《算法设计与分析》递归算法典型例题

（4）某路公共汽车，总共有八站，从一号站发轩时车上已有 n 位乘客，到了第二站先下一 半乘客，再上来了六位乘客；到了第三站也先下一半乘客，再上来了五位乘客，以后每到一站都 先下车上已有的一半乘客，再上来了乘客比前一站少一个……，到了终点站车上还有乘客六人， 问发车时车上的乘客有多少？
（5）猴子吃桃。有一群猴子摘来了一批桃子，猴王规定每天只准吃一半加一只（即第二天 吃剩下的一半加一只，以此类推），第九天正好吃完，问猴子们摘来了多少桃子？
//返总金鱼数
}
4. 运行结果
（四）题目四：……
1. 题目分析
有到终点站时车上的乘客数可求得到任意一站的乘客人数，到第二站时车上的乘客数目
即为发车时车上的乘客数。
2. 算法构造
num[8]=6;
//到终点站车上还有六人
for(i=7; i>=2; i--)
num[i]=2*(num[i+1]-8+i); //计算到第 i 站车上的人数
cout<<"发车时车上有"<<num[2]<<"位乘客"<<endl;
//返总发站人数，即为到第二站时
车上人数
}
4. 运行结果
（五）题目五：…… 1. 题目分析
可假设有第十天，则第十天剩余的桃子数目为 0，由此递推可得每一天剩余的桃子数目。
第一天的桃子数目即为猴子摘桃子的总数。
2. 算法构造
num[10]=0;
算法递归典型例题
实验一：递归策略运用练习
三、 实验项目
1．运用递归策略设计算法实现下述题目的求解过程。 题目列表如下： （1）运动会开了 N 天，一共发出金牌 M 枚。第一天发金牌 1 枚加剩下的七分之一枚，第 二天发金牌 2 枚加剩下的七分之一枚，第 3 天发金牌 3 枚加剩下的七分之一枚，以后每天都照此 办理。到了第 N 天刚好还有金牌 N 枚，到此金牌全部发完。编程求 N 和 M。 （2）国王分财产。某国王临终前给儿子们分财产。他把财产分为若干份，然后给第一个儿 子一份，再加上剩余财产的 1/10；给第二个儿子两份，再加上剩余财产的 1/10；……；给第 i 个儿子 i 份，再加上剩余财产的 1/10。每个儿子都窃窃自喜。以为得到了父王的偏爱，孰不知国 王是“一碗水端平”的。请用程序回答，老国王共有几个儿子？财产共分成了多少份？ 源程序：
cout <<"运动会开了"<<count<<"天"<< endl;
//返回天数
cout<<"总共发了"<<gold[1]<<"枚金牌"<<endl;
//返回金牌数
}
4. 运行结果
（二） 题目二：……
1. 题目分析
由已知可得，最后一个儿子得到的遗产份数即为王子数目，由此可得到每个儿子得到的
遗产份数，在对遗产数目进行合理性判断可得到符合要求的结果。
（3）出售金鱼问题：第一次卖出全部金鱼的一半加二分之一条金鱼；第二次卖出乘余金鱼 的三分之一加三分之一条金鱼；第三次卖出剩余金鱼的四分之一加四分之一条金鱼；第四次卖出 剩余金鱼的五分之一加五分之一条金鱼；现在还剩下 11 条金鱼，在出售金鱼时不能把金鱼切开 或者有任何破损的。问这鱼缸里原有多少条金鱼？
gold[count]=count;
for (i=count-1; i>=1; i--)
{
if (gold[i+1]%6!=0 )
break; // 跳出 for 循环
else
gold[i]=gold[i+1]*7/6+i; //计算第 i 天剩余的金牌数
}
} while( i>=1 );
// 当 i>=1 继续做 do 循环
}
} while( i>=1 );
// 当 i>=1 继续做 do 循环
cout <<"皇帝有"<<count<<"个儿子"<< endl;
//返回王子数
cout<<"遗产被分成"<<property[1]<<"份"<<endl;
//返回遗产份数
}
4. 运行结果
（三）题目三：……
1. 题目分析
由最后一天的金鱼数目，可递推得到每天的金鱼数目，第一天的数目即为金鱼总数。
cout<<"全书共有"<<num[1]<<"页"<<endl; }
4. 运行结果
//输出总页数，即第一天吃前的数目
（七）题目七：…… 1. 题目分析 由已知可得，第一个儿子得到的橘子数目为平均数的一半，由此可得到第一个儿子原先 的橘子数目，而第 i 个儿子原先的橘子数目可由递推公式得到； 2. 算法构造
//第 n 天吃前的桃子数
for(i=9; i>=1; i--)
3. 算法实现
num[i]=2*(num[i+1]+1); //计算到第 i 天剩余的桃子数算法实现
#include <iostream> // 预编译命令
using namespace std;
void main()
//主函数
{
int i=0;
2. 算法构造
设皇帝有 count 个王子，
property[count]=count;
for (i=count-1; i>=1; i--)
{
if (property[i+1]%9!=0 )
break;
// 数目不符跳出 for 循环
else
property[i]=property[i+1]*10/9+i; //计算到第 i 个王子时剩余份数
//主函数
{
int i=0;
int fish[6];
//定义储存数组各天剩余金鱼数
fish[5]=11;
for (i=4; i>=1; i--)
fish[i]=(fish[i+1]*(i+1)+1)/i; //计算到第 i 天剩余金鱼条数
cout<<"浴缸里原有金鱼"<<fish[1]<<"条"<<endl;
（6）小华读书。第一天读了全书的一半加二页，第二天读了剩下的一半加二页，以后天天 如此……，第六天读完了最后的三页，问全书有多少页？
（7）日本著名数学游戏专家中村义作教授提出这样一个问题：父亲将 2520 个桔子分给六个 儿子。分完 后父亲说：“老大将分给你的桔子的 1/8 给老二；老二拿到后连同原先的桔子分 1/7 给老三；老三拿到后连同原先的桔子分 1/6 给老四；老四拿到后连同原先的桔子分 1/5 给老五； 老五拿到后连同原先的桔子分 1/4 给老六；老六拿到后连同原先的桔子分 1/3 给老大”。结果大 家手中的桔子正好一样多。问六兄弟原来手中各有多少桔子？
if(i==0) { a[i]=(ave-ave/2)*(8-i)/(8-i-1); left=a[i]-ave/2; } else { a[i]=ave*(8-i)/(8-i-1)-left; left=ave/(8-i-1); }
//第一个儿子的数目
//由 left 求第 i+1 个儿子的橘子数目 //第 i+1 个儿子得到的橘子数目
的数目
}
4. 运行结果
（六）题目六：……
1. 题目分析
由第六天剩余的页数可递推得到每天的剩余页数，第一天的页数即为全书的页数
2. 算法构造
num[6]=3;
//到第 n 天时剩余的页数
for(i=5; i>=1; i--)
num[i]=2*(num[i+1]+2); //计算到第 i 天剩余的页数
3. 算法实现
}
}
for(i=0;i<6;i++)
cout<<"第"<<i+1<<"个儿子原先手中的的橘子数为"<<a[i]<<endl;
//输出每个儿子原先手中的橘子数目}4. 运行结果}
3. 算法实现
#include <iostream>
// 预编译命令
using namespace std;
void main()
//主函数
{
int i=0,count=0; //count 表示国王的儿子数
int property[100];
//定义储存数组，表示分配到每个王子时剩余份数
do
{
count=count+9;
3. 算法实现
#include <iostream> // 预编译命令
using namespace std;
void main()
//主函数
{
int i=0;
int num[9];
//定义储存数组
num[8]=6;
//到终点站车上还有六人
for(i=7; i>=2; i--)
num[i]=2*(num[i+1]-8+i); //计算到第 i 站车上的人数
#include <iostream> // 预编译命令
using namespace std;
void main()