小学奥数韩信点兵典型例题和解题思路
23小学六年级奥数第二十三讲：韩信巧点兵
第二十三讲：韩信巧点兵例1．一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求满足条件的最小数。
例2．有一队少先队员，一至三报数余2人，一至五报数余3人，一至七报数余4人。
这队少先队员有多少人？例3．有一筐鸡蛋，每次取出5只，最后还剩3只；每次取出6只，最后还剩2只；每次取出其不7只，最后还剩1只。
这筐鸡蛋至少有多少只？例4．在1000以内，除以4余3，除以5余2，除以7余4，的最大数是几？例5．在1000以内，除以5余3，除以7余6，除以9余7的数有多少个？例6．一个三位数，除以7余1，除以8余2，除以9余3，求该数。
例7．我国古代算术中有一道“韩信点兵”的题：有卫兵若干，列成五行纵队，末行一人；列成六行纵队，末行五人；列成七行纵队，末行四人；列成十一行纵队，末行十人。
求至少有卫兵多少人？例8．一个数被2除余a, 被3除余b, 被5除余c, 被7除余d.这个数最少是多少？第二十三讲：韩信巧点兵练习姓名_____________ 2011.7.8 1．一个数被3除余2, 除以5余4，除以7余5，求适合条件的最小数。
2．有一箱橘子，每次取出3只，最后还剩1只；每次取出5只，最后还剩2只；每次取出7只，最后还剩3只。
这箱橘子至少有多少只？3．在2000~5000之间，除以3余1，除以5余3，除以7余4的数有多少个？4．有兵100多人，如排成三列不多也不少，如排成五列则少2人；如排成七列则少4人。
一共有多少人？5．七数剩一，八数剩二，九数剩四，问本数。
（杨辉《续古摘奇算法》）6．召开学生座谈会，每组五人则多1人，每组六人则多2人，每组七人则缺4人，至少有学生多少人？7．水果箱内有苹果若干只，每次取出3只，最后还剩1只；每次取出5只或八只，最后都剩4只；水果箱里至少有苹果多少只？8．把几十个苹果平均分成若干份，每份9个余8个，每份8个余7个，每份4个余3个。
这堆苹果共有多少个？9．有一堆棋子，三个三个地数，最后还剩二个；十三个十三个地数，最后还剩三个；十九个十九个地数，最后还剩五个。
韩信点兵应用题1
1、兵不满一万，每5人一列、9人一列、13人一列、17人一列都剩3人，则兵有多少？2、老年人跳广场舞，4人一排余2个，5个人一排余3人，9个人一排余下4人，问有多少老人？3、操场上有一群学生，3个3个的数多2个，4个4个的数多3个，7个7个的数多5个，问至少有几个学生？4、班长小英让N个同学去种树，已知树苗总数不足100，如果每名同学种7棵，则余下5棵，如果每名同学种8棵，则有一名同学只种6棵。
问有多少棵树？N是多少？有一个数，除以7余2，除以8余4，除以9余3，这个数至少是多少？2、582除以一个数所得的不完全商是11，并且除数与余数的差是6，除数、余数各是多少？3、63285与70352的积被7除，余数是多少？4、阳历1992年1月1日是星期三，阳历2004年1月1日是星期几？5、甲、乙、丙、丁四个小朋友玩报数游戏，从1起按下面顺序进行：甲报1、乙报2、丙报3、丁报4、丙报5、乙报6、甲报7、乙报8、丙报9……这样，报2003这个数的是谁？6、节日的街上挂起了长长的一排彩灯，共有2013盏，从第1盏开始，按照5盏红灯，4盏黄灯，3盏蓝灯，2盏绿灯，不断地排下去。
问：(1)第1982盏灯是什么颜色？(2)蓝灯共有多少盏？7、两个数相除商5余3，如果被除数、除数都扩大到原来的2倍，则被除数、除数、商、余数之和为101，求原来的被除数和除数？8、有一类自然数，其中每个数与3的和都是5的倍数，与4的差都是7的倍数，这类自然数中最小是多少？9、50以内被5除余2，被6除余5的数是什么？10、有一些物品，如果3个3个的数，最后剩2个；如果5个5个的数，最后剩3个；如果7个7个的数，最后剩2个；求这些物品一共有多少？11、一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2。
求适合这些条件的最小的数。
12、一个数除以3余2，除以5余2，除以7余4，求适合这些条件的最小的数。
13、一个数除以5余3，除以6余4，除以7余1，求适合这些条件的最小的数。
韩信点兵同余问题
二韩信点兵例1我们先考虑下列的问题：假设兵不满一万，每5人一列、9人一列、13人一列、17人一列都剩3人，则兵有多少？首先我们先求5、9、13、17之最小公倍数9945（注：因为5、9、13、17为两两互质的整数，故其最小公倍数为这些数的积），然后再加3，得9948（人）。
例2有一个数，除以3余2，除以4余1，问这个数除以12余几？解：除以3余2的数有：2，5，8，11，14，17，20，23….它们除以12的余数是：2，5，8，11，2，5，8，11，….除以4余1的数有：1，5，9，13，17，21，25，29，….它们除以12的余数是：1，5，9，1，5，9，….一个数除以12的余数是唯一的.上面两行余数中，只有5是共同的，因此这个数除以12的余数是5.如果我们把问题改变一下：有一个数，除以3余2，除以4余1，问这个数是几？不求被12除的余数，而是求这个数是几？.很明显，这个数最小是5，满足条件的数是很多的，它们是5＋12×n (n=0，1，2，3…)，事实上，我们首先找出5后，注意到12是3，4的最小公倍数，再加上12的整数倍，就都是满足条件的数.这样就是把“除以3余2，除以4余1”两个条件合并成“除以12余5”一个条件.题目中提出的条件有三个，我们可以先把两个条件合并成一个.然后再与第三个条件合并，就可找到答案.例3秦朝末年，楚汉相争.韩信帅1500名将士与楚王大将李锋交战。
苦战一场，楚军不敌，败退回营，汉军也死伤四五百人，于是韩信整顿兵马也返回大本营。
当行至一山坡，忽有后军来报，说有楚军骑兵追来。
只见远方尘土飞扬，杀声震天。
汉军本来已十分疲惫，这时队伍大哗。
韩信急速点兵迎敌。
他命令士兵3人一排，结果多出2名；接着命令士兵5人一排，结果多出3名；他又命令士兵7人一排，结果又多出2名。
韩信马上向将士们宣布：我军有1073人，敌人不足五百，我们居高临下，以众击寡，一定能打败敌人。
韩信点兵程序实例
算法：解决问题的方法与步骤。每一步都必须是确 定的、能行的、不能有二义性。
穷举法就 是通过把 需要解决 问题的所 有可能情 况逐一试 验来找出 符合条件 的解的方 法 ，是 效率最低 的一种算 法，优点 是思路简 单，编程 容易。每位同 学都启动Visual Basic 程序设计环境，输入 程序代码，并调试运 行。
分析问题(找出已知和未 知、列出已知和未知之 间的关系)
写出解题步骤
结果
分析问题和解题步骤
——算法1：穷举法求解
分析问题(找出已知 和未知、列出已知 和未知之间的关系)
写出解题步骤
1、令X为1 2、如果X整除3余1，X整除5余2 设所求的数为X， ，X整除7余4，这就是题目要求 则X应满足： 的数，则记下这个X X整除3余1 3、令X为X+1（为算下一个作准 X整除5余2 备） X整除7余4 4、如果算出，则结束；否则跳 穷举法 转2 5、写出答案
士兵数：67
拓展
“韩信点兵”问题2：求整除3余1、整除5余2、 整除7余4、整除13余6、整除17余8的最小自 然数。 上机任务二：分析上述问题并写出算法， 修 改程序，调试运行，检测结果。
士兵数：18232
小结
用计算机程序解决问题的基本过程
设计算法 编写程序 调试程序 检测结果
分析问题
人工解题与计算机解题的异同点
解析法与穷举法应用实例
韩信点兵
韩信是我国西汉初著名的军事家，刘邦得天下，军 事上全依靠他。韩信点兵，多多益善，不仅如此，还能经 常以少胜多，以弱胜强。在与楚军决战时韩信指挥诸侯联 军，在垓下十面埋伏，击败楚军，楚霸王项羽因此自杀。 韩信说：“如果每3个人编为一队，那最后剩下1 个人；如果每5个人编为一队，那最后剩下2个人；如果 每7个人编为一队，最后剩下4个人。请你自己算一下， 我有多少士兵？”（假设士兵总数不超过100人）
韩信点兵
韩信点兵例今有物不知其数，凡三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？意思为：一个数除以3余2，，除以5余3，除以7余2，求适合这个条件的最小数。
解答方法一：先分别求出能被5和7整除而被3除余1的数（70），能被3和7整除而被5除余1的数（21），能被3和5整除而被7除余1的数（15），然后用原题中被3、5、7除所得的余数2、3、2分别去乘70、21、15，再把所得的积相加。
70×2＋21×3＋15×2＝233例1一个数除以3余2，，除以5余2，除以7余4，求适合这个条件的最小数。
例2一个数除以5余3，，除以6余4，除以7余1，求适合这个条件的最小数。
解答方法二［6、7］=42 而42÷5余2 并且2×（4）=8 8÷5余3 所以取42×4=168［5、7］=35 而35÷6余5 并且5×（2）=10 10÷6余4 所以取35×2=70［5、6］=30 而30÷7余2 并且2×（4）=8 8÷7余1 所以取30×4=120168+70+120=358 而［5、6、7］=210 358—210=148 所以：适合条件的数为148。
例3 篮子里有鸡蛋若干只，每次取出3只，最后剩1只；每次取出5只，最后剩2只；每次取出7只，最后剩3只；问篮子里至少有多少只鸡蛋？例4 一个自然数被7、8、9除分别余1、2、3，并且三个商数的和使570，求这个自然数。
例5 有一个数，除以3余数是2，除以4余数是1，这个数除以12余数是几？例6 卫兵一队列成5行纵队，末行1人；列成6行纵队，末行5人；列成7行纵队，末行4人；列成11行纵队，末行10人；求兵数。
课后练习：1 一个数除以3余2，，除以5余3，除以7余4，求适合这个条件的最小数。
2 一筐苹果，三三数之余一，四四数之余三，五五数之不足一只，这筐苹果最少有几只?3 召开学生座谈会，每组5人则多1人，每组6人则多2人，每组7人则多3人，问至少有多少个学生？4 某班学生若4人一组多1人，5人一组正好分，6人一组少3人，这个班最少有几人？5 用一辆卡车运货，如果每次运9袋余1袋，如果每次运8袋余3袋，如果每次运7袋余2袋，问这批货物至少有多少袋？6 今有物不知其数，九九数之，八八数之，七七数之……三三数之，二二数之皆余一，问物至少几何？7 篮子里有鸡蛋若干只，每次取出3只，最后剩2只；每次取出5只，最后剩3只；每次取出7只，最后剩1只；问篮子里至少有多少只鸡蛋？8 有铅笔若干支，若按12支一扎多11支，按15支一扎多14支，原有铅笔多少支？9 箩筐里有一批橘子，三个三个一数余一个，五个五个一数余四个，七个七个一数余二个，箩筐里原有多少个橘子？10 一个数除以5余数是2，除以3余数是1，这个数除以15余数是几？11 一排吊灯，3个3个的数剩2个，4个4个的数剩3个，6个6个的数剩5个，这排吊灯至少有几个？12 某数被2、3、4、5、6除都余1，正好被7整除，求符合条件的最小数。
穷举法—韩信点兵
穷举法—韩信点兵1. 问题描述：韩信点兵。
韩信有⼀队兵，他想知道有多少⼈，便让⼠兵排队报数。
按从1⾄ 5报数，最末⼀个⼠兵报的数为1；按从1⾄6报数，最末⼀个⼠兵报的数为5；按从 1⾄ 7报数，最末⼀个⼠兵报的数为 4；按从 1⾄ 11报数，最末⼀个⼠兵报的数为 10。
你知道韩信⾄少有多少兵吗？2、【算法思想】设兵数为x，则按题意x应满⾜下述关系式：x%5 ==1 && x%6==5 &&x %7==4 && x%11==10采⽤穷举法对x从 1开始试验，可得到韩信⾄少有多少兵。
3、代码实战：穷举法，设置标志find#include<stdio.h>#include "stdlib.h"int main( ){int x =1;int find = 0; /*设置找到标志为假*/while (!find){if (x % 5 == 1 && x % 6 == 5 && x % 7 == 4 && x % 11 == 10){find = 1;}x++;printf(" x = %d\n", x);}system("pause"); /*解决快闪问题*/}运⾏结果：（运⾏结果是从1—找到的最⼩数）4、其他代码：goto1 #include<stdio.h>2 #include "stdlib.h"3int main( )4 {5int x ;6for(x=1; ;x++)7 {8if(x % 5 == 1 && x % 6 == 5 && x % 7 == 4 && x % 11 == 10 ) 9 { printf("最⼩值是x= %d\n ",x);10goto end;11 }12 }13 end:;14 system("pause");15 }break语句执⾏代码1 #include<stdio.h>2 #include "stdlib.h"3int main( )4 {5int x ;6for(x=1; ;x++)7 {8if(x % 5 == 1 && x % 6 == 5 && x % 7 == 4 && x % 11 == 10 ) 9 { printf("最⼩值是x= %d\n ",x);10break;11 }12 }1314 system("pause");15 }结果相同，不再赘述。
奥数韩信点兵
[阅读材料]世界名题与小升初之：韩信点兵问题在各类竞赛中，各类小升初考试中相关的世界名题出现的概率极高，这是由小升初与数学竞赛的特点决定，这特点便是：知识性，趣味性，思想性相结合。
例1：韩信点兵又称为中国剩余定理，相传汉高祖刘邦问大将军韩信统御兵士多少，韩信答说，每3人一列余1人、5人一列余2人、7人一列余4人、13人一列余6人……。
刘邦茫然而不知其数。
我们先考虑下列的问题：假设兵不满一万，每5人一列、9人一列、13人一列、17人一列都剩3人，则兵有多少？首先我们先求5、9、13、17之最小公倍数9945（注：因为5、9、13、17为两两互质的整数，故其最小公倍数为这些数的积），然後再加3，得9948（人）这个数就满足要求。
韩信点兵问题，是后人对物不知其数问题的一种故事化。
这个问题俗为［韩信点兵］，又叫做「秦王暗点兵」、「鬼谷算」、「隔墙算」、「剪管术」、「神奇妙算」、「大衍求一术」等等），它属于数论(Number theory) 中的「不定方程问题」(Indeterminate equations)。
例2：物不知其数问题出自一千六百年前我国古代数学名著《孙子算经》。
在《孙子算经》里（共三卷，据推测约成书于公元400年左右），下卷的第26题，就是鼎鼎有名的「孙子问题」原题为："今有物不知其数，三三数之二，五五数之三，七七数之二，问物几何？"这道题的意思是：有一批物品，不知道有几件。
如果三件三件地数，就会剩下两件；如果五件五件地数，就会剩下三件；如果七件七件地数，也会剩下两件。
问：这批物品共有多少件？变成一个纯粹的数学问题就是：有一个数，用3除余2，用5除余3，用7除余2。
求这个数。
这个问题很简单：用3除余2，用7除也余2，所以用3与7的最小公倍数21除也余2，而用21除余2的数我们首先就会想到23；23恰好被5除余3，所以23就是本题的一个答案。
这个问题之所以简单，是由于有被3除和被7除余数相同这个特殊性。
韩信点兵问题的初等解法
韩信点兵问题的初等解法
“韩信点兵”的由来
据说有一次韩信出兵千余人打仗，让军士清点人数，军士回报说：士兵们站3人一排，多出2人；站5人一排，多出4人；站7人一排，多出6人。
韩信稍加思索就得到了准确的士兵数量：1049人。
这个小故事就成为了“韩信点兵”问题的由来了。
事实上，早在《孙子算经》当中就曾经出现过类似的问题：
今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？
用“韩信点兵”的表达方式就是：每3个士兵站一排，那么就多出来2个人；每5个士兵站一排，就多出来3个人；每7个士兵站一排，就多出来2个人。
那么士兵总共有多少人？
大家可以发现这两道题的相似之处了吧，这就是“韩信点兵”问题通常的题目结构，在数学上属于初等数论当中的“解同余式”问题。
“韩信点兵”的解题思路
通常我们接触到的这类题目都会出现3个左右的同余式。
我们简单的解题技巧就是两两处理已知条件。
实际上对于这个问题是可以利用口诀进行解题的，即：
三人同行七十稀，五树梅花二十一。
七子团圆正半月，除百零五便得知。
这个口诀其实是针对《孙子算经》中那道题目的一个通用解题规则的，四句话意思是：
三人同行七十稀：将除以3的余数乘以70
五树梅花二十一：将除以5的余数乘以21
七子团圆正半月：将除以7的余数乘以15（正半月即15）
除百零五便得知：将以上三个数字相加，求得这个和除以105的余数。
这样就很容易知道《孙子算经》当中所要求的数为23了。
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韩信点兵典型例题与解题思路
一、基本原理：
⏹a÷b...r 表示方式b|（a-r），b|（a+b-r），其中r为余数，减去余数就可
以整除；b-r意味着如果再补这么多数据，就可以整除。
如10÷3=3...1。
如余数为1，10-1=9，可以整除；1缺少2，如果补3-1=2，就可以整除，也就是10+2可以整除。
⏹m|a，n|a，p|a，相当于【m，n，p】|a
（1）A÷3...1；A÷4...1；A÷6...1 【3,4,6】|（A-1）---A-1=12K---A=12K+1
（2）A÷3...2；A÷4...3；A÷6...5；补数相同为1，【3,4,6】|（A+1）---A+1=12K---A=12K-1
二、基本规律
1）减同余
若a÷m...r；a÷n...r；则【m,n】|（a-r）
2）加同补（补数，除数-余数）
若a÷m...r1；a÷n...r2；且m-r1=n-r2则【m,n】|（a+m-r）
3）逐级满足
（1）A÷3 (2)
（2）A÷5 (3)
由（2）得A-3=5K A=5K+3 (3)
将（3）代入（1），的（5K+3）÷3 (2)
3|（5K+3-2）
3|（3K+2K+1）
3|（2K+1）K最小为1
A=5×1+3=8
三、例题
例1、一个大于10的自然数除以4余3，除以6余3，则这个数最小为多少？
解：A÷4...3 A÷6...3----------[4,6]|(A-3)
A-3 = 12K A=12K+3 K=1，A=15
例2、一百多个苹果，3个3个数多2个，5个5个数剩2个，7个7个数缺5个，则苹果有多少个！
解：A÷3...3 A÷5...2 A÷7...2----------[3,5,7]|(A-2)
A-2= 105K A=105K+2，当K=1，A=107
例3、一个自然数除以6余2，除以8余4，这个数最小为多少？
解：A÷6...2 A÷8...4------------【6,8】|（A+4）
A+4 =24K A=24K+4
当K=1时，A=24×1-4=20
例4，一个自然数除以7余1，除以9余2，这个自然数最小为多少？
（1）A÷7 (1)
（2）A÷9 (2)
由（2）得A=9K+2 (3)
将（3）代入（1），的（9K+2）÷7 (1)
7|（9K+1）
7|（7K+2K+1）
7|（2K+1）K最小为3
A=9K+2=29
例5、有一个自然数，被3除余1，被5除余2，被7除余3 （1）求这个自然数的最小值
（2）用含字母K来表达这个数
解：
A=52+105K。