上海市数学业余学校
2002年上海市中学生业余数学学校预备年级招生试题
2002年上海市中学生业余数学学校预备年级招生试题1、 用0、1、2三个数字组成一个能被12整除的最小四位数是2、 规定运算“△”为：a △b=2a+3b(例如5△6=2×5+3×6=28)，若(a △2)△(3△4)=2002，则a=3、 一个两位数ab ，若a+a ×b 是一个奇数，则称这个两位数为“好数”，两位“好数”共有 个4、 如图所示，在矩形ABCD 中，三角形ABE 、三角形ADF 和四边形AECF 的面积都相等，且BE=8则EC=5、 一个大长方形被分成三个小长方形S 1、S 2、S 3和一个正方形S ，已知S 1与S 2的面积和为13，S 2与S 3的面积和为33，每个小长方形的长和宽都是正整数，且正方形的面积比小长方形S 1、S 2、S 3的面积都大，则正方形的面积为6、 如图，A 、B 、C 、D 、E 、F 、G 、H 是边长为3的正方形四条边的三等分点，试在图中画一个以这八个点的四个点构成的四边形，使得该四边形的面积等于277、 如图，大圆的半径是小圆的半径的2倍，则阴影部分的面积与大圆的面积之比是阴影部分的周长与大圆周长之比是A B CE FC DE F B A8、 一副扑克牌共有黑桃、红心、方块、草花四种花色，每种花色有A 、2，3， ，10，J ，Q ，K 各13张牌，其中J ，Q ，K 分别作11、12、13计，A 可作1也可作14计。
若在一副扑克牌中任取5张牌，使这5张牌同花色且点数顺次相连，则不同的抽法共有 种。
9、 小胡和小涂计算甲、乙两个两位数的乘积，小胡看错了甲数的个位数字，计算结果为1274，小涂看错了甲数的十位数字，计算结果为819，则甲数是10、 把一个长方形菜地分成三块，如图所示，已知第二块比第一块宽10米，第二块的面积为1000平方米；第三块比第一块窄4米，第三块的面积为650平方米，那么第一块的面积是 平方米。
上海市存志中学2024届中考联考数学试题含解析
上海市存志中学2024届中考联考数学试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分） 1．一组数据8，3，8，6，7，8，7的众数和中位数分别是( ) A ．8，6 B ．7，6 C ．7，8 D ．8，72．在12，0，－1，12-这四个数中，最小的数是（ ） A ．12 B ．0 C ．12-D ．－13．随着生活水平的提高，小林家购置了私家车，这样他乘坐私家车上学比乘坐公交车上学所需的时间少用了15分钟，现已知小林家距学校8千米，乘私家车平均速度是乘公交车平均速度的2.5倍，若设乘公交车平均每小时走x 千米，根据题意可列方程为（ ） A ．8815 2.5x x+= B ．8184 2.5x x+= C ．88152.5x x=+ D ．8812.54x x =+ 4．计算232332x y x y xy ⋅÷的结果是（ ）． A ．55xB ．46xC ．56xD ．46x y5．用配方法解方程x 2﹣4x+1＝0，配方后所得的方程是（ ） A ．（x ﹣2）2＝3B ．（x+2）2＝3C ．（x ﹣2）2＝﹣3D ．（x+2）2＝﹣36．某小组做“用频率估计概率”的实验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如图的折线图，则符合这一结果的实验最有可能的是（ ）A ．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”B ．掷一枚质地均匀的正六面体骰子，向上一面的点数是4C ．一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌，抽中红桃D ．抛掷一枚均匀的硬币，前2次都正面朝上，第3次正面仍朝上7．已知二次函数y=ax 2+bx+c （a≠1）的图象如图所示，则下列结论： ①a 、b 同号；②当x=1和x=3时，函数值相等； ③4a+b=1；④当y=﹣2时，x 的值只能取1； ⑤当﹣1＜x ＜5时，y ＜1． 其中，正确的有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个8．计算：()()223311aa a ---的结果是( )A ．()21ax -B ．31a -． C ．11a - D ．31a + 9．一个不透明的袋子里装着质地、大小都相同的3个红球和2个绿球，随机从中摸出一球，不再放回袋中，充分搅匀后再随机摸出一球．两次都摸到红球的概率是（ ） A ．310B ．925C ．920D ．3510．如图，在平面直角坐标中，正方形ABCD 与正方形BEFG 是以原点O 为位似中心的位似图形，且相似比为13，点A ，B ，E 在x 轴上，若正方形BEFG 的边长为6，则C 点坐标为（ ）A ．（3，2）B ．（3，1）C ．（2，2）D ．（4，2）二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）11．如图，∠1，∠2是四边形ABCD 的两个外角，且∠1+∠2＝210°，则∠A +∠D ＝____度.12．如图，在△ABC中，∠C=90°，D是AC上一点，DE⊥AB于点E，若AC=8，BC=6，DE=3，则AD的长为________．13．如图所示,直线y=x+1(记为l1)与直线y=mx+n(记为l2)相交于点P(a,2),则关于x的不等式x+1≥mx+n的解集为__________.14．已知一组数据3-，x，﹣2，3，1，6的中位数为1，则其方差为____．15．方程1223x x=+的解为__________.16．观察如图中的数列排放顺序，根据其规律猜想：第10行第8个数应该是_____．17．已知反比例函数y=2mx-，当x＞0时，y随x增大而减小，则m的取值范围是_____．三、解答题（共7小题，满分69分）18．（10分）如图，在△ABC，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，点F在AC的延长线上，且∠CBF=∠CAB．（1）求证：直线BF是⊙O的切线；（2）若AB=5，sin∠CBF=,求BC和BF的长．19．（5分）某地铁站口的垂直截图如图所示，已知∠A=30°，∠ABC=75°，AB=BC=4米，求C点到地面AD的距离（结果保留根号）．20．（8分）网上购物已经成为人们常用的一种购物方式，售后评价特别引人关注，消费者在网店购买某种商品后，对其有“好评”、“中评”、“差评”三种评价，假设这三种评价是等可能的．（1）小明对一家网店销售某种商品显示的评价信息进行了统计，并列出了两幅不完整的统计图．利用图中所提供的信息解决以下问题：①小明一共统计了个评价；②请将图1补充完整；③图2中“差评”所占的百分比是；（2）若甲、乙两名消费者在该网店购买了同一商品，请你用列表格或画树状图的方法帮助店主求一下两人中至少有一个给“好评”的概率．21．（10分）解不等式：3x﹣1＞2（x﹣1），并把它的解集在数轴上表示出来．22．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c经过A、B、C三点，已知点A（﹣3，0），B（0，3），C（1，0）．（1）求此抛物线的解析式．（2）点P是直线AB上方的抛物线上一动点，（不与点A、B重合），过点P作x轴的垂线，垂足为F，交直线AB于点E，作PD⊥AB于点D．动点P在什么位置时，△PDE的周长最大，求出此时P点的坐标．23．（12分）解方程式：1x2-- 3 =x12x--24．（14分）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，直线y=kx+b交BC于点E（1，m），交AB于点F（4，12），反比例函数y=nx（x＞0）的图象经过点E，F．（1）求反比例函数及一次函数解析式；（2）点P是线段EF上一点，连接PO、PA，若△POA的面积等于△EBF的面积，求点P的坐标．参考答案一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）1、D【解题分析】试题分析：根据中位数和众数的定义分别进行解答即可．把这组数据从小到大排列：3，6，7，7，8，8，8，8出现了3次，出现的次数最多，则众数是8；最中间的数是7，则这组数据的中位数是7考点：（1）众数；（2）中位数．2、D【解题分析】试题分析：因为负数小于0，正数大于0，正数大于负数，所以在12，0，－1，12-这四个数中，最小的数是－1，故选D ．考点：正负数的大小比较． 3、D 【解题分析】分析：根据乘私家车平均速度是乘公交车平均速度的2.5倍，乘坐私家车上学比乘坐公交车上学所需的时间少用了15分钟，利用时间得出等式方程即可．详解：设乘公交车平均每小时走x 千米，根据题意可列方程为：8812.54x x =+． 故选D ．点睛：此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，解题关键是正确找出题目中的相等关系，用代数式表示出相等关系中的各个部分，列出方程即可． 4、D 【解题分析】根据同底数幂的乘除法运算进行计算. 【题目详解】3x 2y 2⋅x 3y 2÷xy 3＝6x 5y 4÷xy 3＝6x 4y.故答案选D. 【题目点拨】本题主要考查同底数幂的乘除运算，解题的关键是知道：同底数幂相乘，底数不变，指数相加. 5、A 【解题分析】方程变形后，配方得到结果，即可做出判断． 【题目详解】 方程2410x x +=﹣， 变形得：241x x =﹣﹣，配方得：24414x x +=+﹣﹣，即223x =（﹣）， 故选A ． 【题目点拨】本题考查的知识点是了解一元二次方程﹣配方法，解题关键是熟练掌握完全平方公式．6、B【解题分析】根据统计图可知，试验结果在0.17附近波动，即其概率P≈0.17，计算四个选项的概率，约为0.17者即为正确答案．【题目详解】解：在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出剪刀的概率是13，故A选项错误，掷一枚质地均匀的正六面体骰子，向上一面的点数是4的概率是16≈0.17，故B选项正确，一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌，抽中红桃得概率是14，故C选项错误，抛掷一枚均匀的硬币，前2次都正面朝上，第3次正面仍朝上的概率是18，故D选项错误，故选B．【题目点拨】此题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．频率=所求情况数与总情况数之比．熟练掌握概率公式是解题关键．7、A【解题分析】根据二次函数的性质和图象可以判断题目中各个小题是否成立．【题目详解】由函数图象可得，a＞1，b＜1，即a、b异号，故①错误，x=-1和x=5时，函数值相等，故②错误，∵-1522ba-+=＝2，得4a+b=1，故③正确，由图象可得，当y=-2时，x=1或x=4，故④错误，由图象可得，当-1＜x＜5时，y＜1，故⑤正确，故选A．【题目点拨】考查二次函数图象与系数的关系，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．8、B【解题分析】根据分式的运算法则即可求出答案．【题目详解】解：原式=()23-31a a -=()23-11a a -（）=31a - 故选；B 【题目点拨】本题考查分式的运算法则，解题关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型． 9、A 【解题分析】列表或画树状图得出所有等可能的结果，找出两次都为红球的情况数，即可求出所求的概率： 【题目详解】 列表如下：∵所有等可能的情况数为20种，其中两次都为红球的情况有6种， ∴63P 2010==两次红， 故选A.10、A【解题分析】∵正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为13，∴ADBG=13，∵BG=6，∴AD=BC=2，∵AD∥BG，∴△OAD∽△OBG，∴OAOB=13，∴2OAOA=13，解得：OA=1，∴OB=3，∴C点坐标为：（3，2），故选A．二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）11、210.【解题分析】利用邻补角的定义求出∠ABC+∠BCD，再利用四边形内角和定理求得∠A+∠D.【题目详解】∵∠1+∠2＝210°，∴∠ABC+∠BCD＝180°×2﹣210°＝150°，∴∠A+∠D＝360°﹣150°＝210°.故答案为：210.【题目点拨】本题考查了四边形的内角和定理以及邻补角的定义，利用邻补角的定义求出∠ABC+∠BCD是关键.12、1【解题分析】如图，由勾股定理可以先求出AB的值，再证明△AED∽△ACB，根据相似三角形的性质就可以求出结论．【题目详解】在Rt△ABC中，由勾股定理．得，∵DE⊥AB，∴∠AED=∠C=90°．∵∠A=∠A，∴△AED∽△ACB，∴DE AD BC AB＝，∴3=610AD，∴AD=1．故答案为1【题目点拨】本题考查了勾股定理的运用，相似三角形的判定及性质的运用，解答时求出△AED∽△ACB是解答本题的关键．13、x≥1【解题分析】把y=2代入y=x+1，得x=1，∴点P的坐标为（1，2），根据图象可以知道当x≥1时，y=x+1的函数值不小于y=mx+n相应的函数值，因而不等式x+1≥mx+n的解集是：x≥1，故答案为x≥1．【题目点拨】本题考查了一次函数与不等式（组）的关系及数形结合思想的应用．解决此类问题关键是仔细观察图形，注意几个关键点（交点、原点等），做到数形结合．14、3【解题分析】试题分析：∵数据﹣3，x，﹣3，3，3，6的中位数为3，∴112x+=，解得x=3，∴数据的平均数=16（﹣3﹣3+3+3+3+6）=3，∴方差=16[（﹣3﹣3）3+（﹣3﹣3）3+（3﹣3）3+（3﹣3）3+（3﹣3）3+（6﹣3）3]=3．故答案为3．考点：3．方差；3．中位数．15、1x=【解题分析】两边同时乘2(3)x x+，得到整式方程，解整式方程后进行检验即可.【题目详解】解：两边同时乘2(3)x x +，得34x x +=，解得1x =，检验：当1x =时，2(3)x x +≠0，所以x=1是原分式方程的根，故答案为：x=1.【题目点拨】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的一般步骤以及注意事项是解题的关键.16、1【解题分析】由n 行有n 个数，可得出第10行第8个数为第1个数，结合奇数为正偶数为负，即可求出结论．【题目详解】解：第1行1个数，第2行2个数，第3行3个数，…，∴第9行9个数，∴第10行第8个数为第1+2+3+…+9+8=1个数．又∵第2n ﹣1个数为2n ﹣1，第2n 个数为﹣2n ，∴第10行第8个数应该是1．故答案为：1．【题目点拨】本题考查了规律型中数字的变化类，根据数的变化找出变化规律是解题的关键．17、m ＞1．【解题分析】分析：根据反比例函数y =2m x -，当x ＞0时，y 随x 增大而减小，可得出m ﹣1＞0，解之即可得出m 的取值范围． 详解：∵反比例函数y =2m x -，当x ＞0时，y 随x 增大而减小，∴m ﹣1＞0，解得：m ＞1． 故答案为m ＞1．点睛：本题考查了反比例函数的性质，根据反比例函数的性质找出m ﹣1＞0是解题的关键．三、解答题（共7小题，满分69分）18、（1）证明见解析；（2）BC=；.【解题分析】（1）连接AE，利用直径所对的圆周角是直角，从而判定直角三角形，利用直角三角形两锐角相等得到直角，从而证明∠ABF=90°．（2）利用已知条件证得△AGC∽△ABF，利用比例式求得线段的长即可．（1）证明：连接AE，∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB=90°，∴∠1+∠2=90°．∵AB=AC，∴∠1=∠CAB．∵∠CBF=∠CAB，∴∠1=∠CBF∴∠CBF+∠2=90°即∠ABF=90°∵AB是⊙O的直径，∴直线BF是⊙O的切线．（2）解：过点C作CG⊥AB于G．∵sin∠CBF=，∠1=∠CBF，∴sin∠1=，∵在Rt△AEB中，∠AEB=90°，AB=5，∴BE=AB•sin∠1=，∵AB=AC，∠AEB=90°，∴BC=2BE=2，在Rt△ABE中，由勾股定理得AE==2，∴sin∠2===，cos∠2===，在Rt△CBG中，可求得GC=4，GB=2，∴AG=3，∵GC∥BF，∴△AGC∽△ABF，∴=．∴BF==．19、C点到地面AD的距离为：（22+2）m．【解题分析】直接构造直角三角形，再利用锐角三角函数关系得出BE，CF的长，进而得出答案．【题目详解】过点B作BE⊥AD于E，作BF∥AD，过C作CF⊥BF于F，在Rt△ABE中，∵∠A=30°，AB=4m，∴BE=2m，由题意可得：BF∥AD，则∠FBA=∠A=30°，在Rt△CBF中，∵∠ABC=75°，∴∠CBF=45°，∵BC=4m，∴CF=sin45°•BC=2m，222m．∴C点到地面AD的距离为：()【题目点拨】考查解直角三角形，熟练掌握锐角三角函数是解题的关键.20、（1）①150；②作图见解析；③13.3%；（2）59． 【解题分析】（1）①用“中评”、“差评”的人数除以二者的百分比之和即可得总人数；②用总人数减去“中评”、“差评”的人数可得“好评”的人数，补全条形图即可；③根据“差评”的人数÷总人数×100%即可得“差评”所占的百分比； （2）可通过列表表示出甲、乙对商品评价的所有可能结果数，根据概率公式即可计算出两人中至少有一个给“好评”的概率．【题目详解】①小明统计的评价一共有：（40+20）÷（1-60%=150（个）；②“好评”一共有150×60%=90（个），补全条形图如图1：③图2中“差评”所占的百分比是：20150×100%=13.3%； （2）列表如下：好 中 差 好好，好 好，中 好，差 中中，好 中，中 中，差 差 差，好 差，中 差，差由表可知，一共有9种等可能结果，其中至少有一个给“好评”的有5种，∴两人中至少有一个给“好评”的概率是59． 考点：扇形统计图；条形统计图；列表法与树状图法．21、1x ＞【解题分析】试题分析：按照解一元一次不等式的步骤解不等式即可.试题解析：3122x x --＞,3221x x ＞--+,1x -＞.解集在数轴上表示如下点睛：解一元一次不等式一般步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，把系数化为1.22、（1）y=﹣x 2﹣2x+1；（2）（﹣32 ，154） 【解题分析】（1）将A （-1，0），B （0，1），C （1，0）三点的坐标代入y=ax 2+bx+c ，运用待定系数法即可求出此抛物线的解析式；（2）先证明△AOB 是等腰直角三角形，得出∠BAO=45°，再证明△PDE 是等腰直角三角形，则PE 越大，△PDE 的周长越大，再运用待定系数法求出直线AB 的解析式为y=x+1，则可设P 点的坐标为（x ，-x 2-2x+1），E 点的坐标为（x ，x+1），那么PE=（-x 2-2x+1）-（x+1）=-（x+32）2+94，根据二次函数的性质可知当x=-32时，PE 最大，△PDE 的周长也最大．将x=-32代入-x 2-2x+1，进而得到P 点的坐标． 【题目详解】解：（1）∵抛物线y=ax 2+bx+c 经过点A （﹣1，0），B （0，1），C （1，0）， ∴9a-3b+c=0{c=3a+b+c=0，解得a=-1{b=-2c=3，∴抛物线的解析式为y=﹣x 2﹣2x+1；（2）∵A （﹣1，0），B （0，1），∴OA=OB=1，∴△AOB 是等腰直角三角形，∴∠BAO=45°．∵PF ⊥x 轴，∴∠AEF=90°﹣45°=45°，又∵PD ⊥AB ，∴△PDE 是等腰直角三角形，∴PE越大，△PDE的周长越大．设直线AB的解析式为y=kx+b，则-3k+b=0 {b=3，解得k=1{b=3，即直线AB的解析式为y=x+1．设P点的坐标为（x，﹣x2﹣2x+1），E点的坐标为（x，x+1），则PE=（﹣x2﹣2x+1）﹣（x+1）=﹣x2﹣1x=﹣（x+32）2+94，所以当x=﹣32时，PE最大，△PDE的周长也最大．当x=﹣32时，﹣x2﹣2x+1=﹣（﹣32）2﹣2×（﹣32）+1=154，即点P坐标为（﹣32，154）时，△PDE的周长最大．【题目点拨】本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有运用待定系数法求二次函数、一次函数的解析式，等腰直角三角形的判定与性质，二次函数的性质，三角形的周长，综合性较强，难度适中．23、x=3【解题分析】先去分母，再解方程，然后验根.【题目详解】解：去分母，得1-3（x-2）=1-x，1-3x+6=1-x，x=3，经检验，x=3是原方程的根.【题目点拨】此题重点考察学生对分式方程解的应用，掌握分式方程的解法是解题的关键.24、（1）2yx=；1522y x=-+；（2）点P坐标为（114，98）．【解题分析】（1）将F（4，12）代入0ny xx=（＞），即可求出反比例函数的解析式2yx=；再根据2yx=求出E点坐标，将E、F两点坐标代入y kx b =+，即可求出一次函数解析式； （2）先求出△EBF 的面积，点P 是线段EF 上一点，可设点P 坐标为1522x x +（，﹣），根据面积公式即可求出P 点坐标.【题目详解】 解：（1）∵反比例函数0n y x x =（＞）经过点142F （，），∴n=2， 反比例函数解析式为2y x =． ∵2y x=的图象经过点E （1，m ）， ∴m=2，点E 坐标为（1，2）． ∵直线y kx b =+ 过点12E （，），点142F （，）， ∴2142k b k b +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得1252k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴一次函数解析式为1522y x =+﹣； （2）∵点E 坐标为（1，2），点F 坐标为142（，），∴点B 坐标为（4，2），∴BE=3，BF=32， ∴1139•32224EBF S BE BF ∆==⨯⨯=， ∴94POA EBF S S ∆∆== ． 点P 是线段EF 上一点，可设点P 坐标为1522x x +（，﹣）， ∴115942224x ⨯-+=（）， 解得114x =， ∴点P 坐标为11948（，）． 【题目点拨】本题主要考查反比例函数，一次函数的解析式以及三角形的面积公式.。
上海市宜川中学2024-2025学年高三上学期数学阶段测试数学试卷(无答案)
宜川中学2024学年第一学期阶段测试高三数学试卷考生注意：1．本考试设试卷和答题纸，答案写在答题纸上，写在试卷上无效。
2．答题前，考生务必在答题纸上清楚填涂班级、姓名和准考证号。
3．本试卷共4页，考试时间120分钟，试卷满分150分。
一、填空题：（第1—6题每小题4分，第7—12题每小题5分，满分54分）1写成指数幂形式为_________．2．已知集合，，则_________．3．已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则_________．4．若关于的不等式组的解集为空集，则实数的取值范围为_________．5．已知圆：与圆：外切，则实数_________．6．若函数的一个零点是，则函数的最大值为_________．7．为等差数列的前项和，，，则与的等比中项为_________．8．如图所示，某探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点变轨进入以月球球心为左焦点、长轴长为40万公里、短轴长为4万公里的椭圆轨道绕月飞行，之后卫星在点第二次变轨进入仍以为左焦点、长轴长为20万公里的椭圆轨道绕月飞行，则椭圆轨道的短轴长为_________万公里（近似到0.01）．9．菱形的对角线把平面折起与平面成的二面角后，点到平面的距离为_________．10．已知_________．11．已知是定义在上的奇函数，且对于任意的，都有成立，当)0x >{}0,1,2,3A =(){}40B x x x =-<A B = ()y f x =R 0x ≤()()2lg f x x a =+()3f =x ()()130x x x a⎧--<⎨>⎩a 1C ()()22341x y ++-=2C ()2216x y k +-=k =()sin f x a x x =π3()y f x =n S {}n a n 936S =-13104S =-5a 7a P F 1T P F 2T 2T ABCD AC =BD ABD BCD 120︒A BCD sin sin 3παα⎛⎫++= ⎪⎝⎭sin 26πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭()y f x =R x ()()2f x f x =-时，，则函数在区间内所有零点之和为_________．12．已知函数，，且，，若，则的最小值为_________．二、选择题（第13—14题每小题4分，第15—16题每小题5分，共18分）13．下图是某地区2010年至2019年污染天数（单位：天）与年份的折线图．根据2010年至2014年数据，2015年至2019年的数据，2010年至2019年的数据分别建立线性回归模型，，，则（ ）A ．，；B ．，；C ．，；D ．，．14．已知、是两条不同的直线，、、是三个不同的平面，下列命题正确的是（ ）A ．若，，则；B ．若，，则；C ．若、是异面直线，，，，，则；D ．平面内有不共线的三点到平面的距离相等，则．15．已知的三边长分别为4、5、7，记的三个内角的正切值所组成的集合为，则集合中的最大元素为（ ）A ．BC ．D ．16．已知函数的表达式为，若函数恰有4个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．10x -≤<()()2log f x x =-()2y f x =+()1,8-()y f x =()y g x =()3e x f x -=()1ln g x x =+()()f m g n =n m -y x 11ˆˆy a x b =+22ˆˆy a x b =+33ˆˆy a x b =+123ˆˆˆa a a <<123ˆˆˆb b b <<132ˆˆˆa a a <<132ˆˆˆb b b <<231ˆˆˆa a a <<132ˆˆˆb b b <<231ˆˆˆa a a <<321ˆˆˆb b b <<m n αβγαβ⊥βγ⊥αγ∥m n ∥n α⊂m α∥m n m α⊂m β∥n β⊂n α∥αβ∥αβαβ∥ABC △ABC △M M -()y f x =()e x f x x=()()()222e e g x f x af x a ⎡⎤=+--⎣⎦a (),2e -∞-(),e -∞-2,e ⎛⎫-∞-⎪⎝⎭1,e ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭三、解答题（共78分，在答题纸上写出必要的步骤．）17．（本小题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）已知函数的表达式为，（1）设，求函数，的单调增区间；（2）设实数，的最小正周期为，若在上恰有3个零点，求的取值范围．18．（本大题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）如图，、、为圆锥三条母线，．（1）证明：；（2，为底面直径，且，求二面角的大小．19．（本大题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）某市YC 中学体育节开展趣味运动比赛，其中、两个班级进入趣味运动比赛的关键阶段，该比赛采取累计得分制，规则如下：每局比赛不存在平局，获胜者得1分，失败者不得分，其中累计得分领先对方2分即可赢得最终胜利，或者5局比赛结束积分领先赢得最终胜利．假设每局比赛中班获胜的概率均为，且各局比赛的结果相互独立．（1）求趣味比赛班以3比1赢得最终胜利的概率；（2）此次趣味比赛中记比赛停止时已比赛的局数为，求的分布及数学期望．20．（本大题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第，3小题满分8分）已知双曲线：，点、分别为双曲线的左、右焦点，、为双曲线上的点．（1）求右焦点到双曲线的渐近线的距离；（2）若，求直线的方程；（3）若，其中、两点均在轴上方，且分别位于双曲线的左、右两支，求四边形的面积的取值范围．21．（本大题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第，3小题满分8分）()y f x =()πsin 3f x x ω⎛⎫=+⎪⎝⎭0ω>1ω=()y f x =[]0,πx ∈πa >()f x π[]π,x a ∈a PA PB PC AB AC =PA BC ⊥BC 2BC =B PA C --A B A 23A X X C 2213y x -=1F 2F ()11,A x y ()22,B x y 2F 223AF F B =AB 12AF BF ∥A B x 12AF F B如图，在区间上，曲线与直线，，轴围成的阴影部分面积记为面积，若（为函数的导函数），则．设函数，（1）若，，求的值；（2）已知，点，，，过点的直线分别交，于，两点（，在第一象限），设四边形的面积为，写出的表达式（用，表示）并证明：；（3）若函数有两个不同的零点，，比较与的大小，并说明理由．[],a b ()y f x =x a =x b =x S ()()F x f x '=()F x '()y F x =()()S F b F a =-()()10f x x x=>1a =2b =S 0b a >>(),0A a (),0D b ,22a ba b M f ⎛⎫++⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭M x a =x b =B C B C ABCD 1S 1S a b 1S S >()()ln g x f x x m =-1x 2x 12x x 2e。
2022-2023学年上海市青浦区教师进修学院附属中学九年级上学期期中数学试卷含详解
青教院附中2022学年第一学期期中考试九年级数学试卷一.单项选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）1.如果2x＝3y（x、y 均不为0），那么下列各式中正确的是（）A.23x y = B.3xx y=- C.53x y y += D.25x x y =+2.下列说法正确的是（）A.()0a a +-=r r B.如果a 和b都是单位向量，那么a b= C.如果||||a b = ，那么a b=D.12a b =- （b为非零向量），那么//a b3.如图，直线OA 过点（2，1），直线OA 与x 轴的夹角为α，则tanα的值为（）A.55B.12C.2D.4.如图，OAB OCD ∽△△，:3:2OA OC =，OAB 与OCD 的面积分别是1S 与2S ，周长分别是1C 与2C ，则下列说法正确的是（）A.1232C C =B.1232S S = C.32OB CD=D.32OA OD =5.如图，已知ACD B ∠=∠，若6AC =，4=AD ，10BC =，则CD 长为（）A.8B.7C.203D.96.如图，已知在Rt ABC 中，90C ∠=︒，点G 是ABC 的重心，GE AC ⊥，垂足为E ，如果8CB =，则线段GE 的长为（）A.53B.73C.83D.103二.填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7.两个相似三角形的相似比为4:9，则它们的面积之比为_____．8.已知线段6AB =cm，点C 是AB 的黄金分割点，且AC BC >那么线段AC 的长为_____cm ．9.在Rt △ABC 中，∠C =90°，如果tan ∠A =33，那么cos ∠B =_____．10.计算：17()(2)22a b a b ---＝____．11.如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，BC =2，且tan A =13，则AC =_____．12.如图，在等边△ABC 中，AB ＝12，P 、Q 分别是边BC 、AC 上的点，且∠APQ ＝60°，PC ＝8，则QC 的长是_____．13.如图，在ABC ∆中，6,8AB cm AC cm ==，D 是AB 上一点且AD 2cm =，当AE =________cm 时，使得ADE ∆与ABC ∆相似．14.如图所示，在四边形ABCD 中，90B Ð=°，2AB =，8CD =．连接AC ，AC CD ⊥，若1sin 3ACB ∠=，则AD 长度是_________．15.如图，已知在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝2，D 是边AB 上的一点，∠ACD ＝∠B ，∠BAC 的平分线AQ 与CD 、BC 分别相交于点P 和点Q ，那么APAQ的值等于_____．16.如图，已知AD 是△ABC 的中线，G 是△ABC 的重心，联结BG 并延长交边AC 于点E ，联结DE ，那么S △ABC ：S △GED 的值为____．17.如图，在矩形ABCD 中，点E 、F 在AD 边上，BF 和CE 交于点G ，如果EF ＝12AD ，矩形的面积是S ，那么图中阴影部分的面积可以用S 表示为____．18.如果四边形边上的点，它与对边两个端点的连线将这个四边形分成的三个三角形都相似，我们就把这个点叫做该四边形的“强相似点”．如图1，在四边形ABCD 中，点Q 在边AD 上，如果QAB 、QBC △和QDC 都相似，那么点Q 就是四边形ABCD 的“强相似点”；如图2，在四边形ABCD 中，AD BC //，2AB DC ==，8BC =，=60B ∠︒，如果点Q 是边AD 上的“强相似点”，那么AQ =___．三、解答题：（本大题共7题，满分78分19.计算：2cot 602cos30tan 602sin 30︒︒︒︒++．20.如图，已知AB ∥EF ∥CD ，AD 与BC 相交于点O ．（1）如果CE ＝3，EB ＝9，DF ＝2，求AD 的长．（2）如果BO ：OE ：EC ＝2：4：3，AB ＝3，求CD 的长．21.如图，在ABC 中，点G 是ABC 的重心，联结AG ，联结BG 并延长交边AC 于点D ，过点G 作//GE BC 交边AC 于点E ．（1）如果AB a = ，AC b = ，用a 、b 表示向量BG；（2）当AG BD ⊥，6BG =，45GAD ∠=︒时，求AE 的长．22.如图，已知△ABC 中，AB =BC =5，tan ∠ABC =34．（1）求边AC 的长；（2）设边BC 的垂直平分线与边AB 的交点为D ，求ADDB的值．23.如图，在ABC 中，点D 、G 在边AC 上，点E 在边BC 上，DB DC EG AB =，∥，AE BD 、交于点F ，BF AG =．（1）求证：BFE CGE △∽△；（2）当AEG C ∠=∠时，求证：2AB AG AC =⋅．24.在平面直角坐标系xOy 中，已知B ，A 分别是y ＝﹣x +4与x 轴，y 轴的交点．（1）C 在线段AB 上，AC BC ＝13，求C 的坐标．（2）在第一问的条件下，求tan ∠AOC 的值．（3）若D 在直线AB 上，tan ∠BOD ＝13，求D 的坐标．25.如图，在ABC 中，90ABC ∠=︒，3AB =，4BC =，过点A 作射线AM BC ∥，点D 、E 是射线AM 上的两点（点D 不与点A 重合，点E 在点D 右侧），联结BD 、BE 分别交边AC 于点F 、G ，DBE C ∠=∠．（1）当1AD =时，求FB 的长；（2）设AD x =，FG y =，求y 关于x 的函数关系式，并写出x 的取值范围；（3）联结DG 并延长交边BC 于点H ，如果DBH △是等腰三角形，请直接写出AD 的长．青教院附中2022学年第一学期期中考试九年级数学试卷一.单项选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）1.如果2x＝3y（x、y 均不为0），那么下列各式中正确的是（）A.23x y = B.3xx y=- C.53x y y += D.25x x y =+【答案】B【详解】试卷分析：根据比例的基本性质，可知B 正确.故选：B.2.下列说法正确的是（）A.()0a a +-=r r B.如果a 和b都是单位向量，那么a b= C.如果||||a b = ，那么a b=D.12a b =- （b 为非零向量），那么//a b【答案】D【分析】根据向量，单位向量，平行向量的概念，性质及向量的运算逐个进行判断即可得出答案.【详解】解：A 、()a a +-r r等于0向量，而不是0，故A 选项错误；B 、如果a 和b都是单位向量，说明两个向量长度相等，但是方向不一定相同，故B 选项错误；C 、如果||||a b =，说明两个向量长度相等，但是方向不一定相同，故C 选项错误；D 、如果12a b =- （b为非零向量），可得到两个向量是共线向量，可得到//a b ，故D 选项正确.故选：D.【点睛】本题考查向量的性质及运算，向量相等不仅要长度相等，还要方向相同，向量的运算要注意向量的加减结果都是一个向量.3.如图，直线OA 过点（2，1），直线OA 与x 轴的夹角为α，则tanα的值为（）A.55B.12C.2D.【答案】B【分析】过点C （2，1），作CD ⊥x 轴于D ，则OD ＝2，CD ＝1，由三角函数定义即可得出答案．【详解】解：过点C （2，1）作CD ⊥x 轴于D ，如图所示：则OD ＝2，CD ＝1，在Rt △OCD 中，tanα＝CD OD ＝12．故选：B．【点睛】本题考查了三角函数定义、坐标与图形性质；作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．4.如图，OAB OCD ∽△△，:3:2OA OC =，OAB 与OCD 的面积分别是1S 与2S ，周长分别是1C 与2C ，则下列说法正确的是（）A.1232C C =B.1232S S = C.32OB CD=D.32OA OD =【答案】A【分析】本题考查了相似三角形的性质，根据相似三角形的性质判断即可，熟练掌握相似三角形的性质定理是解题的关键．【详解】解：OAB OCD ∽，:3:2OA OC =，1232C C ∴=，故A 正确；1294S S ∴=，故B 错误；32OB OD ∴=，故C 错误；32OA OC ∴=，故D 错误；故选：A ．5.如图，已知ACD B ∠=∠，若6AC =，4=AD ，10BC =，则CD 长为（）A.8B.7C.203D.9【答案】C【分析】先证明△ACD ∽△ABC ，然后利用相似三角形的性质，即可求出CD 的长度．【详解】解：∵ACD B ∠=∠，A A ∠=∠，∴△ACD ∽△ABC ，∴AC AD CDAB AC BC ==，∴64610CD AB ==，∴203CD =；故选：C ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质进行解题．6.如图，已知在Rt ABC 中，90C ∠=︒，点G 是ABC 的重心，GE AC ⊥，垂足为E ，如果8CB =，则线段GE 的长为（）A.53B.73C.83D.103【答案】C【分析】因为点G 是ABC 的重心，根据三角形的重心是三角形三条中线的交点以及重心的性质：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比是2:1，可知点D 为BC 的中点，21AG GD =，根据GE AC ⊥，可得90AEG ∠=︒，进而证得AEG △∽ACD ，从而得到EG AGCD AD=，代入数值即可求解．【详解】如图，连接AG 并延长交BC 于点D ．点G 是ABC 的重心，∴点D 为BC 的中点，21AG GD =， 8CB =，∴142CD BD BC ===， GEAC ⊥，∴90AEG ∠=︒，90C ∠=︒，∴90AEG C ∠=∠=︒，EAG CAD ∠=∠（公共角），∴AEG △∽ACD ，∴EG AGCD AD =， 21AG GD =，∴23AG AD =，∴243EG AG AD ==，∴83EG =．故选：C ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，三角形的重心的定义及其性质，熟练运用三角形重心的性质是解题的关键．二.填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7.两个相似三角形的相似比为4:9，则它们的面积之比为_____．【答案】16:81【分析】本题考查了相似三角形，根据相似三角形面积比等于相似比的平方即可得．【详解】 两个相似三角形的相似比为4:9∴面积比等于相似比的平方，即：16:81故答案为：16:81．8.已知线段6AB =cm，点C 是AB 的黄金分割点，且AC BC >那么线段AC 的长为_____cm ．【答案】3-【分析】本题考查了黄金分割，把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样，列式计算即可求解，掌握黄金分割的定义是解题的关键．【详解】解：∵点C 是线段AB 的黄金分割点，AC BC >，∴()515163cm 22AC AB -==⨯=-，故答案为：3-．9.在Rt △ABC 中，∠C =90°，如果tan ∠A =33，那么cos ∠B =_____．【答案】12【分析】直接利用特殊角的三角函数值得出∠A =30°，进而得出∠B 的度数，进而得出答案．【详解】∵tan ∠A =33，∴∠A =30°，∵∠C =90°，∴∠B =180°﹣30°﹣90°=60°，∴cos ∠B =12．故答案为：12．【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确理解三角函数的计算公式是解题关键．10.计算：17()(2)22a b a b ---＝____．【答案】3a b-+ 【分析】根据向量的计算法则解答．【详解】解：17()(2)22a b a b ---=17222a b a b --+=3a b -+ ．故答案为：3a b -+．【点睛】此题考查向量的加减法计算法则，熟记法则是解题的关键．11.如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，BC =2，且tan A =13，则AC =_____．【答案】6【分析】根据正切的定义列式计算，得到答案．【详解】解：∵tan A =13，∴13BC AC =，即213AC =，解得，AC =6，故答案为：6．【点睛】本题考查的是锐角三角函数的定义，掌握锐角A 的对边a 与邻边b 的比叫做∠A 的正切是解题的关键．12.如图，在等边△ABC 中，AB ＝12，P 、Q 分别是边BC 、AC 上的点，且∠APQ ＝60°，PC ＝8，则QC 的长是_____．【答案】83【分析】通过证明△ABP ∽△PCQ ，可得AB BP PC CQ =，可求解．【详解】解：∵△ABC 是等边三角形，∴∠ABC ＝∠ACB ＝60°，AB ＝BC ＝12，∵PC ＝8，∴BP ＝4，∵∠APC ＝∠B +∠BAP ＝∠APQ +∠CPQ ，∴∠BAP ＝∠CPQ ，又∵∠B ＝∠C ＝60°，∴△ABP ∽△PCQ ，∴AB BP PC CQ=，∴1248QC=，∴QC ＝83，故答案为：83．【点睛】本题考查相似三角形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质和判定定理．13.如图，在ABC ∆中，6,8AB cm AC cm ==，D 是AB 上一点且AD 2cm =，当AE =________cm 时，使得ADE ∆与ABC ∆相似．【答案】83或1.5【分析】ΔADE 与ΔABC 相似有两种情况，针对每一种情况，有对应边成比例，据此可列出等式求得AE 的值．【详解】解：分两种情况：第一种情况：如图，过D 作DE||AC 于点E ，则28·863AD AE AC AB ==⨯=；第二种情况：如图，ΔADE ~ΔACB则2·6 1.58AD AE AB AC ==⨯=故答案为8 1.53或．【点睛】本题考查三角形相似的判定，找出对应三角形相似的两种情况是解题关键．14.如图所示，在四边形ABCD 中，90B Ð=°，2AB =，8CD =．连接AC ，AC CD ⊥，若1sin 3ACB ∠=，则AD 长度是_________．【答案】10【分析】根据直角三角形的边角间关系，先计算AC ，再在直角三角形ACD 中，利用勾股定理即可求出AD ．【详解】解：在Rt ABC 中，∵12,sin 3AB AB ACB AC =∠==，∴1263AC =÷=．在Rt ADC 中，AD ==10=．故答案为：10．【点睛】本题考查了解直角三角形和勾股定理，利用直角三角形的边角间关系，求出AC 是解决本题的关键．15.如图，已知在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝2，D 是边AB 上的一点，∠ACD ＝∠B ，∠BAC 的平分线AQ 与CD 、BC 分别相交于点P 和点Q ，那么AP AQ的值等于_____．【答案】23【分析】先证△ABC ∽△ACD ，得到AB AC AC AD =，即322AD=，∠ACB =∠ADP ，则43AD =，再证△ADP ∽△ACQ ，即可得到23AP AD AQ AC ==．【详解】解：∵∠ACD =∠B ，∠CAD =∠BAC ，∴△ABC ∽△ACD ，∴AB AC AC AD =，即322AD =，∠ACB =∠ADP ∴43AD =，又∵AQ 平分∠BAC ，∴∠DAP =∠CAQ ，∴△ADP ∽△ACQ ，∴23AP AD AQ AC ==，故答案为：23．【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，角平分线的定义，熟知相似三角形的性质与判定条件是解题的关键．16.如图，已知AD 是△ABC 的中线，G 是△ABC 的重心，联结BG 并延长交边AC 于点E ，联结DE ，那么S △ABC ：S △GED 的值为____．【答案】12【分析】根据三角形重心的性质得到BE 、AD 为ABC 的中线，2=BG GE ，利用三角形面积公式得到3BDE GDE S S =△△，接着利用点D 为BC 的中点，得到6BCE GDE S S =△△，然后利用点E 是AC 的中点，得到12E BC GD A S S =△△，即可求解．【详解】解：∵G 是△ABC 的重心∴点D 为BC 的中点，点E 是AC 的中点∴BE 、AD 为ABC 的中线，DE 为中位线∴DE AD ∥，12DE AD =∴GDE GAB△∽△∴12GE DE GB AB ==∴2=BG GE ，即3BE GE=由三角形面积公式得到3BDE GDES S =△△∵点D 为BC 的中点∴26BCE BDE GDES S S ==△△△∵点E 是AC 的中点∴212BC A C DEB E G S S S ==△△△∴:12ABC GED S S =△△故答案为12【点睛】此题考查了三角形的重心，三角形的重心是三角形三边中线的交点，相似三角形的判定与性质，中位线的性质，以及三角形的面积公式，解题的关键是灵活运算三角形重心的性质．17.如图，在矩形ABCD 中，点E 、F 在AD 边上，BF 和CE 交于点G ，如果EF ＝12AD ，矩形的面积是S ，那么图中阴影部分的面积可以用S 表示为____．【答案】712S 【分析】过点G 作MN ⊥BC 于N ，延长线交AD 于M ，证明△EFG ∽△CBG ，得到1=2EF MG BC NG =，设AB=a ，BC=b ，得到12,33MG a NG a ==，利用图中阴影部分的面积=EFG BCG ABCD S S S -- 矩形计算即可．【详解】解：过点G 作MN ⊥BC 于N ，延长线交AD 于M ，∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC ，AD=BC ，∴MN ⊥AD ，∵AD ∥BC ，∴△EFG ∽△CBG ，∴1=2EF MG BC NG =，设AB=a ，BC=b ，∴12,33MG a NG a ==，∵111111,21212233EFGBCG S EF MG ab S S BC NG ab S =⋅===⋅== ，∴图中阴影部分的面积=11712312EFG BCG ABCD S S S S S S S --=--= 矩形，故答案为：712S ．【点睛】此题考查矩形的性质，相似三角形的判定及性质，熟记相似三角形的判定定理是解题的关键．18.如果四边形边上的点，它与对边两个端点的连线将这个四边形分成的三个三角形都相似，我们就把这个点叫做该四边形的“强相似点”．如图1，在四边形ABCD 中，点Q 在边AD 上，如果QAB 、QBC △和QDC 都相似，那么点Q 就是四边形ABCD 的“强相似点”；如图2，在四边形ABCD 中，AD BC //，2AB DC ==，8BC =，=60B ∠︒，如果点Q 是边AD 上的“强相似点”，那么AQ =___．【答案】33-【分析】过点A 作AE ∥CD ，交BC 于点E ，可证四边形ADCE 是平行四边形，由平行四边形的性质可得AD 的长，利用“强相似点”的定义可得△ABQ ∽△DQC ，则由相似三角形的性质可得AQ DC AB DQ=，再根据线段之间的数量关系建立关于AQ 的方程，求解后即可求出AQ 的长．【详解】解：如图，过点A 作AE ∥CD ，交BC 于点E ，∵在四边形ABCD 中，AD BC //，2AB DC ==，∴四边形ADCE 是平行四边形，∴AE ＝CD ＝AB ＝2，AD ＝CE ．∵=60B ∠︒，∴△ABE 是等边三角形．∴BE ＝AE ＝AB ＝2．∴AD ＝BC －BE ＝6．∵点Q 是边AD 上的“强相似点”，∴△ABQ ∽△DQC ．∴AQ DC AB DQ=．设AQ ＝x ，则DQ ＝6－x ，即226x x=-．解得13x =23x =-．故答案为：3+3．【点睛】本题考查了相似三角形的性质、平行四边形的判定与性质等知识，掌握平行四边形的判定与性质及相似三角形的性质并能灵活应用所学知识是解题的关键．三、解答题：（本大题共7题，满分78分19.计算：2cot 602cos30tan 602sin 30︒︒︒︒++．【答案】4333+【分析】根据特殊角的三角函数值求解即可．【详解】解：tan 60︒=3cot 603︒=，3cos302=°，1sin 302︒=2332cot 602cos3034332tan 6033312sin 303322︒︒︒︒+⨯++=+=++⨯【点睛】此题考查了特殊角的三角函数值，解题的关键是熟练掌握特殊角的三角函数值．20.如图，已知AB ∥EF ∥CD ，AD 与BC 相交于点O ．（1）如果CE ＝3，EB ＝9，DF ＝2，求AD 的长．（2）如果BO ：OE ：EC ＝2：4：3，AB ＝3，求CD 的长．【答案】（1）AD =8；（2）CD =212．【分析】（1）根据平行线分线段成比例、比例的基本性质求得AF =6，根据AD =AF +FD 求即可；（2）由BO ：OE ：EC =2：4：3，可得BO ：CO =2：7，根据AB ∥CD 得△ABO ∽△DCO ，则可得出AB :CD =BO :CO ，求出CD 的值．【详解】解：（1）∵AB ∥EF ∥CD ，∴EB EC =AF FD，又∵CE =3，EB=9，DF=2，∴93=2AF ，解得AF =6,∴AD =AF +FD =8.（2）∵BO ：OE ：EC =2：4：3，∴BO ：CO =2：7，∵AB ∥CD ，∴∠A =∠D ，∠B =∠C∴△ABO ∽△DCO ，∴AB CD =BO CO =27，又∵AB =3，∴CD =212．【点睛】本题考查平行线截线段成比例，三角形相似判定与性质，本题是基础题型，考生必会试卷，掌握平行线截线段成比例，三角形相似判定与性质是解题关键．21.如图，在ABC 中，点G 是ABC 的重心，联结AG ，联结BG 并延长交边AC 于点D ，过点G 作//GE BC 交边AC 于点E ．（1）如果AB a = ，AC b = ，用a 、b 表示向量BG ；（2）当AG BD ⊥，6BG =，45GAD ∠=︒时，求AE 的长．【答案】（1）2133BG a b =-+ ；（2）2AE =.【分析】（1）由G 是重心，可得12AD b →→=，23BG BD →→=，因为BD BA AD →→→=+，可得12BD a b →→→=-+，进而求出BG →；（2）根据G 是重心，求出DG =3，因为△AGD 是等腰直角三角形，勾股定理计算出AD =32，由AD =DC ，DC =3DE 求出DE 2【详解】解：（1）∵BD BA AD →→→=+，∵点G 是Rt △ABC 的重心，∴AD ＝12AC ，∵→→=AB a ，→→=AC b ，∴12AD a →→=，∴12BD a b →→→=-+∴221()332BG BD a b →→→→==-+，21+33BG a b →→→=-．（2）∵G 是三角形的重心，∴BG =2GD ，AD =DC ，∵BG =6，∴GD =3，∵AG BD ⊥，45GAD ︒∠=，∴AG =GD =3，∴22332AD =+=，∵//GE BC ，∴13DE GD DC BD ==，∴DE 2，∴AE=AD+DE=【点睛】本题考查了三角形的重心、平面向量、勾股定理以及平行线分线段成比例定理；熟练掌握三角形重心的性质以及平行线分线段成比例定理，能够熟练运用向量的运算、勾股定理解题是关键．22.如图，已知△ABC中，AB=BC=5，tan∠ABC=3 4．（1）求边AC的长；（2）设边BC的垂直平分线与边AB的交点为D，求ADDB的值．【答案】（1）AC；（2）35 AD BD=【分析】（1）过A作AE⊥BC，在直角三角形ABE中，利用锐角三角函数定义求出AC的长即可；（2）由DF垂直平分BC，求出BF的长，利用锐角三角函数定义求出DF的长，利用勾股定理求出BD的长，进而求出AD的长，即可求出所求．【详解】解：（1）如图，过点A作AE⊥BC，在Rt△ABE中，tan∠ABC=34AEBE=，AB=5，∴AE=3，BE=4，∴CE=BC﹣BE=5﹣4=1，在Rt△AEC中，根据勾股定理得：；（2）∵DF垂直平分BC，∴BD=CD，BF=CF=5 2，∵tan∠DBF=34 DFBF=，∴DF=15 8，在Rt△BFD中，根据勾股定理得：BD=25 8，∴AD=5﹣258=158，则35 ADBD=．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，正确添加辅助线、根据边角关系熟练应用三角函数进行解答是解题的关键.23.如图，在ABC 中，点D 、G 在边AC 上，点E 在边BC 上，DB DC EG AB =，∥，AE BD 、交于点F ，BF AG =．（1）求证：BFE CGE △∽△；（2）当AEG C ∠=∠时，求证：2AB AG AC =⋅．【答案】（1）见解析（2）见解析【分析】（1）由等边对等角，得DBC DCB ∠=∠，由平行，得CE CG BE AG =，进而CE CG BE BF=，于是BFE CGE △∽△；（2）由BFE CGE △∽△，得BEF GEC BFE EGC ∠=∠∠=∠，，可证得AEB EGC ∠=∠，进而证得BE BF EC GC ==，，于是BE AG =，可证BAE C ∠=∠，从而ABE CBA ∽△△，得2AB AC BE AC AG =⋅=⋅．【小问1详解】（1）∵DB DC =，∴DBC DCB ∠=∠，∵EG AB ∥，∴CE CG BE AG=，∵BF AG =，∴CE CG BE BF =，∴BFE CGE △∽△；【小问2详解】∵BFE CGE △∽△，∴BEF GEC BFE EGC ∠=∠∠=∠，，∵AEG C GEB AEG AEB C EGC ∠=∠∠=∠+∠=∠+∠，，∴AEB EGC ∠=∠，∴BEF GEC BFE EGC ∠=∠=∠=∠，∴BE BF EC GC ==，，∴BE AG =，∵GE AB ∥，∴AEG BAE ∠=∠，∴BAE C ∠=∠，又∵ABE ABC ∠=∠，∴ABE CBA ∽△△，∴AB BE AC AB=，∴2AB AC BE AC AG =⋅=⋅．【点睛】本题考查相似三角形判定和性质，平行线分线段成比例定理，平行线的性质；运用相似三角形得到比例线段是解题的关键．24.在平面直角坐标系xOy 中，已知B ，A 分别是y ＝﹣x +4与x 轴，y 轴的交点．（1）C 在线段AB 上，AC BC ＝13，求C 的坐标．（2）在第一问的条件下，求tan ∠AOC 的值．（3）若D 在直线AB 上，tan ∠BOD ＝13，求D 的坐标．【答案】（1）()1,3C ；（2）13；（3）()()3,1,6,2-【分析】（1）如图，过C 作CM OA ⊥于,M 则//,CM OB 证明,ACM ABO ∽可得,AC AM CM AB AO OB ==再求解,,,OA OB AB 从而可得答案；（2）如图，连接,OC 由（1）得：3,1,90,OM CM CMO ==∠=︒再直接利用正切的定义可得答案；（3）分两种情况讨论，如图，当D 在线段AB 上时，记为1D ，过1D 作1D K OB ⊥于,K 当D 在线段AB 的延长线上时，记为2,D 过2D 作2D P OB ⊥于,P 再利用等腰直角三角形的性质与正切的含义可得答案.【详解】解：（1）如图，过C 作CM OA ⊥于,M 则//,CM OB ,ACM ABO ∴ ∽,AC AM CM AB AO OB ∴== AC BC ＝13，1,4AC AB ∴=令0,x =则4,y =令0,y =则4,x =()()0,4,4,0,A B ∴4,OA OB ∴==1,444AC AM CM AB ∴===1,3,AM CM OM ∴===()1,3.C ∴（2）如图，连接,OC 由（1）得：3,1,90,OM CM CMO ==∠=︒1tan .3CM AOC OM ∴∠==（3）如图，当D 在线段AB 上时，记为1D ，过1D 作1D K OB ⊥于,K111tan ,3D K BOD KO ∠== 4,90,OA OB AOB ==∠=︒ 145,45,ABO BD K ∴∠=︒∠=︒∴11,3,D K BK OK ===()13,1,D ∴当D 在线段AB 的延长线上时，记为2,D 过2D 作2D P OB ⊥于,P 由245,ABO PBD ∠=∠=︒245,BD P ∴∠=︒2,BP PD ∴=221tan ,3D P BOD PO ∠== 2221,43PD PD OP PD ∴==+22,PD BP ∴==经检验：符合题意；6,OP ∴=()26,2.D -【点睛】本题考查的是一次函数与坐标轴的交点坐标，等腰直角三角形的性质与判定，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，灵活应用以上知识，有清晰的分类讨论是解题的关键.25.如图，在ABC 中，90ABC ∠=︒，3AB =，4BC =，过点A 作射线AM BC ∥，点D 、E 是射线AM 上的两点（点D 不与点A 重合，点E 在点D 右侧），联结BD 、BE 分别交边AC 于点F 、G ，DBE C ∠=∠．（1）当1AD =时，求FB 的长；（2）设AD x =，FG y =，求y 关于x 的函数关系式，并写出x 的取值范围；（3）联结DG 并延长交边BC 于点H ，如果DBH △是等腰三角形，请直接写出AD 的长．【答案】（14105（2）()243604520x y x x +=<<+（3）AD 的长是32或78或94．【分析】（1）利用勾股定理计算AC 和BD 的长，再证明ADF CBF ∽ ，列比例式可得BF 的长；（2）如图1，先证明ADF BGF ∽，得F G BF A DF F =，再证明ADF CBF ∽ ，得4DF AF AD x BF CF BC ===，分别表示DF ，AF 和BF 的长，代入比例式计算即可；根据DBE ∠无限接近DBC ∠时，AD 的值接近4，可得x 的取值；（3）分三种情况：①当BD DH =时，②当BD BH =时，③当BH DH =时，分别根据平行线分线段成比例定理列比例式，结合方程可解答．【小问1详解】解：∵AM BC ∥，180DAB ABC ∴∠+∠=︒，90ABC ∠=︒ ，90DAB ∴∠=︒，由勾股定理得：22221310BD AD AB =+=+=∵AM BC ∥，ADF CBF ∴△∽△，∴AD DF BC BF=，1AD = ，∴1104BF -=，4105BF ∴=；【小问2详解】解：如图1，∵AM BC ∥，C CAM ∴∠=∠，DBE C ∠=∠ ，DBE CAM ∴∠=∠，BFG AFD ∠=∠ ，ADF BGF ∴ ∽，∴F GBF A DF F =，AF FG BF DF ∴⋅=⋅，∵AM BC ∥，ADF CBF ∴△∽△，∴4DF AF AD x BF CF BC ===，∴4x x =+，4AF x AC x =+，DF ∴=54x AF x =+，同理得：4BF x =+，5444x y x x x ∴⋅=⋅+++，2436520x y x +∴=+；如图2，当点E 在直线BC 上时，DBC ACB ADB ∠=∠=∠，AB BA = ，ABC DAB ∠=∠，()AAS DAB CBA ∴≌△△，4AD BC ∴==，x ∴的取值范围是04x <<；【小问3详解】解：分三种情况：①当BD DH =时，如图3，过点D 作DP BC ⊥于P ，BD DH = ，BP PH AD x ∴===，42CH x ∴=-，DBP DHP ∠=∠，DBE GBH C CGH ∴∠+∠=∠+∠，CGH GBH ∴∠=∠，C C ∠=∠ ，CHG CGB ∴∽△△，∴CG CH BC CG=，24(42)CG x ∴=-，∵AD CH ∥，∴AD AG CH CG =，即AD CH AG CG CH CG ++=，∴42542x x x CG+-=-，5(42)4x CG x -∴=-，2225(42)4(42)(4)x x x -∴-=-，229180x x ∴+-=，132x ∴=，26x =-（舍)，32AD ∴=；②当BD BH =时，如图4，由勾股定理得：BD BH ==由（2）同理得：2204364(4)45(4)5x x CG CF FG x x +-=-=-=++，∵AD CH ∥，∴AD AG CH CG=，∴AD CH AG CG CH CG ++=54(4)5x =-，2(944(9)x x ∴+=+，解得：78x =，78AD ∴=；③当BH DH =时，如图5，过点D 作DK BC ⊥于K，设KH a =，BK AD x == ，DH BH x a ∴==+，在Rt DKH △中，由勾股定理得：222DK KH DH +=，2223()a a x ∴+=+，292x a x-∴=，229894422x x x CH BH x x x--+-∴=-=--=，∵AD CH ∥，∴AD AG CH CG =，∴AD CH AG CG CH CG ++=，即2289524(4)8952x x x x x x x x-+-+=--+-，∴228925894(4)x x x x x +-=-+-，2(9)(49)0x x ∴+-=，94x ∴=，94AD ∴=，综上，AD 的长是32或78或94．【点睛】本题属于三角形的综合题，考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质和判定等知识，解题的关键是学会利用分类讨论的思想解决问题，并与方程相结合，本题计算量大，属于中考压轴题．。
2019年上海市中学生业余数学学校招生预备试题
上海市中学生业余数学学校预备年级招生试题本卷满分100分（7′×4＋8′×4＋10′×4＝100′）1． 两个自然数的积是3322，那么这两个自然数的和最小是 .2． 两个完全相同的等腰直角三角形，左图中正方形的面积是2004平方厘米，那么右图中正方形的面积是 平方厘米.20043． 有六个正方体分成两组，甲组三个正方体棱长分别为3、7、8；乙组三个正方体棱长分别为4、5、9，试用“＜”或“＞”或“＝”号连接下面式子：(1) 甲组三个正方体的表面积的和 乙组三个正方体的表面积的和； (2) 甲组三个正方体的体积的和 乙组三个正方体的体积的和. 4． 如图，外侧大正方形的边长是10厘米，图中阴影部分的面积是27.5平方厘米，那么圆内的大正方形面积是小正方形面积的 倍.5． 对于自然数n ，符号n!表示n!＝1×2×3×…×n ，例如：3！＝1×2×3＝6,5！＝1×2×3×4×5＝120，如果20！＝2432902008y7664x000，那么x-y= . 6． 大小纸盒共30只，如果每个大盒放8个甜橙，每个小盒放6个甜橙，那么还剩34个，如果每个大盒放10个甜橙，每个小盒放7个甜橙，这样会多出2个小盒子，那么甜橙共有 个. 7． 数1337,1006和1981有某些共同点，即每一个都是以1带头的四位数，且每个数恰好有两个数字相同，那么这样的四位数共有 个.8． 有一个三位数能被9整除，去掉末位数字后所得到的两位数恰是7的倍数，这样的三位数中最大的是 .9． 如图，三个大小相同的正方形重叠地放在一个大的正方形ABCD 内，已知能看见的部分Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的面积分别是64平方厘米、38平方厘米、34平方厘米.那么正方形ABCD 的边长是 厘米.ⅢⅡⅠBD CA10.两个整数相加的和是两个数字相同的二位数aa ，并且它们的积是三个数字相同的三位数bbb ，写出所有满足条件的两个整数是 .11.如图，三角形ABC 被分成三角形BEF 和四边形AEFC 两部分，那么三角形BEF 面积和四边形AEFC 面积的比是 .5463BE CF A12.把1、2、3、…、10这十个数字分别填入下列十个空格内，每格一个数字，分别记为1210,,,a a a ，并且相邻三个数字的和不超过16，那么12345678910a a a a a a a a a a --+--+--+＝ .答案：1．1732．2254.53．(1) = (2) < 4．55．-16．2507．4328．9819．12.510. 37和18、74和311. 4:2312.13。
上海中学生业余数学学校历年初中招生试题汇编(含答案)
上海市中学生业余数学学校历年初中招生试题汇编（含参考答案）目录01．1987年初一年级招生试题 ------------------------------------ 03 02．1988年初一年级招生试题------------------------------------- 05 03．1989年初一年级招生试题------------------------------------- 07 04．1990年初一年级招生试题--------------------------------------09 05．1991年初一年级招生试题------------------------------------- 1106．1992年初一年级招生试题------------------------------------- 13 07．1993年初一年级招生试题------------------------------------- 15 08．1994年初一年级招生试题------------------------------------- 17 09．1995年初一年级招生试题------------------------------------- 19 10．1996年初一年级招生试题------------------------------------- 21 11．1997年初中预备年级招生试题--------------------------------- 23 12．1997年初一年级招生试题------------------------------------- 25 13．1998年初中预备年级招生试题--------------------------------- 2714．1998年初一年级招生试题------------------------------------- 29 15．1999年初中预备年级招生试题--------------------------------- 3116．2000年初中预备年级招生试题--------------------------------- 3317．2001年初中预备年级招生试题--------------------------------- 3518．2002年初中预备年级招生试题--------------------------------- 3719．2003年初中预备年级招生试题--------------------------------- 3920．2004年初中预备年级招生试题--------------------------------- 4121．2005年初中预备年级招生试题--------------------------------- 4322．2006年初中预备年级招生试题--------------------------------- 4523．2007年初中预备年级招生试题--------------------------------- 4724．2008年初中预备年级招生试题--------------------------------- 4925．参考答案---------------------------------------------------- 512005年上海市中学生业余数学学校预备年级招生试题本卷满分100分（7/×4+8/×4+10/×4 =100/）1、 在平面上画一个长方形能把平面分成两个部分，如果画三个长方形，那么最多能把平面分成部分。
2024年上海市田家炳中学特色课程班中考第十四次模拟数学试题
2024年上海市田家炳中学特色课程班中考第十四次模拟数学试题一、单选题1．北京冬奥会和冬残奥会赛会志愿者招募工作进展顺利，截止2020年底，赛会志愿者申请人数已突破960000人．将960000用科学记数法表示为（ ） A ．49610⨯B ．49.610⨯C ．59.610⨯D ．69.610⨯2．不等式组24010x x +>⎧⎨-≤⎩的解集在数轴上表示正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．3．“母亲节”前夕，某商店根据市场调查，用3000元购进一批盒装花，上市后很快售完，接着又用5000元购进第二批这种盒装花．已知第二批所购花的盒数是第一批所购花的盒数的2倍，且每盒花的进价比第一批的进价少5元．设第一批盒装花每盒x 元，可列方程为（ ） A ．3000500025x x =⨯+ B ．3000500025x x ⨯=+ C ．3000500025x x =⨯- D ．3000500025x x ⨯=- 4．如图，在矩形ABCD 中，12,9AB BC ==，顺次连结各边中点得到菱形1111D C B A ，再顺次连接菱形1111D C B A 各边中点，得到矩形2222A B C D ，再顺次连接矩形2222A B C D 各边中点，得到菱形33333,A B B C D ⋯，如此下去，四边形20242024202420242024A A B C D 的面积等于（ ）A ．2024272 B ．272023C ．2022272 D ．2720215．甲、乙两个质点分别在两个并排直轨道上运动，其速度随时间的变化规律分别如图中a 、b 所示，图线a 是直线，图线b 是抛物线，30t -时间内图线a 、b 与横轴围成的面积相等，抛物线顶点的横坐标为2t ，下列说法正确的是（ ）A ．30t -时间内甲、乙的位移大小不相等B ．20t -时间内甲、乙的位移大小之比为3:2C ．10t -时间内乙的平均速度大于甲的平均速度D ．20t -时间内甲的加速度一直小于乙的加速度6．对于整式222323521,,x x x x ++---+，在每个式子整体前添加“+”或“-”，先求和再求和的绝对值，称这种操作为“和绝对”操作，并将操作结果记为Q ，例如()()22232352168Q x x x x x =++---+-+=+，下列相关说法正确的个数是（ ）①至少存在一种“和绝对”操作，使得操作后的化简结果为常数；②若有一种“和绝对”操作Q 的化简结果为24x k -+（k 为常数），则1x ≤-或1x >； ③在所有的“和绝对”操作中，将每次操作化简结果的最小值记为M ，则M 的最大值为154． A ．0B ．1C ．2D ．3二、填空题7．计算)22= ．8．正十边形的中心角的余弦值为 9．若关于x 的分式方程4733m x x x-+=-- 有增根，则m 的值为 ． 10．从1~10个数字任抽取2个，乘积为奇数的概率为11．如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，AC 与BD 相交于点O ，如果32BC AD =::，那么ADC ABC S S :△△的值为____________．12．将两个完全相同的菱形按如图方式放置，点D 在边BF 上，BG 与CD 相交于点E ，若,BAD CBE αβ∠=∠=，则α，β的等量关系式为．13．如图，在Rt ACB V 中，90ACB ∠=︒，D ，E ，F 分别为AB ，AC ，AD 的中点，若14AB =，则EF =．14．如图1是一款可升降篮球架，支架AB ，CE ，GF 的长度固定，A ，D ，G 为立柱AH 上的点，AH ⊥地面，篮板BC ⊥地面，GF AH ⊥，0.6AD BC ==米， 2.3DH =米，若改变伸缩臂FF 的长度，则AB ，CD 可绕点A ，D 旋转来调整篮筐的高低．如图2，当60GDE ∠=︒时，可测得篮筐的固定点C 距离地面为2.9米，则支架CD 的长为米．降低篮筐高度如图3，连结BF 交CD 于点O ，BF 平分ABC ∠，2AB OB =，此时篮筐的固定点C 离地面的距离为米．15．如图，边长为6的正方形ABCD中，M为对角线BD上的一点，连接AM并延长交CD于点P．若PM PC=，则AM的长为．16．如图，在矩形ABCO的顶点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，D，E为BC的三等分点，作矩形BEFG使点G落在AB上，反比例函数kyx=（0x>）的图象同时经过点D，F．若矩形BEFG的面积为3，则k的值为．17．如图，点A，B，C在圆上，若弦AB则ACB∠的度数是．18．如图1两张等宽的矩形纸片，矩形纸片EFGH不动，将矩形纸片ABCD按如图2方式缠绕：先将点B与点重合，再依次沿FG、H对折，点A、C所在的相邻两边不重叠、无空隙，最后AD边刚好经过点G ．若8AD =，5EH =，则GD 长为三、解答题19．已知2360x x --=，先化简：2113x x x x+--+，再求它的值 20．若实数a b c ，，满足a b c b c a a c b c a b +-+-+-==，求()()()a b b c a c abc+⋅+⋅+的值．21．在如图所示的平面直角坐标系中，有一斜坡OA ，从点O 处抛出一个小球，落到点33,2A ⎛⎫⎪⎝⎭处．小球在空中所经过的路线是抛物线2y x bx =-+的一部分．(1)求抛物线的解析式； (2)求抛物线最高点的坐标；(3)斜坡上点B 处有一棵树，点B 是OA 的三等分点，小球恰好越过树的顶端C ，求这棵树的高度．22．某电子屏上下边缘距离为9cm ，点P 在电子屏上的运动路线如图中虚线所示，当运动至点M 时达到最高点，此时距左边缘2cm ，之后的运动时间为s t ，点P 是下落过程中某位置：水平方向继续以速度cm/s v 向右运动，竖直方向与电子屏上边缘距离为cm d ，d 由两部分组成：1d 为常数，2d 与t 的平方成正比，且有表格中的数据．(1)用含t 的代数式表示d ，直接写出最高点M 的坐标；(2)若2v =，用t （2t >）分别表示点P 的横坐标x 、纵坐标y ，求y 与x 之间的关系式； (3)甲、乙两点从左边缘不同位置出发，均能达到最高点M ，若乙点比甲先出发ms ，2v =甲，1v =乙，在两点下落过程中，若某时刻甲恰好处于乙正上方，且距离不小于1.2cm ，直接写出m 的最小值．23．在边长为10的菱形ABCD 中，对角线AC BD 、相交于点O . 过点O 作直线EF 分别交DA BC 、的延长线于点E F 、，连接BE DF 、.(1)判断四边形EBFD 的形状，并说明理由； (2)若EF CD ⊥于H ，求证：2OC CH BC =⋅ (3)若EF CD ⊥于H ，:1:4CH DH =，求OH 的长度.24．在Rt ABC △中，90BAC ∠=︒， 点P 在线段BC 上，12BPD ACB ∠=∠，PD 交BA 于点D ，过点B 作BE PD ⊥，垂足为E ，交CA 的延长线于点F ．(1)如果45ACB ∠=︒，①如图1当点P 与点C 重合时，求证： 12BE PD =； ②如图2，当点P 在线段BC 上，且不与点B 、点C 重合时，问： ①中的“12BE PD =”仍成立吗请说明你的理由；(2)如果45ACB ∠≠︒，如图11，已知·AB n AC = (n 为常数)，当点P 在线段BC 上，BE 且不与点B 、点C 重合时，请探究BEPD的值(用含n 的式子表示)，并写出你的探究过程． 25．已知，AB 为O e 的直径，BCD △内接于O e ，CD 交AB 于点E ，BC BE =．(1)设：tan ABD ∠为x ，cot ABC ∠为y ，求：y 关于x 的函数解析式及其定义域；(2)如图2，点F 在弧AC 上，连接AD ，AF ，DF ，45ADF ∠=︒，点G 在DF 上，连接BG ，若CDF ∠=ABG ∠，求：AFBG的值； (3)如图3，在（2）的条件下，点H 在弧AF 上，连接AH ，BH ，BH 分别交AF ，DF 于K ，Q 两点，AH HQ BK +=，若FQ OB =，11OE =，若DG 为OB 和m 的比例中项，求m 的值．。
年上海市中学生业余数学学校预备年级招生考试及参考答案
2010年上海市中学生业余数学学校预备年级招生考试2010年上海市中学生业余数学学校预备年级招生考试【第1题】若分数15的分子、分母各加X ，分数变成23，则X 的值是_______。
【分析与解】（方法一）()()125331257X X X X X +=++=+=即X 的值是7。
（方法二）约分之前，分母比分子大514-=；分数15的分子、分母各加X ，分数的分子为()43228÷-⨯=，分母为()432312÷-⨯=；即18512X X +=+； 故X 的值是7。
【第2题】数30可以写成三个不同正整数的平方和：22230125=++试将数42，46也写成三个不同正整数的平方和： 42_____________=；46_____________=。
【分析与解】211=，224=，239=，2416=，2525=，2636=； 先考虑最大的整数的平方；经尝试，22242145=++，22246136=++。
2010年上海市中学生业余数学学校预备年级招生考试【第3题】如图，'x ，'y ，'z 和x ，y ，z 分别是三角形的三个外角和三个内角，若':':'4:5:6x y z =，则::_______x y z =。
z' y'x'yx z【分析与解】因为':':'4:5:6x y z =；所以设'4x k = ，'5y k = ，'6z k = （0k ≠）；则()180'1804x x k =-=-，()180'1805y y k =-=-，()180'1806z z k =-=-； 三角形内角和等于180 ；()()()180418051806180k k k -+-+-=； 三角形外角和等于360 ；456360k k k ++=； 24k =；84x = ，60y = ，36z = ； ::84:60:367:5:3x y z == 。