变差函数
有界变差函数 有界变差函数
称 V ( , f ) 为 f 关于分划 D 的变差。 D
若存在常数 M，使对一切分划 D ，都有
V ( , f ) £ M ，则称 f (x 为 [ , b 上的有 D ) a ]
界变差函数。令
V ( f ) = sup V ( , f ) D ，
D b a
。
将 D , D 2 合并起来得 [ , b 的一个分划 a ] 1
D1 : a = x < x <L x = y < y <L< y = b < n 0 1 0 1 m ，于是由 D f ) £ V b ( f ) 及 V ( , a V ( , f ) = V ( 1 , f ) + V ( 2 , f ) D D D c b b e 得 V ( f ) + V ( f ) - 2 £ V ( f ) ， a c a 由 e 的任意性立得 c b b V ( f ) + V ( f ) £ V ( f ) 。 a c a
e > 0
D1 : a = x < 1 ，可以找到分划 x < L < x = c 0 n 及分划 D2 : c = y < y < L < y = b ，使得 0 1 m
b V ( 1 , f ) ³ V c ( f ) - e ，V D , f ) ³V ( f ) -e D ( 2 a c
n
V ( , f ) = å f ( x ) - f ( x -1 ) | D | i i
i 1 = i 0
£ å f ( x ) - f ( x -1 ) | + | f ( ) - f ( i 0 ) | | i c x i
精细变差函数分析及应用文献综述
精细变差函数分析及应用变差函数作为一个分析区域化变量随机性和结构性特征的有效工具，自引入到地质学中以来，一直受到人们的重视。
在很多领域，它甚至可以独立于地质统计学方法之外，单独供人们进行分析研究时使用。
本文将系统介绍变差函数的原理、研究方法及应用现状。
定义变差函数较为普遍的定义是:变差函数为区域化变量的增量平方的数学期望，也就是区域化变量的增量的方差。
我们将区域化变量的增量的方差的一半称之为半变差函数，但由于我们通常要用到的都是半变差函数，而不是变差函数，所以，出于方便的考虑，很多学者直接将半变差函数称之为变差函数。
首先，研究对象时区域化变量。
区域化变量是地质统计学研究的对象，它是一种在空间上具有数值的实函数(G Matheron)，也就是说，它在空间的每一个点取一个确定的数值，即当由一个点移到下一个点时，函数值是变化的。
在地质、采矿领域中许多变量都可看成是区域化变量：资源储量、储层厚度、地形标高、矿石内有害组分含量、岩石破碎程度、孔隙度、渗透率、泥质含量等。
有的是二维的，有的是三维的。
区域化变量正是地质统计学研究的对象，而可以作为区域化变量的上述变量都可以利用变差函数进行研究。
其次，数学方法是增量的方差。
变差函数是在任一方向α，相距|h|的两个区域化变量值Z(x)及Z(x+h)的增量的方差（Ｚ(ｘ+ｈ) -Ｚ(ｘ)的一阶矩和二阶矩仅依赖于点ｘ+ｈ和点ｘ 之差ｈ，即Ｚ(ｘ)为二阶平稳或满足内蕴假设），它是h 和α的函数，其通式为： })]()({[21)}()({21),(2h x Z x Z E h x Z x Z Var h +-=+-=αγ 从公式所示的公式我们可以看到，变差函数的实际意义是，它反映了区域化变量在某个方向上某一距离范围内的变化程度。
正因为它的这一性质，我们可以利用实验变差函数帮助我们解决实际研究应用过程中的问题。
原理在实际应用中，样品的数目总是有限的。
把由有限实验样品值构成的变差函数称之为实验变差函数，记为γ*(h)2)(1)]()([)(21)(*h x Z x Z h N h i i h N i +-=∑=γ 通过对有限实验样品分析所得的实验变差函数进行分析从而研究区域化变量的分布特征和预测某位置的变量值。
《有界变差函数》课件
3
应用范围
讨论有界变差函数分解的应用范围和实际意义。
Jordan-Hahn分解定理
详细介绍Jordan-Hahn分解定理的数学原理、证明和应用。
有界变差函数的勒贝格分解
探讨有界变差函数的勒贝格分解，讨论勒贝格分解的性质和应用。
勒贝格分解的性质
性质1
介绍勒贝格分解的第一个重要性质。
性质2
介绍勒贝格分解的第二个重要性质。
示例
提供几个具体的有界函数的例子，以便更好地理解该概念。
性质
简要介绍有界函数的一些基本性质，例如函数图像的特点。
变差函数的定义及示例
定义
定义变差函数，它描述了函数在给定区间上的波动 情况。
示例
通过具体的例子展示变差函数的计算和应用方法。
有界变差函数的定义
1 定义
给出有界变差函数的数学定义，它是有界函 数和变差函数的结合。
典型的有界变差函数
正弦函数
探讨正弦函数作为典型的有界变 差函数的特性。
阶梯函数
详细解释阶梯函数作为有界变差 函数的具体用法和特点。
锯齿波
介绍锯齿波作为有界变差函数的 一种典型形态。
阶梯函数的分类
1 分类方法
介绍不同类型阶梯函数的分类方法和区别。
2 示例
提供几个具体的阶梯函数的例子，以便更好地理解该概念。
介绍有界变差函数的恒等式和命题，以及它们在数学推理中的应用。
应用-函数逼近
讨论有界变差函数在函数逼近领域中的应用和作用。
应用-泛函分析
介绍有界变差函数在泛函分析中的应用和意义。
数学证明
给出绝对连续函数与有界变差函数之间关系的数学 证明。
有界变差函数的傅里叶级数表 示
变差函数的概念与计算分析
变差函数的概念与计算分析变差函数是数学分析中常见的一个概念。
它主要用于描述一个函数在一些区间上的变化情况，从而可以对函数的性质进行更加深入的分析。
本文将介绍变差函数的概念、相关定义和性质，并讨论如何计算变差函数。
一、概念：变差函数是指一个实数域上的函数，它在给定区间上的变化程度的度量。
通俗地说，变差函数可以理解为一个函数在一些区间上取值的波动程度。
如果一个函数在一个区间上的变化程度很小，那么它的变差函数就会比较小；相反，如果函数的波动较大，那么它的变差函数就会较大。
二、定义和性质：1.定义：设f(x)是定义在区间[a,b]上的一个函数，变差函数V(f,x)表示f(x)在区间[a,x]上的总体变化量。
其中，V(f,x)可以定义为：V(f,x) = sup{∑(f(x_i) - f(x_{i-1}))}其中，sup表示上确界，x_i是[a,x]上的一个子区间，∑(f(x_i) -f(x_{i-1}))表示这个子区间上f(x)的变化量的总和。
2.性质：（1）非负性：变差函数V(f,x)是非负的。
（2）可加性：对于任意的[a,c]和[c,b]，有V(f,b)=V(f,c)+V(f,b)。
（3）上有界：变差函数V(f,x)在[a,b]上是有上界的。
（4）可分割性：对于边界上的两个点x_1和x_2，若x_1<x_2，则有V(f,x_2)-V(f,x_1)=V(f,[x_1,x_2])。
（5）作为测度的应用：如果一个函数的变差函数V(f,x)有界，那么该函数是有界变差函数。
三、计算分析：变差函数V(f,x)的计算是通过求解上述定义中的上确界来实现的。
换言之，我们需要找到最适合的子区间，使得其上的f(x)的变化尽可能大。
为了计算方便，我们可以选取一些特殊的区间进行计算，如等距划分、平方划分等。
1.等距划分计算变差函数：设[a,b]上的等距划分为x_0=a,x_1=a+h,...,x_n=b，其中h=(b-a)/n。
变差函数的编程名词解释
变差函数的编程名词解释在编程中，我们常常使用变差函数（Variadic Function）来解决需要对数量不定的参数进行操作的问题。
它是一种特殊的函数，能够接受任意数量的参数，并对这些参数进行处理。
一、什么是变差函数（Variadic Function）？变差函数是一种可以接受不定数量参数的函数。
它的参数个数可以是任意的，这使得程序员能够更加灵活地处理不同数量的输入。
在许多编程语言中，如C、C++、JavaScript和Python等，都支持变差函数的使用。
二、如何定义变差函数？定义变差函数的方式是在函数参数列表中使用省略符号（...）来表示参数的个数不定。
以C语言为例，函数原型可以写为：```cint sum(int count, ...);```在这个例子中，count表示参数的数量，...表示接受任意数量的参数。
三、如何在函数中处理变差函数的参数？为了在函数中处理变差函数的参数，我们需要使用特定的技术。
在C语言中，我们使用stdarg.h头文件提供的宏来实现。
具体步骤如下：1. 使用va_list声明一个变量，该变量将在函数中存储参数信息。
2. 使用va_start宏初始化该变量。
3. 使用va_arg宏依次获取参数的值。
需要注意的是，这些参数的类型必须是在函数声明中指定的类型。
4. 使用va_end宏结束对参数的处理。
以下是一个简单的例子，演示了如何使用变差函数计算不定数量整数的和：```c#include <stdarg.h>int sum(int count, ...) {va_list args;int total = 0;va_start(args, count);for (int i = 0; i < count; i++) {total += va_arg(args, int);}va_end(args);return total;}```通过这个例子，我们可以看到变差函数的灵活性，它允许我们在不同的调用中传递不同数量的参数，并根据需求进行处理和计算。
地质统计学(5)_变差函数及结构分析cjg2011
证：性质④
Ck’k(-h) =E[Zk’(x-h)Zk(x)]-mk’mk 令：y=x-h, 则x=y+h 代入上式得： Ck’k(-h) =E[Zk(y+h)Zk’(y)]-mk’mk= Ckk’(h) 因E[Zk(y+h)Zk’(y)]不一定等于E[Zk’(y+h)Zk(y)] ，故Ckk’(h)不一定等于 Ck’k(h) ，即交叉协方差函数Ckk’(h)对h和（-h）无对称性，这是较特殊的情 况。 因此，在两个变量出现迟后效应时，应采用交叉协方差函数进行研究。
证：性质⑤
2 k k (h ) = zk (x + h ) - z k (x )zk (x + h ) - zk (x )
= zk (x + h ) - mk - z k (x ) - mk zk (x + h ) - mk - z k (x ) - mk = zk (x + h ) - mk z k (x + h ) - mk - z k (x + h ) - mk z k (x ) - mk = zk (x + h )z k (x + h ) - mk mk - z k (x + h )z k ( x ) - mk mk = Ck k (0) - Ck k (h ) - Ckk (h ) + Ckk (0) = 2Ck k (0) - Ck k (h ) + Ckk (0) - zk ( x + h )z k (x ) - mk mk + z k (x )zk (x ) - mk mk - z k (x ) - mk z k (x + h ) - mk + z k (x + h ) - mk z k (x ) - mk
变差函数
1变差函数（Variogram）基础变差函数是用来描述油藏属性空间变化的一种方法，可以定量的描述区域化变量的空间相关项。
变差函数的原理是空间上相近的样品之间的相关性强，而相距较远的样品之间的相关性较小，当超过一个最小相关性时，距离的影响就不大了。
这种空间上的相关性是各向异性的，因此需要从不同方向上描述某个属性的变差函数。
通过从输入数据中得到变差函数，在属性模型中利用变差函数建模，从而可以在最终模型中体现出实验数据的空间相关性。
1.1变差函数原理与数据分析1.1.1变差函数的原理变差函数图即变差函数与滞后距（空间的距离）的关系图。
计算方法是：对一组滞后距相近的数据，计算这组数据的变差，最后做出不同滞后距的变差曲线。
Sample variogram从一组实验样本数据中计算结果。
Variogram model根据理论变差函数模型拟合的结果。
Transition曲线类型。
常用的变差函数类型有指数型、球状模型、高斯模型。
Plateau在变差函数曲线上，随着横坐标距离的增加，纵坐标变差值不再增加，即为Plateau。
Range变程：当曲线达到高台水平段（Plateau）时的距离。
变程范围之内，数据具有相关性，变程范围之外，数据之间互不相关，即变程之外的观测值不对估计结果产生影响。
Sill基台值：当横坐标大于变程时的纵坐标变差值。
描述了两个不相干的样本间的差异性。
当数据的基台值为1或者比1偏差0.3时，表明数据间有空间趋势性。
Nugget块金值：横坐标为0处的变差值，描述了数据在微观上的变异性。
由于在垂向上数据间的距离较小，所以块金值可以从这些垂向数据中精确的得到。
1.1.2变差函数的数据分析在计算数据样本的变差时，程序会根据指定的距离和方向搜索数据。
搜索半径除以步长间隔即为步长的数目。
由于数据点在空间上的分布具有或多或少的随机性，所以在搜索方向和距离上允许存在一定的容差（tolerance）。
1.1.2.1变差函数的方向由于各向异性，变差函数需要从不同的方向上进行计算。
《数学变差函数》课件
举例说明
例如，分段常函数和阶梯函数都 属于下半连续变差函数。
计算实例
计算下半连续变差函数的变差值 和变差系数。
四、全变差函数
1
定义及性质
全变差函数是指在给定区间上，函数值无论是从上方还是从下方变化，总存在有 限的变差值。
2
举例说明
例如，绝对值函数和分段线性函数都属于全变差函数。
3
计算实例
计算全变差函数的变差值和变差系数。
二、上半连续变差函数
1
举例说明
2
例如，阶梯函数和分段线性函数都属于上
半连续变差函数。
3
定义及性质
上半连续变差函数是指在给定区间上，函 数值只从上方变化，变化过程可以包含跳 跃。
计算实例
计算上半连续变差函数的变差值和变差系 数。
三、下半连续变差函数
定及性质
下半连续变差函数是指在给定区 间上，函数值只从下方变化，变 化过程可以包含跳跃。
五、变差函数与控制理论
变差函数的应用
变差函数在信号处理、时间 序列分析和最优控制等领域 具有广泛的应用。
变差函数在控制理论中 的应用
通过对变差函数的分析和设 计，可以实现系统控制和优 化。
控制理论中的例子分析
以PID控制器和模糊控制为例， 探讨变差函数在控制理论中 的具体应用。
六、总结
1 变差函数的重要性
2. 李四, 《控制理论与应用》， 机械工业出版社，2019。
3. 王五, 《信号与系统导论》， 清华大学出版社，2021。
变差函数是数学分析和控 制理论中重要的概念，具 有广泛的应用价值。
2 变差函数的简单应用
通过对变差函数的了解， 可以应用于实际问题的分 析和设计中。
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变差函数的套和
(h) 0 (h) 1 (h) i (h)
Y(h)
C0 C1 C2
C0 C1
C2
二阶球状模型的套和
a1
a2
h
6 实验变差函数的应用
变差函数和区域化变量（随机场）的 对应关系 （噪声，相关程度，相关范围） 空间场的各向异性 空间场的尺度特征 空间场的周期性特征
1 1 E[ Z ( x) Z ( x h)]2 {E[ Z ( x)] E[ Z ( x h)]}2 2 2 1 E[ Z ( x) Z ( x h)]2 2 1 2
变差函数与协方差函数
变差函数与协方差函数之间的关系：
(h) C (0) C (h)
1 东西 (2) (0 2 12 2 2 ) 0.83 23
实验变差函数的计算
2 4 3 1 3 4 2 3 5
1 南北 (1) (2 2 12 2 2 12 12 22 ) 1.25 26 1 2 2 2 南北 (2) (1 3 3 ) 3.17 23
200
200
150
150
100 0
10
20
100 0
10
20
N-S
200
NE-SW
200
160
100
120 0 10 20
E-W
0
10
NW-SE
20
30
确定空间场的不均匀性（乙烷）
甲烷 块金常数 （C0） N-S 向 NE-SW 向 E-W 向 NW-SE 向 均值(m) C0/m2 C1/m2 C1/ C0 39500 39500 39500 39500 变程 （a） 10 10.3 16.5 18 749.14 0.070 (N-S) 0.0321 (N-S) 0.46 (N-S) 拱高 （C1） 18000 11500 27000 35000 块金常数 （C0） 134 136 129 117
实验变差函数的计算
2
4 3
1
3 4
2
3 5
北东－南西
1 2 2 2 2 ( 2) (3 0 1 1 ) 1.38 2 4 1 2 (2 2 ) (1 ) 0.5 2 1
北东－南西
实验变差函数的计算
2 4 3 1 3 4 2 3 5
北西－南东
北西－南东
时 间 间 隔 （ 年 ）
本讲小结
平稳假设和本征假设 空间统计的研究内容、历史 变差函数和结构分析
E[ Z ( x)]2 E[ Z ( x) Z ( x h)]
C (0) E[ Z ( x)]2 {E[ Z ( x)]}2 E[ Z ( x)]2 m 2 C (h) E[ Z ( x) Z ( x h)] E[ Z ( x)]E[ Z ( x h)] E[ Z ( x) Z ( x h)] m 2
20
时 间 变 差 函 数
0.3
0.0
0
2
4
6
间 隔 (t/s)
计算不规则点数据的周期
10
8
震 级
¼¶ Õð
6
4
2
0 1000
1100
1200
1300
1400
年代
1500 1600 ʱ ¼ä
1700
1800
1900
0.8
公元1000年以来，华北地 区大于等于6级地震的周期
试 验 变 差 函 数
0.4 0 200 400 600 800
空间信息统计的研究历史
南非的采矿工程师 D G Krige 巴黎枫丹白露地质统计学和数 学形态学研究中心 G Mathoron
斯坦福大学 A G Journel
3. 变差函数的概念
区域化变量Z(x)和Z(x+h)两点之差的方差 之半定义为Z(x)的变差函数：
( x, h) Var[ Z ( x) Z ( x h)]
(h) C0 C (1 e )
h a
3. 高斯模型
(h) C0 C (1 e
h2
a
2
)
参数名称及含义
C0
块金常数 a 变程 C 拱高
球状模型
γ(h)
C
C0
a
h
1 (h) E[ Z ( x) Z ( x h)] 2 2
实验变差函数的拟合与套和
1 ( 2) (22 12 22 02 ) 1.13 2 4 1 2 (2 2 ) (3 ) 4.5 2 1
实验变差函数的计算方法
点对云图方法
点对分组计算
点对云图方法
点对分组计算
Y(h)
2000
1000
0 0 1000 2000 3000 4000 5000
h(m)
角度容差
y
x
角度容差
距离容差
B A
距离容差h0/2
0
h0 (h0/2,Y1)
1
(3h0/2,Y2)
2
3
4
离群值对实验变差函数的影响
1 0 0 0
1 0 0 0
8 0 0
8 0 0
C 2
6 0 0
6 0 0
频 率
4 0 0
频 率
C 2
4 0 0
2 0 0
2 0 0
0
< = 1 0
2 0
4 0
变差函数和结构分析
思考题
变差函数和协方差函数之间的关
系。 如何对区域化变量（空间随机场） 进行结构分析。
本讲的主要内容
空间信息统计的发展历史 变差函数的概念 实验变差函数的计算 变差函数模型的拟合与套和 变差函数的应用
2 空间信息统计的研究内容、历 史
参考文献
空间信息统计的研究内容
国外杂志
International Association for Mathematical Geology ( IAMG ) Mathematical Geology(Mathematical geosciences) Computers&Geosciences Natural Resources Research Geoderma
2
0
0
0
变差函数的类型
Y(h)
间断型(原点为0)
连续型 随机型
h
变差函数的模型
Y(h)
球状模型
指数模型 高斯模型
h
变差函数模型
1.球状模型
0 3h 1h 3 ( h) C0 C ( ) 3 2a 2a C0 C h0 0ha ha
2. 指数模型
200.00
150.00
100.00 0.00 10.00 20.00
实验变差函数的拟合有很多种方法 加权最小二乘法 线性规划方法 遗传算法 交互式拟合方法
变差函数的套和
实际差函数上就是它的结构不是单纯的一 种结构，而是多层次结构叠加在一起称为 套和结构。 例如不同尺度上的地质作用: 地质上: 全球构造运动、断裂带上的构造运 动、断层上的变形 地理上: 全球的变化、气候带的变化、局部 的变化
6 0
8 0
1 0 0
1 2 0
0
< = 1 0
3 0
5 0
7 0
9 0
1 1 0
原始数据
γ (h)
300
经过预处理的数据
原始数据
200
预处理后的数据
处理前后变差函数 的对比
100 0
10
距 离 (km) 20
5. 变差函数的类型
变差函数的模型根据变差函数在原点处的 特性分为： h 0, ( h) A h 或A h 1. 连续型 h 0, (h) C 2. 间断型 h 0, (h) C 3. 随机型 h 0, (h) C 4. 过渡型
块金常数的含义
Y
3
1.5 1.4 1.3 1.2 1.1 1
1
0.3
0.2
X
红点代表的随机函数其块金常数明显高于白 点代表的随机函数
基台值的含义
Y
A
B
X
变程的含义
假设两点之间相差为ΔZ时不相关 B
A O
横向的变程比纵向的大
实例：
40.00
30.00
20.00
10.00
0.00 0.00
10.00
20.00
30.00
40.00
50.00
60.00
70.00
80.00
土壤甲烷各方向变差函数拟合图
80000
60000
40000
40000
0 0
80000
10
20000
20
0
10
20
N-S
100000
NE-SW
40000
50000
0 0
10
20
0 0
10
20
E-W
NW-SE
实验变差函数的应用
乙烷 变程 （a） 7 10 16 10 49.05 0.057 (N-S) 0.0075 (N-S) 0.13 (N-S) 拱高 （C1） 18 21 57 50
变差函数的各向异性
基台值相等
基台值和变程都不等
变程椭圆
变差函数的周期性特征
1
0.5
0