(完整版)地质统计学与随机建模原理2-变差函数
储层随机建模中变差函数分析
储层随机建模中变差函数分析变差函数一直是随机建模过程中研究较少但又十分重要的一个环节，不管是对储层非均质性研究，砂体展布还是对油气田开发中数值模拟的研究都起着至关重要的作用。
通过对前人变差函数分析方法的思考并结合实际油田数据进行了细致的研究，提出了一套详细可行的变差函数分析方法，在实际操作中取得了较好的效果。
标签：随机建模;岩相模型;变差函数储层随机建模是现代油藏描述的重要内容。
随机建模是以现有的有限数据和信息为基本条件，以地质模型和数理统计原理为基础，采用一定的计算方法，通过计算机技术人工合成多个可选的、等概率和高精度的，反映现有参数数据空间分布或该参数理论分布的模型。
亦即对控制点间应用随机模拟方法给出多种可能的预测结果或实现[1]。
储层地质建模是将地质认识、测井，地震等进行综合分析，在此基础上借助软件形成三维可视模型。
而如何通过宏观的地质认识和定量的单井数据等资料来模拟地下储层，如砂体分布和储层的物性变化情况，这就需要在储层随机建模中通过对数据进行变差函数分析，使模型更能反应地下的真是情况。
1 随机建模过程中变差函数拟合方法随机建模中利用已知的井数据和（或）地震数据，通过分层位、分相带建立变异函数模型，运用一定的插值（或模拟）方法建立不同的连续变量的分布模型，以更精确地表征储层参数场的空间变化情况[2]。
变差函数的分析主要就是求取平面和垂向的变程值，在相模型中变程值更是变征了砂体的延伸尺度，对砂体规模的预测和沉积相的划分都具有一定的指导意义。
数据在变差函数分析前需将数据进行转换来满足高斯模拟的计算，常用的转换包括正态转换和对数转换。
含水饱和度和孔隙度一般做正态转换，而孔隙度比较符合对数分布，所以对于孔隙度要先做对数转换再进行正态转换。
变差函数参数设置。
储层物性模型的精确程度以及展布，其关键的决定因素在变差函数的设置。
变差函数的设置既要符合数学统计规律，又要符合实际地质变化特征，因此结合地质认识设置函数中的一些参数，使变差函数能够真实的反映储层参数的空间变化情况。
多点地质统计学随机建模方法原理详细教程
多点地质统计学随机建模方法原理详细教程多点地质统计学（Multiple-Point Geostatistics，简称MPGS）是一种用于地质建模的统计学方法，旨在综合考虑多个地质属性之间的空间关系，可以用于模拟地质体结构和属性的空间分布。
下面是一个详细的MPGS建模方法的教程。
1.数据收集和准备首先，需要收集和准备地质数据。
这些数据可以包括钻孔数据、采矿数据、地球物理数据等。
数据应该包括多个不同属性的测量结果。
2.数据预处理对收集的数据进行预处理是为了消除异常值、填充缺失值和准备数据用于建模。
这些步骤可以包括数据清洗、插值等。
3.定义模型网格创建一个用于建模的三维网格，通常由正交的网格单元组成。
网格的尺寸和边界应根据实际问题的要求进行选择。
4.模式提取在做MPGS建模之前，需要从数据中提取出具有空间一致性和相关性的模式。
这可以通过模式提取算法实现，如基于模拟退火算法的直方图匹配。
5.模式匹配在模型建模过程中，需要通过模式匹配找到与已知数据最相似的地质模式。
这可以通过计算模式之间的相似性指标，如多点统计函数（MPS）实现。
6.模式合成一旦找到与已知数据相似的地质模式，可以根据模式之间的空间关系来生成新的地质模式。
这可以通过使用概率或变异性模型来实现。
7.模型重建利用已生成的地质模式，可以在模型网格单元上对地质属性进行插值，以重建地质体的结构和属性分布。
这可以使用插值方法，如克里金插值、逼近法等。
8.模型评估和修正完成模型重建后，需要评估模型的性能并根据需求对模型进行修正。
可以利用模型与实际数据之间的比较以及其他准则来评估模型的准确性和合理性。
9.模型应用完成最终的地质建模后，可以将模型应用于相关的地质问题，如矿产资源评估、地质风险评估等。
以上是MPGS建模方法的详细教程。
这种方法在地质建模中广泛应用，可以提供更准确和全面的地质属性分布信息，对于地质资源开发和管理具有重要意义。
地质统计学.
2、统计概率
频率：设随机事件A，在次试验中发生m次，其比值m/n称为随机事件A 的频率
显然 当重复试验的次数充分大时，随机事件A的频率（A）常常稳定在 一个确定的数字附近，这就是概率。
概率：在一定的相同条件下，重复作n次试验中发生了m次，当n充分大 时，随机事件A的频率m/n稳定在某一数字P附近，称数值P为该随机事件 的概率。 记为 P(A)=P
3、经典概率统计学所研究的变量原则上都是可以无限次重复试验或大量观 察的，但地质变量则不行。因为一旦在矿体某处取一样品后，严格说来， 就不可能在同一地方再次取到样品了。
4、经典统计学一般要求每次抽取样品必须是独立进行的，但地质变量在两 个相邻样品中的值就不见得一独立的，往往有某种成都的相关性。
地质统计学的优点
4、随机模拟
随机模拟是从一个随机函数(RF)模型中提取多个等 概率的所有随机变量（RV）的联合实现。 在随机模拟中，研究的内容包括随机模拟的定义及 其与插值的区别，随机模拟的基本原理，随机模拟 的分类，典型的随机模拟方法及其计算机实现。
本课程还将介绍地质统计学在储层建模中的应用 包括资料的准备建模的步骤，成果的显示等。
第二章 预备知识
一、概率论基础 二、随机变量及其概率分布 三、随机变量的数字特征 四、统计推断基础
一、概率论基础
1、随机事件 概率论是研究自然界偶然现象的科学，在概率论中把
偶然现象称为随机现象。 在自然界，介于“必然事件”和“偶然事件”之间的
即是“随机事件”。这类事件的特征是在一定条件下可 能发生，也可能不发生，或者在一定条件下有多个可能 发生的结果，而其结果事先不能预测。
3、不但可以进行样品的整体估计，最重要的是可以进行样品的局部估计
4、应用地质统计学方法得到的地质变量的精度比传统方法要精确，可以避 免系统误差。
变差函数的概念与计算分析
变差函数的概念与计算分析变差函数是数学分析中常见的一个概念。
它主要用于描述一个函数在一些区间上的变化情况，从而可以对函数的性质进行更加深入的分析。
本文将介绍变差函数的概念、相关定义和性质，并讨论如何计算变差函数。
一、概念：变差函数是指一个实数域上的函数，它在给定区间上的变化程度的度量。
通俗地说，变差函数可以理解为一个函数在一些区间上取值的波动程度。
如果一个函数在一个区间上的变化程度很小，那么它的变差函数就会比较小；相反，如果函数的波动较大，那么它的变差函数就会较大。
二、定义和性质：1.定义：设f(x)是定义在区间[a,b]上的一个函数，变差函数V(f,x)表示f(x)在区间[a,x]上的总体变化量。
其中，V(f,x)可以定义为：V(f,x) = sup{∑(f(x_i) - f(x_{i-1}))}其中，sup表示上确界，x_i是[a,x]上的一个子区间，∑(f(x_i) -f(x_{i-1}))表示这个子区间上f(x)的变化量的总和。
2.性质：（1）非负性：变差函数V(f,x)是非负的。
（2）可加性：对于任意的[a,c]和[c,b]，有V(f,b)=V(f,c)+V(f,b)。
（3）上有界：变差函数V(f,x)在[a,b]上是有上界的。
（4）可分割性：对于边界上的两个点x_1和x_2，若x_1<x_2，则有V(f,x_2)-V(f,x_1)=V(f,[x_1,x_2])。
（5）作为测度的应用：如果一个函数的变差函数V(f,x)有界，那么该函数是有界变差函数。
三、计算分析：变差函数V(f,x)的计算是通过求解上述定义中的上确界来实现的。
换言之，我们需要找到最适合的子区间，使得其上的f(x)的变化尽可能大。
为了计算方便，我们可以选取一些特殊的区间进行计算，如等距划分、平方划分等。
1.等距划分计算变差函数：设[a,b]上的等距划分为x_0=a,x_1=a+h,...,x_n=b，其中h=(b-a)/n。
地质统计学 张树泉(课件)
正态分布的误差图示
μ = x ± zα 2σx
μ - 2.58σx μ -1.65 σx
σx
μ
μ +1.65σx μ + 2.58x
x
μ -1.96 σx
μ +1.96σx
90%的概率 95% 的概率 99% 的概率
•
泛克立格法(Universal Kriging)
• 指示克立格法(Indicator Kriging)
• 指示克立格法(Indicator Kriging)
•协同克里格法（Co-Kriging）
• 协同克里格法（Co-Kriging）
•协同克里格法（Co-Kriging）
•协同克里格法（Co-Kri，地质统计学的发展突飞猛进。在此期间， 从理论突破的频度、论文发表的篇数、以及世界各地对地 质统计学所表现的极大关心程度，都说明地质统计学达到 了前所未有的发展阶段。目前条件模拟技术广泛应用于石 油、采矿、水文、和环境保护等领域中。研制出一批高水 平的地质统计学方法计算程序软件。在地质统计学的理论 及方法基础上开发了许多成熟的应用软件。如美国开发的 矿床建模软件包（Deposit Modeling System），功能上 可覆盖矿山地质设计的全过程；而MICL（英国矿业计算 机有限公司）开发的DATMINE软件包，则集地、测、采 于一体；法国巴黎高等矿院地质统计学研究中心研制出两 种大型软件系统:ISATIS系统及HERESIM系统；澳大利亚 的MICROMINE软件,SURPAC软件，加拿大的GEOSTAT 软件，CAMET软件和GLS软件系统等。
到上世纪60年代，才认识到需要把样品值之间的相似 性作为样品间距离的函数来加以模拟，并且得出了半变异 函数。法国概率统计学家马特隆（Matheron）创立了一个 理论框架，为克立格作出的经验论点提供了精确而简明的 数学阐释。马特隆创造了一个新名词“克立格法” （Kriging），藉以表彰克立格在矿床的地质统计学评价工 作中所起到的先驱作用。即1962年，马特隆在克立格和西 奇尔研究的基础上，将他们的成果理论化、系统化，并首 先提出了区域化变量（Regionalized variable）的概念， 为了更好地研究具有随机性及结构性的自然现象，提出了 地质统计学（Geostatistics）一词，发表了《应用地质统 计学》，该著作的出版标志着地质统计学作为一门新兴边 缘学科而诞生。地质统计学开始进入了学术界。在法国枫 丹白露成立了地质统计学中心（Centre de Geostatistiques），培养了一大批学员，不仅为地质统计 学的研究而且为它的传播起到了巨大的作用。
地质统计学基本原理
Z(x 差h)的方差之半定义为区域化变量 的Z(变x)差函数，记为
(x, h)
(x, h) 1 Var[Z (x) Z (x h)]
2
变差函数定义
• 定义：在任一方向 a ，相距 | h |的两个区域 化变量 Z(x) 和 Z(x h) 的增量的方差的一半。
• 公式： (h) 1 E[Z (x) Z (x h)]2
几点注意内容
• 变差函数参数
• 块金值：块金值越小，距离越近的点越重要，这样会导 致权值的变化范围变大（从负值到大于1的值变化），使 数据出现异常。块金值越大，估值结果越平滑。
当时h 0，上式变成：
Var[Z(x)] C(0) x
即它有有限先验方差。
本征假设
当区域化变量Z(x) 的增量 Z(x) Z(x h) 满足下列两个条 件时，称该区域化变量满足本征假设： （１）在整个研究区内，区域化变量Z(x的) 增量 Z(x) Z(x 的h)
期望为０： E[Z(x) Z(x h)] 0 x,h
滞后距
实验变差函数计算实例
• 相距为200米的样本点对。
实验变差函数计算实例
• 滞后距为200米的变差函数值。
变差函数计算实例
• 变差函数图：滞后距200米的变差函数点
变差函数
20 18 16 14 12 10
8 6 4 2 0
0
100
200
300
400
500
滞后距
变差函数计算实例
• 变差函数图：滞后距300米、400米的变差函数点
几何各向异性
• 基台值相同 • 变程不同
在不同的方向具有相同的变异程 度（基台值相同）但具有不同的 连续程度（变程不同）为几何各 向异性。
变差函数
1变差函数（Variogram）基础变差函数是用来描述油藏属性空间变化的一种方法，可以定量的描述区域化变量的空间相关项。
变差函数的原理是空间上相近的样品之间的相关性强，而相距较远的样品之间的相关性较小，当超过一个最小相关性时，距离的影响就不大了。
这种空间上的相关性是各向异性的，因此需要从不同方向上描述某个属性的变差函数。
通过从输入数据中得到变差函数，在属性模型中利用变差函数建模，从而可以在最终模型中体现出实验数据的空间相关性。
1.1变差函数原理与数据分析1.1.1变差函数的原理变差函数图即变差函数与滞后距（空间的距离）的关系图。
计算方法是：对一组滞后距相近的数据，计算这组数据的变差，最后做出不同滞后距的变差曲线。
Sample variogram从一组实验样本数据中计算结果。
Variogram model根据理论变差函数模型拟合的结果。
Transition曲线类型。
常用的变差函数类型有指数型、球状模型、高斯模型。
Plateau在变差函数曲线上，随着横坐标距离的增加，纵坐标变差值不再增加，即为Plateau。
Range变程：当曲线达到高台水平段（Plateau）时的距离。
变程范围之内，数据具有相关性，变程范围之外，数据之间互不相关，即变程之外的观测值不对估计结果产生影响。
Sill基台值：当横坐标大于变程时的纵坐标变差值。
描述了两个不相干的样本间的差异性。
当数据的基台值为1或者比1偏差0.3时，表明数据间有空间趋势性。
Nugget块金值：横坐标为0处的变差值，描述了数据在微观上的变异性。
由于在垂向上数据间的距离较小，所以块金值可以从这些垂向数据中精确的得到。
1.1.2变差函数的数据分析在计算数据样本的变差时，程序会根据指定的距离和方向搜索数据。
搜索半径除以步长间隔即为步长的数目。
由于数据点在空间上的分布具有或多或少的随机性，所以在搜索方向和距离上允许存在一定的容差（tolerance）。
1.1.2.1变差函数的方向由于各向异性，变差函数需要从不同的方向上进行计算。
地质统计学变异函数
变异函数及变异曲线
• 变异函数：由于其能反映区 域化变量的结构特性，又称 为结构函数； V • γ(h)= ½ E[Z(x)-Z(x+h)]2 x • 由于h和x是有方向的，一般 描述： • γ(h,α)= ½ E[Z(x)-Z(x+h)]2 • 连续时： (h, ) 1 [ z ( x) z ( x h)] dx 2V • 离散时： 1
变异函数的计算与拟合
• 变异函数的计算 • 计算方法 • 规则数据构型：小样数据利用基本滞后距h有 规律地直接计算，大样数据抽样计算 • 不规则数据构型：确定基本滞后距，给出角 度容差和距离容差后计算,小样数据取大容差， 大样数据取小容差
变异函数的计算与拟合
• 变异函数的计算（加快计 算速度和减少计算量和存 储量） • 点对文件法：(序号，角 度，滞后距)存储量大 • The Variogram Grid:极坐 标网，原点为某观测点位 置，方位角为计算方向， 极距为相对于某观测点的 滞后距
h)]2
变异函数的计算与拟合
• 变异函数的计算 • 计算方法 • 在指定方向上对指定h，搜索所有相距h的点对 [z(xi),z(xi+h)]，并统计点对数N(h)。计算量依赖于数 据的空间构型，按构型搜索方法可分为两类： • 规则数据构型：已知取样数据点在空间是按规律进行 的；在指定方向上可得到基本滞后距 • 不规则数据构型：横不成行竖不成列，找不到基本滞 后距
C(0) h
a
变异函数及变异曲线
• 变异函数的性质： γ(h) • 设Z(x)是二阶平稳的，则γ(h)存在且平 稳，并有下列性质： • (1) γ(0)=0 C • (2) γ(h) >=0 • (3) γ(-h)= γ(h) • (4)[-γ(h) ]是条件非负定函数 • (5) γ(∞) =C(0) • 变异函数与协方差函数的关系曲线 • C(h)=C(0)- γ(h)
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在实际地质，采矿工作中是不可实现的，因为不可能恰在空间同一点上 重复直接取得二个样品。这就使统计陷入困境。需借助假设来解决。
两个重要的假设条件:
1. 平稳假设 2. 本征假设
2 h zx zx h2 zx 2 zx h2 2zxzx h
由二阶平稳假设条件之二 Varzx =C（0），x ，当h=o
C0 Varzx EZ x2 EZ x2 EZ x2 m2
故： EZ x2 C0 m2
同理有： EZ X h2 C0 m2
而由h≠0 时的二阶平稳假设条件二有：
即只依赖于滞后h，而与x无关）
Covzx, zx h zxzx h zxzx h
zxzx h m2 ch, x,h
特殊地：当h=0时
Varzx =C（0）
即方差存在且为常数。当上述条件仍不能满足时，条
件进一步放宽，导致本征假设。
对平稳的理解：空间变异性只与两点间的距 离和方向有关，而与点的位置无关。
zx, zx h ch m2
则： 2 h c0 m2 c0 m2 2ch m2
2c0 2ch
h c0 ch或ch c0 h
[只要协方差函数存在，则C（0）存在，于是r(h)存在 ]
协方差函数不存在，而r(h)存在的例子
步朗运动：其随机函数的理论模型即Wiener-Levy 过程 (随机游走过程)，其验前方差和协方差函数皆不确定。但其 增量却具有限方差：
当r（x，h）与x的取值无关时，r（x，h）只依赖与h（ 滞后、间隔、步长），则可将r（x，h）写成r（h），此时 以h为横坐标，r（h）为纵坐标作出图形谓之变差图。
r (h)
拱高C 块金常数C0
基台值C+C0
h 变程a
三．平稳假设与本征假设
[问题]：由数理统计知：要估计变差函数值 就要估计数学期望值
1. 协方差函数
若Z(x）是随机场，在空间两点x和x+h 处两个随机变量Z(x）和 Z（x+h）的二阶中心混合矩
Covzx, zx h Cx, x h
Ezx zx h Ezx Ezx h
称为随机场的Z(x）自协方差函数，简称协方差函数。一般地讲
，它是依赖于点x和向量h 的函数。
特殊地：当h =0时，Cx, x 0 zx2 zx 2
Varzx zx h 2 h A• h A常数
则：
p
y
1
1
y
2
y
[zx] [zx h]
y 1 y2
dy
lim 1 d(1 y2 )
1 ln 1 y2 m
2 1 y2
m 2
m
,不存在
但：zx zx h y y 0 0 ，存在且为0
1） 二阶平稳假设的第二个条件可以推出本征假设条件之二
在二阶平稳假设满足时：
就等于方差函数: D2 Z x 或 varZ x
当其不依赖于x时简称方差，故有:
D2Z x VarZ x EZ x2 EZ x 2
2. 变差函数与变差图
假设空间点x只在一维的x轴上变化，我们把区域化变量Z（x）在x
，x+h两点处的值之差的方差之半定义为Z（x）在x 轴方向上的变差函数
，记为r (x,h),即:
rx, h 1 Varzx zx h
2
1 zx zx h2 1 zx zx h2
2
2
在二阶平稳和本征假设条件下：
zx zx h, h
于是变差函数的计算公式变为：
rx, h 1 zx zx h2
2
x x+h
基 本 公 式
在二维、三维情况下定义时，以一维变差函Байду номын сангаас为基础， 需考虑各向异性，结构套合等问题。
第二章 地质统计学理论基础
第一节 区域化变量的理论
一、随机场与区域化变量
1．定义：以空间点x的三个直角坐标xu, x v, xw为自变量的随机场 Z(xu,xv,xw）=Z(x）称为一个区域化变量。
[区域化变量具有两重性]： 观测前，将Z(x）看作随机场；观测后，将Z(x）看作一个普通的三元
实值函数。即空间点函数，一次观测后，就得到它的一个实现Z(x)。
n, h, x1, x2 , , xn
这种要求是Z（x）的各阶矩存在，且平稳，这在实 际中不能满足，且不好验证。所以实用上采用的只需一、
二阶矩且平稳就够了。→ 二阶平稳（弱平稳）。
② 二阶平稳假设
满足下列两个条件
1）整个研究区内，Z（x）的数学期望存在，且等于常
数，
zx m(常数），x
2）整个研究区内，Z（x）的协方差函数存在且平稳（
1． 平稳假设 ① 严格的平稳假设 区域化变量Z（x）的任意n维分布函数不因空间点 x发生位移h而改变。 即：
Fx,x2 ,xN1 Z1, Z2, , ZN PZ x1 Z1, Z x2 Z2, , ZxN ZN PZx1 H Z1, Zx2 H Z2, ZxN H ZN Fx1h,x2 h, xN h Z1, Z2 , , Z N
2.功能
能同时反映地质变量的结构性与随机性。
①当空间点x固定后， Z(x）即为一个随机变量； ②x与x+h两点处的Z(x）具有某种程度的相关性（因随 机场有相关函数R（x，x+h））即为一个随机变量；
3.物理学或地质学特征
①空间局限性；②不同程度的连续性；③不同类型 的各向异性。
二、协方差函数与变差函数
x2
x1+h
x1 x2
x2+h x3
x3+h
x1
2. 本征假设
区域化变量Z（x）的增量[Z（x）- Z（x+h）]满足下 列两个条件：
1） 在整个研究区内有:
zx zx h 0 x,h
2）增量[Z（x）– Z（x+h）]的方差函数存在且平稳（ 不依赖于x）即：
Varzx zx h zx zx h2 zx zx h2
=zx zx h2 EZ x Z x h 2 =2r(h), x, h
即Z（x）的变差函数存在且平稳。
3 .二阶平稳假设与本征假设的比较
总的结论：二阶平稳假设较强，本征假设较弱
1） 由二阶平稳假设的第一个条件可推出本征假设
条件一。 如：设
E(zx)
E(zx
h)
y,
x, y
y为一服从柯西分布的随机变量，其概率密度为