信号正交分解
信号处理 第3章连续时间信号的正交分解(文正)
)
F (j )
/2
/ 2
e
j t
dt
e
j
e j
2
j
2
2 sin(
2
1
gτ (t)
)
Sa(
2
)
2
0
2
t
频谱图
F j
2π
O 2π
F j
4π
幅度频谱
2π
O
频宽：
2π 4π
第3 章 连续信号的正交分解
目录
周期信号的傅里叶级数 周期信号的频谱 非周期信号的傅里叶变换 典型信号的傅里叶变换
傅里叶变换的性质
频域分析
从本章开始由时域转入变换域分析，首先讨论傅里 叶变换。傅里叶变换是在傅里叶级数正交函数展开的基 础上发展而产生的，这方面的问题也称为傅里叶分析 （频域分析）。将信号进行正交分解，即分解为三角函 数或复指数函数的组合。 频域分析将时间变量变换成频率变量，揭示了信号 内在的频率特性以及信号时间特性与其频率特性之间的 密切关系，从而导出了信号的频谱、带宽以及滤波、调 制等重要概念。
f(t) ←→F(jω)
或
F(jω) = F [f(t)]
f(t) = F –1[F(jω)]
F(jω)一般是复函数，写为 F(jω) = | F(jω)|e j (ω) = R(ω) + jX(ω)
2、常用函数的傅里叶变换
Sa( 例：矩形脉冲 (门函数） G (t )
F
2
三角形式的傅里叶级数，含义比较明确，但运算常感不便， 因而经常采用指数形式的傅里叶级数。
Z4.2 信号的正交分解
4.1信号分解为正交函数
第四章 傅里叶变换与频域分析
4. 信号的正交分解
设有n个函数 1(t)， 2(t)，…， n(t)在区间(t1，t2)
构成一个正交函数空间。将任一函数f(t)用这n个正交 函数的线性组合来近似，可表示为
n
f (t) C11(t) C22 (t) Cii (t) Cnn (t) C j j (t) j 1
如果在正交函数集{1(t), 2(t), …, n(t)}之外，不存 在任何函数 (t) (≠0) 满足
t2 t1
(t )i* (t )
d
t
0
(i 1, 2, , n)
则称此函数集为完备正交函数集。
4
Xidian University, ICIE. All Rights Reserved
4.1信号分解为正交函数
i
(t)
* j
(t
)
d
t
0,
Ki
0,
i j i j
则称此函数集为在区间(t1，t2)上的正交函数集。
说明：如果 Ki 1 ，称为标准正交函数集。
3
Xidian University, ICIE. All Rights Reserved
4.1信号分解为正交函数
第四章 傅里叶变换与频域分析
3.完备正交函数集：
第四章 傅里叶变换与频域分析
例：两组典型的在区间(t0，t0+T )(T=2π/Ω)上的完备正交 函数集。
（1）三角函数集{1，cos(nΩt)，sin(nΩt)，n=1,2,…}
（2）虚指数函数集{ ejnΩt，n=0，±1，±2，…}
证明过程见扩展资源Y4001。
5
信号与系统第三章 连续信号的正交分解
f (t ) Ci gi (t )
i 1
n
第三章连续信号的正交分解
13
理论上讲
f (t ) lim Ci gi (t )
n i 1
n
在使近似式的均方误差最小条件下，可求得
t t1 f (t ) gi (t )dt Ci t 2 gi2 (t )dt t1
均方误差
n t2 2 ( t ) [ f ( t ) crgr ( t )]2 dt t 2 t 1 t 1 r 1
第三章连续信号的正交分解 23
1
若令 n 趋于无限大， 2 (t )的极限等于零 lim 2 (t ) 0
n
则此函数集称为完备正交函数集
第三章连续信号的正交分解
15
定义2：
如果在正交函数集 g1( t ), g 2( t ), gn( t ) 之外， 不存在函数x（t）
t2 2 0 x ( t )dt t1 t2 满足等式 x( t ) gi ( t )dt 0 t1
第三章连续信号的正交分解 8
信号的分量和信号的分解
信号常以时间函数表示，所以信号的分解指的就是 函数的分解。 1、函数的分量 设在区间
t 1 t t 2 内，用函数 f 1(t )
在另一
函数 f 2(t ) 中的分量 C 12 f 2(t ) 来近似的代表 原函数 f 1(t ) 。
f 1(t ) C12 f 2(t )
1 jnt f (t ) An e cn e jnt 2 n n
cn
1 An 称为复傅里叶系数。 2
表明任意周期信号可以表示成 e jn t 的线性组合，加权因 子为 cn 。
连续信号的正交分解
信号的分解
▪ 多个标准信号下的分解：将信号表示为多 个标准信号的线性组合：
▪ 这之里间的两同两样正难 交以 ，确 则定 可。 以但 证是 明如：果标准函数 ccffiii( (t t) ) tt1t1t22c ff1 if ((1 tt( ))tff) ii* *((ttc ))2 ddft2 t( t) . .c n .fn ( t) i n 1 c ifi( t)
标准信号集两例
▪ 三角函数： ▪ 指数函数： ▪ ， 1 en , nc t 0t ,, s o 1, t ,c is 2 n t , o s2 t i , sn . c. k , o s .t k ,i , s. n t..
▪ 对标准信号集的要求： ▪ 归一化： ▪ 正交化：， it1 t2 fji(t)f▪ij**((tt))dd完t t10备性：可以用其线性组合表示任意信号。
连续信号的正交分解信号的正交分解信号正交分解力的正交分解10e0力的正交分解法向量的正交分解矩阵的正交分解力的正交分解法习题平面向量的正交分解力的正交分解练习
第三章 连续信号的正交分解源自 §3-1 引 言▪ 线性系统分析方法，是将复杂信号分解为简单信 号之和（或积分），通过系统对简单信号的响应 求解系统对复杂信号的响应。
▪ 如何确定最佳的系数？对于特定的i而言，不仅 与特定的有关，与其它的标准矢量也有关系。 但是如果矢量两两正交，可以证明：
▪
矢量分解
▪ 标准矢量基的几个限制条件： ▪ 归一化：标准矢量的模等于1——方便计
算 ▪ 正交化：标准矢量两两正交 ▪ 完备性：可以不失真地组合出任意矢量
cc(ft1112 1((f,(tt1tt))(2)t)tt) 1t1t22 tff12((1 tt))t1 ff11((tt1 tt2))dd2tt(t)dt
§4.1 信号分解为正交函数
完备正交函数集。 称此函数集为完备正交函数集 称此函数集为完备正交函数集。 例如： 例如： 三角函数集 {1，cos(n t)，sin(n t)，n=1,2,…} ， ， ， 虚指数函数集{e 虚指数函数集 jn t，n=0，±1，±2，…} ， ， ， 是两组典型的在区间(t 典型的在区间 +T)(T=2π/Ω)上的 上的完备 是两组典型的在区间(t0，t0+T)(T=2π/Ω)上的完备 正交函数集。 正交函数集。
•本章以正弦信号和虚指数信号ejωt为基本信号， 本章以正弦信号 虚指数信号e 为基本信号， 本章以正弦信号和 任意输入信号可分解为一系列不同频率的正弦信号 任意输入信号可分解为一系列不同频率的正弦信号 不同频率 或虚指数信号之和。 或虚指数信号之和。 频域分析。 •分析系统的独立变量是频率，故称频域分析。 分析系统的独立变量是频率 故称频域分析 分析系统的独立变量是频率，
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发展历史
•1822年，法国数学家傅里叶(J.Fourier,1768-1830)在研究热传导理 年 法国数学家傅里叶 在研究热传导理 论时发表了“热的分析理论” 论时发表了“热的分析理论”，提出并证明了将周期函数展开为 正弦级数的原理，奠定了傅里叶级数的理论基础 理论基础。 正弦级数的原理，奠定了傅里叶级数的理论基础。 •Poisson、Guass等把这一成果应用到电学中去，得到广泛应用。 、 等把这一成果应用到电学中去，得到广泛应用。 •进入 世纪以后，谐振电路、滤波器、正弦振荡器等一系列具体 进入20世纪以后 进入 世纪以后，谐振电路、滤波器、 问题的解决为正弦函数与傅里叶分析的进一步应用开辟了广阔的 前景。 前景。 •在通信与控制系统的理论研究和工程实际应用中，傅里叶变换法 的理论研究和工程实际应用中， 在通信与控制系统的理论研究和工程实际应用中 具有很多的优点。 具有很多的优点。 快速傅里叶变换为傅里叶分析法赋予了新的生命力。 •“FFT”快速傅里叶变换为傅里叶分析法赋予了新的生命力。 快速傅里叶变换为傅里叶分析法赋予了新的生命力 “
正交分解
• 用时间作为变量描述信号我们称为信号的时域表示，
显示信号随时间变换的快慢、出现先后、存在时间的长短 以及信号是否按一定的时间间隔重复出现等。
• 用频率作为变量描述信号称为频域描述，揭示了信号各
个频率分量的大小，信号的能量主要集中在哪个频率范 围等特性。 • 信号的时域表示和频域表示是从信号的两个不同方面 对信号进行描述， • 在正交函数的基础上对时域信号的进行分解。最常用的 分解就是傅立叶分解，也称为信号的傅立叶分析。
解答：
1
f t
函数f t 在区间 0,2 内近似为 f t c12 sin t
o
1
2
t
(a)
9
为使方均误差最小，c12应满足
c12 0 2 2 sin tdt 0
所以
f t 4
2
f t
4
f ( t )sin t d t
4
1
o
0
2
cos t sin t d t 0
所以
c12 0
即, 余弦函数 cos t不包含正弦信号 sin t分量， 或者说 cos t 与 sin t 两函数正交。
13
正交函数集
信号的分解是在正交基底函数下进行分解，那么任意信号 f(t)就可以分解为n 维正交函数之和：
f (t ) C1g1 (t ) C2 g2 (t )
11
7-1-1 信号的正交分解
• • 总结 两周期信号在同一周期内(同区间内)正交的条件是
c12=0即：
t
t2
1
gi ( t ) g j ( t )dt 0
i j
凡是满足上面两式的函数称为正交函数 • 对一般信号在给定区间正交，而在其它区间不一定满足 正交。
连续信号的正交分解
• 三角傅里叶级数还可以表示为
f
(t)
a0 2
n 1
An
c os (nt
n )
其中 An
a
2 n
bn2
, n
tg 1 bn an
或 an An cosn , bn An sin n
有上式可以看出An，an为n的偶函数，bn，φn为n 的奇函数。（这个关系在三角级数中用不到，
因为频率不会是负的，但在今后会用到）
t2
的内积为： gl (t), gm (t) g1(t)gm* (t)dt
t1
如果函数集 {g1(t), g2 (t), gn (t)} 满足以下条件
则称为正交函数集。
t2
gm
(t
)
g
* m
(t)dt
Km
t1 t2
gl
(t
)
g
* m
(t)dt
0
t1
Km 为常数，l, m 1,2, , n, l m
若Km=1则称归一化正交函数集。如果在该函 数空间中的任意函数f(t)可表示为：
f (t) C1g1(t) C2g2 (t) Cn gn (t) 那么称函数集 {g1(t), g2 (t), gn (t)} 为正交
完备函数集。即它们构成一个n维的函数空间。
其中的C1,C2,…,Cn称为f(t)在 g1(t), g2 (t), gn (t)
T0
T
2
T
bn
2 T
T 0
f (t)sin ntdt
2 [ 2 sin ntdt T sin ntdt]
T0
T
2
T
T
2
2
[ sin ntdt
信号与系统复习资料第六章
信号与系统第五章（5.1~5.3）一、知识储备正交分解矢量正交信号正交正交定义31==∑=i yi xi Ty x v v V V 两矢量内积为0⎰=21d )()(*21t t t t t ϕϕ两函数内积为0正交集正交矢量集两两正交的矢量组成的矢量集合。
正交函数集⎰⎩⎨⎧=≠≠=21,0,0d )()(*t t i j i ji K j i t t t ϕϕ构成空间矢量空间例如矢量A 可表示为A =a Vx +b Vy +c Vz信号空间1122n ()...nf t C C C φφφ=+++二、傅里叶级数三角形式∑∑∞=∞=Ω+Ω+=110)sin()cos(2)(n nn nt n bt n aat f或∑∞=+Ω+=10)cos(2)(n n n t n A At f ϕ式中，A0=a0，22nn nba A +=，nnn a b arctan-=ϕ. 指数形式e )(j t n n n F tf Ω∞-∞=∑=以上为复傅里叶级数展开式，可以将f （t ）理解成由一系列旋转向量合成的信号，各旋转向量的初始位置（严格来讲是t=0时刻所在的位置）就是复傅里叶系数Fn 。
画出三维频谱图如下图所示：三角形式和指数形式傅里叶系数之间的关系)j (21e 21e j n n n n n b a A F F n n -===ϕϕnnnnA b a F 212122=+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=n nnab arctan ϕnn n A a ϕcos =nn n A b ϕsin -=n 的偶函数：an ，An ，|Fn |n 的奇函数:bn ，n波形对称性和谐波特性（四点）f(t)为偶函数——对称纵坐标)()(t f t f -=bn =0，展开为余弦级数f(t)为奇函数——对称于原点)()(t f t f --=an =0，展开为正弦级数此时其傅里叶级数中只含偶次谐波分量，而不含奇次谐波分量，即a1=a3=…=b1=b3=…=0周期信号的功率∑∑⎰∞-∞=∞==+=n nn n T FA A dt t f T2122002||212()(1周期信号一般是功率信号，上式为其平均功率，直流和n 次谐波分量在1Ω电阻上消耗的平均功率之和。
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信号空间：将信号看做空间里的向量
内积：（jiang2）内积为0—正交
范数：（jiang3）
/zh-cn/%E6%AD%A3%E4%BA %A4
/jsjy/kc/xhyjs/chap6/ch
ap6_1/chap6_1_1.htm
第一讲信号的正交分解
把实际的信号分解为信号单元是信号分析和处理中常用的方法。
一方面，信号的分解使我们能了解它的性质与特征，有助于我们从中提取有用的信息，这一点，在信号的傅里叶变换中就已经体现出来了。
另一方面，把信号分解之后，可以按照我们的意愿对它进行改造，对于信号压缩、分析等都有重要的意义。
信号分解的方法有很多。
例如，对一离散信号，我们可把它分解成一组函数的组合，即
，式中，。
但这种分解无实用意义，因为的权重即是信号自己。
另一种分解的方法是把N点数据看成是N维空间的一个向量，我们选择该空间的单位基向量作为分解的“基”，也就是
按照这种分解方法，各正交向量的权仍是信号自己的各个分量，也无太大意义，但这一分解已经体现了“正交”分解的概念。
一般，我们可把信号看成N维空间中的的一个元素，可以是连续信号，也可以是离散信号。
N可以是有限值也可以是无穷大。
设是由一组向量
所张成，即
这一组向量可能是线性相关的，也可能是线性独立的。
如果它们线
性独立，我们则称它们为空间中的一组“基”。
各自可能是离
散的，也可能是连续的，这视而定。
这样，我们可将按这样一组向量作分解，即
(6-1-1)
式中是分解系数，它们是一组离散值。
因此，上式又称为信号的离散表示（Discrete Representation）。
如果是一组两两互相正交的向量，则（6-1-1）式称为的
正交展开（或正交分解）。
分解系数是在各个基向量上的投影。
若N=3，其含意如图6-1-1所示。
图6-1-1 信号的正交分解
为求分解系数，我们设想在空间中另有一组向量：，这一组向量和满足：
（6-1-2）
这样，用和（6-1-1）式两边做内积，我们有
，即：
(6-1-3a)
或(6-1-3b)
(6-1-3a)式对应连续时间信号，(6-1-3b)式对应离散时间信号。
(6-1-3)式称为信号的变换，其结果是求出一组系数；
（6-1-1）式称为信号的“综合”，或反变换。
称为的
“对偶基”，或”倒数（Reciprocal）基”。
（6-1-2）式的关系称为“双正交（biorthogonality）”关系（或双正交条件）。
在此须特别指出的是，双正交关系指的是两组基之间各对应向量之间具有正交性。
但每一组向量之间并不一定
具有正交关系，如图6-1-2所示，在二维空间中，并不是正交的，
也不是正交的，但是，，即两组基向量满足双正交关系。
图6-1-2 两组二维向量的双正交关系
如果一组基向量的对偶向量即是其自身，也即，……，，那么这一组基向量构成了N维空间中的正交基。
若空间中的任一元素都可由一组向量作（6-1-1）式的分
解，那么我们称这一组向量是“完备（Complete）”的；如果是完备的，且是线性相关的，那么，由（6-1-1））式表示必然会存在信息的冗余，并且其对偶向量将不会是唯一的。
这时，我们称构成空间的一个“标架(Frame)”。
有关标架的概念可以进一步参考有关书籍。
若是完备的，且是线性无关的，则是中的一组基向量，这
时，存在且唯一，即存在（6-1-2）式的双正交关系。
前已述及，若是
完备的，且，则是中的正交基，其对偶向量就是
自身。
（6-1-1）式又可写为
(6-1-4)
这样，可以看作在基向量上的投影。
另外，此式又可写成
(6-1-5)
即基向量和其对偶向量是可以互相交换的，一个用作“分解”，一个用于“综合”，反之亦然。
给定一组基向量，要实现对信号的分解，第一步是要求出的对偶基向量。
由于和是都是空间中的基向量，所以
可表示为的线性组合，即，用对两边作内积，有。
由（6-1-2）式的关系，该式应等于。
令
，
则，有。
显然，若为一正交基，则为单位阵，从而也为单位阵，对应则有。
现在，我们对（6-1-1）以及（6-1-4）式的信号分解给以简单的物理解释:和对偶基向量的内积，即，反映了信号和之间的相似性。
和越接近，则越大。
因此，（6-1-5）式的运算可以想象为用一把尺子去“度量”信号，这把“尺子”由所组成，各个分量可以看作
是尺子上的刻度，所以是和相比较所产生的“度量”，即权重。
显
然，刻度越细，“度量”效果越好。
所以，对信号分解时，基函数的选择非常关键。
信号的正交分解
上一节讨论了信号分解的一般概念，现在简要介绍一下信号正交分解的概念。
正交分解（或正交变换）是信号处理中最常用的一类变换。
其原因是正交变换有如下一系列的重要性质：
[性质1]正交变换的基向量即是其对偶基向量，因此在计算上最为简单。
如
果是离散信号，且N是有限值，那么（6-1-1）式的分解与（6-1-3）式的变换只是简单的矩阵与向量运算。
由6-1-3式，假定是实函数，则有
式中，是的正交阵，因此，这样，。
即在正交变换时，
正、反变换矩阵仅是简单的转置关系，当用硬件来实现这变换时，其优点尤其突出。
同时我们也看到，正交变换的正、反变换是唯一的。
[性质2]展开系数是信号在基向量上的准确投影。
由（6-1-3）式，在双正交的情况下，展开系数反映的是信号和对偶函数之间的相似性，所以是在上的投影，也即，并不是在上的投影，如果和有明显的不同，那么将不能反映相对基函
数的行为。
反之，在正交情况下，＝，自然是在上的投影。
当然，也就是准确投影。
[性质3]正交变换保证变换前后信号的能量不变，此性质又称为“保范(数)变换”。
此即帕塞瓦尔（Paseval）定理，也即，只有正交变换才满足帕塞瓦尔定理。
[性质4]信号正交分解具有最小平方近似性质。
设是张成的空间，，满足正交关系，按（6-1-1）式对分解，即。
假定我们仅取前L个向量，即来重构，则有。
为衡量对近似的程度，我们用来描述之。
将其展开，有，对求偏导，并使之为零。
则当为最小时，必有，及。
若空间由向量张成，即，并有
及，我们称和是
的子空间。
如果：
1．，即和没有交集；
2．，即是和的并集；这时，我们称是和的直和，记作：。
这些概念我们将在小波变换中用到。
[性质5]将原始信号经正交变换后得到一组离散系数。
这一组系数具有减少中各分量的相关性及将的能量集中于少数系数上的功能，相关性去除的程度及能量集中的程度取决于所选择的基函数的性质。
这一特性是信号与图像压缩编码的理论基础。
作为正交变换的最后一个性质，由于其重要性，我们现用定理的方式给出：[定理]：是一个原型函数，其傅立叶变换为，若是一组正交基，则。
若是两组正交基，即，则。
[证明]因为是正交基，设是它构成空间中的一个元素，则
可表示为的线性组合，即
由性质3，有,并对上式作傅里叶变换，有
注意，该式是傅立叶变换（FT）和离散时间傅立叶变换（DTFT）的混合表达式。
设想，是一连续函数的抽样，抽样间隔为，则上式右边的第二部分应是。
这种FT和DTF T混合表达的形式以后还会遇到，暂时我们将记做，是周期的，周期为2π。
这样得到。
由帕塞瓦尔定理，有
因为，比较上面的结果，因此必有。
余下部分留给读者证明。
由以上讨论可知，在一N维空间中，如同有无数组N个线性无关的向量一样，我们也可以找到无穷多个正交基。
那么，如何选择一个“好”的正交基呢？也就是说，如何去衡量一个正交基的质量呢？
正交基的选择一般要考虑如下几个因素：
1.具有所希望的物理意义或实用意义。
如这类有关傅立叶变换的基，其物理意义就非常明确。
有些正交基，其物理解释不甚明确，但有着较强的实用价值，如DCT等；
2.正交基函数应尽量简单，从而尽量减少在正、反变换时的计算量；
3.为了研究信号在局部频率以及在局部时间处的性质，我们希望所选择的基函数应能同时具有频域和时域的定位功能。
前已述及，傅立叶变换的基函数
在频域为函数，而时域的支撑区间是，无法满足此要求。
而正交小波变换则具有时域和频域的定位功能。
4.具有好的去相关和能量集中的性能。