变差函数的概念与计算分析
有界变差函数 有界变差函数
称 V ( , f ) 为 f 关于分划 D 的变差。 D
若存在常数 M，使对一切分划 D ，都有
V ( , f ) £ M ，则称 f (x 为 [ , b 上的有 D ) a ]
界变差函数。令
V ( f ) = sup V ( , f ) D ，
D b a
。
将 D , D 2 合并起来得 [ , b 的一个分划 a ] 1
D1 : a = x < x <L x = y < y <L< y = b < n 0 1 0 1 m ，于是由 D f ) £ V b ( f ) 及 V ( , a V ( , f ) = V ( 1 , f ) + V ( 2 , f ) D D D c b b e 得 V ( f ) + V ( f ) - 2 £ V ( f ) ， a c a 由 e 的任意性立得 c b b V ( f ) + V ( f ) £ V ( f ) 。 a c a
e > 0
D1 : a = x < 1 ，可以找到分划 x < L < x = c 0 n 及分划 D2 : c = y < y < L < y = b ，使得 0 1 m
b V ( 1 , f ) ³ V c ( f ) - e ，V D , f ) ³V ( f ) -e D ( 2 a c
n
V ( , f ) = å f ( x ) - f ( x -1 ) | D | i i
i 1 = i 0
£ å f ( x ) - f ( x -1 ) | + | f ( ) - f ( i 0 ) | | i c x i
《有界变差函数》课件
3
应用范围
讨论有界变差函数分解的应用范围和实际意义。
Jordan-Hahn分解定理
详细介绍Jordan-Hahn分解定理的数学原理、证明和应用。
有界变差函数的勒贝格分解
探讨有界变差函数的勒贝格分解，讨论勒贝格分解的性质和应用。
勒贝格分解的性质
性质1
介绍勒贝格分解的第一个重要性质。
性质2
介绍勒贝格分解的第二个重要性质。
示例
提供几个具体的有界函数的例子，以便更好地理解该概念。
性质
简要介绍有界函数的一些基本性质，例如函数图像的特点。
变差函数的定义及示例
定义
定义变差函数，它描述了函数在给定区间上的波动 情况。
示例
通过具体的例子展示变差函数的计算和应用方法。
有界变差函数的定义
1 定义
给出有界变差函数的数学定义，它是有界函 数和变差函数的结合。
典型的有界变差函数
正弦函数
探讨正弦函数作为典型的有界变 差函数的特性。
阶梯函数
详细解释阶梯函数作为有界变差 函数的具体用法和特点。
锯齿波
介绍锯齿波作为有界变差函数的 一种典型形态。
阶梯函数的分类
1 分类方法
介绍不同类型阶梯函数的分类方法和区别。
2 示例
提供几个具体的阶梯函数的例子，以便更好地理解该概念。
介绍有界变差函数的恒等式和命题，以及它们在数学推理中的应用。
应用-函数逼近
讨论有界变差函数在函数逼近领域中的应用和作用。
应用-泛函分析
介绍有界变差函数在泛函分析中的应用和意义。
数学证明
给出绝对连续函数与有界变差函数之间关系的数学 证明。
有界变差函数的傅里叶级数表 示
变差函数(简)
实验变差函数的拟合有很多种方法
加权最小二乘法
线性规划方法
遗传算法 交互式拟合方法
变差函数的套和
实际的区域化变量的变化性是十分复杂的， 往往包含着各种尺度上的多层次性，反映 在变差函数上就是它的结构不是单纯的一 种结构，而是多层次结构叠加在一起称为 套和结构。
例如不同尺度上的地质作用: 地质上: 全球构造运动、断裂带上的构造运
A O
横向的变程比纵向的大
实例：
40.00
30.00
20.00
10.00
0.00 0.00
10.00 20.00 30.00 40.00 50.00 60.00 70.00 80.00
土壤甲烷各方向变差函数拟合图
80000
60000
40000
40000
0 0
80000
20000
10
20
0
N-S
参考书
1.Journel A G, Huijbregts C. Mining Geostatistics, London: Academic Press, 1978, 1~690
2. 王仁铎，胡光道. 线性地质统计学. 武汉：中国 地质大学出版社，1984
3. Goovaerts P. Applied geostatistics for natural resources evaluation, New York: Oxford University Press, 1997
变差函数的类型 Y(h)
间断型(原点为0)
连续型 随机型
h
变差函数的模型
Y(h)
球状模型 指数模型
高斯模型
h
变差函数模型
变差函数的概念与计算分析
变差函数的概念与计算分析变差函数是数学分析中常见的一个概念。
它主要用于描述一个函数在一些区间上的变化情况，从而可以对函数的性质进行更加深入的分析。
本文将介绍变差函数的概念、相关定义和性质，并讨论如何计算变差函数。
一、概念：变差函数是指一个实数域上的函数，它在给定区间上的变化程度的度量。
通俗地说，变差函数可以理解为一个函数在一些区间上取值的波动程度。
如果一个函数在一个区间上的变化程度很小，那么它的变差函数就会比较小；相反，如果函数的波动较大，那么它的变差函数就会较大。
二、定义和性质：1.定义：设f(x)是定义在区间[a,b]上的一个函数，变差函数V(f,x)表示f(x)在区间[a,x]上的总体变化量。
其中，V(f,x)可以定义为：V(f,x) = sup{∑(f(x_i) - f(x_{i-1}))}其中，sup表示上确界，x_i是[a,x]上的一个子区间，∑(f(x_i) -f(x_{i-1}))表示这个子区间上f(x)的变化量的总和。
2.性质：（1）非负性：变差函数V(f,x)是非负的。
（2）可加性：对于任意的[a,c]和[c,b]，有V(f,b)=V(f,c)+V(f,b)。
（3）上有界：变差函数V(f,x)在[a,b]上是有上界的。
（4）可分割性：对于边界上的两个点x_1和x_2，若x_1<x_2，则有V(f,x_2)-V(f,x_1)=V(f,[x_1,x_2])。
（5）作为测度的应用：如果一个函数的变差函数V(f,x)有界，那么该函数是有界变差函数。
三、计算分析：变差函数V(f,x)的计算是通过求解上述定义中的上确界来实现的。
换言之，我们需要找到最适合的子区间，使得其上的f(x)的变化尽可能大。
为了计算方便，我们可以选取一些特殊的区间进行计算，如等距划分、平方划分等。
1.等距划分计算变差函数：设[a,b]上的等距划分为x_0=a,x_1=a+h,...,x_n=b，其中h=(b-a)/n。
有界变差函数空间
有界变差函数空间有界变差函数空间是泛函分析中的一个重要领域，它在数学和工程领域中有广泛的应用。
在本文中，我将介绍有界变差函数空间的定义、性质、应用以及相关的研究方向。
有界变差函数空间是定义在某个区间上的实值函数的集合，它是由有界变差函数组成的。
有界变差函数是指在给定的区间上，其波动幅度有界的函数。
具体地说，给定一个区间[a, b]，函数f称为有界变差函数，如果存在一个实数M，使得对于任意的分割[a = x_0 < x_1 < ... < x_n = b]，有以下不等式成立：| f(x_i) - f(x_{i-1}) | ≤ M这里的|·|表示绝对值。
根据这个性质，我们可以说有界变差函数的变化是有限的，其波动幅度受到上界M的限制。
有界变差函数空间在实际问题中有许多应用。
例如，在信号处理中，有界变差函数空间可以用来描述信号的平滑性和波动性。
它在图像处理、音频处理和视频处理等领域中都有广泛的应用。
此外，有界变差函数空间也在数学分析的研究中起着重要的作用，例如在傅里叶级数的收敛性以及函数逼近理论的研究中。
有界变差函数空间具有许多重要的性质。
首先，它是一个向量空间，对于任意的有界变差函数f和g，以及任意的实数a和b，我们有af+bg仍然是一个有界变差函数。
此外，有界变差函数空间是一个完备空间，也就是说，任何收敛序列在这个空间中都有极限。
这使得有界变差函数空间成为研究动态系统和非线性泛函分析的有用工具。
另一个重要的性质是有界变差函数空间与L^p空间的关系。
对于1≤p<∞，有界变差函数空间包含在L^p空间中，并且这两个空间之间存在嵌入关系。
特别地，当p=1时，有界变差函数空间就是L^1空间。
这个结果表明有界变差函数空间在测度论和函数空间的研究中具有一定的联系。
在研究有界变差函数空间时，人们关注的一个重要问题是函数的逼近性质。
给定一个函数f，我们希望通过有界变差函数来逼近它。
这个问题在函数逼近理论中有广泛的研究，涉及到泛函分析、小波分析、数值逼近等领域。
变差函数的编程名词解释
变差函数的编程名词解释在编程中，我们常常使用变差函数（Variadic Function）来解决需要对数量不定的参数进行操作的问题。
它是一种特殊的函数，能够接受任意数量的参数，并对这些参数进行处理。
一、什么是变差函数（Variadic Function）？变差函数是一种可以接受不定数量参数的函数。
它的参数个数可以是任意的，这使得程序员能够更加灵活地处理不同数量的输入。
在许多编程语言中，如C、C++、JavaScript和Python等，都支持变差函数的使用。
二、如何定义变差函数？定义变差函数的方式是在函数参数列表中使用省略符号（...）来表示参数的个数不定。
以C语言为例，函数原型可以写为：```cint sum(int count, ...);```在这个例子中，count表示参数的数量，...表示接受任意数量的参数。
三、如何在函数中处理变差函数的参数？为了在函数中处理变差函数的参数，我们需要使用特定的技术。
在C语言中，我们使用stdarg.h头文件提供的宏来实现。
具体步骤如下：1. 使用va_list声明一个变量，该变量将在函数中存储参数信息。
2. 使用va_start宏初始化该变量。
3. 使用va_arg宏依次获取参数的值。
需要注意的是，这些参数的类型必须是在函数声明中指定的类型。
4. 使用va_end宏结束对参数的处理。
以下是一个简单的例子，演示了如何使用变差函数计算不定数量整数的和：```c#include <stdarg.h>int sum(int count, ...) {va_list args;int total = 0;va_start(args, count);for (int i = 0; i < count; i++) {total += va_arg(args, int);}va_end(args);return total;}```通过这个例子，我们可以看到变差函数的灵活性，它允许我们在不同的调用中传递不同数量的参数，并根据需求进行处理和计算。
有限变差函数
有限变差函数
有限变差函数是一个非常典型的函数，它把定义域中的原函数变换到一个有限的变差集合中。
它有很多应用，如分布拟合、非线性最小二乘法、非线性期望值等等，都可以用有限变差函数解决。
有限变差函数的定义非常宽泛，它可以是一个多项式、函数的组合、距离函数的乘积等等。
它的工作方式是把定义域中的原函数变换到一个有限的变差集合中，这个变差集合是由一组函数的组合构成的，而且它的构成可以根据需要改变。
有限变差函数的最重要的性质是它可以让有限差集中的函数变
得更复杂，这意味着可以实现更多的细节。
一般来说，有限变差函数可以分为两类：一类是整数变差函数，另一类是连续变差函数。
整数变差函数是定义域中的任意一点按照预定义的整数变差模式变换到
定义域中另一点的函数。
连续变差函数是把一个连续函数按照预定义的变差模式变换到另一个连续函数。
有限变差函数有很多应用，其中最重要的应用之一是用于分布拟合。
在这类应用中，当需要拟合的数据点数量比较少的时候，传统的方法已经无法很好的拟合数据点，但是有限变差函数则可以把这些简单的数据点进行变差，并且使得拟合的结果十分准确。
此外，有限变差函数也常常用在非线性最小二乘法中，它可以把非线性最小二乘法中的可能存在的复杂性简化，使得解算过程变得更容易。
最后，有限变差函数也可以用于求解非线性期望值问题，因为它
可以有效的帮助求解非线性期望值的数学模型，从而更好的计算期望值。
总之，有限变差函数是一种非常重要的函数，其应用非常广泛，在很多高等数学的应用中都有可能需要用到有限变差函数，因此，有必要熟悉有限变差函数的定义，性质和应用。
变差函数
1变差函数（Variogram）基础变差函数是用来描述油藏属性空间变化的一种方法，可以定量的描述区域化变量的空间相关项。
变差函数的原理是空间上相近的样品之间的相关性强，而相距较远的样品之间的相关性较小，当超过一个最小相关性时，距离的影响就不大了。
这种空间上的相关性是各向异性的，因此需要从不同方向上描述某个属性的变差函数。
通过从输入数据中得到变差函数，在属性模型中利用变差函数建模，从而可以在最终模型中体现出实验数据的空间相关性。
1.1变差函数原理与数据分析1.1.1变差函数的原理变差函数图即变差函数与滞后距（空间的距离）的关系图。
计算方法是：对一组滞后距相近的数据，计算这组数据的变差，最后做出不同滞后距的变差曲线。
Sample variogram从一组实验样本数据中计算结果。
Variogram model根据理论变差函数模型拟合的结果。
Transition曲线类型。
常用的变差函数类型有指数型、球状模型、高斯模型。
Plateau在变差函数曲线上，随着横坐标距离的增加，纵坐标变差值不再增加，即为Plateau。
Range变程：当曲线达到高台水平段（Plateau）时的距离。
变程范围之内，数据具有相关性，变程范围之外，数据之间互不相关，即变程之外的观测值不对估计结果产生影响。
Sill基台值：当横坐标大于变程时的纵坐标变差值。
描述了两个不相干的样本间的差异性。
当数据的基台值为1或者比1偏差0.3时，表明数据间有空间趋势性。
Nugget块金值：横坐标为0处的变差值，描述了数据在微观上的变异性。
由于在垂向上数据间的距离较小，所以块金值可以从这些垂向数据中精确的得到。
1.1.2变差函数的数据分析在计算数据样本的变差时，程序会根据指定的距离和方向搜索数据。
搜索半径除以步长间隔即为步长的数目。
由于数据点在空间上的分布具有或多或少的随机性，所以在搜索方向和距离上允许存在一定的容差（tolerance）。
1.1.2.1变差函数的方向由于各向异性，变差函数需要从不同的方向上进行计算。
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变差函数的概念与计算
谷跃民编写
在地质统计学随机模拟工作中，统计归纳区域变量的分布和变差函数，是用好随机模拟技术最关键的两项工作，其中区域变量分布统计比较容易理解，变差函数计算过程相对复杂，影响了解释人员对它的直观理解，为了使解释生产人员快速了解变差函数，准确使用相关工具软件，并能依据现有的资料和对工区地质情况的先验信息，统计归纳出合乎实际的变差函数，作者在学习相关知识的基础上，对学习材料进行了初步总结，试图用通俗的方式，对变差函数的概念和统计归纳方法与大家共同进行探讨。
一、变差函数的基本概念
在地质统计学中，变差函数是最基本与最重要的模拟工具，它用于描述数据值的空间互相关，数据点在空间上相距越远，相关性就变得越小，变差函数就是模拟这种现象的数学函数，通常用一张图来展示，用X轴表示滞后距离，用Y 轴表示方差，可以从区域变量
抽取的样本值中计算归纳出来，
见图1，它通过变程来反映变量
的影响范围，V(h)为变差函数值，
Lag(h)为滞后距。
变差函数可以用四个参数来描
述：
1、变差函数类型：决定了随着滞图1 变差函数图示
后距的增加变差（方差）变化的快慢，
在JASON STATMOD MC中，使用GAUSSIAN和EXPONENTIAL曲线类型；
2、变程a：指的是在超过这个距离后，数据点之间就不再有明显的相关性，也称作影响距离；
3、块金效应C0：表示在距离为0时的方差值，用来表示相距很近的两点的样品变化情况；
4、先验方差：Sill=C+C0也叫基台值，它反映变量的变化幅度。
二、变差函数的估算与拟合
1、变差函数的计算公式与估算
变差函数的定义是：区域化变量Z(x)和Z(x+h)两点之差的方差之半，定义为Z(x)的变差函数，数学定义如下：
h为滞后距。
如果有了区域化变量Z(x)的一部分采样，就可以估算该区域化变量的Z(x)变差函数，具体计算公式如下：
i为样本序号。
2、变差函数的估算示例
为了能更直观、更深刻地体会它的具体意义，下面举两个计算实例，各具体计算两个变差函数值，通过具体计算过程，就会知道什么样的资料可以满足变差函数估算的要求，具体在资料条件会出现怎样的异常，这两个实例分别为两种区域变量类型，一个是垂向区域变量类型，可以理解为井曲线等，一个是平面区域变量类型，可以理解为孔隙度平面变化等。
（1）垂向区域变量类型变差函数值计算示例。
右图为一口井的孔隙度曲线，纵向
采样间隔为1米，右侧为其数值，首先
根据公式1-2，求取h=1米时，v(1)
的数值，步骤如下：
①将数据下移1米，与原始数据对齐；
见图3a；
②找到对应数据对，求得各数据对的差
值，分别为：0.75、-2.75……、1等， 图2 孔隙度曲线 共26个数值；
③求取以上个数值的平方，再求和，得
0.752+(-2.75)2+……+12=27.625；
④由于共有26个数据对，因此，N=26,
所以，v(1)= 27.625/(2×26)=0.53125。
同理可以根据公式1-2，求取h=2米
时，v(2)的数值，步骤如下：
①将数据下移2米，与原始数据对齐；
见图3b ； a b
②找到对应数据对，求得各数据对的差 图3 v(1)和v(2)数据对
值，分别为：-2、-4……、1等，共组成了25个数据对，因此共有25个数值； ③求取以上个数值的平方，再求和，得(-2)2+(-4)2+……+12=43.6875；
④由于共有25个数据对，因此，N=25,所以，v(2)= 43.6875/(2×25)=0.87375。
（2）平面区域变量类型变差函数值计算示例。
右图4为一假设的平面地质属性
数据，其南北和东西间距都为1，
假定这一地质属性具有各向异性
特征，就应当计算它不同方向的
变差函数值，那么，这时滞后距 图4 平面地质属性数据
h 是指向某方向移动的距离，计算时，在指定方向上，对指定的h ，搜索所有相距h 的点对[Z(x i ), [Z(x i +h)]，并统计点对个数N ，其它步骤与前述垂向区域变量类型变差函数值计算步骤是相同的，以下是不同方向两个滞后距的计算结果。
东西方向移动1个单位距离，共组成6个数据对，因此，N=6，变差函数值为：
东西方向移动2个单位距离，共组成3个数据对，因此，N=3，变差函数值为： 北 西北 东北
南北方向移动1个单位距离，共组成6个数据对，因此，N=6，变差函数值为：
南北方向移动2个单位距离，共组成3个数据对，因此，N=3，变差函数值为：
从北东向南西方向移动个单位距离，共组成4个数据对，因此，N=4，变差函数值为：
从北东向南西方向移动2 个单位距离，共组成1个数据对，因此，N=1，变差函数值为：
从北西向南东方向移动个单位距离，共组成4个数据对，因此，N=4，变差函数值为：
从北西向南东方向移动2 个单位距离，共组成1个数据对，因此，N=1，变差函数值为：
如果确信变差值与方向无关，也可以将这些计算结果，放到一张变差函数图上，来拟合确定一个变差函数。
3、变差函数的拟合
在统计模拟中，变差函数采用的是一个解析函数，因此，计算出样本值的不同滞后距h的变差值V(h)
后，还必须拟合出一个解
析函数，变差函数的拟合
有很多种方法，比如，在
指定出函数类型后，可以
使用加权最小二乘法、线
性规划法、遗传算法等确
定出函数的常数项，得到图5 几种常用变差函数类型
变差函数的解析式；由于实际样本中，数量可能有限，或许分布代表性较差，常常采用交互式拟合方法，交互拟合既可以选择出更适合本区实际的函数类型，又可以添加上本人对本区地质规律的先验知识，解决由于样本值少参数不好确定的普遍问题。
选用哪种函数拟合，一方面取决于样本数据，另一方面，也取决于对实际规律的掌握程度，常用的函数有三种，分别是球状模型、高斯模型和指数模型，它们的具体特点如图5所示：
球状模型的标准化形式是：
变程a球型=a,由曲线可以看出，近距离相关性变化很快，接近变程时相关性变化小。
高斯模型的标准化形式是：
变程a高斯= ,由曲线可以看出，在变程中部距离相关性变化很快，接近变程时和近距离相关性变化慢。
指数模型的标准化形式是：
变程a指数=3 a ,由曲线可以看出，在近距离相关性变化很快，远距离相关性变化慢。
了解了这些特点，就可以根据实际选取更合适的拟合函数类型了。
在实际应用中，为了更好地与样本值计算
的变差值拟合和更符合实际情况，还常用这几
种函数与Nugget（一个等概率随机型函数）线
性组合。
Nugget这个随机函数就是块金常数c0，
它的大小可反映区域化变量随机性的大小，随机图6 等概率随机型函数
性大这个数值就大。
变差函数的变程大小，不仅能反映某个区域变量在某一方向上变化的大小，同时还能从总体上反
映出区域变量的载体
(如砂岩)在某个方向
的平均尺度，从而可
利用变程来预测砂体
的某个方向的延仲尺
度，以实现预测砂体图7 变程的意义图示
规模为目的。
变差值的具体意义还可以做如下理解，以一个孔隙度区域变量为实例，将区域变量孔隙度样本值错开h距离后，
选取重合的点，做出右图所示交会
图，可以最佳拟合出一条直线，见
图，求取每一个点与这条直线的距
离di,再求取这些距离的平方和，用
总点数取平均，就是滞后距h时的变差值。
图8 变差函数值的意义
因此，v(h)值越大，表明这张交会图的点子越分散，相反，v(h)值越小，这些散带点在这条直线两侧就越集中；也可以如下理解，Porosity(x)与Porosity(x+h)相关性越好，v(h)值越小，关性越差，v(h)值越大。