第4章变异函数的结构分析
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变异函数及结构分折
型也称块金效应型。这种类型说明变异函数 (h) 连续性差。当 h 增大时， (h) 又可逐渐变 得比较连续。
3 变异函数的功能
（2） 变异函数在原点处的性状反映变量的空间连续性
（d） 随机型 当 h 0 时， (h) C0 ，当 h 增大时， | h | 时， (h) 仍是在 C0 附 近摆动，无论 h 多么小，区域化变量 Z ( x) 与 Z ( x h) 总是不相关。这种类型称随机型，也 称纯块金效应型。 它反映了区域化变量完全不存在空间相关的情况、 或者说反映了变量是普 通的随机变量。这时 C0 等于先验方差， Var[Z ( x)] C0 。 （e） 过渡型 当 h 0 时， (h) C0 ，当 h=a（a 为变程） ，
h 0 h 0
1. 变异函数图结构分析
块金方差：主要来源于远小于抽样间距的空间尺度上
存在的差异。块金方差的大小直接限制了空间内插的精
度，如果实际的样本方差图主要表现为块金效应，即随 的增加变异函数的变化近似于一水平线，说明了在最小 抽样间距以上的空间尺度上不存在自相关性，这种结果 也意味着可能存在一个比抽样间距更加小的空间自相关
3 变异函数的功能
（4） 块金常数 的大小可反映区域化变量的随机性大小
C (0) 0 ，即先验方差不小于零。 C (h) C (h) ，即 C (h) 是对 h=0 的直线对称。
| C (h) | C (0) ，协方差函数绝对值小于等于先验方差。
| h | 时， C (h) 0 ，或写作 C () 0 。 C (h) 必须是一个非负定函数 （即由 C ( xi x j ) 构成的协方差函数矩阵必须是一个非
负定矩阵） 。
2 变异函数的性质
第4章 变异函数结构分析
( h ) 0 ( h) 1 ( h) 2 ( h)
三、变异函数的套合结构
2. 不同方向上的套合
( h)
(a)各向同性
h1=A*h 通过变换矩阵A， 改变不同方向上 的向量h 不同方向上的aαi进行 线性变换，乘以各向 异向比
(b)几何各向异性
(c)带状各向异性
结构模型 (h) 可以看成是由N个各向同性结构套合而成，即 (h) i ( hi )
一、变异函数的理论模型
二、变异函数理论模型的最优拟合
三、变异函数的套和结构
二、变异函数理论模型的最优拟合
模型参数的最优估计 模型拟合评价及类型确定 影响变异函数的主要因素
二、变异函数理论模型的最优拟合
1. 模型参数的最优估计—人工拟合 通过实验变异函数散点图确定曲线的大致类型； 通过对散点图走势的观察初步估计模型参数；
h x1 h 3 x2 C0 b0 3c b1 2a c b2 2a 3
变换后的线性模型：y b0 b1x1 b2 x2
二、变异函数理论模型的最优拟合
1. 模型参数的最优估计—自动拟合 优点：简单方便。 缺点：得到的变异函数模型的曲线有时并不十分满意，这是因 为对实验变异函数曲线中头几个点（在反映变量的空间自相关方 面极为重要）的重要性认识不足。 1）最小二乘法拟合
C0：块金值； A：常数， 表示直线斜 率
线性无基台模型
幂指数模型
θ ：幂指数
对数模型
不能描述点 支撑上的区 域化变量结 构
一、变异函数的理论模型
• 3、孔穴效应模型
模型名称 模型公式表示 模型曲线 备注
孔穴效应模 型
h大于一定的距 离后， (h) 非单 调递增，以一定 的周期b进行波 动，表现出“孔 穴效应”
第四章 变异函数的结构分析
（4）变异函数计算
• 考虑数据的结构
等间距规则网格数据 非等间距不规则网格数据
（4）变异函数计算
• 1）扇区分组
– 以笛卡尔坐标原点为原点，如 图4-17所示虚线为样点对距离h ，利用扇形分区进行不规则格 网数据分组。
• 2）格网分组
– 扇区分组虽然合理，但不适宜 计算机表示，为此采用格网分 组。
2、模型拟合评价及类型确定
• 模型拟合评 • 最优曲线的检验 价包括： • 即理论模型的检验。由于把最优理论模型的求解转化为一
元和二元线性方程来求解，显然就需要对回归方程参数及 • 最优曲线的 方程本身进行显著性检验。 检验和模型 比较 • 模型比较
•
即是通过平均误差、均方根误差、平均标准误差等统计指 标对不同的理论模型比较，从中选出最优拟合模型。一般 来说，人们总是希望预测误差是无偏且最优的。
带状异向性：当区域化变量在 不同方向上变异性差异不能用 简单几何变换得到时，就称为 带状异向性。此时，实验变异 函数具有不同的基台值，而变 程可以相同也可以不同。
2、不同方向上的套合
• （2）变换矩阵
• 为了便于计算，在克里格估算中所用的变异函数或协方差函数的理论模式要 求区域化变量是各向同性。
2、不同方向上的套合
第四章 变异函数结构分析
提
纲
• 一、变异函数的理论模型 • 二、变异函数理论模型的最优拟合 • 三、变异函数的套合结构
一、变异函数的理论模型
纯块金效应模型 球状模型 有基台值模型 指数模型 高斯模型 线性有基台值模型 无基台值模型 线性无基台值模型 幂函数模型 对数模型 孔穴效应模型（可有有基台或无基台模型）
1、有基台值模型
• （1）纯块金效应模型
VariogramTutorial变异函数教程(程贤辅译)
Variogram Tutoria lRandal BarnesGolden Software, Inc.变异函数教程作者：Randal Barnes(兰德尔·巴恩斯)Golden Software 软件公司翻译：程贤辅2012.12.24目录1 - 引言2 - 什么是一个变异函数，它代表什么呢？3 - 什么是变异函数？4 - 变异函数网格5 - 建模全方位的变异函数6 - 变异函数模型各向异性7 - 经验法则8 - 常见问题9 - 一些地质统计学的参考文献1 引言变异函数刻划了数据集在空间上的连续性或粗糙程度。
普通一维的两个数据集的统计数据几乎相同，但在空间上的连续性可能是完全不同的。
其理由请参阅第2节变异函数的部分内容。
变异函数的分析包括从数据计算出来的实验变异函数和变异函数模型拟合出来的数据。
实验变异函数的计算方法是有关Z值的均方差的一半，该Z超过指定的分隔距离和方向观测到的所有数据对。
它被绘制为一个二维图。
用于计算实验变异函数的数学公式的详细信息，请参阅第3节。
该变异函数模型是选自一组描述空间关系的数学函数。
相应的模型是选自与实验变差函数的曲线形状相匹配的数学函数的形状曲线。
请参阅网上Surfer用户指南和Surfer帮助中有关每个函数的曲线形状图中的变异函数模型图形主题。
要交代的几何异向性（在不同方向上的可变空间连续性），单独的实验和模型变异函数可以计算数据集中的不同的方向。
2 什么是一个变异函数所代表的？考虑两个人工数据集，表1.1给出了A和B这两个数据集的一些常见的描述性统计，等一下我们将利用这些数据。
图1.1和1.2中给出这两个数据集的直方图。
根据这方面的证据看来两组数据几乎是相同的。
然而，这两个数据集在不包含常见的描述性统计信息和直方图方面有着显著的不同方式。
通过比较相关的等高线图（见图1.3和1.4）中可以看出，数据集A要比数据集B来得粗糙。
请注意，我们不能说该数据集A是数据集B的“变异”，因为两个数据集的标准偏差是一样的，高低幅度都是一样的。
地质统计学变异函数
C(0) h
a
变异函数及变异曲线
• 变异函数的性质： γ(h) • 设Z(x)是二阶平稳的，则γ(h)存在且平 稳，并有下列性质： • (1) γ(0)=0 C • (2) γ(h) >=0 • (3) γ(-h)= γ(h) • (4)[-γ(h) ]是条件非负定函数 • (5) γ(∞) =C(0) • 变异函数与协方差函数的关系曲线 • C(h)=C(0)- γ(h)
• 变异函数理论 模型函数形式： • 无基台的模型 • 其它模型
幂函数模型:
(h) Ah , 0 2
对数函数模型:
(h) A log h De Wijjs 模型 ( h) 3l ln h
纯块金模型: 0, h 0 ( h) C0 , h 0 孔穴效应模型:
变异函数的计算与拟合
• 设Z(x)是一维区域化 变量满足风蕴假设。 有8个观测值如图y计 算变异函数值 • γ(1)=3.0； • γ(2)=1.67； • γ(3)=2.80； • γ(4)=2.87； • γ(5)=1； • γ(6)=4；
6
变异函数图
4 4
3 2 1.67
2.8
2.87
1 0 1 2 3 4 5 6
本章的主要内容
变异函数及变异曲线：讨论变异函数及曲线描述 变异函数的理论模型：介绍变异函数的理论模型 及特点 实验变异函数曲线的计算与拟合：学会如何利用 观测样本估计计算研究对象特征的变异函数值并 用理论模型进行拟合； 结构分析：对研究对象的异向性进行分析的方法， 主要讨论不同异向性情况下的结构套合方法 结构分析的实施步骤：介绍对研究对象从观测开 始到特征描述的一般过程
2 V
x+h
变异函数和分形容量维的相关性分析
２ 变 异 函数 和 盒维 的相 关 性
２ １ 对研 究对象 的刻划 ．
稳假设 或 者本征 假设 ， 区域化 变量 Ｚ（ 则 ）的增量 ［ ）一Ｚ（ ＋ｈ ］ Ｚ（ ） 只依赖 于分 割它们 的 ｈ， 而不
变异 函数实 际是一 个协方 差 函数 ， 又称变 差 它
依赖具体未知 ． 这样 ， 被向量分割的每一对数据 ｛ （ ， （ ＋ ｈ ｝ 以看 成 是 ｛ （ ， （ ＋ ｚ ）ｚ ）可 ｚ ）ｚ ） 一 次不 同的实 现 （ 处 Ⅳ（ 是被 向量 ｈ相 隔 ｝ 此 ）
Ｖ １ ６Ｎ ． ０ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ ｏ５ ２
Ｓ ． ２０ 印 ０８
文章编号：０ ８ ４ ２２ ０）５ ７２— ３ １０ —１０ ｛０８０ —００ ０
变 异 函数 和 分 形 容 量 维 的 相 关 性 分 析
刘 艳 妮
（ 成都理工大学信息管理学院 。 四川 成都 ６０５ ） １０９
摘 要 ： 变异函数和容量维分别是地质统计学和分形中的有力工具， 它们从不同的角度对随机 场的特性进行描述和刻划， 尤其在刻划区域化变量的特征时呈现 了 很强的一致性 ， 由于自然现象
体的复杂性 ， 无论何种分形都可 以通过分维数这个 特征数测定其不平度、 复杂性或卷积度 ．
对于变异函数 ， 若变异 函数 图是线性的， 明 说 该 变量 具有 统计 自相 似 ， 即大尺 度格 局是 小尺 度格 局的放大形式 ， 分维值 Ｄ不随尺度的变化而变化 ．
维 又称容量 维 ．
１ 相 关 定义
下面给出实验变异函数和容量维的概念和公式
定义 １ 区域化 变量 以空 间点 的 三个 直角 坐标 ， ， 维 自变 量 的 随机 场 Ｚ（ ， ， 叫 ， ）
地统计学简介
• 2、局部不确定性预测
– 估值时考虑待估点周围样本 点的影响，利用条件概率模 型来推断局部不确定型。
Hale Waihona Puke 二、地统计学研究内容• 3、随机模拟
– 根据随机变量定义， 每个 变量可以有多个实现。只要 总体趋势是正确的，每个未 知点上的变量估值可以有多 种情况，这种方法称为随机 模拟。
• 4、多点地统计学
• 1999年王政权出版了《地统计学及其在生态学中的应用》 • 2005年张仁铎出版了《空间变异理论及应用》
• ……
四、地统计学应用领域
适用范围
• 空间分布数据的结构性和随机性 • 空间相关性和依赖性 • 空间格局与变异，并对这些数据进行最优无偏内插估计 • 模拟数据的离散性、波动性
（侯景儒，1993）
经典统计学与地统计学的区别
经典统计学
• 研究纯随机变量
地统计学
• 研究区域化变量
• 变量可无限次重复观测或
大量重复观测 • 样本相互独立 • 研究样本的数字特征
• 变量不能重复试验
• 样本具有空间相关性 • 研究样本的数字特征和区 域化变量的空间分布特征
二、地统计学研究内容
• 1、空间估值
– 根据空间分布的离散采样点 值求出未知点值，或将离散 的数据点转化为连续的数据 曲面，即空间估值。 – 如参数法中的众高斯法和非 – 在地统计学领域，估值方法 统称为克里金法。 参数法中的指示克里金法。
– 通过多个点的训练图像来取
代变异函数，能有效反映目
标的空间分布结构。
三、地统计学起源及发展
产生于地质学领域，亦称地质统计学（Geostatistics）
1951年， D.G.Krige和H.S.Sichel提出“克里格”法。
变异函数和协方差函数
土壤属性的空间分布特征是土壤污染治理、 土地管理和现代农业的重要依据之一。
土壤是一个形态和过程都相当复杂的自然 综合体，成土过程中不同的物理、化学、 生物等因素的影响，使得土壤性质具有高 度的空间异质性。人类活动进一步加剧了 土壤属性的变异性和不确定性。
同时，土壤本身处于一个时刻变化的动态 过程，因此，对土壤空间性质进行描述和 定律研究相当困难。
2019/7/10
华中农业大学 资源与环境学院
31
有基台值模型—高斯模型
C0：块金常数 C0+C ：基台值 C：拱高 3a ：变程 当C0=0,C=1时，称为 标准高斯函数模型
3a
2019/7/10
华中农业大学 资源与环境学院
32
三种常用模型比较
0.95
2019/7/10
华中农业大学 资源与环境学院
地统计学方法
资源与环境学院 杨勇
2019/7/10
1
设想一下这样的问题
？
2019/7/10
这块地的土壤养分情况如何？ 不仅需要知道一个总体情况 而是要知道每个地方的不同含量 方便为那些含量低的地方施肥
该怎么办呢？
华中农业大学 资源与环境学院
2
2019/7/10
方案一
Step1: 密集采样 Step2: 把土样运回实验室 Step3: 晒干，磨碎，…..化学分析
无基台值模型
2019/7/10
华中农业大学 资源与环境学院
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有基台值模型—球状模型
C0：块金常数 C0+C ：基台值 C：拱高 a：变程 应用最广的模型
2019/7/10
华中农业大学 资源与环境学院
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有基台值模型—指数模型
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3、孔穴效应模型
• 当变异函数 (h在) h大于一定的距离后，并非单调递增，而
在具有一定周期波动时就显示出一种“孔穴效应”。
.
二、变异函数理论模型的最优拟合
• 根据实验变异函数值，选择合适的理论模型来拟合一条最优的理论变异 函数曲线，最优拟合的过程实质是拟合最优模型的过程。
• 在变异函数理论模型中，除线性模型外，其余都是曲线模型，因此，可 以说地统计学中变异函数最优拟合主要是曲线拟合。
（1）各向异性的种类
几何异向性：当区域化变量在不同方向上表现出变异 程度相同而连续性不同时称为几何异向性。这种异向 性因可以通过简单的几何图形变换化为各向同性而得 名。几何异向性具有相同的基台值，而变程不同。
带状异向性：当区域化变量在
不同方向上变异性差异不能用
简单几何变换得到时，就称为
带状异向性。此时，实验变异
.
1、有基台值模型
• （1）纯块金效应模型
(h) 0 c0
h0 h0 C0 0 为先验方差。
区域化变量为随机分布， 空间相关性不存在
.
1、有基台值模型
• （2）球状模型
C 0 为块金常数。C0 C 为基台值。 C 为拱高。 a 为变程。
由地统计学理论奠基者法国学者马特隆 (G. Matheron )提出，故称马特隆模型。 在实际中，百分之九十五以上的实验变 异函数散点图都可用该模型拟合。
.
2、无基台值模型
• （2）幂函数模型 (h)Ah ,02
➢θ为幂指数。当θ变化时，这种模
型可以反映在原点附近的各种性状。
.
2、无基台值模型
• （3）对数模型 (h)Algh
➢显然，当 h 0,lohg ，这与
变异函数的性质 (h) 0不符。因此，
对数模型不能描述点支撑上的区域 化变量的结构。
.
.
三、变异函数的套合结构
• 结构分析
构造一个变异函数模型对于全部有效结构信息作定量化的概括， 以表征区域化变量的主要特征。结构分析的主要方法是套合结构。
• 套合结构
•
把分别出现在不同距离h上和（或）不同方向 上同时起作用的变异性
组合起来。可以表示为多个变异函数之和，每一个变异函数代表一个方向一
种特定尺度上的变异性，套合结构的表达式为：
当 C0 0 时，C1 ，称为标准球状模型.
.
1、有基台值模型
• （3）指数模型
C 0 为块金常数。C0 C 为基台值。 C 为拱高。
指数模型的变程为3a。 当 C0 0 时，C1 ，称为标准指数模型。
.
1、有基台值模型
• （4）高斯模型
(h)C0C(10eh2a2)
h0 h0
C 0 为块金常数。C0 C 为基台值。 C 为拱高。
• （2）自动拟合
– 曲线类型确定
根据专业知识从理论上推断，或根据以往的经验来确定曲线类型。 通过散点图的走势，先大致确定曲线类型，再对这个初步类型进行参数最优估计， 确定是否为最优曲线。
– 最小二乘法拟合
将曲线模型先进行适当变换，化为线性模型。然后，如同回归分析那样用最小二乘 法原理估计模型参数。最小二乘法拟合的优点是简单方便。缺点是得到的变异函数 理论模型的曲线有时并不十分满意。
1(h) 表示变程为a1=10m时的球状模型
0
h0
1(h)
C1[23
h a1
1(h)3] 2 a1
0ha1
C1
ha1
2(h) 表示变程为a2=100m时的球状模型。
0
h0
2(h)C2[23ah2
1( h)3] 2 a2
0ha2
C2
ha2
.
(h ) 0 (h ) 1 (h ) 2 (h )
2、不同方向上的套合
方程本身进行显著性检验。
比较
• 模型比较
• 即是通过平均误差、均方根误差、平均标准误差等统计指 标对不同的理论模型比较，从中选出最优拟合模型。一般 来说，人们总是希望预测误差是无偏且最优的。
.
3、影响变异函数的主要因素
• 样点距离和支撑大小 • 样本数量 • 特异值影响 • 比例效应影响 • 漂移的影响
(h )0 (h )1 (h ) i(h )
.
1、单一方向上的套合
• 每一个变异函数代表同一方向上一种特定尺度的变异，并可以用不同的变异函 数理论模型来拟合，即单一方向的套合结构。
• 假设区域化变量Z(x)在某一方向上的变异性由 0 (h)、 1(h) 、2(h) 组成。
0(h) 表示微观上的变化
，并绘制成散点图与实验变异函数散点图进行对比。若有差异，则调
整初步估计的参数值（即估计基台值、变程和块金常数），直到理论
变异函数散点图与实验变异函数散点图吻合较好。此时的基台值、变
程和块金值，即为变异函数最终的估计值。
•
人工拟合法的缺点是耗时、费力、因人而异、主观性强、缺乏统
一的、客观的标准。
.
1、模型参数的最优估计
高斯模型的变程为 3 a 。 当 C0 0 时，C1 ，称为标准高斯函数模型。
.
1、有基台值模型
• （5）线性有基台值模型
C 0 为块金常数。C0 C 为基台值。 C 为拱高。 a为变程。 A 为常数，表示直线的斜率。
.
2、无基台值模型
• （1）线性无基台值模型
(h)Ac0h
h0 h0
➢基台值不存在，没有变程。
– 加权回归法拟合
对于指数和高斯模型（有基台）、幂函数和对数模型（无基台），可用一元加权回 归法拟合。
.
2、模型拟合评价及类型确定
• 模型拟合评 • 最优曲线的检验
价包括：
• 即理论模型的检验。由于把最优理论模型的求解转化为一
• 最优曲线的
元和二元线性方程来求解，显然就需要对回归方程参数及
检验和模型
第四章 变异函数结构分析
.
提纲
• 一、变异函数的理论模型 • 二、变异函数理论模型的最优拟合 • 三、变异函数的套合结构
.
一、变异函数的理论模型
有基台值模型 无基台值模型
纯块金效应模型 球状模型 指数模型 高斯模型 线性有基台值模型 线性无基台值模型
幂函数模型
对数模型
孔穴效应模型（可有有基台或无基台模型）
• 变异函数理论模型的最优拟合主要包括三个步骤：①确定变异函数模型 形态（或确定曲线类型）；②模型参数的最优估计；③模型拟合评价。
.
1、模型参数的最优估计
• （1）人工拟合
•
首先通过实验变异函数散点图，确定曲线的大致类型，再通过对
散点图走势的观察初步估计模型参数（即估计基台值、变程和块金常
数）；然后，将初步估计的参数代入曲线函数，计算理论变异函数值
函数具有不同的基台值，而变