精品解析：【全国百强校】北京市人大附中2019届高考模拟预测卷四文科数学试题(解析版)

北京市人大附中2019届高考模拟预测卷四文科数学试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡上填写自己的准考证号、姓名、试室号和座位号。

用2B型铅笔把答题卡上试室号、座位号对应的信息点涂黑。

2．选择题每小题选出答案后，用2B型铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4．考生必须保持答题卡整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）
1.已知全集U=R，集合A={x|x+1＜0}，B={x|x-4≤0}，则∁U（A∩B）=（）
A. 或
B. 或
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
可求出集合A，B，然后进行交集、补集的运算即可．
【详解】解：A={x|x＜-1}，B={x|x≤4}；
∴A∩B={x|x＜-1}；
∴∁U（A∩B）={x|x≥-1}．
故选：C．
【点睛】考查描述法表示集合的概念，以及交集、补集的概念及运算．
2.若a=log3，b=log39.1，c=20.8，则a，b，c的大小关系为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
利用对数函数、指数函数的单调性直接求解．
【详解】
.
故选：C．
【点睛】利用指数函数对数函数及幂函数的性质比较实数或式子的大小，一方面要比较两个实数或式子形式的异同，底数相同，考虑指数函数增减性，指数相同考虑幂函数的增减性，当都不相同时，考虑分析数或式子的大致范围，来进行比较大小，另一方面注意特殊值的应用，有时候要借助其“桥梁”作用，来比较大小．
3.设x，y∈R，则“|x|≤1且|y|≤1”是“x2+y2≤2”的（）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
利用充分必要条件的定义分析判断得解.
【详解】解：|x|≤1且|y|≤1,所以,
反之不成立，例如取x=0，y=．
∴“|x|≤1且|y|≤1”是“x2+y2≤2”的充分不必要条件．
故选：A．
【点睛】本题考查了绝对值不等式的性质、充分必要条件的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
4.设不等式组表示的平面区域为D．若直线ax-y=0上存在区域D上的点，则实数a的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由题意作出可行域，利用直线过定点，结合直线的斜率，求得满足直线ax-y=0上存在区域D上的点时的a 的范围．
【详解】解：由不等式组作出可行域如图，
∵直线ax-y=0过定点O（0，0），要使直线ax-y=0上存在区域D上的点，
则直线ax-y=0的斜率a∈[k OB，k OA]，
联立，得A（1，3），
联立，得B（2，1），
∴．
∴a，
故选：B．
【点睛】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法及数学转化思想方法，是中档题．
5.若直线是圆的一条对称轴，则的值为( )
A. 1
B.
C. 2
D.
【答案】B
【解析】
分析：由题意可知直线通过圆的圆心，求出圆心坐标代入直线方程，即可得到的值.
详解：圆的方程可化为，
可得圆的圆心坐标为，半径为，
因为直线是圆的一条对称轴，
所以，圆心在直线上，
可得，即的值为，故选B.
点睛：本题主要考查圆的一般方程化为标准方程，以及由标准方程求圆心坐标，意在考查学生对圆的基本性质的掌握情况，属于简单题.
6.执行如图所示的程序框图，输出的k值为（）
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
【答案】D
【解析】
【分析】
由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量k的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．
【详解】解：模拟程序的运行，可得
S=12，k=0
执行循环体，k=2，S=10
不满足条件S≤0，执行循环体，k=4，S=6
不满足条件S≤0，执行循环体，k=6，S=0
满足条件S≤0，退出循环，输出k的值为6．
故选：D．
【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．
7.某学校举办科技节活动，有甲、乙、丙、丁四个团队参加“智能机器人”项目比赛，该项目只设置一个一等奖．在评奖揭晓前，小张、小王、小李、小赵四位同学对这四个参赛团队获奖结果预测如下：
小张说：“甲或乙团队获得一等奖”；
小王说：“丁团队获得一等奖”；
小李说：“乙、丙两个团队均未获得一等奖”；
小赵说：“甲团队获得一等奖”．
若这四位同学中只有两位预测结果是对的，则获得一等奖的团队是（）
A. 甲
B. 乙
C. 丙
D. 丁
【答案】D
【解析】
1.若甲获得一等奖,则小张、小李、小赵的预测都正确,与题意不符;
2.若乙获得一等奖,则只有小张的预测正确,与题意不符;
3.若丙获得一等奖,则四人的预测都错误,与题意不符;
4.若丁获得一等奖,则小王、小李的预测正确,小张、小赵的预测错误,符合题意，故选D.
【思路点睛】本题主要考查演绎推理的定义与应用以及反证法的应用，属于中档题.本题中，若甲获得一等奖,则小张、小李、小赵的预测都正确,与题意不符；若乙获得一等奖,则只有小张的预测正确,与题意不符；若丙获得一等奖,则四人的预测都错误,与题意不符；若丁获得一等奖,则小王、小李的预测正确,小张、小赵的预测错误,符合题意.
8.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1=AB=2，BC=1，点P在侧面A1ABB1上．满足到直线AA1和CD 的距离相等的点P（）
A. 不存在
B. 恰有1个
C. 恰有2个
D. 有无数个
【答案】D
【解析】
【分析】
以AB，AA1为轴建立平面直角坐标系，设P（x，y），设P到AB的距离为x，到AA1的距离为y，求出P 到直线CD的距离，列方程得出P点轨迹，得出答案．
【详解】解：以AB，AA1为轴建立平面直角坐标系，设P（x，y），
设P到AB的距离为y，到AA1的距离为x，
∴P到直线CD的距离为，
∴x=，即x2-y2=1（x≥1），
∴P点轨迹为双曲线的右支的一部分，
故选：D．
【点睛】本题考查了空间距离的计算和立体几何中的轨迹问题，考查双曲线的标准方程，属于中档题．
二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）
9.将函数的图像上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数
的图像，则__________,__________.
【答案】(1). (2).
【解析】
【分析】
根据三角函数图象的伸缩变换求得函数的解析式，然后通过比较可得所求．
【详解】将函数图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到的图象，
∴，
∴．
故答案为(1) ， (2) .
【点睛】本题考查三角函数图象的变换，解题时要注意变换的类型，这是解题中容易出现错误的地方，一
定要引起注意．
10.已知点，，若点在线段上，则的最大值为____．
【答案】
【解析】
已知点，，线段方程为：，
故最大值为：.
11.某高中校高一、高二、高三三个年级人数分别为300，300，400通过分层抽样从中抽取40人进行问卷调查，高三抽取的人数是______．
【答案】16
【解析】
高一、高二、高三抽取的人数比例为，
所以高三抽取的人数是
12.已知某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是______．
【答案】
【解析】
【分析】
由已知中的三视图可得该几何体是一个三棱锥，计算出各个面的面积，可得答案．
【详解】解：由已知中的三视图可得该几何体是一个三棱锥，
其直观图如图所示：
在边长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，该几何体为图中的四面体D1-A1BD，
体积V=；
故答案为：．
【点睛】本题考查的知识点是由三视图，求体积和表面积，根据已知的三视图确定几何体的形状是解答的关键．
13.已知函数，其中a∈R．如果函数f（x）恰有两个零点，那么a取值范围是______．【答案】
【解析】
【分析】
利用指数函数以及一次函数的单调性，结合分段函数的性质，可知在和x>1各有一个零点，进而求解.
【详解】当时，，
当时，，
由函数恰有两个零点，可知在和x>1各有一个零点，
可得：，解得
故填：
【点睛】本题考查了根据零点个数求函数的参数，涉及了指数函数的单调性，分段函数的应用；常用方法：①直接法，根据条件构建关于参数的不等式；②分离参数法，分离参数转化为求函数的值域问题；
③数形结合法，画出图象，根据图象列式求解.
14.设A，B是R中两个子集，对于x∈R，定义：，
①若A⊆B．则对任意x∈R，m（1-n）=______；
②若对任意x∈R，m+n=1，则A，B的关系为______．
【答案】(1). 0(2). A=∁R B
【解析】
【分析】
①由A⊆B．分x∉A和x∈A两种情况讨论；②对任意x∈R，m+n=1，则m，n的值一个为0，另一个为1，分类讨论即可得出A，B的关系．
详解】解：①∵A⊆B．则x∉A时，m=0，m（1-n）=0．
x∈A时，必有x∈B，∴m=n=1，m（1-n）=0．
综上可得：m（1-n）=0．
②对任意x∈R，m+n=1，则m，n的值一个为0，另一个为1，
即x∈A时，必有x∉B，或x∈B时，必有x∉A，
∴A，B的关系为A=∁R B．
故答案为：0，A=∁R B．
【点睛】本题考查了集合之间的关系、分类讨论方法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
三、解答题（本大题共6小题，共80.0分）
15.已知等差数列{a n}满足a1=1，a2+a4=10．
（Ⅰ）求{a n}的通项公式；
（Ⅱ）若，求数列{b n}的前n项和．
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）
【解析】
【分析】
（Ⅰ）利用等差数列，求出数列的公差，然后求解的通项公式；（Ⅱ）通过，利用等差数列以及等比数列求和公式求解数列的前项和．
【详解】（I）设的公差为，
因为，所以．
所以，解得．
所以．
（Ⅱ）由（I）知，，
所以的前项和为
==．
【点睛】本题主要考查了等差数列，等比数列的概念，以及数列的求和，属于高考中常考知识点，难度不大；常见的数列求和的方法有公式法即等差等比数列求和公式，分组求和类似于，其中和
分别为特殊数列，裂项相消法类似于，错位相减法类似于，其中为等差数列，
为等比数列等.
16.已知函数．
（Ⅰ）求f（0）的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的定义域；
（Ⅲ）求函数f（x）在上的取值范围．
【答案】（Ⅰ）1（Ⅱ）（Ⅲ）
【解析】
【分析】
（Ⅰ）直接求f（0）的值；（Ⅱ）由cos x≠0，解不等式求函数的定义域；（Ⅲ）先化简的
=，再利用三角函数的图像和性质求函数f（x）在上的取值范围．
【详解】解：（Ⅰ）∵，
∴；
（Ⅱ）由cos x≠0，得，
∴函数的定义域是；
（Ⅲ）
==sin x+cos x=，
∵，即，∴＜＜，
则＜sin（x+）≤1，∴．
∴函数f（x）在上的取值范围为．
【点睛】本题主要考查三角函数的图像和性质，考查三角恒等变换，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
17.某日A，B，C三个城市18个销售点的小麦价格如表：
（Ⅰ）求B市5个销售点小麦价格的中位数；
（Ⅱ）甲从B市的销售点中随机挑选一个购买1吨小麦，乙从C市的销售点中随机挑选一个购买1吨小麦，求甲花费的费用比乙高的概率；
（Ⅲ）如果一个城市的销售点小麦价格方差越大，则称其价格差异性越大．请你对A、B、C三个城市按照小麦价格差异性从大到小进行排序（只写出结果）．
【答案】（Ⅰ）2500；（Ⅱ）；（Ⅲ）C，A，B.
【解析】
【分析】
（Ⅰ）B市一共有5个销售点，按照价格从低到高排列，即可得出中位数；
（Ⅱ）记事件“甲的费用比乙高”为，按照价格从低到高排列，列举得出基本事件的总数列，利用古典概型及其概率的公式，即可求解；
（Ⅲ）三个城市按照价格差异性从大到小排列，即可得到结论.
【详解】（Ⅰ）B市一共有5个销售点，价格分别为：
2500，2500，2500，2450，2460
按照价格从低到高排列为：2450，2460，2500，2500，2500
B市5个销售点小麦价格的中位数为2500.
（Ⅱ）记事件“甲的费用比乙高”为
B市5个销售点按照价格从低到高排列为：2450，2460，2500，2500，2500
C市一共有4个销售点，价格分别为：
2580，2470，2540，2400
按照价格从低到高排列为：2400，2470，2540，2580
甲乙两个购买小麦分别花费的可能费用有如下组合：
（2450，2400），（2460，2400），（2500，2400），（2500，2400），（2500，2400），
（2450，2470），（2460，2470），（2500，2470），（2500，2470），（2500，2470），
（2450，2540），（2460，2540），（2500，2540），（2500，2540），（2500，2540），
（2450，2580），（2460，2580），（2500，2580），（2500，2580），（2500，2580），
一共有20组.
其中满足甲的费用高于乙的有如下组合：
（2450，2400），（2460，2400），（2500，2400），（2500，2400），（2500，2400），
（2500，2470），（2500，2470），（2500，2470）一共有8组.
所以，甲的费用比乙高的概率为：.
（Ⅲ）三个城市按照价格差异性从大到小排列为：C，A，B.
【点睛】本题主要考查了中位数的概念，以及古典概型及其概率的计算，其中解答中利用列举法，列举出基本事件的总数，利用古典概型的概率公式计算是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
18.如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD为正方形，侧棱AA1⊥底面ABCD，E为棱AA1的中点，AB=2，AA1=3．
（Ⅰ）求证：A1C∥平面BDE；
（Ⅱ）求证：BD⊥A1C；
（Ⅲ）求三棱锥A-BDE体积．
【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）见解析（Ⅲ）1
【解析】
【分析】
（Ⅰ）证明：设AC∩BD=O，连接OE，先证明OE∥A1C，再证明A1C∥平面BDE；（Ⅱ）先证明BD⊥平面ACC1A1，再证明BD⊥A1C；（Ⅲ）由利用体积变换求三棱锥A-BDE的体积．
【详解】（Ⅰ）证明：设AC∩BD=O，连接OE，
在△ACA1中，∵O，E分别为AC，AA1的中点，∴OE∥A1C，
∵A1C⊄平面BDE，OE⊂平面BDE，
∴A1C∥平面BDE；
（Ⅱ）证明：∵侧棱AA1⊥底面ABCD，BD⊂底面ABCD，∴AA1⊥BD，
∵底面ABCD为正方形，∴AC⊥BD，
∵AA1∩AC=A，∴BD⊥平面ACC1A1，
∵A1C⊂平面ACC1A1，∴BD⊥A1C；
（Ⅲ）解：∵侧棱AA1⊥底面ABCD于A，E为棱DD1的中点，且AA1=3，
∴AE=，即三棱锥E-ABD的高为．
由底面正方形的边长为2，得．
∴．
【点睛】本题主要考查空间几何元素平行垂直关系的证明，考查空间几何体的体积的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
19.已知函数，a∈R．
（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（Ⅱ）求f（x）的单调区间．
【答案】（Ⅰ）y=0（Ⅱ）单调递减区间为（-1，-），单调递增区间为（-∞，-1），（-，+∞）
【解析】
【分析】
（Ⅰ）当时，求出函数，利用导数的几何意义求出处的切线的斜率，利用点斜式求出切线方
程；（II ）当时，令，得，，分三种情况①，②当，
③当
，讨论的单调区间．
【详解】（Ⅰ）f（x）的定义域为R ，．
当a=1时，f′（0）=0，f（0）=0，
所以曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=0．
（Ⅱ）f′（x）=ae x（x+1）-x-1=（x+1）（ae x-1）．
（1）当a≤0时，ae x-1＜0，
所以当x＞-1时，f′（x）＜0；当x＜-1时，f′（x）＞0．
所以f（x）
的单调递增区间为（-∞，-1），单调递减区间为（-1，+∞）．（2）当a＞0时，令f′（x）=0，得x1=-1，x2=-lna．①当-lna=-1，即a=e时，f′（x）≥0，所以f（x）单调递增区间为（-∞，+∞），无单调递减区间；②当-lna＜-1，即a＞e时，当-lna＜x＜-1时，f′（x）＜0；当x＜-lna或x＞-1时，f′（x）＞0．所以f（x）的单调递减区间为（-lna，-1），单调递增区间为（-∞，-lna），（-1，+∞）；
③当-lna＞-1，即0＜a＜e时，
当-1＜x＜-lna时，f′（x）＜0；当x＜-1或x＞-lna时，f′（x）＞0．
所以f（x）的单调递减区间为（-1，-lna），单调递增区间为（-∞，-1），（-lna，∞）．
【点睛】本题主要考查了导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性、曲线的切线方程、函数零点、解不等式等基础知识，考查了计算能力和分类讨论的思想，第一步确定切点；第二步求斜率，即求曲线上该点的导数；第三步利用点斜式求出直线方程
20.已知点B（0，-2）和椭圆M ：．直线l：y=kx+1与椭圆M交于不同两点P，Q．
（Ⅰ）求椭圆M的离心率；
（Ⅱ）若，求△PBQ的面积；
（Ⅲ）设直线PB与椭圆M的另一个交点为C，当C为PB中点时，求k的值．
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）4（Ⅲ）或
【解析】
【分析】
（Ⅰ）直接求出a和c,求出离心率；（Ⅱ）设P（x1，y1），Q（x2，y2），利用韦达定理求出，再求
△PBQ的面积；（Ⅲ）设点C（x3，y3），由题得，再求出或，即得k的
值.
【详解】解：（Ⅰ）因为a2=4，b2=2，所以，
所以离心率．
（Ⅱ）设P（x1，y1），Q（x2，y2），
若，则直线l的方程为，
由，得3x2+4x-4=0，
解得，
设A（0，1），则．
（Ⅲ）设点C（x3，y3），
因为P（x1，y1），B（0，-2），所以，
又点P（x1，y1），C（x3，y3）都在椭圆上，
所以，
解得或，
所以或．
【点睛】本题主要考查椭圆离心率的求法，考查三角形面积的计算，考查直线和椭圆的位置关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.。