模糊数学中的综合评判法
AHP-模糊综合评判法
11
【引例】科研成果评价
假设评价科研成果，评价指标集合
U={u1 ，u2 ，u3}
={学术水平，社会效益，经济效益}，
其各因素权重设为
A {0.3,0.3,0.4}
12
确定评语集为V= {V1 ，V2 ，V3 ，V4} ={很好，好，一般，差}
26
评语集 V {v1 , v2 , v3 , v4 } 其中
v3 =“不太受欢迎”； v1 =“很受欢迎”；v2 =“较受欢迎”；
v4 =“不受欢迎”；
对于某个型号的电脑，请一些用户对各因素进行评价： 若对于运算功能
u1 ,有20%的人认为是“很受欢迎”，50%的
的单因素评价向量为
人认为“较受欢迎”，30%的人认为“不太受欢迎” ，没有
对各指标分别表示如下：
u1 =“运算功能（数值、图形等）”； u 2 =“存储容量（内、外存）”； u3 =“运行速度（CPU、主板等）”； u 4 =“外设配置（网卡、调制调解器、多媒体部件等）”；
u5 =“价格”。
则
U {u1 , u2 , u3 , u4 , u5} 构成指标集或因素集。
R1 ,
R2 , R3 , R4 ,
R5 组合成评判矩阵 R
28
0 .2 0 .1 R 0 .0 0 .0 0 .5
0 .5 0 .3 0 . 0 0 .3 0 .5 0 . 1 0 .4 0 .5 0 . 1 0 . 1 0 .6 0 .3 0 .3 0 .2 0 . 0
A2 (0.4,0.35,0.15,0.1)
23
（5）用算子 M (,) 计算综合评判为
模糊数学中的模糊综合评判-教案
模糊数学中的模糊综合评判-教案一、引言1.1模糊数学的背景与重要性1.1.1模糊数学的产生与发展1.1.2模糊数学在现代科技中的应用1.1.3模糊数学与传统数学的区别与联系1.1.4模糊数学的研究对象与方法1.2模糊综合评判的概述1.2.1模糊综合评判的定义1.2.2模糊综合评判的基本思想1.2.3模糊综合评判的应用领域1.2.4模糊综合评判的意义与价值1.3教学目标与意义1.3.1培养学生的模糊数学思维1.3.2提高学生解决实际问题的能力1.3.3拓宽学生的知识视野1.3.4增强学生的创新意识二、知识点讲解2.1模糊集合与隶属度2.1.1模糊集合的定义与表示2.1.2隶属度的概念与计算方法2.1.3模糊集合的运算2.1.4模糊集合的性质与应用2.2模糊关系与模糊矩阵2.2.1模糊关系的定义与表示2.2.2模糊矩阵的概念与运算2.2.3模糊关系的合成2.2.4模糊关系在模糊综合评判中的应用2.3模糊综合评判方法2.3.1模糊综合评判的数学模型2.3.2模糊综合评判的步骤与方法2.3.3模糊综合评判结果的解释与分析2.3.4模糊综合评判的改进与发展三、教学内容3.1模糊综合评判的理论基础3.1.1模糊集合论3.1.2模糊关系与模糊矩阵3.1.3模糊逻辑与模糊推理3.1.4模糊综合评判的基本原理3.2模糊综合评判的应用案例3.2.1经济管理领域的应用3.2.2工程技术领域的应用3.2.3医疗诊断领域的应用3.2.4社会科学领域的应用3.3模糊综合评判的教学方法与策略3.3.1理论教学与实践教学相结合3.3.2案例分析与讨论3.3.3课后作业与练习3.3.4教学评价与反馈四、教学目标4.1知识与技能目标4.1.1理解模糊综合评判的基本概念和原理4.1.2掌握模糊综合评判的计算方法和步骤4.1.3能够运用模糊综合评判解决实际问题4.1.4能够分析和解释模糊综合评判的结果4.2过程与方法目标4.2.1培养学生的逻辑思维和抽象思维能力4.2.2提高学生的数据分析和处理能力4.2.3增强学生的团队合作和沟通能力4.2.4培养学生的创新意识和解决问题的能力4.3情感、态度与价值观目标4.3.1培养学生对模糊数学的兴趣和热情4.3.2增强学生对数学应用的认识和理解4.3.3培养学生的批判性思维和科学态度4.3.4培养学生的社会责任感和职业道德五、教学难点与重点5.1教学难点5.1.1模糊集合和隶属度的理解5.1.2模糊关系的合成和应用5.1.3模糊综合评判的计算步骤和方法5.1.4模糊综合评判结果的分析和解释5.2教学重点5.2.1模糊集合的表示和运算5.2.2模糊关系的定义和性质5.2.3模糊综合评判的数学模型和步骤5.2.4模糊综合评判在实际问题中的应用5.3教学策略5.3.1采用直观的图示和实例讲解模糊集合和隶属度5.3.2通过案例分析和讨论加深对模糊关系的理解5.3.3运用实际数据演示模糊综合评判的计算过程5.3.4引导学生进行问题讨论和小组合作，提高解决问题的能力六、教具与学具准备6.1教具准备6.1.1多媒体设备（如投影仪、电脑等）6.1.2教学软件（如MATLAB、Excel等）6.1.3教学模型或实物（如模糊控制器等）6.1.4教学课件或讲义6.2学具准备6.2.1笔记本或草稿纸6.2.2计算器或手机6.2.3相关教材或参考书籍6.2.4小组讨论材料（如案例研究、数据集等）6.3教学环境准备6.3.1安静、舒适的教学环境6.3.3适当的座位安排和教学布局6.3.4网络连接和必要的软件安装七、教学过程7.1导入新课7.1.1引入模糊综合评判的概念和应用背景7.1.2通过实例激发学生对模糊综合评判的兴趣7.1.3明确教学目标和要求7.1.4检查学生的基础知识准备情况7.2知识讲解与演示7.2.1讲解模糊集合和隶属度的概念和运算7.2.2通过实例演示模糊关系的合成和应用7.2.3介绍模糊综合评判的数学模型和步骤7.2.4分析和解释模糊综合评判的结果7.3练习与讨论7.3.1布置练习题，让学生独立完成7.3.2组织小组讨论，分享解题思路和答案7.3.3引导学生提出问题和疑惑，进行解答7.4案例分析与应用7.4.1提供实际案例，让学生运用模糊综合评判方法进行分析7.4.2引导学生讨论案例中的问题和解决方案7.4.3分享和展示学生的案例分析成果7.5.1回顾本节课的主要内容和知识点7.5.3提供反馈和评价，鼓励学生的进步和努力7.5.4布置课后作业和预习任务八、板书设计8.1知识框架8.1.1模糊集合与隶属度8.1.2模糊关系与模糊矩阵8.1.3模糊综合评判方法8.1.4模糊综合评判的应用8.2教学重点与难点8.2.1模糊集合的表示和运算8.2.2模糊关系的合成和应用8.2.3模糊综合评判的计算步骤和方法8.2.4模糊综合评判结果的分析和解释8.3教学案例与实例8.3.1经济管理领域的应用案例8.3.2工程技术领域的应用案例8.3.3医疗诊断领域的应用案例8.3.4社会科学领域的应用案例九、作业设计9.1基础练习题9.1.1模糊集合的运算9.1.2模糊关系的合成9.1.3模糊综合评判的计算9.1.4模糊综合评判结果的分析9.2案例分析题9.2.1经济管理领域的案例分析9.2.2工程技术领域的案例分析9.2.3医疗诊断领域的案例分析9.2.4社会科学领域的案例分析9.3思考与讨论题9.3.1模糊集合与经典集合的区别与联系9.3.2模糊关系在模糊综合评判中的作用9.3.3模糊综合评判方法的优势与局限性9.3.4模糊综合评判在现实生活中的应用前景十、课后反思及拓展延伸10.1教学反思10.1.1教学目标的达成情况10.1.2教学难点与重点的处理情况10.1.3教学方法与策略的有效性10.1.4学生的学习情况和反馈10.2拓展延伸10.2.1模糊数学在其他领域的应用10.2.2模糊综合评判与其他评判方法的比较10.2.3模糊综合评判的改进与发展10.2.4模糊数学的研究前沿与趋势重点关注环节的补充和说明：1.教学难点与重点的处理：在教学过程中，应注重讲解模糊集合和隶属度的概念，通过实例演示和练习加深学生的理解。
模糊综合评价法
0 .3 0 .5 0 .2 0 R 0 .4 0 .3 0 .2 0 .1 0 .1 0 .1 0 .3 0 .5
设三个指标的权系数向量： A ＝｛图像评价，声音评价，价格评价｝ ＝（0.5, 0.3, 0.2) 应用模型1，bj=max{(aiΛrij)有综合评价结果为： B＝A⊙R ＝（0.3, 0.5, 0.2, 0.2) 归一化处理： B＝（0.25, 0.42, 0.17, 0.17) 所以综合而言，电视机属于较好等级的比重比较大。
5、多因素模糊评价
利用矩阵的模糊乘法将模糊权向量A与 模糊关系矩阵R合成得到各被评价对象的模 糊综合评价结果向量B。
B＝A⊙R（其中⊙为模糊乘法），根据运 算⊙的不同定义，可得到不同的模型。
模型1 M（Λ，V）——主因素决定型
b j max{(ai rij ) | 1 i m}( j 1,2,, n)
首先对图像进行评价：假设有30%的人认为很 好，50%的人认为较好，20%的人认为一般， 没有人认为不好，这样得到图像的评价结果 为 （0.3, 0.5, 0.2 , 0) 对声音有：（0.4, 0.3, 0.2 , 0.1) 对价格为：（0.1, 0.1, 0.3 , 0.5) 所以有模糊评价矩阵：
模糊综合评价法
在客观世界中，存在着大量的模糊概念和模糊现 象。模糊数学就是试图用数学工具解决模糊事物
方面的问题。
模糊综合评价法根据模糊数学的隶属度理论把定 性评价转化为定量评价，即用模糊数学对受到多 种因素制约的事物或对象做出一个总体的评价。
一、模糊综合评价法的基本原理
首先确定被评价对象的因素（指标）集和 评价（等级）集； 再分别确定各个因素的权重及它们的隶属 度向量，获得模糊评判矩阵； 最后把模糊评判矩阵与因素的权向量进行 模糊运算并进行归一化，得到模糊综合评 价结果。
模糊综合分析法
模糊综合评价法模糊综合评价法是一种基于模糊数学的综合评价方法。
该综合评价法根据模糊数学的隶属度理论把定性评价转化为定量评价，即用模糊数学对受到多种因素制约的事物或对象做出一个总体的评价。
它具有结果清晰，系统性强的特点，能较好地解决模糊的、难以量化的问题，适合各种非确定性问题的解决。
中文名模糊综合评价法理论依据模糊数学属性综合评标方法提出人查德模糊集合理论(fuzzy sets)的概念于1965 年由美国自动控制专家查德（L．A．Zadeh）教授提出，用以表达事物的不确定性。
术语定义为了便于描述，依据模糊数学的基本概念，对模糊综合评价法中的有关术语定义如下：1．评价因素（F）：是指对招标项目评议的具体内容（例如，价格、各种指标、参数、规范、性能、状况，等等）。
为便于权重分配和评议，可以按评价因素的属性将评价因素分成若干类（例如，商务、技术、价格、伴随服务，等），把每一类都视为单一评价因素，并称之为第一级评价因素（F1）。
第一级评价因素可以设置下属的第二级评价因素（例如，第一级评价因素“商务”可以有下属的第二级评价因素：交货期、付款条件和付款方式，等）。
第二级评价因素可以设置下属的第三级评价因素（F3）。
依此类推。
2．评价因素值（Fv）：是指评价因素的具体值。
例如，某投标人的某技术参数为120，那么，该投标人的该评价因素值为120。
3．评价值（E）：是指评价因素的优劣程度。
评价因素最优的评价值为1（采用百分制时为100分）；欠优的评价因素，依据欠优的程度，其评价值大于或等于零、小于或等于1（采用百分制时为100分），即0≤E≤1（采用百分制时0≤E≤100）。
4．平均评价值（Ep）：是指评标委员会成员对某评价因素评价的平均值。
平均评价值（Ep）=全体评标委员会成员的评价值之和÷评委数5．权重（W）：是指评价因素的地位和重要程度。
第一级评价因素的权重之和为1；每一个评价因素的下一级评价因素的权重之和为1 。
模糊综合层次评判法
模糊综合层次评判法（FAHP)FAHP评价法是一种将模糊综合评判法（Fuzzy Comprehensive Evaluation，FCE）和层次分析法（Analytic Hierarchy Process，AHP）相结合的评价方法，在体系评价、效能评估，系统优化等方面有着广泛的应用，是一种定性与定量相结合的评价模型，一般是先用层析分析法确定因素集，然后用模糊综合评判确定评判效果。
模糊法是在层次分析法之上，两者相互融合，对评价有着很好的可靠性。
模糊数学的相关理论研究1965年，美国加利福尼亚大学控制论专家L.A.Zadeh教授发表了《模糊集合》一文，这标志着模糊数学的诞生。
模糊数学是研究和处理模糊性现象的一种数学方法。
模糊性基本概念模糊性是事物类属的不确定性，是对象资格程度的渐变性。
例如，对于一座山，有人可以认为是高山，但可能有人觉得它并不高。
事物的这种不清晰类属的特性就是模糊性，而这类事物我们通常称为模糊事物。
模糊事物在类属问题上不能做出“是”或“不是”，“属于”或“不属于”，“存在”或“不存在”等的是非断言，只能区别程度和等级。
模糊集合概念论域X上的模糊集合A定义是：A={（x,A(x)）｜x∈X}或者A={（x,μA（x））｜x∈X}其中A(x)或μA（x）称为隶属函数，它满足A：X→M，M称为隶属空间上式表示模糊集合A是论域X到隶属空间的一个映射。
隶属函数A(x)用于刻画元素x对模糊集合A的隶属程度，通常称为隶属度。
模糊集合A的每一个元素（x, A(x)）都能明确的表现出x的隶属等级。
A(x)的值越大，x的隶属度就越高。
例如，当隶属空间是（0，1）时，若A(x)=1，则说明x完全属于A；而若A(x)=0时，说明x不属于A；而A(x)值介于0与1之间时，说明隶属度也介于属于与不属于之间——模糊的。
隶属函数的构造与经典集合可由其特征函数所确定一样，模糊集合A也能由其隶属函数所确定。
在解决实际问题时，往往首先遇到的问题是确定隶属函数。
模糊数学综合评判法(高等教育)
则表示“或数学能力强或计算机能力强” 的模糊集为
A B 0.8 0.5 0.5 0.6 1 0.3 0.4 0.4 0.2 0.7
~~
x1
x2
x3
x4
x5
0.8 0.6 1 0.4 0.7
x1 x2 x3 x4 x5
表示“又数学能力强又计算机能力强”的模糊集为
A B 0.8 0.5 0.5 0.6 1 0.3 0.4 0.4 0.2 0.7
~~
x1
x2
x3
x4
x5
0.5 0.5 0.3 0.4 0.2
x1 x2 x3 x4 x5
一.模糊概念与模糊集合
模糊集合满足幂等律、交换律、结合律、吸收律、分
配律、复原律、对偶律、定常律传递律.
设 A 是一个模糊集，对任意 [0,1] ，则普通集合 ~ A x A (x) ~
称为 A 的 截集. ~
确定隶属函数的主要原则： （1）运用模糊统计试验和对试验结果予以数学推理确定
其隶属函数。 （2）运用专家经验打分，并总结出人为技巧对模糊事物
进行推理来确定隶属函数，然后通过应用进行实践检验， 不断修改和完善。 （3）当可用实数闭区间表示论域时，可根据问题的性质， 选择恰当的隶属函数。
一.模糊概念与模糊集合
~ x1 x2
xn
还可以表示为向量：
A
~
(
A
~
(
x1
),
A
~
(
x2
),,
A
~
(
xn
))
.
一.模糊概念与模糊集合
例 2 论域 U 同例 1，记模糊集
A 青年人.
~
在 U 上，要表达出“青年人”这一模糊概念，就要说
模糊综合评判法(原理)
模糊数学概述
1.确定性现象：物质的汽化、冷凝，运动的速率，这种现
象的规律性靠经典数学去刻画； 2.随机现象：某种事物的分布，故障发生的概率，这种现 象的规律性靠概率统计去刻画; 3.模糊现象：年轻、重、热、美、厚、薄、快、慢、大、 小、高、低、长、短、贵、贱、强、弱，靠模糊数学去刻 画。
r11 r12 r21 r22 R r r m1 m 2 r1n r2 n rmn
其中rij表示某个被评价对象从因素ui来看对 等级模糊子集vj的隶属度。一个被评价对象 在某个因素ui方面的表现是通过模糊矢量ri 来刻画的，ri称为单因素评价矩阵，可以看 作是因素集U和评价集V之间的一种模糊关 系，即影响因素与评价对象之间的“合理 关系”。 ri =(ri, ri,…， ri)归一化处理，即 Σrij=1,目的是消除量纲的影响
三、模糊综合评价方法的优缺点
1、模糊综合评价法的优点 模糊评价通过精确的数字手段处理模糊的评价对象，能对
蕴Leabharlann 信息呈现模糊性的资料作出比较科学、合理、贴近实 际的量化评价； 评价结果是一个矢量，而不是一个点值，包含的信息比较 丰富，既可以比较准确的刻画被评价对象，又可以进一步 加工，得到参考信息。 2、模糊综合评价法的缺点 计算复杂，对指标权重矢量的确定主观性较强； 当指标集U较大，即指标集个数凡较大时，在权矢量和为1 的条件约束下，相对隶属度权系数往往偏小，权矢量与模 糊矩阵R不匹配，结果会出现超模糊现象，分辨率很差， 无法区分谁的隶属度更高，甚至造成评判失败，此时可用 分层模糊评估法加以改进。
评价指标权系数向量： A＝（0.2，0.3，0.5）
确定权重的方法：
加权平均法:当专家人数不足30人时,可用此法.首先多位
模糊综合评判法(原理)
M ( , )
b j min1 , ai rij , i 1
m
j 1, 2 , , n
模型M(∧,∨)为主因素突出型的综合评判，其评判结果往
往取决于在总评价中占主要作用的那个因素，此模型比较 适用于单项评判最优就能作为综合评判最优的情况。 模型M(•,∨)也是主因素突出型的综合评判，它与模型 M(∧,∨)相近，但更精细些，不仅突出了主因素，也兼顾 了其他因素，此模型适用于M(∧,∨)失去作用，需要“加 细”的情况。 模型M(∧,⊕)也是属于主因素突出型的综合评判，比模型 M(∧,∨)也精细些，此模型的评价结果也是和ai的取值有 很大的关系。
在确定隶属关系时，通常是由专家或与评价问题相关的专
业人员依据评判等级对评价对象进行打分，然后统计打分 结果，求出各评价等级所占百分比。
5、多指标综合评价（合成模糊综合评价结果矢量）
利用合适的模糊合成算子将模糊权矢量A与模糊关 系矩阵R合成得到各被评价对象的模糊综合评价结果 矢量B。 模糊综合评价的模型为：
综合评价法（层次分析法）概述
层次分析法的基本步骤归纳如下 1.建立层次结构模型 该结构图包括 目标层，准则层，方案层。 2.构造成对比较矩阵 从第二层开始 用成对比较矩阵。 3.计算单排序权向量并做一致性检 验 4.计算总排序权向量并做一致性检 验
确定评价对象
确立指标体系
确定指标权重
确定评价等级
建立数学模型
评价结果分析
二、模糊综合评价法的模型和步骤
20世纪80年代后期，日本将模糊技术 应用于机器人、过程控制、地铁机车、 交通管理、故障诊断、医疗诊断、声 音识别、图像处理、市场预测等众多 领域。模糊理论及模糊法在日本的应 用和巨大的市场前景，给西方企业界 很大震动，在学术界也得到了普遍的 认同。 国内对于模糊数学及模糊综合评价法 的研究起步相对较晚，但在近些年各 个领域（如医学、建筑业、环境质量 监督、水利等）的应用也已初显成效。
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5.结论
该装修房室内环境空气质量在良好与轻 污染之间，偏重于轻污染，在保持良好 的通风条件下，可居住。
2.分级标准
3.各因子对评价等级的隶属度
用线性函数形式表示隶属度
x a2 1, u x A | x a |, a1 x a 2 x a1 0,
式中a1,a2代表相邻两级空气质量I,J的 标准值，x为样本中某评价因子的实测值, A 为系数，a取a1或a2。
实例：某装修房经监测，其室内空气污染物含量如下，试 判断其污染程度。
甲醛： 0.32mg/m3 ；苯：0.18mg/m3；甲苯：0.23mg/m3；二甲苯： 0；氨：0.27mg/m3；可吸入物：0.21mg/m3。
解决方法——综合评判法
评价因子的确定 分级标准 各因子对评价等级的隶属度 综合评价 结论
W
i 1
n
i
1
结果为：W 0.30,0.16,0.17,0,0.20,0.17
4.3综合评判——最大隶属度
模糊综合评判模式为： W R (B是综合评价的结果)
B
0 0 0 W R 0.30, 0.16, 0.17, 0, 0.20, 0.17 1 0 0
模糊数学中的综合评判法
——以室内环境空气质量评价为例
问题背景
在某市儿童医院血液病研究所10年中收 治的1800多名白血病患儿中，有46.7% 的孩子家里在半年之内进行过房屋装修。
问题背景
随着国家室内空气质量标准GB/T18883-2002的发布 和实施，判断室内环境空气质量的优劣有了可靠的依据。 但至今没有一个简便易行和行之有效的方法。鉴于模糊数 学在质量评价等方面的广泛应用，考虑引入模糊数学综合 评判法来评价室内空气质量的优劣。
2.分级标准
根据长期的现场监测经验，采用主观方 法将GB/T18883-2002中的甲醛、苯系物、 可吸入物、氨这四项因子的标准分为四 个等级。将GB/T18883-2002中的标准值 确定为良好等级，该标准值的1/2确定为 优级，超过该标准一倍值确定为轻污染 等级，当各因子监测值达到1mg/m3时以 上时确定为重污染等级。
0.15 0.33 0.67 0 0.85 0.15 0 0, 0.4293, 0.5257, 0.045 0 0 0 0.65 0.35 0 0.6 0.4 0 0 0.85
结果表明该室内环境空气对优等级 的隶属度为0，对良好等级的隶属度为 0.4293, 对轻污染等级的隶属度为0.5257， 对重污染等级的隶属度为0.045。该室内 空气的监测结果对轻污染的隶属度最大, 故评判该室内空气的质量为轻污染等级。
4.1建立模糊关系矩阵
模糊关系矩阵是 反映评
0 0 0 R 1 0 0
0.15 0.33 0.67 0 0.85 0.15 0 0 0 0 0.65 0.35 0 0.6 0.4 0 0 0.85
1.评价因子的确定
为准确评价室内空气质量的优劣，我们 依据模糊数学评价模式，首先确定评价 参数。影响室内环境空气质量的因子很 多，GB/T18883-2002中列出了19项指标。 但从新装修的房屋来看，其主要的污染 物有甲醛、笨系列、可吸入物、氨等。 将上述几项因子构成评价因素集： X={x1,x2,x3,…}.同时这几项因子的权重 构成权重集：W={w1,w2,w3,…}
求出各因子对评价等级的隶属度 1.用中值法确定系数A的值 以指标甲醛为例：0.32mg/m3 0.5=A| (0.2+1)/2-1|→A=1.25 A|x-a|=u →u=1.25*|0.32-1|=0.85
2.用隶属度函数公式求各因子对评价等级 的隶属度
4.综合评价
建立模糊关系矩阵 计算权重——指数超标法 综合评判——最大隶属度
4.2计算权重——指数超标法
环境质量分指数Pi=Ci/Coi。式中Ci为第I种 污染物的测量值。Pi表明室内空气中污染物 浓度超标倍数，超标倍数越大， 对室内环境 空气污染贡献越大。权重Wi=Pi (Coi取各等级 的平均值) 。在求得各污染因子的权数Wi时， 为进行模糊变换,Wi值应满足归一化要求，即