正交分解
高一物理必修1正交分解
第一讲正交分解法知识点一：共点力及平衡条件共点力：物体同时受几个力的作用，如果这几个力都作用于物体的同一点或者它们的作用线交于同一点，这几个力叫共点力。
能简化成质点的物体受到的力可视为共点力。
平衡状态：物体保持静止．．．．．．状态．．．．或匀速直线运动注意：这里的静止需要二个条件，一是物体受到的合外力为零，二是物体的速度为零，仅速度为零时物体不一定处于静止状态，如物体做竖直上抛运动达到最高点时刻，物体速度为零，但物体不是处于静止状态，因为物体受到的合外力不为零。
共点力的平衡：如果物体受到共点力的作用，且处于平衡状态，就叫做共点力的平衡。
1.如图所示，小明用与水平方向成θ角的轻绳拉木箱，沿水平面做匀速直线运动，此时绳中拉力为F，则木箱所受合力大小为（）>A 0B FC FcosθD Fsinθ2、如图所示，一质量为m的物体沿倾角为θ的斜面匀速下滑。
下列说法正确的是（）A 物体所受合力的方向沿斜面向下B 斜面对物体的支持力等于物体的重力C 物体下滑速度越大，说明物体所受摩擦力越小D 斜面对物体的支持力和摩擦力的合力的方向竖直向上知识点二：共点力的处理方法——正交分解法!正交分解一般步骤：选定研究对象，并作出受力分析建立合适的直角坐标系（尽可能少分解力）将不在坐标轴上的力分解到坐标轴上列出平衡状态下x方向、y方向的方程求解：x方向上：F1x=F2x y方向上：F1y+F2y=G1.质量为m的木块在推力F作用下，在水平地面上做匀速运动（如图所示）。
已知木块与地面间的动摩擦因数为μ，那么木块受到的滑动摩擦力为下列各值的哪一个（）A μmgB μ（mg＋Fsinθ）-C μ（mg－Fsinθ）D Fcosθ2.物体放在粗糙的水平地面上，物体重50N，受到斜向上方向与水平面成300角的力F作用，F = 50N，物体仍然静止在地面上，如图所示，求：物体受到的摩擦力和地面的支持力分别是多少3.在图中，AB、AC两光滑斜面互相垂直，AC与水平面成30°.如把球O的重力G按照其作用效果分解，则两个分力的大小分别为（）A 12G，32G B33G，3G-C23G，22G D22G，32G4.甲、乙两人用绳子拉船，使船沿OO′方向航行，甲用1 000 N的力拉绳子，方向如图所示，要使船沿OO′方向航行，乙的拉力最小值为（）A 500 3 NB 500 NC 1 000 ND 400 N练习：1.质量为m的物体在恒力F作用下，F与水平方向之间的夹角为θ，沿天花板向右做匀速运动，物体与顶板间动摩擦因数为μ，则物体受摩擦力大小为多少&2.直角劈形木块（截面如图所示）的质量M=2kg，用外力F顶靠在竖直墙上。
正交分解
正交分解法——把力沿着两个经选定的互相垂直的方向分解，其目的是便于运用普通代数运算公式来解决矢量运算。
利用力的正交分解法求合力：这是一种比较简便的求合力的方法，它实际上是利用了力的分解的原理把力都分解到两个互相垂直的方向上，然后就变成了在同一直线上的力的合成问题了.这样计算起来就简单多了。
力的正交分解法步骤如下：1、正确选定直角坐标系：通常选共点力的作用点为坐标原点，坐标轴的方向的选择则应根据实际问题来确定。
原则是使坐标轴与尽可能多的力重合，即是使需要向两坐标轴投影分解的力尽可能少，在处理静力学问题时，通常选用水平方向和竖直方向上的直角坐标，当然在其它方向较简便时，也可选用。
一般选水平和竖直方向上的直角坐标；也可以选沿运动方向和垂直运动方向上的直角坐标.在力学计算上，这两种选择可以使力的计算最简单，只要计算到互相垂直的两个方向就可以了，不必求总合力.2、分别将各个力投影到坐标轴上：分别求x轴和y轴上各力的投影的合力和其中：（式中的轴上的两个分量，其余类推。
）这样，共点力的合力大小可由公式：求出。
设力的方向与轴正方向之间夹角是。
∴通过数学用表可知数值。
注意：如果这是处理多个力作用下物体平衡问题的好办法。
计算方法举例：例：如图所示，物体A在倾角为θ的斜面上匀速下滑，求物体受到的摩擦力及动摩擦因数。
分析：选A为研究对象分析A受力作受力图如图，选坐标如图：将不在坐标轴上的重力在x,y坐标上分解：Gx=GžsinθGy=Gžcosθf在x轴(反向),N在y轴上(正向)∵物体匀速下滑则有则一、合力与分力：在实际问题中，一个物体往往同时受到几个力的作用。
如果一个力产生的效果与原来几个力产生的效果相同，这个力就叫那几个力的合力，而那几个力就叫这个力的分力。
二、力的合成与分解：求几个力的合力的过程叫力的合成，求一个力的分力的过程叫力的分解。
合力与分力有等效性与可替代性。
求力的合成的过程实际上就是寻找一个与几个力等效的力的过程；求力的分解的过程，实际上是寻找几个与这个力等效的力的过程。
正交分解法课件
01
02
03
选取正交基
选择一组正交基，用于表 示目标向量。
展开目标向量
将目标向量展开为正交基 的线性组合，即每个基底 与对应系数的乘积之和。
求解系数
通过点积运算求解展开式 中的系数，使得目标向量 与正交基之间的点积相等 。
正交分解法的优势与局限性
优势
正交分解法能够将复杂的向量运算转化为简单的代数运算，方便计算。同时， 正交基的选择具有多样性，可以根据具体问题选择合适的基底。
多目标正交分解法
总结词
多目标正交分解法是一种解决多目标优化问 题的有效方法。
详细描述
多目标正交分解法通过将多目标优化问题转 化为一系列单目标优化问题，利用正交分解 技术求解。这种方法能够同时考虑多个目标 ，平衡不同目标之间的冲突，从而找到更全 面的解决方案。
自适应正交分解法
总结词
自适应正交分解法是一种能够自动调整参数 和方法的正交分解方法。
组合优化问题
组合优化问题是一类具有离散特征的 优化问题，如旅行商问题、排班问题 等。正交分解法也可以用于解决组合 优化问题，通过将问题分解为若干个 子问题，降低问题的复杂度，提高求 解效率。
VS
例如，一个简单的组合优化问题可以 表示为：最小化 $f(x)$，满足 $x in {0,1}^n$，其中 $f(x)$ 是一个非线 性函数。通过正交分解法，可以将这 个问题分解为一系列简单的子问题， 从而方便求解。
自适应算法设计
根据不同问题的特性，设 计自适应的正交分解法， 提高算法的适用性和鲁棒 性。
应用领域的拓展
数值分析领域
将正交分解法应用于更广泛的数值分析问题，如 求解偏微分方程、积分方程等。
机器学习领域
正交分解法知识点总结
正交分解法知识点总结一、正交分解法的基本概念1. 正交化在线性代数中，对于一个向量空间内的一组基向量，我们可以通过一定的方法将它们转化为一组正交基，这个过程就称为正交化。
正交化的目的是为了使得基向量之间互相正交，也就是说它们的内积为零。
这样一组正交基向量就可以更容易地用来表示其他向量，比如说对于一个向量，我们可以将它在这组正交基上的投影相加得到原向量，而不需要进行繁琐的计算。
2. 单位化在将一组向量正交化之后，我们通常还需要将它们单位化，也就是说将它们的模长归一化为1。
这样一来，我们得到的一组正交单位向量就可以作为线性空间的一组标准正交基。
这样的基向量在表示其他向量的时候更加方便，也符合我们对于标准正交基的要求。
所以在正交化的过程中，单位化是一个必要的步骤。
3. 正交分解正交分解是指将一个向量表示为一组正交基上的线性组合的过程。
对于一个线性空间中的一个向量，我们可以将它在一组正交基上的投影相加得到原向量。
这样的表示方法在很多情况下是非常方便的，比如说在计算内积、求解线性方程组、进行特征值分解等问题时，我们可以借助正交分解的方法来简化运算。
二、Gram-Schmidt正交化方法Gram-Schmidt正交化方法是一种常用的将线性无关向量集合正交化的算法。
它的基本思想是通过一系列的正交化和单位化操作，将原始的线性无关向量集合转化为一组正交基。
Gram-Schmidt正交化方法的具体步骤如下：1. 对于给定的一组线性无关的向量{v1,v2,…,vn}，首先取v1作为第一个正交基。
2. 对于第i个向量vi，将它在前i-1个正交基上的投影相减，得到vi的正交化向量ui。
3. 将ui进行单位化，得到第i个正交单位向量ei。
4. 重复上述过程，直到得到一组正交单位向量{e1,e2,…,en}。
Gram-Schmidt正交化方法的优点是它的思想简单，易于实现，而且对于实际应用中的大多数情况来说，它都能够得到不错的结果。
第3章_正交分解
– 将复杂信号分解成组成该信号的简单的单元函 数，先求得这些信号分量的系统响应，再利用 叠加原理求得总响应。
• 单元函数选择
时域
频域 – 冲激函数、阶跃函数 – 正交函数集：三角函数集、指数函数集
• 信号域变换
– 时域↔频域 – 时域↔复频域 •从本章开始由时域转入变换域分析。
t 0 T
2 t 0 T f (t ) cos(nt ) dt T t0
t0
正弦分量系数
bn
t 0 T
t0
f (t ) sin(nt )dt sin 2 (nt )dt
t 0 T
2 t 0 T f (t ) sin(nt )dt t0 T
t0
第三章 连续信号的正交分解
则称此函数集为在区间（t1,t2）内的正交函数集。
于是信号 f (t ) 在区间（t1,t2）内可以用n个互相正交的 函数表示为： n f (t ) C1 g1 (t ) C 2 g 2 (t ) C r g r (t ) C n g n (t ) C r g r (t )
其中
an An cos n bn An sin n
可证: an an 偶函数 A n An
A a 2 b 2 n n n bn n arctan an
b n bn 奇函数 n n
10
1
第三章 连续信号的正交分解
3.2.1 矢量的正交分解
1. 正交矢量 2. 矢量的正交分解
90° o V1 V2
V c1V1 c2V2
V cos1 V V1 c1 V1 V1 V1 V cos 2 V V2 c2 V2 V2 V2
正交分解
第讲 正交分解法专题 一、什么是正交分解法？把力沿着两个选定的相互垂直的方向分解，叫做力的正交分解法。
说明：正交分解法在力学中是一种很常用的解题方法，往往物体的受力个数越多，越能显示出此方法的重要性。
二、为什么要引入正交分解法？一条直线上的两个或两个以上的力，其合力可由代数运算求得。
当物体受到多个力的作用，并且这几个力只共面不共线时，其合力用平行四边形定则求解很不方便。
为此，我们建立一个直角坐标系，先将各力正交分解在两条互相垂直的坐标轴上，求x 、y 轴上的合力x F ，y F之后，再求x F 和y F 的合力F 大小的大小其方向，会给解决问题带来方便。
其实“分”的目的是为了更方便的“合”。
三、运用正交分解法的具体步骤是什么？（1）以力的作用点为原点作直角坐标系，标出x 轴和y 轴，如果这时物体处于平衡状态，则两轴的方向可根据方便自己选择。
（2）将与坐标轴不重合的力分解成x 轴方向和y 轴方向的两个分力，并在图上标明，用符号X F 和y F 表示。
（3）在图上标出力与x 轴或力与y 轴的夹角，然后列出x F 、y F 的数学表达式。
如：F 与x 轴夹角为θ，则θcos F F x =，θsin F F y =。
与两轴重合的力就不需要分解了。
（4）列出x 轴方向上的各分力的合力和y 轴方向上的各分力的合力的两个方程，然后再求解。
注意：（1）运用正交分解法解题时，x 轴和y 轴方向的选取要根据题目给出的条件合理选取，即让受力物体受到的各外力尽可能的与坐标轴重合，这样方便解题。
（2）运用正交分解法解决平衡类问题时，根据平衡条件F 合＝0，应有ΣF x ＝0，ΣF y ＝0，这是解平衡问题的充要条件，由此方程组可求出两个未知数。
例1 例.1共点力F 1＝100N ，F 2＝150N ，F 3＝300N ，方向如图1所示，求此三力 的合力。
解答：例2 重100N 光滑匀质球静止在倾角为37º的斜面和与斜面垂直的挡板间， 求斜面和挡板对球的支持力F 1， F 2。
正交分解的步骤
正交分解的步骤正交分解是现代数学中一个重要的对称性研究方法，它是比较简单方便的研究复杂问题的工具，如空间几何、分类理论、图论、逻辑学等。
它也可以应用于其他各种领域，如抽象代数、凸分析以及计算机科学等。
正交分解可以被用来解决许多复杂的问题，它不仅可以减少问题的复杂性，还可以使问题变得更加容易理解和解决。
本文将介绍正交分解的步骤和应用实例。
正交分解的基本思想是将一个复杂的问题分解为几个相互正交的子问题，然后分别处理每个子问题，最终将子问题的解决方案综合起来，从而解决原问题。
正交分解通常需要满足两个条件来准备分解：（1）研究对象必须是完全可以分解的；（2）子问题之间必须是完全正交的。
正交分解的步骤主要包括以下几步：（1）确定研究对象。
首先，确定要研究的复杂问题，分析其特征，并确定其可分解的特性。
（2）确定子问题的特性。
根据正交分解的原理，子问题之间必须完全正交，因此可以从多种角度来确定子问题的特性，比如可以根据原问题的形式进行转换，从而将复杂问题转换为几个完全正交的子问题。
（3）求解子问题。
根据确定的特性，分别求解子问题，得到子问题的解决方案。
（4）整合解决方案。
最后，将子问题的解决方案综合起来，从而获得原问题的解决方案。
正交分解在很多领域都有重要的应用，最常见的是在图论中的应用。
例如，可以使用正交分解解决图的最小环路问题。
该问题要求在无权图中找到一条最短的路径，不经过任何顶点两次。
正交分解可以将这个问题分解为几个子问题，根据子问题的特性，可以分别求解每个子问题，最终合并子问题的解决方案，从而解决原问题。
正交分解也可以用于抽象代数和凸分析中的许多问题，例如，可以使用正交分解来求解一个给定的凸多项式的最优化问题。
此外，正交分解还可以应用于许多其他研究领域，如信号处理、机器学习等。
综上所述，正交分解是一种灵活有效的研究复杂问题的方法，它可以将复杂问题分解为几个相互完全正交的子问题，然后分别求解每个子问题，最终将子问题的解决方案综合到一起，从而解决原问题。
正交分解法
班级： 姓名： 正交分解法解题什么是正交分解法——在分解合力时，如果两个分力的方向刚好垂直，则，可在两分力方向上建立直角坐标系，将力在正交的两条坐标上分解，所以叫正次分解法 正交分解法的步骤（1）：对研究对象正确的受力分析，并用力的图示准确的画出来正确分析受力就是要做到不添加力，不遗漏力要用好隔离法分析受力 准确的画图，是指用直尺按比例画好图，便于观察各力间的几何关系（2）：建立直角坐标系尽可能使较多的力在坐标轴上，这样不在坐标轴上的力就少，需要分解的力就少，使解题更方便（3）：将不在坐标轴上的力分解在坐标轴上，（平行四边行定则变成了矩形） （4）：根据图中的几何关系，利用三角函数或匀股定律求出各力的大小 附常用三角函数（sin=对边/斜边 cos=邻边/斜边）（sin300=21 cos300=23 ） （sin450=22 cos450=22 ） （sin600=23 cos600= 21 ） 练习：如图所示，一物体重20N ，置于水平地面上，一拉力作用于物体上，该拉力大小为10N ，且与水平方向夹角为300，物体在该拉力作用下匀速前进，求（1）：地面对物体的支持力的大小为多少？（2）：物体所受的摩擦力大小为多少？（3）：物体与地面间的动摩擦系数为多少？练习：1：气球受60N浮力悬于半空中（重力忽略），风从正东吹来。
气球随风倾斜，使拉气球的绳与地面夹角为600,求绳的拉力为多少？风吹气球的风力为多少？2：如图所示，一挡板垂直于斜面，将一重为30N的小球固定在了斜面上，求挡板对小球的支持力为多少？小球对斜面的压力为多少？3：如图一斜面倾角为450，物体与斜面间的动摩擦因数为 =0.2，一人用与斜面平行的力F将质量为2kg的物体匀速推上斜面，求推力F的大小为多少？。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
• 用时间作为变量描述信号我们称为信号的时域表示，
显示信号随时间变换的快慢、出现先后、存在时间的长短 以及信号是否按一定的时间间隔重复出现等。
• 用频率作为变量描述信号称为频域描述，揭示了信号各
个频率分量的大小，信号的能量主要集中在哪个频率范 围等特性。 • 信号的时域表示和频域表示是从信号的两个不同方面 对信号进行描述， • 在正交函数的基础上对时域信号的进行分解。最常用的 分解就是傅立叶分解，也称为信号的傅立叶分析。
解答：
1
f t
函数f t 在区间 0,2 内近似为 f t c12 sin t
o
1
2
t
(a)
9
为使方均误差最小，c12应满足
c12 0 2 2 sin tdt 0
所以
f t 4
2
f t
4
f ( t )sin t d t
4
1
o
0
2
cos t sin t d t 0
所以
c12 0
即, 余弦函数 cos t不包含正弦信号 sin t分量， 或者说 cos t 与 sin t 两函数正交。
13
正交函数集
信号的分解是在正交基底函数下进行分解，那么任意信号 f(t)就可以分解为n 维正交函数之和：
f (t ) C1g1 (t ) C2 g2 (t )
11
7-1-1 信号的正交分解
• • 总结 两周期信号在同一周期内(同区间内)正交的条件是
c12=0即：
t
t2
1
gi ( t ) g j ( t )dt 0
i j
凡是满足上面两式的函数称为正交函数 • 对一般信号在给定区间正交，而在其它区间不一定满足 正交。
12
【例题7-2】试用正弦函数 sin t 在区间 0, 2 内来近似表 示余弦函数 cos t 解： 由于
1 4
2
t
sin t
(a)
4 近似波形是振幅为 的正弦波, 如图虚线所示。
10
7-1-1 信号的正交分解
若 C12为零，由上式分母不能为零，成立的条件是：
t
t2
1
f1 ( t ) f 2 ( t )dt 0
此时，f1(t) 、f2(t) 称为互为正交的函数，表示 f 1(t) 函数 中不含有 f2(t)的信息或者分量，同理， f2(t) 函数 中不含 有f1(t) 的 的信息或者分量。 两个信号不正交，就有相关关系，必能分解出另一信号。
f e t f e t e : even f o t f o t o : odd
三．脉冲分量之和
在时域系统中任何信号都可以表示为移位冲激信号 (t k )的线性、加权组合，即
x(t )
k
[ x(k ) ] (t k )
Z
y f x
y1
O
z1
z f x, y
y1
x1
X正交分解
三维信号的正交分解
6
7-1-1 信号的正交分解
设 f1 (t ) , f 2 (t ) 为两个任意信号,如图所示
f1 ( t ) t t1 0 t2
信号的波形
f 2 (t ) t t1 0 t2
两个任意信号间的关系:
原函数
Cr gr (t )
近似函数
c12V2 Ve
V1
Ve 2 Ve
Ve1
V2
c 2V2
c12V2 c1V2
怎样分解，能得到最小的误差分量？ Ve V2 V1 c12V2 Ve 误差矢量 c12V2 V1 cos(V1V2 )
V1 cos(V1V2 ) V1V2 cos(V1V2 ) V1 V2 c12 V2 V2V2 V2 V2 系数 V1 V2 0 即 c12 0 两矢量正交
1
7-1 信号的分解
为了便于研究信号的传输和处理问题，往往将信号分解 为一些简单(基本)的信号之和，分解角度不同，可以分解为 不同的分量。 一．直流分量与交流分量
f (t )
E
O
t
O
f A (t )
E t
O
f D (t )
t
2
二．偶分量与奇分量
f e (t ) : 偶分量 f (t ) f e (t ) f o (t ) f o (t ) : 奇分量
5
7-1-1 信号的正交分解
•平面中任一矢量可分解为x,y二方向矢量， •空间中任一矢量可分解为x,y,z三方向矢量。
•一个三维空间矢量V xi yj zh ，必须用三个正交的
矢量来表示，如果用二维矢量表示就会出现误差：
V xi yj ,
Y
Ve zh 0
C12
t
t2
1
f1 (t ) f 2 (t )dt
t
t2
1
f 22 (t )dt
8
【例题7-1】设矩形脉冲 f t 有如下定义 0 t 1 f t t 2 1
波形如图(a)，试用正弦波 sin t 在区间 0, 2 之间内近似表 示此函数，使方均误差最小。
f1(t ) C12 f2 (t ) fe (t )
若设 f1(t ) C12 f2 (t ), 则误差函数 fe (t ) f1(t ) C12 f 2 (t )
在此定义 C12 为两个信号的相关系数.
7
7-1-1 信号的正交分解
在对信号的分解过程中，需要遵循信号能量误差最小的原 则，也就是说 f e(t)的均方值 2 应该最小。令 2 为误差 函数的均 方值 , 则 t2 2 1 2 2 fe (t ) fe (t )dt t2 t1 t1 从而求得相关系数C12的大小:
3
四．正交函数分量 如果用正交函数集来表示一个信号，那么，组成信号 的各分量就是相互正交的。 把信号分解为正交函数分量的研究方法在信号与系统 理论中占有重要地位，这将是本科程讨论的主要课题 对信号进行分解处理的信号(函数)称为基底函数.
4
矢量的正交分解
V1用V2表示， 方式不是唯一的：
V1 c1V2 Ve1 c2V2 Ve 2