陕西省西安市莲湖区2019年中考数学一模试卷解析版
陕西省西安市2019届九年级一模数学试卷【含答案及解析】
陕西省西安市2019届九年级一模数学试卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________一、单选题1. 的绝对值是（）．A. B. C. D.2. 下列几何体的三视图中，主视图是圆的是（）．A. ①B. ②C. ③D. ④3. 计算：的结果是（）．A. B. C. D.4. 如图，已知，，则的度数是（）．A. B. C. D.5. 在一次中学生田径运动会上，参加跳高的名运动员的成绩如表：6. 成绩（）人数td二、选择题7. 如图，的一条直角边在轴上，双曲线经过斜边中点，与另一直角边交于点，若，则的值为__________．三、单选题8. 在拼图游戏中，从图①中的四张纸片中，任取两张纸片，能拼成“小房子”（如图②）的概率等于（）．A. B. C. D.9. 如图，⊙的直径，弦，点在上，则的度数是（）．A. B. C. D.10. 如图，菱形的对角线的长分别为和，是对角线上任一点（点不与点、重合）且交于，交于，则阴影部分的面积是（）．A. B. C. D.11. 根据下表中的二次函数的自变量与函数的对应值，可判断该二次函数的图象与轴（）．12./res/CZSX/web/STSource/2018100207045737234713/SYS201810020705001908 525381_ST/SYS201810020705001908525381_ST.005.png" width="13" height="15"alt="" />…………td四、填空题13. 若，则化简________．14. A．如图，正六边形内接于圆，半径为，则这个正六边形的边心距和弧的长分别为________．B．用科学计算器计算：________（精确到）．15. 某商店换季促销，将一件标价为元的恤打折售出，获利，若设这件恤的成本为元，那么依题意可列方程是________________________．16. 在边长为的正方形中，点为边的中点，点为对角线上一动点，连接、，则周长的最小值为________（结果不取近似值）．五、解答题17. 计算：．18. 化简分式，并从，，，，中选一个能使分式有意义的数代入求值．19. 已知：如图，直线与直线相交于点，点是直线上一点．用尺规作出直线，使得．（保留作图痕迹，不写作法）20. 某校为了组织一项球类对抗赛，在本校随机检查了若干名学生，对他们每人最喜欢的一项球类运动进行了统计，并绘制成如图①、②所示的条形和扇形统计图．根据统计图中的信息，解答下列问题：（）求本次被调查的学生人数，并补全条形统计图．（）若全校有名学生，请你估计该校最喜欢篮球运动的学生人数．21. 如图，正方形，动点在上，，垂足为，．（）求证：．（）当点运动到中点时（其他条件都保持不变），问四边形是什么特殊四边形？说明理由．22. 如图，某地下车库的入口处有斜坡，它的坡度为，斜坡的长为米，车库的高度为（），为了让行车更安全，现将斜坡的坡角改造为（图中的）．（）求车库的高度．（）求点与点之间的距离（结果精确到米）．（参考数据：，，，）23. 某超市欲购进、两种品牌的水杯共个．已知两种水杯的进价和售价如下表所示．设购进种水杯个，且所购进的两种水杯能全部卖出，获得的总利润为元．24. 品牌进价（元/个）售价（元/个）td25. 如图，电路图上有、、、四个开关和一个小灯泡，闭合开关或同时闭合开关、、都可使小灯泡发光．（）任意闭合其中一个开关，则小灯泡发光的概率等于________．（）任意闭合其中两个开关，请用画树状图或列表的方法求出小灯泡发光的概率．26. 如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，∠BAC的平分线AD交⊙O于点D，过点D 垂直于AC的直线交AC的延长线于点E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）如图AD=5，AE=4，求⊙O的直径．27. 如图，已知抛物线的对称轴为直线，（），且经过、两点，与轴交于另一点，设是抛物线的对称轴上的一动点，且．（）求这条抛物线所对应的函数关系式．（）求点的坐标．（）探究坐标轴上是否存在点，使得、、为顶点的三角形与相似？若存在，请指出符合条件的点的位置，并直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．28. 问题：在平面直角坐标系中，一张矩形纸片按图所示放置．已知，，将这张纸片折叠，使点落在边上，记作点，折痕与边（含端点）．交于点，与边（含端点）或其延长线交于点．问题探究：（）如图，若点的坐标为，直接写出点的坐标________；（）将矩形沿直线折叠，求点的坐标；问题解决：（）将矩形沿直线折叠，点在边上（含端点），求的取值范围．参考答案及解析第1题【答案】第2题【答案】第3题【答案】第4题【答案】第5题【答案】第6题【答案】第7题【答案】第8题【答案】第9题【答案】第10题【答案】第11题【答案】第12题【答案】第13题【答案】第14题【答案】第15题【答案】第16题【答案】第17题【答案】第18题【答案】第19题【答案】第20题【答案】第21题【答案】第22题【答案】第23题【答案】第24题【答案】第25题【答案】。
【真卷】2019年陕西省西安市莲湖区中考数学一模试卷(有答案)
2019年陕西省西安市莲湖区中考数学一模试卷一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．若实数a、b互为相反数，则下列等式中成立的是（）A．a﹣b＝0B．a+b＝0C．ab＝1D．ab＝﹣12．下面图形中经过折叠可以围成一个棱柱的是（）A．B．C．D．3．把图中阴影部分的小正方形移动一个，使它与其余四个阴影部分的正方形组成一个既是轴对称又是中心对称的新图形，这样的移法，正确的是（）A．6→3B．7→16C．7→8D．6→154．已知点P（a，3+a）在第二象限，则a的取值范围是（）A．a＜0B．a＞﹣3C．﹣3＜a＜0D．a＜﹣35．已知正比例函数y＝（2t﹣1）x的图象上一点（x1，y1），且x1y1＜0，那么t的取值范围是（）A．t＜0.5B．t＞0.5C．t＜0.5或t＞0.5D．不确定6．如图，∠BCD＝90°，AB∥DE，则α与β一定满足的等式是（）A．α+β＝180°B．α+β＝90°C．β＝3αD．α﹣β＝90°7．观察图中正方形四个顶点所标的数字规律，可知数字28应标在（）A．第7个正方形的右下角B．第7个正方形的左下角C．第8个正方形左下角D．第8个正方形的右下角8．如图，△ABC内接于半径为5的⊙O，点B在⊙O上，且cos B＝，则下列量中，值会发生变化的量是（）A．∠B的度数B．BC的长C．AC的长D．的长9．如图，分别以直角三角形的三边为边长向外作等边三角形，面积分别记为S1、S2、S3，则S1、S2、S3之间的关系是（）A．S12+S22＝S32B．S1+S2＞S3C．S1+S2＜S3D．S1+S2＝S310．二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数且a≠0）中的x与y的部分对应值如下表，该抛物线的对称轴是直线（）x﹣1013y﹣1353 A．x＝0B．x＝1C．x＝1.5D．x＝2二．填空题（共4小题，满分12分，每小题3分）11．比较大小：﹣2﹣712．计算：90°23′﹣36°12′＝．13．如图，已知双曲线y＝（k＜0）经过直角三角形OAB斜边OA的中点D，且与直角边AB相交于点C．若点A的坐标为（﹣8，6），则△AOC的面积为．14．如图，在△ABC 中，AB＝4，AC＝3，以BC为边在三角形外作正方形BCDE，连接BD，CE交于点O，则线段AO的最大值为．三．解答题（共11小题，满分78分）15．计算：（1）（﹣）2+|1﹣|﹣（）﹣1（2）﹣+．16．先化简，再求值：（x﹣2+）÷，其中x＝﹣．17．在△ABC中，AB＝AC，求作一点P，使点P为△ABC的外接圆圆心．（保留作图痕迹，不写作法）18．某中学九（1）班同学积极响应“阳光体育工程”的号召，利用课外活动时间积极参加体育锻炼，每位同学从长跑、篮球、铅球、立定跳远中选一项进行训练，训练前后都进行了测试．现将项目选择情况及训练后篮球定时定点投篮测试成绩整理后作出如下统计图表．训练后篮球定时定点投篮测试进球数统计表进球数（个）876543人数214782请你根据图表中的信息回答下列问题：（1）训练后篮球定时定点投篮人均进球数为；（2）选择长跑训练的人数占全班人数的百分比是，该班共有同学人；（3）根据测试资料，训练后篮球定时定点投篮的人均进球数比训练之前人均进球数增加25%，请求出参加训练之前的人均进球数．19．如图，AD是△ABC的边BC的中线，E是AD的中点，过点A作AF∥BC，交BE的延长线于点F，连接CF，BF交AC于G．（1）若四边形ADCF是菱形，试证明△ABC是直角三角形；（2）求证：CG＝2AG．20．如图，“人字梯”放在水平地面上，梯子的两边相等（AB＝AC），当梯子的一边AB与梯子两底端的连线BC的夹角α为60°时，BC的长为2米，若将α调整为65°时，求梯子顶端A上升的高度．（参考数据：sin65°≈0.91，cos65°＝0.42，tan65°≈2.41，＝1.73，结果精确到0.1m）21．某学校计划组织全校1441名师生到相关部门规划的林区植树，经过研究，决定租用当地租车公司一共62辆A，B两种型号客车作为交通工具．下表是租车公司提供给学校有关两种型号客车的载客量和租金信息：型号载客量租金单价A30人/辆380元/辆B20人/辆280元/辆注：载客量指的是每辆客车最多可载该校师生的人数设学校租用A型号客车x辆，租车总费用为y元．（Ⅰ）求y与x的函数解析式，请直接写出x的取值范围；（Ⅱ）若要使租车总费用不超过21940元，一共有几种租车方案？哪种租车方案总费用最省？最省的总费用是多少？22．已知一个不透明的袋子中装有7个只有颜色不同的球，其中2个白球，5个红球．（1）求从袋中随机摸出一个球是红球的概率．（2）从袋中随机摸出一个球，记录颜色后放回，摇匀，再随机摸出一个球，求两次摸出的球恰好颜色不同的概率．（3）若从袋中取出若干个红球，换成相同数量的黄球．搅拌均匀后，使得随机从袋中摸出两个球，颜色是一白一黄的概率为，求袋中有几个红球被换成了黄球．23．如图，在⊙O中，直径CD垂直于不过圆心O的弦AB，垂足为点N，连接AC，BC，点E在AB上，且AE＝CE．（1）求证：∠ABC＝∠ACE；（2）过点B作⊙O的切线交EC的延长线于点P，证明PB＝PE；（3）在第（2）问的基础上，设⊙O半径为2，若点N为OC中点，点Q在⊙O上，求线段PQ的最大值．24．已知二次函数y＝ax2+bx+c，y与x的一些对应值如下表：x…﹣101234…y＝ax2+bx+c…830﹣103…（1）根据表中数据，求二次函数解析式；（2）结合表格分析，当1＜x≤4时，y的取值范围是．25．如图，在平面直角坐标系中，A（0，4），B（3，4），P为线段OA上一动点，过O，P，B三点的圆交x轴正半轴于点C，连结AB，PC，BC，设OP＝m．（1）求证：当P与A重合时，四边形POCB是矩形．（2）连结PB，求tan∠BPC的值．（3）记该圆的圆心为M，连结OM，BM，当四边形POMB中有一组对边平行时，求所有满足条件的m的值．（4）作点O关于PC的对称点O'，在点P的整个运动过程中，当点O'落在△APB的内部（含边界）时，请写出m的取值范围．2019年陕西省西安市莲湖区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．【分析】根据只有符号不同的两数叫做互为相反数解答．【解答】解：∵实数a、b互为相反数，∴a+b＝0．故选：B．【点评】本题考查了相反数的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键．2．【分析】利用棱柱的展开图中两底面的位置对B、D进行判断；根据侧面的个数与底面多边形的边数相同对A、C进行判断．【解答】解：棱柱的两个底面展开后在侧面展开图相对的两边上，所以B、D选项错误；当底面为三角形时，则棱柱有三个侧面，所以C选项错误，A选项正确．故选：A．【点评】本题考查了展开图折叠成几何体：通过结合立体图形与平面图形的相互转化，去理解和掌握几何体的展开图，要注意多从实物出发，然后再从给定的图形中辨认它们能否折叠成给定的立体图形．3．【分析】直接利用轴对称图形以及中心对称图形的性质分别分析得出答案．【解答】解：阴影部分的小正方形6→15，能使它与其余四个阴影部分的正方形组成一个既是轴对称又是中心对称的新图形．故选：D．【点评】此题主要考查了中心对称图形以及轴对称图形，正确把握相关定义是解题关键．4．【分析】根据第二象限内点的横坐标是负数，纵坐标是正数列出不等式组求解即可．【解答】解：∵点P（a，3+a）在第二象限，∴，解得﹣3＜a＜0．故选：C．【点评】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征以及解不等式，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．5．【分析】根据正比例函数图象的性质可得出答案．【解答】解：因为x1y1＜0，所以该点的横、纵坐标异号，即图象经过二、四象限，则2t﹣1＜0，t＜．故选：A．【点评】本题考查正比例函数的性质，解题的关键是掌握正比例函数图象的性质：当k＞0时，图象经过一、三象限，y随x的增大而增大；当k＜0时，y随x的增大而减小．能够根据实数的运算法则，判断字母的符号．6．【分析】过C作CF∥AB，根据平行线的性质得到∠1＝∠β，∠2＝180°﹣∠α，于是得到结论．【解答】解：过C作CF∥AB，∵AB∥DE，∴AB∥DE∥CF，∴∠1＝∠β，∠α＝180°﹣∠2，∴∠α﹣∠β＝180°﹣∠2﹣∠1＝180°﹣∠BCD＝90°，故选：D．【点评】本题考查了平行线的性质，熟记平行线的性质是解题的关键．7．【分析】根据所标数字是从0开始，每4个数为一周期循环求解可得．【解答】解：由已知图形知，所标数字是从0开始，每4个数为一周期循环，则（28+1）÷4＝7…1，∴数字28表在第8个正方形的右下角，故选：D．【点评】本题考查了规律型：图形的变化类：通过从一些特殊的图形变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况．8．【分析】连接AO并延长交⊙O于B′，连接B′C，OC，根据已知条件得到∠B的度数一定；解直角三角形得到AC＝10•sin B，故AC的长一定；根据弧长公式得到的长度＝一定；于是得到结论．【解答】解：连接AO并延长交⊙O于B′，连接B′C，OC，∴∠ACB′＝90°，∵cos B＝，∴∠B的度数一定；∴AC＝10•sin B，故AC的长一定；∵∠AOC＝2∠B，∴的长度＝一定；故BC的长会发生变化，故选：B．【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．9．【分析】根据等边三角形的性质，知等边三角形的面积等于其边长的平方的倍，结合勾股定理，知以直角三角形的两条直角边为边长的等边三角形的面积和等于以斜边为边长的等边三角形的面积．【解答】解：设直角三角形的三边从小到大是a，b，c．则S1＝b2，S2＝a2，S3＝c2．又a2+b2＝c2，则S1+S2＝S3．故选：D．【点评】本题主要考查勾股定理，解题的关键是掌握勾股定理和等边三角形的面积公式．10．【分析】利用二次函数的对称性，结合对应点坐标变化得出其对称轴即可．【解答】解：由表知当x＝0和x＝3时，y＝3，∴该抛物线的对称轴是直线x＝，即x＝1.5，故选：C．【点评】本题考查二次函数的性质，解题的关键是熟练运用二次函数的对称性，本题属于基础题型．二．填空题（共4小题，满分12分，每小题3分）11．【分析】正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值（或平方）大的反而小，据此判断即可．【解答】解：＝20，（﹣7）2＝49，∵20＜49，∴﹣2＞﹣7故答案为：＞．【点评】此题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：正实数＞0＞负实数，两个负实数绝对值大的反而小．12．【分析】1度＝60分，即1°＝60′，1分＝60秒，即1′＝60″，依据度分秒的换算即可得到结果．【解答】解：90°23′﹣36°12′＝54°11′，故答案为：54°11′【点评】本题主要考查了度分秒的换算，在进行度、分、秒的运算时也应注意借位和进位的方法．13．【分析】由点D为线段OA的中点可得出D点的坐标，将点D的坐标代入双曲线解析式中解出k值，即可得出双曲线的解析式，再令x＝﹣8可得点C的坐标，根据边与边的关系结合三角形的面积公式即可得出结论．【解答】解：∵点D为线段OA的中点，且点A的坐标为（﹣8，6），∴点D的坐标为（﹣4，3）．将点D（﹣4，3）代入到y＝中得：3＝，解得：k＝﹣12．∴双曲线的解析式为y＝﹣．令x＝﹣8，则有y＝﹣＝，即点C的坐标为（﹣8，）．∵AB⊥BO，∴点B（﹣8，0），AC＝6﹣＝，OB＝0﹣（﹣8）＝8，∴△AOC的面积S＝AC•OB＝××8＝18．故答案为：18．【点评】本题考查了反比例函数系数k的几何意义、中点坐标公式以及三角形的面积公式，解题的关键是找出点C、D的坐标．解决该题型题目时，求出点的坐标由待定系数法求出反比例函数解析式是关键．14．【分析】以AO为边作等腰直角△AOF，且∠AOF＝90°，由题意可证△AOB≌△FOC，可得AB＝CF ＝4，根据三角形的三边关系可求AF的最大值，即可得AO的最大值．【解答】解：如图：以AO为边作等腰直角△AOF，且∠AOF＝90°∵四边形BCDE是正方形∴BO＝CO，∠BOC＝90°∵△AOF是等腰直角三角形∴AO＝FO，AF＝AO∵∠BOC＝∠AOF＝90°∴∠AOB＝∠COF，且BO＝CO，AO＝FO∴△AOB≌△FOC（SAS）∴AB＝CF＝4若点A，点C，点F三点不共线时，AF＜AC+CF；若点A，点C，点F三点共线时，AF＝AC+CF∴AF≤AC+CF＝3+4＝7∴AF的最大值为7∵AF＝AO∴AO的最大值为．故答案为：【点评】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，以及三角形的三边关系，恰当添加辅助线构造全等三角形是本题的关键．三．解答题（共11小题，满分78分）15．【分析】（1）直接利用绝对值的性质以及负指数幂的性质分别化简得出答案；（2）直接利用二次根式的性质以及立方根的性质分别化简得出答案．【解答】解：（1）原式＝2+﹣1﹣2＝﹣1；（2）原式＝6﹣3+2＝5．【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．16．【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x的值代入计算可得．【解答】解：原式＝（+）•＝•＝2（x+2）＝2x+4，当x＝﹣时，原式＝2×（﹣）+4＝﹣1+4＝3．【点评】本题主要考查分式的化简求值，在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．17．【分析】分别作BC和AC的垂直平分线，它们的交点P即为△ABC的外接圆圆心．【解答】解：如图，点P为所作．【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．18．【分析】（1）根据加权平均数的求解方法列式进行计算即可得解；（2）根据各部分的百分比总和为1，列式进行计算即可求解，用篮球的总人数除以所占的百分比进行计算即可；（3）设训练前人均进球数为x，然后根据等式为：训练前的进球数×（1+25%）＝训练后的进球数，列方程求解即可．【解答】解：（1）＝＝＝5；（2）1﹣60%﹣10%﹣20%＝10%，（2+1+4+7+8+2）÷60%＝24÷60%＝40人；（3）设参加训练前的人均进球数为x个，则x（1+25%）＝5，解得x＝4，即参加训练之前的人均进球数是4个．【点评】本题考查扇形统计图及相关计算．在扇形统计图中，各部分占所占的百分比总和等于1．19．【分析】（1）由菱形定义及AD是△ABC的中线知AD＝DC＝BD，从而得∠DBA＝∠DAB、∠DAC＝∠DCA，根据∠DBA+∠DAC+∠DAB+∠DCA＝180°可得答案．（2）作DM∥EG交AC于点M，分别证DM是△BCG的中位线和EG是△ADM的中位线得AG＝GM＝CM，从而得出答案．【解答】解：（1）∵四边形ADCF是菱形，AD是△ABC的中线，∴AD＝DC＝BD，∴∠DBA＝∠DAB、∠DAC＝∠DCA，∵∠DBA+∠DAC+∠DAB+∠DCA＝180°，∴∠BAC＝∠BAD+∠DAC＝90°，∴△ABC是直角三角形；（2）过点D作DM∥EG交AC于点M，∵AD是△ABC的边BC的中线，∴BD＝DC，∵DM∥EG，∴DM是△BCG的中位线，∴M是CG的中点，∴CM＝MG，∵DM∥EG，E是AD的中点，∴EG是△ADM的中位线，∴G是AM的中点，∴AG＝MG，∴CG＝2AG．【点评】本题主要考查菱形的性质，解题的关键是掌握菱形的性质、直角三角形的性质、三角形中位线定理等知识点．20．【分析】先由等腰三角形的一个60°的角，确定梯子AB的长，在直角三角形ABD和A1B1D1中，利用锐角三角函数计算AD、A1D11的长，求差得结论．【解答】解：如图1，由题意可得：∠B＝∠C＝60°，则△ABC是等边三角形，∴BC＝AB＝AC＝2m，在Rt△ABD中，AD＝2sin60°＝＝≈1.73m；如图2，由题意可得：∠B1＝∠C1＝65°，A1B1＝AB＝2m，在Rt△A1B1D1中，A1D1＝2sin65°≈2×0.91＝1.82m；∴A1D1﹣AD＝1.82﹣1.73＝0.09≈0.1（m）答：梯子顶端A上升的高度约为0.1m．【点评】本题考查了解直角三角形的应用．掌握直角三角形的边角间关系是解决本题的关键．21．【分析】（Ⅰ）根据租车总费用＝A、B两种车的费用之和，列出函数关系式即可；（Ⅱ）列出不等式，求出自变量x的取值范围，利用函数的性质即可解决问题．【解答】解：（Ⅰ）由题意：y＝380x+280（62﹣x）＝100x+17360．∵30x+20（62﹣x）≥1441，∴x≥20.1，又∵x为整数，∴x的取值范围为21≤x≤62的整数；（Ⅱ）由题意100x+17360≤21940，∴x≤45.8，∴21≤x≤45，∴共有25种租车方案，x＝21时，y有最小值＝19460元．即租21辆A型号客车时总费用最省，最省的总费用是19460元．【点评】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用等知识，解题的关键是理解题意，学会利用函数的性质解决最值问题．22．【分析】（1）直接利用概率公式计算可得；（2）先列表得出所有等可能结果，再从中找到符合条件的结果数，继而利用概率公式求解可得；（3）设有x个红球被换成了黄球，根据颜色是一白一黄的概率为列出关于x的方程，解之可得．【解答】解：（1）∵袋中共有7个小球，其中红球有5个，∴从袋中随机摸出一个球是红球的概率为；（2）列表如下：白白红红红红红白（白，白）（白，白）（白，红）（白，红）（白，红）（白，红）（白，红）白（白，白）（白，白）（白，红）（白，红）（白，红）（白，红）（白，红）红（白，红）（白，红）（红，红）（红，红）（红，红）（红，红）（红，红）红（白，红）（白，红）（红，红）（红，红）（红，红）（红，红）（红，红）红（白，红）（白，红）（红，红）（红，红）（红，红）（红，红）（红，红）红（白，红）（白，红）（红，红）（红，红）（红，红）（红，红）（红，红）红（白，红）（白，红）（红，红）（红，红）（红，红）（红，红）（红，红）由表知共有49种等可能结果，其中两次摸出的球恰好颜色不同的有20种结果，∴两次摸出的球恰好颜色不同的概率为；（3）设有x个红球被换成了黄球．根据题意，得：，解得：x＝3，即袋中有3个红球被换成了黄球．【点评】此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．23．【分析】（1）因为直径CD垂直于不过圆心O的弦AB，垂足为点N，所以，所以∠CAE＝∠ABC，因为AE＝CE，所以∠CAE＝∠ACE，所以∠ABC＝∠ACE；（2）连接OB，设∠CAE＝∠ACE＝∠ABC＝x，通过计算可得∠PEB＝∠PBE＝2x，所以PB＝PE；（3）连接OP，证明△OBC和△PBE为等边三角形，因为⊙O半径为2，可得BN＝3，NE＝1，即PB ＝BE＝4，在Rt△PBO中求得PO的长，即可得出PQ的最大值．【解答】解：（1）证明：∵直径CD垂直于不过圆心O的弦AB，垂足为点N，∴，∴∠CAE＝∠ABC，∵AE＝CE，∴∠CAE＝∠ACE，∴∠ABC＝∠ACE；（2）如图，连接OB，∵过点B作⊙O的切线交EC的延长线于点P，∴∠OBP＝90°，设∠CAE＝∠ACE＝∠ABC＝x，则∠PEB＝2x，∵OB＝OC，AB⊥CD，∴∠OBC＝∠OCB＝90°﹣x，∴∠BOC＝180°﹣2（90°﹣x）＝2x，∴∠OBE＝90°﹣2x，∴∠PBE＝90°﹣（90°﹣2x）＝2x，∴∠PEB＝∠PBE，∴PB＝PE；（3）如图，连接OP，∵点N为OC中点，AB⊥CD，∴AB是CD的垂直平分线，∴BC＝OB＝OC，∴△OBC为等边三角形，∵⊙O半径为2，∴CN＝，∵∠CAE＝∠ACE＝∠BOC＝30°，∴∠CEN＝60°，∠PBE＝2∠CAB＝60°，∴△PBE为等边三角形，BN＝3，NE＝1，∴PB＝BE＝BN+NE＝3+1＝4，∴PO＝，∴PQ的最大值为PO+＝．【点评】本题考查圆的切线的性质，等边三角形的判定和性质，圆周角定理，勾股定理．解题的关键是掌握圆的切线的性质．24．【分析】（1）利用表中对应值，可设交点式y＝a（x﹣1）（x﹣3），然后把（0，3）代入求出a即可得到抛物线的解析式；（2）利用y＝（x﹣2）2﹣1得到抛物线的对称轴为直线x＝2，顶点坐标为（0，1），即x＝2时，函数有最小值﹣1，从而得到当1＜x≤4时所对应的函数值的范围．【解答】解：（1）抛物线过点（1，0），（3，0），（0，3），设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）（x﹣3），把（0，3）代入得a•（﹣1）•（﹣3）＝3，解得a＝1，所以抛物线的解析式为y＝（x﹣1）（x﹣3），即y＝x2﹣4x+3；（2）y＝（x﹣2）2﹣1，则抛物线的对称轴为直线x＝2，顶点坐标为（0，1），所以当1＜x≤4时，﹣1≤y≤3，故答案为：﹣1≤y≤3．【点评】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．25．【分析】（1）由∠POC＝90°可知PC为直径，所以∠PBC＝90°，P、A重合时得3个直角，即证四边形POCB为矩形．（2）题干已知的边长只有OA、AB，所以要把∠BPC转化到与OA、OB有关的三角形内．连接O，B据圆周角定理，得∠COB＝∠BPC，又AB∥OC有∠ABP＝∠COB，得∠BPC＝∠ABP．（3）分两种情况：①OP∥BM即BM⊥x轴，延长BM交x轴于N，根据垂径定理得ON＝CN＝3，设半径为r，利用Rt△CMN的三边关系列方程即求出；②OM∥PB，根据圆周角定理和等腰三角形性质得到△BOM ≌△COM，所以BO＝CO＝5，用m表达各条线段，再利用勾股定理为等量关系列方程求得m．（4）因为点O与点O'关于直线对称，所以∠PO'C＝∠POC＝90°，即点O'在圆上；考虑点P运动到特殊位置：①点O'与点O重合；②点O'落在AB上；③点O'与点B重合．算出对应的m值再考虑范围．【解答】解：（1）∵∠COA＝90°∴PC是直径，∴∠PBC＝90°∵A（0，4）B（3，4）∴AB⊥y轴∴当A与P重合时，∠OPB＝90°∴四边形POCB是矩形（2）连结OB，（如图1）∴∠BPC＝∠BOC∵AB∥OC∴∠ABO＝∠BOC∴∠BPC＝∠BOC＝∠ABO∴tan∠BPC＝tan∠ABO＝（3）∵PC为直径∴M为PC中点①如图2，当OP∥BM时，延长BM交x轴于点N ∵OP∥BM∴BN⊥OC于N∴ON＝NC，四边形OABN是矩形∴NC＝ON＝AB＝3，BN＝OA＝4设⊙M半径为r，则BM＝CM＝PM＝r∴MN＝BN﹣BM＝4﹣r∵MN2+NC2＝CM2∴（4﹣r）2+32＝r2解得：r＝∴MN＝4﹣∵M、N分别为PC、OC中点∴m＝OP＝2MN＝②如图3，当OM∥PB时，∠BOM＝∠PBO∵∠PBO＝∠PCO，∠PCO＝∠MOC∴∠OBM＝∠BOM＝∠MOC＝∠MCO在△BOM与△COM中∴△BOM≌△COM（AAS）∴OC＝OB＝＝5∵AP＝4﹣m∴BP2＝AP2+AB2＝（4﹣m）2+32∵∠ABO＝∠BOC＝∠BPC，∠BAO＝∠PBC＝90°∴△ABO∽△BPC∴∴PC＝∴PC2＝BP2＝[（4﹣m）2+32]又PC2＝OP2+OC2＝m2+52∴[（4﹣m）2+32]＝m2+52解得：m＝或m＝10（舍去）综上所述，m＝或m＝（4）∵点O与点O'关于直线对称∴∠PO'C＝∠POC＝90°，即点O'在圆上当O'与O重合时，得m＝0当O'落在AB上时，得m＝当O'与点B重合时，得m＝∴0≤m≤或m＝【点评】本题考查了圆周角定理（同弧所对的圆周角相等），矩形的判定，勾股定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解题涉及方程思想和分类讨论．第（2）题关键是把∠BPC进行转换；第（3）题分类讨论，设某个量为未知数，再利用勾股定理列方程来解，这是圆中已知弦长（或弦心距）求半径时常用做法；第（4）题可先把点O'到达△APB各边上为特殊位置求出m，再讨论m的范围．。
2019-2020西安市中考数学一模试题(附答案)
2019-2020西安市中考数学一模试题(附答案)一、选择题1．下列命题正确的是（ ）A ．有一个角是直角的平行四边形是矩形B ．四条边相等的四边形是矩形C ．有一组邻边相等的平行四边形是矩形D ．对角线相等的四边形是矩形 2．在同一坐标系内，一次函数y ax b =+与二次函数2y ax 8x b =++的图象可能是 A ． B ．C ．D ． 3．下表是某学习小组一次数学测验的成绩统计表： 分数/分70 80 90 100 人数/人 1 3 x1已知该小组本次数学测验的平均分是85分，则测验成绩的众数是（ ）A ．80分B ．85分C ．90分D ．80分和90分 4．已知11(1)11A x x ÷+=-+，则A ＝( ) A ．21x x x -+ B ．21x x - C ．211x - D ．x 2﹣15．如图，在⊙O 中，AE 是直径，半径OC 垂直于弦AB 于D ，连接BE ，若AB=27，CD=1，则BE 的长是( )A ．5B ．6C ．7D ．86．将一个矩形纸片按如图所示折叠，若∠1=40°，则∠2的度数是（ ）A．40°B．50°C．60°D．70°7．如图，点A，B在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，点C，D在反比例函数y＝（k ＞0）的图象上，AC∥BD∥y轴，已知点A，B的横坐标分别为1；2，△OAC与△CBD的面积之和为，则k的值为（）A．2B．3C．4D．8．某校男子足球队的年龄分布如图所示，则根据图中信息可知这些队员年龄的平均数，中位数分别是（）A．15.5，15.5B．15.5，15C．15，15.5D．15，159．下列所给的汽车标志图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．10．若一元二次方程x2﹣2kx+k2＝0的一根为x＝﹣1，则k的值为（）A．﹣1B．0C．1或﹣1D．2或011．把一副三角板如图（1）放置，其中∠ACB＝∠DEC＝90°，∠A＝45°，∠D＝30°，斜边AB＝4，CD＝5．把三角板DCE绕着点C顺时针旋转15°得到△D1CE1（如图2），此时AB 与CD 1交于点O ，则线段AD 1的长度为（ ）A ．13B ．5C ．22D ．412．下列由阴影构成的图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题13．色盲是伴X 染色体隐性先天遗传病，患者中男性远多于女性，从男性体检信息库中随机抽取体检表，统计结果如表：抽取的体检表数n50 100 200 400 500 800 1000 1200 1500 2000 色盲患者的频数m3 7 13 29 37 55 69 85 105 138 色盲患者的频率m/n 0.060 0.070 0.065 0.073 0.074 0.069 0.069 0.071 0.070 0.069根据表中数据，估计在男性中，男性患色盲的概率为______（结果精确到0.01）．14．一列数123,,,a a a ……n a ，其中1231211111,,,,111n n a a a a a a a -=-===---，则1232014a a a a ++++=__________. 15．不等式组0125x a x x ->⎧⎨->-⎩有3个整数解，则a 的取值范围是_____． 16．在学习解直角三角形以后，某兴趣小组测量了旗杆的高度．如图，某一时刻，旗杆AB 的影子一部分落在水平地面L 的影长BC 为5米，落在斜坡上的部分影长CD 为4米．测得斜CD 的坡度i ＝1：．太阳光线与斜坡的夹角∠ADC ＝80°，则旗杆AB 的高度_____．（精确到0.1米）（参考数据：sin50°＝0.8，tan50°＝1.2，＝1.732）17．若a ，b 互为相反数，则22a b ab +=________.18．在Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=6，BC=8，点E 是BC 边上的动点，连接AE ，过点E 作AE 的垂线交AB 边于点F ，则AF 的最小值为_______19．如图，矩形ABCD 中，AB=3，BC=4，点E 是BC 边上一点，连接AE ，把∠B 沿AE 折叠，使点B 落在点处，当△为直角三角形时，BE 的长为 .20．已知M 、N 两点关于y 轴对称，且点M 在双曲线12y x=上，点N 在直线y=﹣x+3上，设点M 坐标为（a ，b ），则y=﹣abx 2+（a+b ）x 的顶点坐标为 ． 三、解答题21．已知：如图，在ABC 中，AB AC =，AD BC ⊥，AN 为ABC 外角CAM ∠的平分线，CE AN ⊥．（1）求证：四边形ADCE 为矩形；（2）当AD 与BC 满足什么数量关系时，四边形ADCE 是正方形？并给予证明22．已知点A 在x 轴负半轴上，点B 在y 轴正半轴上，线段OB 的长是方程x 2﹣2x ﹣8=0的解，tan ∠BAO=12． （1）求点A 的坐标；（2）点E 在y 轴负半轴上，直线EC ⊥AB ，交线段AB 于点C ，交x 轴于点D ，S△DOE=16．若反比例函数y=kx的图象经过点C，求k的值；（3）在（2）条件下，点M是DO中点，点N，P，Q在直线BD或y轴上，是否存在点P，使四边形MNPQ是矩形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．23．直线AB交⊙O于C、D两点，CE是⊙O的直径，CF平分∠ACE交⊙O于点F，连接EF，过点F作FG∥ED交AB于点G．（1）求证：直线FG是⊙O的切线；（2）若FG＝4，⊙O的半径为5，求四边形FGDE的面积．24．先化简(31a+－a＋1)÷2441a aa-++，并从0，－1，2中选一个合适的数作为a的值代入求值．25．某校在宣传“民族团结”活动中，采用四种宣传形式：A．器乐，B．舞蹈，C．朗诵，D．唱歌．每名学生从中选择并且只能选择一种最喜欢的，学校就宣传形式对学生进行了抽样调查，并将调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图．请结合图中所给信息，解答下列问题：（1）本次调查的学生共有人；（2）补全条形统计图；（3）该校共有1200名学生，请估计选择“唱歌”的学生有多少人？（4）七年一班在最喜欢“器乐”的学生中，有甲、乙、丙、丁四位同学表现优秀，现从这四位同学中随机选出两名同学参加学校的器乐队，请用列表或画树状图法求被选取的两人恰好是甲和乙的概率．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A解析：A【解析】【分析】运用矩形的判定定理，即可快速确定答案.【详解】解：A.有一个角为直角的平行四边形是矩形满足判定条件；B四条边都相等的四边形是菱形，故B错误；C有一组邻边相等的平行四边形是菱形，故C错误;对角线相等且相互平分的四边形是矩形，则D错误；因此答案为A.【点睛】本题考查了矩形的判定，矩形的判定方法有：1.有三个角是直角的四边形是矩形；2.对角线互相平分且相等的四边形是矩形；3.有一个角为直角的平行四边形是矩形；4.对角线相等的平行四边形是矩形.2．C解析：C【解析】【分析】x=0，求出两个函数图象在y轴上相交于同一点，再根据抛物线开口方向向上确定出a＞0，然后确定出一次函数图象经过第一三象限，从而得解．【详解】x=0时，两个函数的函数值y=b，所以，两个函数图象与y轴相交于同一点，故B、D选项错误；由A、C选项可知，抛物线开口方向向上，所以，a＞0，所以，一次函数y=ax+b经过第一三象限，所以，A选项错误，C选项正确．故选C．3．D解析：D【解析】【分析】先通过加权平均数求出x 的值，再根据众数的定义就可以求解．【详解】解：根据题意得：70+80×3+90x+100=85（1+3+x+1）， x=3∴该组数据的众数是80分或90分．故选D ．【点睛】本题考查了加权平均数的计算和列方程解决问题的能力，解题的关键是利用加权平均数列出方程．通过列方程求出x 是解答问题的关键．4．B解析：B【解析】【分析】由题意可知A=111)11x x ++-（，再将括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，再用分式的乘法法则计算即可得到结果．【详解】 解：A=11111x x ++-=111x x x +-=21x x - 故选B.【点睛】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 5．B解析：B【解析】【分析】根据垂径定理求出AD,根据勾股定理列式求出半径 ，根据三角形中位线定理计算即可．【详解】解：∵半径OC 垂直于弦AB ，∴AD=DB=12在Rt △AOD 中，OA 2=(OC-CD)2+AD 2,即OA 2=(OA-1)2 )2，解得，OA=4∴OD=OC-CD=3，∵AO=OE,AD=DB,∴BE=2OD=6故选B【点睛】本题考查的是垂径定理、勾股定理，掌握垂直于弦的直径平分这条弦是解题的关键6．D解析：D【解析】【分析】根据折叠的知识和直线平行判定即可解答.【详解】解：如图可知折叠后的图案∠ABC=∠EBC，又因为矩形对边平行，根据直线平行内错角相等可得∠2=∠DBC，又因为∠2+∠ABC=180°，所以∠EBC+∠2=180°，即∠DBC+∠2=2∠2=180°-∠1=140°.可求出∠2=70°.【点睛】掌握折叠图形的过程中有些角度是对称相等的是解答本题的关键.7．C解析：C【解析】【分析】由题意，可得A（1，1），C（1，k），B（2，），D（2，k），则△OAC面积＝(k-1)，△CBD的面积＝×(2-1)×(k-)=(k-1)，根据△OAC与△CBD的面积之和为，即可得出k的值．【详解】∵AC∥BD∥y轴，点A，B的横坐标分别为1、2，∴A（1，1），C（1，k），B（2，），D（2，k），∴△OAC面积＝×1×(k-1)，△CBD的面积＝×(2-1)×(k-)=(k-1)，∵△OAC与△CBD的面积之和为，∴(k-1)+ (k-1)=，∴k＝4．【点睛】本题考查反比例函数系数k 的几何意义，三角形面积的计算，解题的关键是用k 表示出△OAC 与△CBD 的面积．8．D解析：D【解析】【分析】【详解】根据图中信息可知这些队员年龄的平均数为：132146158163172181268321⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+++++=15岁， 该足球队共有队员2+6+8+3+2+1=22人，则第11名和第12名的平均年龄即为年龄的中位数，即中位数为15岁，故选D ．9．B解析：B【解析】分析：根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解即可．详解：A ．是轴对称图形，不是中心对称图形；B ．是轴对称图形，也是中心对称图形；C ．是轴对称图形，不是中心对称图形；D ．是轴对称图形，不是中心对称图形．故选B ．点睛：本题考查了中心对称图形和轴对称图形的知识，关键是掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180°后与原图重合．10．A解析：A【解析】【分析】把x ＝﹣1代入方程计算即可求出k 的值．【详解】解：把x ＝﹣1代入方程得：1+2k +k 2＝0，解得：k ＝﹣1，故选：A ．【点睛】此题考查了一元二次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．11．A【解析】试题分析：由题意易知：∠CAB=45°，∠ACD=30°．若旋转角度为15°，则∠ACO=30°+15°=45°．∴∠AOC=180°-∠ACO-∠CAO=90°．在等腰Rt△ABC中，AB=4，则AO=OC=2．在Rt△AOD1中，OD1=CD1-OC=3，由勾股定理得：AD1故选A.考点: 1.旋转；2.勾股定理.12．B解析：B【解析】【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【详解】A、是中心对称图形，不是轴对称图形，故该选项不符合题意，B、是中心对称图形，也是轴对称图形，故该选项符合题意，C、不是中心对称图形，是轴对称图形，故该选项不符合题意，D、是中心对称图形，不是轴对称图形，故该选项不符合题意．故选B．【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折沿对称轴叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180°后两部分重合．二、填空题13．07【解析】【分析】随着实验次数的增多频率逐渐稳定到的常数即可表示男性患色盲的概率【详解】解：观察表格发现随着实验人数的增多男性患色盲的频率逐渐稳定在常数007左右故男性中男性患色盲的概率为007故解析：07【解析】【分析】随着实验次数的增多，频率逐渐稳定到的常数即可表示男性患色盲的概率．【详解】解：观察表格发现，随着实验人数的增多，男性患色盲的频率逐渐稳定在常数0.07左右，故男性中，男性患色盲的概率为0.07故答案为：0.07．【点睛】本题考查利用频率估计概率．14．【解析】【分析】分别求得a1a2a3…找出数字循环的规律进一步利用规律解决问题【详解】解：…由此可以看出三个数字一循环2014÷3=671…1则a1+a2+a3+…+a2014=671×（-1++2 解析：20112【解析】【分析】分别求得a 1、a 2、a 3、…，找出数字循环的规律，进一步利用规律解决问题．【详解】 解：123412311111,,2,1,1211a a a a a a a =-======----… 由此可以看出三个数字一循环，2014÷3=671…1，则a 1+a 2+a 3+…+a 2014=671×（-1+12+2）+（-1）=20112． 故答案为20112． 考点：规律性：数字的变化类.15．﹣2≤a ＜﹣1【解析】【分析】先解不等式组确定不等式组的解集（利用含a 的式子表示）根据整数解的个数就可以确定有哪些整数解根据解的情况可以得到关于a 的不等式从而求出a 的范围【详解】解不等式x ﹣a ＞0得解析：﹣2≤a ＜﹣1．【解析】【分析】先解不等式组确定不等式组的解集（利用含a 的式子表示），根据整数解的个数就可以确定有哪些整数解，根据解的情况可以得到关于a 的不等式，从而求出a 的范围．【详解】解不等式x ﹣a ＞0，得：x ＞a ，解不等式1﹣x ＞2x ﹣5，得：x ＜2，∵不等式组有3个整数解，∴不等式组的整数解为﹣1、 0、1，则﹣2≤a ＜﹣1，故答案为：﹣2≤a ＜﹣1．【点睛】本题考查不等式组的解法及整数解的确定．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．16．2m 【解析】【分析】延长AD 交BC 的延长线于点E 作DF⊥CE 于点F 解直角三角形求出EFCF 即可解决问题【详解】延长AD 交BC 的延长线于点E 作DF⊥CE 于点F 在△DCF 中∵CD＝4mDF ：CF ＝1：3解析：2m ．【解析】【分析】延长AD 交BC 的延长线于点E ，作DF ⊥CE 于点F ．解直角三角形求出EF ，CF ，即可解决问题．【详解】延长AD 交BC 的延长线于点E ，作DF ⊥CE 于点F ．在△DCF 中，∵CD ＝4m ，DF ：CF ＝1：，∴tan ∠DCF ＝， ∴∠DCF ＝30°，∠CDF ＝60°．∴DF ＝2（m ），CF ＝2（m ），在Rt △DEF 中，因为∠DEF ＝50°，所以EF ＝≈1.67（m ）∴BE ＝EF+FC+CB ＝1.67+2+5≈10.13（m ）， ∴AB ＝BE•tan50°≈12.2（m ），故答案为12.2m ．【点睛】本题主要考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．17．0【解析】【分析】先提公因式得ab （a+b ）而a+b=0任何数乘以0结果都为0【详解】解：∵=ab（a+b ）而a+b=0∴原式=0故答案为0【点睛】本题考查了因式分解和有理数的乘法运算注意掌握任何数解析：0【解析】【分析】先提公因式得ab （a+b ），而a+b=0，任何数乘以0结果都为0．【详解】解：∵22a b ab = ab （a+b ），而a+b=0，∴原式=0.故答案为0，【点睛】本题考查了因式分解和有理数的乘法运算，注意掌握任何数乘以零结果都为零．18．【解析】试题分析：如图设AF的中点为D那么DA=DE=DF所以AF的最小值取决于DE的最小值如图当DE⊥BC时DE最小设DA=DE=m此时DB=m由AB=DA+DB 得m+m=10解得m=此时AF=2解析：15 2【解析】试题分析：如图，设AF的中点为D，那么DA=DE=DF.所以AF的最小值取决于DE的最小值.如图，当DE⊥BC时，DE最小，设DA=DE=m，此时DB=53m，由AB=DA+DB，得m+53m=10，解得m=154，此时AF=2m=152.故答案为15 2.19．3或32【解析】【分析】当△CEB′为直角三角形时有两种情况：①当点B′落在矩形内部时如答图1所示连结AC先利用勾股定理计算出AC=5根据折叠的性质得∠AB′E=∠B=90°而当△CEB′为直角三角解析：3或．【解析】【分析】当△CEB′为直角三角形时，有两种情况：①当点B′落在矩形内部时，如答图1所示．连结AC，先利用勾股定理计算出AC=5，根据折叠的性质得∠AB′E=∠B=90°，而当△CEB′为直角三角形时，只能得到∠EB′C=90°，所以点A、B′、C共线，即∠B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点B′处，则EB=EB′，AB=AB′=3，可计算出CB′=2，设BE=x，则EB′=x，CE=4-x，然后在Rt△CEB′中运用勾股定理可计算出x．②当点B′落在AD边上时，如答图2所示．此时ABEB′为正方形．【详解】当△CEB′为直角三角形时，有两种情况：①当点B′落在矩形内部时，如答图1所示．连结AC，在Rt△ABC中，AB=3，BC=4，∴AC==5，∵∠B沿AE折叠，使点B落在点B′处，∴∠AB′E=∠B=90°，当△CEB′为直角三角形时，只能得到∠EB′C=90°，∴点A、B′、C共线，即∠B沿AE折叠，使点B落在对角线AC上的点B′处，∴EB=EB′，AB=AB′=3，∴CB′=5-3=2，设BE=x，则EB′=x，CE=4-x，在Rt△CEB′中，∵EB′2+CB′2=CE2，∴x2+22=（4-x）2，解得，∴BE=；②当点B′落在AD边上时，如答图2所示．此时ABEB′为正方形，∴BE=AB=3．综上所述，BE的长为或3．故答案为：或3．20．（±）【解析】【详解】∵MN两点关于y轴对称∴M坐标为（ab）N为（-ab）分别代入相应的函数中得b=①a+3=b②∴ab=（a+b）2=（a-b）2+4ab=11a+b=∴y=-x2x∴顶点坐标为解析：（ ，112）． 【解析】【详解】 ∵M 、N 两点关于y 轴对称，∴M 坐标为（a ，b ），N 为（-a ，b ），分别代入相应的函数中得，b=12a ①，a+3=b ②，∴ab=12，（a+b ）2=（a-b ）2+4ab=11，a+b=∴y=-12x 2，∴顶点坐标为（2b a -=244ac b a -=112），即（112）． 点睛：主要考查了二次函数的性质，函数图象上点的特征和关于坐标轴对称的点的特点．解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律．三、解答题21．（1）见解析 （2） 12AD BC =，理由见解析． 【解析】【分析】（1）根据矩形的有三个角是直角的四边形是矩形，已知CE ⊥AN ，AD ⊥BC ，所以求证∠DAE=90°，可以证明四边形ADCE 为矩形．（2）由正方形ADCE 的性质逆推得AD DC =，结合等腰三角形的性质可以得到答案．【详解】（1）证明：在△ABC 中，AB=AC ，AD ⊥BC ， ∴∠BAD=∠DAC ，∵AN 是△ABC 外角∠CAM 的平分线， ∴∠MAE=∠CAE ，∴∠DAE=∠DAC+∠CAE=12×180°=90°， 又∵AD ⊥BC ，CE ⊥AN ， ∴∠ADC=∠CEA=90°，∴四边形ADCE 为矩形．（2）当12AD BC =时，四边形ADCE 是一个正方形． 理由：∵AB=AC ， AD ⊥BC ，BD DC ∴= 12AD BC =，AD BD DC ∴== ， ∵四边形ADCE 为矩形， ∴矩形ADCE 是正方形． ∴当12AD BC =时，四边形ADCE 是一个正方形．【点睛】本题考查矩形的判定以及正方形的性质的应用，同时考查了等腰三角形的性质，熟练掌握这些知识点是关键．22．（1）（-8，0）（2）k=-19225（3）（﹣1，3）或（0，2）或（0，6）或（2，6）【解析】【分析】（1）解方程求出OB的长，解直角三角形求出OA即可解决问题；（2）求出直线DE、AB的解析式，构建方程组求出点C坐标即可；（3）分四种情形分别求解即可解决问题；【详解】解：（1）∵线段OB的长是方程x2﹣2x﹣8=0的解，∴OB=4，在Rt△AOB中，tan∠BAO=12 OBOA=，∴OA=8，∴A（﹣8，0）．（2）∵EC⊥AB，∴∠ACD=∠AOB=∠DOE=90°，∴∠OAB+∠ADC=90°，∠DEO+∠ODE=90°，∵∠ADC=∠ODE，∴∠OAB=∠DEO，∴△AOB∽△EOD，∴OA OB OE OD=，∴OE：OD=OA：OB=2，设OD=m，则OE=2m，∵12•m•2m=16，∴m=4或﹣4（舍弃），∴D（﹣4，0），E（0，﹣8），∴直线DE的解析式为y=﹣2x﹣8，∵A（﹣8，0），B（0，4），∴直线AB的解析式为y=12x+4，由28142y xy x--⎧⎪⎨+⎪⎩＝＝，解得24585xy⎧-⎪⎪⎨⎪⎪⎩＝＝，∴C（245，85），∵若反比例函数y=kx的图象经过点C，∴k=﹣192 25．（3）如图1中，当四边形MNPQ是矩形时，∵OD=OB=4，∴∠OBD=∠ODB=45°，∴∠PNB=∠ONM=45°，∴OM=DM=ON=2，∴BN=2，PB=PN=2，∴P（﹣1，3）．如图2中，当四边形MNPQ是矩形时（点N与原点重合），易证△DMQ是等腰直角三角形，OP=MQ=DM=2，P（0，2）；如图3中，当四边形MNPQ是矩形时，设PM交BD于R，易知R（﹣1，3），可得P （0，6）如图4中，当四边形MNPQ是矩形时，设PM交y轴于R，易知PR=MR，可得P（2，6）．综上所述，满足条件的点P坐标为（﹣1，3）或（0，2）或（0，6）或（2，6）；【点睛】考查反比例函数综合题、一次函数的应用、矩形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题.23．（1）证明见解析（2）48【解析】【分析】（1）利用角平分线的性质以及等腰三角形的性质得出∠OFC=∠FCG，继而得出∠GFC+∠OFC=90°，即可得出答案；（2）首先得出四边形FGDH是矩形，进而利用勾股定理得出HO的长，进而得出答案.【详解】（1）连接FO，∵ OF＝OC，∴∠OFC＝∠OCF．∵CF平分∠ACE，∴∠FCG＝∠FCE．∴∠OFC＝∠FCG．∵ CE是⊙O的直径，∴∠EDG＝90°，又∵FG//ED，∴∠FGC＝180°－∠EDG＝90°，∴∠GFC＋∠FCG＝90°∴∠GFC＋∠OFC＝90°，即∠GFO＝90°，∴OF⊥GF，又∵OF是⊙O半径，∴FG与⊙O相切．（2）延长FO，与ED交于点H，由(1)可知∠HFG＝∠FGD＝∠GDH＝90°，∴四边形FGDH是矩形．∴FH⊥ED，∴HE＝HD．又∵四边形FGDH是矩形，FG＝HD，∴HE＝FG＝4.∴ED＝8.∵在Rt△OHE中，∠OHE＝90°，∴OH＝22OE HE-＝2254-＝3．∴FH＝FO＋OH＝5＋3＝8．S四边形FGDH＝12(FG＋ED)•FH＝12×(4＋8)×8＝48．24．【解析】试题分析：首先把括号的分式通分化简，后面的分式的分子分解因式，然后约分化简，接着计算分式的乘法，最后代入数值计算即可求解．试题解析：原式=223111(2)a aa a-++⨯+-=2(2)(2)11(2)a a aa a-+-+⨯+-=22aa+--；当a=0时，原式=1．考点：分式的化简求值．25．（1）本次调查的学生共有100人；（2）补图见解析；（3）选择“唱歌”的学生有480人；（4）被选取的两人恰好是甲和乙的概率是16．【解析】【分析】（1）根据A项目的人数和所占的百分比求出总人数即可；（2）用总人数减去A、C、D项目的人数，求出B项目的人数，从而补全统计图；（3）用该校的总人数乘以选择“唱歌”的学生所占的百分比即可；（4）根据题意先画出树状图，得出所有等情况数和选取的两人恰好是甲和乙的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．【详解】（1）本次调查的学生共有：30÷30%＝100（人）；（2）喜欢B类项目的人数有：100﹣30﹣10﹣40＝20（人），补图如下：（3）选择“唱歌”的学生有：1200×40100＝480（人）；（4）根据题意画树形图：共有12种情况，被选取的两人恰好是甲和乙有2种情况，则被选取的两人恰好是甲和乙的概率是212＝16．【点睛】本题考查列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．也考查了统计图．。
2019年陕西省西安市莲湖区中考数学一模试卷((有答案))
2019年陕西省西安市莲湖区中考数学一模试卷一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．若实数a、b互为相反数，则下列等式中成立的是（）A．a﹣b＝0B．a+b＝0C．ab＝1D．ab＝﹣12．下面图形中经过折叠可以围成一个棱柱的是（）A．B．C．D．3．把图中阴影部分的小正方形移动一个，使它与其余四个阴影部分的正方形组成一个既是轴对称又是中心对称的新图形，这样的移法，正确的是（）A．6→3B．7→16C．7→8D．6→154．已知点P（a，3+a）在第二象限，则a的取值范围是（）A．a＜0B．a＞﹣3C．﹣3＜a＜0D．a＜﹣35．已知正比例函数y＝（2t﹣1）x的图象上一点（x1，y1），且x1y1＜0，那么t的取值范围是（）A．t＜0.5B．t＞0.5C．t＜0.5或t＞0.5D．不确定6．如图，∠BCD＝90°，AB∥DE，则α与β一定满足的等式是（）A．α+β＝180°B．α+β＝90°C．β＝3αD．α﹣β＝90°7．观察图中正方形四个顶点所标的数字规律，可知数字28应标在（）A．第7个正方形的右下角B．第7个正方形的左下角C．第8个正方形左下角D．第8个正方形的右下角8．如图，△ABC内接于半径为5的⊙O，点B在⊙O上，且cos B＝，则下列量中，值会发生变化的量是（）A．∠B的度数B．BC的长C．AC的长D．的长9．如图，分别以直角三角形的三边为边长向外作等边三角形，面积分别记为S1、S2、S3，则S1、S2、S3之间的关系是（）A．S12+S22＝S32B．S1+S2＞S3C．S1+S2＜S3D．S1+S2＝S310．二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数且a≠0）中的x与y的部分对应值如下表，该抛物线的对称轴是直线（）二．填空题（共4小题，满分12分，每小题3分）11．比较大小：﹣2﹣712．计算：90°23′﹣36°12′＝．13．如图，已知双曲线y＝（k＜0）经过直角三角形OAB斜边OA的中点D，且与直角边AB相交于点C．若点A的坐标为（﹣8，6），则△AOC的面积为．14．如图，在△ABC 中，AB ＝4，AC ＝3，以BC 为边在三角形外作正方形BCDE ，连接BD ，CE 交于点O ，则线段AO 的最大值为 ．三．解答题（共11小题，满分78分） 15．计算： （1）（﹣）2+|1﹣|﹣（）﹣1 （2）﹣+．16．先化简，再求值：（x ﹣2+）÷，其中x ＝﹣．17．在△ABC 中，AB ＝AC ，求作一点P ，使点P 为△ABC 的外接圆圆心．（保留作图痕迹，不写作法）18．某中学九（1）班同学积极响应“阳光体育工程”的号召，利用课外活动时间积极参加体育锻炼，每位同学从长跑、篮球、铅球、立定跳远中选一项进行训练，训练前后都进行了测试．现将项目选择情况及训练后篮球定时定点投篮测试成绩整理后作出如下统计图表．训练后篮球定时定点投篮测试进球数统计表（1）训练后篮球定时定点投篮人均进球数为 ；（2）选择长跑训练的人数占全班人数的百分比是 ，该班共有同学 人；（3）根据测试资料，训练后篮球定时定点投篮的人均进球数比训练之前人均进球数增加25%，请求出参加训练之前的人均进球数．19．如图，AD是△ABC的边BC的中线，E是AD的中点，过点A作AF∥BC，交BE的延长线于点F，连接CF，BF交AC于G．（1）若四边形ADCF是菱形，试证明△ABC是直角三角形；（2）求证：CG＝2AG．20．如图，“人字梯”放在水平地面上，梯子的两边相等（AB＝AC），当梯子的一边AB与梯子两底端的连线BC的夹角α为60°时，BC的长为2米，若将α调整为65°时，求梯子顶端A上升的高度．（参考数据：sin65°≈0.91，cos65°＝0.42，tan65°≈2.41，＝1.73，结果精确到0.1m）21．某学校计划组织全校1441名师生到相关部门规划的林区植树，经过研究，决定租用当地租车公司一共62辆A，B两种型号客车作为交通工具．下表是租车公司提供给学校有关两种型号客车的载客量和租金信息：设学校租用A型号客车x辆，租车总费用为y元．（Ⅰ）求y与x的函数解析式，请直接写出x的取值范围；（Ⅱ）若要使租车总费用不超过21940元，一共有几种租车方案？哪种租车方案总费用最省？最省的总费用是多少？22．已知一个不透明的袋子中装有7个只有颜色不同的球，其中2个白球，5个红球．（1）求从袋中随机摸出一个球是红球的概率．（2）从袋中随机摸出一个球，记录颜色后放回，摇匀，再随机摸出一个球，求两次摸出的球恰好颜色不同的概率．（3）若从袋中取出若干个红球，换成相同数量的黄球．搅拌均匀后，使得随机从袋中摸出两个球，颜色是一白一黄的概率为，求袋中有几个红球被换成了黄球．23．如图，在⊙O中，直径CD垂直于不过圆心O的弦AB，垂足为点N，连接AC，BC，点E在AB上，且AE＝CE．（1）求证：∠ABC＝∠ACE；（2）过点B作⊙O的切线交EC的延长线于点P，证明PB＝PE；（3）在第（2）问的基础上，设⊙O半径为2，若点N为OC中点，点Q在⊙O上，求线段PQ的最大值．24．已知二次函数y＝ax2+bx+c，y与x的一些对应值如下表：（2）结合表格分析，当1＜x≤4时，y的取值范围是．25．如图，在平面直角坐标系中，A（0，4），B（3，4），P为线段OA上一动点，过O，P，B三点的圆交x轴正半轴于点C，连结AB，PC，BC，设OP＝m．（1）求证：当P与A重合时，四边形POCB是矩形．（2）连结PB，求tan∠BPC的值．（3）记该圆的圆心为M，连结OM，BM，当四边形POMB中有一组对边平行时，求所有满足条件的m的值．（4）作点O关于PC的对称点O'，在点P的整个运动过程中，当点O'落在△APB的内部（含边界）时，请写出m的取值范围．2019年陕西省西安市莲湖区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．【分析】根据只有符号不同的两数叫做互为相反数解答．【解答】解：∵实数a、b互为相反数，∴a+b＝0．故选：B．【点评】本题考查了相反数的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键．2．【分析】利用棱柱的展开图中两底面的位置对B、D进行判断；根据侧面的个数与底面多边形的边数相同对A、C进行判断．【解答】解：棱柱的两个底面展开后在侧面展开图相对的两边上，所以B、D选项错误；当底面为三角形时，则棱柱有三个侧面，所以C选项错误，A选项正确．故选：A．【点评】本题考查了展开图折叠成几何体：通过结合立体图形与平面图形的相互转化，去理解和掌握几何体的展开图，要注意多从实物出发，然后再从给定的图形中辨认它们能否折叠成给定的立体图形．3．【分析】直接利用轴对称图形以及中心对称图形的性质分别分析得出答案．【解答】解：阴影部分的小正方形6→15，能使它与其余四个阴影部分的正方形组成一个既是轴对称又是中心对称的新图形．故选：D．【点评】此题主要考查了中心对称图形以及轴对称图形，正确把握相关定义是解题关键．4．【分析】根据第二象限内点的横坐标是负数，纵坐标是正数列出不等式组求解即可．【解答】解：∵点P（a，3+a）在第二象限，∴，解得﹣3＜a＜0．故选：C．【点评】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征以及解不等式，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．5．【分析】根据正比例函数图象的性质可得出答案．【解答】解：因为x1y1＜0，所以该点的横、纵坐标异号，即图象经过二、四象限，则2t﹣1＜0，t＜．【点评】本题考查正比例函数的性质，解题的关键是掌握正比例函数图象的性质：当k＞0时，图象经过一、三象限，y随x的增大而增大；当k＜0时，y随x的增大而减小．能够根据实数的运算法则，判断字母的符号．6．【分析】过C作CF∥AB，根据平行线的性质得到∠1＝∠β，∠2＝180°﹣∠α，于是得到结论．【解答】解：过C作CF∥AB，∵AB∥DE，∴AB∥DE∥CF，∴∠1＝∠β，∠α＝180°﹣∠2，∴∠α﹣∠β＝180°﹣∠2﹣∠1＝180°﹣∠BCD＝90°，故选：D．【点评】本题考查了平行线的性质，熟记平行线的性质是解题的关键．7．【分析】根据所标数字是从0开始，每4个数为一周期循环求解可得．【解答】解：由已知图形知，所标数字是从0开始，每4个数为一周期循环，则（28+1）÷4＝7…1，∴数字28表在第8个正方形的右下角，故选：D．【点评】本题考查了规律型：图形的变化类：通过从一些特殊的图形变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况．8．【分析】连接AO并延长交⊙O于B′，连接B′C，OC，根据已知条件得到∠B的度数一定；解直角三角形得到AC＝10•sin B，故AC的长一定；根据弧长公式得到的长度＝一定；于是得到结论．【解答】解：连接AO并延长交⊙O于B′，连接B′C，OC，∴∠ACB′＝90°，∵cos B＝，∴∠B的度数一定；∴AC＝10•sin B，故AC的长一定；∵∠AOC＝2∠B，∴的长度＝一定；故BC的长会发生变化，【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．9．【分析】根据等边三角形的性质，知等边三角形的面积等于其边长的平方的倍，结合勾股定理，知以直角三角形的两条直角边为边长的等边三角形的面积和等于以斜边为边长的等边三角形的面积．【解答】解：设直角三角形的三边从小到大是a，b，c．则S1＝b2，S2＝a2，S3＝c2．又a2+b2＝c2，则S1+S2＝S3．故选：D．【点评】本题主要考查勾股定理，解题的关键是掌握勾股定理和等边三角形的面积公式．10．【分析】利用二次函数的对称性，结合对应点坐标变化得出其对称轴即可．【解答】解：由表知当x＝0和x＝3时，y＝3，∴该抛物线的对称轴是直线x＝，即x＝1.5，故选：C．【点评】本题考查二次函数的性质，解题的关键是熟练运用二次函数的对称性，本题属于基础题型．二．填空题（共4小题，满分12分，每小题3分）11．【分析】正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值（或平方）大的反而小，据此判断即可．【解答】解：＝20，（﹣7）2＝49，∵20＜49，∴﹣2＞﹣7故答案为：＞．【点评】此题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：正实数＞0＞负实数，两个负实数绝对值大的反而小．12．【分析】1度＝60分，即1°＝60′，1分＝60秒，即1′＝60″，依据度分秒的换算即可得到结果．【解答】解：90°23′﹣36°12′＝54°11′，故答案为：54°11′【点评】本题主要考查了度分秒的换算，在进行度、分、秒的运算时也应注意借位和进位的方法．13．【分析】由点D为线段OA的中点可得出D点的坐标，将点D的坐标代入双曲线解析式中解出k值，即可得出双曲线的解析式，再令x＝﹣8可得点C的坐标，根据边与边的关系结合三角形的面积公式即可得出结论．【解答】解：∵点D为线段OA的中点，且点A的坐标为（﹣8，6），∴点D的坐标为（﹣4，3）．将点D（﹣4，3）代入到y＝中得：3＝，解得：k＝﹣12．∴双曲线的解析式为y＝﹣．令x＝﹣8，则有y＝﹣＝，即点C的坐标为（﹣8，）．∵AB⊥BO，∴点B（﹣8，0），AC＝6﹣＝，OB＝0﹣（﹣8）＝8，∴△AOC的面积S＝AC•OB＝××8＝18．故答案为：18．【点评】本题考查了反比例函数系数k的几何意义、中点坐标公式以及三角形的面积公式，解题的关键是找出点C、D的坐标．解决该题型题目时，求出点的坐标由待定系数法求出反比例函数解析式是关键．14．【分析】以AO为边作等腰直角△AOF，且∠AOF＝90°，由题意可证△AOB≌△FOC，可得AB＝CF＝4，根据三角形的三边关系可求AF的最大值，即可得AO的最大值．【解答】解：如图：以AO为边作等腰直角△AOF，且∠AOF＝90°∵四边形BCDE是正方形∴BO＝CO，∠BOC＝90°∵△AOF是等腰直角三角形∴AO＝FO，AF＝AO∵∠BOC＝∠AOF＝90°∴∠AOB＝∠COF，且BO＝CO，AO＝FO∴△AOB≌△FOC（SAS）∴AB＝CF＝4若点A，点C，点F三点不共线时，AF＜AC+CF；若点A，点C，点F三点共线时，AF＝AC+CF∴AF≤AC+CF＝3+4＝7∴AF的最大值为7∵AF＝AO∴AO的最大值为．故答案为：【点评】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，以及三角形的三边关系，恰当添加辅助线构造全等三角形是本题的关键．三．解答题（共11小题，满分78分）15．【分析】（1）直接利用绝对值的性质以及负指数幂的性质分别化简得出答案；（2）直接利用二次根式的性质以及立方根的性质分别化简得出答案．【解答】解：（1）原式＝2+﹣1﹣2＝﹣1；（2）原式＝6﹣3+2＝5．【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．16．【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x的值代入计算可得．【解答】解：原式＝（+）•＝•＝2（x+2）＝2x+4，当x＝﹣时，原式＝2×（﹣）+4＝﹣1+4＝3．【点评】本题主要考查分式的化简求值，在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．17．【分析】分别作BC和AC的垂直平分线，它们的交点P即为△ABC的外接圆圆心．【解答】解：如图，点P为所作．【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．18．【分析】（1）根据加权平均数的求解方法列式进行计算即可得解；（2）根据各部分的百分比总和为1，列式进行计算即可求解，用篮球的总人数除以所占的百分比进行计算即可；（3）设训练前人均进球数为x，然后根据等式为：训练前的进球数×（1+25%）＝训练后的进球数，列方程求解即可．【解答】解：（1）＝＝＝5；（2）1﹣60%﹣10%﹣20%＝10%，（2+1+4+7+8+2）÷60%＝24÷60%＝40人；（3）设参加训练前的人均进球数为x个，则x（1+25%）＝5，解得x＝4，即参加训练之前的人均进球数是4个．【点评】本题考查扇形统计图及相关计算．在扇形统计图中，各部分占所占的百分比总和等于1．19．【分析】（1）由菱形定义及AD是△ABC的中线知AD＝DC＝BD，从而得∠DBA＝∠DAB、∠DAC＝∠DCA，根据∠DBA+∠DAC+∠DAB+∠DCA＝180°可得答案．（2）作DM∥EG交AC于点M，分别证DM是△BCG的中位线和EG是△ADM的中位线得AG＝GM＝CM，从而得出答案．【解答】解：（1）∵四边形ADCF是菱形，AD是△ABC的中线，∴AD＝DC＝BD，∴∠DBA＝∠DAB、∠DAC＝∠DCA，∵∠DBA+∠DAC+∠DAB+∠DCA＝180°，∴∠BAC＝∠BAD+∠DAC＝90°，∴△ABC是直角三角形；（2）过点D作DM∥EG交AC于点M，∵AD是△ABC的边BC的中线，∴BD＝DC，∵DM∥EG，∴DM是△BCG的中位线，∴M是CG的中点，∴CM＝MG，∵DM∥EG，E是AD的中点，∴EG是△ADM的中位线，∴G是AM的中点，∴AG＝MG，∴CG＝2AG．【点评】本题主要考查菱形的性质，解题的关键是掌握菱形的性质、直角三角形的性质、三角形中位线定理等知识点．20．【分析】先由等腰三角形的一个60°的角，确定梯子AB的长，在直角三角形ABD和A1B1D1中，利用锐角三角函数计算AD、A1D11的长，求差得结论．【解答】解：如图1，由题意可得：∠B＝∠C＝60°，则△ABC是等边三角形，∴BC＝AB＝AC＝2m，在Rt△ABD中，AD＝2sin60°＝＝≈1.73m；如图2，由题意可得：∠B1＝∠C1＝65°，A1B1＝AB＝2m，在Rt△A1B1D1中，A1D1＝2sin65°≈2×0.91＝1.82m；∴A1D1﹣AD＝1.82﹣1.73＝0.09≈0.1（m）答：梯子顶端A上升的高度约为0.1m．【点评】本题考查了解直角三角形的应用．掌握直角三角形的边角间关系是解决本题的关键．21．【分析】（Ⅰ）根据租车总费用＝A、B两种车的费用之和，列出函数关系式即可；（Ⅱ）列出不等式，求出自变量x的取值范围，利用函数的性质即可解决问题．【解答】解：（Ⅰ）由题意：y＝380x+280（62﹣x）＝100x+17360．∵30x+20（62﹣x）≥1441，∴x≥20.1，又∵x为整数，∴x的取值范围为21≤x≤62的整数；（Ⅱ）由题意100x+17360≤21940，∴x≤45.8，∴21≤x≤45，∴共有25种租车方案，x＝21时，y有最小值＝19460元．即租21辆A型号客车时总费用最省，最省的总费用是19460元．【点评】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用等知识，解题的关键是理解题意，学会利用函数的性质解决最值问题．22．【分析】（1）直接利用概率公式计算可得；（2）先列表得出所有等可能结果，再从中找到符合条件的结果数，继而利用概率公式求解可得；（3）设有x个红球被换成了黄球，根据颜色是一白一黄的概率为列出关于x的方程，解之可得．【解答】解：（1）∵袋中共有7个小球，其中红球有5个，∴从袋中随机摸出一个球是红球的概率为；（2）列表如下：∴两次摸出的球恰好颜色不同的概率为；（3）设有x个红球被换成了黄球．根据题意，得：，解得：x＝3，即袋中有3个红球被换成了黄球．【点评】此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．23．【分析】（1）因为直径CD垂直于不过圆心O的弦AB，垂足为点N，所以，所以∠CAE＝∠ABC，因为AE＝CE，所以∠CAE＝∠ACE，所以∠ABC＝∠ACE；（2）连接OB，设∠CAE＝∠ACE＝∠ABC＝x，通过计算可得∠PEB＝∠PBE＝2x，所以PB＝PE；（3）连接OP，证明△OBC和△PBE为等边三角形，因为⊙O半径为2，可得BN＝3，NE＝1，即PB ＝BE＝4，在Rt△PBO中求得PO的长，即可得出PQ的最大值．【解答】解：（1）证明：∵直径CD垂直于不过圆心O的弦AB，垂足为点N，∴，∴∠CAE＝∠ABC，∵AE＝CE，∴∠CAE＝∠ACE，∴∠ABC＝∠ACE；（2）如图，连接OB，∵过点B作⊙O的切线交EC的延长线于点P，∴∠OBP＝90°，设∠CAE＝∠ACE＝∠ABC＝x，则∠PEB＝2x，∵OB＝OC，AB⊥CD，∴∠OBC＝∠OCB＝90°﹣x，∴∠BOC＝180°﹣2（90°﹣x）＝2x，∴∠OBE＝90°﹣2x，∴∠PBE＝90°﹣（90°﹣2x）＝2x，∴∠PEB＝∠PBE，∴PB＝PE；（3）如图，连接OP，∵点N为OC中点，AB⊥CD，∴AB是CD的垂直平分线，∴BC＝OB＝OC，∴△OBC为等边三角形，∵⊙O半径为2，∴CN＝，∵∠CAE＝∠ACE＝∠BOC＝30°，∴∠CEN＝60°，∠PBE＝2∠CAB＝60°，∴△PBE为等边三角形，BN＝3，NE＝1，∴PB＝BE＝BN+NE＝3+1＝4，∴PO＝，∴PQ的最大值为PO+＝．【点评】本题考查圆的切线的性质，等边三角形的判定和性质，圆周角定理，勾股定理．解题的关键是掌握圆的切线的性质．24．【分析】（1）利用表中对应值，可设交点式y＝a（x﹣1）（x﹣3），然后把（0，3）代入求出a即可得到抛物线的解析式；（2）利用y＝（x﹣2）2﹣1得到抛物线的对称轴为直线x＝2，顶点坐标为（0，1），即x＝2时，函数有最小值﹣1，从而得到当1＜x≤4时所对应的函数值的范围．【解答】解：（1）抛物线过点（1，0），（3，0），（0，3），设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）（x﹣3），把（0，3）代入得a•（﹣1）•（﹣3）＝3，解得a＝1，所以抛物线的解析式为y＝（x﹣1）（x﹣3），即y＝x2﹣4x+3；（2）y＝（x﹣2）2﹣1，则抛物线的对称轴为直线x＝2，顶点坐标为（0，1），所以当1＜x≤4时，﹣1≤y≤3，故答案为：﹣1≤y≤3．【点评】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．25．【分析】（1）由∠POC＝90°可知PC为直径，所以∠PBC＝90°，P、A重合时得3个直角，即证四边形POCB为矩形．（2）题干已知的边长只有OA、AB，所以要把∠BPC转化到与OA、OB有关的三角形内．连接O，B据圆周角定理，得∠COB＝∠BPC，又AB∥OC有∠ABP＝∠COB，得∠BPC＝∠ABP．（3）分两种情况：①OP∥BM即BM⊥x轴，延长BM交x轴于N，根据垂径定理得ON＝CN＝3，设半径为r，利用Rt△CMN的三边关系列方程即求出；②OM∥PB，根据圆周角定理和等腰三角形性质得到△BOM ≌△COM，所以BO＝CO＝5，用m表达各条线段，再利用勾股定理为等量关系列方程求得m．（4）因为点O与点O'关于直线对称，所以∠PO'C＝∠POC＝90°，即点O'在圆上；考虑点P运动到特殊位置：①点O'与点O重合；②点O'落在AB上；③点O'与点B重合．算出对应的m值再考虑范围．【解答】解：（1）∵∠COA＝90°∴PC是直径，∴∠PBC＝90°∵A（0，4）B（3，4）∴AB⊥y轴∴当A与P重合时，∠OPB＝90°∴四边形POCB是矩形（2）连结OB，（如图1）∴∠BPC＝∠BOC∵AB∥OC∴∠ABO＝∠BOC∴∠BPC＝∠BOC＝∠ABO∴tan∠BPC＝tan∠ABO＝（3）∵PC为直径∴M为PC中点①如图2，当OP∥BM时，延长BM交x轴于点N∵OP∥BM∴BN⊥OC于N∴ON＝NC，四边形OABN是矩形∴NC＝ON＝AB＝3，BN＝OA＝4设⊙M半径为r，则BM＝CM＝PM＝r∴MN＝BN﹣BM＝4﹣r∵MN2+NC2＝CM2∴（4﹣r）2+32＝r2解得：r＝∴MN＝4﹣∵M、N分别为PC、OC中点∴m＝OP＝2MN＝②如图3，当OM∥PB时，∠BOM＝∠PBO∵∠PBO＝∠PCO，∠PCO＝∠MOC∴∠OBM＝∠BOM＝∠MOC＝∠MCO在△BOM与△COM中∴△BOM≌△COM（AAS）∴OC＝OB＝＝5∵AP＝4﹣m∴BP2＝AP2+AB2＝（4﹣m）2+32∵∠ABO＝∠BOC＝∠BPC，∠BAO＝∠PBC＝90°∴△ABO∽△BPC∴∴PC＝∴PC2＝BP2＝[（4﹣m）2+32]又PC2＝OP2+OC2＝m2+52∴[（4﹣m）2+32]＝m2+52解得：m＝或m＝10（舍去）综上所述，m＝或m＝（4）∵点O与点O'关于直线对称∴∠PO'C＝∠POC＝90°，即点O'在圆上当O'与O重合时，得m＝0当O'落在AB上时，得m＝当O'与点B重合时，得m＝∴0≤m≤或m＝【点评】本题考查了圆周角定理（同弧所对的圆周角相等），矩形的判定，勾股定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解题涉及方程思想和分类讨论．第（2）题关键是把∠BPC进行转换；第（3）题分类讨论，设某个量为未知数，再利用勾股定理列方程来解，这是圆中已知弦长（或弦心距）求半径时常用做法；第（4）题可先把点O'到达△APB各边上为特殊位置求出m，再讨论m的范围．。
陕西西安莲湖中考一模试卷--数学(解析版)
陕西省西安市莲湖区中考数学一模试卷一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．若实数a、b互为相反数，则下列等式中成立的是（）A．a﹣b＝0B．a+b＝0C．ab＝1D．ab＝﹣12．下面图形中经过折叠可以围成一个棱柱的是（）A．B．C．D．3．把图中阴影部分的小正方形移动一个，使它与其余四个阴影部分的正方形组成一个既是轴对称又是中心对称的新图形，这样的移法，正确的是（）A．6→3B．7→16C．7→8D．6→154．已知点P（a，3+a）在第二象限，则a的取值范围是（）A．a＜0B．a＞﹣3C．﹣3＜a＜0D．a＜﹣35．已知正比例函数y＝（2t﹣1）x的图象上一点（x1，y1），且x1y1＜0，那么t的取值范围是（）A．t＜0.5B．t＞0.5C．t＜0.5或t＞0.5D．不确定6．如图，∠BCD＝90°，AB∥DE，则α与β一定满足的等式是（）A．α+β＝180°B．α+β＝90°C．β＝3αD．α﹣β＝90°7．观察图中正方形四个顶点所标的数字规律，可知数字28应标在（）A．第7个正方形的右下角B．第7个正方形的左下角C．第8个正方形左下角D．第8个正方形的右下角8．如图，△ABC内接于半径为5的⊙O，点B在⊙O上，且cos B＝，则下列量中，值会发生变化的量是（）A．∠B的度数B．BC的长C．AC的长D．的长9．如图，分别以直角三角形的三边为边长向外作等边三角形，面积分别记为S1、S2、S3，则S1、S2、S3之间的关系是（）A．S12+S22＝S32B．S1+S2＞S3C．S1+S2＜S3D．S1+S2＝S310．二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数且a≠0）中的x与y的部分对应值如下表，该抛物线的对称轴是直线（）x﹣1013y﹣1353 A．x＝0B．x＝1C．x＝1.5D．x＝2二．填空题（共4小题，满分12分，每小题3分）11．比较大小：﹣2﹣712．计算：90°23′﹣36°12′＝．13．如图，已知双曲线y＝（k＜0）经过直角三角形OAB斜边OA的中点D，且与直角边AB相交于点C．若点A的坐标为（﹣8，6），则△AOC的面积为．14．如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝3，以BC为边在三角形外作正方形BCDE，连接BD，CE交于点O，则线段AO的最大值为．三．解答题（共11小题，满分78分）15．计算：（1）（﹣）2+|1﹣|﹣（）﹣1（2）﹣+．16．先化简，再求值：（x﹣2+）÷，其中x＝﹣．17．在△ABC中，AB＝AC，求作一点P，使点P为△ABC的外接圆圆心．（保留作图痕迹，不写作法）18．某中学九（1）班同学积极响应“阳光体育工程”的号召，利用课外活动时间积极参加体育锻炼，每位同学从长跑、篮球、铅球、立定跳远中选一项进行训练，训练前后都进行了测试．现将项目选择情况及训练后篮球定时定点投篮测试成绩整理后作出如下统计图表．训练后篮球定时定点投篮测试进球数统计表进球数（个）876543人数214782请你根据图表中的信息回答下列问题：（1）训练后篮球定时定点投篮人均进球数为；（2）选择长跑训练的人数占全班人数的百分比是，该班共有同学人；（3）根据测试资料，训练后篮球定时定点投篮的人均进球数比训练之前人均进球数增加25%，请求出参加训练之前的人均进球数．19．如图，AD是△ABC的边BC的中线，E是AD的中点，过点A作AF∥BC，交BE的延长线于点F，连接CF，BF交AC于G．（1）若四边形ADCF是菱形，试证明△ABC是直角三角形；（2）求证：CG＝2AG．20．如图，“人字梯”放在水平地面上，梯子的两边相等（AB＝AC），当梯子的一边AB与梯子两底端的连线BC的夹角α为60°时，BC的长为2米，若将α调整为65°时，求梯子顶端A上升的高度．（参考数据：sin65°≈0.91，cos65°＝0.42，tan65°≈2.41，＝1.73，结果精确到0.1m）21．某学校计划组织全校1441名师生到相关部门规划的林区植树，经过研究，决定租用当地租车公司一共62辆A，B两种型号客车作为交通工具．下表是租车公司提供给学校有关两种型号客车的载客量和租金信息：型号载客量租金单价A30人/辆380元/辆B20人/辆280元/辆注：载客量指的是每辆客车最多可载该校师生的人数设学校租用A型号客车x辆，租车总费用为y元．（Ⅰ）求y与x的函数解析式，请直接写出x的取值范围；（Ⅱ）若要使租车总费用不超过21940元，一共有几种租车方案？哪种租车方案总费用最省？最省的总费用是多少？22．已知一个不透明的袋子中装有7个只有颜色不同的球，其中2个白球，5个红球．（1）求从袋中随机摸出一个球是红球的概率．（2）从袋中随机摸出一个球，记录颜色后放回，摇匀，再随机摸出一个球，求两次摸出的球恰好颜色不同的概率．（3）若从袋中取出若干个红球，换成相同数量的黄球．搅拌均匀后，使得随机从袋中摸出两个球，颜色是一白一黄的概率为，求袋中有几个红球被换成了黄球．23．如图，在⊙O中，直径CD垂直于不过圆心O的弦AB，垂足为点N，连接AC，BC，点E在AB上，且AE ＝CE．（1）求证：∠ABC＝∠ACE；（2）过点B作⊙O的切线交EC的延长线于点P，证明PB＝PE；（3）在第（2）问的基础上，设⊙O半径为2，若点N为OC中点，点Q在⊙O上，求线段PQ的最大值．24．已知二次函数y＝ax2+bx+c，y与x的一些对应值如下表：x…﹣101234…y＝ax2+bx+c…830﹣103…（1）根据表中数据，求二次函数解析式；（2）结合表格分析，当1＜x≤4时，y的取值范围是．25．如图，在平面直角坐标系中，A（0，4），B（3，4），P为线段OA上一动点，过O，P，B三点的圆交x 轴正半轴于点C，连结AB，PC，BC，设OP＝m．（1）求证：当P与A重合时，四边形POCB是矩形．（2）连结PB，求tan∠BPC的值．（3）记该圆的圆心为M，连结OM，BM，当四边形POMB中有一组对边平行时，求所有满足条件的m的值．（4）作点O关于PC的对称点O'，在点P的整个运动过程中，当点O'落在△APB的内部（含边界）时，请写出m的取值范围．2019年陕西省西安市莲湖区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．【分析】根据只有符号不同的两数叫做互为相反数解答．【解答】解：∵实数a、b互为相反数，∴a+b＝0．故选：B．【点评】本题考查了相反数的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键．2．【分析】利用棱柱的展开图中两底面的位置对B、D进行判断；根据侧面的个数与底面多边形的边数相同对A、C进行判断．【解答】解：棱柱的两个底面展开后在侧面展开图相对的两边上，所以B、D选项错误；当底面为三角形时，则棱柱有三个侧面，所以C选项错误，A选项正确．故选：A．【点评】本题考查了展开图折叠成几何体：通过结合立体图形与平面图形的相互转化，去理解和掌握几何体的展开图，要注意多从实物出发，然后再从给定的图形中辨认它们能否折叠成给定的立体图形．3．【分析】直接利用轴对称图形以及中心对称图形的性质分别分析得出答案．【解答】解：阴影部分的小正方形6→15，能使它与其余四个阴影部分的正方形组成一个既是轴对称又是中心对称的新图形．故选：D．【点评】此题主要考查了中心对称图形以及轴对称图形，正确把握相关定义是解题关键．4．【分析】根据第二象限内点的横坐标是负数，纵坐标是正数列出不等式组求解即可．【解答】解：∵点P（a，3+a）在第二象限，∴，解得﹣3＜a＜0．故选：C．【点评】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征以及解不等式，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．5．【分析】根据正比例函数图象的性质可得出答案．【解答】解：因为x1y1＜0，所以该点的横、纵坐标异号，即图象经过二、四象限，则2t﹣1＜0，t＜．故选：A．【点评】本题考查正比例函数的性质，解题的关键是掌握正比例函数图象的性质：当k＞0时，图象经过一、三象限，y随x的增大而增大；当k＜0时，y随x的增大而减小．能够根据实数的运算法则，判断字母的符号．6．【分析】过C作CF∥AB，根据平行线的性质得到∠1＝∠β，∠2＝180°﹣∠α，于是得到结论．【解答】解：过C作CF∥AB，∵AB∥DE，∴AB∥DE∥CF，∴∠1＝∠β，∠α＝180°﹣∠2，∴∠α﹣∠β＝180°﹣∠2﹣∠1＝180°﹣∠BCD＝90°，故选：D．【点评】本题考查了平行线的性质，熟记平行线的性质是解题的关键．7．【分析】根据所标数字是从0开始，每4个数为一周期循环求解可得．【解答】解：由已知图形知，所标数字是从0开始，每4个数为一周期循环，则（28+1）÷4＝7…1，∴数字28表在第8个正方形的右下角，故选：D．【点评】本题考查了规律型：图形的变化类：通过从一些特殊的图形变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况．8．【分析】连接AO并延长交⊙O于B′，连接B′C，OC，根据已知条件得到∠B的度数一定；解直角三角形得到AC＝10•sin B，故AC的长一定；根据弧长公式得到的长度＝一定；于是得到结论．【解答】解：连接AO并延长交⊙O于B′，连接B′C，OC，∴∠ACB′＝90°，∵cos B＝，∴∠B的度数一定；∴AC＝10•sin B，故AC的长一定；∵∠AOC＝2∠B，∴的长度＝一定；故BC的长会发生变化，故选：B．【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．9．【分析】根据等边三角形的性质，知等边三角形的面积等于其边长的平方的倍，结合勾股定理，知以直角三角形的两条直角边为边长的等边三角形的面积和等于以斜边为边长的等边三角形的面积．【解答】解：设直角三角形的三边从小到大是a，b，c．则S1＝b2，S2＝a2，S3＝c2．又a2+b2＝c2，则S1+S2＝S3．故选：D．【点评】本题主要考查勾股定理，解题的关键是掌握勾股定理和等边三角形的面积公式．10．【分析】利用二次函数的对称性，结合对应点坐标变化得出其对称轴即可．【解答】解：由表知当x＝0和x＝3时，y＝3，∴该抛物线的对称轴是直线x＝，即x＝1.5，故选：C．【点评】本题考查二次函数的性质，解题的关键是熟练运用二次函数的对称性，本题属于基础题型．二．填空题（共4小题，满分12分，每小题3分）11．【分析】正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值（或平方）大的反而小，据此判断即可．【解答】解：＝20，（﹣7）2＝49，∵20＜49，∴﹣2＞﹣7故答案为：＞．【点评】此题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：正实数＞0＞负实数，两个负实数绝对值大的反而小．12．【分析】1度＝60分，即1°＝60′，1分＝60秒，即1′＝60″，依据度分秒的换算即可得到结果．【解答】解：90°23′﹣36°12′＝54°11′，故答案为：54°11′【点评】本题主要考查了度分秒的换算，在进行度、分、秒的运算时也应注意借位和进位的方法．13．【分析】由点D为线段OA的中点可得出D点的坐标，将点D的坐标代入双曲线解析式中解出k值，即可得出双曲线的解析式，再令x＝﹣8可得点C的坐标，根据边与边的关系结合三角形的面积公式即可得出结论．【解答】解：∵点D为线段OA的中点，且点A的坐标为（﹣8，6），∴点D的坐标为（﹣4，3）．将点D（﹣4，3）代入到y＝中得：3＝，解得：k＝﹣12．∴双曲线的解析式为y＝﹣．令x＝﹣8，则有y＝﹣＝，即点C的坐标为（﹣8，）．∵AB⊥BO，∴点B（﹣8，0），AC＝6﹣＝，OB＝0﹣（﹣8）＝8，∴△AOC的面积S＝AC•OB＝××8＝18．故答案为：18．【点评】本题考查了反比例函数系数k的几何意义、中点坐标公式以及三角形的面积公式，解题的关键是找出点C、D的坐标．解决该题型题目时，求出点的坐标由待定系数法求出反比例函数解析式是关键．14．【分析】以AO为边作等腰直角△AOF，且∠AOF＝90°，由题意可证△AOB≌△FOC，可得AB＝CF＝4，根据三角形的三边关系可求AF的最大值，即可得AO的最大值．【解答】解：如图：以AO为边作等腰直角△AOF，且∠AOF＝90°∵四边形BCDE是正方形∴BO＝CO，∠BOC＝90°∵△AOF是等腰直角三角形∴AO＝FO，AF＝AO∵∠BOC＝∠AOF＝90°∴∠AOB＝∠COF，且BO＝CO，AO＝FO∴△AOB≌△FOC（SAS）∴AB＝CF＝4若点A，点C，点F三点不共线时，AF＜AC+CF；若点A，点C，点F三点共线时，AF＝AC+CF∴AF≤AC+CF＝3+4＝7∴AF的最大值为7∵AF＝AO∴AO的最大值为．故答案为：【点评】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，以及三角形的三边关系，恰当添加辅助线构造全等三角形是本题的关键．三．解答题（共11小题，满分78分）15．【分析】（1）直接利用绝对值的性质以及负指数幂的性质分别化简得出答案；（2）直接利用二次根式的性质以及立方根的性质分别化简得出答案．【解答】解：（1）原式＝2+﹣1﹣2＝﹣1；（2）原式＝6﹣3+2＝5．【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．16．【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x的值代入计算可得．【解答】解：原式＝（+）•＝•＝2（x+2）＝2x+4，当x＝﹣时，原式＝2×（﹣）+4＝﹣1+4＝3．【点评】本题主要考查分式的化简求值，在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．17．【分析】分别作BC和AC的垂直平分线，它们的交点P即为△ABC的外接圆圆心．【解答】解：如图，点P为所作．【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．18．【分析】（1）根据加权平均数的求解方法列式进行计算即可得解；（2）根据各部分的百分比总和为1，列式进行计算即可求解，用篮球的总人数除以所占的百分比进行计算即可；（3）设训练前人均进球数为x，然后根据等式为：训练前的进球数×（1+25%）＝训练后的进球数，列方程求解即可．【解答】解：（1）＝＝＝5；（2）1﹣60%﹣10%﹣20%＝10%，（2+1+4+7+8+2）÷60%＝24÷60%＝40人；（3）设参加训练前的人均进球数为x个，则x（1+25%）＝5，解得x＝4，即参加训练之前的人均进球数是4个．【点评】本题考查扇形统计图及相关计算．在扇形统计图中，各部分占所占的百分比总和等于1．19．【分析】（1）由菱形定义及AD是△ABC的中线知AD＝DC＝BD，从而得∠DBA＝∠DAB、∠DAC＝∠DCA，根据∠DBA+∠DAC+∠DAB+∠DCA＝180°可得答案．（2）作DM∥EG交AC于点M，分别证DM是△BCG的中位线和EG是△ADM的中位线得AG＝GM＝CM，从而得出答案．【解答】解：（1）∵四边形ADCF是菱形，AD是△ABC的中线，∴AD＝DC＝BD，∴∠DBA＝∠DAB、∠DAC＝∠DCA，∵∠DBA+∠DAC+∠DAB+∠DCA＝180°，∴∠BAC＝∠BAD+∠DAC＝90°，∴△ABC是直角三角形；（2）过点D作DM∥EG交AC于点M，∵AD是△ABC的边BC的中线，∴BD＝DC，∵DM∥EG，∴DM是△BCG的中位线，∴M是CG的中点，∴CM＝MG，∵DM∥EG，E是AD的中点，∴EG是△ADM的中位线，∴G是AM的中点，∴AG＝MG，∴CG＝2AG．【点评】本题主要考查菱形的性质，解题的关键是掌握菱形的性质、直角三角形的性质、三角形中位线定理等知识点．20．【分析】先由等腰三角形的一个60°的角，确定梯子AB的长，在直角三角形ABD和A1B1D1中，利用锐角三角函数计算AD、A1D11的长，求差得结论．【解答】解：如图1，由题意可得：∠B＝∠C＝60°，则△ABC是等边三角形，∴BC＝AB＝AC＝2m，在Rt△ABD中，AD＝2sin60°＝＝≈1.73m；如图2，由题意可得：∠B1＝∠C1＝65°，A1B1＝AB＝2m，在Rt△A1B1D1中，A1D1＝2sin65°≈2×0.91＝1.82m；∴A1D1﹣AD＝1.82﹣1.73＝0.09≈0.1（m）答：梯子顶端A上升的高度约为0.1m．【点评】本题考查了解直角三角形的应用．掌握直角三角形的边角间关系是解决本题的关键．21．【分析】（Ⅰ）根据租车总费用＝A、B两种车的费用之和，列出函数关系式即可；（Ⅱ）列出不等式，求出自变量x的取值范围，利用函数的性质即可解决问题．【解答】解：（Ⅰ）由题意：y＝380x+280（62﹣x）＝100x+17360．∵30x+20（62﹣x）≥1441，∴x≥20.1，又∵x为整数，∴x的取值范围为21≤x≤62的整数；（Ⅱ）由题意100x+17360≤21940，∴x≤45.8，∴21≤x≤45，∴共有25种租车方案，x＝21时，y有最小值＝19460元．即租21辆A型号客车时总费用最省，最省的总费用是19460元．【点评】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用等知识，解题的关键是理解题意，学会利用函数的性质解决最值问题．22．【分析】（1）直接利用概率公式计算可得；（2）先列表得出所有等可能结果，再从中找到符合条件的结果数，继而利用概率公式求解可得；（3）设有x个红球被换成了黄球，根据颜色是一白一黄的概率为列出关于x的方程，解之可得．【解答】解：（1）∵袋中共有7个小球，其中红球有5个，∴从袋中随机摸出一个球是红球的概率为；（2）列表如下：白白红红红红红白（白，白）（白，白）（白，红）（白，红）（白，红）（白，红）（白，红）白（白，白）（白，白）（白，红）（白，红）（白，红）（白，红）（白，红）红（白，红）（白，红）（红，红）（红，红）（红，红）（红，红）（红，红）红（白，红）（白，红）（红，红）（红，红）（红，红）（红，红）（红，红）红（白，红）（白，红）（红，红）（红，红）（红，红）（红，红）（红，红）红（白，红）（白，红）（红，红）（红，红）（红，红）（红，红）（红，红）红（白，红）（白，红）（红，红）（红，红）（红，红）（红，红）（红，红）由表知共有49种等可能结果，其中两次摸出的球恰好颜色不同的有20种结果，∴两次摸出的球恰好颜色不同的概率为；（3）设有x个红球被换成了黄球．根据题意，得：，解得：x＝3，即袋中有3个红球被换成了黄球．【点评】此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．23．【分析】（1）因为直径CD垂直于不过圆心O的弦AB，垂足为点N，所以，所以∠CAE＝∠ABC，因为AE＝CE，所以∠CAE＝∠ACE，所以∠ABC＝∠ACE；（2）连接OB，设∠CAE＝∠ACE＝∠ABC＝x，通过计算可得∠PEB＝∠PBE＝2x，所以PB＝PE；（3）连接OP，证明△OBC和△PBE为等边三角形，因为⊙O半径为2，可得BN＝3，NE＝1，即PB＝BE＝4，在Rt△PBO中求得PO的长，即可得出PQ的最大值．【解答】解：（1）证明：∵直径CD垂直于不过圆心O的弦AB，垂足为点N，∴，∴∠CAE＝∠ABC，∵AE＝CE，∴∠CAE＝∠ACE，∴∠ABC＝∠ACE；（2）如图，连接OB，∵过点B作⊙O的切线交EC的延长线于点P，∴∠OBP＝90°，设∠CAE＝∠ACE＝∠ABC＝x，则∠PEB＝2x，∵OB＝OC，AB⊥CD，∴∠OBC＝∠OCB＝90°﹣x，∴∠BOC＝180°﹣2（90°﹣x）＝2x，∴∠OBE＝90°﹣2x，∴∠PBE＝90°﹣（90°﹣2x）＝2x，∴∠PEB＝∠PBE，∴PB＝PE；（3）如图，连接OP，∵点N为OC中点，AB⊥CD，∴AB是CD的垂直平分线，∴BC＝OB＝OC，∴△OBC为等边三角形，∵⊙O半径为2，∴CN＝，∵∠CAE＝∠ACE＝∠BOC＝30°，∴∠CEN＝60°，∠PBE＝2∠CAB＝60°，∴△PBE为等边三角形，BN＝3，NE＝1，∴PB＝BE＝BN+NE＝3+1＝4，∴PO＝，∴PQ的最大值为PO+＝．【点评】本题考查圆的切线的性质，等边三角形的判定和性质，圆周角定理，勾股定理．解题的关键是掌握圆的切线的性质．24．【分析】（1）利用表中对应值，可设交点式y＝a（x﹣1）（x﹣3），然后把（0，3）代入求出a即可得到抛物线的解析式；（2）利用y＝（x﹣2）2﹣1得到抛物线的对称轴为直线x＝2，顶点坐标为（0，1），即x＝2时，函数有最小值﹣1，从而得到当1＜x≤4时所对应的函数值的范围．【解答】解：（1）抛物线过点（1，0），（3，0），（0，3），设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）（x﹣3），把（0，3）代入得a•（﹣1）•（﹣3）＝3，解得a＝1，所以抛物线的解析式为y＝（x﹣1）（x﹣3），即y＝x2﹣4x+3；（2）y＝（x﹣2）2﹣1，则抛物线的对称轴为直线x＝2，顶点坐标为（0，1），所以当1＜x≤4时，﹣1≤y≤3，故答案为：﹣1≤y≤3．【点评】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．25．【分析】（1）由∠POC＝90°可知PC为直径，所以∠PBC＝90°，P、A重合时得3个直角，即证四边形POCB为矩形．（2）题干已知的边长只有OA、AB，所以要把∠BPC转化到与OA、OB有关的三角形内．连接O，B据圆周角定理，得∠COB＝∠BPC，又AB∥OC有∠ABP＝∠COB，得∠BPC＝∠ABP．（3）分两种情况：①OP∥BM即BM⊥x轴，延长BM交x轴于N，根据垂径定理得ON＝CN＝3，设半径为r，利用Rt△CMN的三边关系列方程即求出；②OM∥PB，根据圆周角定理和等腰三角形性质得到△BOM≌△COM，所以BO＝CO＝5，用m表达各条线段，再利用勾股定理为等量关系列方程求得m．（4）因为点O与点O'关于直线对称，所以∠PO'C＝∠POC＝90°，即点O'在圆上；考虑点P运动到特殊位置：①点O'与点O重合；②点O'落在AB上；③点O'与点B重合．算出对应的m值再考虑范围．【解答】解：（1）∵∠COA＝90°∴PC是直径，∴∠PBC＝90°∵A（0，4）B（3，4）∴AB⊥y轴∴当A与P重合时，∠OPB＝90°∴四边形POCB是矩形（2）连结OB，（如图1）∴∠BPC＝∠BOC∵AB∥OC∴∠ABO＝∠BOC∴∠BPC＝∠BOC＝∠ABO∴tan∠BPC＝tan∠ABO＝（3）∵PC为直径∴M为PC中点①如图2，当OP∥BM时，延长BM交x轴于点N ∵OP∥BM∴BN⊥OC于N∴ON＝NC，四边形OABN是矩形∴NC＝ON＝AB＝3，BN＝OA＝4设⊙M半径为r，则BM＝CM＝PM＝r∴MN＝BN﹣BM＝4﹣r∵MN2+NC2＝CM2∴（4﹣r）2+32＝r2解得：r＝∴MN＝4﹣∵M、N分别为PC、OC中点∴m＝OP＝2MN＝②如图3，当OM∥PB时，∠BOM＝∠PBO∵∠PBO＝∠PCO，∠PCO＝∠MOC∴∠OBM＝∠BOM＝∠MOC＝∠MCO在△BOM与△COM中∴△BOM≌△COM（AAS）∴OC＝OB＝＝5∵AP＝4﹣m∴BP2＝AP2+AB2＝（4﹣m）2+32∵∠ABO＝∠BOC＝∠BPC，∠BAO＝∠PBC＝90°∴△ABO∽△BPC∴∴PC ＝∴PC 2＝BP2＝[（4﹣m）2+32]又PC2＝OP2+OC2＝m2+52∴[（4﹣m）2+32]＝m2+52解得：m＝或m＝10（舍去）综上所述，m＝或m＝（4）∵点O与点O'关于直线对称∴∠PO'C＝∠POC＝90°，即点O'在圆上当O'与O重合时，得m＝0当O'落在AB上时，得m＝当O'与点B重合时，得m＝∴0≤m≤或m＝【点评】本题考查了圆周角定理（同弧所对的圆周角相等），矩形的判定，勾股定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解题涉及方程思想和分类讨论．第（2）题关键是把∠BPC进行转换；第（3）题分类讨论，设某个量为未知数，再利用勾股定理列方程来解，这是圆中已知弦长（或弦心距）求半径时常用做法；第（4）题可先把点O'到达△APB各边上为特殊位置求出m，再讨论m的范围．21。
2019年陕西省西安市莲湖区中考数学模拟试卷(一)解析版
2019年陕西省西安市莲湖区中考数学模拟试卷（一）一．选择题（共12小题，每题3分，共36分）1．（3分）﹣2的绝对值是（）A．2B．C．D．12．（3分）如图是由若干个大小相同的小正方体堆砌而成的几何体，那么其三种视图中面积最小的是（）A．主视图B．俯视图C．左视图D．一样大3．（3分）正比例函数y＝kx的自变量取值增加2，函数值就相应减少2，则k的值为（）A．2B．﹣2C．﹣1D．44．（3分）如图，将直尺与含30°角的三角尺摆放在一起，若∠1＝20°，则∠2的度数是（）A．30°B．40°C．50°D．60°5．（3分）计算（1+）÷的结果是（）A．x+1B．C．D．6．（3分）在△ABC中，∠BAC＝115°，DE、FG分别为AB、AC的垂直平分线，则∠EAG 的度数为（）A．50°B．40°C．30°D．25°7．（3分）已知一次函数y＝（m﹣4）x+2m+1的图象不经过第三象限，则m的取值范围是（）A．m＜4B．﹣≤m＜4C．﹣≤m≤4D．m8．（3分）填在下面各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据这种规律，m的值应是（）A．110B．158C．168D．1789．（3分）如图，直径为10的⊙A上经过点C（0，5）和点0（0，0），B是y轴右侧⊙A优弧上一点，则∠OBC的余弦值为（）A．B．C．D．10．（3分）在同一平面直角坐标系中，直线y＝2x+3与y＝2x﹣5的位置关系是（）A．平行B．相交C．重合D．垂直11．（3分）已知二次函数y＝（x﹣1）2﹣4，当y＜0时，x的取值范围是（）A．﹣3＜x＜1B．x＜﹣1或x＞3C．﹣1＜x＜3D．x＜﹣3或x＞1 12．（3分）如图，函数y＝ax2+bx+c的图象过点（﹣1，0）和（m，0），请思考下列判断：①abc＜0；②4a+c＜2b；③＝1﹣；④am2+（2a+b）m+a+b+c＜0；⑤|am+a|＝正确的是（）A．①③⑤B．①②③④⑤C．①③④D．①②③⑤二．填空题（本题6小题，每题3分，共18分）13．（3分）不等式﹣9+3x≤0的非负整数解的和为．14．（3分）分解因式：m2n﹣4mn﹣4n＝．15．（3分）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，若⊙O的半径为5，则弧AB的长为．16．（3分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x与双曲线y＝（k≠0）交于点A，过点C（0，2）作AO的平行线交双曲线于点B，连接AB并延长与y轴交于点D（0，4），则k的值为．17．（3分）如图，已知P A、PB是⊙O的切线，A、B分别为切点，∠OAB＝30°．（1）∠APB＝；（2）当OA＝2时，AP＝．18．（3分）如图，在边长为1的正方形ABCD的各边上，截取AE＝BF＝CG＝DH＝x，连接AF、BG、CH、DE构成四边形PQRS．用x的代数式表示四边形PQRS的面积S．则S＝．三．解答题（本题10小题，共66分）19．（6分）计算：（1）|﹣1|+（3.14﹣π）0+（）﹣1+．（2）+÷20．（5分）解方程：+﹣＝1．21．（5分）尺规作图（只保留作图痕迹，不要求写出作法）．如图，已知∠α和线段a，求作△ABC，使∠A＝∠α，∠C＝90°，AB＝a．22．（5分）为了解学生参加户外活动的情况，某中学对学生参加户外活动的时间进行抽样调查，并将调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图，根据图示，请回答下列问题：（1）求户外活动时间为1.5小时的学生有多少人？并补全条形统计图（2）每天户外活动时间的中位数是小时？（3）该校共有1800名学生，请估计该校每天户外活动超过1小时的学生人数有多少人？23．（6分）已知（如图），在四边形ABCD中AB＝CD，过A作AE⊥BD交BD于点E，过C作CF⊥BD交BD于F，且AE＝CF．求证：四边形ABCD是平行四边形．24．（6分）如图，小华在晚上由路灯A走向路灯B．当他走到点P时，发现他身后影子的顶部刚好接触到路灯A的底部；当他向前再步行12m到达点Q时，发现他身前影子的顶部刚好接触到路灯B的底部．已知小华的身高是1.6m，两个路灯的高度都是9.6m，且AP＝QB．（1）求两个路灯之间的距离．（2）当小华走到路灯B的底部时，他在路灯A下的影长是多少？25．（7分）在一条笔直的公路上依次有A，C，B三地，甲、乙两人同时出发，甲从A地骑自行车去B地，途经C地休息1分钟，继续按原速骑行至B地，甲到达B地后，立即按原路原速返回A地；乙步行从B地前往A地．甲、乙两人距A地的路程y（米）与时间x（分）之间的函数关系如图所示，请结合图象解答下列问题：（1）请写出甲的骑行速度为米/分，点M的坐标为；（2）求甲返回时距A地的路程y与时间x之间的函数关系式（不需要写出自变量的取值范围）；（3）请直接写出两人出发后，在甲返回A地之前，经过多长时间两人距C地的路程相等．26．（8分）如图，AB是⊙O的直径，直线AT切⊙O于点A，BT交⊙O于C，已知∠B＝30°，AT＝，求⊙O的直径AB和弦BC的长．27．（9分）在平面直角坐标系xOy中抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A、B、C，已知A（﹣1，0），C（0，3）．（1）求抛物线的表达式；（2）如图1，P为线段BC上一点，过点P作y轴平行线，交抛物线于点D，当△BCD 的面积最大时，求点P的坐标；（3）如图2，抛物线顶点为E，EF⊥x轴于F点，N是线段EF上一动点，M（m，0）是x轴上一动点，若∠MNC＝90°，直接写出实数m的取值范围．28．（9分）已知：如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠D＝90°，AD＝CD＝2，点E在边AD上（不与点A、D重合），∠CEB＝45°，EB与对角线AC相交于点F，设DE＝x．（1）用含x的代数式表示线段CF的长；（2）如果把△CAE的周长记作C△CAE，△BAF的周长记作C△BAF，设＝y，求y 关于x的函数关系式，并写出它的定义域；（3）当∠ABE的正切值是时，求AB的长．2019年陕西省西安市莲湖区中考数学模拟试卷（一）参考答案与试题解析一．选择题（共12小题，每题3分，共36分）1．【解答】解：﹣2的绝对值是2﹣．故选：A．2．【解答】解：如图，该几何体正视图是由5个小正方形组成，左视图是由3个小正方形组成，俯视图是由5个小正方形组成，故三种视图面积最小的是左视图．故选：C．3．【解答】解：∵正比例函数y＝kx的自变量取值增加2，函数值就相应减少2，∴函数图象过（x，y）和（x+2，y﹣2）两个点，∴，解得k＝﹣1，故选：C．4．【解答】解：如图，∵∠BEF是△AEF的外角，∠1＝20°，∠F＝30°，∴∠BEF＝∠1+∠F＝50°，∵AB∥CD，∴∠2＝∠BEF＝50°，故选：C．5．【解答】解：原式＝（+）÷＝•＝，故选：B．6．【解答】解：∵∠BAC＝115°，∴∠B+∠C＝65°，∵DE、FG分别为AB、AC的垂直平分线，∴EA＝EB，GA＝GC，∴∠EAB＝∠B，∠GAC＝∠C，∴∠EAG＝∠BAC﹣（∠EAB+∠GAC）＝∠BAC﹣（∠B+∠C）＝50°，故选：A．7．【解答】解：根据题意得，解得﹣≤m＜4．故选：B．8．【解答】解：根据排列规律，10下面的数是12，10右面的数是14，∵8＝2×4﹣0，22＝4×6﹣2，44＝6×8﹣4，∴m＝12×14﹣10＝158．故选：B．9．【解答】解：如图，延长CA交⊙A与点D，连接OD，，∵同弧所对的圆周角相等，∴∠OBC＝∠ODC，∵CD是⊙A的直径，∴∠COD＝90°，∴cos∠ODC＝＝＝，∴cos∠OBC＝，即∠OBC的余弦值为．故选：C．10．【解答】解：∵直线y＝2x+3与y＝2x﹣5的k值相等，∴直线y＝2x+3与y＝2x﹣5的位置关系是平行，故选：A．11．【解答】解：∵二次函数y＝（x﹣1）2﹣4，∴抛物线的开口向上，当y＝0时，0＝（x﹣1）2﹣4，解得：x＝3或﹣1，∴当y＜0时，x的取值范围是﹣1＜x＜3，故选：C．12．【解答】解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线交y轴于正半轴，∴c＞0，∵﹣＞0，∴b＞0，∴abc＜0，故①正确，∵x＝﹣2时，y＜0，∴4a﹣2b+c＜0，即4a+c＜2b，故②正确，∵y＝ax2+bx+c的图象过点（﹣1，0）和（m，0），∴﹣1×m＝，am2+bm+c＝0，∴++＝0，∴＝1﹣，故③正确，∵﹣1+m＝﹣，∴﹣a+am＝﹣b，∴am＝a﹣b，∵am2+（2a+b）m+a+b+c＝am2+bm+c+2am+a+b＝2a﹣2b+a+b＝3a﹣b＜0，故④正确，∵m+1＝|﹣|，∴m+1＝||，∴|am+a|＝，故⑤正确，故选：B．二．填空题（本题6小题，每题3分，共18分）13．【解答】解：﹣9+3x≤0，3x≤9，∴x≤3，∴不等式﹣9+3x≤0的非负整数解有0，1，2，3，即0+1+2+3＝6．故答案为：6．14．【解答】解：m2n﹣4mn﹣4n＝n（m2﹣4m﹣4）．故答案为n（m2﹣4m﹣4）．15．【解答】解：如图所示：连接OA、OB．∵⊙O为正五边形ABCDE的外接圆，⊙O的半径为5，∴∠AOB＝＝72°，∴的长为：＝2π．故答案为2π．16．【解答】解：∵OA的解析式为：y＝，又∵AO∥BC，点C的坐标为：（0，2），∴BC的解析式为：y＝，设点B的坐标为：（m，m+2），∵OD＝4，OC＝2，BC∥AO，∴△BCD～△AOD，∴点A的坐标为：（2m，m），∵点A和点B都在y＝上，∴m（）＝2m•m，解得：m＝2，即点A的坐标为：（4，），k＝4×＝，故答案为：．17．【解答】解：（1）∵在△ABO中，OA＝OB，∠OAB＝30°，∴∠AOB＝180°﹣2×30°＝120°，∵P A、PB是⊙O的切线，∴OA⊥P A，OB⊥PB，即∠OAP＝∠OBP＝90°，∴在四边形OAPB中，∠APB＝360°﹣120°﹣90°﹣90°＝60°，故答案为：60°．（2）如图，连接OP；∵P A、PB是⊙O的切线，∴PO平分∠APB，即∠APO＝∠APB＝30°，又∵在Rt△OAP中，OA＝3，∠APO＝30°，∴AP＝＝＝2，故答案为：2．18．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝CD＝BC＝AB，∠EAD＝∠HDC＝∠GCB＝∠FBA＝90°，∵AE＝BF＝CG＝DH，∴△EAD≌△FBA≌△GCB≌△HDC（SAS），∴∠EAP＝∠HDE＝∠FBQ＝∠HCD，∴∠QPS＝∠ADE+∠DAP＝∠BAF+∠DAP＝∠BAD＝90°，同理∠PSR＝90°∠SRQ＝90°，∴四边形PSRQ是矩形，∵∠HSD＝∠GRC＝∠APE＝∠BQF＝90°，∠GCR＝∠HDS＝∠EAP＝∠QBF，CG＝HD＝AE＝BF，∴△CGR≌△BFQ≌△AEP≌△DHS，∴CR＝DS＝AP＝BQ，GR＝HS＝EP＝QF，∵△EAD≌△FBA≌△GCB≌△HDC，∴DE＝AF＝BG＝CH，∴SR＝SP，∴矩形SPQR是正方形，法①：又∵S△ADE＝x/2，设△DHS的面积是a，设四边形HSP A的面积是b，CH∥AF，∴△DSH∽△DP A，∴＝，∴＝，∴a＝b，S△AED＝x＝2a+b＝b，∴b＝，a+b＝，∴S四边形PQRS＝1×1﹣4（a+b）＝，法②：过Q作QN平行BC，易证∠QNR＝∠BCR＝∠BGC，设为θ；则可知QR＝QN sinθ，又QN＝FC＝1﹣x，sinθ＝＝；故QR＝，S四边形PQRS＝QR2＝．故答案为：．三．解答题（本题10小题，共66分）19．【解答】解：（1）原式＝﹣1+1+2﹣2＝；（2）原式＝+•＝+＝+＝＝．20．【解答】解：方程两边同乘（x+2）（x﹣2）得x﹣2+4x﹣2（x+2）＝x2﹣4，整理，得x2﹣3x+2＝0，解这个方程得x1＝1，x2＝2，经检验，x2＝2是增根，舍去，所以，原方程的根是x＝1．21．【解答】解：如图所示，△ABC为所求作22．【解答】解：（1）∵0.5小时的有100人占被调查总人数的20%，∴被调查的人数有：100÷20%＝500，1.5小时的人数有：500﹣100﹣200﹣80＝120，补全的条形统计图如下图所示，故答案为：500；（2）由（1）可知被调查学生500人，由条形统计图可得，中位数是1小时，故答案为：1；（3）由题意可得，该校每天户外活动时间超过1小时的学生数为：×1800＝720人，即该校每天户外活动时间超过1小时的学生有720人．23．【解答】证明：∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AEB＝∠CFD＝90°，在Rt△ABE和Rt△CDF中，，∴Rt△ABE≌Rt△CDF，∴ABE＝∠CDF，∴AB∥CD，∵AB＝CD，∴四边形ABCD是平行四边形．24．【解答】解：（1）如图1，∵PM∥BD，∴△APM∽△ABD，＝，即＝，∴AP＝AB，∵NQ∥AC，∴△BNQ∽△BCA，∴＝，即＝，∴BQ＝AB，而AP+PQ+BQ＝AB，∴AB+12+AB＝AB，∴AB＝18．答：两路灯的距离为18m；（2）如图1，他在路灯A下的影子为BN，∵BM∥AC，∴△NBM∽△NAC，∴＝，即＝，解得BN＝3.6．答：当他走到路灯B时，他在路灯A下的影长是3.6m．25．【解答】解：（1）由题意得：甲的骑行速度为：＝240（米/分），240×（11﹣1）÷2＝1200（米），则点M的坐标为（6，1200），故答案为：240，（6，1200）；（2）设MN的解析式为：y＝kx+b（k≠0），∵y＝kx+b（k≠0）的图象过点M（6，1200）、N（11，0），∴，解得，∴直线MN的解析式为：y＝﹣240x+2640；即甲返回时距A地的路程y与时间x之间的函数关系式：y＝﹣240x+2640；（3）设甲返回A地之前，经过x分两人距C地的路程相等，乙的速度：1200÷20＝60（米/分），如图1所示：∵AB＝1200，AC＝1020，∴BC＝1200﹣1020＝180，分5种情况：①当0＜x≤3时，1020﹣240x＝180﹣60x，x＝＞3，此种情况不符合题意；②当3＜x＜﹣1时，即3＜x＜，甲、乙都在A、C之间，∴1020﹣240x＝60x﹣180，x＝4，③当＜x＜6时，甲在B、C之间，乙在A、C之间，∴240x﹣1020＝60x﹣180，x＝＜，此种情况不符合题意；④当x＝6时，甲到B地，距离C地180米，乙距C地的距离：6×60﹣180＝180（米），即x＝6时两人距C地的路程相等，⑤当x＞6时，甲在返回途中，当甲在B、C之间时，180﹣[240（x﹣1）﹣1200]＝60x﹣180，x＝6，此种情况不符合题意，当甲在A、C之间时，240（x﹣1）﹣1200﹣180＝60x﹣180，x＝8，综上所述，在甲返回A地之前，经过4分钟或6分钟或8分钟时两人距C地的路程相等．26．【解答】解：连接AC，如图所示：∵直线AT切⊙O于点A，∴∠BAT＝90°，在Rt△ABT中，∠B＝30°，AT＝，∴tan30°＝，即AB＝＝3；∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，在Rt△ABC中，∠B＝30°，AB＝3，∴cos30°＝，则BC＝AB•cos30°＝．27．【解答】解：（1）由题意得：，解得：，∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3；（2）令﹣x2+2x+3＝0，∴x1＝﹣1，x2＝3，即B（3，0），设直线BC的解析式为y＝kx+b′，∴，解得：，∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，设P（a，3﹣a），则D（a，﹣a2+2a+3），∴PD＝（﹣a2+2a+3）﹣（3﹣a）＝﹣a2+3a，∴S△BDC＝S△PDC+S△PDB＝PD•a+PD•（3﹣a）＝PD•3＝（﹣a2+3a）＝﹣（a﹣）2+，∴当a＝时，△BDC的面积最大，此时P（，）；（3）由（1），y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴E（1，4），设N（1，n），则0≤n≤4，取CM的中点Q（，），∵∠MNC＝90°，∴NQ＝CM，∴4NQ2＝CM2，∵NQ2＝（1﹣）2+（n﹣）2，∴[（1﹣）2+（n﹣）2]＝m2+9，整理得，m＝n2﹣3n+1，即m＝（n﹣）2﹣，∵0≤n≤4，当n＝上，m最小值＝﹣，n＝4时，m＝5，综上，m的取值范围为：﹣≤m≤5．28．【解答】解：（1）∵AD＝CD．∴∠DAC＝∠ACD＝45°，∵∠CEB＝45°，∴∠DAC＝∠CEB，∵∠ECA＝∠ECA，∴△CEF∽△CAE，∴，在Rt△CDE中，根据勾股定理得，CE＝，∵CA＝2，∴，∴CF＝；（2）∵∠CFE＝∠BF A，∠CEB＝∠CAB，∴∠ECA＝180°﹣∠CEB﹣∠CFE＝180°﹣∠CAB﹣∠BF A，∵∠ABF＝180°﹣∠CAB﹣∠AFB，∴∠ECA＝∠ABF，∵∠CAE＝∠BAF＝45°，∴△CEA∽△BF A，∴y＝＝＝＝（0＜x＜2），（3）由（2）知，△CEA∽△BF A，∴，∴，∴AB＝x+2，∵∠ABE的正切值是，∴tan∠ABE＝＝＝，∴x＝，∴AB＝x+2＝．。
2019-2020西安市中考数学一模试题含答案
2019-2020西安市中考数学一模试题含答案一、选择题1．如图，已知a ∥b ，l 与a 、b 相交，若∠1=70°，则∠2的度数等于（ ）A ．120°B ．110°C ．100°D ．70°2．在下面的四个几何体中，左视图与主视图不相同的几何体是( )A ．B ．C ．D ．3．三张外观相同的卡片分别标有数字1，2，3，从中随机一次性抽出两张，则这两张卡片上的数字恰好都小于3的概率是（ ）A ．19B ．16C ．13D ．234．如图，在ABC V 中，90ACB ∠=︒，分别以点A 和点C 为圆心，以大于12AC 的长为半径作弧，两弧相交于点M 和点N ，作直线MN 交AB 于点D ，交AC 于点E ，连接CD .若34B ∠=︒，则BDC ∠的度数是（ ）A ．68︒B ．112︒C ．124︒D ．146︒5．如图，AB ，AC 分别是⊙O 的直径和弦，OD AC ⊥于点D ，连接BD ，BC ，且10AB =，8AC =，则BD 的长为（ ）A ．5B ．4C ．213D ．4.86．如图，在直角坐标系中，直线122y x =-与坐标轴交于A 、B 两点，与双曲线2k y x =（0x >）交于点C ，过点C 作CD ⊥x 轴，垂足为D ，且OA=AD ，则以下结论： ①ΔADB ΔADC S S =；②当0＜x ＜3时，12y y <；③如图，当x=3时，EF=83； ④当x ＞0时，1y 随x 的增大而增大，2y 随x 的增大而减小．其中正确结论的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．47．如图,在△ABC 中,∠ACB=90°, ∠ABC=60°, BD 平分∠ABC ,P 点是BD 的中点,若AD=6, 则CP 的长为( )A ．3.5B ．3C ．4D ．4.58．实数,,a b c 在数轴上的对应点的位置如图所示，若a b =，则下列结论中错误的是（ ）A ．0a b +>B ．0a c +>C ．0b c +>D ． 0ac < 9．方程21(2)304m x mx --+=有两个实数根，则m 的取值范围（ ） A ．52m > B ．52m ≤且2m ≠ C ．3m ≥ D ．3m ≤且2m ≠10．一副直角三角板如图放置，点C 在FD 的延长线上，AB//CF ，∠F=∠ACB=90°，则∠DBC 的度数为( )A．10°B．15°C．18°D．30°11．均匀的向一个容器内注水，在注水过程中，水面高度h与时间t的函数关系如图所示，则该容器是下列中的（）A．B．C．D．12．cos45°的值等于( )A．2B．1C．3D．22二、填空题13．如图，在菱形ABCD中，AB=5，AC=8，则菱形的面积是．14．如图，△ABC的三个顶点均在正方形网格格点上，则tan∠BAC=_____________．15．如图，直线a、b被直线l所截，a∥b，∠1=70°，则∠2= ．16．已知62x =+，那么222x x -的值是_____．17．在函数3y x=-的图象上有三个点（﹣2，y 1），（﹣1，y 2），（12，y 3），则y 1，y 2，y 3的大小关系为_____． 18．甲、乙两人在1200米长的直线道路上跑步，甲、乙两人同起点、同方向出发，并分别以不同的速度匀速前进，已知，甲出发30秒后，乙出发，乙到终点后立即返回，并以原来的速度前进，最后与甲相遇，此时跑步结束．如图，y （米）表示甲、乙两人之间的距离，x （秒）表示甲出发的时间，图中折线及数据表示整个跑步过程中y 与x 函数关系，那么，乙到达终点后_____秒与甲相遇．19．在学校组织的义务植树活动中，甲、乙两组各四名同学的植树棵数如下，甲组：9，9，11，10；乙组：9，8，9，10；分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，则这两名同学的植树总棵数为19的概率______．20．若关于x 的一元二次方程kx 2+2(k+1)x+k －1=0有两个实数根，则k 的取值范围是三、解答题21．已知关于x 的方程220x ax a ++-=.（1）当该方程的一个根为1时，求a 的值及该方程的另一根；（2）求证：不论a 取何实数，该方程都有两个不相等的实数根.22．为了解某县建档立卡贫困户对精准扶贫政策落实的满意度，现从全县建档立卡贫困户中随机抽取了部分贫困户进行了调查（把调查结果分为四个等级：A 级：非常满意；B 级：满意；C 级：基本满意；D 级：不满意），并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图.请根据统计图中的信息解决下列问题：（1）本次抽样调查测试的建档立卡贫困户的总户数______.（2）图1中，∠α的度数是______，并把图2条形统计图补充完整.（3）某县建档立卡贫困户有10000户，如果全部参加这次满意度调查，请估计非常满意的人数约为多少户？a b c d e）中随机选取两户，调查他（4）调查人员想从5户建档立卡贫困户（分别记为,,,,们对精准扶贫政策落实的满意度，请用列表或画树状图的方法求出选中贫困户e的概率. 23．直线AB交⊙O于C、D两点，CE是⊙O的直径，CF平分∠ACE交⊙O于点F，连接EF，过点F作FG∥ED交AB于点G．（1）求证：直线FG是⊙O的切线；（2）若FG＝4，⊙O的半径为5，求四边形FGDE的面积．24．如图，BD是△ABC的角平分线，过点D作DE∥BC交AB于点E，DF∥AB交BC于点F．（1）求证：四边形BEDF为菱形；（2）如果∠A=90°，∠C=30°，BD=12，求菱形BEDF的面积．25．某校学生会发现同学们就餐时剩余饭菜较多，浪费严重，于是准备在校内倡导“光盘行动”，让同学们珍惜粮食，为了让同学们理解这次活动的重要性，校学生会在某天午餐后，随机调查了部分同学这餐饭菜的剩余情况，并将结果统计后绘制成了如图所示的不完整的统计图．（1）这次被调查的同学共有人；（2）补全条形统计图，并在图上标明相应的数据；（3）校学生会通过数据分析，估计这次被调查的所有学生一餐浪费的食物可以供50人食用一餐．据此估算，该校18000名学生一餐浪费的食物可供多少人食用一餐．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【解析】【分析】先求出∠1的邻补角的度数，再根据两直线平行，同位角相等即可求出∠2的度数．【详解】如图，∵∠1=70°，∴∠3=180°﹣∠1=180°﹣70°=110°，∵a∥b，∴∠2=∠3=110°，故选B．【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键.平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补.2．B解析：B【解析】【分析】由几何体的三视图知识可知，主视图、左视图是分别从物体正面、左面看所得到的图形，细心观察即可求解.【详解】A、正方体的左视图与主视图都是正方形，故A选项不合题意；B、长方体的左视图与主视图都是矩形，但是矩形的长宽不一样，故B选项与题意相符；C、球的左视图与主视图都是圆，故C选项不合题意；D、圆锥左视图与主视图都是等腰三角形，故D选项不合题意；故选B．【点睛】本题主要考查了几何题的三视图，解题关键是能正确画出几何体的三视图.3．C解析：C【解析】【分析】画出树状图即可求解.【详解】解：画树状图得：∵共有6种等可能的结果，而两张卡片上的数字恰好都小于3有2种情况，∴两张卡片上的数字恰好都小于3概率＝13；故选：C．【点睛】本题考查的是概率，熟练掌握树状图是解题的关键.4．B解析：B【解析】【分析】根据题意可知DE是AC的垂直平分线，CD=DA．即可得到∠DCE=∠A，而∠A和∠B互余可求出∠A，由三角形外角性质即可求出∠CDA的度数.【详解】解：∵DE是AC的垂直平分线，∴DA=DC，∴∠DCE=∠A，∵∠ACB=90°，∠B=34°，∴∠A=56°，∴∠CDA=∠DCE+∠A=112°，故选B ．【点睛】本题考查作图-基本作图、线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，三角形有关角的性质等知识，解题的关键是熟练运用这些知识解决问题，属于中考常考题型．5．C解析：C【解析】【分析】先根据圆周角定理得∠ACB=90°，则利用勾股定理计算出BC=6，再根据垂径定理得到142CD AD AC ===，然后利用勾股定理计算BD 的长． 【详解】 ∵AB 为直径，∴90ACB ︒∠=，∴6BC ==，∵OD AC ⊥， ∴142CD AD AC ===，在Rt CBD ∆中，BD ==故选C ．【点睛】 本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了垂径定理．6．C解析：C【解析】试题分析：对于直线122y x =-，令x=0，得到y=2；令y=0，得到x=1，∴A （1，0），B （0，﹣2），即OA=1，OB=2，在△OBA 和△CDA 中，∵∠AOB=∠ADC=90°，∠OAB=∠DAC ，OA=AD ，∴△OBA ≌△CDA （AAS ），∴CD=OB=2，OA=AD=1，∴ΔADB ΔADC S S =（同底等高三角形面积相等），选项①正确；∴C （2，2），把C 坐标代入反比例解析式得：k=4，即24y x =，由函数图象得：当0＜x ＜2时，12y y <，选项②错误；当x=3时，14y =，243y =，即EF=443-=83，选项③正确；当x ＞0时，1y 随x 的增大而增大，2y 随x 的增大而减小，选项④正确，故选C ． 考点：反比例函数与一次函数的交点问题．7．B解析：B【解析】【分析】【详解】解：∵∠ACB ＝90°，∠ABC ＝60°，∴∠A ＝30°，∵BD 平分∠ABC ，∴∠ABD ＝12∠ABC ＝30°， ∴∠A ＝∠ABD ， ∴BD ＝AD ＝6， ∵在Rt △BCD 中，P 点是BD 的中点，∴CP ＝12BD ＝3． 故选B ． 8．A解析：A【解析】【分析】根据a b =，确定原点的位置，根据实数与数轴即可解答．【详解】解：a b =Q ，∴原点在a ，b 的中间，如图，由图可得：a c <，0a c +>，0b c +<，0ac <，0a b +=，故选项A 错误，故选A ．【点睛】本题考查了实数与数轴，解决本题的关键是确定原点的位置．9．B解析：B【解析】【分析】根据一元二次方程的定义、二次根式有意义的条件和判别式的意义得到20m -≠，30m -≥，(()214204m ∆=--⨯≥，然后解不等式组即可． 【详解】解：根据题意得 20m -≠，30m -≥，(()214204m ∆=--⨯≥， 解得m ≤52且m ≠2． 故选B ．10．B解析：B【解析】【分析】直接利用三角板的特点，结合平行线的性质得出∠ABD=45°，进而得出答案．【详解】由题意可得：∠EDF=45°，∠ABC=30°，∵AB ∥CF ，∴∠ABD=∠EDF=45°，∴∠DBC=45°﹣30°=15°．故选B.【点睛】本题考查的是平行线的性质，熟练掌握这一点是解题的关键.11．D解析：D【解析】【分析】由函数图象可得容器形状不是均匀物体分析判断，由图象及容积可求解．【详解】根据图象折线可知是正比例函数和一次函数的函数关系的大致图象；切斜程度（即斜率）可以反映水面升高的速度；因为D 几何体下面的圆柱体的底圆面积比上面圆柱体的底圆面积小,所以在均匀注水的前提下是先快后慢;故选D.【点睛】此题主要考查了函数图象，解决本题的关键是根据用的时间长短来判断相应的函数图象．12．D解析：D【解析】【分析】将特殊角的三角函数值代入求解．【详解】解：cos45°=22．故选D．【点睛】本题考查特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值．二、填空题13．【解析】【分析】连接BD交AC于点O由勾股定理可得BO=3根据菱形的性质求出BD再计算面积【详解】连接BD交AC于点O根据菱形的性质可得AC⊥BDAO=CO=4由勾股定理可得BO=3所以BD=6即可解析：【解析】【分析】连接BD，交AC于点O，由勾股定理可得BO=3，根据菱形的性质求出BD，再计算面积.【详解】连接BD，交AC于点O，根据菱形的性质可得AC⊥BD，AO=CO=4，由勾股定理可得BO=3，所以BD=6，即可得菱形的面积是12×6×8=24．考点：菱形的性质；勾股定理.14．【解析】分析：在图形左侧添加正方形网格分别延长ABAC连接它们延长线所经过的格点可构成直角三角形利用正切的定义即可得出答案详解：如图所示由图形可知∴tan∠BAC=故答案为点睛：本题考查了锐角三角函解析：1 3【解析】分析：在图形左侧添加正方形网格，分别延长AB、AC，连接它们延长线所经过的格点，可构成直角三角形，利用正切的定义即可得出答案.详解：如图所示，由图形可知，90AFE ∠=︒，3AF AC =，EF AC =，∴tan ∠BAC =133EF AC AF AC ==. 故答案为13. 点睛：本题考查了锐角三角函数的定义. 利用网格构建直角三角形进而利用正切的定义进行求解是解题的关键.15．110°【解析】∵a ∥b ∴∠3=∠1=70°∵∠2+∠3=180°∴∠2=110°解析：110°【解析】∵a ∥b ，∴∠3=∠1=70°，∵∠2+∠3=180°，∴∠2=110°16．4【解析】【分析】将所给等式变形为然后两边分别平方利用完全平方公式即可求出答案【详解】∵∴∴∴∴故答案为：4【点睛】本题考查了二次根式的运算解题的关键是熟练运用二次根式的运算以及完全平方公式注意正确 解析：4【解析】【分析】 将所给等式变形为26x =【详解】 ∵62x =， ∴26x -= ∴(2226x =， ∴22226x x -+=， ∴2224x x -=，故答案为：4【点睛】本题考查了二次根式的运算，解题的关键是熟练运用二次根式的运算以及完全平方公式.注意正确的变形可以使得运算简便.17．y2＞y1＞y3【解析】【分析】根据图象上的点（xy ）的横纵坐标的积是定值k 可得xy=k 据此解答即可【详解】解：∵函数y=-的图象上有三个点（-2y1）（-1y2）（y3）∴-2y1=-y2=y3=解析：y2＞y1＞y3．【解析】【分析】根据图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，可得xy=k，据此解答即可．【详解】解：∵函数y=-3x的图象上有三个点（-2，y1），（-1，y2），（12，y3），∴-2y1=-y2=12y3=-3，∴y1=1.5，y2=3，y3=-6，∴y2＞y1＞y3．故答案为y2＞y1＞y3．【点睛】本题考查了反比例函数的图象上点的坐标特征．解题时注意：图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．18．30【解析】【分析】由图象可以V甲＝9030＝3m/sV追＝90120-30＝1m/s故V乙＝1+3＝4m/s由此可求得乙走完全程所用的时间为：12004＝300 s则可以求得此时乙与甲的距离即可求出解析：30【解析】【分析】由图象可以V甲＝＝3m/s，V追＝＝1m/s，故V乙＝1+3＝4m/s，由此可求得乙走完全程所用的时间为：＝300s，则可以求得此时乙与甲的距离，即可求出最后与甲相遇的时间．【详解】由图象可得V甲＝＝3m/s，V追＝＝1m/s，∴V乙＝1+3＝4m/s，∴乙走完全程所用的时间为：＝300s，此时甲所走的路程为：（300+30）×3＝990m．此时甲乙相距：1200﹣990＝210m则最后相遇的时间为：＝30s故答案为：30【点睛】此题主要考查一次函数图象的应用，利用函数图象解决行程问题．此时就要求掌握函数图象中数据表示的含义．19．【解析】【分析】【详解】画树状图如图：∵共有16种等可能结果两名同学的植树总棵数为19的结果有5种结果∴这两名同学的植树总棵数为19的概率为解析：5 16．【解析】【分析】【详解】画树状图如图：∵共有16种等可能结果，两名同学的植树总棵数为19的结果有5种结果，∴这两名同学的植树总棵数为19的概率为5 16.20．k≥-13且k≠0【解析】试题解析：∵a=kb=2（k+1）c=k-1∴△=4（k+1）2-4×k×（k-1）=3k+1≥0解得：k≥-13∵原方程是一元二次方程∴k≠0考点：根的判别式解析：k≥，且k≠0【解析】试题解析：∵a=k，b=2（k+1），c=k-1，∴△=4（k+1）2-4×k×（k-1）=3k+1≥0，解得：k≥-，∵原方程是一元二次方程，∴k≠0．考点：根的判别式．三、解答题21．（1）12，32；（2）证明见解析.【解析】试题分析：（1）根据一元二次方程根与系数的关系列方程组求解即可.（2）要证方程都有两个不相等的实数根，只要证明根的判别式大于0即可.试题解析：（1）设方程的另一根为x 1，∵该方程的一个根为1，∴1111{211a xa x +=--⋅=.解得132{12x a =-=. ∴a 的值为12，该方程的另一根为32-. （2）∵()()222241248444240a a a a a a a ∆=-⋅⋅-=-+=-++=-+>，∴不论a 取何实数，该方程都有两个不相等的实数根.考点：1.一元二次方程根与系数的关系；2. 一元二次方程根根的判别式；3.配方法的应用.22．（1）60；（2）54°；（3）1500户；（4）见解析，25. 【解析】【分析】（1）用B 级人数除以B 级所占百分比即可得答案；（2）用A 级人数除以总人数可求出A 级所占百分比，乘以360°即可得∠α的度数，总人数减去A 级、B 级、D 级的人数即可得C 级的人数，补全条形统计图即可；（3）用10000乘以A 级人数所占百分比即可得答案；（4）画出树状图，得出所有可能出现的结果及选中e 的结果，根据概率公式即可得答案.【详解】（1）21÷35%=60（户） 故答案为60（2）9÷60×360°=54°，C 级户数为：60-9-21-9=21（户），补全条形统计图如所示：故答案为：54°（3）910000150060⨯=（户） （4）由题可列如下树状图：由树状图可知，所有可能出现的结果共有20种，选中e的结果有8种∴P（选中e）=82 205.【点睛】本题考查了条形统计图、扇形统计图及概率，概率=所求结果数与所有可能出现的结果数的比值，正确得出统计图中的信息，熟练掌握概率公式是解题关键.23．（1）证明见解析（2）48【解析】【分析】（1）利用角平分线的性质以及等腰三角形的性质得出∠OFC=∠FCG，继而得出∠GFC+∠OFC=90°，即可得出答案；（2）首先得出四边形FGDH是矩形，进而利用勾股定理得出HO的长，进而得出答案.【详解】（1）连接FO，∵ OF＝OC，∴∠OFC＝∠OCF．∵CF平分∠ACE，∴∠FCG＝∠FCE．∴∠OFC＝∠FCG．∵ CE是⊙O的直径，∴∠EDG＝90°，又∵FG//ED，∴∠FGC＝180°－∠EDG＝90°，∴∠GFC＋∠FCG＝90°∴∠GFC＋∠OFC＝90°，即∠GFO＝90°，∴OF⊥GF，又∵OF是⊙O半径，∴FG与⊙O相切．（2）延长FO，与ED交于点H，由(1)可知∠HFG＝∠FGD＝∠GDH＝90°，∴四边形FGDH是矩形．∴FH⊥ED，∴HE＝HD．又∵四边形FGDH是矩形，FG＝HD，∴HE＝FG＝4.∴ED＝8.∵在Rt△OHE中，∠OHE＝90°，∴OH＝22OE HE-＝2254-＝3．∴FH＝FO＋OH＝5＋3＝8．S四边形FGDH＝12(FG＋ED)•FH＝12×(4＋8)×8＝48．24．(1)见解析;(2)243.【解析】【分析】（1）根据平行四边形的和菱形的判定证明即可；（2）根据含30°的直角三角形的性质和勾股定理以及菱形的面积解答即可．【详解】证明：（1）∵DE∥BC，DF∥AB，∴四边形BFDE是平行四边形，∵BD是△ABC的角平分线，∴∠EBD=∠DBF，∵DE∥BC，∴∠EDB=∠DBF，∴∠EBD=∠EDB，∴BE=ED，∴平行四边形BFDE是菱形；（2）连接EF，交BD于O，∵∠BAC=90°，∠C=30°，∴∠ABC=60°，∵BD平分∠ABC，∴∠DBC=30°，∴BD=DC=12，∵DF ∥AB ，∴∠FDC=∠A=90°，∴DF=4333==， 在Rt △DOF 中，OF=()222243623DF OD -=-=， ∴菱形BFDE 的面积=12×EF •BD ＝12×12×43=243． 【点评】此题考查了菱形的判定和性质，熟练掌握菱形的判定和性质是解题的关键．25．(1)1000,(2)答案见解析；（3）900.【解析】【分析】（1）结合不剩同学的个数和比例，计算总体个数，即可．（2）结合总体个数，计算剩少数的个数，补全条形图，即可．（3）计算一餐浪费食物的比例，乘以总体个数，即可．【详解】解：（1）这次被调查的学生共有600÷60%＝1000人，故答案为1000；（2）剩少量的人数为1000﹣（600+150+50）＝200人，补全条形图如下：（3），答：估计该校18000名学生一餐浪费的食物可供900人食用一餐．【点睛】考查统计知识，考查扇形图的理解，难度较容易．。
2019年陕西省中考数学试题及答案全解全析
陕西省2019年初中毕业生学业考试数学试卷一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1.（2019陕西中考，1，4分，★☆☆）计算：（﹣3）0＝（）A．1 B．0 C．3 D．1 32.（2019陕西中考，2，4分，★☆☆）如图，是由两个正方体组成的几何体，则该几何体的俯视图为（）第2题 A B C D3.（2019陕西中考，3，4分，★☆☆）如图，OC是∠AOB的角平分线，l∥OB，若∠1＝52°，则∠2的度数为（）A．52°B．54°C．64°D．69°4.（2019陕西中考，4，4分，★☆☆）若正比例函数y＝﹣2x的图象经过点O（a﹣1，4），则a的值为（）A．﹣1 B．0 C．1 D．25.（2019陕西中考，5，4分，★☆☆）下列计算正确的是（）A．2a2•3a2＝6a2B．（﹣3a2b）2＝6a4b2C．（a﹣b）2＝a2﹣b2D．﹣a2+2a2＝a26.（2019陕西中考，6，4分，★☆☆）如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝45°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E．若DE＝1，则BC的长为（）A．2+2B．23+C．2+3D．37.（2019陕西中考，7，4分，★☆☆）在平面直角坐标系中，将函数y＝3x的图象向上平移6个单位长度，则平移后的图象与x轴的交点坐标为（）A．（2，0） B．（﹣2，0）C．（6，0） D．（﹣6，0）8.（2019陕西中考，8，4分，★★☆）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝6，若点E，F分别在AB，CD上，且BE＝2AE，DF＝2FC，G，H分别是AC的三等分点，则四边形EHFG的面积为（）A．1 B．32C．2 D．49.（2019陕西中考，9，4分，★☆☆）如图，AB是⊙O的直径，EF，EB是⊙O的弦，且EF＝EB，EF与AB交于点C，连接OF，若∠AOF＝40°，则∠F的度数是（）A．20°B．35°C．40°D．55°10.（2019陕西中考，10，4分，★★☆）在同一平面直角坐标系中，若抛物线y＝x2+（2m﹣1）x+2m﹣4与y＝x2﹣（3m+n）x+n关于y轴对称，则符合条件的m，n的值为（）A．m＝57，n＝187-B．m＝5，n＝﹣6C．m＝﹣1，n＝6 D．m＝1，n＝﹣2 二、填空题（共4小题，每小题3分，共12分）11.（2019陕西中考，11，5分，★☆☆）已知实数12-，0.163，π2534，其中为无理数的是 ．12.（2019陕西中考，12，5分，★☆☆）若正六边形的边长为3，则其较长的一条对角线长为 ．13.（2019陕西中考，13，5分，★★☆）如图，D 是矩形AOBC 的对称中心，A （0，4），B （6，0），若一个反比例函数的图象经过点D ，交AC 于点M ，则点M 的坐标为 ．14.（2019陕西中考，14，5分，★★☆）如图，在正方形ABCD 中，AB ＝8，AC 与BD 交于点O ，N 是AO 的中点，点M 在BC 边上，且BM ＝6．P 为对角线BD 上一点，则PM ﹣PN 的最大值为 ．三、解答题（共78分）15.（2019陕西中考，15，5分，★☆☆）计算：﹣2×327-+|13﹣（12）﹣2.16.（2019陕西中考，16，5分，★★☆）化简：22282242a a a a a a a -+⎛⎫+÷ ⎪+--⎝⎭.17.（2019陕西中考，17，5分，★★☆）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的高．请用尺规作图法，求作△ABC的外接圆．（保留作图痕迹，不写作法）18.（2019陕西中考，18，5分，★★☆）如图，点A，E，F，B在直线l上，AE＝BF，AC∥BD，且AC＝BD，求证：CF＝DE．19.（2019陕西中考，19，7分，★★☆）本学期初，某校为迎接中华人民共和国建国七十周年，开展了以“不忘初心，缅怀革命先烈，奋斗新时代”为主题的读书活动．校德育处对本校七年级学生四月份“阅读该主题相关书籍的读书量”（下面简称：“读书量”）进行了随机抽样调查，并对所有随机抽取学生的“读书量”（单位：本）进行了统计，如图所示：根据以上信息，解答下列问题：（1）补全上面两幅统计图，填出本次所抽取学生四月份“读书量”的众数为．（2）求本次所抽取学生四月份“读书量”的平均数；（3）已知该校七年级有1200名学生，请你估计该校七年级学生中，四月份“读书量”为5本的学生人数．20.（2019陕西中考，20，7分，★★☆）小明利用刚学过的测量知识来测量学校内一棵古树的高度．一天下午，他和学习小组的同学带着测量工具来到这棵古树前，由于有围栏保护，他们无法到达古树的底部B，如图所示．于是他们先在古树周围的空地上选择一点D，并在点D处安装了测量器DC，测得古树的顶端A的仰角为45°；再在BD的延长线上确定一点G，使DG＝5米，并在G处的地面上水平放置了一个小平面镜，小明沿着BG方向移动，当移动带点F时，他刚好在小平面镜内看到这棵古树的顶端A的像，此时，测得FG＝2米，小明眼睛与地面的距离EF＝1.6米，测倾器的高度CD＝0.5米．已知点F、G、D、B在同一水平直线上，且EF、CD、AB均垂直于FB，求这棵古树的高度AB．（小平面镜的大小忽略不计）21.（2019陕西中考，21，7分，★★☆）根据记录，从地面向上11km以内，每升高1km，气温降低6℃；又知在距离地面11km以上高空，气温几乎不变．若地面气温为m（℃），设距地面的高度为x（km）处的气温为y（℃）（1）写出距地面的高度在11km以内的y与x之间的函数表达式；（2）上周日，小敏在乘飞机从上海飞回西安途中，某一时刻，她从机舱内屏幕显示的相关数据得知，飞机外气温为﹣26℃时，飞机距离地面的高度为7km，求当时这架飞机下方地面的气温；小敏想，假如飞机当时在距离地面12km的高空，飞机外的气温是多少度呢？请求出假如当时飞机距离地面12km时，飞机外的气温．22.（2019陕西中考，22，7分，★★☆）现有A、B两个不透明袋子，分别装有3个除颜色外完全相同的小球．其中，A袋装有2个白球，1个红球；B袋装有2个红球，1个白球．（1）将A袋摇匀，然后从A袋中随机取出一个小球，求摸出小球是白色的概率；（2）小华和小林商定了一个游戏规则：从摇匀后的A，B两袋中随机摸出一个小球，摸出的这两个小球，若颜色相同，则小林获胜；若颜色不同，则小华获胜．请用列表法或画出树状图的方法说明这个游戏规则对双方是否公平．23.（2019陕西中考，23，8分，★★☆）如图，AC是⊙O的直径，AB是⊙O的一条弦，AP是⊙O的切线．作BM＝AB并与AP交于点M，延长MB交AC于点E，交⊙O于点D，连接AD．（1）求证：AB＝BE；（2）若⊙O的半径R＝5，AB＝6，求AD的长．24.（2019陕西中考，24，10分，★★☆）在平面直角坐标系中，已知抛物线L：y＝ax2+（c﹣a）x+c经过点A（﹣3，0）和点B（0，﹣6），L关于原点O对称的抛物线为L′．（1）求抛物线L的表达式；（2）点P在抛物线L′上，且位于第一象限，过点P作PD⊥y轴，垂足为D．若△POD与△AOB 相似，求符合条件的点P的坐标．25.（2019陕西中考，25，12分，★★☆）问题提出：（1）如图1，已知△ABC，试确定一点D，使得以A，B，C，D为顶点的四边形为平行四边形，请画出这个平行四边形；问题探究：（2）如图2，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝10，若要在该矩形中作出一个面积最大的△BPC，且使∠BPC＝90°，求满足条件的点P到点A的距离；（3）如图3，有一座塔A，按规定，要以塔A为对称中心，建一个面积尽可能大的形状为平行四边形的景区BCDE．根据实际情况，要求顶点B是定点，点B到塔A的距离为50米，∠CBE＝120°，那么，是否可以建一个满足要求的面积最大的平行四边形景区BCDE？若可以，求出满足要求的平行四边形BCDE的最大面积；若不可以，请说明理由．（塔A的占地面积忽略不计）陕西省2019年初中毕业生学业考试数学试题答案全解全析1.答案：A解析：任何非零数的零次幂都等于1，故选择A.考查内容：非零数的零次幂命题意图：本题主要考查学生对非零数的零次幂的值的识记，难度较低.解析：从上往下看，所以小正方形应在大正方形的右上角．故选：C．考查内容：三视图的画法命题意图：本题主要考查学生对三视图的画法的理解，难度不大.3.答案：C解析：∵l∥OB，∴∠1+∠AOB＝180°，∴∠AOB＝128°，∵OC平分∠AOB，∴∠BOC＝64°，又l∥OB，且∠2与∠BOC为同位角，∴∠2＝64°，故选：C．考查内容：平行线的性质；角平分线的性质命题意图：本题主要考查学生应用平行线的性质求角的问题，难度较小.4.答案：A解析：∵正比例函数y＝﹣2x的图象经过点O（a﹣1，4），∴4＝﹣2（a﹣1），解得：a ＝﹣1．故选：A．考查内容：一次函数图象上点的坐标特征命题意图：本题主要考查学生理解一次函数图象上的点与坐标之间的对应关系，难度不大.5.答案：D解析：∵2a2•3a2＝6a4，故选项A错误；∵（﹣3a2b）2＝9a4b2，故选项B错误；∵（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，故选项C错误；∵﹣a2+2a2＝a2，故选项D正确，故选：D．考查内容：单项式乘以单项式；积的乘方；完全平方差公式；合并同类项命题意图：本题主要考查学生对单项式乘以单项式法则、积的乘方法则、完全平方公式、合并同类项法则的知记，难度不大.方法归纳：（1）所含字母相同,并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项，合并同类项的法则是：系数相加减，字母及其指数不变.（2）同底数幂乘法的性质：a m×a n=a m+n（m、n都是正整数）；（3）同底数幂除法的性质：a m÷a n=a m-n（m、n都是正整数）；（4）幂的乘方的性质(a m)n=a mn（m、n都是正整数）；（5）积的乘方的性质(ab)m=a m b m（m是正整数）．6.答案：A解析：过点D作DF⊥AC于F如图所示，∵AD为∠BAC的平分线，且DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，∴DE＝DF＝1，在Rt△BED 中，∠B＝30°，∴BD＝2DE＝2，在Rt△CDF中，∠C＝45°，∴△CDF为等腰直角三角形，∴CD22，∴BC＝BD+CD＝2，故选：A．考查内容：角平分线的性质；含30°角直角三角形的性质；等角对等边命题意图：本题主要考查学生应用角平分线的性质、含30°角直角三角形的性质以及等角对等边的性质解决几何问题的能力，难度中等.7.答案：B解析：由“上加下减”的原则可知，将函数y＝3x的图象向上平移6个单位长度所得函数的解析式为y＝3x+6，∵此时与x轴相交，则y＝0，∴3x+6＝0，即x＝﹣2，∴点坐标为（﹣2，0），故选：B．考查内容：一次函数的平移规律命题意图：本题主要考查学生对一次函数的平移规律的知记，难度不大.8.答案：C解析：∵BE＝2AE，DF＝2FC，∴12AEBE=，12CFDF=，∵G、H分别是AC的三等分点，∴AGGC=12，CHAH=12，∴AGGC=12AEBE=，∵∠BAC=∠BAC，∴△AEG∽△ABC且相似比为1:3，∴EG∥BC，EG=2，同理可得：HF∥AD，HF=2，∴四边形EHFG为平行四边形，且EG和HF间距离为1，∴S四边形EHFG＝2×1＝2，故选：C．考查内容：矩形的性质；平行四边形的判定；相似三角形的判定和性质；平行四边形的面积命题意图：本题主要考查学生综合应用矩形的性质、相似三角形的判定和性质以及平行四边形的面积公式进行计算的能力，难度中等.9.答案：B解析：连接FB，∵∠AOF＝40°，∴∠FOB＝180°﹣40°＝140°，∴∠FEB＝12∠FOB＝70°，∵EF＝EB，∴∠EFB＝∠EBF＝55°，∵FO＝BO，∴∠OFB＝∠OBF＝20°，∴∠EFO＝∠EBO，∠EFO＝∠EFB﹣∠OFB＝35°，故选：B．考查内容：圆周角定理；等腰三角形的性质；三角形的内角和命题意图：本题主要考查学生综合应用三角形的内角和、圆周角定理以及等腰三角形的性质解决几何综合题的能力，难度中等.10.答案：D解析：根据二次函数的图象关于y轴对称时，a，c不变，b变为相反数可得21324m m n m n-=+⎧⎨-=⎩，解之得12mn=⎧⎨=-⎩，故选：D．考查内容：二次函数的图象和性质；二次函数的图象与几何变换命题意图：本题主要考查学生对二次函数的图象与各项系数之间的对应关系的理解，难度中等偏上.11.答案：3、π、34解析：25=5，12-、0.16是有理数；无理数有3、π、34．故答案为：3、π、34．考查内容：有理数；无理数命题意图：本题主要考查学生对有理数和无理数概念的知记，难度较低.12.答案：6解析：如图：正六边形最长的三条对角线，由正六边形性质可知，△AOB，△COD为两个边长相等的等边三角形，∴AD＝2AB＝6，故答案为6．考查内容：正多边形的性质命题意图：本题主要考查学生对正多边形及其对角线概念的应用，难度不大.13.答案：（32，4）解析：∵A（0，4），B（6，0），∴C（6，4），∵D是矩形AOBC的对称中心，∴D（3，2），设反比例函数的解析式为y＝kx，∴k＝3×2＝6，∴反比例函数的解析式为y＝6x，把y＝4代入得4＝6x，解得x＝32，故M的坐标为（32，4）．故答案为（32，4）．考查内容：反比例函数图象上点的坐标特征；矩形的性质命题意图：本题主要考查学生应用矩形的性质、反比例函数的图象上点求函数解析式的问题，难度中等.14.答案：2解析：如图所示，作以BD为对称轴作N的对称点N\，连接PN\，MN\，根据轴对称性质可知，PN＝PN\，∴PM﹣PN＝PM﹣PN\≤MN\，当P，M，N\三点共线时，PM﹣PN的值最大，∵正方形边长为8，∴AC22，∵O为AC中点，∴AO＝2N为OA中点，∴2，∴ON'＝CN'＝2，∴AN'＝62，∵BM＝6，∴CM＝AB﹣BM＝8﹣6＝2，∴//13CM CNBM AN==，且∠ACM=∠ACM，∴△CMN/∽△CBA，∴PM∥AB∥CD，∠CMN'＝90°，∵∠N'CM＝45°，∴△N'CM为等腰直角三角形，∴CM＝MN'＝2，即PM﹣PN的最大值为2，故答案为：2．考查内容：正方形的性质；轴对称的性质；最值问题；相似三角形的性质和判定；等腰三角形的性质命题意图：本题主要考查学生综合运用正方形的性质、轴对称的性质、相似三角形的性质和判定等性质解决几何最值的问题，难度较大.15.答案：原式＝﹣2×（﹣3）+3﹣1﹣4＝1+3．解析：直接利用立方根的性质以及负指数幂的性质和绝对值的性质分别化简得出答案．考查内容：立方根的性质；绝对值的化简；负整数指数幂命题意图：本题主要考查学生应用立方根、绝对值、负整数指数幂的知识进行实数的运算，难度不大.16.答案：原式＝()()()()2282222a a a aa a a-+-⋅+-+＝()()()()222222a a aaa a a+-⋅=+-+.解析：直接根据分式的混合运算法则进行计算.考查内容：分式的混合运算命题意图：本题主要考查学生应分式的运算法则进行分式的混合运算能力，难度不大.易错警示：分式的混合运算中不能去分母，不能与解分式方程相混淆.17.答案：如图所示：⊙O即为所求．解析：作线段AB的垂直平分线，交AD于点O，以O为圆心，OB为半径作⊙O，⊙O即为所求．考查内容：尺规作图；线段的垂直平分线的作法；等腰三角形的性质；三角形的外接圆命题意图：本题主要考查学生利用尺规作图等知识作三角形的外接圆的知识，难度不大. 18.答案：证明：∵AE＝BF，∴AE+EF＝BF+EF，即AF＝BE，∵AC∥BD，∴∠CAF＝∠DBE，在△ACF和△BDE中，AC BDCAF DBE AF BE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACF≌△BDE（SAS）∴CF＝DE．解析：根据平行线的性质得到∠CAF＝∠DBE，证明△ACF≌△BDE，根据全等三角形的性质证明结论．考查内容：全等三角形的判定和性质；平行线的性质命题意图：本题主要考查学生应用全等三角形的判定方法证明线段相等，难度不大.19.答案：（1）根据统计图可知众数为3，故答案为3；（2）平均数＝3118221312455331821126⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=++++；（3）四月份“读书量”为5本的学生人数＝1200×660＝120（人），答：四月份“读书量”为5本的学生人数为120人．解析：（1）根据条形统计图中可以看出出现次数最多的是3，可知众数为3；（2）直接根据加权平均数进行计算；（3）先求出调查中学生“读书量”为5本占总体的百分比，从而可以估计出四月份“读书量”为5本的学生人数．考查内容：条形统计图；扇形统计图；加权平均数；众数；样本估计总体命题意图：本题主要考查学生对统计图的识图和读图的能力，难度中等.20.答案：如图，过点C作CH⊥AB于点H，则CH＝BD，BH＝CD＝0.5．在Rt△ACH中，∠ACH＝45°，∴AH＝CH＝BD，∴AB＝AH+BH＝BD+0.5．∵EF⊥FB，AB⊥FB，∴∠EFG＝∠ABG＝90°．由题意，易知∠EGF＝∠AGB，∴△EFG∽△ABG，∴EF FGAB BG=即1.620.55BD BD=++，解之，得BD＝17.5，∴AB＝17.5+0.5＝18（m）．∴这棵古树的高AB为18m．解析：过点C作CH⊥AB于点H，则CH＝BD，BH＝CD＝0.5．解Rt△ACH，得出AH＝CH＝BD，那么AB＝AH+BH＝BD+0.5．再证明△EFG∽△ABG，根据相似三角形对应边成比例求出BD＝17.5，进而求出AB即可．考查内容：仰角俯角问题；解直角三角形命题意图：本题主要考查学生应用仰角俯角的知识来解决实际问题，关键是构造直角三角形，难度中等.21.答案：（1）根据题意得：y＝m﹣6x；（2）将x＝7，y＝﹣26代入y＝m﹣6x，得﹣26＝m﹣42，∴m＝16∴当时地面气温为16℃∵x＝12＞11，∴y＝16﹣6×11＝﹣50（℃）假如当时飞机距地面12km时，飞机外的气温为﹣50℃．解析：（1）根据气温等于该处的温度减去下降的温度列式即可；（2）根据（1）的结论，把x和y的值分别代入求解．考查内容：一次函数的实际应用命题意图：本题主要考查学生对一次函数的应用以及函数值的理解和掌握，难度中等.22.答案：（1）共有3种等可能结果，而摸出白球的结果有2种∴P（摸出白球）＝23；（2）根据题意，列表如下：A B 红1 红2 白白1 （白1，红1）（白1，红2）（白1，白）白2 （白2，红1）（白2，红2）（白2，白）红（红，红1）（红，红2）（白1，白）由上表可知，共有9种等可能结果，其中颜色不相同的结果有4种，颜色相同的结果有5种，∴P（颜色不相同）＝49，P（颜色相同）＝59，∵45 99 ，∴这个游戏规则对双方不公平.解析：（1）直接根据概率公式进行计算；（2）利用列表法或树状图的方法分别求出摸出颜色相同的球和摸出颜色不同的小球的概率比较判断.考查内容：概率公式；列表法求概率命题意图：本题主要考查学生概率知识的理解和应用，难度中等偏上.23.答案：（1）证明：∵AP是⊙O的切线，∴∠EAM＝90°，∴∠BAE+∠MAB＝90°，∠AEB+∠AMB＝90°．又∵AB＝BM，∴∠MAB＝∠AMB，∴∠BAE＝∠AEB，∴AB＝BE；（2）解：连接BC，∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC＝90°在Rt△ABC中，AC＝10，AB＝6，∴BC＝8，∵BE＝AB＝BM，∴EM＝12，由（1）知，∠BAE＝∠AEB，∴△ABC∽△EAM∴∠C＝∠AME，EM AM AC BC=，即12108AM=，∴AM＝48 5，又∵∠D＝∠C，∴∠D＝∠AMD∴AD＝AM＝485．解析：（1）根据切线的性质得出∠EAM＝90°，等腰三角形的性质∠MAB＝∠AMB，根据等角的余角相等得出∠BAE＝∠AEB，即可证得AB＝BE；（2）证得△ABC∽△EAM，求得∠C＝∠AME，AM＝485，由∠D＝∠C，求得∠D＝∠AMD，即可证得AD＝AM＝485．考查内容：切线的性质；等腰三角形的性质；相似三角形的性质和判定；圆周角定理命题意图：本题主要考查学生应用切线的性质、相似三角形的判定和性质、圆周角定理等知识解决综合几何题的问题，难度中等偏上.24.答案：（1）将点A、B的坐标代入抛物线表达式得：93()06a c a cc--+=⎧⎨=-⎩，解得：16ac=-⎧⎨=-⎩，∴L：y＝﹣x2﹣5x﹣6（2）∵点A、B在L′上的对应点分别为A′（3，0）、B′（0，6），∴设抛物线L′的表达式y＝x2+bx+6，将A′（﹣3，0）代入y＝x2+bx+6，得b＝﹣5，∴抛物线L′的表达式为y＝x2﹣5x+6，A（﹣3，0），B（0，﹣6），∴AO＝3，OB＝6，设：P（m，m2﹣5m+6）（m＞0），∵PD⊥y轴，∴点D的坐标为（0，m2﹣5m+6），∵PD＝m，OD＝m2﹣5m+6，Rt△POD与Rt△AOB相似，①△PDO∽△BOA时，PD ODOB OA=，即m＝2（m2﹣5m+6），解得：m＝32或4；②当△ODP∽△AOB时，同理可得：m＝1或6；∵P1、P2、P3、P4均在第一象限，∴符合条件的点P的坐标为（1，2）或（6，12）或33,24⎛⎫⎪⎝⎭或（4，2）．解析：（1）将点A、B的坐标代入抛物线表达式，即可求解；（2）分△POD∽△BOA、△OPD∽△AOB两种情况，分别求解．考查内容：二次函数的解析式；相似三角形的性质和判定；分类讨论思想命题意图：本题主要考查学生综合应用二次函数、相似三角形性质和判定等知识，难度中等偏上.25.答案：（1）如图记为点D所在的位置．（2）如图，∵AB＝4，BC＝10，∴取BC的中点O，则OB＞AB．∴以点O为圆心，OB长为半径作⊙O，⊙O一定于AD相交于P1，P2两点，连接BP1，P1C，P1O，∵∠BPC＝90°，点P不能再矩形外；∴△BPC的顶点P1或P2位置时，△BPC的面积最大，作P1E⊥BC，垂足为E，则OE＝3，∴AP1＝BE＝OB﹣OE＝5﹣3＝2，由对称性得AP2＝8．（3）可以，如图所示，连接BD，∵A为▱BCDE的对称中心，BA＝50，∠CBE＝120°，∴BD＝100，∠BED＝60°作△BDE的外接圆⊙O，则点E在优弧BD上，取BED的中点E′，连接E′B，E′D，则E′B＝E′D，且∠BE′D＝60°，∴△BE′D为正三角形．连接E′O并延长，经过点A至C′，使E′A＝AC′，连接BC′，DC′，∵E′A⊥BD，∴四边形E′D为菱形，且∠C′BE′＝120°，作EF⊥BD，垂足为F，连接EO，则EF≤EO+OA﹣E′O+OA＝E′A，∴S△BDE＝12•BD•EF≤12•BD•E′A＝S△E′BD，∴S平行四边形BCDE≤S平行四边形BC′DE′＝2S△E′BD＝1002•sin60°＝m2）所以符合要求的▱BCDE的最大面积为m2．解析：（1）分别过A、B、C三点作对边的平行线，且与对边相等的点，从而画出平行四边形；（2）以点O为圆心，OB长为半径作⊙O，⊙O一定于AD相交于P1，P2两点，点P1，P2即为所求．（3）连接BD，作△BDE的外接圆⊙O，则点E在优弧BD上，取BED的中点E′，连接E′B，E′D，四边形BC′DE′即为所求．考查内容：平行四边形的判定和性质；圆周角定理；三角形的面积命题意图：本题主要考查学生解决四边形综合题的能力，其中涉及到了平行四边形的判定和性质，圆周角定理，三角形的面积等知识，难度很大.- 21 -。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2019年陕西省西安市莲湖区中考数学一模试卷一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．若实数a、b互为相反数，则下列等式中成立的是（）A．a﹣b＝0 B．a+b＝0 C．ab＝1 D．ab＝﹣12．下面图形中经过折叠可以围成一个棱柱的是（）A．B．C．D．3．把图中阴影部分的小正方形移动一个，使它与其余四个阴影部分的正方形组成一个既是轴对称又是中心对称的新图形，这样的移法，正确的是（）A．6→3 B．7→16 C．7→8 D．6→154．已知点P（a，3+a）在第二象限，则a的取值范围是（）A．a＜0 B．a＞﹣3 C．﹣3＜a＜0 D．a＜﹣35．已知正比例函数y＝（2t﹣1）x的图象上一点（x1，y1），且x1y1＜0，那么t的取值范围是（）A．t＜0.5 B．t＞0.5C．t＜0.5或t＞0.5 D．不确定6．如图，∠BCD＝90°，AB∥DE，则α与β一定满足的等式是（）A．α+β＝180°B．α+β＝90°C．β＝3αD．α﹣β＝90°7．观察图中正方形四个顶点所标的数字规律，可知数字28应标在（）A．第7个正方形的右下角B．第7个正方形的左下角C．第8个正方形左下角D．第8个正方形的右下角8．如图，△ABC内接于半径为5的⊙O，点B在⊙O上，且cos B＝，则下列量中，值会发生变化的量是（）A．∠B的度数B．BC的长C．AC的长D．的长9．如图，分别以直角三角形的三边为边长向外作等边三角形，面积分别记为S1、S2、S3，则S1、S2、S3之间的关系是（）A．S12+S22＝S32B．S1+S2＞S3C．S1+S2＜S3D．S1+S2＝S310．二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数且a≠0）中的x与y的部分对应值如下表，该抛物线的对称轴是直线（）x﹣1 0 1 3y﹣1 3 5 3A．x＝0 B．x＝1 C．x＝1.5 D．x＝2二．填空题（共4小题，满分12分，每小题3分）11．比较大小：﹣2﹣712．计算：90°23′﹣36°12′＝．13．如图，已知双曲线y＝（k＜0）经过直角三角形OAB斜边OA的中点D，且与直角边AB相交于点C．若点A的坐标为（﹣8，6），则△AOC的面积为．14．如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝3，以BC为边在三角形外作正方形BCDE，连接BD，CE 交于点O，则线段AO的最大值为．三．解答题（共11小题，满分78分）15．计算：（1）（﹣）2+|1﹣|﹣（）﹣1（2）﹣+．16．先化简，再求值：（x﹣2+）÷，其中x＝﹣．17．在△ABC中，AB＝AC，求作一点P，使点P为△ABC的外接圆圆心．（保留作图痕迹，不写作法）18．某中学九（1）班同学积极响应“阳光体育工程”的号召，利用课外活动时间积极参加体育锻炼，每位同学从长跑、篮球、铅球、立定跳远中选一项进行训练，训练前后都进行了测试．现将项目选择情况及训练后篮球定时定点投篮测试成绩整理后作出如下统计图表．训练后篮球定时定点投篮测试进球数统计表进球数8 7 6 5 4 3（个）人数 2 1 4 7 8 2请你根据图表中的信息回答下列问题：（1）训练后篮球定时定点投篮人均进球数为；（2）选择长跑训练的人数占全班人数的百分比是，该班共有同学人；（3）根据测试资料，训练后篮球定时定点投篮的人均进球数比训练之前人均进球数增加25%，请求出参加训练之前的人均进球数．19．如图，AD是△ABC的边BC的中线，E是AD的中点，过点A作AF∥BC，交BE的延长线于点F，连接CF，BF交AC于G．（1）若四边形ADCF是菱形，试证明△ABC是直角三角形；（2）求证：CG＝2AG．20．如图，“人字梯”放在水平地面上，梯子的两边相等（AB＝AC），当梯子的一边AB与梯子两底端的连线BC的夹角α为60°时，BC的长为2米，若将α调整为65°时，求梯子顶端A上升的高度．（参考数据：sin65°≈0.91，cos65°＝0.42，tan65°≈2.41，＝1.73，结果精确到0.1m）21．某学校计划组织全校1441名师生到相关部门规划的林区植树，经过研究，决定租用当地租车公司一共62辆A，B两种型号客车作为交通工具．下表是租车公司提供给学校有关两种型号客车的载客量和租金信息：型号载客量租金单价A30人/辆380元/辆B20人/辆280元/辆注：载客量指的是每辆客车最多可载该校师生的人数设学校租用A型号客车x辆，租车总费用为y元．（Ⅰ）求y与x的函数解析式，请直接写出x的取值范围；（Ⅱ）若要使租车总费用不超过21940元，一共有几种租车方案？哪种租车方案总费用最省？最省的总费用是多少？22．已知一个不透明的袋子中装有7个只有颜色不同的球，其中2个白球，5个红球．（1）求从袋中随机摸出一个球是红球的概率．（2）从袋中随机摸出一个球，记录颜色后放回，摇匀，再随机摸出一个球，求两次摸出的球恰好颜色不同的概率．（3）若从袋中取出若干个红球，换成相同数量的黄球．搅拌均匀后，使得随机从袋中摸出两个球，颜色是一白一黄的概率为，求袋中有几个红球被换成了黄球．23．如图，在⊙O中，直径CD垂直于不过圆心O的弦AB，垂足为点N，连接AC，BC，点E 在AB上，且AE＝CE．（1）求证：∠ABC＝∠ACE；（2）过点B作⊙O的切线交EC的延长线于点P，证明PB＝PE；（3）在第（2）问的基础上，设⊙O半径为2，若点N为OC中点，点Q在⊙O上，求线段PQ的最大值．24．已知二次函数y＝ax2+bx+c，y与x的一些对应值如下表：x…﹣1 0 1 2 3 4 …y＝ax2+bx+c…8 3 0 ﹣1 0 3 …（1）根据表中数据，求二次函数解析式；（2）结合表格分析，当1＜x≤4时，y的取值范围是．25．如图，在平面直角坐标系中，A（0，4），B（3，4），P为线段OA上一动点，过O，P，B三点的圆交x轴正半轴于点C，连结AB，PC，BC，设OP＝m．（1）求证：当P与A重合时，四边形POCB是矩形．（2）连结PB，求tan∠BPC的值．（3）记该圆的圆心为M，连结OM，BM，当四边形POMB中有一组对边平行时，求所有满足条件的m的值．（4）作点O关于PC的对称点O'，在点P的整个运动过程中，当点O'落在△APB的内部（含边界）时，请写出m的取值范围．2019年陕西省西安市莲湖区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．【分析】根据只有符号不同的两数叫做互为相反数解答．【解答】解：∵实数a、b互为相反数，∴a+b＝0．故选：B．【点评】本题考查了相反数的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键．2．【分析】利用棱柱的展开图中两底面的位置对B、D进行判断；根据侧面的个数与底面多边形的边数相同对A、C进行判断．【解答】解：棱柱的两个底面展开后在侧面展开图相对的两边上，所以B、D选项错误；当底面为三角形时，则棱柱有三个侧面，所以C选项错误，A选项正确．故选：A．【点评】本题考查了展开图折叠成几何体：通过结合立体图形与平面图形的相互转化，去理解和掌握几何体的展开图，要注意多从实物出发，然后再从给定的图形中辨认它们能否折叠成给定的立体图形．3．【分析】直接利用轴对称图形以及中心对称图形的性质分别分析得出答案．【解答】解：阴影部分的小正方形6→15，能使它与其余四个阴影部分的正方形组成一个既是轴对称又是中心对称的新图形．故选：D．【点评】此题主要考查了中心对称图形以及轴对称图形，正确把握相关定义是解题关键．4．【分析】根据第二象限内点的横坐标是负数，纵坐标是正数列出不等式组求解即可．【解答】解：∵点P（a，3+a）在第二象限，∴，解得﹣3＜a＜0．故选：C．【点评】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征以及解不等式，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．5．【分析】根据正比例函数图象的性质可得出答案．【解答】解：因为x1y1＜0，所以该点的横、纵坐标异号，即图象经过二、四象限，则2t﹣1＜0，t＜．故选：A．【点评】本题考查正比例函数的性质，解题的关键是掌握正比例函数图象的性质：当k＞0时，图象经过一、三象限，y随x的增大而增大；当k＜0时，y随x的增大而减小．能够根据实数的运算法则，判断字母的符号．6．【分析】过C作CF∥AB，根据平行线的性质得到∠1＝∠β，∠2＝180°﹣∠α，于是得到结论．【解答】解：过C作CF∥AB，∵AB∥DE，∴AB∥DE∥CF，∴∠1＝∠β，∠α＝180°﹣∠2，∴∠α﹣∠β＝180°﹣∠2﹣∠1＝180°﹣∠BCD＝90°，故选：D．【点评】本题考查了平行线的性质，熟记平行线的性质是解题的关键．7．【分析】根据所标数字是从0开始，每4个数为一周期循环求解可得．【解答】解：由已知图形知，所标数字是从0开始，每4个数为一周期循环，则（28+1）÷4＝7…1，∴数字28表在第8个正方形的右下角，故选：D．【点评】本题考查了规律型：图形的变化类：通过从一些特殊的图形变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况．8．【分析】连接AO并延长交⊙O于B′，连接B′C，OC，根据已知条件得到∠B的度数一定；解直角三角形得到AC＝10•sin B，故AC的长一定；根据弧长公式得到的长度＝一定；于是得到结论．【解答】解：连接AO并延长交⊙O于B′，连接B′C，OC，∴∠ACB′＝90°，∵cos B＝，∴∠B的度数一定；∴AC＝10•sin B，故AC的长一定；∵∠AOC＝2∠B，∴的长度＝一定；故BC的长会发生变化，故选：B．【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．9．【分析】根据等边三角形的性质，知等边三角形的面积等于其边长的平方的倍，结合勾股定理，知以直角三角形的两条直角边为边长的等边三角形的面积和等于以斜边为边长的等边三角形的面积．【解答】解：设直角三角形的三边从小到大是a，b，c．则S1＝b2，S2＝a2，S3＝c2．又a2+b2＝c2，则S1+S2＝S3．故选：D．【点评】本题主要考查勾股定理，解题的关键是掌握勾股定理和等边三角形的面积公式．10．【分析】利用二次函数的对称性，结合对应点坐标变化得出其对称轴即可．【解答】解：由表知当x＝0和x＝3时，y＝3，∴该抛物线的对称轴是直线x＝，即x＝1.5，故选：C．【点评】本题考查二次函数的性质，解题的关键是熟练运用二次函数的对称性，本题属于基础题型．二．填空题（共4小题，满分12分，每小题3分）11．【分析】正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值（或平方）大的反而小，据此判断即可．【解答】解：＝20，（﹣7）2＝49，∵20＜49，∴﹣2＞﹣7故答案为：＞．【点评】此题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：正实数＞0＞负实数，两个负实数绝对值大的反而小．12．【分析】1度＝60分，即1°＝60′，1分＝60秒，即1′＝60″，依据度分秒的换算即可得到结果．【解答】解：90°23′﹣36°12′＝54°11′，故答案为：54°11′【点评】本题主要考查了度分秒的换算，在进行度、分、秒的运算时也应注意借位和进位的方法．13．【分析】由点D为线段OA的中点可得出D点的坐标，将点D的坐标代入双曲线解析式中解出k值，即可得出双曲线的解析式，再令x＝﹣8可得点C的坐标，根据边与边的关系结合三角形的面积公式即可得出结论．【解答】解：∵点D为线段OA的中点，且点A的坐标为（﹣8，6），∴点D的坐标为（﹣4，3）．将点D（﹣4，3）代入到y＝中得：3＝，解得：k＝﹣12．∴双曲线的解析式为y＝﹣．令x＝﹣8，则有y＝﹣＝，即点C的坐标为（﹣8，）．∵AB⊥BO，∴点B（﹣8，0），AC＝6﹣＝，OB＝0﹣（﹣8）＝8，∴△AOC的面积S＝AC•OB＝××8＝18．故答案为：18．【点评】本题考查了反比例函数系数k的几何意义、中点坐标公式以及三角形的面积公式，解题的关键是找出点C、D的坐标．解决该题型题目时，求出点的坐标由待定系数法求出反比例函数解析式是关键．14．【分析】以AO为边作等腰直角△AOF，且∠AOF＝90°，由题意可证△AOB≌△FOC，可得AB＝CF＝4，根据三角形的三边关系可求AF的最大值，即可得AO的最大值．【解答】解：如图：以AO为边作等腰直角△AOF，且∠AOF＝90°∵四边形BCDE是正方形∴BO＝CO，∠BOC＝90°∵△AOF是等腰直角三角形∴AO＝FO，AF＝AO∵∠BOC＝∠AOF＝90°∴∠AOB＝∠COF，且BO＝CO，AO＝FO∴△AOB≌△FOC（SAS）∴AB＝CF＝4若点A，点C，点F三点不共线时，AF＜AC+CF；若点A，点C，点F三点共线时，AF＝AC+CF∴AF≤AC+CF＝3+4＝7∴AF的最大值为7∵AF＝AO∴AO的最大值为．故答案为：【点评】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，以及三角形的三边关系，恰当添加辅助线构造全等三角形是本题的关键．三．解答题（共11小题，满分78分）15．【分析】（1）直接利用绝对值的性质以及负指数幂的性质分别化简得出答案；（2）直接利用二次根式的性质以及立方根的性质分别化简得出答案．【解答】解：（1）原式＝2+﹣1﹣2＝﹣1；（2）原式＝6﹣3+2＝5．【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．16．【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x的值代入计算可得．【解答】解：原式＝（+）•＝•＝2（x+2）＝2x+4，当x＝﹣时，原式＝2×（﹣）+4＝﹣1+4＝3．【点评】本题主要考查分式的化简求值，在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．17．【分析】分别作BC和AC的垂直平分线，它们的交点P即为△ABC的外接圆圆心．【解答】解：如图，点P为所作．【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．18．【分析】（1）根据加权平均数的求解方法列式进行计算即可得解；（2）根据各部分的百分比总和为1，列式进行计算即可求解，用篮球的总人数除以所占的百分比进行计算即可；（3）设训练前人均进球数为x，然后根据等式为：训练前的进球数×（1+25%）＝训练后的进球数，列方程求解即可．【解答】解：（1）＝＝＝5；（2）1﹣60%﹣10%﹣20%＝10%，（2+1+4+7+8+2）÷60%＝24÷60%＝40人；（3）设参加训练前的人均进球数为x个，则x（1+25%）＝5，解得x＝4，即参加训练之前的人均进球数是4个．【点评】本题考查扇形统计图及相关计算．在扇形统计图中，各部分占所占的百分比总和等于1．19．【分析】（1）由菱形定义及AD是△ABC的中线知AD＝DC＝BD，从而得∠DBA＝∠DAB、∠DAC＝∠DCA，根据∠DBA+∠DAC+∠DAB+∠DCA＝180°可得答案．（2）作DM∥EG交AC于点M，分别证DM是△BCG的中位线和EG是△ADM的中位线得AG＝GM ＝CM，从而得出答案．【解答】解：（1）∵四边形ADCF是菱形，AD是△ABC的中线，∴AD＝DC＝BD，∴∠DBA＝∠DAB、∠DAC＝∠DCA，∵∠DBA+∠DAC+∠DAB+∠DCA＝180°，∴∠BAC＝∠BAD+∠DAC＝90°，∴△ABC是直角三角形；（2）过点D作DM∥EG交AC于点M，∵AD是△ABC的边BC的中线，∴BD＝DC，∵DM∥EG，∴DM是△BCG的中位线，∴M是CG的中点，∴CM＝MG，∵DM∥EG，E是AD的中点，∴EG是△ADM的中位线，∴G是AM的中点，∴AG＝MG，∴CG＝2AG．【点评】本题主要考查菱形的性质，解题的关键是掌握菱形的性质、直角三角形的性质、三角形中位线定理等知识点．20．【分析】先由等腰三角形的一个60°的角，确定梯子AB的长，在直角三角形ABD和A 1B1D1中，利用锐角三角函数计算AD、A1D11的长，求差得结论．【解答】解：如图1，由题意可得：∠B＝∠C＝60°，则△ABC是等边三角形，∴BC＝AB＝AC＝2m，在Rt△ABD中，AD＝2sin60°＝＝≈1.73m；如图2，由题意可得：∠B1＝∠C1＝65°，A1B1＝AB＝2m，在Rt△A1B1D1中，A1D1＝2sin65°≈2×0.91＝1.82m；∴A1D1﹣AD＝1.82﹣1.73＝0.09≈0.1（m）答：梯子顶端A上升的高度约为0.1m．【点评】本题考查了解直角三角形的应用．掌握直角三角形的边角间关系是解决本题的关键．21．【分析】（Ⅰ）根据租车总费用＝A、B两种车的费用之和，列出函数关系式即可；（Ⅱ）列出不等式，求出自变量x的取值范围，利用函数的性质即可解决问题．【解答】解：（Ⅰ）由题意：y＝380x+280（62﹣x）＝100x+17360．∵30x+20（62﹣x）≥1441，∴x≥20.1，又∵x为整数，∴x的取值范围为21≤x≤62的整数；（Ⅱ）由题意100x+17360≤21940，∴x≤45.8，∴21≤x≤45，∴共有25种租车方案，x＝21时，y有最小值＝19460元．即租21辆A型号客车时总费用最省，最省的总费用是19460元．【点评】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用等知识，解题的关键是理解题意，学会利用函数的性质解决最值问题．22．【分析】（1）直接利用概率公式计算可得；（2）先列表得出所有等可能结果，再从中找到符合条件的结果数，继而利用概率公式求解可得；（3）设有x个红球被换成了黄球，根据颜色是一白一黄的概率为列出关于x的方程，解之可得．【解答】解：（1）∵袋中共有7个小球，其中红球有5个，∴从袋中随机摸出一个球是红球的概率为；（2）列表如下：白白红红红红红白（白，白）（白，白）（白，红）（白，红）（白，红）（白，红）（白，红）白（白，白）（白，白）（白，红）（白，红）（白，红）（白，红）（白，红）红（白，红）（白，红）（红，红）（红，红）（红，红）（红，红）（红，红）红（白，红）（白，红）（红，红）（红，红）（红，红）（红，红）（红，红）红（白，红）（白，红）（红，红）（红，红）（红，红）（红，红）（红，红）红（白，红）（白，红）（红，红）（红，红）（红，红）（红，红）（红，红）红（白，红）（白，红）（红，红）（红，红）（红，红）（红，红）（红，红）由表知共有49种等可能结果，其中两次摸出的球恰好颜色不同的有20种结果，∴两次摸出的球恰好颜色不同的概率为；（3）设有x个红球被换成了黄球．根据题意，得：，解得：x＝3，即袋中有3个红球被换成了黄球．【点评】此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．23．【分析】（1）因为直径CD垂直于不过圆心O的弦AB，垂足为点N，所以，所以∠CAE＝∠ABC，因为AE＝CE，所以∠CAE＝∠ACE，所以∠ABC＝∠ACE；（2）连接OB，设∠CAE＝∠ACE＝∠ABC＝x，通过计算可得∠PEB＝∠PBE＝2x，所以PB＝PE；（3）连接OP，证明△OBC和△PBE为等边三角形，因为⊙O半径为2，可得BN＝3，NE ＝1，即PB＝BE＝4，在Rt△PBO中求得PO的长，即可得出PQ的最大值．【解答】解：（1）证明：∵直径CD垂直于不过圆心O的弦AB，垂足为点N，∴，∴∠CAE＝∠ABC，∵AE＝CE，∴∠CAE＝∠ACE，∴∠ABC＝∠ACE；（2）如图，连接OB，∵过点B作⊙O的切线交EC的延长线于点P，∴∠OBP＝90°，设∠CAE＝∠ACE＝∠ABC＝x，则∠PEB＝2x，∵OB＝OC，AB⊥CD，∴∠OBC＝∠OCB＝90°﹣x，∴∠BOC＝180°﹣2（90°﹣x）＝2x，∴∠OBE＝90°﹣2x，∴∠PBE＝90°﹣（90°﹣2x）＝2x，∴∠PEB＝∠PBE，∴PB＝PE；（3）如图，连接OP，∵点N为OC中点，AB⊥CD，∴AB是CD的垂直平分线，∴BC＝OB＝OC，∴△OBC为等边三角形，∵⊙O半径为2，∴CN＝，∵∠CAE＝∠ACE＝∠BOC＝30°，∴∠CEN＝60°，∠PBE＝2∠CAB＝60°，∴△PBE为等边三角形，BN＝3，NE＝1，∴PB＝BE＝BN+NE＝3+1＝4，∴PO＝，∴PQ的最大值为PO+＝．【点评】本题考查圆的切线的性质，等边三角形的判定和性质，圆周角定理，勾股定理．解题的关键是掌握圆的切线的性质．24．【分析】（1）利用表中对应值，可设交点式y＝a（x﹣1）（x﹣3），然后把（0，3）代入求出a即可得到抛物线的解析式；（2）利用y＝（x﹣2）2﹣1得到抛物线的对称轴为直线x＝2，顶点坐标为（0，1），即x ＝2时，函数有最小值﹣1，从而得到当1＜x≤4时所对应的函数值的范围．【解答】解：（1）抛物线过点（1，0），（3，0），（0，3），设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）（x﹣3），把（0，3）代入得a•（﹣1）•（﹣3）＝3，解得a＝1，所以抛物线的解析式为y＝（x﹣1）（x﹣3），即y＝x2﹣4x+3；（2）y＝（x﹣2）2﹣1，则抛物线的对称轴为直线x＝2，顶点坐标为（0，1），所以当1＜x≤4时，﹣1≤y≤3，故答案为：﹣1≤y≤3．【点评】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．25．【分析】（1）由∠POC＝90°可知PC为直径，所以∠PBC＝90°，P、A重合时得3个直角，即证四边形POCB为矩形．（2）题干已知的边长只有OA、AB，所以要把∠BPC转化到与OA、OB有关的三角形内．连接O，B据圆周角定理，得∠COB＝∠BPC，又AB∥OC有∠ABP＝∠COB，得∠BPC＝∠ABP．（3）分两种情况：①OP∥BM即BM⊥x轴，延长BM交x轴于N，根据垂径定理得ON＝CN＝3，设半径为r，利用Rt△CMN的三边关系列方程即求出；②OM∥PB，根据圆周角定理和等腰三角形性质得到△BOM≌△COM，所以BO＝CO＝5，用m表达各条线段，再利用勾股定理为等量关系列方程求得m．（4）因为点O与点O'关于直线对称，所以∠PO'C＝∠POC＝90°，即点O'在圆上；考虑点P运动到特殊位置：①点O'与点O重合；②点O'落在AB上；③点O'与点B重合．算出对应的m值再考虑范围．【解答】解：（1）∵∠COA＝90°∴PC是直径，∴∠PBC＝90°∵A（0，4）B（3，4）∴AB⊥y轴∴当A与P重合时，∠OPB＝90°∴四边形POCB是矩形（2）连结OB，（如图1）∴∠BPC＝∠BOC∵AB∥OC∴∠ABO＝∠BOC∴∠BPC＝∠BOC＝∠ABO∴tan∠BPC＝tan∠ABO＝（3）∵PC为直径∴M为PC中点①如图2，当OP∥BM时，延长BM交x轴于点N∵OP∥BM∴BN⊥OC于N∴ON＝NC，四边形OABN是矩形∴NC＝ON＝AB＝3，BN＝OA＝4设⊙M半径为r，则BM＝CM＝PM＝r∴MN＝BN﹣BM＝4﹣r∵MN2+NC2＝CM2∴（4﹣r）2+32＝r2解得：r＝∴MN＝4﹣∵M、N分别为PC、OC中点∴m＝OP＝2MN＝②如图3，当OM∥PB时，∠BOM＝∠PBO∵∠PBO＝∠PCO，∠PCO＝∠MOC∴∠OBM＝∠BOM＝∠MOC＝∠MCO在△BOM与△COM中∴△BOM≌△COM（AAS）∴OC＝OB＝＝5∵AP＝4﹣m∴BP2＝AP2+AB2＝（4﹣m）2+32∵∠ABO＝∠BOC＝∠BPC，∠BAO＝∠PBC＝90°∴△ABO∽△BPC∴∴PC＝∴PC2＝BP2＝ [（4﹣m）2+32]又PC2＝OP2+OC2＝m2+52∴ [（4﹣m）2+32]＝m2+52解得：m＝或m＝10（舍去）综上所述，m＝或m＝（4）∵点O与点O'关于直线对称∴∠PO'C＝∠POC＝90°，即点O'在圆上当O'与O重合时，得m＝0当O'落在AB上时，得m＝当O'与点B重合时，得m＝∴0≤m≤或m＝【点评】本题考查了圆周角定理（同弧所对的圆周角相等），矩形的判定，勾股定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解题涉及方程思想和分类讨论．第（2）题关键是把∠BPC进行转换；第（3）题分类讨论，设某个量为未知数，再利用勾股定理列方程来解，这是圆中已知弦长（或弦心距）求半径时常用做法；第（4）题可先把点O'到达△APB各边上为特殊位置求出m，再讨论m的范围．21。