转化为一
• 最优曲线的
元和二元线性方程来求解，显然就需要对回归方程参数及
检验和模型
2、无基台值模型
• （2）幂函数模型 (h)Ah ,02
➢θ为幂指数。当θ变化时，这种模
型可以反映在原点附近的各种性状。
2、无基台值模型
• （3）对数模型 (h)Algh
➢显然，当 h 0,lohg ，这与
变异函数的性质 (h) 0 不符。因
此，对数模型不能描述点支撑上的 区域化变量的结构。
3、孔穴效应模型
第四章 变异函数结构分析
提纲
• 一、变异函数的理论模型 • 二、变异函数理论模型的最优拟合 • 三、变异函数的套合结构
一、变异函数的理论模型
有基台值模型 无基台值模型
纯块金效应模型 球状模型 指数模型 高斯模型 线性有基台值模型 线性无基台值模型
幂函数模型
对数模型
孔穴效应模型（可有有基台或无基台模型）
1）几何异向性的套合
v
•
0
u
1）几何异向性的套合
•
2）带状异向性的套合
•
3）一般套合结构模式
•
3、结构分析的步骤
（1）区域化变量选择
◆根据具体研究目的而定，要有明确物理意义，最好能定量表示。 ◆支撑大小、形状与取样、测试方法应相同
（2）数据获取与审议
审议内容包括空间取样设计、样点间距离的大小、取样方法、数据 的代表性、数据均匀性、时空一致性、原始数据的记录、是否存在 系统误差等。
( h ) 0 ( h ) 1 ( h ) i( h )
1、单一方向上的套合
• 每一个变异函数代表同一方向上一种特定尺度的变异，并可以用不同的变异函 数理论模型来拟合，即单一方向的套合结构。
• 假设区域化变量Z(x)在某一方向上的变异性由 0 (h) 、1(h) 、2(h) 组成。
• 变异函数理论模型的最优拟合主要包括三个步骤：①确定变异函数模型 形态（或确定曲线类型）；②模型参数的最优估计；③模型拟合评价。
1、模型参数的最优估计
• （1）人工拟合
•
首先通过实验变异函数散点图，确定曲线的大致类型，再通过对
散点图走势的观察初步估计模型参数（即估计基台值、变程和块金常
数）；然后 （2）自动拟合
– 曲线类型确定
根据专业知识从理论上推断，或根据以往的经验来确定曲线类型。 通过散点图的走势，先大致确定曲线类型，再对这个初步类型进行参数最优估计， 确定是否为最优曲线。
– 最小二乘法拟合
将曲线模型先进行适当变换，化为线性模型。然后，如同回归分析那样用最小二乘 法原理估计模型参数。最小二乘法拟合的优点是简单方便。缺点是得到的变异函数 理论模型的曲线有时并不十分满意。
（3）数据统计分析
指对取样数据计算平均值、方差、标准差、变异系数、偏态数、峰 度等统计指标，并进行相关、正态、趋势、各向异性等特性分析。 其目的在于对数据特性进行初步了解，提出简单、明晰的解释。
（4）变异函数计算
• 考虑数据的结构
等间距规则网格数据
非等间距不规则网格数据
（4）变异函数计算
• 1）扇区分组
2、不同方向上的套合
• （2）变换矩阵
• 为了便于计算，在克里格估算中所用的变异函数或协方差函数的理论模式要 求区域化变量是各向同性。
2、不同方向上的套合
• （2）变换矩阵
2、不同方向上的套合
• （3）各向异性的套合 • 变程方向图
– 区域化变量不同方向上的变异类型一般可以根据变程方向图来确定。
• （6）变异函数的最优拟合及检验
– 为了研究区域化现象及空间局部估计，需要给实验变异函数散点图拟合 理论变异函数曲线，即拟合一个理论变异函数模型，并通过样本值估算 理论模型的参数。理论模型的优劣可通过与实际变异函数计算值的残差 平方和、估计标准误差、可决系数大小判断。
• （7）变异函数理论模型的专业分析
– 以笛卡尔坐标原点为原点，如 图4-17所示虚线为样点对距离h ，利用扇形分区进行不规则格 网数据分组。
• 2）格网分组
– 扇区分组虽然合理，但不适宜 计算机表示，为此采用格网分 组。
3、结构分析的步骤
• （5）变异函数的结构分析
– 结构分析的目的在于通过分析各种实验变异函数来分析所研究区域化现 象的主要结构特征。主要内容包括各向同性和各向异性分析、块金效应 分析、比例效应分析、不同方向上的套合结构分析。
，并绘制成散点图与实验变异函数散点图进行对比。若有差异，则调
整初步估计的参数值（即估计基台值、变程和块金常数），直到理论
变异函数散点图与实验变异函数散点图吻合较好。此时的基台值、变
程和块金值，即为变异函数最终的估计值。
•
人工拟合法的缺点是耗时、费力、因人而异、主观性强、缺乏统
一的、客观的标准。
1、模型参数的最优估计
方程本身进行显著性检验。
比较
• 模型比较
• 即是通过平均误差、均方根误差、平均标准误差等统计指 标对不同的理论模型比较，从中选出最优拟合模型。一般 来说，人们总是希望预测误差是无偏且最优的。
3、影响变异函数的主要因素
• 样点距离和支撑大小 • 样本数量 • 特异值影响 • 比例效应影响 • 漂移的影响
1、有基台值模型
• （1）纯块金效应模型
(h) 0 c0
h0 h0 C0 0 为先验方差。
区域化变量为随机分布， 空间相关性不存在
1、有基台值模型
• （2）球状模型
C 0 为块金常数。C0 C 为基台值。 C 为拱高。 a 为变程。
由地统计学理论奠基者法国学者马特隆 (G. Matheron )提出，故称马特隆模型。 在实际中，百分之九十五以上的实验变 异函数散点图都可用该模型拟合。
2、不同方向上的套合
（1）各向异性的种类
几何异向性：当区域化变量在不同方向上表现出变异 程度相同而连续性不同时称为几何异向性。这种异向 性因可以通过简单的几何图形变换化为各向同性而得 名。几何异向性具有相同的基台值，而变程不同。
带状异向性：当区域化变量在 不同方向上变异性差异不能用 简单几何变换得到时，就称为 带状异向性。此时，实验变异 函数具有不同的基台值，而变 程可以相同也可以不同。
复习思考题
1. 区域化变量的结构分析以变异函数模型为基础，请叙述 变异函数的理论模型。
2. 试简述各向异性的种类。 3. 试简述影响拟合模型的因素。 4. 结构分析是局部估计的基础，其目的在于建立一个最优
的变异函数理论模型，试论述结构分析的基本步骤。
三、变异函数的套合结构
• 结构分析
构造一个变异函数模型对于全部有效结构信息作定量化的概括， 以表征区域化变量的主要特征。结构分析的主要方法是套合结构。
• 套合结构
•
把分别出现在不同距离h上和（或）不同方向 上同时起作用的变异性
组合起来。可以表示为多个变异函数之和，每一个变异函数代表一个方向一
种特定尺度上的变异性，套合结构的表达式为：
1、有基台值模型
• （3）指数模型
C 0 为块金常数。C0 C 为基台值。 C 为拱高。
指数模型的变程为3a。 当 C0 0 时，C1 ，称为标准指数模型。
1、有基台值模型
• （4）高斯模型
(h)C0C(10eh2a2)
h0 h0
C 0 为块金常数。C0 C 为基台值。 C 为拱高。
• 当变异函数 (h在) h大于一定的距离后，并非单调递增，而
在具有一定周期波动时就显示出一种“孔穴效应”。
二、变异函数理论模型的最优拟合
• 根据实验变异函数值，选择合适的理论模型来拟合一条最优的理论变异 函数曲线，最优拟合的过程实质是拟合最优模型的过程。
• 在变异函数理论模型中，除线性模型外，其余都是曲线模型，因此，可 以说地统计学中变异函数最优拟合主要是曲线拟合。
高斯模型的变程为 3 a 。 当 C0 0 时，C1 ，称为标准高斯函数模型。
1、有基台值模型
• （5）线性有基台值模型
C 0 为块金常数。C0 C 为基台值。 C 为拱高。 a为变程。 A 为常数，表示直线的斜率。
2、无基台值模型
• （1）线性无基台值模型
(h)Ac0h
h0 h0
➢基台值不存在，没有变程。
0(h) 表示微观上的变化
1(h) 表示变程为a1=10m时的球状模型
0
h0
1(h)
C1[23
h a1
1(h)3] 2 a1
0ha1
C1
ha1
2(h) 表示变程为a2=100m时的球状模型。
0
h0
2(h)C2[23ah2
1( h)3] 2 a2
0ha2
C2
ha2
(h ) 0 (h ) 1 (h ) 2 (h )
– 加权回归法拟合
对于指数和高斯模型（有基台）、幂函数和对数模型（无基台），可用一元加权回 归法拟合。
2、模型拟合评价及类型确定
• 模型拟合评 • 最优曲线的检验
价包括：
• 即理论模型的检验。由于把最优理论模型的求解转化为一
• 最优曲线的
元和二元线性方程来求解，显然就需要对回归方程参数及
检验和模型
2、无基台值模型
• （2）幂函数模型 (h)Ah ,02
➢θ为幂指数。当θ变化时，这种模
型可以反映在原点附近的各种性状。
2、无基台值模型
• （3）对数模型 (h)Algh
➢显然，当 h 0,lohg ，这与
变异函数的性质 (h) 0 不符。因
此，对数模型不能描述点支撑上的 区域化变量的结构。
3、孔穴效应模型
第四章 变异函数结构分析
提纲
• 一、变异函数的理论模型 • 二、变异函数理论模型的最优拟合 • 三、变异函数的套合结构
一、变异函数的理论模型
有基台值模型 无基台值模型
纯块金效应模型 球状模型 指数模型 高斯模型 线性有基台值模型 线性无基台值模型
幂函数模型
对数模型
孔穴效应模型（可有有基台或无基台模型）
1）几何异向性的套合
v
•
0
u
1）几何异向性的套合
•
2）带状异向性的套合
•
3）一般套合结构模式
•
3、结构分析的步骤
（1）区域化变量选择
◆根据具体研究目的而定，要有明确物理意义，最好能定量表示。 ◆支撑大小、形状与取样、测试方法应相同
（2）数据获取与审议
审议内容包括空间取样设计、样点间距离的大小、取样方法、数据 的代表性、数据均匀性、时空一致性、原始数据的记录、是否存在 系统误差等。
( h ) 0 ( h ) 1 ( h ) i( h )
1、单一方向上的套合
• 每一个变异函数代表同一方向上一种特定尺度的变异，并可以用不同的变异函 数理论模型来拟合，即单一方向的套合结构。
• 假设区域化变量Z(x)在某一方向上的变异性由 0 (h) 、1(h) 、2(h) 组成。
• 变异函数理论模型的最优拟合主要包括三个步骤：①确定变异函数模型 形态（或确定曲线类型）；②模型参数的最优估计；③模型拟合评价。
1、模型参数的最优估计
• （1）人工拟合
•
首先通过实验变异函数散点图，确定曲线的大致类型，再通过对
散点图走势的观察初步估计模型参数（即估计基台值、变程和块金常
数）；然后 （2）自动拟合
– 曲线类型确定
根据专业知识从理论上推断，或根据以往的经验来确定曲线类型。 通过散点图的走势，先大致确定曲线类型，再对这个初步类型进行参数最优估计， 确定是否为最优曲线。
– 最小二乘法拟合
将曲线模型先进行适当变换，化为线性模型。然后，如同回归分析那样用最小二乘 法原理估计模型参数。最小二乘法拟合的优点是简单方便。缺点是得到的变异函数 理论模型的曲线有时并不十分满意。
（3）数据统计分析
指对取样数据计算平均值、方差、标准差、变异系数、偏态数、峰 度等统计指标，并进行相关、正态、趋势、各向异性等特性分析。 其目的在于对数据特性进行初步了解，提出简单、明晰的解释。
（4）变异函数计算
• 考虑数据的结构
等间距规则网格数据
非等间距不规则网格数据
（4）变异函数计算
• 1）扇区分组
2、不同方向上的套合
• （2）变换矩阵
• 为了便于计算，在克里格估算中所用的变异函数或协方差函数的理论模式要 求区域化变量是各向同性。
2、不同方向上的套合
• （2）变换矩阵
2、不同方向上的套合
• （3）各向异性的套合 • 变程方向图
– 区域化变量不同方向上的变异类型一般可以根据变程方向图来确定。
• （6）变异函数的最优拟合及检验
– 为了研究区域化现象及空间局部估计，需要给实验变异函数散点图拟合 理论变异函数曲线，即拟合一个理论变异函数模型，并通过样本值估算 理论模型的参数。理论模型的优劣可通过与实际变异函数计算值的残差 平方和、估计标准误差、可决系数大小判断。
• （7）变异函数理论模型的专业分析
– 以笛卡尔坐标原点为原点，如 图4-17所示虚线为样点对距离h ，利用扇形分区进行不规则格 网数据分组。
• 2）格网分组
– 扇区分组虽然合理，但不适宜 计算机表示，为此采用格网分 组。
3、结构分析的步骤
• （5）变异函数的结构分析
– 结构分析的目的在于通过分析各种实验变异函数来分析所研究区域化现 象的主要结构特征。主要内容包括各向同性和各向异性分析、块金效应 分析、比例效应分析、不同方向上的套合结构分析。
，并绘制成散点图与实验变异函数散点图进行对比。若有差异，则调
整初步估计的参数值（即估计基台值、变程和块金常数），直到理论
变异函数散点图与实验变异函数散点图吻合较好。此时的基台值、变
程和块金值，即为变异函数最终的估计值。
•
人工拟合法的缺点是耗时、费力、因人而异、主观性强、缺乏统
一的、客观的标准。
1、模型参数的最优估计
方程本身进行显著性检验。
比较
• 模型比较
• 即是通过平均误差、均方根误差、平均标准误差等统计指 标对不同的理论模型比较，从中选出最优拟合模型。一般 来说，人们总是希望预测误差是无偏且最优的。
3、影响变异函数的主要因素
• 样点距离和支撑大小 • 样本数量 • 特异值影响 • 比例效应影响 • 漂移的影响
1、有基台值模型
• （1）纯块金效应模型
(h) 0 c0
h0 h0 C0 0 为先验方差。
区域化变量为随机分布， 空间相关性不存在
1、有基台值模型
• （2）球状模型
C 0 为块金常数。C0 C 为基台值。 C 为拱高。 a 为变程。
由地统计学理论奠基者法国学者马特隆 (G. Matheron )提出，故称马特隆模型。 在实际中，百分之九十五以上的实验变 异函数散点图都可用该模型拟合。
2、不同方向上的套合
（1）各向异性的种类
几何异向性：当区域化变量在不同方向上表现出变异 程度相同而连续性不同时称为几何异向性。这种异向 性因可以通过简单的几何图形变换化为各向同性而得 名。几何异向性具有相同的基台值，而变程不同。
带状异向性：当区域化变量在 不同方向上变异性差异不能用 简单几何变换得到时，就称为 带状异向性。此时，实验变异 函数具有不同的基台值，而变 程可以相同也可以不同。
复习思考题
1. 区域化变量的结构分析以变异函数模型为基础，请叙述 变异函数的理论模型。
2. 试简述各向异性的种类。 3. 试简述影响拟合模型的因素。 4. 结构分析是局部估计的基础，其目的在于建立一个最优
的变异函数理论模型，试论述结构分析的基本步骤。
三、变异函数的套合结构
• 结构分析
构造一个变异函数模型对于全部有效结构信息作定量化的概括， 以表征区域化变量的主要特征。结构分析的主要方法是套合结构。
• 套合结构
•
把分别出现在不同距离h上和（或）不同方向 上同时起作用的变异性
组合起来。可以表示为多个变异函数之和，每一个变异函数代表一个方向一
种特定尺度上的变异性，套合结构的表达式为：