第三章 连续信号的正交分解1
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3 连续信号的正交分解1-2
t2 t1
∫
g r (t )dt
2
1 = kr
∫
t2
t1
f (t ) g r (t )dt
第 二 章 连 续 时 间 系 统 的 时 域 分 析
§3.2 正交函数集与信号分解
如果一正交信号空间可以精 无误差）地表示任一函数， 确（无误差）地表示任一函数， 则称该正交空间为完备的正交信 则称该正交空间为完备的正交信 号空间或正交函数集。 号空间或正交函数集。
第 二 章 连 续 时 间 系 统 的 时 域 分 析
§3.2 正交函数集与信号分解
选择C 的准则亦也使近似误差ε(t) ε(t)的方 选择C12的准则亦也使近似误差ε(t)的方 均值最小，即使： 均值最小，即使：
1 t2 2 1 t2 ε (t ) = ε (t )dt = [ f1 (t ) − C12 f 2 (t )]2 dt t 2 −t1 ∫t1 t 2 −t1 ∫t1
第 二 章 连 续 时 间 系 统 的 时 域 分 析
§3.2 正交函数集与信号分解
为了更好地说明两个信号间相似的程 从功率的角度， 度，从功率的角度，引入了相关系数的概 t2 念： ∫t1 f1 (t ) f 2 (t )dt ρ12 = 1 t2 t2 2 2 [ ∫ f 2 (t )dt ∫ f 2 (t )dt统 的 时 域 分 析
§3.2 正交函数集与信号分解
与正交向量集相在似， 与正交向量集相在似，任何一个函 f(t)在区间[t1，t2]内可近似地用 在区间[t1 内可近似地用n 数f(t)在区间[t1，t2]内可近似地用n维正 交信号空间中的各正交分量来表示， 交信号空间中的各正交分量来表示，即：
§3.2 正交函数集与信号分解
可知： 完全相同时： 可知：当 A1 与 A2 完全相同时：C12=1 垂直时： =0。 当 A1 与 A2 垂直时： C12=0。即 A1 上的分量为0 此时， 在 A2 上的分量为0。此时，这两个互相垂 直的矢量组成一个正交矢量集 正交矢量集。 直的矢量组成一个正交矢量集。 方向上的分量， E 也是 A1 在 E 方向上的分量， A2 与 E
∫
g r (t )dt
2
1 = kr
∫
t2
t1
f (t ) g r (t )dt
第 二 章 连 续 时 间 系 统 的 时 域 分 析
§3.2 正交函数集与信号分解
如果一正交信号空间可以精 无误差）地表示任一函数， 确（无误差）地表示任一函数， 则称该正交空间为完备的正交信 则称该正交空间为完备的正交信 号空间或正交函数集。 号空间或正交函数集。
第 二 章 连 续 时 间 系 统 的 时 域 分 析
§3.2 正交函数集与信号分解
选择C 的准则亦也使近似误差ε(t) ε(t)的方 选择C12的准则亦也使近似误差ε(t)的方 均值最小，即使： 均值最小，即使：
1 t2 2 1 t2 ε (t ) = ε (t )dt = [ f1 (t ) − C12 f 2 (t )]2 dt t 2 −t1 ∫t1 t 2 −t1 ∫t1
第 二 章 连 续 时 间 系 统 的 时 域 分 析
§3.2 正交函数集与信号分解
为了更好地说明两个信号间相似的程 从功率的角度， 度，从功率的角度，引入了相关系数的概 t2 念： ∫t1 f1 (t ) f 2 (t )dt ρ12 = 1 t2 t2 2 2 [ ∫ f 2 (t )dt ∫ f 2 (t )dt统 的 时 域 分 析
§3.2 正交函数集与信号分解
与正交向量集相在似， 与正交向量集相在似，任何一个函 f(t)在区间[t1，t2]内可近似地用 在区间[t1 内可近似地用n 数f(t)在区间[t1，t2]内可近似地用n维正 交信号空间中的各正交分量来表示， 交信号空间中的各正交分量来表示，即：
§3.2 正交函数集与信号分解
可知： 完全相同时： 可知：当 A1 与 A2 完全相同时：C12=1 垂直时： =0。 当 A1 与 A2 垂直时： C12=0。即 A1 上的分量为0 此时， 在 A2 上的分量为0。此时，这两个互相垂 直的矢量组成一个正交矢量集 正交矢量集。 直的矢量组成一个正交矢量集。 方向上的分量， E 也是 A1 在 E 方向上的分量， A2 与 E
信号与系统第三章
a0 ∞ fT ( t ) = + ∑ 2 n=1
Fne jnΩt + F− ne − jnΩt ) (
jnΩt
=
n =−∞
∑
∞
Fn e
F0
a0 2
an + jbn = 2 ∗ = Fn
第
指数形式的傅立叶级数(2) 指数形式的傅立叶级数(2)
1. 傅里叶系数
a − jbn 1 Fn = n = 2 T T
ε =0
2
∫
t2 t1
f (t ) d t = ∑ C 2 K j j
2 j =1
∞
(Parseval 公式 公式)
第
§3.2
周期信号的频谱分析
-----傅里叶级数 傅里叶级数
5 页
一、三角形式的傅立叶级数 二、周期信号的频谱 三、指数形式的傅立叶级数 周期信号的功率——Parseval等式 Parseval等式 四、周期信号的功率 Parseval 五、函数对称性与频谱特性
bn ϕn = −arctg an an = An cos (ϕn ) , bn = − An sin (ϕn )
A0 a0 = 2 2
An = an 2 + bn 2
第
二、周期信号的频谱
概念：周期信号中各次谐波分量的幅度、初相位随频率的变化关系。 概念：周期信号中各次谐波分量的幅度、初相位随频率的变化关系。 An~ω：幅度谱； ：幅度谱； 例1： ：
在正交函数集 满足： 满足：
1
之外， {ϕ ( t ) ,ϕ ( t ) ,L,ϕ ( t )} 之外，不存在 ϕ ( t ) ≠ 0
2 n
∫
t2 t1
管致中《信号与线性系统》(第5版)(章节题库 连续信号的正交分解)
F(
j)
e2
2e2 2 j
。
2．频谱函数 F（jω）＝g4（ω）cosπω 的傅里叶逆变换 f（t）等于______。
【答案】
f
(t)
1
[Sa2(t
)
Sa2(t
)]
【解析】因为
F(
j)
g4 () cos
1 2
g4 ()(e j
e j
)
，而
F
1[ g 4
()]
2
Sa(2t)
，根据傅里叶变换的时移特性，可得
x(t t0 ) X (w)e jwt0 ，可得 e j4w (t 4) ， e j4w (t 4) ，再分别乘
以系数即得 f（t）＝
。重点在于傅里叶变换的性质。
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3．信号
的傅里叶变换为（ ）。
)， 2
A2
E
A
2E
，
已知
，根据卷积定理
F2(
)
F1(
)gF1(
)
E 2
Sa2( 4
)
二、填空题
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1．信号
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的傅里叶变换 F（jω）等于______。
【答案】
【解析】
f
(t)
e2 (t)
2e2e2t (t) ，根据傅里叶变换，可得
10．图 3-2（a）所示信号 f（t）的傅里叶变换 3-2（b）所示信号 y（t）的傅里叶变换 Y（jω）为（ ）。
为已知，则图
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信号处理 第3章连续时间信号的正交分解(文正)
)
F (j )
/2
/ 2
e
j t
dt
e
j
e j
2
j
2
2 sin(
2
1
gτ (t)
)
Sa(
2
)
2
0
2
t
频谱图
F j
2π
O 2π
F j
4π
幅度频谱
2π
O
频宽：
2π 4π
第3 章 连续信号的正交分解
目录
周期信号的傅里叶级数 周期信号的频谱 非周期信号的傅里叶变换 典型信号的傅里叶变换
傅里叶变换的性质
频域分析
从本章开始由时域转入变换域分析，首先讨论傅里 叶变换。傅里叶变换是在傅里叶级数正交函数展开的基 础上发展而产生的，这方面的问题也称为傅里叶分析 （频域分析）。将信号进行正交分解，即分解为三角函 数或复指数函数的组合。 频域分析将时间变量变换成频率变量，揭示了信号 内在的频率特性以及信号时间特性与其频率特性之间的 密切关系，从而导出了信号的频谱、带宽以及滤波、调 制等重要概念。
f(t) ←→F(jω)
或
F(jω) = F [f(t)]
f(t) = F –1[F(jω)]
F(jω)一般是复函数，写为 F(jω) = | F(jω)|e j (ω) = R(ω) + jX(ω)
2、常用函数的傅里叶变换
Sa( 例：矩形脉冲 (门函数） G (t )
F
2
三角形式的傅里叶级数，含义比较明确，但运算常感不便， 因而经常采用指数形式的傅里叶级数。
连续信号的正交分解
如果（或），则称和正交。 ▪ 如果和是复函数，则其方均误差为： ▪ 最佳系数为：
信号的分解
▪ 多个标准信号下的分解：将信号表示为多 个标准信号的线性组合：
▪ 这之里间的两同两样正难 交以 ，确 则定 可。 以但 证是 明如：果标准函数 ccffiii( (t t) ) tt1t1t22c ff1 if ((1 tt( ))tff) ii* *((ttc ))2 ddft2 t( t) . .c n .fn ( t) i n 1 c ifi( t)
标准信号集两例
▪ 三角函数： ▪ 指数函数： ▪ ， 1 en , nc t 0t ,, s o 1, t ,c is 2 n t , o s2 t i , sn . c. k , o s .t k ,i , s. n t..
▪ 对标准信号集的要求： ▪ 归一化： ▪ 正交化：， it1 t2 fji(t)f▪ij**((tt))dd完t t10备性：可以用其线性组合表示任意信号。
连续信号的正交分解信号的正交分解信号正交分解力的正交分解10e0力的正交分解法向量的正交分解矩阵的正交分解力的正交分解法习题平面向量的正交分解力的正交分解练习
第三章 连续信号的正交分解源自 §3-1 引 言▪ 线性系统分析方法，是将复杂信号分解为简单信 号之和（或积分），通过系统对简单信号的响应 求解系统对复杂信号的响应。
▪ 如何确定最佳的系数？对于特定的i而言，不仅 与特定的有关，与其它的标准矢量也有关系。 但是如果矢量两两正交，可以证明：
▪
矢量分解
▪ 标准矢量基的几个限制条件： ▪ 归一化：标准矢量的模等于1——方便计
算 ▪ 正交化：标准矢量两两正交 ▪ 完备性：可以不失真地组合出任意矢量
cc(ft1112 1((f,(tt1tt))(2)t)tt) 1t1t22 tff12((1 tt))t1 ff11((tt1 tt2))dd2tt(t)dt
信号的分解
▪ 多个标准信号下的分解：将信号表示为多 个标准信号的线性组合：
▪ 这之里间的两同两样正难 交以 ，确 则定 可。 以但 证是 明如：果标准函数 ccffiii( (t t) ) tt1t1t22c ff1 if ((1 tt( ))tff) ii* *((ttc ))2 ddft2 t( t) . .c n .fn ( t) i n 1 c ifi( t)
标准信号集两例
▪ 三角函数： ▪ 指数函数： ▪ ， 1 en , nc t 0t ,, s o 1, t ,c is 2 n t , o s2 t i , sn . c. k , o s .t k ,i , s. n t..
▪ 对标准信号集的要求： ▪ 归一化： ▪ 正交化：， it1 t2 fji(t)f▪ij**((tt))dd完t t10备性：可以用其线性组合表示任意信号。
连续信号的正交分解信号的正交分解信号正交分解力的正交分解10e0力的正交分解法向量的正交分解矩阵的正交分解力的正交分解法习题平面向量的正交分解力的正交分解练习
第三章 连续信号的正交分解源自 §3-1 引 言▪ 线性系统分析方法，是将复杂信号分解为简单信 号之和（或积分），通过系统对简单信号的响应 求解系统对复杂信号的响应。
▪ 如何确定最佳的系数？对于特定的i而言，不仅 与特定的有关，与其它的标准矢量也有关系。 但是如果矢量两两正交，可以证明：
▪
矢量分解
▪ 标准矢量基的几个限制条件： ▪ 归一化：标准矢量的模等于1——方便计
算 ▪ 正交化：标准矢量两两正交 ▪ 完备性：可以不失真地组合出任意矢量
cc(ft1112 1((f,(tt1tt))(2)t)tt) 1t1t22 tff12((1 tt))t1 ff11((tt1 tt2))dd2tt(t)dt
第三章 连续信号的正交分解-1
f (t ) ≈
∑ C g (t )
i i i =1
n
理论上讲 f ( t ) = lim
n→ ∞
∑ C g (t )
i i i =1
n
在使近似式的均方误差最小条件下， 在使近似式的均方误差最小条件下，可求得
C
r
t ∫t 1 f ( t ) g r ( t ) d t = t2 g r 2 (t ) d t ∫t 1
则
二.信号的分量和信号的分解 信号的分量和信号的分解 信号常以时间函数表示，所以信号的分解指的就是 信号常以时间函数表示， 函数的分解。 函数的分解。 1、函数的分量 设在区间 t 1 < t < t 2 内，用函数 f 1(t ) 在另一 函数 f 2(t ) 中的分量 C 12 f 2(t ) 来近似的代表 原函数 f 1(t )。
r =1
n t2 • 方均误差为 ε ∆2 ( t ) = [ f ( t ) − ∑ c r g r ( t )] 2 dt t 2 − t 1 ∫t 1 r =1
1
2 ε2 • 若令 n 趋于无限大， ∆ (t ) 的极限等于零 lim ε ∆ ( t ) = 0 趋于无限大， n→ ∞
• 则此函数集称为完备正交函数集
A = Ax + Ay
y
v A
y
v A
v A v A
x y
= =
v v A ⋅U v v A ⋅U
x y
v Uy
v Ux
v Ax
x
v v v v Ux • Ux = Uy ⋅Uy = 1 v v Ux • Uy = 0
v v U x 和 U y 是一组模为1的正 是一组模为1
第3章_正交分解
第三章 连续信号的正交分解 • 信号分解
– 将复杂信号分解成组成该信号的简单的单元函 数，先求得这些信号分量的系统响应，再利用 叠加原理求得总响应。
• 单元函数选择
时域
频域 – 冲激函数、阶跃函数 – 正交函数集：三角函数集、指数函数集
• 信号域变换
– 时域↔频域 – 时域↔复频域 •从本章开始由时域转入变换域分析。
t 0 T
2 t 0 T f (t ) cos(nt ) dt T t0
t0
正弦分量系数
bn
t 0 T
t0
f (t ) sin(nt )dt sin 2 (nt )dt
t 0 T
2 t 0 T f (t ) sin(nt )dt t0 T
t0
第三章 连续信号的正交分解
则称此函数集为在区间（t1,t2）内的正交函数集。
于是信号 f (t ) 在区间（t1,t2）内可以用n个互相正交的 函数表示为： n f (t ) C1 g1 (t ) C 2 g 2 (t ) C r g r (t ) C n g n (t ) C r g r (t )
其中
an An cos n bn An sin n
可证: an an 偶函数 A n An
A a 2 b 2 n n n bn n arctan an
b n bn 奇函数 n n
10
1
第三章 连续信号的正交分解
3.2.1 矢量的正交分解
1. 正交矢量 2. 矢量的正交分解
90° o V1 V2
V c1V1 c2V2
V cos1 V V1 c1 V1 V1 V1 V cos 2 V V2 c2 V2 V2 V2
– 将复杂信号分解成组成该信号的简单的单元函 数，先求得这些信号分量的系统响应，再利用 叠加原理求得总响应。
• 单元函数选择
时域
频域 – 冲激函数、阶跃函数 – 正交函数集：三角函数集、指数函数集
• 信号域变换
– 时域↔频域 – 时域↔复频域 •从本章开始由时域转入变换域分析。
t 0 T
2 t 0 T f (t ) cos(nt ) dt T t0
t0
正弦分量系数
bn
t 0 T
t0
f (t ) sin(nt )dt sin 2 (nt )dt
t 0 T
2 t 0 T f (t ) sin(nt )dt t0 T
t0
第三章 连续信号的正交分解
则称此函数集为在区间（t1,t2）内的正交函数集。
于是信号 f (t ) 在区间（t1,t2）内可以用n个互相正交的 函数表示为： n f (t ) C1 g1 (t ) C 2 g 2 (t ) C r g r (t ) C n g n (t ) C r g r (t )
其中
an An cos n bn An sin n
可证: an an 偶函数 A n An
A a 2 b 2 n n n bn n arctan an
b n bn 奇函数 n n
10
1
第三章 连续信号的正交分解
3.2.1 矢量的正交分解
1. 正交矢量 2. 矢量的正交分解
90° o V1 V2
V c1V1 c2V2
V cos1 V V1 c1 V1 V1 V1 V cos 2 V V2 c2 V2 V2 V2
《信号与系统》第3章 连续信号与系统的频域分析 PPT课件
3.1 信号的正交分解
3.1.1 矢量的正交分解 V2
1. 正交矢量
90 °
o
V1
图 3.1-1 两个矢量正交
两矢量V1与V2正交时的夹角为90°。不难得到两正交矢量的点积为零， 即
V1V 2 V1 V2 cos90 0
V1 Ve
o c12 V2
V2
图 3.1-2 矢量的近似表示及误差
t2 t1
gi
(t)
g
* j
(t
)dt
0 Ki
则该函数集就称为区间(t1, t2)上的正交函数集。 如果
t2 t1
gi
(t)
g
* j
(t
)dt
0 1
则称该函数集为归一化正交函数集。
i j i j
i j i j
用一个在区间(t1, t2)上的正交函数集｛gi(t)｝中各函数的线性组合就可逼近定 义在(t1, t2)区间上的信号f(t)，即
A6 0.8
6 30
其余 An 0
An 3 3
2 2
1
0.8
0.4
o 2 3 4 5 6
(a)
n 45 °
45 °
30 ° 30 °
20 °
15° 10°
图 3.3-1 例 3.3-1 信号
(a) 振幅谱；
o
2
3
4 5
6
(b) 相位谱
(b)
|F n |
上述正交三角函数集中，当n=0时，cos 0°=1, sin 0°=0，而0不应计在此正交函数集 中，故一正交三角函数集可具体写为
连续信号的正交分解
• 三角傅里叶级数还可以表示为
f
(t)
a0 2
n 1
An
c os (nt
n )
其中 An
a
2 n
bn2
, n
tg 1 bn an
或 an An cosn , bn An sin n
有上式可以看出An，an为n的偶函数，bn，φn为n 的奇函数。（这个关系在三角级数中用不到，
因为频率不会是负的，但在今后会用到）
t2
的内积为： gl (t), gm (t) g1(t)gm* (t)dt
t1
如果函数集 {g1(t), g2 (t), gn (t)} 满足以下条件
则称为正交函数集。
t2
gm
(t
)
g
* m
(t)dt
Km
t1 t2
gl
(t
)
g
* m
(t)dt
0
t1
Km 为常数，l, m 1,2, , n, l m
若Km=1则称归一化正交函数集。如果在该函 数空间中的任意函数f(t)可表示为：
f (t) C1g1(t) C2g2 (t) Cn gn (t) 那么称函数集 {g1(t), g2 (t), gn (t)} 为正交
完备函数集。即它们构成一个n维的函数空间。
其中的C1,C2,…,Cn称为f(t)在 g1(t), g2 (t), gn (t)
T0
T
2
T
bn
2 T
T 0
f (t)sin ntdt
2 [ 2 sin ntdt T sin ntdt]
T0
T
2
T
T
2
2
[ sin ntdt
西安石油大学810信号与系统2021年考研专业课初试大纲
西安石油大学2021年硕士研究生招生考试（810）信号与系统考试大纲一、考察目标1．能够解释信号与系统的相关概念和术语，能利用常见基本信号的定义、性质、运算与变换方法，以及线性非时变系统的基本特性，运用时域及变换域方法分析信号、系统的基本特征。
2．能够利用数学和电路相关知识建立电系统的数学模型，能够利用变换域方法描述并分析复杂系统，解决滤波、调制解调、系统稳定性等工程问题。
二、考试主要内容第一章绪论（1）信号、系统的常见分类，以及常用基本信号的时域描述方法，主要包括奇异函数的定义、特点与性质、相互间的关系；（2）信号的时域分解、变换与运算，会应用信号的基本特点与变换、运算方法对信号作相应的变换；（3）掌握线性非时变因果系统的性质，会利用性质分析求解不同状态下系统的响应。
第二章连续时间系统的时域分析（1）利用数学和电路知识建立系统输入和输出之间的微分方程，并会写出或者直接列写微分方程的算子形式，会求转移算子；（2）通过转移算子，会求解系统的自然频率，系统的单位冲激响应；（3）会求解系统在不同类型自然频率下的系统零输入响应；（4）会利用卷积积分的定义、性质求信号的卷积积分，并利用卷积积分求解系统零状态响应；（5）利用系统的零输入响应与零状态响应求解系统的全响应，并从最后的结果指出自然响应分量与受迫响应分量，暂态响应分量与稳态响应分量。
第三章连续信号的正交分解（1）在了解周期信号频谱特点的基础上，掌握非周期信号频谱的最大特点，即连续谱；（2）掌握非周期信号的傅里叶变换及其反变换的定义、常用信号的傅里叶变换、傅里叶变换的基本性质；（3）利用常用信号的傅里叶变换及傅里叶变换的基本性质，会求解非周期信号的傅里叶变换以及反变换。
第四章连续时间系统的频域分析（1）对连续时间系统的数学模型，即微分方程或者连续时间系统的电路模型，会利用信号的傅里叶变换知识建立方程或者电路的频域模型；（2）会求解系统的频域系统函数以及不同激励下系统响应；（3）利用频域法分析几类特殊系统，包括无失真传输系统的系统不失真的时域与频域条件，理想低通滤波器的单位冲激响应与频域系统函数，调制与解调系统的基本性质，解决滤波、调制解调等工程问题。
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1
2 2 n lim (t ) 0 ( t ) • 若令 趋于无限大， 的极限等于零 n
• 则此函数集称为完备正交函数集
定义2： 如果在正交函数集 不存在函数x（t）
g1( t ), g 2( t ), gn( t ) 之外，
t2 2 0 x ( t )dt t1 t2 满足等式 x( t ) gi ( t )dt 0 t1
n i 1
n
在使近似式的均方误差最小条件下，可求得
t f (t ) g r (t ) dt Cr t 1 t 2 2 g t1 r (t )dt
方均误差
n t 2 2 2 ( t ) [ f ( t ) c r g r ( t )] dt t 2 t1 t1 r 1
t1T t1T 2 T 2 t1 cos ntdt t1 sin ntdt 2
2 T 三角函数的公共周期
n 0,1,2但sin0o 0不记在三角函数集内
当n ，三角函数集是一完备 正交函数集
周期函数 f (t )在区间(t1, t1 T )内可用三角函数集表示 为
cA2 (c )
E A2
矢量 A 在矢量 A 上的分量示意图 2 1
图(a)中
E A1－C 12 A2
12
E——用分量 C A2来近似代表原矢量 A1的误差
矢量。
(c ) 图(b)、 中 cA2, cA2 为 A1在 A 2上的斜投影，可有 无穷多个斜投影，用斜投影近似代表原矢量 A1时， E , E 都大于E 。
y
Ay
A
Ax A Ux Ay A Uy
Uy
Ux
Ax
x
Ux Ux Uy Uy 1 Ux Uy 0
Ux 和 Uy 是一组模为1的正
交矢量
平面矢量分解图
A Ax Ay Az
y
Ay
1
3、用完备正交函数集表示信号 定义1： g 2( t ) t) • 如果用正交函数集 g1( ， ，… gn( t ) 在区间 (t1, t 2) 近似表 n 示函数 f ( t ) crgr ( t )
r 1
n t2 2 • 方均误差为 ( t ) [ f ( t ) c r g r ( t )] dt t 1 t 2 t1 r 1 2
C 12 0
也即cost不包含sint分量，或说cost与sint正交。
2、正交信号空间 设n个函数 g1 (t ), g2 (t ), gn (t )构成一函数集，如在 区间 (t1 , t2 ) 内满足下列正交特性：
t2
t1
gl (t ) gm (t )dt 0
2 gm (t )dt K m
[ f1 (t ) c12 f 2 (t )] dt 0
2
解得
矢量分解
c12
t2
t1
f1 ( t ) f 2 ( t )dt
t2
t1
f ( t )dt
2 2
A1 A2 C 12 2 A2
c12——是在最小方均误差的意义上代表二函数 f1 (t )
和 f 2(t ) 间的相关联的程度。
引言
变换域分析——就是选取完备的正交函数集来最佳逼近信 号 f ( t )，或者说，信号 f ( t ) 用完备的正交函数集来 展开，其展开系数就是信号的变换表示。不同的变 换域的区别就在于选取不同的正交完备集。 采用变换域分析的目的：主要是简化分析。这章傅里叶变 换主要从信号分量的组成情况去考察信号的特性。 从而便于研究信号的传输和处理问题。
Uy Uz
A
Ux
Az
x
Ax
Ax A Ux A y A Uy Az A Uz
z
空间中的矢量分解图
Ux Ux Uy Uy Uz Uz 1 Ux Uy Uy Uz Uz Ux 0
3.3 信号表示为傅里叶级数
representation of signal: Fourier Series
1822年法国数学家傅里叶（1768——1830）在研究 热传导理论时发表了“热的分析理论”著作，提出并证 明了将周期函数展开为正弦级数的原理。 一、三角函数集、复指数函数集是完备正交函数集 1、三角函数集：
则称此为正交函数集
l m
例:(1)
三角函数集为完备正交函数集。
1, cos t , cos 2t ,
sin t , sin 2t ,
例:(2)复指数函数集
cos nt ,
,
sin nt ,
e jnt
(n 0, 1, 2, )
是一个复变函数集，也是完备正交函数集。
3.1 周期信号的傅里叶级数
t1 t t 2
C 12
取何值时，得到最佳近似？
选择误差函数 (t ) 的方均值为最小。
即 ( t ) 方均值为
f 1(t ) c12 f 2(t )
t2 1 2 （t）dt ( t 2 t1 ) t1
2
求此值最小时的
C 12
令
c12
t2
t1
从几何图上可得：
A 1
E
2 E A1 C12 A2
2
A2 c12 A2 (a)
A1 . A2 2 A2
C12——是在最小平方误差的意义上标志着 A 和 1 A2
相互近似程度。
2 A1 C12 A2 0 也可导出 C12 则令 c12
引言
3.1 引言
信号分析就是要研究信号如何表示为各分量的叠加，并 从信号分量的组成情况去考察信号的特性。 将连续信号分解为一系列的正交函数，各正交函 数属于一完备的正交函数集。大家所熟悉的正弦函数 （ sin t ， cost ）或虚指数函数（ e jt ） 都是正交函数。 利用傅里叶变换这一数学工具就可将连续信号 表示为一系列不同频率的正弦函数或虚指数函数之 和（对周期信号）或积分（对非周期信号）。
1, cos t , cos 2t ,
sin t , sin 2t ,
cos nt ,
,
sin nt ,
t1T t1 cos mt sin ntdt 0
m, n 为任意整数
mn
t1T t1T t1 cos mt cos ntdt t1 sin mt sin ntdt 0
t2 (t )dt f 1 (t ) f 2(t )dt 0 t1
如果在区间 ( t 1, t 2 )内，复变函数集 满足
gi (t ) ，
i 1,2,, n
t2 g m ( t ) gm ( t )dt km t 1 t2 g l ( t ) gm ( t )dt 0 t 1
例如：
A 1 和 A 2相同时，C 12 1
A2
A1 . A2 cos 2 0 C 时， A 12 2 1 A 2
由图 ( a ) 还可看出，
A 1 C 12 A2 E
其中
A2 E ， A 2 与 E 组成一正交矢量。
A Ax Ay
矢量空间的概念可以引申到n维。设n维正交矢量集为
即
V 1、 V 2、 V3 Vn Vm Vm Km (Vm不为单位矢量） Vl Vm 0 (l m )
A C1V 1 C 2V 2 A V r A V r Cr Kr V r V 常以时间函数表示，所以信号的分解指的就是 函数的分解。 1、函数的分量 设在区间 t 1 t t 2 内，用函数 f 1( t ) 在另一 函数 f 2(t ) 中的分量 C 12 f 2( t ) 来近似的代表 原函数 f 1( t )。
f 1(t ) C12 f 2(t )
(l m)
——常数
t2
t1
则称此函数集为正交函数集，这n个 gi (t )构成一个n维正交 信号空间。任意一个代表信号的函数f（t），在区间 (t1, t 2) 内可以用组成信号空间的n个正交函数的线性组合来近似。
f ( t ) Cigi ( t )
i 1
n
理论上讲 f ( t ) lim Cigi ( t )
(0 t ) ( t 2 )
试用正弦函数sint 在区间（0，2 ）内来近 似表示此函数，使均方误差最小。 f (t )
4
1 0
2
t
4
1
解： f
(t )在区间 (0,2 ) 内近似为 f (t ) c12 sint
2 0
c12
f ( t ) si ntdt
则此函数集称为完备正交函数集。
i为任意整数
这有两层意思： 1，如果x（t）在区间内与 gi ( t ) 正交，则x（t）必属 于这个正交集。 2，若x（t）与 gi ( t ) 正交，但 gi ( t )中不包含x（t）， 则此集不完备。
4、复变函数的正交特性 若 f 1( t )和 f 2( t ) 是t的复变函数，则有关正交特性 的描述如下： 若 f1 (t ) 在区间 ( t 1, t 2 ) 内可由 C 12 f 2( t ) 来近似， 使均方误差幅度最小的 C 12 之最佳值是
C12 0
称
t2 t1 f 1(t ) f 2(t )dt 0
f1 ( t ) 和 f 2(t ) 在区间 ( t 1, t 2) 内为正交，构成